IM(lista1-2009)

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Lista complementar de exerćıcios de Introdução à Matemática
Primeiro semestre de 2009-Terceira Etapa do
Vestibular-DM-CCEN-UFPE
Prof. Antonio C. R. Monteiro
Recife, 19 de fevereiro de 2009
1 Números naturais e o Prinćıpio de Indução Finita
1. Prove que 2n > n3 para n ≥ 10. Prove que 2n > n4 para n ≥ 17.
2. Faça uma tabela dos valores de n! e 3n, para n ≤ 10, pelo menos. Faça um conjectura sobre qual
dos dois, n! ou 3n, é o maior. Prove sua conjectura usando indução.
3. Mostre que 4n + 15n− 1 é diviśıvel por 9.
4. Mostre que
1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + n.(n + 3) =
n(n + 1)(n + 5)
3
5. Mostre que 8n − 1 é diviśıvel por 7.
6. Mostre que
51.1 + 52.2 + 53.3 + ... + 5n.n =
5
16
[(4n− 1).5n + 1].
7. Mostre que
13 + 23 + 33 + ... + n3 >
n4 + 2n3
4
8. Prove que
14 + 24 + 34 + ... + n4 =
n5
5
+
n4
2
+
n3
3
− n
30
.
9. Prove que 2n ≥ n2 − 1 para todo natural n. Para que naturais n ocorre a igualdade?
10. Prove que, para todo natural n, 10n deixa resto 1, ao ser dividido por 9.
11. Mostre que
1.3.5.....(2n− 1)
2.4.6.....(2n)
<
1√
3n + 1
12. Prove que se a1, a2, ..., an são reais positivos então
(a1 + a2 + ... + an)(
1
a1
+
1
a2
+ ...
1
an
) ≥ n2.
13. Mostre que 2|(n2 + n), 6|(n3 − n), 64|(9n − 8n− 1), 9|(4n + 6n− 1)
(a) Encontre uma fórmula para
13 + 33 + 53 + ... + (2n− 1)3.
(b) Prove sua fórmula usando o PIF.
14. Sejam a e b reais positivos, com a < b.
1
(a) Mostre que 0 < an < bn, para n natural não nulo.
(b) Mostre que abn + ban < an+1 + bn+1 para n natural não nulo.
(c) Se n ≥ 2 mostre que
(
a + b
2
)n <
an + bn
2
15. Mostre que n!2 ≥ nn, para todo natural n ≥ 1.
16. A média aritmética dos reais positivos a1, a2, a3, ..., an é dada por MA = (a1 + a2 + a3 + ...+ an)/n
e a média geométrica é MG = n
√
a1.a2.a3.....an.
(a) Mostre que as médias aritmética e geométrica são reais com valor entre o menor e o maior dos
a1, a2, a3, ..., an.
(b) Mostre que (a1 + a2)/2 ≥ √a1.a2 e que a igualdade ocorre precisamente quando a1 = a2.
(c) Usando o item anterior, mostre que (a1 + a2 + a3 + a4)/4 ≥ 4√a1.a2.a3.a4, com igualdade
precisamente quando a1 = a2 = a3 = a4.
(d) Usando o item anterior, mostre que (a1 + a2 + a3)/3 ≥ 3√a1.a2.a3, com igualdade exatamente
quando a1 = a2 = a3. Sugestão: use o resultado anterior para a1, a2, a3 e a4 = (a1+a2+a3)/3.
(e) Usando indução em m, mostre que (a1 + a2 + a3 + ... + a2m)/2m ≥ 2m√a1.a2.a3.....a2m , ou
seja, que a MA é maior ou igual à MG se o número de termos é uma potência de 2 (n = 2m).
Quando ocorre a igualdade?
(f) Deduza a desigualdade entre MA e MG para qualquer n, usando o item anterior. Sugestão:
existe m e 2m−1 < n ≤ 2m, considere os 2m reais a1, a2, a3, ..., an, a, ..., a com os 2m−n últimos
termos iguais a a = (a1 + a2 + a3 + ... + an)/n, a média aritmética entre a1, a2, a3, ..., an−1 e
an.
(g) Mostre que
n
1
a1
+ 1a2 +
1
a3
+ ... + 1an
≤ n√a1.a2.a3.....an
(h) Usando o item (b), determine, dentre os retângulos de peŕımetro p, as dimensões do que tem
área máxima. Faça o mesmo para os triângulos.
17. Para quais naturais temos 3n > n3? Faça uma conjectura e demonstre-a usando o PIF.
18. (Problema das moedas) São dadas m moedas, de aparência semelhante, mas com uma delas de
peso inferior ao peso das demais; o problema é descobrir qual a moeda de peso diferente fazendo
pesagens em uma balança de dois pratos.
(a) Mostre, usando indução em m, que, se temos n = 2m moedas, pode-se descobrir a moeda de
peso diferente com m pesagens.
(b) Mostre que todo natural n ≥ 1 se expressa como soma de potências de dois distintas: n =
2m1 +2m2 +2m3 + ...+2mr com m1 > m2 > m3 > ... > mr. Sugestão: suponha que existe um
natural que não se expressa desta maneira e considere o menor deles, M ; observe que M > 1 e
considere a potência de dois, 2m1 , mais próxima de M ; o que se pode afirmar sobre M − 2m1 ,
que é positivo e < M? Conclua.
(c) Mostre que se n = 2m1 + 2m2 + 2m3 + ... + 2mr , com m1 > m2 > m3 > ... > mr então o
problema das n moedas se resolve com m1 pesagens.
19. (Binômio de Newton) O objetivo deste exerćıcio é obter a expansão de (x + y)n.
(a) Defina Cmk =
k!
m!(k−m)! , o número de combinações de k objetos distintos tomados m a m e
prove que Cmk+1 = C
m
k + C
m−1
k . Sugestão: faça as contas no lado direito da igualdade.
(b) Usando indução em n, prove que
(x + y)n = xn + C1nx
n−1y + ... + Cmn x
n−mym + ... + Cn−1n xy
n−1 + yn
(c) Faça a expansão, com todos os termos, de (x + y)n, para n = 2, 3, 4, 5 e 6.
2
20. Mostre que 1/12 + 1/22 + 1/32 + ... + 1/n2 < 2− 1/n, para todo natural n ≥ 2.
21. Dados os naturais m,n, p e q, eles podem ser adicionados, mantendo a ordem, de cinco maneiras
diferentes: [(m + n) + p] + q, [m + (n + p)] + q, (m + n) + (p + q),m + [(n + p) + q],m + [n + (p + q)].
Mostre, usando a associatividade da adição de naturais, que estes resultados são todos iguais(e
definem m + n + p + q). E se temos cinco naturais m,n, p, q e r?
22. Mostre que 2n + 1 e 9n + 4 são primos entre si.
23. Mostre que a fração (12n + 1)/(30n + 2) é irredut́ıvel.
24. Mostre que um número com representação decimal abba, com a e b d́ıgitos e a 6= 0, não pode ser
primo.
25. Mostre que se n é ı́mpar então n12 − n8 − n4 + 1 é diviśıvel por 29 = 512. Existe uma potência de
2 maior que 29 que divide todos estes números?
26. Mostre que n2(n4 − 1) é diviśıvel por 60 e que n(n6 − 1) é diviśıvel por 42.
27. Mostre que um quadrado pode ser decomposto em n quadrados, não necessariamente congruentes,
para n = 4, 6, 7, 8, 9, ....
28. Mostre que se x + 1/x é inteiro então xk + 1/xk também é inteiro.
29. Mostre que se um natural se escreve na forma 3n + 5 e também na forma 8m + 7 então ele deve ser
da forma 24k + 23 (n,m e k naturais). Vale a rećıproca?
30. O número 2008 se escreve na forma 2n(23n−1−5), para um natural n. Qual o menor natural, maior
que 2008, que também se expressa da mesma forma?
2 Divisibilidade, primos, o Teorema Fundamental da Aritmética
e exemplos de irracionais
1. Mostre que o menor divisor maior que 1 de um número natural n > 1 é primo.
2. Usando o TFA, mostre que m
√
p, p primo, é irracional. Generalize este resultado para números que
não são m-ésimas potências perfeitas.
3. Mostre que os n > 1 números a seguir são compostos
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1).
4. Mostre que a soma de n ı́mpares consecutivos não pode ser um número primo.
5. Encontre os primos p tais que p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 sejam todos primos.
6. Considere o polinômio E(n) = n2 + n + 41.
(a) Mostre que P (0), P (1), P (2), ..., P (39) são primos.
(b) Mostre que P (40) é composto.
(c) Mostre que existem infinitos valores de n tais que P (n) é diviśıvel por 43.
7. Encontre os valores naturais de n para os quais n2 + 2n− 3 é primo.
8. Mostre que n5 + n4 + 1 = (n2 + n + 1)(n3−n + 1). Encontre os valores naturais de n para os quais
n5 + n4 + 1 é primo.
9. Tome um primo p > 3. Divida p2 por 24. Qual o resto da divisão?
10. Sabendo que 1002004008016032 tem um fator primo > 250000, encontre este fator. Sugestão:
escreva o número dado como (103)5 + (103)4.2 + (103)3.22 + (103)2.23 + 103.24 + 25 e escreva
a = 103, b = 2, etc.
3
11. Mostre que 100|(1110 − 1).
12. Mostre que
√
6,
√
2 +
√
3,
√
2 +
√
3 +
√
6,
√
2 + 3
√
2 e 3
√
2 + 3
√
3 são irracionais. E 3
√
7 + 5
√
2 +
3
√
7− 5√2?
13. Qual natural não pode ser resto, na divisão por oito, de uma soma de três quadrados de inteiros?
3 Revisão sobre quadrados, cubos, ráızes e a desigualdade entre
a média aritmética e a geométrica
1. Se a, b e c são números reais com a + b = 2c, qual das implicações a seguir é incorreta:
a + b = 2c ⇒ a2 − b2 = 2ac− 2bc ⇒ a2 − 2ac + c2 = b2 − 2bc + c2 ⇒ (a− c)2 = (b− c)2 ⇒ a− c =
b− c ⇒ a = b.
2. Para três números reais positivos, x, y e z, três das quatro afirmações seguintes são verdadeiras e a
quarta é falsa. Qual a falsa?
y < x, z< y, x < z, x =
√
y.z
3. Para quais reais a e b, temos 3
√
a+ 3
√
b = 3
√
a + b? E, se a e b são não-negativos, quando 4
√
a+ 4
√
b =
4
√
a + b. Generalize para ráızes n-ésimas.
4. Seja x = 0, 999...9, com 2009 d́ıgitos iguais a 9. Compare x e
√
x. Explicite os primeiros dois mil e
nove d́ıgitos decimais de
√
x.
5. Os preços de uma mercearia são todos dados por um centavo a menos de um número inteiro de
reais, ou seja, são dados por R$ 0,99, R$ 1,99, R$ 2,99 e assim por diante. Se um cliente paga um
total de R$ 108,88, quantos itens ele comprou?
6. Se a, b, c e d são reais com b, d e b + d são nulos, encontre uma igualdade equivalente a
a
b
+
c
d
=
a + c
b + d
7. Mostre que se a, b, c, são inteiros positivos então
(
√
a +
√
b +
√
c)(−√a +
√
b +
√
c)(
√
a−
√
b +
√
c)(
√
a +
√
b−√c)
é inteiro.
8. Mostre que o produto de somas de dois quadrados é uma soma de dois quadrados:
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac− bd)2 + (ad + bc)2.
Escreva 449 · 629 como uma soma de dois quadrados de inteiros.
9. Calcule
√
57 + 40
√
2−
√
57− 40√2, sabendo que é um número natural.
10. Fatore a128 − b128.
11. Mostre que se a, b, c são positivos e a + b > c então
√
a +
√
b >
√
c.
12. Mostre que se 1 < x < 2 então
1√
x + 2
√
x− 1
+
1√
x− 2√x− 1
=
2
2− x.
13. Mostre que se a, b, c são não negativos então
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
4
14. Mostre que se a, b, c, d são reais e a2 +b2 +c2 +d2 = ab+bc+cd+da então a = b = c = d. Sugestão:
complete quadrados.
15. Se os valores de a, b, c, d são 1, 2, 3, 4, mas não necessariamente nesta ordem, qual o valor máximo
de ab + bc + cd + da? Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
16. Mostre que se a, b, c são reais não negativos então
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
17. A soma de dois números positivos é s. Qual o maior produto posśıvel destes dois números? Sugestão:
use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
18. Mostre que se a, b, c são positivos então
a
b
+
b
c
+
c
a
≥ 3.
Sugestão: use a desigualdade entre a média aritmética e a geométrica.
19. (a) Prove que se 0 ≤ x ≥ 1 então x− x2 ≥ 1/4.
(b) Prove que se 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1 então pelo menos um dos produtos a seguir
a(1− b), b(1− c), c(1− d), d(1− a)
é ≤ 1/4.
20. Se a soma de dois números é s e o produto é p, calcule a soma dos cubos destes números.
21. Mostre que se n ≥ 2 é natural então o número
n3 + (n + 2)3
4
é um natural composto.
22. Qual o maior inteiro positivo n tal que (n + 10)|(n3 + 100)?Sugestão: Expresse n3 + 100 como um
polinômio em n + 10, escrevendo n3 + 100 = ((n + 10)− 10)3 + 100 e desenvolva o cubo.
23. (a) Mostre que (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Sugestão: use a soma e a
diferença de dois cubos.
(b) Mostre que se a, b, c, d são números e a + b + c + d = a3 + b3 + c3 + d3 = 0 então existem pelo
menos dois dentre a, b, c cuja soma é nula.
24. Mostre que
(a + b)5 − a5 − b5 = 5ab(a + b)(a2 + ab + b2)
e que
(a + b)7 − a7 − b7 = 7ab(a + b)(a2 + ab + b2)2.
25. Mostre que se n é natural então
2903n − 803n − 464n + 261n
é diviśıvel por 1897. Sugestão: observe que 2903n− 803n é diviśıvel por 2903− 803 = 2100 = 7.300
e que 464n− 261n é diviśıvel por 464− 261 = 203 = 7.29, portanto o número dado é divśıvel por 7.
Agora é com você.
26. Dentre os paraleleṕıpedos retos, com base quadrada e volume V , encontre o lado da base e a altura
do que tem área total da superf́ıcie mı́nima.
5
27. Mostre as igualdades seguintes:
123 = (9 +
√
5)3 + (9 − √5)3 ;
√
3 +
√
5 +
√
3−√5 = √10 ;
√
4 +
√
7 +
√
4−√7 = √14 ;√
5 +
√
21+
√
5−√21 = √14 e generalize para
√√
a +
√
b+
√√
a−
√
b, com a e b reais positivos
e a > b.
28. Sejam m e n inteiros não nulos.
(a) Mostre que |m2 − 2n2| ≥ 1. Sugestão: use que √2 é irracional.
(b) Suponha que |m| < 106 e que |n| < 106. Mostre que |m − n√2| > 4.10−7 e que |mn −
√
2| >
4.10−13. Ou seja, se queremos um racional m/n para aproximar
√
2 a menos de 4.10−13, m e
n têm que ser maiores que um milhão.
29. O dono de uma mercearia diminui o preço de um artigo de x% e depois aumenta o novo preço de
y%. Se o preço final do produto, após o aumento, é igual ao preço de antes do desconto, qual o
valor de 1/x− 1/y?
30. Uma empresa decidiu aumentar em 2% os salários dos funcionários, mas, para compensar, diminuirá
10% da parte do salário que ultrapassar 1.230 reais. Explique porque quem ganha mais de 1.500
reais é contrário ao aumento.
31. Encontre um polinômio cúbico tendo 3
√
a + 3
√
a2, com a real, como raiz.
32. Mostre que:
(a) mn
√
am = n
√
a se a ≥ 0 ou se m e n são ı́mpares. De contra-exemplos se a < 0 e m ou n não é
ı́mpar.
(b) Mostre que m
√
n
√
a = mn
√
a se a ≥ 0 ou se a < 0 e m e n são ı́mpares.
33. Encontre racionais a e b tais que 3
√
7 + 5
√
2 = a + b
√
2.
34. Mostre que √
3
√
5− 3
√
4 =
3
√
2 + 3
√
20− 3√25
3
3
√
3
√
2− 1 = 3
√
1
9
− 3
√
2
9
+ 3
√
4
9
4
√
3 + 2 4
√
5
3− 2 4√5 =
4
√
5 + 1
4
√
5− 1
35. Se α é irracional e a, b, c, d são racionais, quando
a + bα
c + dα
é racional?
36. Mostre que
√
a + 2m
√
a−m2 +
√
a− 2m√a−m2 é igual a 2m se m2 < a < 2m2 e igual a
2
√
a−m2 se a > 2m2.
37. Mostre que se a, b, c, d são racionais, com b, d positivos e não quadrados perfeitos (de racionais), e
a +
√
b = c +
√
d então a = c e b = d. Mostre que nestas condições então a−
√
b = c−
√
d.
38. Mostre que se a, b são racionais não negativos então
√
a+
√
b só é racional se
√
a e
√
b são racionais.
6
4 Números racionais e irracionais
1. Deduza a associatividade da multiplicação de inteiros, (a.b).c = a.(b.c) a partir da definição de
multiplicação de inteiros e da associatividade da multiplicação de naturais. Observe que existem
sete casos a serem considerados, segundo os sinais de a, b e c.
2. Usando as propriedades das operações de reais, mostre que 0.a = a.0 = 0, para todo real a, e que,
se a e b são reais não nulos então a.b é não nulo.
3. Quais os peŕıodos (e o número de seus d́ıgitos) das frações 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, .... Quantos d́ıgitos
tem o peŕıodo de 1/3k? E de m/3k, se m não é diviśıvel por 3?
4. Repetir o exerćıcio anterior para 1/11, 1/121, 1/1331, 1/14641, .... Quantos d́ıgitos tem o peŕıodo
de 1/11k? E de m/11k, se m não é diviśıvel por 11? Qual deve ser o número de d́ıgitos do peŕıodo
de m/pk, se p é primo e não divide m?
5. Para cada uma das frações indicadas a seguir, com numerador m maior que um e menor que o
denominador, determine sua expansão decimal, indique se a expansão decimal é finita ou infinita e
periódica, e, onde for adequado, determine o número de d́ıgitos da decimal, do peŕıodo, e de d́ıgitos
decimais que antecedem o aparecimento do primeiro peŕıodo. Relacione cada um destes números
com o numerador e denominador da fração.
m/22,m/333,m/4444,m/55555,m/666666,m/7777777,m/88888888,m/999999999
6. Este exerćıcio contém duas outras demonstrações da irracionalidade de
√
2. Preencha os detalhes.
(a) A primeira demonstração usa propriedades de naturais pares e ı́mpares. Suponha que
√
2 é
racional e escreva
√
2 = a/b com a e b coprimos, logo não podem ser ambos pares. Deduza
que a2 = 2b2 e a2 é par. Mostre que a é inteiro e a2 é par então a é par. Assim, a = 2a1,
com a1 natural e mostre que temos b2 = 2a21. Conclua que b é par e a e b não são coprimos.
Usando idéias semelhantes mostre que 3
√
2 é irracional.
(b) A segunda demonstração começa como a anterior. Suponha
√
2 = a/b com a e b naturais
coprimos, logo os menores posśıveis. Multiplique numerador e denominador por
√
2 − 1 e
obtenha
a
b
=
a(
√
2− 1)
b(
√
2− 1) =
2b− a
a− b
Agora, usando que b < a < 2b, conclua que 0 < 2b− a < a e que 0 < a− b < b e observe uma
contradição. Amesma demonstração funciona com
√
3? E com
√
p, p primo?
7. Prove que
√
3 e 3
√
3 são irracionais, usando, no máximo, o algoritmo da divisão (no caso, divisão
por três), como fizemos no exerćıcio anterior para
√
2 e 3
√
2.
8. É 0, 0123456789101112..., com a parte decimal obtida listando ordenadamente os naturais, racional?
9. Calcule as expansões decimais de 2/7, 3/7, 4/7, ..., 6/7 usando a expansão decimal de 1/7. Como se
relacionam os peŕıodos destas expansões? E o número de d́ıgitos do peŕıodo? Qual o menor natural
k tal que 7 divide 10k−1? Qual a relação entre k e o número de d́ıgitos dos peŕıodos das expansões
das frações? Como se relacionam os números de d́ıgitos dos peŕıodos de frações irredut́ıveis com
mesmo denominador? Descubra outro primo que tenha o mesmo comportamento que o 7 neste
exerćıcio.
10. Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, demonstrado em sala, mostre que 4
√
p, p primo, é
irracional, se p é primo. Como generalizar este resultado?
11. Considere o número ϕ = 1+
√
5
2 . Mostre que ϕ =
1
ϕ−1 . Se ϕ fosse racional, ϕ = a/b, com a e b
naturais menores posśıveis teŕıamos
ϕ =
a
b
=
1
a
b − 1
=
b
a− b
usando que b < a < 2b mostre que a− b < b e deduza uma contradição.
7
5 Números reais, valor absoluto, etc.
1. Resolva as desigualdades no conjunto dos reais:
x9−1
x6−1 ≥ 0 ; 1x+2 < 2x+1 e (x+1)
3
x3+1 > 0
2. Em que subintervalos do intervalo [0, 1] estão os reais com o d́ıgito 1 na posição dos décimos? E
na posição dos centésimos, milésimos, etc.? Determine a soma dos comprimentos dos subintervalos
do [0, 1] que contêm algum d́ıgito 1 em sua expansão decimal. Qual a chance de se obter um real
com 1 em sua expansão decimal, ao escolhermos, aleatoriamente, um real no intervalo [0, 1]? E se
substitúırmos o d́ıgito 1 pelo 2?
3. Um besouro caminha sobre a superf́ıcie de um cubo, com aresta medindo a, partindo de um vértice
até o vértice diametralmente oposto. Qual a menor distância que o besouro poderá percorrer para
atingir seu objetivo?
4. Completar a tabela seguinte em termos do valor absoluto, da distância entre números reais (aqui
denotada por d(x, y), a distância entre os reais x e y), de intervalos e de desigualdades.
Valor absoluto Distância Intervalo Desigualdade
|x− 4| < 1
d(x,−5) ≤ 3
−6 ≤ x ≤ 6
x ∈ [7, 9]
5. Determine os reais x satisfazendo cada uma das condições a seguir:
|x − 2| = 3; |3x − 4| = 0,|x|2 = 7; |x − 1| + 1 = 0; 1|x| = 3; |2x − 3|.|x − 4| = 0;|x − 3| = |3 − x|;
x2|x| = 64; x|x2| = 64 e |x|2 = |x|.
6. Qual o valor máximo e mı́nimo de |x− y| se x pertence ao intervalo [1, 3] e y ao intervalo [7/2, 8]?
7. Representar na reta real os reais satisfazendo cada uma das condições abaixo:
|x− 3| = 7; |x− 2| < 3; |x + 3| = 7;|x + 3| ≤ 2;|x + 1/3| = 5/3; |x + 3| > 2;|x− 1|+ |x− 2| = |x− 3|;
|x− 1|+ |x− 2| > 3 e |x− 1|+ |x− 2| < 1
8. Mostre que f(x) = |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + ... + |x − 100| é constante no intervalo [50, 51] e
determine seu valor.
9. Resolver x3 + 1 > x2 + x.
10. (a) Se m e n são naturais, prove que |√m−√n| ≤ |m− n|.
(b) Dê exemplos de reais x e y tais que |√x−√y| > |x− y|.
(c) Desenhe o gráfico de y = x2 com x variando no intervalo [0, 1/2]. Se (x1, y1) e (x2, y2) são
pontos do gráfico de y = x2, compare a distância entre x1 e x2 com a distância entre y1 e y2.
11. Se o peŕımetro de um retângulo está compreendido entre 72, 8cm e 73, 2cm e sua base entre 14, 1cme
14, 2cm, determine os valores em que ficam compreendidos a altura e a área do retângulo.
12. Dizemos que o real x é aproximado pelo real a a menos de ² > 0 se |x − a| < ². Mostre que se
xi é aproximado por ai a menos de ² então a média aritmética de x1, x2, x3, ..., xn é aproximada a
menos de ² pela média aritmética de a1, a2, a3, ..., an.
6 Funções, gráficos, e funções afins
1. Encontre a imagem da função f : R→ R dada por f(x) = x4/(1 + x2).
2. Quais os valores mı́nimo e máximo, se existirem, da função f : R≥0 → R dada por f(x) = (2x +
1)/(x + 1).
8
3. Uma copiadora pratica os preços expressos na tabela a seguir:
Número de cópias Preço unitário (em reais)
1 a 10 0,20
11 a 50 0,15
51 a 200 0,12
Se um cliente pretende fazer 48 cópias, ao custo de R$ 0,15 a cópia, quantas cópias adicionais ele
poderia fazer, gastando o mesmo valor, se pagasse R$ 0,12 a cópia?
4. Seja ABC um triângulo isósceles (AC = BC) com base AB = 8 e altura relativa à base AB medindo
5. Para x real no intervalo [0, 8], marcamos D em AB com AD = x, e E na união dos lados AC e
CB, com ED perpendicular a AB. Definimos f(x) como sendo a área do triângulo ADE se x ≤ 4
e como sendo a área do quadrilátero ADEC se x > 4.
(a) Encontre explicitamente f(x) em termos de x. Determine domı́nio e imagem de f .
(b) Qual o valor máximo e mı́nimo de f , e onde estes valores extremos são atingidos.
(c) Esboce o gráfico de f .
5. Os tamanhos de chapéus masculinos na Inglaterra, França e Estados Unidos são diferentes. A
função f(x) = (x − 1)/8 converte os tamanhos franceses para os ingleses, e a função g(x) = 8x
converte os tamanhos norte-americanos para os franceses. Qual função converte o tamanho x dos
norte-americanos para o tamanho h(x) dos ingleses?
6. A média aritmética de 40 números é 50. Se dois destes números, 135 e 155 são suprimidos, qual a
média aritmética dos restantes?
7. Quais as condições sobre os coeficientes reais a, b, c e d para que a equação a(x2+y2)+bx+cy+d = 0
represente uma circunferência?
8. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas y =
√
3x/3− 1 e y = √3x− 3?
9. Em 2008, a idade de Jennifer a é o dobro da de Jéssica. Passados três anos, a partir deste ano,
a soma das idades das duas será 54 anos. Se sobreviver até os 70 anos, em qual ano Jennifer
completará esta idade?
10. Um teatro tem capacidade para 1.200 pessoas. Em determinada noite, o teatro não ficou lotado
e o total arrecadado e o total obtido com a venda dos ingressos foi de R$ 66.000,00. O preço dos
ingressos era de R$ 60,00 para a entrada inteira e de R$ 30,00 para a meia entrada. Qual o número
mı́nimo de presentes no teatro que pagou inteira?
11. Suponha que o custo para remover x% dos poluentes da atmosfera de uma metrópole seja dado por
100x
105−x , em bilhões de reais. Se forem removidos 90% dos poluentes, quanto custará para remover
os 10% restantes?
12. Uma confeiteira gasta 4kg de chocolate para fazer 8 caixas de bombons com 6 bombons em cada
caixa. Quantas caixas de bombons, iguais a esses, com 8 bombons em cada caixa, ela fará com
10kg de chocolate?
13. A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Certo dia, a concentração de
poluentes no ar às 8 : 00 era de 20 part́ıculas em cada milhão de part́ıculas e às 12 : 00 horas era
de 80 part́ıculas em cada milhão de part́ıculas. Admitindo que a concentração de poluentes no ar
durante o dia é uma função afim do tempo, qual o número de part́ıculas poluentes no ar, em cada
milhão de part́ıculas, às 10 : 20?
14. Para quais valores de a, o sistema x2 = y2 e x2 + (y − a)2 = 1 admite precisamente 3 soluções?
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7 Funções quadráticas
1. Quando o preço do ingresso é de R$ 40, 00, os concertos de uma banda atraem 1200 espectadores.
Cada variação de R$ 2, 00 no preço do ingresso causa uma variação de 30 espectadores no número
de presentes ao concerto; por exemplo, se o ingresso custar R$ 42, 00, o número de espectadores
será 1170 e, se o ingresso custar R$ 38, 00, o número de espectadores será 1230. Ajustando o preço
do ingresso, qual a maior receita que se pode obter com a venda dos ingressos?
2. Uma editora independente pretende lançar no mercado livros didáticos a preços populares. Um
estudo preliminar concluiu que: se o preço da unidade do livro é de R$12, 00, serão vendidas 400
unidades; mas, a cada desconto de R$0, 25 no preço do livro, o número de unidades vendidas au-
mentará de 40. Além disso, existem despesas fixas deR$2.800, 00 (com computadores, impressoras,
etc.) e o preço de custo de cada livro é de R$3, 00.
(a) Determine a função L(x) que expressa o lucro com a venda de x unidades do livro, x ≥ 400.
Qual o domı́nio adequado para L?
(b) Qual o lucro máximo que pode ser obtido com a venda dos livros? Para qual preço da unidade
do livro, o lucro será máximo?
(c) Esboce o gráfico de L.
3. Em um terreno na forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 45m e 60m, pretende-se
construir um prédio de base retangular com um ângulo coincidindo com com o ângulo reto do
triãngulo. Se a área da base do edif́ıcio deve ser a maior posśıvel, qual o peŕımetro da base?
4. Quais as soluções da equação
x2
1 + x2
+
x4
(1 + x2)2
+ ... +
x2n
(1 + x2)n
+ ... = 25?
5. Admitindo que existe um único número real x tal que x =
√
12 +
√
12 +
√
12 +
√
12 + ..., deter-
mine x.
6. Se
√
x + 3 = 2x, calcule x.
7. Qual o ponto do gráfico de y =
√
x, para x ≥ 0, mais próximo do ponto (2, 0)?
8. Seja M um ponto escolhido no segmento AB e considere os triângulos eqüiláteros AMC e MBD,
com C e D no mesmo semiplano, relativamente à reta contendo AB.
(a) Determine a posição de M para que a área do triângulo CMD seja maximal. Sugestão:
expresse a área de CMD em termos de CM , MD e do ângulo CMD.
(b) Determine a posição de M para que a área do quadrilátero ABDC seja minimal.
9. Quando a varia nos números reais não-nulos, as parábolas y = ax2 + 2x + 3 t
10. Resolver as equações a seguir:
6x4 + 11x2 + 3 = 0; 2x2 − 3|x|+ 2 = 0;
(
x+2
2x−1
)2
+
(
x+2
2x−1
)
= 34 e
x2−x−8
x+2 =
3
x−3 − 5x(x+2)(x−3)
11. Resolva este problema antigo: um exército, organizado na forma de um retângulo, com comprimento
de 50km, no sentido do percurso,avança com velocidade constante; em determinado momento, um
soldado, saindo da última fileira, galopa, com velocidade constante, para entregar uma mensagem
na primeira fileira e retornar à sua posição. Se o soldado volta a sua posição no momento em que o
exército percorreu 50km, qual a distância total percorrida pelo soldado? Assuma que a trajetória
do soldado é paralela à trajetória de percurso do exército.
12. Determine k de maneira que o ponto (−1, k) pertença à circunferência passando pelos pontos (7, 0),
(7,−2) e (−1,−2).
13. Determine a equação da parábola passando pelos pontos (3, 2), (1, 4) e (−2, 1).
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14. Qual a equação da parábola com vértice em (−3, 8) e passando por (1,−1)?
15. Determine a equação da parábola que intercepta o eixo das abscissas em (3, 0) e (4, 0) e o eixo das
ordenadas em (0, 12).
16. Uma reta é tangente a uma circunferência se intercepta a circunferência em exatamente um ponto.
Vale a mesma definição para a parábola se a reta é não vertical.
(a) Determine as equações das retas tangentes à circunferência x2 + y2 = 5 e passando pelo ponto
(−4, 5).
(b) Determine as equações das retas tangentes à parábola y = 4x2 e passando pelo ponto (0,−3).
17. Dentre as circunferências contendo um setor circular de peŕımetro 16, qual o raio da que contém
este setor com área máxima?
18. Um empregador paga seus diaristas dividindo igualmente entre eles uma quantia fixada. Se faltam
3 diaristas, então cada um presente tem seu pagamento acrescido de R$4, 00. Se são contratados
mais 6 diaristas então cada um presente tem seu pagamento reduzido em R$6, 00. Qual a quantia
fixa que o empregador gasta diariamente?
19. Uma janela deve formada por um retângulo e um semićırculo justaposto. Se a janela deve ter
peŕımetro p e área máxima, qual deve ser o comprimento de sua base?
20. Se a é um número real dado, resolva a equação (
√
a +
√
a2 + 1)x +(
√
−a +√a2 + 1)x = 2√a2 + 1.
21. O valor da média salarial dos funcionários de uma empresa, com x anos de trabalhos prestados, é
dada por s(x) = 100(
√
x + 3 +
√
x + 10). Para quantos meses trabalhados na empresa, a média
salarial será de R$ 700,00?
22. Em um lago, o número de peixes varia da seguinte maneira: se, no começo do ano, a população
consiste de x milhares de peixes, então, a população, no começo do ano seguinte, será de x(2 −
0, 01x) − 16 milhares de peixes. Para quais valores de x, o número de peixes, no começo de cada
ano, será igual ao número de peixes, no começo do ano anterior?
8 Função exponencial, logaritmo e aplicações
1. Na Franca, o consumo anual per capita de alcool proveniente do vinho, passou de 20 litros, em 1968
para 8 litros, em 2008. Se admitirmos um decrescimento percentual anual, constante e cumulativo,
deste consumo, nestes 40 anos, qual sera este decrescimento? Dado: use a aproximacao 40
√
0, 4 ≈
0, 98.
2. O preço de um automóvel, P (t), desvaloriza-se em função do tempo t, dado em anos, de acordo com
uma função de tipo exponencial P (t) = b.at, com a e b sendo constantes reais. Se, hoje (quando
t = 0), o preço d o automóvel é de 20000 reais, e valerá 16000 reais daqui a 3 anos (quando t = 3),
em quantos anos o preço do automóvel será de 8192 reais. Dado: 8192/20000 = 0, 84.
3. Uma colônia de moscas-de-fruta, inicialmente com uma população de 100, cresce de modo que o
número de moscas no dia x é dado por 100.2cx, com c sendo uma constante real. Observou-se que
a população da colônia dobra a cada 9 dias.
(a) Qual o valor de c?
(b) Esboce o gráfico do número de moscas da colônia em termos do dia x, para 0 ≤ x ≤ 45.
4. De 1999 a 2006, a previdência privada no Brasil cresceu 13%. Se admitirmos, neste peŕıodo de 8
anos, um crescimento anual constante e cumulativo, em relação ao ano anterior, qual o valor deste
crescimento? Dado: use a aproximação 8
√
1, 13 ≈ 1, 0154.
5. Suponha que um teste possa detectar a presença de esteróides em um atleta, quando a quantidade
de esteróides em sua corrente sangúınea for igual ou superior a 1mg. Suponha também que o corpo
elimina um quarto da quantidade de esteróides presentes na corrente sangúınea a cada quatro horas.
11
(a) Se um atleta ingere 10mg de esteróides, passadas quantas horas não será posśıvel detectar
esteróides, submetendo o atleta a este teste? Dado: use a aproximação 10 ∼= (4/3)8.
(b) Esboce o gráfico da quantidade de esteróide na corrente sangúınea do atleta, ao longo do
tempo, a partir do instante em que este tomou a dose de 10mg.
6. Resolva 32x
2−7x+3 = 53x
2−8x−3.
7. Se x e y são números reais positivos satisfazendo log8 x + log4 y2 = 6 e log4 x2 + log8 y = 10, qual
o valor de
√
xy?
8. Demonstre as propriedades seguintes do logaritmo usando que a funçao exponencial e a logaŕıtmica
de mesma base são inversas uma da outra, ou seja, que loga ax = x, para x real e que aloga x = x,
para x positivo, com a positivo e diferente de 1. x1, x2 são reais positivos e m é natural não nulo.
(a) loga 1 = 0 ; loga a = 1
(b) loga(x1.x2) = loga x1 + loga x2
(c) loga(1/x1) = − loga x1
(d) loga(x1/x2) = loga x1 − loga x2
(e) loga(x
x2
1 ) = x2. loga x1
(f) loga m
√
x = loga x/m
(g) loga x =
logb x
logb a
9. Calcule x1/ loga x, se x e a são positivos e diferentes de um.
10. Um boato se espalha da seguinte maneira: no primeiro dia, apenas uma pessoa tem conhecimento
dele; no segundo, ela conta a outras k pessoas, e, a cada dia que passa, todas as pessoas que sabem
do boato, contam-no para k novas pessoas. Quantas pessoas sabem do boato passados n dias?
Em quanto tempo o boato será conhecido por p pessoas? (expresse sua resposta em termos de
logaritmos decimais). Em uma cidade com 1, 5 milhão de habitantes, quantos dias serão necessários
para que todas as pessoas sejam informadas do boato, se cada pessoa conta o boato para 3 novas
pessoas? Dado: log2(1, 5.106) ∼= 20, 52.
11. Calculee
1
log2 2006!
+
1
log3 2006!
+
1
log4 2006!
+ ... +
1
log2006 2006!
12. Calcule
log2 3. log3 4. log4 5..... log1023 1024.
13. Calcule log tg1o + log tg2o + log tg3o + ... + log tg89o.
14. Resolva (xx)x = x(x
x), para x real positivo.
15. Resolva a desigualdade log1/2x > log1/3 x.
16. Sabendo que logab a = 4, calcule logab(
3√a√
b
).
17. Resolva a equação x0,5 log√x(x
2−x) = 3log9 4
18. Resolva
log1/3(cosx +
√
5/6) + log1/3(cos x−
√
5/6) = 2.
19. Se [x] é o maior inteiro menor ou igual a x, calcule
[log2 1] + [log2 2] + [log2 3] + ... + [log2 1000].
20. Determine as relações entre a, b e c que garantam que o sistema



log2 x + log4 y + log4 z = 2
log3 x + log9 y + log9 z = 2
log4 x + log16 y + log16 z = 2
admite solução.
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21. Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos
milhões de reais. Admitindo o mesmo crecimento anual para os anos futuros, em quantos anos,
contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?
Dados: ln 1000 ∼= 6, 907, ln 1, 2 ∼= 0, 182.
22. Suponha que, se a população atual de um páıs é de p0 habitantes, p0 > 1, então, a população em
t anos será de p0.bt, com b sendo uma constante positiva. Em quantos anos a população do páıs
triplicará?
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