Lista 1

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Lista 1 de Análise na Reta
Verão - IMPA - entregar até 23/1/2017
1) Dados dois conjuntos A e B e funções injetivas f : A→ B e g : B → A, prove que existem
conjuntos A1, A2, B1 e B2 tais que A1 ∩A2 = ∅, B1 ∩B2 = ∅, A1 ∪A2 = A e B1 ∪B2 = B
com f(A1) = B1 e g(B2) = A2. Conclua que existe uma bijeção g : A→ B.
2) Prove que o conjunto das bijeções f : N→ N é não-enumerável.
3) Dados x1, x2, . . . , xn reais positivos, sejam A =
x1+x2+···+xn
n
e G = n
√
x1x2 . . . xn. Prove
que G ≤ A.
Sugestão: Sejam xi e xj respectivamente o menor e o maior dos reais dados. Troque
xi e xj por G e xixj/G. Mostre que o produto dos números não muda, e a soma nunca
aumenta. Após repetir essa operação no máximo n − 1 vezes, todos os números serão
iguais a G.
4) Um conjunto não-vazio G de números reais é dito um grupo aditivo se x, y ∈ G =⇒
x − y ∈ G. Suponha que G 6= {0} é um grupo aditivo de números reais. Seja G+ o
conjunto dos elementos positivos de G.
i) Prove que, se inf G+ = 0 então G é denso em R.
ii) Prove que, se inf G+ = a > 0, então a ∈ G+ e G = {ka|k ∈ Z}.
iii) Conclua que, se α ∈ R é irracional, então o conjunto dos números da forma m + nα,
com m,n ∈ Z é denso em R.
5) Seja (xn) uma sequência limitada de números reais. Para cada n natural, seja Xn o
conjunto {xk, k ≥ n}. Sejam an = inf Xn e bn = supXn.
i) Prove que (an) e (bn) convergem. Definimos lim inf xn = lim an e lim supxn = lim bn.
ii) Dizemos que c é valor de aderência da sequência (xn) se existe uma subsequência de
(xn) que converge a c. Prove que lim inf xn e lim supxn são, respectivamente, o menor e
o maior valor de aderência da sequência (xn).
6) Dados a, b ∈ R+, defina recursivamente as sequências (xn) e (yn) por x1 =
√
ab, y1 =
a+b
2
e xn+1 =
√
xnyn, yn+1 =
xn+yn
2
. Prove que as sequências (xn) e (yn) convergem para o
mesmo limite (chamado a média aritmético-geométrica de a e b).