Aula 1 de Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz - 2020 2

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Disciplina de Álgebra Linear
Aula de Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Paulo Ricardo Pinheiro Sampaio
Universidade de Fortaleza - UNIFOR
ppinheirosampaio@unifor.br
2020
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha equivalentes
Sejam A,B ∈ Mm × n (R). Dizemos que A é linha equivalente a B, se B pode
ser obtida a partir de A através de uma sequência finita de operações
elementares com linhas.
Notação
A v B ou A ≡ B.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha equivalentes
Sejam A,B ∈ Mm × n (R). Dizemos que A é linha equivalente a B, se B pode
ser obtida a partir de A através de uma sequência finita de operações
elementares com linhas.
Notação
A v B ou A ≡ B.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e B =
 1 1 15 2 4
2 3 1
 são linha equivalente, pois
B foi obtida de A através da operação L2 ←→ L3.
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e C =
 1 1 10 1 −1
2 3 1
 são linha equivalente, pois
C foi obtida de A através da operação L2 → L2 − 2L1.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e B =
 1 1 15 2 4
2 3 1
 são linha equivalente, pois
B foi obtida de A através da operação L2 ←→ L3.
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e C =
 1 1 10 1 −1
2 3 1
 são linha equivalente, pois
C foi obtida de A através da operação L2 → L2 − 2L1.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Pivô
Chama - se pivô de uma matriz o primeiro elemento não nulo de uma linha.
Exemplo
A =
 1 1 10 0 −1
0 3 1

Os termos a11 = 1, a23 = −1 e a32 = 3 são os pivôs da matriz A.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Pivô
Chama - se pivô de uma matriz o primeiro elemento não nulo de uma linha.
Exemplo
A =
 1 1 10 0 −1
0 3 1

Os termos a11 = 1, a23 = −1 e a32 = 3 são os pivôs da matriz A.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Pivô
Chama - se pivô de uma matriz o primeiro elemento não nulo de uma linha.
Exemplo
A =
 1 1 10 0 −1
0 3 1

Os termos a11 = 1, a23 = −1 e a32 = 3 são os pivôs da matriz A.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz na Forma em Escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A está na forma em escada se
as seguintes condições são cumpridas:
As posśıveis linhas nulas ficam abaixo das posśıveis linhas não nulas.
O pivô de uma linha fica sempre à direita do pivô da linha anterior.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos abaixo do pivô
iguais a zero.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz na Forma em Escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A está na forma em escada se
as seguintes condições são cumpridas:
As posśıveis linhas nulas ficam abaixo das posśıveis linhas não nulas.
O pivô de uma linha fica sempre à direita do pivô da linha anterior.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos abaixo do pivô
iguais a zero.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz na Forma em Escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A está na forma em escada se
as seguintes condições são cumpridas:
As posśıveis linhas nulas ficam abaixo das posśıveis linhas não nulas.
O pivô de uma linha fica sempre à direita do pivô da linha anterior.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos abaixo do pivô
iguais a zero.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz na Forma em Escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A está na forma em escada se
as seguintes condições são cumpridas:
As posśıveis linhasnulas ficam abaixo das posśıveis linhas não nulas.
O pivô de uma linha fica sempre à direita do pivô da linha anterior.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos abaixo do pivô
iguais a zero.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
1 A matrizes A =
 1 1 10 3 1
0 0 0
 está na forma escada
2 A matriz B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 não está na forma escada
3 A matriz C =
 1 −2 0 00 0 1 3
0 0 0 0
 está na forma escada
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
1 A matrizes A =
 1 1 10 3 1
0 0 0
 está na forma escada
2 A matriz B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 não está na forma escada
3 A matriz C =
 1 −2 0 00 0 1 3
0 0 0 0
 está na forma escada
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
1 A matrizes A =
 1 1 10 3 1
0 0 0
 está na forma escada
2 A matriz B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 não está na forma escada
3 A matriz C =
 1 −2 0 00 0 1 3
0 0 0 0
 está na forma escada
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5

−−−−−−−→
L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0

−−−−−−−→
L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma matriz na forma escada
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha reduzida a forma em escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A é linha reduzida à forma
em escada se as seguintes condições são cumpridas:
A esta na forma em escada.
Os pivôs são todos iguais a 1.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos acima do pivô
iguais a zero.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha reduzida a forma em escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A é linha reduzida à forma
em escada se as seguintes condições são cumpridas:
A esta na forma em escada.
Os pivôs são todos iguais a 1.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos acima do pivô
iguais a zero.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha reduzida a forma em escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A é linha reduzida à forma
em escada se as seguintes condições são cumpridas:
A esta na forma em escada.
Os pivôs são todos iguais a 1.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos acima do pivô
iguais a zero.
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Matriz linha reduzida a forma em escada
Seja A uma matriz de ordem m× n. Dizemos que A é linha reduzida à forma
em escada se as seguintes condições são cumpridas:
A esta na forma em escada.
Os pivôs são todos iguais a 1.
A coluna que contém um pivô tem todos os outros termos acima do pivô
iguais a zero.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
1 A matrizes A =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 é linha reduzida à forma em escada
2 A matriz B =
 1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 5 0 0 0 1
 não é linha reduzida à forma
em escada
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
1 A matrizes A =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 é linha reduzida à forma em escada
2 A matriz B =
 1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 5 0 0 0 1
 não é linha reduzida à forma
em escada
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5

−−−−−−−→
L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0

−−−−−−−→
L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0

−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
TeoremaToda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Teorema
Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma em
escada.
Exemplo
B =
 0 1 10 0 0
1 3 5
 −−−−−−−→L2 ←→ L3
 0 1 11 3 5
0 0 0
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 3 50 1 1
0 0 0
 = C
C =
 1 3 50 1 1
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 3L2
 1 0 20 1 1
0 0 0
 = D
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Posto e Nulidade de uma matriz
Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida à forma em escada
linha equivalente a A.
i) O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B.
ii) A nulidade de A é o número n− p.
Observação
Note que o posto de uma matriz A é igual a quantidade pivôs da matriz na
forma em escada linha equivalente A.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Posto e Nulidade de uma matriz
Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida à forma em escada
linha equivalente a A.
i) O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B.
ii) A nulidade de A é o número n− p.
Observação
Note que o posto de uma matriz A é igual a quantidade pivôs da matriz na
forma em escada linha equivalente A.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
A =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Posto de A é p = 3.
Nulidade de A é 3− 3 = 0
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
A =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Posto de A é p = 3.
Nulidade de A é 3− 3 = 0
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
A =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Posto de A é p = 3.
Nulidade de A é 3− 3 = 0
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
B =
 1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 0 0 0 0 0

Posto de B é p = 2.
Nulidade de B é 7− 2 = 5
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
B =
 1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 0 0 0 0 0

Posto de B é p = 2.
Nulidade de B é 7− 2 = 5
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
B =
 1 0 0 2 −5 1 00 0 1 1 3 −1 0
0 0 0 0 0 0 0

Posto de B é p = 2.
Nulidade de B é 7− 2 = 5
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exemplo
Calcule o posto e a nulidade da matriz A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1

Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1

−−−−−−−→
L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1

−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

−−−−−−−−−−→
L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0

−−−−−−−−→
L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ {Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0

⇒
{
Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Solução
A =
 2 −1 31 4 2
1 −5 1
 −−−−−−−→L1 ←→ L2
 1 4 22 −1 3
1 −5 1
 −−−−−−−−−−−→L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1

B =
 1 4 20 −9 −1
0 −9 −1
 −−−−−−−−−−→L3 → L3 − L2
 1 4 20 −9 −1
0 0 0
 −−−−−−−−→L2 → − 19L2
 1 4 20 1 1
9
0 0 0

C =
 1 4 20 1 1
9
0 0 0
 −−−−−−−−−−−→L1 → L1 − 4L2
 1 0 1490 1 1
9
0 0 0
 ⇒ { Posto é p = 2
Nulidade é 3− 2 = 1
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Matriz na Forma em Escada e Posto e Nulidade de Uma Matriz
Exerćıcio
Calcule o posto e a nulidade da matriz A =
 1 2 7 0−1 0 2 1
2 1 0 −1

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