TÓPICO 3 INÉRCIA ROTACIONAL

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TÓPICOS DE FÍSICA 
TÓPICO 3 
 
INÉRCIA 
ROTACIONAL 
Prof. Wagner Antônio da Silva Nunes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inércia Rotacional de um Sistema Discreto de Partículas 
 O caso mais simples de um sistema discreto de partículas é aquele 
formado por uma única partícula de massa �. Considere que que essa partícula 
esteja em rotação em torno de um eixo fixo como indicado abaixo. 
 
A distância da partícula até o eixo vale �. Se a velocidade da partícula vale 
 � = �� 
sua energia cinética devido a essa rotação será: 
� = 12 ��� = 12 ����� = 12 ���. 
Definimos, em analogia ao caso translacional, a inércia de rotação ou inércia 
rotacional da partícula de massa � em rotação em torno de um eixo à grandeza: 
� = ���, 
onde � é a distância entre a partícula e o eixo de rotação. A unidade de medida 
da inércia rotacional no S.I. é o ��. ��. 
 Observe que a inércia rotacional não é uma propriedade da partícula, visto 
que assume diferentes valores se mudarmos o eixo de rotação. Devemos ter 
sempre em mente que ao calcularmos a inércia rotacional de um corpo ela será 
relativa a algum eixo em relaç 
 Para � partículas em rotação em torno de um mesmo eixo teremos: 
� = �� + �� + ⋯ + �� = � ��������� 
Inércia Rotacional de um Sistema Contínuo de Partículas 
 Usamos aqui o mesmo procedimento usado para determinar o centro de 
massa de uma distribuição contínua de massa. Fazemos a divisão do corpo em 
pedaços pequenos cuja massa é ��� para a porção � e fazemos a somatória da 
inércia rotacional de cada um deles. A seguir tomamos o limite quando ��� → 0. 
� = lim !"→# � ������ = $ ��%�
�
��� 
 
Exercício: Um objeto consiste de quatro partículas de massa � unidas mediante hastes 
sem massa que formam um retângulo de lados 2� & 2'. O sistema gira ao redor de um 
eixo situado no plano da figura, passando pelo centro. Calcular em cada caso: a) A 
inércia rotacional do sistema; b) A energia cinética de rotação. 
 
Solução: (a) 
�� = � ��������� = 4��� 
�� = � ��������� = 2�)2�*� = 8��� 
(b) 
�� = 12 ���� = 2����� 
�� = 12 ���� = 4�����. 
Exemplo: Determinar o momento de inércia de uma barra de densidade linear de massa , uniforme (comprimento - e massa .) ao redor de um eixo de rotação perpendicular 
a barra que passa por um dos seus extremos. 
Solução: 
/ = %�%0 → %� = /%0 
$ %�1# = / $ %0
2
# → . = /- 
� = $ 0�%� = $ 0� .- %0 =2# .- 0
33 5#
2
= .-�3 
Exemplo: Uma barra de massa . e comprimento -, bobre o eixo 0 tem um extremo na 
origem. Calcular o momento de inércia a resposta do eixo 67, que é paralela ao eixo 6 
que passa pelo centro da barra. 
Solução: 
� = $ 0�%� = $ 0� .- %0 =2/�92/� .- 0
33 592/�
2/�
= 2. .-�24 = .-�12 
Teorema dos Eixos Paralelos 
 Vamos ver agora mais uma utilidade do conceito de centro de massa. Ela aparece 
num teorema importante na dinâmica da rotação chamado de Teorema dos Eixos 
Paralelos ou Teorema de Steiner. 
 Podemos determinar a inércia rotacional (também chamado de momento de 
inércia) de um corpo em relação a um eixo se conhecemos a inércia rotacional do 
mesmo corpo em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa. O teorema é 
enunciado da seguinte forma: 
“O momento de inércia de um corpo em relação a qualquer eixo é igual à soma do 
momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao 
primeiro e que passe pelo centro de massa (CM) e o produto 
da massa total . do corpo pela distância : entre os eixos 
ao quadrado, 
� = �;! + .:�". 
Exemplo: Use o teorema dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia de 
uma barra de densidade linear de massa , uniforme (comprimento - e massa .) ao 
redor de um eixo de rotação perpendicular a barra que passa por um dos seus extremos. 
Sabe-se que a inércia rotacional da barra em torno do centro de massa vale 
�;! = .-�12 . 
Solução: 
� = �;! + .:� = .-�12 + . =-2>
� = .-�12 + .-�4 = .-�3 . 
Exemplo: Determine o momento de inércia de um anel de densidade linear de massa , 
(raio ? e massa .) ao redor de um eixo de rotação 
perpendicular ao plano do anel e que passa por seu 
centro. 
Solução: 
� = $ ��%� = .?�. 
Exemplo: Determine o momento de inércia de um disco de densidade superficial de 
massa @ (raio ? e massa .) ao redor de um 
eixo de rotação perpendicular ao plano do 
disco e que passa por seu centro. 
Solução: 
%� = ��%� 
@ = %�%A → %� = @2B�%� 
� = $ ��@2B�%� =C# @2B $ �3%� = @2B ?
D4C# )�* 
%� = @2B�%� → $ %�1# = @2B $ �%�
C
# → . = @2B ?
�2 ∴ @ = .B?� )'* 
Substituindo (b) em (a): 
 � = .B?� 2B ?D4 = .?�2 . 
Exemplo: Determinar o momento de inércia de um cilindro maciço de densidade 
volumétrica de massa F (raio ? e massa .) ao redor de um eixo 
de rotação perpendicular ao plano do disco y que passa pelo seu 
centro. 
Solução: 
%� = %�?�2 = FB?�%G?�2 = FB?D%G2 
� = $ FB?D%G2 = FB?DH2IJ 
F = %�%K → %� = F%K ∴ . = FB?�H → F = .B?�H 
� = $ FB?D%G2 = .B?�H B?DH2 = .?�2 .IJ 
Movimento Combinado de Rotação e Translação 
 Vamos considerar agora o caso em que o eixo de rotação se desloca no 
espaço mantendo sua direção fixa. Este é o caso do movimento plano geral que 
sempre pode ser considerado como a soma dos movimentos de rotação + 
translação. A figura abaixo ilustra o que queremos dizer: 
 O deslocamento dos pontos L� & M� para L� & M�, pode ser dividido em 
duas partes: 
1. translação de L� para L� e de M� para M�7 ; 
2. rotação de M�7 para M�, em torno de L�. 
 
 Se o corpo rígido translada seu centro de massa terá uma velocidade �⃗;! 
e momento total PQ⃗ = .�⃗;!, onde . é a massa total do corpo rígido. Um 
observador, localizado no centro de massa, verá o centro de massa em repouso 
e perceberá apenas a rotação. Para esse observador a equação básica da 
dinâmica rotacional R = �S ainda será válida desde que: 
1. o eixo de rotação passa pelo centro de massa e, 
2. a direção do eixo seja fixa. 
 A energia cinética do corpo é a soma das energias cinéticas de rotação 
(em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa) e a energia cinética de 
translação: 
� = �TUVWçãU + �VTWZ[\WçãU 
� = 12 �;!�� + 12 .�;!� . 
Em princípio as energias cinéticas de rotação e translação constituem dois 
termos completamente independentes, pois, podemos atribuir qualquer energia 
cinética de rotação para uma dada energia cinética de translação. Um caso 
importante em que esses termos não são mais independentes é o rolamento de 
um corpo sobre uma superfície sem deslizamento, que passamos a analisar 
agora. 
Rolamento sem Deslizamento 
 Consideremos o caso do rolamento sem deslizamento. Este é um caso de 
movimento combinado de translação + rotação onde não existe movimento 
relativo entre o ponto de contato entre o corpo e a superfície. 
 
A fig. (a) acima mostra o caso da translação pura com o corpo se movendo 
para a direita. Todos os pontos do corpo (como por exemplo os pontos M, ] e ^) 
se movem com a mesma velocidade do centro de massa. 
A fig.(b) expressa a rotação pura do corpo rígido em torno do ponto ] com 
as velocidades dos pontos da periferia do corpo igual a �? (pontos M & ^). 
 Em (c) vemos a superposição desses dois movimentos de translação e 
rotação. A velocidade de cada ponto é a soma vetorial das velocidades de 
rotação e translação, como se cada uma existisse separadamente. Veja que o 
ponto de contato B possui uma velocidade instantânea dada por: 
�_ = �;! − �?. 
Se quisermos que o rolamento ocorra sem deslizamento devemos impor 
que �_ = 0. Desta imposição vemos que agora as velocidades de rotação e de 
translação estão conectadas, isto é: 
�;! = �? 
Agora a energia cinética do corpo não é mais formada por dois termos 
independentes: 
� = 12 �;!�� + 12 .�;!� = 12 �;!�� + 12 .��?� = 12 ��)�;! + .?�* 
ou 
� = 12 �;!�� + 12 .�;!� = � = 12 �;! �;!�?� + 12 .�;!� = 12 �;!� =�;!?� + .>. 
Centro Instantâneo de Rotação 
Quando impusemos a condição de que a velocidade do ponto M era nula, 
todos os outros pontos do corpo, quando vistos por um observador situado noponto M, parecem apenas girar em torno desse ponto. Isto nos define o chamado 
centro instantâneo de rotação. Em relação ao centro instantâneo as velocidades 
dos pontos são calculadas usando a expressão: 
� = �%, 
onde % é a distância do ponto ao centro instantâneo de rotação. Por exemplo, 
para o ponto ^ teremos: 
�a = �%a = �)2?*. 
Para o ponto ] %b = ? e �b = �?. Para o ponto M %_ = 0 e �_ = 0 como 
esperado. Para o ponto ̂ , %a = 2? e �a = 2�?. Para o ponto c, %d = ?√2 e �a =�?√2. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um cilindro sólido de massa . e raio ? inicia o seu movimento do 
repouso e rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado de comprimento - e altura ℎ. Encontre a velocidade do seu centro de massa quando o cilindro 
atinge a base do plano. 
 
Solução: Como o rolamento plano abaixo é sem deslizamento vamos aplicar a 
conservação da energia mecânica: 
gVUhU = giW[j 
�VUhU + cVUhU = �iW[j + ciW[j 
0 + .�ℎ = 12 �;!� =�;!?� + .> + 0. 
.�ℎ = 12 �;!� k
.?�2?� + .l → .�ℎ = 12 �;!� 3.2 
�;! = 2m�ℎ3 = 2m�-n&op3 .