SebentaAnalise_Matematica I

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Área Científica de Matemática
Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Instituto Politécnico de Viseu
Análise Matemática I
Apontamentos Teóricos e Exercícios Práticos
Engenharia
(Ambiente, Civil, Eletrotécnica, Gestão Industrial, Mecânica)
Ana Seabra
Cecília Agostinho
Maria Cristina Peixoto Matos
Márcio Nascimento
2013/2014
2
Índice
1 Funções reais de variável real 8
1.1 Breves noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Noção de vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Ponto interior, ponto exterior e ponto fronteiro . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Ponto de acumulação. Conjunto derivado e aderência . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Arco cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Limites notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.5 Continuidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.6 Teoremas sobre funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Derivadas e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1 Definição de derivada e sua interpretação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.2 Função derivada. Regras práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.3 Diferencial de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.4 Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função . . . . . . . . . 40
1.4.5 Concavidade e segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.6 Regra de Cauchy. Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . 45
1.5.3 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.4 Derivadas e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Cálculo integral em R 54
2.1 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.1 Propriedades dos integrais indefinidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
2.1.3 Primitivas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.4 Primitivas de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.5 Primitivas de potências de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.6 Primitivas por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1 Primeiro teorema fundamental do cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.2 Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.3 Segundo teorema fundamental do cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.4 Aplicações do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3 Integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.1 Integral impróprio de 1a espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3.2 Integral impróprio de 2a espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.3 Aplicações do integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.1 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.2 Aplicações do integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4.3 Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4.4 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4.5 Aplicações do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.4.6 Integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.4.7 Aplicações do integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Cónicas no plano, superfícies no espaço e funções de várias variáveis 106
3.1 Cónicas e superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.1 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.2 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.1 Definição e domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.2 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.3 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.4 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.5 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.1 Cónicas e superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.2 Funções de várias variáveis e domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.3 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3.4 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.5 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.3.6 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4
4 Integrais múltiplos 154
4.1 Sistemas de coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2 Sistemas de coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.2 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3 Integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.1 Volume de uma região sólida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.2 Integral duplo em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3.3 Integral duplo em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3.4 Aplicações do integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4 Integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.4.1 Integral triplo em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.4.2 Mudança de coordenadas no integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4.3 Aplicação dos integrais triplos ao cálculo de volumes de sólidos . . . . . . . 179
4.5 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 182
4.5.1 Sistemas de coordenadas em R2 e em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.5.2 Integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.5.3 Integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A Soluções 191
A.1 Funções reais de variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.1.1 Noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.1.2 Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . 192
A.1.3 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.1.4 Derivadas e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.2 Cálculo integral em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.1 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.2 Aplicações do integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.2.3 Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.2.4 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.2.5 Aplicações do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2.6 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2.7 Aplicações dos integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.3 Cónicas no plano, superfícies no espaço e funções de várias variáveis . . . . . . . . 204
A.3.1 Cónicas e superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.3.2 Funções de várias variáveis e domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.3.3 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.3.4 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.3.5 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.3.6 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.4 Integrais múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.4.1 Sistemas de coordenadas em R2 e em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5
A.4.2 Integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.4.3 Integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
B Formulário 215
B.1 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.2 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
B.3 Geometria analítica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.4 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.5 Limites notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.6 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.8 Regras de diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.9 Regras de primitivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.10 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.11 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
B.12 Cálculo diferencial em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.13 Cálculo integral em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6
7
Capítulo 1
Funções reais de variável real
Neste capítulo temos como objetivo fazer uma breve revisão e alargar alguns conceitos lecionados
anteriormente.
Na secção 1.1 estudar-se-ão algumas noções topológicas, bem como conceitos necessários para
o desenvolvimento dos conteúdos das unidades curriculares de Análise Matemática I e Análise
Matemática II.
As funções trigonométricas, já estudadas anteriormente, serão novamente abordadas na secção 1.2
em conjunto com as suas funções inversas. Na secção 1.3 relembrar-se-ão os conceitos de limite
e continuidade de funções reais de variável real, o estudo e aplicação de propriedades relativas à
continuidade de funções, tais como o Teorema de Bolzano e o seu Corolário e o Teorema de Weier-
strass. Estes resultados permitem justificar a existência, ou não, de zeros, máximos e mínimos,
de uma função num intervalo. Dar-se-á particular atenção ao estudo de limites e continuidade
das funções circulares. Por último, na secção 1.4 iremos recordar a noção de derivada de uma
função num ponto, regras de derivação e intervalos de monotonia. Finalmente, para levantamentos
de indeterminações, estudaremos regras práticas, entre as quais, a regra de Cauchy que é muito
importante.
1.1 Breves noções topológicas
Temos como principal objetivo nesta secção estudar as noções de vizinhança, ponto interior, ponto
exterior, ponto fronteiro, ponto de acumulação e ponto isolado.
Quando consideramos vários subconjuntos de R, não vazios, constatamos que os números reais
não se posicionam da mesma forma relativamente aos conjuntos. Por exemplo, relativamente ao
conjunto A =]2, 7] ∪ {8}, podemos afirmar que 2 6∈ A, 7 ∈ A e 8 ∈ A.
Surgem assim as noções topológicas.
8
1.1.1 Noção de vizinhança
Definição 1.1. Seja a ∈ R e δ ∈ R, chama-se vizinhança de centro a e raio δ, designadamente
Vδ(a) ou V(a; δ), ao conjunto,
Vδ(a) = {x ∈ R : |x− a| < δ} =]a − δ, a + δ[.
Exemplo 1.2. Calcule V0,2(2).
Resolução:
V0,2(2) = {x ∈ R : |x− 2| < 0, 2} =]1, 8; 2, 2[
1.1.2 Ponto interior, ponto exterior e ponto fronteiro
Se considerarmos o conjunto A =]2, 7]∪ {8}, e pretendermos determinar as seguintes vizinhanças
V0,5(2), V0,5(4), V0,5(8)
será possível estabelecer uma relação entre as vizinhanças e o conjunto A?
Podemos observar que
V0,5(2) 6⊂ A, pois 1, 9 ∈ V0,5(2) ∧ 1, 9 6∈ A;
V0,5(4) ⊂ A, pois ∀x : x ∈ V0,5(4)⇒ x ∈ A;
V0,5(8) 6⊂ A, pois 7, 8 ∈ V0,5(8) ∧ 7, 8 6∈ A.
Então dizemos que 2 e 8 não são pontos interiores do conjunto A e 4 é um ponto interior do
conjunto A.
Do exposto, surge a seguinte questão:
Quais os números reais que são pontos interiores do conjunto A?
Definição 1.3. Seja A ⊂ R, A 6= ∅, a é ponto interior de A se e só se existe pelo menos uma
vizinhança de a contida em A.
O conjunto de todos os pontos interiores de A chama-se interior de A e representa-se por int(A)
ou
◦
A.
9
Exemplo 1.4. Determine o interior de cada um dos seguintes subconjuntos de R:
(a) A =]2, 7] ∪ {8} (b) {x ∈ R : |x+ 1| ≤ 3}
Resolução:
(a) Como vimos pela análise anterior ao conjunto A podemos afirmar que int A =]2, 7[.
(b) Em primeiro lugar teremos que definir o conjunto B sob a forma de intervalos de números
reais.
Ora, |x+ 1| ≤ 3⇔ −3 ≤ x+ 1 ≤ 3⇔ −4 ≤ x ≤ 2 então B = [−4, 2].
Logo, int(B) =]− 4, 2[.
Da definição de interior de um conjunto surgem as seguintes definições:
Definição 1.5. Seja A ⊂ R, A 6= ∅.
A é um conjunto aberto se e só se A = int(A).
A diz-se um conjunto fechado se e só se o seu complementar é um conjunto aberto ( i.e. A é
fechado sse R \ A é aberto).
Um ponto b diz-se ponto exterior de A se e só se é interior do complementar de A.
O conjunto de todos os pontos exteriores de A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A).
Exemplo 1.6. Indique o interior, o complementar e o exterior de cada um dos seguintes conjuntos
e diga quais os que são abertos ou fechados.
(a) A = {−1} ∪ [3,+∞[ (b) B = {x ∈ R : x2 − 4 < 0} (c) C = {−1, 3} ∪ [0, 2]
Resolução:
(a) Ora,
int(A) =]3,+∞[
complementar de A : R\A =]−∞,−1[ ∪ ]− 1, 3[
exterior de A : ext(A) = int(R\A) =]−∞,−1[ ∪ ]− 1, 3[ = R\A.
Então A é um conjunto fechado.
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(b) Para podermos responder ao pretendido temos, em primeiro lugar, que definir B sob a formade intervalos de números reais, i.e., temos de resolver a inequação x2 − 4 < 0. Uma vez
que a inequação é do segundo grau, e o segundo membro é igual a zero, vamos determinar
as raízes do polinómio do primeiro membro.
Ora, x2 − 4 = 0⇒ x2 = 4⇒ x = ±2 então B =]− 2, 2[.
Assim,
interior: int(B) =]− 2, 2[= B, logo B é um conjunto aberto
complementar: R\B =]−∞, −2] ∪ [2, +∞[
exterior: ext = int(R\B) = int (]−∞, −2] ∪ [2, +∞[) =]−∞, −2[ ∪ ]2, +∞[
(c) int(C) =]0, 2[
complementar de C : R\C =]−∞, −1[ ∪ ]− 1, 0[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, +∞[
exterior de C : ext(C) = int(R\C) =]−∞, −1[ ∪ ]− 1, 0[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, +∞[
Logo C é um conjunto fechado.
Observação 1.7. O interior e o exterior de um conjunto é sempre um conjunto aberto.
Consideremos novamente o conjunto A =]2, 7] ∪ {8}. Já vimos que int(A) =]2, 7[, e que o
ext(A) =]−∞, 2[ ∪ ]7, 8[ ∪ ]8, +∞[. Podemos observar que 2, 7 e 8 não pertencem ao interior
nem ao exterior do conjunto A, por isso são chamados de pontos fronteiros.
Definição 1.8. Diz-se que c é um ponto fronteiro do conjunto A se e só se não é ponto interior
nem ponto exterior de A.
O conjunto dos pontos fronteiros de A chama-se fronteira de A e designa-se por fr(A).
Observação 1.9. Face a estas definições podemos afirmar que R = int(A)∪ext(A)∪ fr(A), sendo
A um subconjunto qualquer de R.
Exercício 1.10. Determine a fronteira dos conjuntos definidos no exemplo 1.6.
11
1.1.3 Ponto de acumulação. Conjunto derivado e aderência
Definição 1.11. Um número real c diz-se ponto de acumulação do conjunto A se e só se em
qualquer vizinhança de c existe pelo menos um elemento de A diferente de c.
O conjunto de todos os pontos de acumulação de A chama-se derivado de A e representa-se por
A′.
Os elementos de um conjunto que não são pontos de acumulação chamam-se pontos isolados.
Exemplo 1.12. Indique o conjunto derivado e o conjunto dos pontos isolados, caso existam, dos
conjuntos referidos no exemplo 1.6.
Resolução:
(a) Como A′ = [3, +∞[ e − 1 ∈ A e − 1 6∈ A′ então −1 é ponto isolado.
(b) Como B′ = [−2, 2] então B não tem pontos isolados.
(c) C ′ = [0, 2] e como {−1, 3} ⊂ C e {−1, 3} 6⊂ C ′ então {−1, 3} é o conjunto dos pontos
isolados.
Definição 1.13. À reunião do conjunto A com o seu derivado chama-se aderência de A e
representa-se por A (i.e., A = A ∪ A′).
Observação 1.14. Também se pode definir aderência de um conjunto como a reunião do seu
interior com a sua fronteira.
Se A = A o conjunto A diz-se fechado (outra forma de definir conjunto fechado).
Definição 1.15. Um conjunto A diz-se compacto se e só se for limitado e fechado.
Exercício 1.16.
(a) Determine o interior, a fronteira, o exterior, os pontos de acumulação e os pontos isolados
dos seguintes conjuntos:
A =]− 5, 0] ∪ {2, 3}, B = [−1, 2] ∪ [5, 8],
C = {x ∈ R : x2 < 3− 2x} , D =
{
x ∈ R : x
2 + 1
2− x ≥ 2
}
12
(b) Dos conjuntos definidos na alínea anterior, indique os que são abertos, os que são fechados
e os que são compactos
1.2 Funções trigonométricas e funções trigonométricas in-
versas
Temos como objetivo nesta secção estudar as funções trigonométricas inversas. Em matemática,
o termo inversa é usado para descrever funções que são “reversas” uma das outras, no sentido
de que cada uma desfaz o efeito da outra. Portanto pretendemos estudar as funções inversas
da função seno, cosseno, e tangente. Mas, como sabemos, estas funções trigonométricas não são
injetivas, logo não admitem inversa. Para as podermos estudar é necessário, em qualquer dos
casos, considerar restrições destas funções que sejam injetivas.
1.2.1 Arco seno
Consideremos a função
sin : R −→ R
x −→ sin x
Cujo gráfico tem a seguinte forma:
Da observação do gráfico concluímos que esta função tem domínio D = R, e o contradomínio é
CD = [−1, 1], é uma função contínua, limitada, periódica, de período positivo mínimo 2π, e não
é injetiva, ou seja não admite inversa. No entanto, podemos afirmar que esta função é injetiva nos
intervalos [
−π
2
,
π
2
]
;
[
π
2
,
3
2
π
]
; · · · ;
[
−π
2
+ kπ,
π
2
+ kπ
]
, k ∈ Z.
Assim, podemos definir uma nova função à custa da anterior que seja injetiva, para podermos
definir a sua inversa.
13
Definição 1.17. Chama-se restrição principal da função seno à função f , de domínio
[
−π
2
,
π
2
]
tal que
f :
[
−π
2
,
π
2
]
−→ [−1, 1]
x −→ sin x
Cuja representação gráfica é a seguinte:
Observação 1.18. Podemos afirmar que f é uma função injetiva, portanto admite inversa, com
Df−1 = [−1, 1], CDf−1 =
[
−π
2
,
π
2
]
e a cada valor de x faz corresponder o ângulo (ou arco) cujo
seno é x.
Graficamente podemos observar que a função f é monótona crescente.
Definição 1.19. Chama-se função arco seno função inversa da função f , tal que,
f−1 : [−1, 1] −→
[
−π
2
,
π
2
]
x −→ arcsin x
tem-se então
y = sin x, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
⇔ x = arcsin y
Cuja representação gráfica é a seguinte:
14
Observação 1.20. Podemos observar que f e f−1 são funções contínuas crescentes tais que:
arcsin(sin x) = x, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
; sin(arcsin x) = x, x ∈ [−1, 1]
Exemplo 1.21. Calcule:
(a) arcsin
(√
2
2
)
(b) arcsin
(
−
√
3
2
)
(c) cos
[
arcsin
(
3
5
)]
Resolução:
(a) arcsin
(√
2
2
)
=
π
4
(b) Se fizermos arcsin
(
−
√
3
2
)
= x então podemos afirmar que sin x = −
√
3
2
, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
Como sin x < 0 ∧ x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
⇒ x ∈
[
−π
2
, 0
]
, logo x = −π
3
.
Assim, arcsin
(
−
√
3
2
)
= −π
3
.
(c) Seja arcsin
(
3
5
)
= x⇒ sin x = 3
5
, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
.
Assim, cos
[
arcsin
(
3
5
)]
= cosx, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
.
Como sin2 x + cos2 x = 1 ∧ sin x = 3
5
, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
,
então
(
3
5
)2
+ cos2 x = 1, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
⇒ cosx = ± 4
5
, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
⇒ cos x = 4
5
.
Pelo que, cos
[
arcsin
(
3
5
)]
=
4
5
.
15
Exemplo 1.22. Considere a seguinte função real de variável real tal que f(x) = arcsin
(
3x− 1
2
)
.
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
(b) Defina a função inversa da função dada.
Resolução:
(a) Domínio da função:
Df =
{
x ∈ R : −1 ≤ 3x− 1
2
≤ 1
}
=
[
−1
3
, 1
]
, pois
−1 ≤ 3x− 1
2
≤ 1 ⇔ −2 ≤ 3x− 1 ≤ 2 ⇔ −1
3
≤ x ≤ 1
Contradomínio da função:
CDf =
[
−π
2
,
π
2
]
, pois
−π
2
≤ arcsin
(
3x− 1
2
)
≤ π
2
(b) Ora,
y = arcsin
(
3x− 1
2
)
⇒ 3x− 1
2
= sin y ⇒ x = 1 + 2 sin y
3
Assim,
f−1 :
[
−π
2
,
π
2
]
−→
[
−1
3
, 1
]
x 7−→ 1 + 2 sin x
3
1.2.2 Arco cosseno
Consideremos a função
cos : R −→ R
x −→ cos x
que tem a seguinte representação gráfica:
16
Podemos observar que esta função tem domínio R, contradomínio [−1, 1], é uma função
contínua, limitada, periódica de período positivo mínimo 2π e não é injetiva, ou seja não admite
inversa. No entanto, podemos afirmar que esta função é injetiva nos intervalos:
[−π, 0], [0, π], · · · , [kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Definição 1.23. Chama-se restrição principal da função cosseno à função g, de domínio [0, π]
tal que,
g : [0, π] −→ [−1, 1]
x −→ cosx
Cuja representação gráfica é a seguinte:
Observação 1.24. Graficamente podemos observar que a função g é monótona decrescente.
Definição 1.25. Chama-se função arco cosseno à função inversa da função g, tal que,
g−1 : [−1, 1] −→ [0, π]
x −→ arccosx
Cuja representação gráfica é a seguinte:
17
Observação 1.26. Podemos observar que as funções g e g−1 são funções contínuas limitadas e
são também funções decrescentes.
arccos(cosx) = x, x ∈ [0, π], cos(arccosx) = x, x ∈ [−1, 1]
Exemplo 1.27.
(a) Calcule:
i. sin
[
arccos
(
4
5
)]
ii. tg (arccosx)
(b) Seja f(x) = 3π − arccos (x2)
i. Indique o domínio, o contradomínio e os zeros de f , caso existam.
ii. Caracterize, caso exista, a função inversa de f .
Resolução:
(a) i. sin
[
arccos
(
4
5
)]
:
Seja arccos
(
4
5
)
= x ⇒ cosx = 4
5
, x ∈ [0, π].
Como sin2 x+ cos2 x = 1 ∧ cos x = 4
5
, x ∈ [0, π] ⇒ sin x = 3
5
.
Assim, sin
[
arccos
(
4
5
)]
=
3
5
.
18
ii. tg (arccosx):
Se arccos x = a ⇒ cos a = x, a ∈ [0, π].
Atendendo a que:
• sin2 a + cos2 a = 1 ∧ cos a = x, a ∈ [0, π] ⇒ sin a =
√
1 −x2.
• tg (arccos x) = tg a = sin a
cos a
Então, tg (arccos x) =
√
1 − x2
x
, x ∈ [−1, 1]\{0}.
(b) f(x) = 3π − arccos (x2)
i. Domínio da função: Df = {x ∈ R : −1 ≤ x2 ≤ 1} = [−1, 1]
Contradomínio da função: CDf =
[
5
2
π, 3π
]
, pois
• 0 ≤ arccos (x2) ≤ π
• x2 ≥ 0 ⇒ arccos(x2) ≤ arccos(0) = π
2︸ ︷︷ ︸
Arco cosseno função decrescente
Por conseguinte, 0 ≤ arccos (x2) ≤ π
2
, donde
−π
2
≤ − arccos
(
x2
)
≤ 0 ⇒ 3π −π
2
≤ 3π−arccos
(
x2
)
≤ 3π ⇒ 5
2
π ≤ f(x) ≤ 3π.
Zeros de f : A função f não tem zeros uma vez que 0 6∈ CDf .
ii. Função inversa de f :
A função f não admite inversa uma vez que não é injetiva.
1.2.3 Arco tangente
Consideremos a função
tg : R\
{
x ∈ R : x = π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
−→ R
x −→ tg x
19
que tem a seguinte representação gráfica:
Podemos observar que esta função tem domínio Dtg = R\
{
x ∈ R : x = π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
, con-
tradomínio CDtg = R, é uma função contínua, periódica de período positivo mínimo π e não é
injetiva, ou seja não admite inversa. No entanto, podemos afirmar que esta função é injetiva nos
intervalos: ]
−π
2
,
π
2
[
,
]
π
2
,
3π
2
[
, · · · ,
]
−π
2
+ kπ,
π
2
+ kπ
[
, k ∈ Z.
Então definimos a restrição principal da função tangente da seguinte forma:
Definição 1.28. Chama-se restrição principal da função tangente à função h, de domínio
]
−π
2
,
π
2
[
, tal que,
h :
]
−π
2
,
π
2
[
−→ R
x −→ tg x
Cuja representação gráfica é a seguinte:
20
Uma vez que a função h é uma função injetiva, já podemos definir a sua inversa.
Definição 1.29. Chama-se função arco tangente à função inversa da função h, tal que,
h−1 : R −→
]
−π
2
,
π
2
[
x −→ arctg x
Cuja representação gráfica é a seguinte:
Observação 1.30. Podemos observar que as funções h e h−1 são funções contínuas crescentes e
que
arctg(tg x) = x, x ∈
]
−π
2
,
π
2
[
; tg(arctg x) = x, x ∈ R;
lim
x→−π
2
+
tg x = −∞; lim
x→π
2
−
tg x = +∞
lim
x→−∞
arctg x = −π
2
; lim
x→+∞
arctg x =
π
2
.
Exemplo 1.31. Considere a função real de variável real g definida da seguinte forma:
g(x) = π + arctg
(
1
x
)
.
(a) Determine o domínio e o contradomínio de g.
(b) Caracterize a função inversa de g.
Resolução:
(a) Domínio da função: Dg = {x ∈ R : x 6= 0} = R\{0}
Contradomínio da função:
Sabemos que −π
2
< arctg
(
1
x
)
<
π
2
, mas também sabemos que
1
x
6= 0 o que faz com
que arctg
(
1
x
)
6= 0. Então CDg =
]
−π
2
,
π
2
[
\{0}.
21
(b) Ora,
y = π+arctg
(
1
x
)
⇒ y−π = arctg
(
1
x
)
⇒ 1
x
= tg( y−π) ⇒ x = 1
tg(y − π) =
1
tg y
Assim,
g−1 : R\{0} −→
]
−π
2
,
π
2
[
\{0}
x 7−→ 1
tg x
1.3 Limites e continuidade
Após o estudo das noções topológicas e das funções inversas das funções trigonométricas, vamos
estudar o comportamento das funções na vizinhança de determinados pontos. Este estudo leva-nos
assim, a duas noções, a de limite de uma função num ponto e a de função contínua num ponto.
1.3.1 Limites
Consideremos a função f definida em R por
f(x) =
{
x+ 2 se x ≥ 1
x− 1 se x < 1
e o ponto de abcissa 2, que é um ponto de acumulação do seu domínio.
1
−3
x
y
Observando o gráfico da função, verifica-se que, quando x se “aproxima” de 2 quer por valores
inferiores, quer por valores superiores, os valores de f(x) aproximam-se de 4.
22
Em linguagem simbólica representa-se da seguinte forma:
x → 2⇒ f(x) → 4.
Esta ideia intuitiva traduz-se no seguinte:
“ o limite de f(x) quando x tende para 2 é 4 ”
e escreve-se na forma
lim
x→2
f(x) = 4
Estudando agora, ainda a partir do gráfico, o comportamento da função quando x se “aproxima”
de 1. Esta aproximação pode fazer-se por valores de x:
• todos superiores a 1, os valores de f(x) “aproximam-se” de 3;
• todos inferiores a 1, os valores de f(x) “aproximam-se” de 0;
• alternadamente por valores superiores ou inferiores a 1, os valores de f(x) não se “aproximam”
de qualquer valor.
Portanto, podemos concluir que, quando os valores de x se “aproximam” de 1, os valores de f(x)
não se “aproximam” do mesmo valor. Ou seja, não existe limite de f(x) quando x tende para 1.
Esta noção intuitiva de limite fica estabelecida com rigor quando estabelecemos a seguinte definição:
Definição 1.32. Limite de uma função num ponto (segundo Heine)
Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio de f .
Diz-se que f(x) tende para b, quando x tende para a e escreve-se
lim
x→a
f(x) = b
se e só se, a toda a sucessão de valores de x ∈ Df convergente para a, com todos os termos da
sucessão diferentes de a, corresponde uma sucessão de imagens por f convergente para b.
Simbolicamente:
lim
x→a
f(x) = b ⇔ ∀(xn)n∈N (xn → a ∧ xn ∈ Df\{a}, ∀n ∈ N) ⇒ f(xn) → b
23
Observação 1.33. Só podemos estudar a existência de limite de uma função num ponto se esse
ponto for ponto de acumulação.
O limite de uma função f(x) quando x se aproxima de a, não depende do valor de f(a). O limite,
se existir, depende apenas dos valores de f , quando x 6= a e x se aproxima de a.
Voltando novamente à função f , a qual não tem lim
x→1
f(x), surgem as seguintes definições:
Definição 1.34. Limites laterais
Diz-se que b1 é limite de f(x) à direita de a e escreve-se
lim
x→a+
f(x) = b1 ou f(a
+) = b1
se e só se, a toda a sucessão de valores de x convergente para a, sendo todos esses valores superiores
a a, corresponde uma sucessão de valores da função tendente para b1. Em linguagem simbólica
traduz-se no seguinte:
lim
x→a+
f(x) = b1 ⇔ ∀(xn)n∈N (xn → a ∧ xn ∈ Df ∧ xn > a, ∀n ∈ N) ⇒ f(xn) → b1
Diz-se que b2 é limite de f(x) à esquerda de a e escreve-se
lim
x→a−
f(x) = b2 ou f(a
−) = b2
se e só se, a toda a sucessão de valores de x convergente para a, sendo todos esses valores inferiores
a a, corresponde uma sucessão de valores da função tendente para b2. Em linguagem simbólica
traduz-se no seguinte:
lim
x→a−
f(x) = b2 ⇔ ∀(xn)n∈N (xn → a ∧ xn ∈ Df ∧ xn < a, ∀n ∈ N) ⇒ f(xn) → b2
Se existirem os limites laterais de uma função f num ponto a, o limite da função no ponto a existe
se e só se os limites laterais são iguais.
Em linguagem simbólica:
lim
x→a
f(x) = b ⇔ lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = b
Se a função f está definida apenas à direita (ou à esquerda) de a, então o valor do limite de f(x),
quando x converge para a, coincide com o limite à direita (ou à esquerda) de a.
24
1.3.2 Propriedades dos limites
Teorema 1.35. Teorema da unicidade de limite
Uma função f não pode convergir simultaneamente para dois limites distintos quando x tende para
a.
Observação 1.36. Propriedades
Limite da função constante:
Se f é a função constante, f(x) = k, então, para qualquer valor de a ∈ R,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
k = k
Limite da função identidade:
Se f é a função identidade, f(x) = x, então, para qualquer valor de a ∈ R,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
x = a
Limites de operações com funções:
Se lim
x→a
f(x) = b e lim
x→a
g(x) = c então,
• Limite de uma soma
lim
x→a
[ f(x) + g(x) ] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x) = b + c.
• Limite de um produto
lim
x→a
[ f(x) × g(x) ] = lim
x→a
f(x) × lim
x→a
g(x) = b × c.
• Limite de um quociente
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
b
c
com c 6= 0,
• Limite de uma potência
lim
x→a
[ f(x) ]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= bn,
• Limite de uma raiz
lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) =
n
√
b,
admitindo, no caso de n ser par, que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ Df
25
Exemplo 1.37. Aplicação das propriedade dos limites
Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→2
4 (b) lim
t→1
(2t2 + 1) (c) lim
x→−1
(x2 − 3x+ 4)2
(d) lim
x→ 1
2
(x2 − 2x)5 (e) lim
x→1
(x− 3)(x+ 9)
2x
(f) lim
x→3
√
x+ 3
x
Resolução:
(a) lim
x→2
4 = 4
(b) lim
t→1
(2t2 + 1) = 2× 12 + 1 = 3
(c) lim
x→−1
(x2 − 3x+ 4)2 =
[
(−1)2 − 3× (−1) + 4
]2
= 64
(d) lim
x→ 1
2
(x2 − 2x)5 =
[(
1
2
)2
− 2× 1
2
]5
=
(
−3
4
)5
(e) lim
x→1
(x− 3)(x+ 9)
2x
=
(1− 3)(1 + 9)
2
= −10
(f) lim
x→3
√
x+ 3
x
=
√
3 + 3
3
=
√
2
1.3.3 Indeterminações
Por vezes, por aplicação direta das propriedades dos limites, somos conduzidos aos símbolos
∞−∞; 0×∞; 0
0; e
∞
∞
que se designam símbolos de indeterminação. Nestes casos, temos de seguir outro percurso
para determinar, se existir, o limite, isto é, “levantar a indeterminação”.
Exemplo 1.38. Calcule:
(a) lim
x→1
x3 − 3x2 + 4x− 2
x2 − 3x+ 2 (b) limx→9
√
x− 3
x− 9 (c) limx→2+
[
x2 − 4
x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
(d) lim
x→−2+
2x
x2 − 4
5
x+ 2
(e) lim
x→−1+
(
1
x2 − 1 +
1
x + 1
)
(f) lim
x→+∞
6x2 + 7x+ 3
8x2 + 6x− 1
26
Resolução:
(a) Vamos calcular o lim
x→1
x3 − 3x2 + 4x− 2
x2 − 3x+ 2
Aplicando diretamente a propriedade do quociente, somos conduzidos a uma indeterminação
do tipo 0
0
, o que mostra que 1 é raiz do numerador e do denominador da fração, isto é, o
numerador e o denominador são divisíveis por x − 1. Vamos então efetuar a divisão de
ambos os polinómios usando a regra de Ruffini:
Numerador Denominador
1 −3 4 −2
1 1 −2 2
1 −2 2 0
1 −3 2
1 1 2
1 −2 0
Então,
lim
x→1
x3 − 3x2 + 4x− 2
x2 − 3x+ 2 = limx→1
(x− 1)(x2 − 2x+ 2)
(x− 1)(x− 2)
Como o limite se calcula quando x→ 1 por valores diferentes de 1, x− 1 6= 0, donde
lim
x→1
x3 − 3x2 + 4x− 2
x2 − 3x+ 2 = limx→1
x2 − 2x+ 2
x− 2 =
1− 2 + 2
1− 2 = −1.
(b) Aplicando as propriedades sobre limites, obtemos uma indeterminação do tipo 0
0
. Multipli-
cando ambos os termos da fração por
√
x + 3, obtemos
lim
x→9
√
x− 3
x− 9 = limx→9
(
√
x− 3)(√x + 3)
(x− 9)(√x + 3) = limx→9
x − 9
(x− 9)(√x + 3) = limx→9
1√
x+ 3
=
1
6
(c) lim
x→2+
[
x2 − 4
x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
Como
lim
x→2+
x2 − 4
x
= 0 ∧ lim
x→2+
3x+ 1
(x− 2)2 = +∞
ao calcular-se o limite do produto, somos conduzidos a uma indeterminação do tipo 0 × ∞.
27
Efetuando a multiplicação indicada obtemos:
lim
x→2+
[
x2 − 4
x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
= lim
x→2+
(x2 − 4)(3x+ 1)
x(x− 2)2 .
Como agora o numerador e o denominador tendem simultaneamente para zero, estamos
perante uma indeterminação do tipo 0
0
, donde
lim
x→2+
[
x2 − 4
x
× 3x+ 1
(x− 2)2
]
= lim
x→2+
(x− 2)(x+ 2)(3x+ 1)
x(x− 2)2
= lim
x→2+
(x+ 2)(3x+ 1)
x(x− 2) =
4× 7
2× 0 = +∞
(d) Pretendemos agora calcular lim
x→−2+
2x
x2 − 4
5
x+ 2
:
Como
lim
x→−2+
2x
x2 − 4 = +∞ ∧ limx→−2+
5
x+ 2
= +∞,
estamos na presença de uma indeterminação do tipo ∞∞ . Efetuando as operações indicadas,
reduz-se a uma indeterminação do tipo 0
0
.
lim
x→−2+
2x
x2 − 4
5
x+ 2
= lim
x→−2+
2x(x+ 2)
5(x2 − 4) =0
0
lim
x→−2+
2x(x+ 2)
5(x− 2)(x+ 2)
= lim
x→−2+
2x
5(x− 2) =
1
5
(e)
lim
x→−1+
(
1
x2 − 1 +
1
x + 1
)
= lim
x→−1+
1 + x− 1
x2 − 1
= lim
x→−1+
x
x2 − 1
=
(−1
0− )
+∞
28
(f) Pretendemos calcular lim
x→+∞
6x2 + 7x+ 3
8x2 + 6x− 1 .
Quando x → +∞(−∞) de um modo geral o limite do quociente de dois polinómios reduz-se
a uma indeterminação do tipo
∞
∞ . Sempre que isso acontecer deverá usar-se a seguinte regra:
O limite de uma função racional, quando x → ±∞, admite o mesmo limite
que o quociente dos monómios de mais alto grau.
Assim,
lim
x→+∞
6x2 + 7x+ 3
8x2 + 6x− 1 = limx→+∞
6x2
8x2
=
6
8
=
3
4
.
1.3.4 Limites notáveis
Alguns limites, por aplicação direta das propriedades dos limites, conduzem a indeterminações,
as quais, podem ser “levantadas” através da análise do gráfico das funções envolvidas. Surgiram
assim os limites notáveis que constam do formulário no anexo B.
Exemplo 1.39. Calcule:
(a) lim
x→0
ex − e5x
2x
; (b) lim
x→+∞
ln(5x)
x
; (c) lim
x→0
sin(2x)
x
; (d) lim
x→0
arctg(πx)
x
Resolução:
(a) lim
x→0
ex − e5x
2x
= lim
x→0
ex(1− e4x)
2x
=
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
lim
x→0
−2ex(e4x − 1)
4x
= (−2)× 1× 1 = −2
(b) lim
x→+∞
ln(5x)
x
=
lim
x→+∞
ln x
x
= 0
lim
x→+∞
[
5× ln(5x)
5x
]
= 5× 0 = 0
(c) lim
x→0
sin(2x)
x
=
lim
x→0
sin x
x
= 1
lim
x→0
[
2× sin(2x)
2x
]
= 2× 1 = 2
(d) lim
x→0
arctg(πx)
x
=
lim
x→0
arctg x
x
= 1
lim
x→0
[
π × arctg(πx)
πx
]
= π × 1 = π.
29
1.3.5 Continuidade de funções
O estudo da continuidade é muito importante para o cálculo, resolução e interpretação de proble-
mas no contexto real.
Consideremos o gráfico de duas funções f e g, reais de variável real, definidas graficamente por,
−1 1
−3
x
y
g
f
De um modo intuitivo, somos levados a afirmar que a função g é contínua, pois desenhamos o seu
gráfico sem ter a necessidade de levantar o lápis do papel. No caso da função f , observamos que o
seu gráfico tem uma interrupção no ponto x = 1. Portanto somos levados a afirmar que a função
f não é continua no ponto x = 1 ou, que x = 1 é ponto de descontinuidade da função f .
Comecemos por relembrar a definição de continuidade num ponto.
Definição 1.40. Seja f uma função real de variável real, e a um ponto de acumulação do domínio
de f.
Diz-se que f é contínua em x = a se e só se lim
x→a
f(x) = f(a).
Diz-se que f é descontínua em x = a se f não é contínua em x = a, isto é, não existe o limite
da função quando x tende para a ou esse limite é diferente do valor da função para x = a.
Observação 1.41. Não faz sentido estudar a continuidade em pontos que não pertencem ao
domínio de uma função.
Exemplo 1.42. Estude a continuidade das seguintes funções no ponto x = 1.
(a) f(x) =
{
x− 1 se x ≥ 1
x2 − 1 se x < 1 ; (b) g(x) =
1
x− 1
30
Resolução:
(a) f(x) =
{
x − 1 se x ≥ 1
x2 − 1 se x < 1 :
• 1 ∈ Df = R;
• A função f é definida por ramos, e como para valores à direita e à esquerda de 1 é
definida por expressões diferentes, vamos ter que calcular os limites laterais de f nesse
ponto.
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x − 1) = 0 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x2 − 1) = 0
Como os limites laterais existem e são iguais então lim
x→1
f(x) = 0.
• Será que lim
x→1
f(x) = f(0)?
Ora f(0) = 0 portanto, lim
x→1
f(x) = f(0).
Conclusão: A função f é contínua para x = 0.
(b) g(x) =
1
x− 1
A função g não é contínua no ponto x = 1, uma vez que 1 /∈ Dg = R\{1}
Definição 1.43. Continuidade lateral
Seja f uma função real de variável real definida pelo menos num intervalo ]a, b [, a 6= b e seja
c ∈]a, b [.
A função f é continua à esquerda de c se e só se lim
x→c−
f(x) = f(c).
A função f é continua à direita de c se e só se lim
x→c+
f(x) = f(c).
Observação 1.44. Se uma função é contínua num ponto c, é continua à esquerda e à direita de
c.
Uma função pode apenas ser contínua à direita (ou à esquerda) de um ponto e ser contínua nesse
ponto. Isso acontece se a função apenas estiver definida à direita (ou à esquerda) desse ponto.
31
Definição 1.45. Se uma função é contínua em todos os pontos do intervalo aberto ]a, b[, é
continua nesse intervalo, isto é, f é de classe C0 em ]a, b[
Uma função é contínua em todos os pontos do intervalo fechado [a, b] se é contínua em ]a, b[,
à direita de a e à esquerda de b, diz-se também que f é de classe C0 em [a, b].
Se uma função é contínua em todos os pontos de acumulação do seu domínio dizemos que a função
é contínua em todo o seu domínio.
As propriedades sobre limites de funções reais de variável real transmitem-se na continuidade das
funções:
Observação 1.46. Propriedades das funções contínuas
• Sendo f e g duas funções contínuas num ponto a pertencente ao Df ∩ Dg e ponto de acu-
mulação de Df ∩ Dg, então
f ± g, f × g, f
g
(g(a) 6= 0)
são funções contínuas no ponto a.
• Se n ∈ N e f é uma função contínua no ponto a, também são contínuas em a as funções
fn, n
√
f,
exceto se n for par e f for negativa em qualquer ponto do seu domínio.
• Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então a função composta gof é contínua em
a.
Observação 1.47. As propriedades expostas anteriormente permitem concluir que:
as funções polinomiais são funções contínuas em R;
as funções racionais são funções contínuas em todos os pontos do domínio.
Exemplo 1.48. Estude a continuidade da função f(x) =
x2 + 3
x− 2 .
Resolução:
Df = R\{2}.
Como se trata de uma função racional, isto é, do quociente de duas funções polinomiais,
podemos garantir que a função f é contínua em todos os pontos do seu domínio.
32
1.3.6 Teoremas sobre funções contínuas
As funções contínuas num intervalo fechados têm algumas propriedades que são bastantes úteis
para localizar zerosde uma função num intervalo.
Teorema 1.49. Teorema de Bolzano - Cauchy ou Teorema dos valores intermédios
Seja f uma função real de variável real continua em [a, b] e k um número real compreendido entre
f(a) e f(b), então existe um número c, interior ao conjunto ]a, b[ tal que f(x) = k.
Interpretação
Toda a função contínua num intervalo fechado não pode ir, de um valor a outro, sem passar por
todos os valores intermédios.
Corolário 1.50. Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a)×f(b) < 0, então f admite
pelo menos um zero no intervalo [a, b].
Exemplo 1.51. Considere a seguinte função real de variável real g(x) = −5x4 − x+ 1.
(a) Calcule g(−2), g(−1) e g(0).
(b) Conclua que:
∃ x ∈ ]− 2, −1[: g(x) = −50
∃ x ∈ ]− 1, 0[: g(x) = 0
Resolução:
(a) g(−2) = −77, g(−1) = −3 e g(0) = 1.
(b) Sendo g uma função polinomial, logo é contínua em R. Em particular:
- a função é contínua em [−2, −1] e g(−2) < −50 < g(−1). Logo pelo Teorema de
Bolzano podemos afirmar que
∃ x ∈ ]− 2, −1[: g(x) = −50
- a função é contínua em [−1, 0] e g(−1)× g(0) < 0. Podemos concluir, pelo Corolário
do Teorema
∃ x ∈ ]− 1, 0[: g(x) = 0
33
Teorema 1.52. Teorema de Weierstrass
Toda a função contínua num intervalo compacto não vazio, tem nesse intervalo um máximo e um
mínimo.
Exemplo 1.53. Justifique a existência de máximo e de mínimo da função f(x) = x2 − 3x, no
intervalo [0, 4].
Resolução:
Sendo f(x) = x2 − 3x uma função polinomial, portanto, contínua em R e, em particular, no
intervalo [0, 4]. Podemos afirmar, com base no teorema de Weierstrass, que a função admite um
máximo e um mínimo no intervalo [0, 4].
Recorrendo à interpretação gráfica:
10
x
y
f
No intervalo [0, 4]:
- a função tem um mínimo para x =
3
2
sendo f
(
3
2
)
= −9
4
;
- a função tem um máximo para x = 4 sendo f (4) = 4.
1.4 Derivadas e aplicações
Como complemento aos conhecimentos já adquiridos sobre derivação, o conhecimento de que a
derivada de uma função num ponto representa o declive da reta tangente à curva nesse ponto, o
conhecimento das regras práticas sobre derivação: derivada de uma constante, de uma soma, de
um produto, de uma potência, de um quociente, de uma raiz, das funções circulares, da função
exponencial e função logarítmica assim como de uma função composta e da função inversa e, é
altura de referir também as derivadas das funções circulares inversas.
Veremos a seguir algumas aplicações da derivação: propriedades e cálculo de limites. Mas, claro
não deixaremos, contudo, de fazer algumas revisões destes conceitos.
34
1.4.1 Definição de derivada e sua interpretação
Definição 1.54. Seja f uma função real de variável real e a um ponto do seu domínio.
• Chama-se derivada de f no ponto a, e representa-se por f ′(a), a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
Fazendo h = x− a, tem-se
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
• Chama-se derivada à esquerda de f no ponto a representa-se por f ′(a−), a
f ′(a−) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a
• Chama-se derivada à direita de f no ponto a e representa-se por f ′(a+), a
f ′(a+) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a
• Existindo e sendo iguais as derivadas laterais no ponto de abcissa a, então a função é de-
rivável nesse ponto e o valor desta derivada é igual ao valor comum das derivadas laterais
f ′(a) = f ′(a+) = f ′(a−)
Exemplo 1.55. Averigue se a função f definida por
f(x) =
{ −x2 + 1 se x ≤ 1
−2x + 2 se x > 1
tem derivada no ponto x = 1.
Resolução:
Uma vez que a função f é definida, à esquerda e à direita, por expressões diferentes, é necessário
determinar as derivadas laterais.
f ′(1+) = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1+
−2x+ 2− 0
x− 1 = limx→1+
−2(x− 1)
x− 1 = −2
f ′(1−) = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
−x2 + 1− 0
x− 1
= lim
x→1−
−(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1− [−(x+ 1)] = −2
Como f ′(1+) = f ′(1−) = −2, então existe a derivada da função f no ponto x = 1, e tem-se
f ′(1) = −2.
35
Definição 1.56. A taxa média de variação de uma função f num intervalo [a, b] é dada por,
f(b)− f(a)
b− a
A taxa de variação instantânea ou taxa de variação de uma função num ponto x = a é a derivada
da função nesse ponto
Interpretação da derivada de uma função num ponto:
A derivada de uma função num ponto de abcissa a é igual ao declive da reta tangente ao gráfico
da função no ponto (a, f(a)).
Velocidade e aceleração:
• A taxa média de variação do espaço relativamente ao tempo no intervalo [a, b] representa a
velocidade média no intervalo [a, b].
• A taxa de variação do espaço relativamente ao tempo em a representa a velocidade instan-
tânea ou velocidade em a.
• A variação da velocidade relativamente ao tempo é a aceleração.
Definição 1.57. Função derivável e função diferenciável
Uma função diz-se derivável no ponto a se tem derivada (finita ou infinita) em a.
Uma função diz-se diferenciável no ponto a se tem derivada finita nesse ponto.
Uma função diz-se diferenciável num intervalo ]a, b[ quando admite derivada finita em todos
os pontos do intervalo.
Uma função diz-se diferenciável num intervalo [a, b] quando é diferenciável em ]a, b[ , é
diferenciável à esquerda de b (f ′(b) = f ′(b−)) e à direita de a (f ′(a) = f ′(a+)).
Observação 1.58. Propriedades
• Toda a função que admite derivada finita num ponto é contínua nesse ponto.
• Se f não é contínua no ponto de abcissa a então não tem derivada nesse ponto.
36
1.4.2 Função derivada. Regras práticas
Definição 1.59. Função derivada, ou simplesmente derivada de uma função f , é uma
função tal que:
• o domínio é o conjunto de todos os pontos em que f tem derivada finita;
• a cada ponto do seu domínio faz corresponder a derivada da função nesse ponto.
Se f ′ é contínua no intervalo I, diz-se que f é uma função continuamente derivável em I, ou seja
a função f é de classe C1 em I.
As regras práticas de derivação constam do formulário no anexo B.
Exemplo 1.60. Utilizando as regras práticas de derivação, calcule a derivada de cada uma das
seguintes funções:
(a) f(x) = 4x2 +5x− 7 (b) g(x) = (x+3)(x3 +2x) (c) h(x) = 3x+ 1
4x+ 5
(d) m(x) = 3
√
(4x)2
Resolução:
(a) f ′(x) = (4x2 + 5x− 7)′ = (4x2)′ + (5x)′ − (7)′
= 4(x2)′ + 5− 0 = 4× 2x+ 5 = 8x+ 5
(b) g′(x) = [(x+ 3)(x3 + 2x)]′ = (x+ 3)′(x3 + 2x) + (x+ 3)(x3 + 2x)′
= 1(x3 + 2x) + (x+ 3)(3x2 + 2) = x3 + 2x+ 3x3 + 2x+ 9x2 + 6
= 4x3 + 9x2 + 4x+ 6
(c) h′(x) =
(
3x+ 1
4x+ 5
)′
=
(3x+ 1)′(4x+ 5)− (3x+ 1)(4x+ 5)′
(4x+ 5)2
=
3(4x+ 5)− (3x+ 1)× 4
(4x+ 5)2
=
11
(4x+ 5)2
(d) m′(x) =
(
3
√
(4x)2
)′
=
[(4x)2]
′
3 3
√
[(4x)2]3−1
=
2(4x)1(4x)′
3 3
√
(4x)4
=
2× 4x× 4
3× 4x 3
√
4x
=
8
3 3
√
4x
37
Exemplo 1.61. Se y = u3 com u = x2 +1, calcule h′(x), utilizando a regra da derivada da função
composta (regra da cadeia).
Resolução:
Para a função y = u3 com u = x2 + 1 temos
y′(x) = y′[u(x)]× u′(x) = [3u2]u=x2+1 × (x2 + 1)′ = 3(x2 + 1)2 × (2x) = 6x(x2 + 1)2
Definição 1.62. Dada a função f, chama-se derivada de ordem (n + 1) de f e representa-se
por f (n+1), à derivada da derivada de ordem (n) de f, ou seja
f (n+1)(x) =
[
f (n)(x)
]′
, n ∈ N
Exemplo 1.63. Seja h a função real de variável real definida por h(x) =
1
x
.
(a) Defina h′, h′′, h′′′.
(b) Tendo em conta os resultados obtidos na alínea anterior, sugira uma expressão para a
derivada de ordem n da função dada.
Resolução:
(a) h′(x) = − 1
x2
, h′′(x) = −(−1)2x
(x2)2
=
2x
x4
=
2!
x3
, h′′′(x) = −2× 3x
2
(x3)2
= −3!x
2
x6
= − 3!
x4
(b) Observando os resultados da alínea anterior podemos admitir que
h(n)(x) =
(−1)nn!
xn+1
, ∀ x ∈ R\{0}
Exemplo 1.64. Indique a função derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = arccos(5x+ 1)
(b) g(x) = 3x+ arcsin(x3)
Resolução:
(a) f ′(x) = [arccos(5x+ 1)]′ =
−(5x+ 1)′√
1− (5x+ 1)2
=
−5√
1− (5x+ 1)2
(b) g′(x) = [3x+ arcsin(x3)]′ = (3x)′ + [arcsin(x3)]′ = 3 +
(x3)′√
1− (x3)2
= 3 +
3x2√
1− x6
38
1.4.3 Diferencial de uma função
Seja f uma função com derivada finita, no ponto de abcissa a.
Como
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando h é suficientemente pequeno, o quociente
f(a+ h)− f(a)
h
é um valor próximo de f ′(a),e f(a+ h)− f(a) é aproximadamente f ′(a)× h. Por isso a fórmula
f(a+ h) ≃ f(a) + f ′(a)× h (1.1)
é muito útil quando se pretende calcular f(a + h) conhecendo f(a) e f ′(a); o erro cometido é
tanto mais pequeno quanto mais pequeno for h.
Exemplo 1.65. Calcule o valor aproximado de
1
(1, 0025)3
.
Resolução: Para calcular o valor aproximado da fração teremos de aplicar a fórmula (1.1).
Como consequência é necessário definir a função f . Ora, observando a fração devemos considerar
f(x) =
1
x3
.
Temos, f(1) = 1 e f ′(x) = − 3
x4
⇒ f ′(1) = −3.
Aplicando a fórmula (1.1), vem
f(1, 0025) ≃ f(1) + f ′(1)× 0, 0025 = 1− 3× 0, 0025 = 0, 9925.
Definição 1.66. Seja y = f(x) uma função diferenciável em x = a. Diferencial de y, no
ponto a, para o acréscimo h da variável independente é o produto
f ′(a)× h,
que se representa por dy, isto é,
dy = f ′(a)× h
Sendo f(x) = x, vem
dx = 1× h = h
O que significa, que o diferencial da variável independente é igual ao acréscimo dessa variável.
Assim, pode escrever-se
dy = f ′(a)× dx
39
Desta expressão resulta
dy
dx
= f ′(a) −→ notação de Leibniz
Portanto, a derivada f ′(a) pode ser considerada como o quociente entre o diferencial da função e
o diferencial da variável independente.
Exemplo 1.67. Calcule o diferencial da função definida por f(x) = ln x+ x2, no ponto x e para
o acréscimo dx da variável independente.
Resolução:
Como
f ′(x) =
1
x
+ 2x
vem,
dy =
(
1
x
+ 2x
)
dx.
Uma vez que o diferencial de uma função se obtém, multiplicando a derivada da função pelo
diferencial da variável independente, podemos estabelecer regras de diferenciação, as quais podem
ser consultadas no anexo B.
1.4.4 Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função
Pretendemos agora determinar os extremos de uma função aplicando o conceito de derivada assim
como, estudar a monotonia e o sentido da concavidade do gráfico da função.
Vamos em primeiro lugar recordar as definições ligadas à monotonia de uma função.
Definição 1.68. Seja f uma função real de variável real definida num intervalo I e a, b ∈ I.
• f é estritamente crescente em I quando para todos os números reais a, b ∈ I
se a < b, então f(a) < f(b).
• f é estritamente decrescente em I quando para todos os números reais a, b ∈ I
se a < b, então f(a) > f(b).
• f é constante em I quando para todos os números reais a, b ∈ I
f(a) = f(b).
40
Teorema 1.69. Seja f uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[.
• Se f ′(x) > 0 para todo o x ∈ [a, b], então f é estritamente crescente em [a, b].
• Se f ′(x) < 0 para todo o x ∈ [a, b], então f é estritamente decrescente em [a, b].
Exemplo 1.70. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = 3x4− 4x3− 12x2 + 12.
Determine os intervalos onde a função é estritamente crescente e os intervalos onde a função é
estritamente decrescente.
Resolução:
Ora,
f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x− 2)
f ′(x) = 0⇒ x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 2
−1 0 2
12x − − − 0 + + +
x2 − x− 2 + 0 − − − 0 +
f ′(x) − 0 + 0 − 0 +
f(x) ց 7 ր 12 ց 46 ր
- A função é monótona decrescente nos intervalos ]−∞,−1[ e ]0, 2[.
- A função é monótona crescente nos intervalos ]− 1, 0[ e ]2, +∞[.
Teorema 1.71. Se uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] e tem um máximo ou
um mínimo em c ∈]a, b[, então f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.
Definição 1.72. Um elemento c do domínio de uma função f é um ponto crítico de f se
f ′(c) = 0 ou se f ′(c) não existe.
41
Aplicando o teorema anterior e a definição de ponto crítico, podemos estabelecer o seguinte pro-
cesso para a obtenção do máximo e do mínimo de uma função num intervalo [a, b] :
(1) Determinar os pontos críticos de f em ]a, b[.
(2) Calcular f(c) para cada ponto crítico c, determinado em (1).
(3) Calcular f(a) e f(b).
(4) O máximo de f em [a, b] é o maior dos valores calculados em (2) e (3).
(5) O mínimo de f em [a, b] é o menor dos valores calculados em (2) e (3).
1.4.5 Concavidade e segunda derivada
Uma função f tem, em ]a, b[ ⊂ Df , a concavidade voltada para cima (baixo) se, o seu gráfico se
localiza acima (abaixo) da tangente ao gráfico em qualquer ponto de abcissa c ∈]a, b[.
O ponto que separa, numa função contínua f, o sentido das concavidades chama-se ponto de
inflexão.
Definição 1.73. O ponto (c, f(c)) do gráfico de f é um ponto de inflexão se, são verificadas
as seguintes condições:
• f é contínua em c;
• existe um intervalo aberto ]a, b[, contendo c, tal que, o gráfico de f tem concavidade voltada
para baixo em ]a, c[ e concavidade voltada para cima em ]c, b[, ou vice-versa.
Definição 1.74. Se a segunda derivada, f ′′, de f existe num intervalo aberto ]a, b[, então o
gráfico de f :
• tem concavidade voltada para cima em ]a, b[ se f ′′(x) > 0, ∀ x ∈]a, b[;
• tem concavidade voltada para baixo em ]a, b[ se f ′′(x) < 0, ∀ x ∈]a, b[.
Exemplo 1.75. Considere a função definida por f(x) = x3 + x2 − 4x− 4.
Estude o sentido de concavidade do gráfico de f e determine, caso existam, os pontos de inflexão.
42
Resolução: Temos que f é uma função contínua com domínio Df = R. Vamos determinar,
analiticamente, os pontos de inflexão:
Ora,
f ′(x) = 3x2 + 2x− 4 ⇒ f ′′(x) = 6x+ 2.
Assim,
f ′′(x) = 0 ⇒ 6x+ 2 = 0 ⇒ x = −1
3
e f
(
−1
3
)
= −70
27
.
x −∞ −1
3
+∞
f ′′ − 0 +
f ⌢ P.I. ⌣
Podemos concluir que o gráfico de f tem um ponto de inflexão P.I. =
(
−1
3
, −70
27
)
, concavidade
voltada para baixo em x ∈
]
−∞, −1
3
[
, e concavidade voltada para cima em x ∈
]
−1
3
, +∞
[
.
1.4.6 Regra de Cauchy. Indeterminações
Já é do nosso conhecimento as regras de cálculo para limites. As situações para as quais as regras
não são aplicáveis, são designadas por indeterminações, isto é, não se pode garantir, à partida,
qual é o limite, caso exista.
Como complemento às técnicas já conhecidas para levantamento de indeterminações, temos a
regra de Cauchy.
Regra de Cauchy: Se f e são funções que admitem derivada numa vizinhança de um ponto de
abcissa x = a, se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 e se existe lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
então
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
.
Observação 1.76.
• A regra de Cauchy é aplicável quando a = +∞ ou a = −∞.
• A regra de Cauchy é aplicável no levantamento de indeterminações do tipo ∞∞ , seja a finito
ou infinito.
43
• Se f ′ e g′ tendem conjuntamente para zero, quando x tende para a, e se é aplicável a regra
de Cauchy ao quociente
f ′(x)
g′(x)
vem,
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= lim
x→a
f
′′
(x)
g′′(x)
.
Isto significa que a regra de Cauchy pode aplicar-se sucessivamente.
Exemplo 1.77. Indeterminações do tipo
0
0
e
∞
∞
Calcule:
(a) lim
x→0
ex − e−x
x
; (b) lim
x→+∞
x2 + 3
xex + x
.
Resolução:
(a) lim
x→0
ex − e−x
x
0
0=
R.C.
lim
x→0
(ex − e−x)′
x′
= lim
x→0
ex + e−x
1
= 1 + 1 = 2
(b) lim
x→+∞
x2 + 3
xex + x
∞
∞=
R.C.
lim
x→+∞
(x2 + 3)
′
(xex + x)′
= lim
x→+∞
2x
ex + xex + 1
∞
∞=
R.C.
lim
x→+∞
2
2ex + xex
= 0
Observação 1.78. As indeterminações do tipo∞−∞ e 0×∞ podem reduzir-se a indeterminações
do tipo
0
0
ou
∞
∞ , o que nos permite aplicar a regra de Cauchy.
1.5 Exercícios de aplicação
1.5.1 Noções topológicas
1. Considere os seguintes subconjuntos de R:
A =]− 5, 0] ∪ {2, 3} B = [−1, 2] ∪ [5, 8]
C = {x ∈ R : x2 < 3− 2x}\{0} D =
{
x ∈ R : x
2 + 1
2− x ≥ 2
}
(a) Determine o interior, a fronteira, o exterior, os pontos de acumulação e os pontos
isolados dos conjuntos definidos.
(b) Dos conjuntos definidos anteriormente indique os que são conjuntos abertos, os conjun-
tos que são fechados e os que são compactos.
44
2. Considere a função definida por f(x) =
√
9− 3|4− x2|.
(a) Represente o domínio de f, D, usando intervalos de números reais.
(b) Para cada um dos conjuntos seguintes, indique o interior, a fronteira, o exterior, o
exterior, os pontos de acumulação e a aderência:
i. D ii. D ∩ N
3. Determine o valor lógico das seguintes afirmações:
(a) Um subconjunto de R ou é aberto ou é fechado.
(b) 2 é um ponto isolado em N mas não é um ponto isolado em R.
(c) Se A′= ∅ então A é finito.
(d) Todo o subconjunto de um conjunto compacto é compacto.
1.5.2 Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas
1. Simplifique:
(a) arcsin
(
−1
2
)
(b) arcsin
(
sin
π
3
)
(c) arccos
(√
3
2
)
(d) cos
[
arccos
(√
2
2
)]
(e) arctg(
√
3) (f) tg
[
arccos
(
−
√
3
2
)]
2. Determine o número designado por cada uma das seguintes expressões:
(a) cos
[
arcsin
(
3
5
)]
(b) tg
[
arcsin
(
−3
4
)]
(c) sin
[
π
4
− arcsin
(
5
13
)]
(d) cos
[
2 arccos
(
4
5
)]
(e) cos
[
arcsin
(
3
5
)
− arccos
(
5
13
)]
3. Considere a função g definida por g(x) = 2 arcsin(3x− 1):
(a) Calcule g(0) e g
(
1
3
)
.
(b) Determine o domínio e o contradomínio de g.
(c) Seja D o domínio de g. Determine: int(D), ext(D), DC, D, D′ e fr(D).
(d) Caracterize a função inversa de g.
(e) Calcule os zeros de g.
45
4. Considere a função real de variável real f definida por f(x) =
π
2
+ arcsin
(
2x
3
)
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
(b) Calcule f
(
−3
4
)
e f(0).
(c) Indique, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação:
∃x ∈
]
−3
4
, 0
[
: f(x) =
√
2
(d) Calcule cos [f(3x)].
5. Dada a função f :
f(x) =
π
2
− 2 arcsin(1− x)
3
(a) Determine, caso existam, os zeros da função.
(b) Mostre que: ∀x ∈ D, f(x) 6= π e indique o contradomínio da função.
(c) Calcule: f−1
(π
2
)
− 3f(1)
6. Dada a função real de variável real, definida por g(x) =
π
3
− arccos(x+ 2).
Determine:
(a) o domínio e o contradomínio de g.
(b) os zeros de g.
(c) a função inversa de g, caracterizando-a.
(d) sin
[
g
(
−5
4
)]
.
7. Dada a função real de variável real f(x) = π − arccos
(x
2
)
.
(a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f .
(b) Calcule o valor de
f(1)
f(−
√
3)
.
(c) Determine m por forma que f(2 +m) =
π
4
.
(d) Simplifique o mais possível a expressão tg2 [f(x)].
46
8. Considere as funções reais de variável real assim definidas:
f(x) = arcsin(x− 1) e g(x) = arccos(2x)
(a) Determine o domínio de cada uma das funções.
(b) Calcule f−1
(
−π
6
)
+ g−1
(
2π
3
)
.
(c) Resolva a equação f(x) = g(x).
(d) Defina, caso seja possível, a função inversa de y = cos [f(x)].
9. É dada a função real de variável real f(x) = π − 2arctg(2x+ 1).
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
(b) Mostre que ∀x ∈ [−1, 0], f(x) 6= 0.
(c) Defina a função inversa.
10. Considere as seguintes funções reais de variável real:
f(x) =
π
3
− arcsin(3x) e g(x) = −π
2
+ 2 arccos
(
2
x
)
(a) Determine o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
(b) Determine:
i. O interior do domínio de f ii. O derivado do contradomínio de g.
11. Resolva as seguintes equações:
(a) arctg(2x− 1) = −π
2
+ arcsin
1
2
(b) 2arctg
(x
2
)
=
π
3
1.5.3 Limites e continuidade
1. Considere a função real de variável real f(x) = arctg(2x− x2).
(a) Determine o contradomínio de f .
(b) Calcule:
i. lim
x→+∞
f(x) ii. lim
x→−∞
f(x).
47
2. A figura representa o gráfico da função f .
1
2
3
-1
-2
1 2 3-1-2
y
x
y = f(x)
◦
◦
◦•
•
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função f .
(b) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
i. lim
x→−∞
f(x) ii. lim
x→1
f(x) iii. lim
x→0−
f(x) iv. lim
x→+∞
f(x)
(c) Indique um intervalo [a, b], onde f :
i. não seja de classe contínua ii. seja contínua.
3. Determine, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim
x→0
(3x+ 2) (b) lim
x→3
x2 − 4x+ 3
x+ 1
(c) lim
x→−1
x
(x+ 1)2
(d) lim
x→+∞
(
3 +
1
x
)
(e) lim
x→−1
[
x2 − 1
x+ 1
+ arcsin x
]
(f) lim
x→4+
[
3
√
x+ 4 + arctg
(
1
x− 4
)]
(g) lim
x→−∞
[
ex
ln |x| +
e−x
4 − 1
x
]
(h) lim
x→+∞
[
1
x+ 1
+ e−x
2
+
x3 + x2 + 1
x2 − 1
]
(i) lim
x→0
[ |x|
x
−
√
x+ 1− 1
x
]
(j) lim
x→1
[
arccos(x2)
x+ 1
+ ln x
]
(k) lim
x→+∞
[
x4 + x3 − 1
x4 + 1
+ arctg(x− x2)
]
(l) lim
x→−∞
[
sin x
ln |x| + cos
(
1
x
)]
48
4. Seja f uma função real de variável real definida por, f(x) = e
1
x− 1 .
(a) Determine o domínio de f .
(b) Calcule, se existir, lim
x→1
f(x)
5. Determine o intervalo de continuidade das seguintes funções:
(a) f(x) = 2e− x+ e
x
e2x − 1 (b) g(x) =



2 + arccosx se 0 ≤ x < 1
x+ 5
3
se 1 ≤ x ≤ 4
6. Determine a de modo que a função
h(x) =



1− e−πx
3x
x 6= 0
arccos a x = 0
seja contínua em todo o seu domínio.
7. Na figura está representada graficamente uma função real de variável real f contínua em R
tal que f(0) = 1
Determine o valor de b de modo que a função
g(x) =



cos(x)
f(x)
− π
4
se x > 0
1 + arctg(x+ b) se x ≤ 0
seja contínua em R.
8. Seja f a função real de variável real, definida e contínua em
[
− 2
π
,+∞
[
, tal que
f(x) =



xe−x + 1 se x ≥ 0
c arccos
(
−πx
2
)
se −2
π
≤ x < 0 .
Determine o valor de c e lim
x→+∞
f(x).
49
9. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por
f(x) =
{
k + cos(x) se x ≤ 0
ln(x+ 1) se x > 0
Qual é o valor de k?
10. Considere a função f , de domínio [0, 2π], definida por
f(x) =
{
1− ln(π − x) se 0 ≤ x < π
cos(2x) se π ≤ x ≤ 2π .
(a) Estude f quanto à continuidade.
(b) Determine os zeros de f .
(c) Seja α ∈ [π, 2π] tal que cos α = 2
3
. Determine f(α).
1.5.4 Derivadas e aplicações
1. Considere a função f(x) = arcsin (x− 1). Determine o valor dos seguintes limites:
(a) lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
(b) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 .
2. De uma função f sabe-se que f ′(2) = 5.
(a) Qual é o significado geométrico do valor 5, indicado como derivada da função no ponto
de abcissa x = 2.
(b) Determine o valor de lim
x→2
f(x)− f(2)
x2 − 4
3. Seja h a função real de variável real, tal que h′(2−) = 5 e h′(2+) = 3k − 1, k ∈ R.
(a) Determine k de modo que a função h seja diferenciável para x = 2.
(b) Para o valor de k determinado na alínea anterior a função é contínua no ponto x = 2?
4. Aplicando as regras de derivação, determine a expressão da função derivada de cada uma
das funções definidas por:
(a) y = 9x3 + 2x+ 5 (b) y =
x2
2
(3 + x4) (c) y =
(
2x2 − 1
2
x
)3
(d) y =
4x+ 5
2x− 1
(e) y = sin(5x2 − 2) (f) y = e3x+1 (g) y = 4 sin(2x)− cos(4x) (h) y = ln
(√
1− x2
)
50
(i) y = arccos(5x+ 1) + 3x− arcsin(x3) (j) y = arctg
(
x
x+ 1
)
+ x2 ln x
(k) y = (x+ 1) arcsin(5x+ 1)− arcsin x
ex+1
(l) y = [arctg x+ sin(x+ 1)]2
(m) y = arctg(
√
x) + 3x
2+1 (n) y = cos(x2 + 2) + arcsin x+ 1
5. Dada a função real de variável real definida por g(x) =
{
x2 ln x x > 0
x+ sin(2x) x ≤ 0
(a) A função é diferenciável para x = 0?
(b) Defina a função derivada de g.
(c) Sabendo que a reta de equação y = x − 1 é tangente ao gráfico de g, determine as
coordenadas do(s) ponto(s) de tangência.
6. Considere a função f definida por f(x) = 3x5 + 15x− 8. Mostre que:
(a) a função f é crescente em todo o seu domínio;
(b) o ponto (0,−8) é um ponto de inflexão do gráfico de f ;
(c) a equação f(x) = 0 tem uma única solução real.
7. Considere a função real de variável real, definida por f(x) = x− arctg x.
(a) Indique o domínio da função.
(b) Mostre que a função é monótona crescente em todo o seu domínio.
(c) Verifique que o ponto de inflexão é 0.
8. O gráfico C de uma função f ′ derivada da função f , de domínio R é uma parábola com
concavidade voltada para cima e cujos zeros são −2 e 0.
(a) Indique, justificando, os intervalos de monotonia de f e os valores de x para os quais a
função tem extremos relativos.
(b) Supondo que f(x) = x2(x− a) + bx, com a, b ∈ R, determine a e b.
9. Considere a função g definida por g(x) =



ln(x+ 1) se x > 0
x2 + 2x
2
se x ≤ 0
.
(a) Determine, caso exista, g′(0).
(b) Comente a seguinte afirmação: “A função g tem concavidade voltada para cima para
x < 0 e é monótona crescente para x > 0.”
51
10. Calcule um valor aproximado de 3
√
0, 99 + (0, 99)4.
Sugestão: Considere a função f(x) = 3
√
x+ x4.
11. Calcule o diferencial das seguintes funções:
(a) f(x) = arccos(x+ 1) + 3x (b) g(x) =
ex
x+ 1
(c) h(x) = x arcsin(2x)
(d) y(x) =
1
xp
(e) t(x) = ex + cos(2x) (f) m(x) = arctg x+ ln(1 + x2)
12. Calcule, caso exista,cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→1
x5 − 2x3 + 1
1− x2 (b) limx→0
ln(4x2 + 1)
2x
(c) lim
x→0
x− arcsin x
sin3 x
(d) lim
x→+∞
ex+1
ln(x− 2) (e) limx→0
extg x
sin(2x)
(f) lim
x→0
[
2
ex − 1 −
2
x
]
(g) lim
x→0
[
1
ln(x+ 1)
− x+ 1
x
]
(h) lim
x→0
[
cosx− 1
x
+
2x
sin x
]
(i) lim
x→+∞
ln(x+ 1)
x2 + 3
(j) lim
x→0+
x ln x (k) lim
x→0
[
arcsin x
x
+ arctg(x− x2)
]
(l) lim
x→π
2
ln[sin(5x)]
2x− π
13. Se h(x) = f(g(x)) com f(2) = −4, g(2) = 2, f ′(2) = 3 e g′(2) = 5, calcule h′(2).
14. Se s = 3r2 − 2
√
r + 1 e r = t3 + 1, utilize a regra da cadeia para determinar o valor de
ds
dt
.
15. Seja f uma função real de variável real tal que a equação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa 1 é y = 2x. Sabendo que g(x) = f
(
ex
2+2x
)
, calcule g′(0).
16. Seja f : R → R uma função diferenciável em R tal que f(0) = 0 e f ′(0) = 1. Considere a
função real g definida em ]− 1, 1[ por g(x) = (x− 1)f(arcsin x). Determine o valor de g′(0).
17. Seja g uma função diferenciável em R , que atinge um máximo em x = 0 cujo valor é 10.
Considere a função
f :]0,+∞[→ R
x→ f(x) = xg(lnx)
(a) O que significa a afirmação “g atinge um máximo em x = 0 cujo valor é 10”?
(b) Calcule f ′(1).
52
18. Considere a função f diferenciável em R que admite um máximo no ponto x = 0 e tal que
f (0) = 1. Seja g a função definida por
g (x) =
{
f (arcsin x) se −1 ≤ x ≤ 0
ke−x se x > 0
, com k ∈ R.
(a) Determine o domínio de g.
(b) Determine o valor de k de modo que g seja contínua em todo o seu domínio.
(c) Determine a derivada da função f (arcsin x) no ponto x = 0.
(d) Calcule, caso exista, lim
x→0−
g(x)− 1
x
.
19. O custo com máquinas registadoras de um supermercado é função do número de máquinas
que estão a operar num dado momento.
Sendo x o número de máquinas, o custo estimado C, em euros, é dado por C(x) = 10x+
1000
x
.
Quantas máquinas deveriam estar a operar de modo que o custo fosse mínimo?
20. A venda anual S de um novo produto é dada por S(t) =
5t
8 + t2
, 0 ≤ t ≤ 3, onde t é o tempo
em anos. Determine o instante exato em que a venda anual é máxima.
21. Num circuito elétrico a força eletromotriz é de E volts em t segundos.
Sabendo que E(t) = 3 sin(2t), determine o instante t ∈]0, π[ de modo que E seja máxima.
22. Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia.
A concentração desse medicamento em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter
sido administrado, é dada por C(t) = 2te−0,3t.
(a) Utilize o teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9h 30m e
as 10h, em que a concentração de medicamento no sangue foi de 1mg/ml.
(b) Determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi
máxima. Apresente os resultados em horas e minutos.
23. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de
fruta, com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão
ter a forma de um prisma quadrangular regular.
(a) Mostre que a área total da embalagem é dada por A(x) =
2x3 + 8
x
, onde x denota o
comprimento da aresta da base, em dm.
Nota: Recorde que 1 litro = 1 dm3.
(b) Mostre que existe um valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima e
determine-o.
53
Capítulo 2
Cálculo integral em R
A análise compreende duas operações básicas: a derivação e a primitivação. Atendendo a que
estas operações são inversas uma da outra, algumas aplicações da integração são imediatas. Por
exemplo, a integração de uma função aceleração é uma função velocidade. Outras aplicações não
estão, aparentemente, relacionadas. Assim é que a integração pode ser utilizada para determinar
a medida da área de uma região, o valor médio de uma função e o volume de um sólido, entre
outras.
2.1 Integral indefinido
Muitas aplicações importantes da análise envolvem problemas que implicam saber qual a função
que deu origem a determinada função derivada, por exemplo, dadas as funções
f ′(x) = 2, g′(x) = 3x2, h′(t) = 4t,
o nosso objetivo é determinar as funções f, g, e h.
A esta operação, inversa da diferenciação, chamamos primitivação.
Definição 2.1. Uma função F é uma primitiva de uma função f no intervalo I se, para todo o
x ∈ I, temos F ′(x) = f(x).
Consideremos as funções F (x) = x3, G(x) = x3 − 5, e S(x) = x3 + 1
3
.
Calculando a derivada de cada uma delas vem:
F ′(x) = 3x2, G′(x) = 3x2, e S ′(x) = 3x2.
54
Logo F (x), G(x) e S(x) são primitivas da função f(x) = 3x2 pois a derivada de cada uma delas
é 3x2.
Do exposto, facilmente se conclui que sendo F (x) uma primitiva de f(x), então também o é
F (x) + c, onde c é uma constante arbitrária. Assim, o processo de primitivação não define uma
função única, mas sim uma família de funções, que diferem entre si por uma constante.
Teorema 2.2. Se num dado intervalo I uma função f tem uma primitiva F , então f tem uma
infinidade de primitivas em I.
Teorema 2.3. Sejam F e G duas primitivas de f num intervalo I, então, F e G diferem de uma
constante. Simbolicamente,
F (x) e G(x) primitivas de f(x)⇒ F (x)−G(x) = c, c ∈ R.
Notação para integrais indefinidos
O processo de primitivação também é chamado de integração, por isso as expressões “primitiva de
f ” ou “integral indefinido de f ”, em termos práticos, têm o mesmo significado.
Do exposto anteriormente conclui-se que o conjunto de todas as primitivas de uma função f num
intervalo se pode calcular a partir do conhecimento de uma única primitiva. Então, sendo F (x)
uma primitiva de f(x), a família das primitivas de f(x) representa-se por:
Pf(x) = F (x) + c, c ∈ R, (2.1)
ou, em notação integral,
∫
f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R. (2.2)
A expressão (2.2) denota a “primitiva de f em relação à variável x”. Designa-se f(x) por função
integranda e x por variável de integração. Embora dx possa assumir um significado preciso, serve
simplesmente para indicar a variável relativamente à qual se está a integrar, ou seja, a calcular a
primitiva.
Exemplo 2.4. Utilize a notação de integral para escrever as três primitivas dadas no início desta
secção.
Resolução:
∫
2 dx = 2x+ c, c ∈ R;
∫
3x2 dx = x3 + c, c ∈ R;
∫
4t dt = 2t2 + c, c ∈ R.
55
2.1.1 Propriedades dos integrais indefinidos
Nem sempre existe primitiva de uma função, quando existe diz-se que a função é primitivável.
A relação existente entre as operações de diferenciação e primitivação pode ser apresentada sim-
bolicamente do modo seguinte:
d
dx
[∫
f(x) dx
]
= f(x) → A diferenciação é o inverso da primitivação,
∫
f ′(x) dx = f(x) + c, c ∈ R → A primitivação é o inverso da diferenciação.
Das propriedades das derivadas podemos deduzir as seguintes propriedades para as primitivas:
Teorema 2.5. Sejam f e g funções primitiváveis e seja k uma constante arbitrária. Então:
• kf é primitivável e tem-se ∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx. (2.3)
• f ± g é primitivável e tem-se
∫
[f(x)± g(x)] dx =
∫
f(x) dx±
∫
g(x) dx. (2.4)
Exemplo 2.6. Cálculo de integrais indefinidos.
Resolução:
(a)
∫
3x dx = 3
∫
x dx = 3
x2
2
+ c =
3x2
2
+ c, c ∈ R
(b)
∫
[cosx+ sin x] dx =
∫
cosx dx+
∫
sin x dx = sin x− cos x+ c, c ∈ R
Exemplo 2.7. Determine a primitiva da função f(x) = x + 2 cujo gráfico passa no ponto de
coordenadas (2, 3).
Resolução: Ora,
F (x) =
∫
(x+ 2) dx =
x2
2
+ 2x+ c, c ∈ R⇔ F (x) = x
2
2
+ 2x+ c, c ∈ R
56
Como pretendemos que F (2) = 3, substituindo x por 2 e F por 3, vem:
3 =
22
2
+ 2× 2 + c⇔ c = 3− 6 = −3
Logo a primitiva pretendida é
F (x) =
x2
2
+ 2x− 3
2.1.2 Primitivas imediatas
Uma primitiva imediata é uma primitiva que se obtém por aplicação inversa de uma conhecida
regra de derivação ou da adaptação de uma regra de derivação.
As regras de primitivação imediata constam do formulário no anexo B.
Exemplo 2.8. Cálculo de primitivas imediatas.
Resolução:
(a) Funções cuja primitiva é um logaritmo - B.10(e) do formulário. Este caso surge quando se
primitiva um quociente cujo numerador representa a derivada da função do denominador.
Por vezes é necessário fazerum “ajustamento” de constantes:
i.
∫
6x
x2 + 1
dx =
6
2
∫
2x
x2 + 1
dx = 3 ln |x2 + 1|+ c, c ∈ R
ii.
∫
2 sinx
1 + cos x
dx = −2
∫ − sin x
1 + cosx
dx = −2 ln |1 + cosx| + c, c ∈ R
iii.
∫
2
1 + e−x
dx =
∫
2ex
ex + 1
dx = 2
∫
ex
ex + 1
dx = 2 ln |ex + 1|+ c, c ∈ R
iv.
∫
e2x − 2ex
e2x − 8ex + 12 dx =
∫
ex(ex − 2)
(ex − 2)(ex − 6) dx =
∫
ex
ex − 6 dx = ln |e
x − 6|+ c, c ∈ R
(b) Funções cuja primitiva é a potência de uma função - B.10(b) do formulário. Este caso surge
quando se primitiva um produto de uma potência de uma função pela derivada dessa função.
i.
∫
3(3x− 1)4 dx = (3x− 1)
5
5
+ c, c ∈ R
ii.
∫
(2x+ 1)(x2 + x) dx =
(x2 + x)2
2
+ c, c ∈ R
57
iii.
∫ −4x
(1− 2x2)2 dx =
∫
(1− 2x2)−2(−4x) dx = (1− 2x
2)−1
−1 + c =
1
2x2 − 1 + c, c ∈ R
iv.
∫
(x+ 1)3√
x+ 1
dx =
∫
(x+ 1)5/2 dx =
(x+ 1)7/2
7/2
+ c =
2
√
(x+ 1)7
7
+ c, c ∈ R
v.
∫
ln x
x
dx =
∫
1
x
ln x dx =
ln2 x
2
+ c, c ∈ R
vi.
∫
(2 + sin x)3
sec x
dx =
∫
cosx(2 + sin x)3 dx =
(2 + sin x)4
4
+ c, c ∈ R
(c) Casos de aplicação de outras fórmulas da tabela - B.10(o); B.10(n); B.10(k); B.10(b):
i.
∫
2 sin x√
1− cos2 x
dx = −2
∫ − sin x√
1− cos2 x
dx = −2 arcsin(cosx) + c, c ∈ R
ii.
∫
1
1 + 3x2
dx =
∫
1
1 + (
√
3 x)2
dx =
1√
3
∫ √
3
1 + (
√
3 x)2
dx =
=
1√
3
arctg(
√
3 x) + c, c ∈ R
iii.
∫
1
1 + cosx
dx =
∫
1− cosx
(1 + cos x)(1− cos x) dx =
∫
1− cosx
1− cos2 x dx =
=
∫
1− cosx
sin2 x
=
∫
cosec2x dx−
∫
cosx sin−2 x
= −cotg x+ cosec x+ c, c ∈ R
Soluções particulares
Já vimos que, desde que f seja primitivável, a equação y =
∫
f(x) dx tem muitas soluções, cada
uma das quais difere das outras por uma constante. Isto significa que os gráficos de duas primitivas
quaisquer de f são translações verticais uma da outra. A figura seguinte mostra os gráficos de
várias primitivas da função f(x) = 3x2 − 1.
58
2
4
-2
-4
3-3
x
y
C = 4
C = 2
C = 0
C = −2
C = −4
F (x) = x3 − x + C
Cada uma das primitivas é uma solução da equação
dy
dx
= 3x2 − 1. Em muitas aplicações da
integração, dispomos de informação suficiente para determinar uma solução particular. Para tal,
basta conhecer os valor de F (x) para um determinado valor de x - condição inicial.
Exemplo 2.9. Calcule a solução particular y = f(x) que satisfaz as seguintes condições.
Resolução:
(a) f ′(x) = 6x(x− 1), f(1) = −1
f(x) =
∫
6x(x− 1) dx = 6
∫
x(x− 1) dx = 6
∫
(x2 − x) dx =
= 6
(
x3
3
− x
2
2
)
+ c = 2x3 − 3x2 + c, c ∈ R
Como f(1) = −1⇒ −1 = 2− 3 + c⇒ c = 0
Logo f(x) = 2x3 − 3x2
(b) f ′(x) =
2− x
x3
, f(2) =
3
4
f(x) =
∫
2− x
x3
dx =
∫
(2x−3 − x−2) dx = 2 x
−2
−2 −
x−1
−1 + c =
−1
x2
+
1
x
+ c, c ∈ R
Como f(2) =
3
4
⇒ 3
4
= −1
4
+
1
2
+ c⇒ c = 1
2
Logo f(x) = − 1
x2
+
1
x
+
1
2
59
2.1.3 Primitivas por partes
Nesta secção abordaremos uma técnica de primitivação que é consequência direta da regra de
derivação do produto.
A integração por partes é baseada na fórmula da derivada de um produto
(u× v)′ = u′ × v + u× v′
onde u e v são duas funções diferenciáveis de x. Se u′ e v′ são contínuas, integrando ambos os
membros em ordem a x, vem
u× v =
∫
(u′ × v + u× v′) dx
Então, podemos considerar as equivalências:
u× v =
∫
(u′ × v + u× v′) dx ⇔ u× v =
∫
u′ × v dx+
∫
u× v′ dx⇔
⇔
∫
u′ × v dx = u× v −
∫
(u× v′) dx
Da última igualdade resulta a seguinte fórmula:
Primitivação por Partes: Sejam u e v funções diferenciáveis de x, então
∫
(u′ × v) dx = u× v −
∫
(u× v′) dx. (2.5)
Ou equivalentemente,
∫
(u× v) dx =
∫
u dx× v −
∫ (∫
u dx× v′
)
dx. (2.6)
Esta técnica é utilizada sempre que a função a integrar (a função integranda) seja produto de duas
funções u e v e esse produto não admite primitiva imediata. Escolhemos para função u aquela
que será fácil de integrar e para função v aquela cuja expressão da derivada é mais simples.
Exemplo 2.10. Cálculo de primitivas por partes.
(a)
∫
x ex dx (b)
∫
x2 lnx dx (c)
∫
ln x dx (d)
∫
ex x2 dx (e)
∫
cos2 x dx
Resolução:
(a) Neste caso escolhemos u′ = ex, uma vez que a derivada de x é mais simples:
∫
x ex dx =
∫
ex︸︷︷︸
u′
x︸︷︷︸
v
dx = x ex −
∫
ex 1 dx = x ex − ex + c = ex (x− 1) + c, c ∈ R
60
(b) Neste caso escolhemos u′ = x2, uma vez que ln x não tem primitiva imediata:
∫
x2︸︷︷︸
u′
ln x︸︷︷︸
v
dx =
x3
3
ln x−
∫ (
x3
3
)(
1
x
)
dx =
x3
3
ln x− 1
3
∫
x2 dx =
=
x3
3
ln x− 1
3
x3
3
+ c =
x3
3
lnx− x
3
9
+ c =
=
x3
3
(
ln x− 1
3
)
+ c, c ∈ R
(c) Neste caso, uma vez que ln x não tem primitiva imediata, utilizamos o fator 1 para podermos
utilizar a integração por partes. Repare que ln x = 1 ln x, pelo que a função integranda não
foi alterada:
∫
ln x dx =
∫
1︸︷︷︸
u′
ln x︸︷︷︸
v
dx = x ln x−
∫
x
1
x
dx = x ln x−
∫
1 dx
= x ln x− x+ c = x (ln x− 1) + c, c ∈ R
(d) Neste caso temos de aplicar duas vezes a integração por partes. Ao aplicar repetidamente
a integração por partes, devemos ter cuidado em não trocar as funções nas aplicações su-
cessivas.Repare que neste exemplo, na primeira vez fizemos u′ = ex e v = x2. Se, na
segunda aplicação, tivéssemos feito u′ = 2x e v = ex, teríamos invertido a ordem anterior e
voltaríamos ao integral inicial:
∫
ex︸︷︷︸
u′
x2︸︷︷︸
v
dx = ex x2 −
∫
ex (2x) dx = ex x2 − 2
∫
ex︸︷︷︸
u′
x︸︷︷︸
v
dx =
= ex x2 − 2
(
ex x−
∫
ex 1 dx
)
= ex x2 − 2 (ex x− ex) + c =
= ex (x2 − 2x+ 2) + c, c ∈ R
(e) Neste caso aplicando a integração por partes aparece no segundo membro uma primitiva igual
à que se pretende calcular. Tratamos a igualdade obtida como uma equação cuja incógnita
é a primitiva que pretendemos calcular:
∫
cos2 x dx =
∫
cosx︸︷︷︸
u′
cosx︸︷︷︸
v
dx = sin x cos x−
∫
(− sin2 x) dx =
= sin x cos x+
∫
(1− cos2 x) dx = sin x cosx+ x−
∫
cos2 x dx⇔
⇔
∫
cos2 x dx =
1
2
sin x cosx+
x
2
+ c, c ∈ R
61
Observação 2.11. Devemos ter em mente que não basta saber como aplicar as várias técnicas
de integração, devemos saber também quando aplicá-las. Não esquecendo que toda a regra tem
exceções, podemos estabelecer algumas orientações para ajudar a escolher os fatores:
• Se ambos os fatores admitem primitiva imediata, devemos escolher para primitivar o fator
que menos se simplifica por derivação;
• Se só um dos fatores admite primitiva imediata, designamos este por u′ e o outro por v;
• Se a função a primitivar é o produto de um polinómio por uma função trigonométrica ou
exponencial, designamos por u′ a função trigonométrica/exponencial;
• Se apenas temos uma função que não admite primitiva imediata multiplicamos a função
integranda por 1 e fazemos u′ = 1;
• Se a aplicação do método de integração por partes leva a que no segundo membro da primitiva
apareça uma primitiva igual à que se pretende calcular, isola-se essa primitiva e resolvendo
a igualdade como uma equação, sendo a incógnita a primitiva pretendida.
Note no entanto que, em geral, uma pequena alteração na função integranda exige uma técnica de
integração diferente. Vejamos alguns exemplos:
Integral Técnica Primitiva
∫
x lnx dx Integração por Partes
x2
2
(
ln x− 1
2
)
+ C
∫
ln x
x
dx Regra da Potência:
∫
un u′ dx
ln2 x
2
+ C
∫
1
x lnx
dx Regra do Logaritmo:
∫
u′
u
dx ln | ln x|+ C
À medida que adquirimos experiência com a integração por partes, mais fácil se torna identificar
as funções u′ e v. Por exemplo
∫
xn eax dx, a ∈ R ⇒ u′ = eax; v = xn
∫
xn ln x dx ⇒ u′ = xn; v = ln x
62
2.1.4 Primitivas de funções racionais
Nesta secção vamos aprender uma técnica de primitivação que envolve a decomposição de uma
função racional na soma de duas ou mais funções racionais simples.
Definição 2.12. Uma função racional F (x) =
N(x)
D(x)
é o quociente de funções polinomiais na
mesma variável. A função racional diz-se própria se o grau do numerador é inferior ao grau do
denominador. Uma função racional não própria diz-se imprópria.
Observação 2.13. Toda a função racional imprópria pode ser escrita como soma duma função
polinomial e de uma função racional própria.
Seguidamente apresentamos o procedimento do cálculo de primitivas de funções racionais:
1o Passo:
Se