Polinômios: Definição, Grau e Operações

Prévia do material em texto

Polinômios
Capítulo 2
DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO
Um polinômio é uma expressão que pode ser escrita como um termo ou uma soma de termos da forma 
 sendo a uma constante e variáveis. Um polinômio de um termo é chamado de monômio. 
Um polinômio de dois termos é dito binômio. Um polinômio com três termos é chamado de trinômio.
Exemplo 2.1 são monômios.
Exemplo 2.2 são binômios.
Exemplo 2.3 são trinômios.
O GRAU DE UM TERMO
O grau de um termo em um polinômio é o expoente da variável ou, se houver mais de uma variável, a soma dos 
expoentes das variáveis. Se não houver variáveis em um termo, ele é chamado de constante. O grau de um termo 
constante é 0.
Exemplo 2.4 (a) 3x8 tem grau 8; (b) 12xy2z2 tem grau 5; (c) � tem grau 0.
O GRAU DE UM POLINÔMIO
O grau de um polinômio com mais de um termo é o maior dos graus dos termos individuais.
Exemplo 2.5 (a) x4 � 3x2 	 250 tem grau 4; (b) x3y2 	 30x4 tem grau 5; (c) 16 	 x 	 x10 tem grau 10; (d) x3 � 
3x2h � 3xh2 � h3 tem grau 3.
TERMOS SEMELHANTES E DISSEMELHANTES
Dois ou mais termos são chamados de semelhantes se são constantes ou se contêm as mesmas variáveis elevadas 
aos mesmos expoentes, diferindo apenas, se for o caso, em seus coeficientes constantes. Termos que não são seme-
lhantes são ditos dissemelhantes.
Exemplo 2.6 3x e 5x, 	16x2y e 2x2y, tu5 e 6tu5 são exemplos de termos semelhantes. 3 e 3x, x2 e y2, a3b2 e a2b3 
são exemplos de termos dissemelhantes.
PRÉ-CÁLCULO8
ADIÇÃO
A soma de dois ou mais polinômios é obtida por combinação de termos semelhantes. A ordem é irrelevante, mas 
polinômios de uma variável são geralmente escritos em ordem decrescente dos graus de seus termos. Um polinô-
mio de uma variável x sempre pode ser escrito na forma:
Essa maneira de escrever é dita padrão. O grau de um polinômio escrito na forma padrão é imediatamente 
identificado como n.
Exemplo 2.7 (grau 4)
Exemplo 2.8 
SUBTRAÇÃO
A diferença entre dois polinômios é conseguida usando a definição de subtração: A 	 B � A�(	B). Observe que 
para subtrair B de A, escreve-se A 	 B.
Exemplo 2.9 
MULTIPLICAÇÃO
O produto de dois polinômios é obtido pelo uso de várias formas da propriedade distributiva, bem como pelo em-
prego da primeira lei para expoentes: 
Exemplo 2.10 
Exemplo 2.11 Multiplique: (x � 2y)(x3 	 3x2y � xy2)
Frequentemente uma disposição vertical é empregada para essa situação:
DISTRIBUTIVIDADE DUPLA*
Distributividade dupla para multiplicação de dois binômios:
* N. de T.: Na versão original, FOIL (First Outer Inner Last). Neste livro, optamos por uma tradução não literal.
CAPÍTULO 2 • POLINÔMIOS 9
Exemplo 2.12 (2x � 3)(4x � 5) � 8x2 � 10x � 12x � 15 � 8x2 � 22x � 15
PRODUTOS NOTÁVEIS
FATORAÇÃO
Fatorar polinômios corresponde ao processo inverso do uso das leis de distributividade da multiplicação. Um poli-
nômio que não pode ser fatorado* é dito primo. Técnicas usuais de fatoração incluem colocar em evidência um 
fator comum, fatorar por agrupamento, reverter os processos usuais envolvendo o uso da distributividade dupla e 
formas notáveis de fatoração.
Exemplo 2.13 Colocando em evidência um fator monomial comum: 3x5 	 24x4 � 12x3 � 3x3(x2 	 8x � 4)
Exemplo 2.14 Colocando em evidência um fator não monomial comum:
É importante observar que o fator comum em tais problemas consiste de bases elevadas ao menor expoente presen-
te em cada termo.
Exemplo 2.15 Fatorando por agrupamento:
O reverso da distributividade dupla segue o padrão abaixo:
Exemplo 2.16 Reverta a distributividade dupla:
 (a) Para fatorar x2 	 15x � 50, encontre dois fatores de 50 que somam 	15: 	5 e 	10.
 (b) Para fatorar 4x2 � 11xy � 6y2, encontre dois fatores para 4 � 6 � 24 que somam 11: 8 e 3.
* N. de T.: A rigor, todo polinômio pode ser fatorado, pois todo polinômio p pode ser escrito da forma p � (1 � 0). O autor está 
se referindo a formas não triviais de fatoração.