Apostila Análise Matemática

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INTRODUÇÃO À ANÁLISE. 
Tema I. 
Título: Conjuntos finitos e infinitos. 
 
Objetivos:- Definir conjunto finito, infinito e enumerável. 
 -Estudar as propriedades dos números naturais. 
 -Demonstrar algumas propriedades dos conjuntos finitos e 
enumeráveis. 
 
Desenvolvimento: 
O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos: 
1. Existe uma função invectiva s:N

N tal que s(n)=n+1, sucessor de n. 
2. Existe um único n

N, n=1

s(n) 

n

N. 
3. Se X

N é tal que 1

X e s(X)

X (isto é, n

X

s(n)

X), então X=N). 
As propriedades 1,2 e 3 chamam-se axiomas de Peano. O axioma 3 é o princípio 
de indução. Este princípio serve de base ao método de demonstração conhecido 
como método de indução. 
No conjunto dos números naturais são definidas duas operações 
fundamentais: adição e multiplicação. Estas operações são caracterizadas 
por: 
m+1=s(m) 
m+s(n)=s(m+n) 
m.1=m 
m(n+1)=mn+m 
Propriedades: 
 
 
1. Associatividade: (m+n)+p=m+(n+p), (n.m)=n(m+p). 
2. Distributividade: m(n+p)=mn+mp 
3. Comutatividade: m+n=n+m. 
4. Lei de corte: m+n=m+p

n=p; mn=mp

n=p. 
Dados m,n

N, vale uma e somente uma das alternativas : m=n, m<n ou m>n. 
Uma das mais importantes propriedades da relação de ordem m<n é o 
chamado: 
Princípio de boa ordenação: Todo subconjunto não vazio A

N possui um 
menor elemento, isto é, um elemento n
0

n 

n

A. 
I
n
 é o conjunto dos números naturais 

n. 
Conjunto finito: I
n
={p

N; p

n} 
Um conjunto X é finito se é vazio, ou existe uma bijeção f:I
n

X para algum 
n

N. Escrevendo x
1
=f(1), x
2
=f(2),...., x
n
=f(n), então X={ x
1
, x
2
,..., x
n
}. f 
chama-se uma contagem dos elementos de X, e n é o número de elementos, 
ou cardinal do conjunto X. 
Teorema 1: Se A é um subconjunto próprio de I
n
, não pode existir uma 
bijeção f:A

 I
n
. 
D:Suponha por absurdo, e considere n
0

N o menor elemento para o qual 

 
A
0n
I
subconjunto próprio e uma bijeção f:A

0n
I
, n
0
>1. Seja a

A tal que 
f(a)= n
0
, a restrição de f a A –{a}

I
10 n
 será uma bijeção sobre I
10 n
, o que 
contraria a minimalidade de n
0
. 
Corolário 1: Se f: I
m

X e g: I
n

X são bijeções, então m=n.. 
Corolário 2: Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f: X

X é injetiva se, e 
somente se é sobrejetiva. 
Teorema 2: Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. 
D: Se x=

 ou n=1é evidente. Supondo o teorema verdadeiro para conjuntos 
com n elementos, sejam X um conjunto com n+1 elementos e Y

X. Se Y=X, 
não há nada o que provar. Caso contrário existe a

X com a

Y. Então Y

X.-
{a}. Como X.-{a} tem n elementos, segue-se que Y é finito. 
Corolário1: Dada f: Y

X, se Y é finito e f é injetiva então X é finito; se X é 
finito e f é sobrejetiva então Y é finito. 
 
 
Corolário 2: Se X é finito e Y é um subconjunto de X, não existe uma bijeção 
de Y em X. 
D: Seja 
XY 
, e suponhamos que 
XYf :
é uma bijeção, como X é finito, 
existe 
XIg n :
 bijetiva então 
AYg  )(1
, assim 
nA IAofoggh 
 :1
 bijetiva 
de 
nIA 
 em 
nI
, o que é uma contradição. 
Conjunto infinito: O conjunto X é infinito quando não é vazio nem existe, seja 
qual for n

N, uma bijeção f: I
n

X. 
O conjunto dos números naturais N é infinito e 2N dos naturais pares é infinito. 
Teorema 3: Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva 
 f: N

X. 
D: Para cada subconjunto não vazio. A

X se escolhe um elemento x
A

A. 
Enseguida define-se Y

X indutivamente. Pondo f(1)=x
0A
e , supondo já 
definidos f(1),..., f(n), escrevemos A
n
=X-{f(1),...,f(n)}. Como X é infinito, A
n
 
não é vazio. Definimos então f(n+1)=x
nA
. Isto completa a definição de f. Para 
provar f é injetiva, sejam m, n

N, digamos m<n. Então f(m)

{f(1),..., f(n-1)} 
enquanto f(n)

X-{f(1),..., f(n-1)}, logo f(m)

f(n). 
Corolário: Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção 
g: X

Y sobre um subconjunto próprio Y

X. 
D: Existe f: N

X ta l que f(n)=x
n
, Y=X-{x
1
}, g: X

Y, g(x)=x se x não é um 
dos x
n
 e g(x
n
)=x
1n
. 
Exemplo: N
1
N-1, P=2N, I=N-P. 
Conjuntos enumeráveis: Um conjunto diz-se enumerável quando é finito ou 
quando existe uma bijeção f: N

X. Neste caso, f chama-se uma 
enumeração dos elementos de X. Escrevemos x
1
=f(1), x
2
=f(2),...., 
x
n
=f(n),...tem-se então 
X={ x
1
, x
2
,..., x
n
,...} 
Teorema 4: Todo subconjunto X

N é enumerável. 
 D:Se X é finito, nada há que demonstrar. Caso contrário, enumerando os 
elementos de X pondo x
1
 = menor elemento de X e supondo definidos x
1
< 
x
2
<,...,< x
n
, escreve-se A
n
=X-{ x
1
, x
2
,..., x
n
}. A
n


, pois X é infinito, 
 
 
definindo x
1n
= menor elemento de A
n
. Então X={ x
1
, x
2
,..., x
n
,...}. Se existe 
x

x
n
, x

A
n
 para algum n , logo x seria um natural maior que todos os 
elementos do conjunto { x
1
, x
2
,..., x
n
,...}, o que não é possível. 
Corolário 1: O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é 
enumerável. 
D: f: N

X e g: N

X sobrejeções, logo

: NxN

 XxY dada por 

(m,n)=(f(m),g(n)) é sobrejeção, por tanto basta provar NxN é enumerável 

: NxN

N, dada por 

(n,m)=3 n m2 , é injetiva. 
Corolário 2: A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis 
é enumerável. 
D: Com X
1
, X
2
, ..., X
n
,...enumeráveis, existem as sobrejeções f
1
: N

 X
1
, 
f
2
: N

 X
2
,... f
n
: N

 X
n
, ...X=


1n
nX
 define a sobrejeçao f: NxN

X pondo 
f(m,n)= f
n
(m). 
Todo conjunto infinito contem um subconjunto infinito enumerável. 
Exemplos: 1) f: N

Z, f(n)=
2
1n
, n impar. 
 f(n)=-
2
n
 , n par. 
 2) f: ZxZ *

Q, f(m.n)=
n
m
 
 
 
SEMINÁRIO 1: 
1. Prove por indução que s(n) 

n. 
2. Se f: I
m

X e g: I
n

X são bijeções, prove que m=n. 
Sugestão: Indique a aplicação h: I
m

 I
n
, fazendo uso de f e g. 
3. Se existe uma bijeção f: X

Y então, dado a

X e b

Y, prove que existe 
uma bijeção g: X

Y tal que g(a)=b. 
 
 
Sugestão: Considere uma bijeção qualquer e troque adequadamente a 
imagem de a. 
4. Dada f: X

Y, prove que: 
a) Se Y é finito y f é injetiva, então X é finito. 
b) Se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito. 
Sugestão: Analisar a aplicação de X em f(X). Para o item b faça uso da 
inversa. 
5. O conjunto X é limitado se existe um p em N tal que x é menor ou igual que 
p para todo x de X. Prove que X

N é finito se, e somente se, é limitado. 
Sugestão: Considere como p para a cota do conjunto X a soma dos 
elementos de X. 
6. Seja f: X

Y, prove que: 
a) Se f é injetiva e Y é enumerável, então X é enumerável. 
b) Se f é sobrejetiva e X é enumerável então Y é enumerável. 
Sugestão: Considere g: Y

N, e logo a composta de X em N. Para o item b 
proceda como no exercício 4 o item b. 
7. Usando indução prove que: 
a) 1+2 + ...+ n=
2
)1( nn
 
b)1+3+...+2n-1=n 2 
8. Dada f: X

Y, prove que: 
a) Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito. 
b)Se Y é infinito e f á sobrejetiva então X é infinito. 
Sugestão: Analisar que f é uma bijeção de X em uma parte de Y. Para o item 
b considere que a inversa de f será uma bijeção de Y em parte de X. 
9. Seja Y enumerável e f: X

Y tal que, para cada y

Y, f 1 (y) é enumerável. 
Prove que X é enumerável. 
Sugestão: Fazer uso da reunião enumerável de conjuntos enumeráveis. 
 
 
 
Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema II. 
Título: Números reais. 
 Objetivos: - Compreender porque R é um corpo ordenado e completo. 
- Analisar os teoremas fundamentais aplicando supremo, ínfimo, intervalos 
encaixados, intervalos degenerados, etc. 
 Desenvolvimento: O conjunto dos números reais será indicado por R. R é um 
corpo, isto significa que estão definidas em R duas operações, chamadas 
adição e multiplicação. Os axiomas que essas operações obedecem são: 
1. Associatividade: 

x,y,z 

 R tem-se : (x+y)+z=x+(y+z); (xy)z=x(yz). 
2. Comutatividade: x+y=y+x; xy=yx. 
3. Elementos neutros: 

em R os elementos 0 e 1 tais que : x+0=x; 1.x=x 

x

R. 
4.Inversos: Todo x

R possui inverso - x

R; x+(-x)=0 e, se x

0, 

 o inverso 
multiplicativo x 1  R; x x 1 =1 
5. Distributividade: Para x,y,z 

R tem-se x(y+z)=xy+xz. 
Diferença: x-y=x+(-y) 
 
 
Quociente: 
y
x
=x y 1 
Estas operações chamam-se subtração e divisão. 
R é um corpo ordenado, pois R 

R (chamado conjunto dos números reais 
positivos) cumpre as seguintes condições: 
 1. A soma e o produto de números reais positivos são positivos: x, y 

 R  
então: 
x+y

 R  e xy R  . 
2. Dado x

R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x=0, 
ou x

 R  ou - x R  . 
Se indicarmos por R  o conjunto dos números –x onde x R  , a condição (2) 
diz que R=R 

 R 

{0} e os conjuntos R  , R  e {0} são dois a dois 
disjuntos. Os números y

 R  chamam-se negativos. 
 Dados x,y 

 R, se x

0, então x 2  R  ; se x 2 =y 2 então x=y ou x=-y. 
Se x<y então y-x

 R  , isto é y=x+z com z R  . 
Propriedades: 
1.Transitividade: Se x<y e y<z então x<z. 
2. Tricotomia: Dados x, y

R ocorre exatamente uma das alternativas x=y, 
x<y ou x>y. 
3. Monotonicidade da adição: Se x<y, 

z

R, x+z<y+z. 
4. Monotonicidade da multiplicação: Se x<y , 

z>0 xz<yz. Se, porém z<0 
então x<y

xz>yz. 
Temos que N

Z

Q

R. 
Desigualdade de Bernoulli: Para todo número real x

-1 e todo n

N, tem-se 
(1+x) n 

1+nx. 
D: Provemos por indução: é obvio para n=1.Suponhamos é válida para n , e 
provemos o é para n+1. 
(1+x) 1n 

(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+n x 2

1+(n+1)x 
 
 
Módulo ou valor absoluto: 
x
=max
 xx ,
. Para todo x

R, -
x

x

x
. 
 Teorema 1:Se x, y

R

yx 

x
+
y
 e 
xy
=
x y
. 
D: 
x

x, 
y

y

x
+
y

x+y; 
x

-x, 
y

-y

x
+
y

-(x+y) 

-(
x
+
y
)

x+y

yx 

x
+
y
. 
xy
2 = x 2 y 2 
(
x y
) 2 =x 2 y 2 
Então 
xy
=
x y
. 
Teorema 2: Sejam a, x, 
 
R. Tem-se 
ax 
<
 
a-

<x<a+

. 
D: Como 
ax 
=max{x-a e –(x-a)} 

x-a<

e –(x-a)< 
 
-

<x-a<

 

a-

<x<a+

. 
Os intervalos são tipos especiais de conjuntos de números reais, e podem ser 
limitados e ilimitados: 
(a,b]={x

R; 
bxa 
}- limitado. 
[a,+

)= {x

R;a

x}-ilimitado. 
O conjunto dos números reais R é um corpo ordenado compreto, Q é um 
corpo ordenado, mas não é completo. 
Um conjunto X é limitado superiormente quando 

b

R; x

b 

x

X, e 
limitado inferiormente se 

a

R; a

x 

x

X. É limitado, se e só se é limitado 
superior e inferiormente, ou equivalentemente, que 

 K>0 ; 
x

K 

x

X. O 
número b chama-se supremo de X. O supremo cumpre as condições: 
1. 

x

X, tem-se x

b. 
2. Se c 

R é tal que x

c 

x

X então b

c. 
2’. Se c<b então 

x

X com c<x. 
O supremo é o menor das cotas superiores. 
O número a chama-se ínfimo se cumpre as condições: 
 
 
1. 

x

X tem-se a

x. 
2. Se c<x 

x

X então c<a. 
2’. Se a<c então 

x

X; x<c. 
O ínfimo é a maior das cotas inferiores. 
Se b

X, então b é o máximo elemento de X. 
Se a

X, então a é o mínimo elemento de X. 
R é completo, significa que todo conjunto não vazio limitado superiormente 
X

R possui supremo b=supX

R. 
Teorema 3: i) O conjunto N

R dos números naturais não é limitado 
superiormente. 
ii) O ínfimo do conjunto X={
n
1
, n

N} é 0. 
iii) Dados a, b

 R  , 

 n

N; na>b. 
D: i) Se c=supN

c-1 não é cota superior de N, 

 n

N; c-1<n

c<n+1

N, 
então c não é supN. 
ii) Basta provar que c>0 não é cota inferior de X, se o fosse, 
n
1
>c 

n

n<
c
1
, 
mas por (i) dado 
c
1 
R, 

 n

N; 
c
1
<n; por tanto c não é cota superior. 
iii) Se a, b

 R  , por (i) 

 n

N; n>
a
b 
na>b. 
As propriedades (i), (ii) e (iii) significam que R é um corpo arquimediano, mas 
(iii) é devida a Eudoxo. 
Teorema4(Intervalos encaixados): Dada uma seqüência decrescente 
......21  nIII
de intervalos limitados e fechados 
],[ nnn baI 
, 

pelo 
menos um c 

R; c

nI

 n

N. 
D: As inclusões 
1 nn II
 significam que 
1221 ......... bbbaaa nn 
. 
O conjunto A={
121 ,...,...,, naaa
} é, portanto, limitado superiormente, seja c=supA. 
Evidentemente, 
na

c 

 n

N. Além disso, como cada 
nb
é cota superior de 
A, temos c

nb

 n

N. Por tanto c

nI
 qualquer que seja n

N. 
 
 
Teorema 5: O conjunto dos números reais não é enumerável. 
D: f: N

R não é sobrejetiva para nenhuma f. Dada f se construiu uma 
seqüência 
......21  nIII
, I
1
=[a
1
, b
1
], f(1)< a
1
, f(j)

I
j
. Suponhamos 
obtido 
nIII  ...21
 se f(n+1) 

I
n
, toma-se I
1n
= I
n
, se f(n+1) 

 I
n
 e 
na
< 
f(n+1), I
1n
=[a
11,  nn b
] com ,a
,1n
=
na
 e 
2
)1(
1


nfa
b nn
. Se c 

I
n
 

 n

N, 
então não existe n tal que f(n)=c. Então f não é sobrejetiva.. 
Sendo R=Q

(R-Q) temos que o conjunto dos números irracionais é não-
enumerável. 
Corolário: Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. 
D:Todo intervalo não-degenerado contém um intervalo (a,b), e como 
f:(-1,1)

(a,b); f(x)= 
2
1 [(b-a)x+a+b] é uma bijeção , basta mostrar que (-1,1) é 
não enumerável. Ora, a função g:R

(-1,1), dada por g(x)= 
x
x
1
 é uma 
bijeção cuja inversa é h:(-1,1) 

R; h(y)= 
y
y
1
, pois g(h(y))=y e h(g(x))=x. 
Teorema 6: Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e 
irracionais. 
D:I contém irracionais, pois é não-enumerável. Provemos contém racionais, 
tomemos [a,b] 

I onde a<b, podem ser irracionais. Fixemos n

N tal que 
n
1 <b-a. Os intervalos 
mI
 =
]
1
,[
n
m
n
m  , n Z, cobrem a reta, isto é 

Zm
mIR


. 
Portanto existe m

Z; a
mI
. Como é irracional, temosn
m
a
n
m 1

, sendo 
n
1 o comprimento do intervalo 
mI
 menor do que b-a, segue-se que 
n
m 1 <b, 
logo 
n
m 1  [a,b]  I. 
SEMINÀRIO. 
1. Prove as seguintes unidades: 
a) Se x+u=x para algum x

R então u=0. 
b) Se xu=x para todo x

R então u=1. 
 
 
c) Se x+y=0 então y=-x. 
d) Se xy=1 
1 xy
. 
Sugestão: Fazer uso do inverso aditivo e multiplicativo. 
2. Se a

0 e b

0 em R, prove que 
111)(   baab
 e conclua que 
a
b
b
a
)(
 
Sugestão: Multiplicar por ab e considerar a comutatividade. 
3. Dados a,b,c,d

R, se b 

0 e d

0 prove que 
bd
ac
d
c
b
a
e
bd
bcad
d
c
b
a


 ))((
. 
Sugestão: Multiplicar ambos os membros por bd. 
4. Prove que 
n
n
xxx
x
x


 
...1
1
1 2
1 para todo x

1. 
Sugestão: Pode-se aplicar indução ou efetuar a soma do segundo membro. 
5. Para quaisquer x, y, z

R, prove que 
zyyxzx 
. 
Sugestão: Considere x-z=(x-y)+(y-z) y aplique a desigualdade triangular. 
6. Prove por indução 
2
2
)1(
1)1( x
nn
nxx n


, 
0x
. 
7. 

 x

0 em R, prove que 
nxx n  1)1( 2
. 
Sugestão: Desenvolver o quadrado e aplicar a desigualdade de Bernoulli. 
8. a)Se 
2
2
1
1 ,
b
a
b
a  (a,b), 
21,bb
>0, prove que 
21
21
bb
aa

  (a,b). 
b) Se 
n
n
b
a
b
a
b
a
,...,,
2
2
1
1 
(a,b), 
nbbb ,...,, 21
>0, prove que 
n
n
bbb
aaa


...
...
21
21 
(a,b). 
Sugestão: Fazer uso da condição para que um número este num intervalo. 
9. Se supf=sup{f(x);x

X}. Prove que se f,g:X

R estão limitadas 
superiormente e f+g:X

R tem-se sup(f+g) 

sup-f+supg. Dé um exemplo 
com sup(f+g)<supf+supg. 
 
 
Enuncie e prove um resultado análogo para ínfimo. 
Sugestão: Aplicar a definição de supremo. 
10. Use o fato que o trinômio de segundo grau f(L)= 
0)(
1
2 

i
ii Lyx
, 

L

R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: 












 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii yxyx
1
2
1
22
1
)(
. 
Sugestão: Fazer uso do descriminante da expressão quadrática. 
 
 
Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006. 
 
 
 Tema III. 
Título: Seqüências de números reais. 
 Objetivos:- Compreender os conceitos de seqüência convergência, 
monótona, etc. 
-Saber interpretar o conceito de limite de uma seqüência. 
-Conhecer o teorema de Bolzano-Weierstrass. 
 Desenvolvimento: Uma seqüência de números reais é uma função x: 
N

R, que associa a cada número natural n um número real x
n
, chamado o 
n-ésimo termo da seqüência. 
Escreve-se (
,...,...,, 21 nxxx
) ou (x
n
)
Nn
, ou simplesmente (x
n
), para indicar a 
seqüência cujo n-ésimo termo é x
n
. Não se deve confundir a seqüência (x
n
), 
com o conjunto {
,...,...,, 21 nxxx
}.Pois (-1) n =(-1,1,-1,1,...), e o conjunto é {-1,1}. 
Uma seqüência (x
n
) diz-se limitada superiormente (respectivamente 
inferiormente) Quando 

c

R; x
n

c (respectivamente x
n

c) 

n

N. É 
 
 
limitada quando ela é limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer 
que 

 k>0; 
x
k 

n

N 
Ex !: Se a>1 então a seqüência (
na
) é limitada inferiormente, porém não 
superiormente, multiplicando 1<a por 
na
 obtemos 
na
<
1na
, por outro lado 
a=1+d, com d>0, e pela desigualdade de Bernoulli 
(1+d) n >1+nd. 
Portanto dado qualquer c

R temos que 1+nd>c sempre que n>
d
c 1
. 
Dada a seqüência (x
n
)
Nn
, uma subseqüência de x é a restrição da função x 
a um subconjunto infinito N’={n
,...},...,, ,21 knn
de N. Escreve-se x’=(x
n
)
'Nn
ou 
(
,...,...,,
21 knnn
xxx
). 
Exemplo 2: Seja a seqüência 
Nnn 





 1
. “Se N’é o conjunto dos números 
naturais pares e N” o conjunto dos números naturais ímpares então 
'
1
Nnn 






=(1/2, 1/4, 1/6,...,1/2n,...), 
e a seqüência 
'"
1
Nnn 






=(1, 1/3, 1/5,...,1/(2n-1),...). 
Diz-se que o número real a é o limite da seqüência (x
n
) quando, 
 0
 real 
, dado arbitrariamente, pode-se obter 
0n
 

N; todos os termos x
n
com índice 
n> 
0n
 cumprem a condição 
 axn
. Escreve-se então a=lim x
n
. 
Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de n, os 
termos x
n
tornam-se e se mantém tão próximos de a quanto se deseje. 
Simbolicamente, escreve-se: 
 a=lim x
n
  0
 

0n
 

N; n> 
0n

 axn
. 
Dizer que a=lim x
n
 significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a 
contém todos os termos x
n
da seqüência, salvo para um número finito de 
índices n, a saber, n

0n
, onde 
0n
 é o escolhido em função do raio 

do 
intervalo dado. 
 
 
Em vez de a=lim x
n
, escreve-se a=
nx
Nn
lim

, a=
nx
n
lim

ou 
axn 
. Esta 
última expressão lê-se “x
n
 tende para a”, ou “converge para a”. Uma 
seqüência que possui limite diz-se convergente, em caso contrário ela 
chama-se divergente. 
Teorema 1 (Unicidade do limite): Uma seqüência não pode convergir para 
dois limites distintos. 
D: Seja lim x
n
=a. Dado b

a podemos tomar 

; os intervalos I=(a-

,a+

) e 
J=(b-

,b+

) sejam disjuntos 

0n

N; n> 
0n
 implica x
n

I, então 

 n> 
0n
, 
temos 
Jx
, logo b não é limite. 
Teorema 2: Se lim x
n
=a então toda subseqüência de (x
n
) converge para o 
limite a. 
D: Seja (
,...,...,,
21 knnn
xxx
) a subseqüência. Dado qualquer intervalo aberto I de 
centro a, existe 
0n

N; todos os termos x
n

I com n> 
0n
. Em particular os 
termos 
kn
x
, com 
0nnk 
 também pertencem a I, logo limx
kn
=a. 
Teorema 3: Toda seqüência convergente é limitada. 
D: Seja lim x
n
=a. Tomemos 

=1, vemos que 

0n

N tal que n> 
0n

 
 x
n

(a-

, a+

). Seja b o menor e c o maior elemento do conjunto finito 
{x
1,1,,...,
01
 aaxn
}. Todos os termos x
n
 da seqüência estão contidos no 
intervalo [b,c], logo ela é limitada. 
Exemplo 3: Se x
n
=1+(-1) 1n , então (x
n
)=2,0,2,...) é limitada mas não é 
convergente. 
Exemplo 4: A seqüência x
n
=(n)=(1,2,3,...)não é convergente porque não é 
limitada. 
Uma seqüência (x
n
) chama-se monótona quando se tem 
1 nn xx
, 

n

N ou 
nn xx 1
 

n

N. No primeiro caso, diz-se que (x
n
) é monótona não-
decrescente e, no segundo, que (x
n
) é monótona não-crescente. Se, mais 
precisamente, tivermos 
1 nn xx
 (respectivamente 
nn xx 1
) 

n

N, diz-se 
que a seqüência é crescente (respectivamente decrescente). 
Teorema 4: Toda seqüência monótona limitada é convergente. 
 
 
D: Seja (x
n
) monótona, digamos não-decrescente, limitada. Escrevemos 
X=(
,...,...,, 21 nxxx
) e a=supX, afirmamos que a=lim x
n
. Com efeito, dado 

>0, 
o número a-

não é cota superior de X. Logo 

0n

N; a-

<
0n
x
<a. Assim, n> 
0n

 
a-

<
0n
x

 x
n
<a+

 e daí limx
kn
=a. 
Semelhantemente, se (x
n
) é não-crescente e limitada. 
Corolário (teoremade Bolzano-Weirstrass): Toda seqüência limitada de 
números reais possui uma subseqüência convergente. 
D: Basta mostrar que toda seqüência (x
n
) limitada possui uma subseqüência 
monótona. Um termo x
n
 é destacado quando 
pnxx pn 
. Se D for o 
conjunto dos índices n tais que x
n
 é um termo destacado. Se D

N é um 
conjunto infinito {n
...}...,21  knn
, então a subseqüência (x
n
)
Dn
 será 
monótona não-crescente . Se entretanto, D for finito seja 
Nn 1
 maior do que 
todos os n

D. Então 
1n
x
 não é 
 
destacado, logo 
2n
>
1n
 com 
2
2 nn
xx 
. Por 
sua vez , 
2n
x
 não é destacado logo 
3n
>
2n
 com 
3
2
2 nnn
xxx 
. 
Prosseguindo, obtemos uma subseqüência crescente 
,...,...,,
21 knnn
xxx
. 
Exemplo 5: A seqüência (x
n
)=(1/n)é monótona, decrescente , limitada, 
Temos então lim1/n=inf{1/n; n

N}=0. 
Exemplo 6: Seja 0<a<1. A seqüência (
,...,...,, 2 naaa
), formada pelas potencias 
sucessivas de a, é decrescente, limitada pois a<1
nn aa  1
. Afirmamos que 
0lim 

na
n
. 
SEMIÁRIO 3: 
1. Dadas as seqüências a
n
=(-
n
1
) n , b
n
=(
3
) n , (-1) n
2
n
: 
a) Diga se são ou não monótonas, por qué? 
b) Indique em cada caso uma subseqüência monótona. 
c) Qual das subseqüências é convergente? 
Sugestão: Analise o conjunto de valores das seqüências. 
 
 
2. Uma seqüência (x
n
) diz-se periódica quando 

p

N; x
pn
= x
n
 

n

N. 
Prove que toda seqüência periódica convergente é constante. 
Sugestão: Fazer uso do período e compare com a definição de convergência. 
3. Dadas as seqüências (x
n
) e (y
n
), defina (z
n
) pondo z
12 n
= x
n
 e z
n2
= y
n
. 
Se 
lim x
n
=lim y
n
=a, prove que lim z
n
=a 
Sugestão: Aplicar a definição de limite para cada subseqüência e conclua 
para a seqüência. 
4. Se lim x
n
=a, prove que lim 
nx
=
a
. 
 Sugestão: Fazer uso de que a-b

a
-
b
. 
5. Se uma seqüência monótona tem uma subseqüência convergente, prove 
que a seqüência é, ela própria, convergente. 
Sugestão: Fazer uso da existência do limite e da monotonicidade. 
6. Um número a chama-se valor de aderência da seqüência (x
n
) quando é 
limite de uma subseqüência de (x
n
). Para cada um dos conjuntos A, B, e C 
abaixo ache uma seqüência que o tenha como conjunto dos seus pontos de 
aderência. A={0,2}, 
 B={1,3} e C={0,1,2}. 
Sugestão: Fazer para C uma partição do conjunto dos números naturais. 
 Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006. 
 
Título:Operações com limites. 
Objetivos:- Compreender as principais propriedades do limite. 
Conhecer:- Teorema do sanduíche. 
 -Resultados do limite infinito. 
 
 
 Desenvolvimento: Diremos que para todo n suficientemente grande x
n
 goza 
da propriedade P para significar que 

 
0n

N; n>
0n

 x
n
 goza da 
propriedade P. 
Teorema 1: Seja lim x
n
=a. se b<a então, 

n suficientemente grande, tem-se 
b< x
n
. 
D: Tomemos 

=a-b, temos 

>0 e b=a-

. Pela definição de limite,  
0n

N; 
n>
0n

a-

< x
n
<a+
 
b< x
n
. Analogamente, se a<b. 
Corolário 1: Seja lim x
n
=a. Se a>0 então 

 n

N suficientemente grande, 
tem-se x
n
>0. Analogamente, se a<0. 
Corolário 2: Sejam lim x
n
=a e lim y
n
=b. Se x
n

y
n

n suficientemente 
grande então a

b. Em particular se x
n

b 

n suficientemente grande, então 
lim x
n

b. 
Observação: Se x
n
<y
n

n não se poderia concluir a<b basta tomar x
n
=-1/n 
e y
n
=1/n. 
Teorema 2(Teorema do sanduíche): Se lim x
n
= lim y
n
=a e x
n

z
n

 y
n

n 
suficientemente grande, então lim z
n
=a. 
D: Dado arbitrariamente 

>0,  n
Nn ,21,
; n>
1n
 

a-

< x
n
<a+

 e para 
n>n
2

a-

< y
n
<a+

. Seja 
0n
=max{ n
,21,n
}. Então n>
0n

 a-

< x
n

z
n

 
y
n
<a+
 
 a-

< z
n
<a+

, logo lim z
n
=a. 
Operações com limites. 
Teorema 3: Se lim x
n
=0 e (y
n
)é uma seqüência limitada (convergente ou 
não) então lim (x
n
y
n
)=0. 
D:  c>0; 
cyn 
 

 n

N. : Dado arbitrariamente 

>0, 
0n

N; 
n>
0n

c
xn


. Então n>
0n

  c
c
yxyx nnnn .
, logo lim (x
n
y
n
)=0. 
Exemplo 1: Se x
n
=1/n e y
n
=sen(n) então y
n
 não converge mas -1

y
n

1, 
tem-se lim (x
n
y
n
)= sen(n)/n=0. 
Observação: Se y
n
 não é limitada, nada pode-se dizer. 
 
 
Teorema 4: Se lim x
n
=a e lim y
n
=b então: 
1. lim (x
n

y
n
)=a 

b 
2. lim (x
n
y
n
)=ab 
3. lim (x
n
/y
n
)=a/b se b

0. 
D: 1) Dado arbitrariamente 

>0, 

n
Nn ,21,
; n>
1n
 

 axn

/2 e para 
n>n
2

byn

/2. Seja 
0n
=max{ n
,21,n
}. Então n>
0n

 )()( bayx nn
 
 )()( byax nn )( byax nn 
<

/2+

/2=

. 
2) Temos x
n
y
n
-ab= x
n
y
n
- x
n
b+ x
n
b-ab= x
n
(y
n
-b)+b(x
n
-a), mas x
n
 é limitada 
além disso lim(x
n
-a)= lim (y
n
-b)=0 e assim lim (x
n
y
n
)=ab. 
3) x
n
/y
n
-a/b= (x
n
b-y
n
a)/b y
n
 como lim (x
n
b-y
n
a)=0basta provar que 1/ b y
n
 
é limitada. Ora pondo c=b 2 /2 temos que 0<c< b 2 . Como lim b y
n
= b 2 , então: 
lim (x
n
/y
n
-a/b)=0. 
Limites infinitos. 
Dada uma seqüência x
n
 , diz-se que o limite de x
n
 é +

 e escreve-se lim 
x
n
=+

, para significar que, dado arbitrariamente A>0 , existe 
0n

N; 
n>
0n
implica x
n
>A. Analogamente lim y
n
=-

. Nestes casos as seqüências 
não são convergentes. 
Teorema 5: 1)Se lim x
n
=+

 e y
n
é limitada inferiormente então lim 
(x
n
+y
n
)=+

. 
2) Se lim x
n
=+

 e existe c>0 ; y
n
>c 

 n

N então lim (x
n
y
n
)=+

 
3) Se x
n
>c >0, y
n
>0 

 n

N lim y
n
=0 então lim (x
n
/y
n
)=+

. 
4) Se (x
n
) é limitada e lim y
n
=+

 então lim (x
n
/y
n
)=0. 
D: 1)  c R; y
n

c 

 n

N. Dado arbitrariamente A>0, existe 
0n

N; n>
0n
 
implica x
n
>A-c. Segue-se que n>
0n

 x
n
+y
n
>A-c+c=A, logo lim 
(x
n
+y
n
)=+

. 
 
 
2) Dado arbitrariamente A>0, existe 
0n

N; n>
0n
 implica x
n
>A /c logo n>
0n

 
x
n
y
n
> (A /c).c =A donde lim (x
n
y
n
)=+

 
3) Dado arbitrariamente A>0, existe 
0n

N; n>
0n
 implica x
n
>A /c logo n>
0n

 
y
n
<c/A. Então n>
0n

 x
n
/y
n
>c.( c/A)=A e daí lim (x
n
/y
n
)=+

. 
4) 

c>0; 

cxn 

 n

N. Dado arbitrariamente 

>0, 

 
0n

N; n>
0n
, 
y
n
>c/

. Então n>
0n

 
c
y
x
n
n 
(

/c )= 

, logo lim (x
n
/y
n
)=0. 
Proposição: Se x
n
>0 

 n

N e lim
n
n
x
x 1
=a<1 então lim x
n
=0. 
D: Seja c

R com a<c<1, então 0< 
n
n
x
x 1
<c 

 n suficientemente grande. 
Segue-se que 0< 
1nx
<c x
n
, logo para n suficientemente grande, a seqüência 
(xn
) é monótona limitada. Seja lim x
n
=b. De 
1nx
< cx
n
 

 n suficientemente 
grande resulta, fazendo n

, que b<cb

(1-c)b

0. Como b

0 e 0<c<1, 
concluímos que b=0. 
 
SEMINÁRIO 4: 
1) Prove que si a>1 então: 
a) lim 
k
k
a
n
=0 b) lim
n
an
=0 c) lim
0

nn
n
 
Sugestão: Prove que lim
n
n
x
x 1
=a<1. 
2) Seja lim x
n
=a e lim y
n
=b. Se a<b, provar que existe 
0n

N; n>
0n
 implica 
x
n
< y
n
. 
Sugestão: Considere 
2
ab 

 e aplique a definição de limite. 
3) Se o número a não é o limite da seqüência limitada (x
n
), prove que alguma 
subseqüência de (x
n
) converge para um limite b

a. 
Sugestão: Fazer uso do teorema de Bolzano-Weirstrass. 
 
 
 4) Prove que lim
nn
=1. 
Sujestão: Aplique ln a x
n
= nn 1 . 
5) Se lim x
n
=+

, prove que lim [
nn xax ln)ln( 
]=0. 
Sugestão: Fazer uso da conjugada. 
6) Mostre que lim 
)ln(
)1ln(
n
n 
=1. 
Sugestão: Use que lim x
n
=a se e só se lim (x
n
-a)=0. 
 
Referências: 
Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. Rio de 
Janeiro. IMPA. 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tema IV. 
Título: Séries numéricas. 
 Objetivos: - Conhecer e aplicar os conceitos de convergência, convergência 
absoluta e convergência condicional. 
-Saber aplicar os testes de Cauchy e D’Alembert. 
-Conhecer os resultados fundamentais sobre convergência de series. 
 
 
 Desenvolvimento: 
Uma série é uma soma s=
...,...21  naaa
 com um número infinito de 
parcelas. Para que isso faça sentido, poremos: 
 
 
 
Dada a seqüência 
)(
n
a
de números reais, a partir dela formamos uma nova 
seqüência 
 ns
onde: 
,11 as 
, 
22 aas a 
,..., 
nn aaas  ...21
, etc 
Os números s
n
 chamam-se as reduzidas ou somas parciais da série 
 na
. A 
parcela 
na
é o n-ésimo termo ou termo geral da série. 
Se existe o limite s=lim s
n
, diremos que a série
 na
 é convergente e s= 
 na
 =
...,...21  naaa
 será chamada a soma da série. Se o lim s
n
 não 

, diremos que 
 na
é uma série divergente. 
Exemplo 1: Se 
a
<1, então a série 
 na
=1/(1-a), é convergente. 
A série harmônica 

n
1
 é divergente. 
Teorema 1(Critério de comparação): Sejam 
 na
 e 
 nb
 séries de termos 
não negativos. Se 

 c>0 
0n

N; a
n

c b
n

n>
0n
 então a convergência de 
 nb

 na
 enquanto a divergência de 
 na

 nb
. 
D: Sem perdida de generalidade, podemos supor a
n

c b
n

n

N. Então as 
reduzidas s
n
 e t
n
, de 
 na
e 
 nb
respectivamente, formam seqüências não-
decrescentes tais que s
n

c t
n

n

N. Com c>0, (t
n
) limitada 

(s
n
) limitada 
e (s
n
) ilimitada

 (t
n
) ilimitada, pois t
n

 s
n
/c. 
Exemplo 2: A série 
 rn/1
 converge se r>1 e diverge se 0<r<1. 
 3/1 n
- Converge. 
 n/1
- Diverge. 
)...(lim 21 n
n
aaa 

 
 
Teorema 2: O termo geral de uma série convergente tem limite zero. 
D: Se a série 
 na
 é convergente então, pondo a
n
= s
n
- s
1n
, e com 

 lim 
s
n
=s. 
lim a
n
= lim (s
n
- s
1n
)=s-s=0. 
lim a
n
=0 é uma condição necessária para a convergência, mas não suficiente, 
pois na série harmônica 

n
1
 =lim 1/n=0 e é divergente. 
Uma série 
 na
 diz-se absolutamente convergente quando 
 na
 
converge. 
Exemplos 3: 
 na
 quando -1<a<1 é absolutamente convergente. 
nn /)1( 1 
=1- ½+ 1/3 -... é convergente. Quando tomamos a soma dos 
valores absolutos, obtemos a série harmônica que é divergente. 
Teorema 3(Teorema de Leibniz): Se (a
n
) é uma seqüência monótona 
decrescente que tende para zero então 
  nn a1)1(
 é uma série convergente. 
D: Seja s
n
= a-a
2
+.. +
n)1(
a
n
. Então 
nnnn aass 212222  
 e 
s
1221212   nnnn aas
. Logo as reduzidas de ordem par formam uma 
seqüência não-decrescente (pois 
nn aa 212 
0
) e as reduzidas de ordem 
impar uma seqüência não –crescente (pois -
122  nn aa

0). Além disso, como 
nnn ass 2122  
, temos 
02122   nnn ass
. Isto mostra que: 
1312242 ......... ssssss nn  
 
E lim
ns2
=lim
12 ns
 pois lim
na2
=0. Logo (s
n
) converge. 
Exemplos 3: A série 
  )/11ln()1( nn
 é convergente. Mas ela não é 
absolutamente convergente, pois a reduzida de ordem n da série 
  )/11ln( n
=
)
1
ln(

n
n
 é 
s
n
=
)1ln( n
, portanto lim s
n
=+

. 
Uma série convergente 
 na
; 
 na
=+

 chama-se condicionalmente 
convergente. 
Teorema 4: Toda série absolutamente convergente é convergente. 
 
 
D: Seja 
 na
convergente. Para cada n

N, definimos os números p
n
 e q
n
, 
pondo 
p
n
 =a
n
se a
n

0 e p
n
=0 se a
n
<0; analogamente q
n
=-a
n
 se a
n

0, e q
n
=0 
se a
n
>0.Os números p
n
 e q
n
 chamam-se, respectivamente, a parte positiva e 
a parte negativa de a
n
. Então p
n

0 e q

0, p
n
+q
n
=
na
 (em particular 
p
n

na
 e q
n

na
) e p
n
-q
n
= a
n
. (Note que, para cada n

N, pelo menos um 
dos números p
n
, q
n
é zero). Pelo 
teorema 1, as séries 
 np
 e 
 nq
 são convergentes. Logo é convergente a 
série 
 na
=
)(  nn qp
=
 np
-
 nq
. 
Observação: Dada a série 
 na
, definimos acima os números p
n
=max{a
n
, 
0} e q
n
=max{-a
n
,0}, a parte positiva e a parte negativa de a
n
. Se 
 na
 é 
condicionalmente convergente, deve-se ter 
 np
=+

 e 
 nq
=+

, pois do 
contrário não seria condicionalmente convergente. 
SEMINÁRIO 5: 
1. Dadas as séries 
 na
e 
 nb
, com a
n
=
nn 1
 e b
n
ln(
n
1
1
) mostre 
que lim a
n
=0 e lim b
n
=0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas s
n
 e 
t
n
 destas séries e mostre que lim s
n
=lim t
n
=+

, logo as series dadas são 
divergentes. 
2. Prove que 
...,...21  naaa
e 
 na
 convergente então lim n a
n
=0. 
Sugestão: Veja que na
n2
 esta limitada pela soma dos termos desde n+1 até 
2n de igual forma na
12 n
 esta limitado pela soma dos termos desde n até 2n-1; 
y considere as reduzidas e passe ao limite. 
3. Se 
 na
 é convergente e a
n

0 

n

N então a série 
n
nxa
 é 
absolutamente convergente 

x

[-1,1] e 
)(nxsenan
, 
)cos(nxan
 são 
absolutamente convergente 

x

R. 
Sugestão: Aplique o teste de D’Alembert ou Cauchy, e logo o teorema de 
comparação. 
4. A série 1-1/2 +2/3 -1/3 +2/4 -1/4 +2/5 -1/5 +...tem termos alternadamente 
positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é 
divergente. Porque isso não contradiz o Teorema de Leibniz? 
 
 
Sugestão: Analisar as condições do teorema de Leibniz. 
5. Se 
 na
é absolutamente convergente, prove que 
2
 na
 converge. 
Sugestão: Compare para os n suficientemente grandes os valores de 
na
 e 
2
na
, sabendo que a série é absolutamente convergente. 
6. Se 
2
 na
 e 
2
 nb
 convergem, prove que 
nnba
 converge absolutamente. 
Sugestão: Fazer uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz.Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Título: Testes de convergência. 
 
 
 Objetivos: - Conhecer e aplicar os diferentes testes de convergência. 
 - Aplicar os exercícios as propriedades das series condicionalmente 
convergentes. 
Desenvolvimento: 
Teorema 1: Seja 
 nb
uma série absolutamente convergente, com b
n

0 

n

N. Se a seqüência (a
n
/ b
n
) for limitada (em particular , se for 
convergente) então a série 
 na
 será absolutamente convergente. 
D: Se, para algum c>0 tivermos 
n
n
b
a 
c seja qual for n

N então 
nn bca 
. 
Pelo critério de comparação, a série 
 na
 é absolutamente convergente. 
Corolário (Teste de D’Alembert): Seja a
n

0 

n

N. Se 

 uma constante 
c; 
n
n
a
a 1

c<1 

n suficientemente grande (em particular lim
n
n
a
a 1
<1) então a 
série 
 na
 é absolutamente convergente. 
D: Se 

n suficientemente grande vale 
n
n
a
a 1

c=
n
n
c
c 1
, então 
n
n
n
n caca //
1
1 


. Assim a seqüência de números não negativos 
n
n ca /
é 
não-crescente a partir de uma cierta ordem, logo é limitada. Como a série 
 nc
 é absolutamente convergente, segue-se que 
 na
 converge 
absolutamente. No caso de 

 lim
n
n
a
a 1
=L<1, escolhemos um número c; 
L<c<1e teremos 
n
n
a
a 1

c para n suficientemente grande. 
Observação: Quando se aplica o teste de D’ Alembert, usualmente se 
procura calcular lim
n
n
a
a 1
=L. Se L>1 a série diverge, pois se tem 
n
n
a
a 1
>1, 
donde 
nn aa 1

n suficientemente grande e daí resulta que o termo geral 
a
n
 não tende a zero. Se L=1, o teste é inconcluso. 
Exemplo1: Seja a série a
n
=1/(
)132  nn
. Considerando a série 
 2
1
n
, como 
lim
132
2
 nn
n
=1, concluímos que 
 na
 é convergente. 
 
 
Teorema 2(Teste de Cauchy): Quando 

um número c; 
nan
<c<1

n 
suficientemente grande (em particular lim
nan
<1), a série 
 na
 é 
absolutamente convergente. 
D: Se 
nan
<c<1

n então 
n
n ca 

n suficientemente grande. Como a 
série geométrica 
 nc
 é convergente, segue-se do critério de comparação 
que 
 na
é absolutamente convergente. No caso de 

 lim
nan
=L<1, 
escolhemos c; L<c<1 e teremos 
nan
<c<1

n suficientemente grande. 
Observação: Também no teste de Cauchy, tenta-se calcular lim
nan
=L, se 
L>1, a serie 
 na
diverge. Com efeito, neste caso, tem-se 
nan
>1 

n 
suficientemente grande, donde 
na
>1, logo a série 
 na
diverge, pois seu 
termo geral não tende a zero. Quando L=1 a série pode divergir ou convergir. 
Exemplo 2: Seja a
n
=
n
n
n
)
1
(ln

. Como 
nan
=ln(
)/11 n
 tende a zero, a série 
 na
converge. 
Teorema 3: Seja (a
n
) uma seqüência cujos termos são diferentes de zero. Se 
 Lim
n
n
a
a 1
=L então lim
nan
=L. 
D: Para simplificar a notação, suporemos que a
n
>0 

n. Dado 

>0, fixemos 
K,M; 
L-

<K<L<M<L+

, 

p

N; n

p

K<
n
n
a
a 1
<M. Multiplicando membro a 
membro as n-p desigualdades K<
1

ip
ip
a
a <M, i=1,2,...,n-p, obtemos 
K
pn
p
npn M
a
a  

n>p. Ponhamos 

=
p
p
K
a e 

=
p
p
M
a . Então 
 nnn MaK 
. Extraindo raiz, vem K
 nnnn Ma 
 

n>p. Levando 
em conta que L-

<K,M<L+

, 
lim
n
 =1 e lim
n
=1, concluímos que 

n
0
>p; n> n
0

 L-

<K
n
 e 
M
n
<L+

. Então para; n> n
0
 L-

 n
n a
L+

, o que prova o teorema 
quando L>0. Se L=0, basta considerar M em vez de K e M. 
 
 
Uma série 
 na
 diz-se comutativamente convergente quando, para qualquer 
bijeção g:N

N, pondo 
)(ngn ab 
, a série 
 nb
 é convergente. (Em particular 
tomando g(n)=n, a série 
 na
 é convergente). Resulta do que mostraremos a 
seguir que 
 na
 é comutativamente convergente então 
 nb
=
 na
 qualquer 
que seja bijeção g. 
Teorema 4: Se 
 na
 é absolutamente convergente então para toda bijeção 
g:N

N, pondo 
)(ngn ab 
, tem-se 
 nb
=
 na
. 
D: Supomos inicialmente a
n

0 . Escrevamos 

n. Escrevamos s
n
= a
1
+ 
a
2
+.. +a
n
 e 
t
nn bbb  ...21
. Para cada n

N, os números g(1),..., g(n) pertencem ao 
conjunto {1,2,..., m}, onde m é o maior dos g(i). Então 
t=
 
 

nm
i
n
j
njig saa
1 1
)(
 
Assim para cada n

N, 

 m 

N; t 

s
n
 Reciprocamente,(considerando 
1g
 
em vez de g) para cada m

N 

 n

N; s
n

 t. Segue se que lim s
n
=lim
mt
, 
isto é 
  nm ab
. No caso geral a
n
=p 
n
-q 
n
 se consideram as duas 
reordenações u
n
 de p
n
 e v
n
 de q 
n
. 
Teorema 5(Teorema de Riemann): Alterando-se convenientemente a ordem 
dos termos de uma série condicionalmente convergente, podemos fazer com 
que sua soma fique igual a qualquer número real pré-fixado. 
D: Seja 
 na
 a série dada. Fixamos o número c, começamos a somar os 
termos positivos na ordem natural, parando quando ao somar a
1n
, a soma 
pela primeira vez ultrapasse c (
 np
 ) A esta soma acrescentamos os 
termos negativos, na ordem natural parando logo que, ao somar 
2n
a
, o total 
resulta inferior a c (é possível pois -
 nq
 ). Prosseguimos analogamente 
, obtemos uma nova série com os termos de 
 na
 em uma outra ordem. A 
respectiva soma desta série oscila entorno de c. Ora lim a
1n
=0, porque a série 
 na
 converge. Logo as reduzidas da nova série convergem para c. 
 SEMINÁRO 6; 
 1.- Prove que as seguintes séries são convergentes: 
 
 
a) 

n
an
 a>0. b) 


nn
n
 
c) 
 n
k
a
n
 a>1 d) 
n
n
n
)
)ln(
(
 
Sugestão: Fazer uso do teste adequado. 
2. Dada uma seqüência de números positivos x
1n
, com lim x
1n
=a, prove que 
lim
n
nxxx ...21
=a. 
Sugestão: Fazer 
nn xxxz ...21
, e aplicar D’ Alembert. 
3. Determine para quais valores de x cada uma das séries abaixo é 
convergente: 
a) 
 nkxn
 b) 
 n
n
n
x
 
c) 
 nnxn
 d) 
  nxn
 e) 
 2n
xn
 
Sugestão: Use qualquer dos testes e determine os valores de x. 
4. Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1-1/2+1/3 -
1/4+....de modo que sua soma se torne igual a zero. 
Sugestão: Analise que é condicionalmente convergente e determine a 
reordenação a realizar. 
 
Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tema V. 
 Título:Algumas noções topológicas. 
 Objetivos: - Conhecer os principais conceitos da topologia. 
 -Aplicar os exercícios as propriedades dos conjuntos abertos e 
fechados. 
 Desenvolvimento: 
Diz-se o ponto a é interior ao conjunto X

R quando 

 um número 

>0; o 
intervalo aberto (a- 

, a+

) está contido em X. O conjunto dos pontos 
interiores de X chama-se o interior de X e representa-se pelanotação intX. 
Quando a

intX diz-se que X é uma vizinhança do ponto a. Um conjunto A

R 
é aberto quando A=intA, isto é quando todos os pontos de A são interiores. 
Exemplo 1: - (a,b) é aberto. 
 -[c,d] não é aberto. 
1A
 
2A

 
 - O conjunto vazio (

) é aberto. 
Diz-se que a=lim
nx
 se, e só se, 

 aberto A, a

A 

 n
0

N; n> n
0
 
nx

nx

A. 
Teorema 1: a) Se A
1
 e A
2
 são conjuntos abertos, então a interseção A
1

A
2
 
é um conjunto aberto. 
b) Se (
LA  )
 é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A=

L
A


 
é um conjunto aberto. 
D: a) Se x

 A
1

A
2

x

A
1
 e x

A
2
. Como A
1
 e A
2
 são conjuntos abertos, 

 
1
>0 e 
2
>0; (x-
1
,x-
1
)

 A
1
 e (x-
2
,x-
2
)

 A
2
. Seja 

=min{
1
,
2
}. 
Então 
 (x-

,x-

)

 A
1
 e (x-

,x-

)

 A
2
 logo (x-

,x-

)

 A
1

A
2
. Assim todo 
x

A
1

A
2
 é interior, ou seja, A
1

A
2
 é aberto. 
b) Se x

 A então 
 L
; x

 A

. Como A

 é aberto, 

 um número 

>0; (x-

,x-

)

 A


 A, logo todo x

 A é interior, então A é aberto. 
 
 
Exemplo 2: Se A
n
=(-1/n,1/n) então A
1

A
2

...

 A
n

...={0} e esse 
conjunto não é aberto, então a interseção qualquer de abertos não é aberto. 
Diz-se que o ponto a é aderente ao conjunto X

R quando é limite de alguma 
seqüência de pontos 
nx

X. Evidentemente, todo ponto a

X é aderente a X: 
basta tomar 
nx
=a. 
Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto 
X
 formado por todos os 
pontos aderentes a X. Tem-se que X
 X
. Se X

Y
 X  Y
. Um conjunto 
diz-se fechado quando X=
X
, isto é, quando todo ponto aderente a X pertence 
a X. Seja X

Y. Diz-se que X é denso em Y Quando Y
 X
, isto é quando 
todo b

Y é aderente a X. Por exemplo, Q é denso em R. 
Teorema 2: um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda 
vizinhança de a contém algum ponto de X. 
D: Se a
 X
. Então a=lim
nx
, onde 
nx

X 

n

N. Dada uma vizinhança V, 
a

V temos 
nx

V 

n suficientemente grande (pela definição de limite), logo 
V

X


. Reciprocamente, se toda vizinhança de a contém pontos de X 
podemos escolher, em cada intervalo (a-1/n, a+1/n), n

N um ponto 
nx

X. 
Então 
naxn /1
, logo lim
nx
=a e a é aderente a X.. 
Se existe uma vizinhança V, a

V; V

X=

, então a não é aderente a X. 
Corolário: O fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado 
( XX   X R). 
D: Se a
 X
 então todo conjunto aberto A, a

A, contém algum b
 X
. A é 
uma vizinhança de b. Como b é aderente a X, segue-se que A contém pontos 
de X. Logo qualquer ponto a aderente a 
X
 é também aderente a X., 
assim X  X , que X  X é evidente. 
Teorema 3: Se um conjunto F

R é fechado se , e só se , seu complementar 
é aberto (A=R-F). 
D: Se a

A, isso é a

F. Pelo teorema 2, 

 alguma vizinhança V, a

V que 
não contém pontos de F, isso é V

A. Assim, todo ponto a

A é interior a A, 
ou seja A é aberto. Reciprocamente, se o conjunto A é aberto, o ponto a é 
aderente a F então toda vizinhança de A contém pontos d F, logo não é 
interior a A. Sendo A aberto, temos que a

A, ou seja, a

F. Assim, todo 
ponto aderente a F pertence a F, logo Fé fechado. 
Teorema 4: a) Se 
21eFF
 são fechados, então 
21 FF 
 é fechado . 
 
 
b) 
LF  )(
 é uma família qualquer de conjuntos fechados então F=

L
F


é um 
conjunto fechado. 
D: a) Os conjuntos A
1
=R- F
1
 e A
2
=R- F
2
 são abertos pelo teorema 3. Logo 
A
1

A
2
=R-(
21 FF 
) é aberto, então 
21 FF 
 é fechado. 
b) Para cada 
L
, 
 FRA 
 é aberto. Segue-se que A= 

L
A


 é aberto. 
Mas A=R-F. Logo F é fechado. 
Exemplo 3: - O fecho de (a,b), (a,b] 
 - Se I

R , Q

I é denso em I. 
Uma reunião infinita de fechados pode não ser fechada. Por exemplo, R-(-
nn
1
,
1
), é fechado e sua reunião para toda n não. 
Uma cisão de um conjunto X

R é uma decomposição X=
BA
 tal que 
A
 B
=

 e 
BA
, isto é nenhum ponto de A é aderente a B e nenhum 
ponto de B é aderente a A. A decomposição X= X


 chama-se cisão trivial. 
Exemplo 4: Se X= R-{0}, então X=
 RR
 é uma cisão. 
Teorema 5: Um intervalo de reta só admite a cisão trivial. 
D: Suponhamos o intervalo I admite a cisão X=A

B . Temos a

A e b

B, 
digamos com a<b, logo [a,b]

I. Seja c o ponto médio do intervalo [a,b], então 
c

A ou c

B. Se c

A poremos a
1
=c e b
1
=b. Se c

B faremos a
1
=a e b
1
=c, 
[a
1
,b
1
]

[a,b] com 
b
1
- a
1
=
2
ab 
. O ponto médio de [a
1
,b
1
] o descompõe em dois intervalos de 
comprimento 
4
ab 
 um deles [a
2
,b
2
] tem a
2

A e b
2

B prosseguindo 
obtemos [a,b]

[a
1
,b
1
]

[a
2
,b
2
]

...

[
nn ba ,
]...com 
nb
- 
na
=
n
ab
2

, 
na

A e 
nb

B

n

N 

 d

R; 
na
 d
 
nb
 

n

N. O ponto d=lim
nb
 B
, não pode 
estar em A, nem B pois d=lim
na
 A
. Contradição. 
Corolário: Os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e 
fechados são R e 

. 
D: Com efeito, se A

R é aberto e fechado, então R=A

(R-A) é uma cisão, 
logo A=

 e R-A=R ou A=R e R-A=

. 
 
 
 
SEMINÁRI 7: 
1. Se X é limitado, não vazio. Prove que a=infX e b=supX são aderentes a X . 
Sugestão: Use a partir de a e b uma cota para a seqüência que converge 
para esses valores, indicando conjuntos discretos e intervalos. 
2. Para todo X 

R, prove que vale a reunião disjunta R=intX

int(R-X) 

frX, 
onde frX é formado pelos pontos x

R; toda vizinhança de x contém pontos de 
X e pontos de R-X. O conjunto frX chama-se a fronteira de X.. Prove que 
A

R é aberto se A

frA=

. 
Sugestão: Considere uma vizinhança qualquer e indique suas posíveis 
posições. Use uma decomposição para o conjunto R fazendo uso do conjunto 
X, contemplando os pontos interiores a X e ao complementar. 
3. Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X=[-1,1], 
Y=(0,1) 

(1,2), Z= (0,1) 

[1,2], W=Q, U=Z. 
4. Prove que 

 X

R, vale 
X
=X

frX. Conclua que X é fechado se, e só se, 
frX

X. 
Sugestão: Considere os pontos de 
X
 a partir de sua definição e indique sua 
relação com X e determine sua característica. 
5. Para todo X

R, prove que R-intX=
XR 
 e R-
X
=int(R-X). 
Sugestão: Use o fato que x esta no conjunto considerado e faça uso das 
propriedades topológicas e das operações com conjuntos. 
6. Prove que se X

R tem fronteira vazia então X =

 ou X=R. 
Sugestão: Use o conceito de fronteira e fato que nela não há elementos 
assim como as propriedades de abertos e fechados vistas antes. 
 
Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Título: Conjuntos compactos.Objetivos:- Conhecer e aplicar os conceitos de conjunto compacto, cobertura, 
etc. 
 - Aplicar aos exercícios os principais resultados com relação aos 
conjuntos compactos. 
 - Conhecer o teorema de Borel-Lebesque. 
Desenvolvimento: 
Diz-se que a

R é um ponto de acumulação do conjunto X

R quando toda 
vizinhança V de a contem pontos de X diferentes de a(Isto é V

(X-{a})


). 
Equivalentemente: 
 
>0 tem-se 
 (a-

,a+

)

(X-{a}


. Indica-se com X’ o conjunto dos pontos de 
acumulação de X. portanto a

X’

a

}{aX 
. Se a

X não é ponto de 
acumulação de X, diz-se que que a é um ponto isolado de X. Isto significa 
que 
 
>0 tal que a é o único ponto do conjunto X no intervalo (a-

,a+

). 
Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se um conjunto 
discreto. 
 Teorema 1: Dados X

R e a

R, as seguintes afirmações são equivalentes : 
1) a é um ponto de acumulação de X. 
2) a é limite de uma seqüência de pontos x
n

X-{a}. 
3) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X. 
D: Supondo (1), 

n

N podemos achar um ponto x
n

X, x
n

a, na 
vizinhança (a-1/n,a+1/n). Logo limx
n
=a, o que prova (2). Supondo (2), então, 
para qualquer n
0

N o conjunto {x
n
;n> n
0
} é infinito porque do contrário 

 um 
termo x
1n
 que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma seqüência 
constante com limite x
1n

a. Pela definição de limite, vê-se portanto que 
(2)

(3). A implicação 
(3) 

(1) é obvia. 
Exemplos 1: -Se X é finito X’ =

. 
 
 
 - Z é infinito, mas Z’ =

. 
 -Q’=R 
 -Se (a,b) 

X’=[a,b] 
 -Se X={1,1/2,1/3,...,1/n,...} então X’={0}. 
Teorema2: Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo 
menos um ponto de acumulação. 
D: Seja X

R infinito limitado, X possui um subconjunto enumerável 
{x
,...},...,, 21 nxx
. Fixando esta enumeração, temos uma seqüência (x
)n
 de 
termos dois a dois distintos, pertencente a X, portanto uma seqüência 
limitada, a qual, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, possui uma 
subseqüência convergente. Esta subseqüência que denotaremos por (y
)n
 é 
converge, seja a=lim y
n
, assim a

X’. 
Um conjunto X

R chama-se compacto quando é limitado e fechado. Todo 
conjunto finito é compacto. Um intervalo do tipo [a,b] é compacto. 
Teorema3: Um conjunto X

R é compacto se, e somente se, toda seqüência 
de pontos de X possui uma subseqüência que converge para um ponto de X. 
D: Se X é compacto, toda seqüência de pontos de X é limitada, logo (por B-W) 
possui uma subseqüência convergente, para um ponto de X, pois X é 
fechado. 
Reciprocamente, seja X

R um conjunto tal que toda seqüência de pontos 
x
n

X possui uma subseqüência que converge para um ponto de X. Então X é 
limitado, pois do contrario, para n

N poderíamos encontrar x
n

X, com 
nx
>n. A seqüência assim obtida não possuiria subseqüência convergente. 
Além disso, X é fechado, pois do contrário 

 um ponto a

X com lim x
n
=a, 
onde x
n

X. A seqüência (x
)n
 não possuiria subseqüência convergindo para 
um ponto de X. Logo X não é compacto. 
Observação: Se X

R é compacto então a=infX e b=supX pertencem a X. 
Assim X compacto
 
 x
0
 e x
1
; x
0

x

 x
1
, 

x

X. 
 Teorema4: Dada uma seqüência decrescente X
1

X
2

...

X
n

...de 
conjuntos compactos não-vazios, 

 (Pelo menos ) um número real que 
pertence a todos os X
n
. 
D: Definamos uma seqüência (x
)n
 escolhendo, para cada X
1
um ponto x
n

 
X
n
. Esta seqüência (x
,...,...,,
21 k
nnn xx
) convergindo para um ponto a

 X
1
. 
 
 
Dado qualquer n

N, temos 
kn
x

 X
n
 sempre que 
kn
>n. Como X
n
 é 
compacto, segue-se que a

 X
n
. 
Chama-se cobertura de um conjunto X a uma família C de conjuntos C

 cuja 
reunião contém X. A condição X


L
C


 significa que, para cada x 

X, deve 

 (Pelo menos) um 
 
L; x

C

.Quando todos os conjuntos C

 São abertos, 
diz-se que C é uma cobertura aberta. Quando L={
n ,...,1
} é um conjunto 
finito, diz-se que X

C
n
C ...1
é uma cobertura finita. Se L’

L; se tem 
X


''
'
L
C


, diz-se que C’=(C
'
)
'' L
 é uma subcobertura de C. 
Teorema5(Teorema de Borel-Lebesque): Toda cobertura aberta de um 
conjunto compacto possui uma subcobertura finita. 
D: Tomemos inicialmente uma cobertura aberta [a,b]

L
C


 do intervalo [a,b] . 
Suponhamos não admite subcobertura finita. O ponto médio o descompõe em 
dois subintervalos de comprimento 
2
ab 
. Pelo menos, um deles [a
1
,b
1
] não 
pode ser coberto comum número finito de conjuntos A

. Por bisseções 
sucessivas obtemos [a,b]

[a
1
,b
1
]

...

[
nn ba ,
]

...de intervalos tais que 
nb
- 
na
=
n
ab
2

 e nenhum pode estar contido numa reunião finita dos A

. 

 um 
número c que pertence a todos os intervalos [
nn ba ,
]. Em particular c

[a,b]. 
  
L; c

 A

. Como A

 é aberto 
 (c-

, c+

)

 A

 para um certo 

>0. Tomemos n

N tal que 
n
ab
2

<

 
temos então c

[
nn ba ,
]

 (c-

, c+

), donde [
nn ba ,
]

A

, logo [
nn ba ,
] pode 
ser coberto por apenas um dos conjuntos A

. Contradição. No caso geral 
temos uma cobertura aberta X


L
A


 do compacto X e, Acrescentamos um 
novo aberto 
0
A
=R-X, obtemos uma cobertura [a,b] 

n
AAA   ...10
. 
Como nenhum ponto de X pode pertencer a 
0
A
, temos que X

n
AA   ...1
. 
E isso completa a demonstração. 
Exemplo2: Os intervalos A
n
=(1/n,2), n

N constitui uma cobertura aberta do 
conjunto X=(0,1] pois (0,1] 


Nn
nA

. Não possui subcobertura finita, pois 
X=(0,1] não é compacto. 
 
 
 
 
SEMINÁRIO 8: 
1.- Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a dois disjunto 
é enumerável. 
Sugestão: Considere em cada intervalo I um número racional r, e analise a 
correspondência. 
2. Prove que se todos os pontos do conjunto x

R são isolados então se pode 
escolher para cada x

X, um intervalo I, de centro x, tal que x

y 

 
I
x

I
y
=

. 
Sugestão: Use o fato que se x

X, então existe uma vizinhança de x que cuja 
interseção com X só esta formada por x. 
3. Prove que todo conjunto não enumerável X

R possui algum ponto de 
acumulação a

X. 
Sugestão: Use que se não possui pontos de acumulação é isolado. 
4. Seja a um ponto de acumulação do conjunto X. Prove que 

uma seqüência 
crescente ou decrescente de pontos x
n

X com lim x
n
=a. 
Sugestão: Use que existe uma seqüência que converge ao ponto a e tome 
dessa uma subseqüência. 
5. Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitraria de conjuntos 
compactos é compacto. 
Sugestão: Use a propriedade de ser fechado y limitado. 
6. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo 
de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y, 
cujos pontos são todos isolados. 
Sugestão: Useque se é infinito e limitado tem ponto de acumulação. 
 
Referências: Elon Luiz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va ed. 
Rio de Janeiro. IMPA. 2006.. 
 
 
 
 
 
 
 Tema VI. 
 Título: Limites de funções. 
 Objetivos: - Conhecer a definição de limite de uma função y=f(x) quando 
xtende pa a ou para infinito. 
- Conhecer a definição dos limites laterais. 
- Conhecer e aplicar os principais resultados de cálculo de limite. 
Desenvolvimento: Sejam X

R um conjunto de números reais, f:X

R uma 
aplicação real cujo domínio é X e a

X’ um ponto de acumulação do conjunto 
X. Diz-se que L é o limite de f(x) quando x tende para a, e escreve-se 
Lxf
ax


)(lim
 
Quando, 

 

>0 dado arbitrariamente, pode-se obter 

>0 tal que se tem. 
Lxf )(
<

 sempre que x

X, 0<
ax 
<

. 
Simbolicamente: 
Lxf
ax


)(lim
 
 

>0 
 
>0; x

X, 0<
ax 
<
 
Lxf )(
<

. 
Observação: É essencial que a seja um ponto de acumulação de X, mas é 
irrelevante que a pertença ou não a X. 
Teorema 1: Sejam f, g:X

R, a

X’ 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Mxg
ax


)(lim
. Se L<M 
então 
 
>0; f(x)<g(x) 

 x

X, com 0<
ax 
<

. 
D: Seja k=(L+M)/2. Pondo 

=k-L=M-k temos 

>0 e k=L+

M-

. Pela 
definição de limite, 

1
, 
2
 positivos tais que x

X, 0<
ax 
<
1

L-

<f(x)<k 
e x

X, 0<
ax 
<
2

k<g(x)<M+

. Portanto, pondo 

=min{
1
, 
2
} vem x

X, 
0<
ax 
<

 

f(x)<k<g(x), o que prova o teorema. 
Corolário 1: Se 
Lxf
ax


)(lim
<M então 
 
>0;f(x)<M 

 x

X, com 
0<
ax 
<

. 
Corolário 2: Sejam 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Mxg
ax


)(lim
. Se f(x)

g(x) 

 x

X-{a} 
então L

M. 
 
 
Teorema 2(Teorema do sanwiche): Sejam f,g,h: X

R, a

X’ e 


)(lim xf
ax
 
)(lim xg
ax
=L. Se f(x) 

h(x) 

g(x) 

 x

X-{a} então 
Lxh
ax


)(lim
. 
D: Dado arbitrariamente, 

>0, 

1
>0, 
2
>0 tais que x

X, 0<
ax 
<
1

 
L-

<f(x)<L+

e x

X, 0<
ax 
<
2

L-

<g(x)<L+

. Seja 

=min{
1
, 
2
}. 
Então, x

X, com 0<
ax 
<
 
L-

<f(x) 

h(x) 

g(x)<L+
 
 L-

<h(x)<L+

, 
logo 
Lxh
ax


)(lim
. 
Teorema 3: Sejam f: X

R e a

X’ a fim de que 


)(lim xf
ax
L é necessário y 
suficiente que, para toda seqüência de pontos x
n

X-{a}com lim x
n
=a, tenha-
se limf(x
n
)=L. 
D: Suponhamos, primeiro, que 


)(lim xf
ax
L e que se tenha uma seqüência de 
pontos 
x
n

X-{a} com lim x
n
=a. Dado arbitrariamente, 

>0, 
 
>0; x

X, 
0<
ax 
<
 
Lxf )(
<

. Existe também n
0

N; n>n
0

0<
axn 
<

(pois 
x
n

a 

n). Por conseguinte, n>n
0

Lxf n )(
<

, logo limf(x
n
)=L. 
Reciprocamente, suponhamos que x
n

X-{a} e lim x
n
=a

 limf(x
n
)=L e 
provemos que se tem: 


)(lim xf
ax
L. Com efeito, negar esta igualdade 
implicaria em afirmar a existência de um 

>0, com a seguinte propriedade: 
qualquer que seja n

N podemos achar x
n

X; 
0<
axn 
<1/n, mas 
Lxf n )(
 
. Então teríamos x
n

X-{a}, lim x
n
=a sem 
que fosse. 
limf(x
n
)=L. Esta contradição completa a demonstração. 
Corolário 1(Unicidade do limite): Sejam f: X

R e a

X’. Se 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Mxf
ax


)(lim
 então L=M. 
D: Basta tomar uma seqüência de pontos x
n

X-{a} com lim x
n
=a, o que é 
assegurado. Então temos limf(x
n
)=L e limf(x
n
)=M. Pela unicidade do limite da 
seqüência (f(x
n
)) vem que L=M. 
Corolário 2(Operações com limites): Sejam f, g:X

R, a

X’ 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Mxg
ax


)(lim
, então: 
 
 
1) 
MLxgxf
ax


)]()([lim
. 
2) 
MLxgxf
ax
.)]()([lim 

 
3) 
mLxgxf
ax
/)](/)([lim 

, se m

0. 
Além disso, se 
0)(lim 

xf
ax
 e g é limitada numa vizinhança de a, tem-se 
0)]().([lim 

xgxf
ax
. 
Teorema 4: Sejam f:X

R, a

X’. Se existe 
)(lim xf
ax
 então f é limitada numa 
vizinhança de a, isto é 
 
>0 c>0 tais que x

X, 0<
ax 
<
 
)(xf
<c. 
D: Seja 
Lxf
ax


)(lim
. Tomemos 

=1 na definição de limite, resulta que 
 
>0; 
x

X, 0<
ax 
<
 
Lxf )(
<
1 
)(xf
=
LLxf )(

Lxf )(
+
L
<
L
+1, 
basta tomar c=
L
+1. 
Exemplo 1: Sejam f, g:X

R, f(x)=x e g(x)=sem(1/x), 
0)(lim
0


xf
x
 e 
)/1( xsen

1

 
0)](/)([lim 

xgxf
ax
. 
Limites laterais. 
Sejam X

R. Diz-se que o número real a é um ponto de acumulação à 
direita para X, e escreve-se a

 X’

, quando toda vizinhança de a contém 
algum ponto x

X com x>a. Equivalentemente : 

 

>0 tem-se 
X

(a,a+

)


. A fim que a

 X’

 é necessário e suficiente que a seja limite 
de uma seqüência de pontos x
n
>a, pertencestes a X. O ponto a é de 
acumulação a direita para o conjunto X se, e só se, é de acumulação Para Y= 
X

(a,+

). Analogamente define-se o ponto de acumulação à esquerda. Por 
definição a

 X’

. Quando a

X’


 X’

 diz-se que a é um ponto de 
acumulação bilateral de X. 
Exemplo 1: Se X={1,1/2, 1/3, ...,1/n,...}então 0

X’

 porém 0

 X’

. 
Sejam f:X

R, a

X’. Diz-se que o número L é o limite à direita de f(x) quando 
x tende para a, e escreve-se 
Lxf
ax



)(lim
 quando 

 

>0 dado 
 
 
arbitrariamente, pode-se obter 

>0; 
Lxf )(
<

 sempre que x

X, 0<x-a< 

. 
Simbolicamente: 
Lxf
ax



)(lim
 
 

>0 
 
>0; x

X 

(a,a+

)

Lxf n )(
<

. 
A esquerda 
Lxf
ax



)(lim
 
 

>0 
 
>0; x

X 

(a-

,a)

Lxf n )(
<

. 
Dado a

X’


 X’

, 

Lxf
ax


)(lim
 se, e so se, 

 e são iguais os limites 
laterais. 



)(lim xf
ax
Lxf
ax



)(lim
. 
Uma função f:X

R chama-se monótona não-decrescente quando para 
x,y

X 
 x<y

f(x)

f(y). Se x<y

f(x)

 f(y) diz-se que f é monótona não-crescente. 
Se x<y

f(x)<f(y) dizemos que f é crescente. Se x<y

f(x)> f(y) f é 
decrescente. 
Teorema 5: Seja f:X

R uma função monótona limitada, 

 a

 X’

 e todo 
b

 X’

. 

Lxf
ax



)(lim
 e 
Mxf
bx



)(lim
.Ou seja : existem sempre os limites 
laterais de uma função monótona limitada. 
D: Para fixar idéias, suponhamos f é não-decrescente. Seja L=inf{f(x); x

X, 
x>a}. Afirmamos que 
Lxf
ax



)(lim
. Dado 

>0, L+

 não é cota inferior do 
conjunto. {f(x); x

X, x>a}. Logo 
 
>0; a+
 
X e L<f(a+

)<L+

. Como f é 
não-decrescente, x

X 

(a,a+

) 

 e L<f(x)<L+

, o que prova a afirmação. 
De modo análogo vê-se que M=sup{{f(x); x

X, x<b} eMxf
ax



)(lim
. 
Seja X

R ilimitado superiormente. Dada f: X

R, escreve-se 
Lxf
x


)(lim
 
quando o número L satisfaz as seguintes condições: 

 

>0 

A>0; x

X, x>A 

Lxf )(
<

 
Lxf
x


)(lim
 
 

>0 

A >0; x

X, x<-A 

Lxf )(
<

 
 
 
Exemplo3: Seja 
RRf :
 tal que 
x
x
xf
1
)(


, é uma função decrescente e 
limitada inferiormente por L=1 (ínfimo da função), então 
1)(lim 

xf
x
 
Sejam X

R, f: X

R e a

X’. Décimos que 


)(lim xf
ax
+

 quando, 

 A>0 
 
>0; x

X, 0<
ax 
<
 
f(x)>A. 
Exemplo3: 

 2)(
1
lim
axax
+

, pois dado A>0, temos 

=1/
A
, então 
0<
ax 
<
 
0<(x-a) 2 <1/A

1/(x-a) 2 >A. 
De modo análogo, definimos 


)(lim xf
ax
-

 
 Exemplo4: 

 2)(
1
lim
axax
-

. 
São indeterminadas as expressos: 0/0, 

/

, 

-

, 0. 

, 00 , 

0 e 1 . O 
instrumento mais eficaz para o cálculo do limite de expressões indeterminadas 
é a chamada “Regra de L’Hospital”. 
 
 
SEMINÁRIO 9: 
1. Sejam X

R , f: X

R; f(x)=1/x.. Analisar
)(lim xf
x 
, 
)(lim xf
x 
, 
)(lim
0
xf
x


 e 
)(lim
0
xf
x 
. 
2. Sejam f:X

R, a

X’. A fim de que 

 
)(lim xf
ax
 é suficiente que, 

 
seqüência x
n

X-{a} com lim x
n
=a, a seqüência (f(x
n
)) seja convergente. 
Sugestão: Considere que existem duas seqüências com igual limite a, e 
defina uma nova seqüência considerando os pares e impares. 
3. Seja f:X

R definida por f(0)=0 e f(x)=sen(1/x) se x

0. Mostre que 

 c

[-
1,1] existe uma seqüência de pontos x
n

0 tais que lim x
n
=0 e limf(x
n
)=c. 
Sugestão: Considere sen(a)=c e x
n
=1/(a+2n

). 
4. Prove que a

 X’

 (respectivamente a

 X’

) se, e só se, lim x
n
=a é limite 
de uma seqüência decrescente (respectivamente crescente) de pontos 
pertencentes ao conjunto X. 
 
 
Sugestão: Observe que se, lim x
n
=a, x
n
>a, existe uma subseqüência 
decrescente convergindo para a. 
5. Prove que 
Lxf
ax


)(lim
 (respectivamente
Lxf
ax



)(lim
) se, e só se, 

 
seqüência decrescente (respectivamente crescente) de pontos x
n

 X com 
lim x
n
=a tem-se limf(x
n
)=L. 
Sugestão: Seguir a idéia da sugestão do 4. 
6. Seja p:R

R um polinômio não constante, esto é 

 x

R, 
p(x)=a
n
nxaxa  ...10
, com a
n
0 e n

1. Prove que , se n é par então 
)(lim xp
x 
=
)(lim xp
x 
=+

 se a
n
>0 e -

 se a
n
<0. Se n é impar então 
)(lim xp
x 
=+

 e 
)(lim xp
x 
=-

 quando a
n
>0 e os sinais dos limites são 
trocados quando a
n
<0. 
Sugestão: Coloque a máxima potencia de x em evidencia. 
7. Seja f:R

R, definida por f(x)=xsenx. Prove que, 

 c

R existe uma 
seqüência de pontos x
n

R tais que lim x
n
= +

 e limf(x
n
)=c 
Sugestão: Se 2n

-

/2<x<2n

+

/2, a função f(x)=xsenx, va desde 

/2-2n

 a 

/2+2n

. De aqui se pode concluir o exercício. 
 
 Referências: Elon Lu2n

iz. Análise Real. Funções de uma variável real. 8va 
ed. Rio de Janeiro. IMPA. 2006.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
)1(
2
)('



x
xx
xf
 
 
 
 
 
 
 
 Tema VII. 
Título:Funções contínuas. 
 Objetivos: - Conhecer a definição de função contínua. 
- Conhecer e aplicar a exercícios os principais resultados de continuidade. 
_ Conhecer as principais propriedades das funções contínuas. 
 Desenvolvimento: 
Uma função f: X

R, definida no conjunto X

R, diz-se contínua no ponto 
a

X quando, 

 

>0 dado arbitrariamente pode-se obter 

>0; x

X 
ax 
<
 
)()( afxf 
<

. Em símbolos, f é contínua no ponto a significa: 

 

>0 
 
>0; x

X, 
ax 
<
 
)()( afxf 
<

. 
Diz-se que f: X

R é uma função contínua quando f é contínua em todos os 
pontos a

X. 
A continuidade é um problema local, isto é, a função f: X

R é continua no 
ponto a

X se, e só se, 

uma vizinhança V de a; a restrição de f a V

X é 
contínua no ponto a. 
Observação: Se a é um ponto isolado do conjunto X, isto é, se 
 
>0; 
X

(a-

,a+

)={a}, então toda função f: X

R é contínua no ponto a. Se 
a

X

X’ 
Então f: X

R é contínua no ponto a se, e só se, 
)(lim xf
ax
=f(a). 
Teorema1: Sejam f, g:X

R, contínuas no ponto a

X, com f(a)<g(a). 
 
>0; 
f(x)<g(x) 

x

X

(a-

,a+

). 
D: Tomemos c=[g(a)+f(a)]/2 e 

=g(a)-c=c-f(a). Então 

>0 e f(a)+ 

=g(a)- 

=c. Pela definição de continuidade, 

1
>0 e 
2
>0; x

X, 
ax 
<
1

f(a)-
 
 

<f(x)<c e x

X, 
ax 
<
2

c <g(x)<g(a)+

. Seja 

=min {
1
,
2
}. Então; 
x

X, 
ax 
<
 
f(x)<c<g(x), o que prova o teorema. 
Corolário 1: Se f: X

R contínua no ponto a

X. Se f(a) 

0, 
 
>0; 
x

X

(a-

,a+

) f(x) tem o mesmo sinal de f(a). 
Corolário 2: Dadas f, g:X

R, contínuas, sejam Y={x

X; f(x)<g(x)} e Z= 
{x

X; f(x)

g(x)}. Existem A

R aberto e F

R fechado; Y=X

A e Z= X

F. 
Em particular, se X é aberto então Y é aberto e se X é fechado, então Z é 
fechado. 
 
Teorema2: A fim de que a função f: X

R seja contínua no ponto a é 
necessário e suficiente que, 

seqüência de pontos x
n

X com lim x
n
=a, se 
tenha lim f(x
n
)=f(a). 
Corolário 1: Se f, g:X

R, contínuas no ponto a

X então são contínuas 
nesse mesmo ponto as funções f+g, fg,:X

R, bem como a função f/g, caso 
seja g(a) 

0. 
Todo polinômio p:R

R é é uma função contínua f(x)=p(x)/q(x) se q(x) 

0 é 
contínua. 
Teorema3: Sejam f:X

R, contínuas no ponto a

X, g:Y

R, contínua no 
ponto b=f(a) 

Y e f(X)

Y, de modo que a composta g o f:X

R está bem 
definida. Então g o f é contínua no ponto a. 
D: Dado 

>0 

, pela continuidade de g no ponto b, um 

>0; y

Y, 
by 
<


)()( bgyg 
<

. Por sua vez, a continuidade de f no ponto a 
assegura que 
 
>0; x

X, 
ax 
<
 
bxf )(
<

. Consequentemente 
x

X

(a-

,a+

)

))(())(( afgxfg 
=
))(())(( agofxgof 
<

 o que prova o 
teorema. 
Funções contínuas num intervalo. 
Teorema4(Teorema do valor intermediário): Seja f:[a,b] 

R contínua . Se 
f(a)<d<f(b) então 

c

(a,b); f(c)=d. 
D: Consideremos o conjunto A={x

[a,b]; f(x) 

d}e B={x

[a,b]; f(x) 

d}. A e B 
são fechados, logo 
A 
B=A
B
=A

B.Além disso, é claro que [a,b]=A

B. 
Se for A

B


 então o teorema está demonstrado porque f(c)=d para 
qualquer c

 A

B. Se entretanto, fosse A

B=

 então [a,b]=A

B seria uma 
cisão não trivial (porque a

A e b

B), o que é vedado, logo A

B


, o 
teorema está provado. 
 
 
Corolário: Se I

R é um intervalo e f:I 

R é contínua então f(I) é um 
intervalo.