3-Anlise_Nodal_e_Anlise_de_Malhas

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Análise Nodal e Análise de Malhas 
 A partir das leis de Kirchhoff, desenvolveram-se dois métodos sistemáticos de análise 
de circuitos. A análise nodal baseia-se na lei das correntes de Kirchhoff (LCK), mas tem como 
variáveis tensões em relação a um nó de referência, ditas tensões nodais. A análise de malhas, 
ou método de Maxwell, baseia-se na lei das tensões de Kirchhoff (LTK), mas tem como variáveis 
correntes de malha. Tais conceitos são estudados a seguir. 
Análise Nodal 
 Esta técnica é fundamental na análise de circuitos eletrônicos e é capaz de ser aplicada 
em circuitos tridimensionais. É o método aplicado em todos os softwares de análise e simulação 
de circuitos. Seguem-se as etapas de aplicação das equações. 
 Toma-se um nó (ponto de conexão entre dois ou mais bipolos) como referência, dito 
terra, ao qual se atribui uma tensão nula, 𝑣 = 0. As demais tensões são todas medidas em 
relação a tal referência. 
 Um circuito com 𝑛 nós tem um número 𝑛 − 1 de equações nodais independentes. 
 A tensão entre os terminais de um bipolo é a diferença entre as tensões de seus nós. 
 Aplica-se a lei da correntes de Kirchhoff (LCK). 
Exemplo. No circuito abaixo, dados os valores das correntes das fontes independentes 𝐼1 e 𝐼2, 
bem como os valores das resistências dos resistores 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3, avaliam-se as tensões nodais, 
𝑣1, do nó , e 𝑣2, do nó  como segue. 
 
R1 
  
R2 
R3 I2 I1 
 
 O circuito apresenta três nós, inclusive o terra, na parte inferior da figura. Portanto, há 
duas equações nodais independentes. Na aplicação convencional da LCK, atribuem-se sinais 
negativos às correntes que entram em um nó e positivos às correntes que saem de um nó. Para 
o nó , seria: 
−𝐼1 + 𝑖1 + 𝑖2 = 0, (1) 
onde 𝑖1 é a corrente através do resistor 𝑅1 e 𝑖2 é a corrente através do resistor 𝑅2. 
 É mais prático, porém, já separar em um membro da equação as correntes conhecidas. 
E convém aplicar a lei de Ohm às correntes 𝑖1 e 𝑖2. 
𝐼1 = 𝑖1 + 𝑖2 =
𝑣1
𝑅1
+
𝑣1 − 𝑣2
𝑅2
∴ 𝐼1 = 𝑣1 (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
) −
𝑣2
𝑅2
. (2) 
Note-se que a corrente através de 𝑅1 depende apenas da tensão nodal 𝑣1, pois o outro terminal 
do resistor está aterrado. Contudo, a corrente a corrente através de 𝑅2 depende da diferença 
entre as tensões nodais 𝑣1 − 𝑣2, supondo que a corrente vá da esquerda para a direita, ou seja, 
que a corrente saia do nó. 
 Para o nó , pode-se escrever diretamente, tendo em vista o exposto acima: 
2 
 
𝐼2 =
𝑣2
𝑅3
−
𝑣1 − 𝑣2
𝑅2
∴ 𝐼2 = −
𝑣1
𝑅2
+ 𝑣2 (
1
𝑅2
+
1
𝑅3
) . (3) 
 As equações (2) e (3) constituem um sistema linear determinado: duas equações e duas 
incógnitas. O sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer ou pelo método de Gauss-Seidel, 
por exemplo. Na prática, a regra de Cramer é adequada para cálculos manuais, desde que o 
sistema tenha no máximo três incógnitas, pois a partir daí o cálculo fica muito extenso. O 
método de Gauss-Seidel se aplica com qualquer quantidade de incógnitas e é o único método 
usado em softwares de análise e simulação de circuitos, por economizar tempo de cálculo em 
computadores. 
Conceito de Nó Generalizado (Supernó) 
 Qualquer superfície fechada envolvendo um dado número de bipolos, sem cortar bipolo 
algum (modelo de parâmetros concentrados), obedece a LCK. 
 A análise nodal vista até agora envolveu apenas fontes de corrente, por ser mais direta 
a aplicação da LCK neste caso. A dificuldade no caso de fontes de tensão é que o circuito externo 
determina a corrente através da fonte e não pode ser conhecida de antemão. Esta dificuldade 
se resolve com o conceito de nó generalizado. 
 Um nó generalizado pode não ter a mesma tensão nodal em suas extremidades. Se há 
uma fonte de tensão entre o terra e um nó, a diferença de potencial é atribuída à extremidade 
de saída da fonte, que é tratada como contida no mesmo nó que o terra. O exemplo a seguir 
ilustra o conceito. 
 Exemplo. 
 O circuito abaixo envolve fontes de tensão independentes e vinculadas. A curva 
tracejada envolve o nó generalizado, denotado nó . Portanto, o circuito tem apenas dois nós 
generalizados, o que simplifica a análise. 
 
3  
4  
+ 
 
− 
 
30 V 
6  
8  
 
5i V 
+ 
 
− 
 
− + 
24 V 
i 
 
v 
 
+ 
 
− 
 
 
v1 = 5i 
5i + 24 
 
 A corrente do nó  ao terra através do resistor de 4  é dada por: 
𝑖 =
𝑣2
4
. (1) 
 A fonte de tensão vinculada à corrente 𝑖, à esquerda, eleva o potencial do nó  em 
relação ao terra, de 5𝑖 V, resultando: 
3 
 
𝑣1 = 5𝑖 = 5
𝑣2
4
∴ 𝑣1 =
5
4
𝑣2. (2) 
 A diferença de potencial 𝑣, sobre o resistor de 6 , considerando as equações (1) e (2) 
acima, é dada por: 
𝑣 = 5𝑖 + 24 − 𝑣2 ∴ 𝑣2 = 5𝑖 + 24 − 𝑣 = 4𝑖, (3) 
portanto: 
𝑖 = 𝑣 − 24. (4) 
E finalmente: 
𝑣2 = 4𝑖 = 4(𝑣 − 24)𝑣1 =
5
4
𝑣2 =
5
4
4𝑖 ∴ 𝑣1 = 5𝑖 = 5(𝑣 − 24). (5) 
 Como há dois nós generalizados, basta equacionar o nó : 
𝑣1 − 𝑣2
3
+
𝑣
6
−
𝑣2
4
= 0 ∴ 4(𝑣1 − 𝑣2) + 2𝑣 − 3𝑣2 ∴ 4𝑣1 − 7𝑣2 + 2𝑣 = 0 ∴ 
∴ 4 ∙ 5(𝑣 − 24) − 7 ∙ 4(𝑣 − 24) + 2𝑣 = 0 ∴ (20 − 28 + 2)𝑣 + 24(−20 + 28) = 0 ∴ 
∴ 6𝑣 = 192 ∴ 𝑣 = 32 V. (6) 
Amplificadores Operacionais 
 Um amplificador operacional (Amp Op) é um amplificador de acoplamento direto (CC, 
corrente contínua) de alto ganho em malha aberta (MA), com faixa de frequência de operação 
típica de 0 a mais de 1 MHz. É uma fonte de tensão vinculada a tensão. Na prática, ajustam-se a 
largura de banda e o ganho em malha fechada (MF), por meio de resistores externos. 
 A figura abaixo mostra o símbolo de um Amp Op e seus terminais. 
 
 
 
 
 − 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
O terminal  denomina-se entrada inversora, o terminal  é a entrada não-inversora; o 
terminal  é a saída; e os terminais  e  são os terminais de alimentação positiva e negativa, 
ditas tensões de polarização 𝑉𝑝 respectivamente, com valores típicos de ±𝑉𝑝 = ±10 V. A 
alimentação de um Amp Op é bipolar e o dispositivo garante um terra interno. 
 Na chamada região linear, o Amp Op deve ter uma tensão de saída que é proporcional 
à diferença entre as tensões de entrada: 
𝑣3 = 𝐴(𝑣2 − 𝑣1) = 𝐴𝑣𝑒|𝑣𝑒| = |𝑣2 − 𝑣1| <
𝑉𝑝
𝐴
, (1) 
onde 𝐴 é o chamado ganho de tensão em malha aberta, com valor típico 𝐴 ≈ 105 e 𝑣𝑒 é a 
chamada tensão de entrada. 
4 
 
 Como o ganho do Amp Op é muito elevado ele entra na região de saturação facilmente, 
se operado em MA: 
𝑣3 = {
+𝑉𝑝  𝑣𝑒 = 𝑣2 − 𝑣1 ≥
𝑉𝑝
𝐴
−𝑉𝑝  𝑣𝑒 = 𝑣2 − 𝑣1 ≤ −
𝑉𝑝
𝐴
} . (2) 
 Um Amp Op ideal tem ganho em MA 𝐴 → ∞ e apresenta um curto-circuito virtual, ou 
seja, 𝑣𝑒 → 0, uma tensão presente em uma entrada também aparece na outra entrada. 
 Examinam-se a seguir, as configurações mais importantes de Amp Ops em MF. 
Amplificador Inversor 
Nesta configuração, o sinal de entrada é aplicado em 
sua entrada inversora. Vale a análise nodal, 
considerando que, devido à alta impedância de 
entrada, o sinal da fonte deve passar pelos resistores R1 
e R2, como se vê na figura à direita: 
𝑣𝐺−𝑣1
𝑅1
=
𝑣1−𝑣3
𝑅2
=
𝑣1−𝑣3
𝑅2
; 
devido ao curto-circuito virtual entre suas duas 
entradas, o fato da entrada não-inversora (2) estar 
aterrada leva 0 V (terra virtual) à entrada inversora (1): 
𝑣1 = 𝑣2 = 0 ∴
𝑣𝐺
𝑅1
= −
𝑣3
𝑅2
∴
𝑣3
𝑣𝐺
= −
𝑅2
𝑅1
; 
 
 
− 
 
 − 
 
 + 
R2 
R1 
vG 
 
1 
 
2 
 
+ 
− 
 
3 
 
v3 
 
+ 
 
assim, o ganho de tensão do circuito é: 𝐺𝑣 ≡
𝑣3
𝑣𝐺
= −
𝑅2
𝑅1
. 
 Somador Ponderado 
 No circuito abaixo, uma fonte de tensão 𝑉1 conecta-se por meio de uma resistência 𝑅1 
e uma fonte de tensão 𝑉2 conecta-se por meio de uma resistência 𝑅2 à entrada inversora de um 
Amp Op. Por análise nodal, é fácil mostrar que a tensão de saída 𝑣𝑠 é dada por: 
𝑣𝑠 = −
𝑅3
𝑅1
𝑣1 −
𝑅3
𝑅2
𝑣2 ∴ 𝑣𝑠 = −𝑅3 (
𝑣1
𝑅1
+
𝑣2
𝑅2
). 
 
 
+ 
 
− 
R2 
R1 
vs 
 
+ 
− 
R3 
V1 
V2 
 
− 
 
+ 
 
+ 
− 
 
 Este tipo de somador inversor é ditoponderado, porque as tensões 𝑉1 e 𝑉2 somam-se 
com pesos diferentes. 
 Uma generalização de tal topologia, para um número n de fontes, é a base das chamadas 
mesas de mixagem de estúdios fonográficos. Uma mesa de mixagem mistura ou mixa os sons 
captados a partir de diversos instrumentos, chamadas canais, cada qual com um volume 
apropriado, para gerar as pistas de gravação. 
5 
 
 Na prática, a mesa de mixagem envolve outros recursos como controle de tonalidade, 
de modo que, além da resistência, cada canal possui circuitos de filtro (circuitos reativos) para a 
gravação, que pode ser de uma música. 
Amplificador Não-Inversor 
Dado o circuito do amplificador não-inversor da figura ao 
lado, admitindo a característica ideal de impedância de 
entrada infinita: 
𝑣3 − 𝑣1
𝑅2
=
𝑣1
𝑅1
∴
𝑣3
𝑅2
= 𝑣1 (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
) ∴ 
∴ 𝑣1 =
𝑣3
𝑅2(1/𝑅1 + 1/𝑅2)
=
𝑣3
1 + 𝑅2/𝑅1
∴ 
1
2
2
3 1
R
R
v
v
Gv += . 
 
 
 − 
 
 + 
R2 
R1 
v2 
 
v1 
 
+ 
− 
 
− 
 
3 
 
v3 
 
+ 
 
 O amplificador não-inversor é uma fonte de tensão vinculada a tensão (FTVT). 
 Conversor Corrente-Tensão 
 O circuito abaixo é muito aplicado em Instrumentação Eletrônica e se destina a captar 
um sinal (informação em forma eletrônica) portado por uma corrente de baixa intensidade, de 
modo a não degradar o sinal. 
 
 
+ 
 
− 
R 
 
+ 
 
− 
ve 
 
− 
 
+ 
vs 
 
i 
 
 Dado o curto-circuito virtual entre as entradas inversora e não-inversora, com esta 
última aterrada, a entrada inversora está em terra virtual. E como as entradas de um Amp Op 
ideal apresentam impedância de entrada muito elevada (idealmente infinita), a corrente i de 
entrada deve passar necessariamente através do resistor R e daí se dividir entre a saída do Amp 
Op e qualquer carga eventualmente conectada à saída, submetida à tensão de saída 𝑣𝑠: 
𝑖 =
0 − 𝑣𝑠
𝑅
∴ 𝑖 = −
𝑣𝑠
𝑅
. 
 Como esta equação pode ser re-escrita como 𝑣𝑠 = −𝑅𝑖, o circuito em questão às vezes 
é chamado circuito de resistência negativa. 
 Fonte de Corrente (Conversor Tensão-Corrente) 
 No circuito abaixo, aplica-se uma fonte de tensão ve à entrada não-inversora de um Amp 
Op. A corrente de saída do Amp Op atravessa um bipolo qualquer e um resistor de polarização, 
de resistência R. Devido à alta impedância das entradas inversora e não-inversora, nenhuma 
corrente entra nas, ou sai das, entradas do Amp Op. 
6 
 
 
vb 
− 
 
+ 
 
i 
R 
 
+ 
 
− 
ve 
 
− 
 
+ 
 
 Dado o curto-circuito virtual, a entrada inversora, conectada ao terminal superior da 
resistência R está no potencial 𝑣𝑒: 
𝑣𝑒 = 𝑅𝑖 ∴ 𝑖 =
𝑣𝑒
𝑅
, 
tal que a corrente através do bipolo só depende da tensão de entrada 𝑣𝑒 e da resistência R e 
não depende da natureza do bipolo percorrido pela corrente. 
 É uma fonte de corrente, ou conversor tensão-corrente, porque a corrente independe do 
bipolo que esteja à saída, idealmente. Ou seja, a topologia do circuito força um valor específico 
de corrente através de um bipolo arbitrário. 
 Gatilho de Schmitt ou Disparador de Schmitt (Schmitt Trigger) 
 O circuito disparador de Schmitt, ou gatilho de Schmitt (Schmitt trigger), mostrado na 
figura abaixo, tem uma topologia similar à do amplificador não-inversor, exceto pelo fato de a 
tensão de entrada 𝑣𝑒 ser aplicada à entrada inversora. 
 
 
R2 R1 
ve 
 
− 
 
+ 
 
 
+ 
 
− 
+ 
 
− 
vs 
 
 O nó , com tensão nodal 𝑣1, atua como o nó de um divisor de tensão entre 𝑅1 e 𝑅2: 
𝑣1
𝑅2
=
𝑣𝑠
𝑅1 + 𝑅2
∴ 𝑣𝑒 = 𝑣1 =
𝑅2𝑣𝑠
𝑅1 + 𝑅2
∴ 𝑣𝑠 =
𝑅1 + 𝑅2
𝑅2
𝑣𝑒 ∴ 𝑣𝑠 = (1 +
𝑅1
𝑅2
) 𝑣𝑒 . (1) 
 A região linear se caracteriza por manter a saída dentro dos limites definidos pela fonte 
de tensão bipolar de alimentação, ±𝑉𝑝: 
|𝑣𝑠| = (1 +
𝑅1
𝑅2
) |𝑣𝑒| < 𝑉𝑝 ∴ |𝑣𝑒| <
𝑅2𝑉𝑝
𝑅1 + 𝑅2
. (2) 
 O gatilho de Schmitt, contudo, é projetado para operar fora da região linear, nas regiões 
de saturação. Assim, ele atua como um circuito biestável, capaz de estabilizar-se em dois níveis 
de tensão de saída: 
𝑣𝑠 = ±𝑉𝑝. (3) 
 Um circuito biestável é uma forma de memória digital. 
7 
 
 Na prática, a região linear é instável, devidos a ruídos inevitáveis, de flutuações nas 
tensões e correntes, amplificadas pelo circuito. Assim, o gatilho de Schmitt é projetado de forma 
a ter alto ganho, dado pela equação (1) acima. 
Teorema de Superposição 
 Ao analisar circuitos, normalmente consideram-se entradas de um circuitos, ou seja, 
dados, valores conhecidos. Seriam fontes independentes, de tensão e/ou de corrente. 
 As saídas são as demais grandezas, ou seja, incógnitas do problema. Seriam as tensões 
(de nós, de bipolos) e correntes. 
 O teorema de superposição se aplica a circuitos lineares constituídos por fontes 
independentes, resistores, indutores, capacitores e fontes vinculadas (estas são consideradas 
incógnitas). Segue-se o enunciado do teorema. 
 Enunciado. “Uma saída, correspondente a várias entradas, é igual à soma das saídas 
individuais correspondentes, cada qual, a uma das entradas, uma vez anuladas todas as demais 
entradas.” 
Método de Malhas ou Método de Maxwell 
 O método de malhas também é conhecido como método de Maxwell.1 
 Em Topologia, define-se um laço como qualquer percurso fechado através de ramos 
(bipolos) em um circuito, tal que não se passe mais de uma vez pelo mesmo nó, exceto o inicial. 
 Malha é um laço sem bipolo em seu interior.2 
 Malha externa é um laço que contém todos os bipolos em si ou em seu interior. logo, 
uma malha externa não é uma malha no sentido definido acima. 
 Um circuito planar é um circuito que pode ser representado em um plano, sem 
cruzamento de bipolos. Um circuito planar representado sem cruzamento de bipolos é chamado 
circuito plano. 
 A análise de malhas só se aplica a circuitos planares. Circuitos tridimensionais não são 
passíveis de estudo por este método. 
 Correntes de Malhas 
 Associa-se a cada malha de um circuito plano uma corrente, dita corrente de malha, que 
a percorre. O sentido da corrente de malha é o do percurso da malha quando se escreve a 
respectiva equação de tensões (LTK). 
 Se o sentido de percursos for o mesmo em todas as malhas, a corrente através de um 
bipolo é a diferença entre as correntes das malhas às quais o bipolo pertence. Se este pertencer 
a uma só malha, a corrente que o percorre é a própria corrente de malha ou a corrente oposta. 
 Segue um exemplo de análise de malhas. 
 
1 O método foi proposto por James Clerk Maxwell (1831-1879) 
2 Uma forma de lembrar este conceito é a frase: “Rede de pesca de malha fina pesca peixe pequeno.” Este 
mnemônico consta do livro de Yaro Burian Jr. e Ana Cristina Cavalcante Lyra, Circuitos Elétricos, São Paulo: 
Pearson Prentice Hall (2006). 
8 
 
Exemplo. Calcule 1i , 2i e 3i , aplicando análise de malhas por inspeção, ao circuito da figura ao 
lado. Dados: =1gv 9 V, =2gv 5 V, =1R 2 , =2R 4 , =3R 3 . 
 
i3 R3 vg2 
R1 R2 
vg1 
 
2 
 
i1 
 
i2 
 
1 
 
Solução. Sejam 1 e 2 as correntes de malha do circuito. A LTK fornece: 












−
−
=

















+−
−+
=








2
1
2
1
323
331
2
1
73
35
5
9




RRR
RRR
v
v
g
g
. 
 Como o sistema possui apenas duas incógnitas, é prático resolvê-lo pela regra de Cramer: 
26935
73
35
=−=
−
−
=  ; 781563
75
39
11 =+=
−
=  ; ==== 126
781
11 ii


 3 A; 
52)2725(
53
95
22 =+=
−
=  ; ===



2
22 i
52
26
∴ 𝑖2 = 2 A; 
=−=−=−= 321213 23 iiii  1 A. [JHJ 74:4.5.1 ad.]