Análise estrutural

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Conceitos Fundamentais 2 
6 
13 
20 
Esforços Internos e 
seus Efeitos 
Análise de Estruturas 
Hiperestáticas 
Cargas Móveis e 
Linha de Influência 
 
Conceitos Fundamentais 
1) (ENGENHEIRO CIVIL – CÂMARA MUNICIPAL DE SALVADOR – FGV – 2018) 
Observe a estrutura hiperestática da figura: 
 
O grau hiperestático dessa estrutura é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
Resolução: 
𝑏𝑣 = 6 (dois engastes) 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 = 1 
𝑐 = 𝑐′ = 3 
𝑏𝑒 = 𝑏𝑣 + 3 ∗ 𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 + 2 ∗ (𝑐′ − 1) = 6 + 3 ∗ 1 + 2 ∗ (3 − 1) = 13 
𝑏𝑛 = 3 ∗ 𝑐 = 3 ∗ 3 = 9 
𝑔ℎ = 𝑏𝑒 − 𝑏𝑛 = 13 − 9 = 4 
Resposta: D 
 
2) (ENGENHEIRO CIVIL – MEC – FGV – 2009) Analise a figura a seguir: 
 
O grau hiperestático da treliça mostrada na figura é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
Resolução: 
𝑏𝑣 = 3 (um apoio fixo e um apoio móvel) 
𝑏𝑠 = 7 
𝑛 = 5 
𝑏𝑒 = 𝑏𝑣 + 𝑏𝑠 = 3 + 7 = 10 
𝑏𝑛 = 2 ∗ 𝑛 = 2 ∗ 5 = 10 
𝑔ℎ = 𝑏𝑒 − 𝑏𝑛 = 10 − 10 = 0 
Resposta: A 
 
3) (ENGENHEIRO CIVIL – CODEBA – FGV – 2016) Uma viga contínua com dois vãos 
apresenta um engaste no apoio extremo esquerdo e dois apoios do segundo gênero nos 
apoios restantes. Sabendo que há uma rótula no meio do vão localizado entre os apoios 
engaste e do segundo gênero, o grau hiperestático desta viga é igual a:1 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
Resolução: 
É preciso primeiro desenhar a viga proposta para que se possa analisá-la: 
 
𝑏𝑣 = 6 (dois engastes) 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 = 1 
𝑐 = 𝑐′ = 3 
𝑏𝑒 = 𝑏𝑣 + 3 ∗ 𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 + 2 ∗ (𝑐′ − 1) 
𝑏𝑒 = 6 + 3 ∗ 1 + 2 ∗ (2 − 1) = 11 
𝑏𝑛 = 3 ∗ 𝑐 = 3 ∗ 3 = 9 
𝑔ℎ = 𝑏𝑒 − 𝑏𝑛 = 11 − 9 = 3 
Resposta: E 
 
4) (ENGENHEIRO CIVIL – UPENET/IAUPE – FGV – 2017) As reações de apoio da 
estrutura, em t, são: 
 
a) 𝑉𝐴 = 2, 𝑉𝐵 = 10 e 𝐻𝐴 = 6 
b) 𝑉𝐴 = 1, 𝑉𝐵 = 5 e 𝐻𝐴 = 3 
c) 𝑉𝐴 = 10, 𝑉𝐵 = 14 e 𝐻𝐴 = 6 
d) 𝑉𝐴 = 6, 𝑉𝐵 = 12 e 𝐻𝐴 = 3 
e) 𝑉𝐴 = 4, 𝑉𝐵 = 20 e 𝐻𝐴 = 3 
Resolução: 
Inicia-se a resolução com o Diagrama de Corpo Livre (DCL), substituindo as forças distribuídas 
por concentradas equivalentes. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio, tem-se que: 
∑𝐹𝑥 = 0 →
+∶ 
𝐻𝐴 − 2 + 8 = 0 
𝐻𝐴 = −6, logo o sentido adotado inicialmente para 𝐻𝐴 (→) deve ser trocado para (←) 
 
∑𝑀𝐶 = 0 ↷
+∶ 
𝑉𝐴 ∗ 6 + 8 ∗ 2 − 12 ∗ 2 − 2 ∗ 2 = 0 
𝑉𝐴 = 2 
∑𝐹𝑦 = 0 ↑
+∶ 
𝑉𝐴 − 12 + 𝑉𝐵 = 0 
2 − 12 + 𝑉𝐵 = 0 
𝑉𝐵 = 10 
Escolheu-se fazer primeiro o somatório de momentos em relação a um dos apoios, pois essa 
equação só teria uma incógnita. Se fosse escolhido fazer o somatório de forças verticais primeiro, 
o sistema teria duas incógnitas na mesma equação. 
Resposta: A 
 
 
Esforços Internos e seus Efeitos 
 
5) (ENGENHEIRO CIVIL – POLÍCIA CIVIL DF – IADES – 2016) Considerando o conceito 
de momento torçor, assinale a alternativa que indica a máxima tensão cisalhante 𝜏𝑚á𝑥 
de um eixo de seção circular para que se tenha máximo momento torçor 𝑇 = 100𝑘𝑁. 𝑚 
e diâmetro 𝐷 = 200𝑚𝑚 e 𝐺 = 85𝐺𝑃𝑎. 
f) 53,6 MPa 
g) 60,1 MPa 
h) 63,6 MPa 
i) 70,2 MPa 
j) 100 MPa 
Dica do Autor: Quando potências de 10 estão envolvidas na questão, é melhor resolvê-las 
primeiro para diminuir o número de cálculos. 
Resolução: 
Pela fórmula da torção, tem-se: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇. 𝑐
𝐽
 
sendo: 𝑇 = 100𝑘𝑁. 𝑚, 𝑐 = 𝐷/2 = 100𝑚𝑚 = 0,1𝑚 
𝐽 =
𝜋. 𝑐4
2
=
𝜋. 0,14
2
 
Substituindo os valores na fórmula da torção: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
100 ∗ 0,1 ∗ 2
𝜋 ∗ 0,14
=
102 ∗ 10−1 ∗ 2
10−4 ∗ 𝜋
 =
105 ∗ 2
3,14
= 63,6 ∗ 103
𝑘𝑁
𝑚2
= 63,6 𝑀𝑃𝑎 
Resposta: C 
 
6) (ENGENHEIRO CIVIL – POLÍCIA CIVIL DF – IADES – 2016) Dizemos que um corpo 
está em equilíbrio quando: 
a) Não há forças atuando sobre ele. 
b) Somente a resultante vetorial das forças sobre o corpo é nula. 
c) Somente a resultante vetorial do torque sobre o corpo é nula. 
d) Não há torque sobre o corpo. 
e) A resultante vetorial de forças e a resultante vetorial do torque sobre o corpo são nulas. 
Resolução: 
 O Equilíbrio foi definido como o estado em qual um corpo tem seus movimentos de 
translação e rotação impedidos. Isso acontece quando a resultante vetorial de forças e a 
resultante vetorial do torque sobre o corpo são nulas, conforme equações de equilíbrio (Σ𝐹𝑥 =
0, Σ𝐹𝑦 = 0 e Σ𝑀 = 0.) 
Resposta: E 
 
7) (ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – EAOEAR – 2010) Tem-se a seguinte 
situação hipotética, duas placas A e B ligadas entre si por um parafuso e sofrendo 
esforços de afastamento. Qual será a tensão de cisalhamento que sofrerá este parafuso 
sabendo que o seu diâmetro é de 1,5cm e a força de tração igual a 1500 kgf. Dados 
1kN=100kgf 
a) 26.505 kN.cm² 
b) 26,51 kN.cm² 
c) 8,49 kN/cm² 
d) 84.890 kN/cm² 
Resolução: 
Pela fórmula do cisalhamento médio, tem-se: 
𝜏 =
𝑉
𝐴
 
sendo: 𝑉 = 1500𝑘𝑔𝑓 = 15𝑘𝑁 e 𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑑4/4 = 𝜋 ∗ 1,52/4 
Substituindo os valores na fórmula do cisalhamento médio: 
𝜏 =
15
𝜋 ∗ 1,52
4
=
4 ∗ 10 ∗ 1,5
𝜋 ∗ 1,52
= 8,49𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
As alternativas a) e b) podem ser eliminadas facilmente pela unidade que apresentam (kN.cm²) 
por não ser essa uma unidade de tensão. 
Resposta: c 
8) (ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – EAOEAR – 2010) O que significa tensão de 
ruptura dividida por um coeficiente de segurança. 
a) Tensão admissível. 
b) Tensão de projeto. 
c) Resistência de cálculo. 
d) Resistência característica. 
Resolução: 
Conforme definição, a tensão de ruptura dividida por um coeficiente de segurança é a tensão 
admissível. 
Resposta: A 
 
9) (ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – EAOEAR – 2013) Para uma peça estrutural 
em perfil cantoneira, conforme figura, sujeita a uma força compressiva simples no valor 
de 630kN, é correto afirmar que a tensão normal ao eixo da barra é de: 
a) 0,7 MPa 
b) 3,0 MPa 
c) 6,0 MPa 
d) 7,0 MPa 
 
Resolução: 
Pela fórmula da tensão normal média, tem-se: 
𝜎 = 𝑃/𝐴 
sendo: 𝑃 = 630𝑘𝑁 e 
𝐴 = 0,4 ∗ 0,1 + 0,1 ∗ (0,6 − 0,1) = 0,09𝑚² 
Substituindo os valores na fórmula da tensão normal média: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
630
0,09
= 7000
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 7𝑀𝑃𝑎 
Resposta: D 
10) (ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – EAOEAR – 2014) Seja uma barra de 
alumínio com 80cm de comprimento e seção transversal quadrada de lado 100mm 
submetida a uma força axial de tração. Sabe-se que o coeficiente de Poisson é de 0,315. 
Qual o volume final da barra, visto que ela sofre uma variação de comprimento Δ𝐿 de 
2mm? 
a) 1,3 cm³ 
b) 4,0 mm³ 
c) 4,2 mm³ 
d) 8,01 dm³ 
Resolução: 
A deformação na direção do comprimento (x) é dada por: 
𝜀𝑥 =
Δ𝐿
𝐿0
=
2
800
= 2,5 ∗ 10−3 
Devido ao coeficiente de Poisson, as deformações nas outras direções são dadas por: 
𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −𝜈 ∗ 𝜀𝑥 = −0,315 ∗ 2,5 ∗ 10
−3 
Os comprimentos finais dos lados do corpo são dados em função da deformação em cada 
direção por: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑥0 ∗ (1 + 𝜀𝑥) = 800 ∗ (1 + 2,5 ∗ 10
−3) = 802𝑚𝑚 
𝐿𝑦 = 𝐿𝑧 = 𝐿𝑦0=𝑧0 ∗ (1 + 𝜀𝑥) = 100 ∗ (1 − 0,315 ∗ 2,5 ∗ 10
−3) = 99,9𝑚𝑚 
O volume final é dado pela multiplicação dos lados através de: 
𝑉 = 𝐿𝑥 ∗ 𝐿𝑦 ∗ 𝐿𝑧 
𝑉 = 802 ∗ 99,9 ∗ 99,9 = 8007,3𝑚𝑚3 = 8,01𝑑𝑚³ 
Essa questão poderia ter sido resolvida de maneira mais fácil analisando a ordem de grandeza, 
uma vez que o volume inicial é dado por: 
𝑉0 = 800 ∗ 100 ∗ 100 = 8000𝑚𝑚
3 = 8𝑑𝑚³ 
Devido ao pequeno valor da deformação axial 2,5 ∗ 10−3, a deformação final não deve ser muito 
maior na ordem de grandeza, ou seja, em potências de 10, do que o calculado, elimina-se então 
a letra a). Como se trata de uma força de tração, não se espera que o corpo tenha o seu volume 
diminuído, elimina-se assim as letras b) e c). 
Resposta: D 
 
11) (ENGENHEIRO CIVIL – PR-4 UFRJ – UFRJ – 2018) Uma viga engastada, com seção 
transversal retangular, está submetida a uma força P, conforme ilustrado no esquema a 
seguir. Sabendo que o material em questão possui tensão admissível à tração de 10kPa 
e tensão admissível à compressão de 50kPa, o maior valor possível da força
P é: 
a) 1N 
b) 100N 
c) 10N 
d) 5N 
e) 2N 
Resolução: 
Para essa viga o máximo momento acontece no apoio e provoca tração na parte superior e 
compressão na parte inferior. Sendo assim, considerando um material elástico, a tensão atuando 
em ambas as bordas mais extremas na viga é igual em módulo. Por isso, considera-se a menor 
tensão admissível de 10kPa à tração. 
O momento no apoio é dado por: 
𝑀 = 𝑃 ∗ 𝑑 = 𝑃 ∗ 1 = 𝑃 (𝑁. 𝑚) 
Como o corpo não está submetido a esforço normal, considera-se apenas a tensão normal 
máxima provocada pelo momento, em módulo é dada por: 
𝜎 =
𝑀 ∗ ℎ/2
𝐼
 
sendo: 
𝐼 =
𝑏. ℎ2
12
 
Substituindo na equação da tensão: 
𝜎 =
𝑀 ∗ ℎ/2
𝐼
=
𝑀 ∗ ℎ/2
𝑏 ∗ ℎ3/12
=
6 ∗ 𝑀
𝑏 ∗ ℎ2
=
6 ∗ 𝑃
0,06 ∗ 0,12
= 10.000 ∗ 𝑃 
Igualando a tensão solicitante à tensão admissível, tem-se: 
10.000 ∗ 𝑃 = 10𝑘𝑃𝑎 = 10 ∗ 103 𝑁/𝑚² 
10.000 ∗ 𝑃 = 10.000 
𝑃 = 1 
Resposta: A 
 
12) (ENGENHEIRO CIVIL – POLÍCIA CIENTÍFICA/PE – CESPE – 2016) A figura apresenta 
um diagrama tensão x deformação de um material utilizado na construção civil. Assinale 
a opção que representa o intervalo identificado pela letra B na figura abaixo: 
a) Estricção 
b) Ruptura 
c) Regime plástico 
d) Encruamento 
e) Regime elástico 
 
 
 
Resolução: 
Pela discussão sobre o diagrama tensão deformação para materiais elasto-plásticos neste 
capítulo, fica claro que o trecho B representa o regime plástico onde existe um acréscimo de 
deformação que não é acompanhado por um acréscimo de tensão. 
Resposta: C 
 
13) (ENGENHEIRO CIVIL – SAAE-SP – VUNESP – 2014) Uma viga, com seção transversal 
retangular de altura h=60cm, apresenta uma força cortante máxima no valor de 𝑉𝑚á𝑥 =
200𝑘𝑁. Sabendo que a tensão admissível de cisalhamento do material é de 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
1𝑘𝑁/𝑐𝑚², pode-se afirmar que o valor da largura da seção transversal dessa viga é de: 
a) 2cm 
b) 3cm 
c) 5cm 
d) 6cm 
e) 7cm 
Resolução: 
A tensão de cisalhamento máxima nesse caso é dada por: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
1,5 ∗ 𝑉
𝐴
=
1,5 ∗ 200
0,6 ∗ 𝑏
𝑘𝑁/𝑚² 
Igualando a tensão solicitante com a tensão admissível, tem-se: 
1,5 ∗ 200
0,6 ∗ 𝑏
= 1𝑘𝑁/𝑐𝑚² = 104𝑘𝑁/𝑚² 
𝑏 =
1,5 ∗ 200
104 ∗ 0,6
= 0,05𝑚 = 5𝑐𝑚 
Resposta: C 
 
14) (ENGENHEIRO CIVIL – CÂMARA DE SALVADOR-BA – FGV – 2018) Observe a viga 
de seção transversal “T” que está submetida a esforço cortante. 
 
 
 
A distância x, em cm, a partir do bordo inferior da nervura (alma), onde ocorre a tensão máxima 
cisalhante, é: 
a) 0 
b) 26,26 
c) 52,52 
d) 60,26 
e) 78,52 
Resolução: 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície neutra correspondente ao centro de 
gravidade da seção, calcula-se então x considerando dois retângulos: 
- um superior de área 120 ∗ 12, cuja altura do ponto médio em relação ao referencial de x é 80 −
10/2 = 75. 
- um inferior de área 10 ∗ 70, cuja altura do ponto médio em relação ao referencial de x é 70/2 =
35. 
Assim, x é calculado como a média ponderada desses retângulos através de: 
𝑥 =
120 ∗ 12 ∗ 75 + 10 ∗ 70 ∗ 35
120 ∗ 12 + 10 ∗ 70
= 60,26 
Resposta: D 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas Hiperestática 
 
15) (ENGENHEIRO CIVIL – FCC – DPE/RR – 2015) Considere a viga hiperestática da 
figura submetida a uma carga uniformemente distribuída de 𝑞 = 2𝐾𝑛/𝑚 ao longo de 
todo o seu comprimento. 
 
A reação no apoio B é, em kN, 
f) 14 
g) 10 
h) 12 
i) 8 
j) 6 
Resolução: 
Para a viga analisada, considera-se o seguinte esquema de resolução: 
 
Como existe uma descontinuidade de carregamentos no problema 1, causado pela carga 
concentrada, os momentos foram calculados separadamente para os trechos A-B e C-B para 
ambos problemas, para facilitar a integração. Esses momentos são dados em função das 
coordenadas 𝑥1 e 𝑥2 indicadas no sistema principal. 
Para o problema 0, tem-se a equação de momentos de A-B em função de 𝑥1 e a equação de 
momentos C-B em função de 𝑥2: 
𝑀𝐴𝐵0 = 8𝑥1 −
2 𝑥1
2
2
 
𝑀𝐶𝐵0 = 8𝑥2 −
2 𝑥2
2
2
 
Já para o problema 1, as respectivas equações são dadas por: 
𝑀𝐴𝐵1 = −0,5𝑥1 
𝑀𝐶𝐵1 = −0,5𝑥2 
Pela compatibilidade de deslocamentos, tem-se: 
𝛿1𝑟 = 𝛿10 + 𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
Como EI é constante, também é válida: 
𝐸𝐼𝛿10 + 𝐸𝐼𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
Calcula-se então: 
𝐸𝐼𝛿10 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀0 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (−0,5𝑥1) ∗ (8𝑥1 −
2 𝑥1
2
2
) ∗ 𝑑𝑥1
4
0
+ ∫ (−0,5𝑥2) ∗ (8𝑥2 −
2 𝑥2
2
2
) ∗ 𝑑𝑥2
4
0
 
= 2 ∗ ∫ (−0,5𝑥2) ∗ (8𝑥2 −
2 𝑥2
2
2
) ∗ 𝑑𝑥2
4
0
 
𝐸𝐼𝛿10 = −320/3 
𝐸𝐼𝛿11 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀1 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (−0,5𝑥1)
2 ∗ 𝑑𝑥1
4
0
+ ∫ (−0,5𝑥2)
2 ∗ 𝑑𝑥2
4
0
 
= 2 ∗ ∫ (−0,5𝑥2)
2 ∗ 𝑑𝑥2
4
0
 
𝐸𝐼𝛿11 = 32/3 
Calcula-se pela EQ.1: 
 𝐸𝐼𝛿10 + 𝐸𝐼𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
320/3 − 32/3 ∗ 𝑋1 = 0 
𝑋1 = 10 
Nesse caso, como a questão solicitava a reação no apoio B, o sistema principal mais indicado 
é o adotado em que já se obteve o valor da reação diretamente da resolução do sistema 
hiperestático. Poderia ter sido adotada, alternativamente, em questões que solicitem o 
momento no apoio B, a incógnita 𝑋1 como sendo dois momentos opostos aplicados no ponto B 
que seria rotulado. 
Resposta: B 
 
16) (ENGENHEIRO CIVIL – VUNESP – PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS/SP 
– 2015) No projeto de uma ponte rodoviária, há uma viga de comprimento 4 metros 
com uma extremidade engastada, outra extremidade simplesmente apoiada e produto 
de rigidez EI constante. Se o carregamento nessa viga pode ser resumido por uma 
carga uniformemente distribuída de 50kN/m, então o valor máximo do momento fletor 
que traciona as fibras inferiores é, em kNm, 
 
k) 56,25 
l) 62,50 
m) 66,70 
n) 80,25 
o) 90,75 
Resolução: 
Para a viga analisada, considera-se o seguinte esquema de resolução: 
 
Para o problema 0, tem-se a equação de momentos em função de 𝑥 (conforme sistema principal) 
dada por: 
𝑀0 = −
50𝑥2
2
 
Já para o problema 1, a respectiva equação é dada por: 
𝑀1 = 𝑥 
Pela compatibilidade de deslocamentos, tem-se: 
𝛿1𝑟 = 𝛿10 + 𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
Como EI é constante, também é válida: 
𝐸𝐼𝛿10 + 𝐸𝐼𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
Calcula-se então: 
𝐸𝐼𝛿10 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀0 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ 𝑥 ∗ (−
50𝑥2
2
) ∗ 𝑑𝑥
4
0
 
𝐸𝐼𝛿10 = −1600 
𝐸𝐼𝛿11 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀1 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ 𝑥2 ∗ 𝑑𝑥
4
0
 
𝐸𝐼𝛿10 = 64/3 
Calcula-se pela EQ.1: 
 𝐸𝐼𝛿10 + 𝐸𝐼𝛿11 ∗ 𝑋1 = 0 
1600 − 64/3 ∗ 𝑋1 = 0 
𝑋1 = 75 
Considerando o referencial x, a equação de momentos da viga é dada por: 
𝑀 = 75𝑥 − 50𝑥2/2 
Essa equação é máxima quando a sua derivada for nula, ou seja: 
𝑀′ = 75 − 50𝑥 = 0 → 𝑥 = 1,5 
O momento máximo é dado por: 
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 75 ∗ 1,5 − 50 ∗ 1,5
2/2 = 56,25 
Resposta: A 
 
17) (ENGENHEIRO CIVIL – FGV – DPE/MT – 2015) Uma viga biengastada de 5 m de vão 
suporta uma carga concentrada de 50 kN, que dista 3 m do apoio engastado à 
esquerda. Sabendo que a viga se encontra em equilíbrio, o valor da reação vertical no 
apoio engastado à direita, é: 
f) 81/5 
g) 108/5 
h) 135/5 
i) 162/5 
j) 189/5 
Resolução: 
Para a viga analisada, considera-se o seguinte esquema de resolução: 
 
Como existe uma descontinuidade de carregamentos no problema 0, causado pela carga 
concentrada, os momentos foram calculados separadamente para os trechos C-B e B-A para 
todos problemas, para facilitar a integração. Esses momentos são dados em função das 
coordenadas 𝑥1 e 𝑥2 indicadas no sistema principal. 
Para o problema 0, tem-se a equação de momentos de C-B em função de 𝑥1 e a equação de 
momentos B-A em função de 𝑥2: 
𝑀𝐶𝐵0 = 0 
𝑀𝐵𝐴0 = −50𝑥2 
Analogamente, tem-se para os outros problemas: 
𝑀𝐶𝐵1 = 1 
𝑀𝐵𝐴1 = 1 
𝑀𝐶𝐵2 = 𝑥1 
𝑀𝐵𝐴2 = 2 + 𝑥2 
𝑀𝐶𝐵3 = 0 
𝑀𝐵𝐴3 = 0 
Pela compatibilidade de deslocamentos, tem-se: 
𝛿1𝑟 = 𝛿10 + 𝛿11 ∗ 𝑋1 + 𝛿12 ∗ 𝑋2 + 𝛿13 ∗ 𝑋3 = 0 𝐸𝑄. 1 
𝛿2𝑟 = 𝛿20 + 𝛿21 ∗ 𝑋1 + 𝛿22 ∗ 𝑋2 + 𝛿23 ∗ 𝑋3 = 0 𝐸𝑄. 2 
𝛿1𝑟 = 𝛿30 + 𝛿31 ∗ 𝑋1 + 𝛿32 ∗ 𝑋2 + 𝛿33 ∗ 𝑋3 = 0 𝐸𝑄. 3 
Calcula-se então:
𝐸𝐼𝛿10 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀0 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (1) ∗ (0) ∗ 𝑑𝑥1
2
0
+ ∫ (1) ∗ (−50𝑥2) ∗ 𝑑𝑥2
3
0
= −225 
𝐸𝐼𝛿20 = ∫ 𝑀2 ∗ 𝑀0 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (𝑥1) ∗ (0) ∗ 𝑑𝑥1
2
0
+ ∫ (2 + 𝑥2) ∗ (−50𝑥2) ∗ 𝑑𝑥2
3
0
= −900 
 
𝐸𝐼𝛿11 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀1 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (1)2 ∗ 𝑑𝑥1
2
0
+ ∫ (1)2 ∗ 𝑑𝑥2
3
0
= 5 
𝐸𝐼𝛿22 = ∫ 𝑀2 ∗ 𝑀2 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (𝑥1)
2 ∗ 𝑑𝑥1
2
0
+ ∫ (2 + 𝑥2)
2 ∗ 𝑑𝑥2
3
0
= 125/3 
𝐸𝐼𝛿12 = 𝐸𝐼𝛿21 = ∫ 𝑀1 ∗ 𝑀2 ∗ 𝑑𝑥
𝐿
0
 
= ∫ (1) ∗ (𝑥1) ∗ 𝑑𝑥1
2
0
+ ∫ (1) ∗ (2 + 𝑥2) ∗ 𝑑𝑥2
3
0
= 25/2 
𝐸𝐼𝛿30, 𝐸𝐼𝛿31 = 𝐸𝐼𝛿13, 𝐸𝐼𝛿32 = 𝐸𝐼𝛿23, 𝐸𝐼𝛿33 são nulos devido ao momento nulo do problema 3. 
Substituindo os valores nas Eq. 1, 2 e 3 (eliminando o termo EI por esse ser constante), tem-se: 
−225 + 5 ∗ 𝑋1 + 25/2 ∗ 𝑋2 + 0 ∗ 𝑋3 = 0 
−900 + 25/2 ∗ 𝑋1 + 125/3 ∗ 𝑋2 + 0 ∗ 𝑋3 = 0 
0 + 0 ∗ 𝑋1 + 0 ∗ 𝑋2 + 0 ∗ 𝑋3 = 0 
O que resulta em: 𝑋1 = −36, 𝑋2 = 32,4 = 162/5 e 𝑋3 = 0. 
Assim a reação vertical 𝑋2 = 162/5 
Resposta: B 
Cargas móveis e linha de influência 
 
18) (ENGENHEIRO CIVIL– INPI – CESPE – 2013) Linha de influência é a representação 
gráfica ou analítica do valor do efeito causado por uma carga unitária que percorre a 
estrutura ortogonalmente ao seu eixo, sobre uma determinada seção transversal dessa 
estrutura. 
k) certo 
l) errado 
Resolução: 
Assertiva: CORRETA. Pela própria definição de linha de influência, percebe-se que a resposta 
está certa. 
19) (ENGENHEIRO CIVIL– MEC – FGV – 2009) A expressão que define a linha de influência 
de momentos fletores em uma seção situada no meio do vão de uma viga bi-apoiada de 
comprimento L, sendo x a distância ao apoio esquerdo, para x<L/2 é: 
p) (𝐿 − 𝑥)/2 
q) (𝑥 − 𝐿)/2 
r) 0,5𝑥𝐿/(𝐿 − 𝑥) 
s) 𝐿/2 
t) 𝑥/2 
Resolução: 
Considerando a dedução apresentada no item 2.2, tem-se que para viga bi-apoiada, o valor do 
momento para carga localizada à esquerda da sessão (Figura 09) é dada por: 
𝑀𝑆 =
𝑧(𝐿 − 𝑥)
𝐿
 
No caso desse problema, o valor da distância do apoio até a sessão analisada (x) vale L/2 e o 
valor da distância entre a carga e o apoio recebe a nomenclatura de “x” ao invés de “z” (como 
utilizado no exemplo do item 2.2). Sendo assim, reescreve-se a equação acima fazendo: 
𝑀𝑠 =
𝑥(𝐿 − 0,5 ∗ 𝐿)
𝐿
=
𝑥
2
 
Resposta: e 
20) (ENGENHEIRO CIVIL– DPE-RR – FCC – 2015) Considere a viga de uma ponte 
submetida à carga móvel representada na figura. 
 
O momento fletor máximo no ponto C, obtido pelo método das linhas de influência é, em kNm: 
k) 540 
l) 980 
m) 730 
n) 600 
o) 780 
Resolução: 
Conforme deduzido no item 2.3 (substituindo valores), a linha de influência para momento fletor 
da estrutura acima é dada por: 
 
A situação de carregamentos que provoca o máximo momento na seção é obtida considerando 
a carga concentrada atuando no ponto anguloso da linha de influência (Teorema Geral), tal 
que: 
 
Assim, o momento fletor máximo atuando no ponto “C”, é dado por: 
𝐸𝑆 = ∑𝑃𝑖 ∗ 𝜂𝑗 + 𝑞 ∗ 𝐴 
𝑀𝐶 = 20 ∗ 3 + 30 ∗ (16 ∗
3
2
− 4 ∗
3
2
) = 600𝑘𝑁. 𝑚 
Resposta: D