3-Circuito RLC em CA

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Discussão dos Dados
(1) Figura 1 é a esquematização do Circuito RLC em corrente alternada:
Figura 1: Desenho esquemático do circuito RLC.
Quando aplicado a Lei das Malhas no Circuito da Figura 1 , é obtido que:
VFonte = VR + VL + VC (1)
Onde VFonte é a tensão gerada pela fonte, VR a tensão no Resistor, VC a tensão no Capacitor
e VL a tensão no indutor. Vemos que a equação (1) pode ser escrita em função do tempo da
seguinte forma:
ε(t) = RI(t) + L
dI(t)
dt
+
Q(t)
C
Derivando a equação anterior em relação ao tempo, é obtido a seguinte equação:
dε(t)
dt
= R
dI(t)
dt
+ L
d2I(t)
dt2
+
1
C
dQ(t)
dt
No entanto, como dQ(t)
dt
= I(t), substituindo é obtido que:
dε
dt
−RdI
dt
− Ld
2I
dt2
− I 1
C
= 0
Utilizando notação complexa, a equação fica:
dε̂
dt
−RdÎ
dt
− Ld
2Î
dt2
− Î
C
= 0 (2)
Sabendo dessas seguintes equivalências:
ε̂ = ε0e
iωt
Î = Īeiωt
d
dt
= iω
Então, a equação (2) na forma polar ficará como:
iωε0e
iωt = iωRĪeiωt + (iω)2LĪeiωt +
Ī
C
eiωt
1
iωε0 = iωRĪ + (iω)
2LĪ +
Ī
C
Simplificando, têm-se que:
Ī[R + i(ωL− 1
ωC
)] = ε0 (3)
Sabendo que XL = ωL e XC =
1
ωC
, são as Reatâncias Indutiva e Capacitiva, respectivamente.
E seja as seguintes propriedades dos números complexos:
Z̄ = R + (XL −XC)i
|Z̄| =
√
R2 + (XL −XC)2
Pelo seguinte diagrama de fasores:
XL−XC
R
|Z|-
Im
Re
φ
Figura 2: Desenho esquemático do diagrama de fasores.
É posśıvel observar que,
Z̄ = |Z̄|(cosϕ+ senϕ) = |Z̄|eiϕ
Onde,
|Z̄| =
√
(XL −XC)2 +R2 (4)
Assim,
Z̄ = |Z̄|eiϕ
Observa-se também que:
ϕ = arctan
(
XL −XC
R
)
Escrevendo a equação (3) em notação complexa:
Î =
εeiωt
|Z̄|eiϕ0
=
ε0e
i(ωt−ϕ)
|Z̄|
Considerando apenas a parte real da corrente imaginária, é concluido que:
I(t) =
�0 cos
(
ωt− arctan
(
XL−XC
R
))√
(XL −XC)2 +R2
(5)
2
Sabendo que VC = XCI, sendo XC =
1
ωC
, e I = V0
R
,assim
VC =
1
ωC
V0
R
Sendo a frequência de ressonância ω = ω0 =
1√
LC
temos,
VC =
1
ω0C
V0
R
VC =
1
C√
LC
V0
R
VC =
√
L
C
V0
R
Ou seja, a tensão no indutor e no capacitor são iguais somente quando ω é igual ao ω0 de
ressonância e é proporcional à tensão total gerada pela fonte.
VC,L = αV0 (6)
Onde α = 1
R
√
L
C
é o amortecimento do circuito, e o fator de amortecimento é ζ = α
ω0
.
Quando α > ω0 o circuito tem um amortecimento forte; para α < ω0 o circuito sofre um
amortecimento fraco e quando ζ = 1 ,ou seja, α = ω0 o circuito sofre um amortecimento cŕıtico.
Ao substituirmos os valores de L, C e R, temos α = 5, 1598, ω0 = 194, 08
rad
s
e ζ = 1, 64 ∗ 10−4.
Com base nos dados obtidos pelo experimento, foi posśıvel plotar as Tensões do circuito
pela Frequência no gráfico da Figura ??:
3
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60
T
en
sã
o
(V
)
Frequência (kHz)
Gráfico 1
Total
Resistor
Capacitor
Indutor
Figura 3: Gráfico representando a dependência entre a Tensão Total calculada, a Tensão no
Resistor, a Tensão no Indutor e a Tensão no Capacitor versus a Frequência. O valor em que as
tansões são máximas ocorrem na frequência de ressonância. Para a tensão total: f0 = 31, 00 kHz
e VT = 9, 36 V. Para a tensão do resistor: f0 = 31, 00 kHz e VR = 9, 36 V. Para a tensão
no indutor: f0 = 31, 00 kHz e VL = 46, 08 V. Para a tensão no capacitor: f0 = 31, 00 kHz e
VC = 46, 08 V,
A partir do gráfico é posśıvel observar que V0 = VT = 9, 36V , substituindo esses valores na
equação (6):
VC,L = 48, 29V
Calculando o desvio percentual da Frequência de Ressonância (f0) calculada e a obtida a partir
da Figura 1, é visto que:
D% =
∣∣∣∣Dcal −DexpDcal
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣48, 29− 31, 0048, 29
∣∣∣∣ = 3, 58%
A frequência de ressonância do Circuito RLC acontece quando VL = VC , ou seja, quando
há o cruzamento de entre as quatro curvas do gráfico. Desse modo, analisando o gráfico da
Figura 1,, a Frequência de Ressonância será fo = 31, 00kHz, tanto para as Tensões no Resistor
e Total quanto para as tensões no Capacitor e Indutor. Fazendo o desvio percentual:
D% =
∣∣∣∣Dcal −DexpDcal
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣30, 89− 31, 0030, 89
∣∣∣∣ = 3, 56%
Analisando os resultados obtidos quando comparados os valores de VR, VL e de VT segundo
o gráfico, observa-se que:
4
• Para f << f0 a Reatância Capacitiva (XC) é maior do que a Reatância Indutiva (XL)
. Logo, circuito tem caráter de circuito capacitivo. Como a impedância equivalente do
circuito é grande, a tensão no capacitor aumenta e onde há uma oposição de passagem da
corrente. Sendo assim, o capacitor é um circuito aberto e o indutor é um curto circuito.
Nesse caso o circuito é chamado de passa-baixa, ou seja, o circuito permite a passagem
de baixas frequências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude das frequências
maiores que a frequência de ressonância;
• Para f >> f0 ocorre o mesmo processo que no do item anterior. No entanto, agora o
circuito tem caráter indutivo e a tensão no Indutor aumenta ocorrendo do mesmo modo
uma oposição à passagem de corrente. Nesse caso XC < XL, ou seja a reatância indutiva
domina no circuito, então a impedância do circuito tem caráter indutivo, e o oposto do
item anterior. Para esse caso, o circuito é chamado de passa-alta pois permite a passagem
de altas frequências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude das frequências
menores que a frequência de ressonância;
• Para f = f0 XL = XC , ou seja, reatância indutiva e capacitiva se anulam, pois são iguais
em módulo e o se torna um circuito resistivo puro. Para este caso, a parte LC se comporta
como um curto-circuito e a tensão da fonte está totalmente sobre o resistor, gerando uma
máxima dissipassão de potência e impedância pequena. Ocasionando que as correntes de
maior magnitude passe pelo circuito. Esse circuito é chamado então de passa-faixa, pois
permite a passagem de frequências em uma determinada faixa intermediária (frequência de
ressonância). Ou seja, o circuito atenua sinais que estejam abaixo ou acima da frequência
de ressonância.
(2) Quando um corpo sofre uma oscilação forçada periódica, cuja frequência iguala-se à
frequência natural, ocorre o fenômeno chamado de ressonância. Para os circuitos RLC essa
frequência é f0 = 1/2π
√
LC. Nesse caso, a tensão é maior que a da fonte pois o corpo recebe
energia da fonte externa periodicamente em fase com a frequência natural, armazenando energia
vibracional.
(3) Por meio dos dados obtidos experimentalmente foi posśıvel confeccionar um gráfico da
resistência, reatância capacitiva experimental XexpC , reatância indutiva experimental X
exp
L e a
impedância experimental Zexp em função da frequência f (Figura ??).
5
0
400
800
1200
1600
10 20 30 40 50 60
Z
(Ω
),
X
C
(Ω
),
X
L
(Ω
),
R
(Ω
)
Frequência (kHz)
Gráfico 2
Impedância
Resistência
Reatância Capacitiva
Reatância Indutiva
Figura 4: Gráfico representando a dependencia entre a Reatância Capacitiva Experimen-
tal, Reatância Indutiva Experimental e a Impedância Experimen- tal e Resistência versus a
frequência. Os valores da frequência de ressonância obtidos para esse gráfico e o valor cor-
respondênte da variável em questão são: f0 = 31, 11 kHz e R = 97, 2 Ω; f0 = 31, 11 kHz e
XL = 525, 35 Ω; f0 = 31, 11 kHz e XL = Ω; f0 = 31, 11 kHz e XC = 525, 35 Ω; f0 = 31, 11 kHz
e Z = 97, 2 Ω;
Analisando o gráfico e é posśıvel ver quatro tipos de comportamentos diferentes:
• O primeiro deles é assumido pela resistência R que tem um comportamento constante,
pois ao longo do experimento a resistência sempre foi a mesma da auferida no começo do
experimento;
• Para f << f0 a Reatância Indutiva tem um comportamento crescente; a Reatância Ca-
pacitiva tem um comportamento decrescente e a Impedância tem um comportamento de-
crescente até a frequência de ressonância. A partir da equação (5), observa-se que quando
tendemos a frequência à zero, ou seja para frequências menores do que a frequência de
ressonância o valor da ReatânciaCapacitiva é maior do que o valor da Reatância Indu-
tiva, o que decorre o comportamento de crescimento da Reatância Indutiva. E fazendo
com que a Impedância tenha o mesmo comportamento de decréscimo da Reatância Ca-
pacitiva pois o valor da Reatância Indutiva torna-se quase que despreźıvel. Desse modo,
é observado que para frequências menores do que a frequência dé ressonância o circuito
tem um comportamento capacitivo, e é chamado de passa-baixa;
• Para f >> f0 A Reatância Indutiva tem um comportamento crescente; a Reatância Ca-
pacitiva tem um comportamento decrescente e a Impedância tem um comportamento
crescente após a frequência de ressonância. A partir da equação (5), observa-se que
quando tendemos a frequência ao infinito, ou seja, para frequências maiores do que a
6
frequência de ressonância o valor da Reatância Capacitiva é menor do que o valor da
Reatância Indutiva, o que decorre o comportamento de decréscimo da Reatância Capa-
citiva. E fazendo com que a Impedância tenha o mesmo comportamento de crescimento
da Reatância Indutiva pois o valor da Reatância Capacitiva torna-se quase q despreźıvel,
Logo, é observado que para frequências maiores do que a frequência de ressonância o
circuito tem um comportamento indutivo, e é chamado de passa-alta;
• Para f = f0 como a frequência de ressonância é dada por caracteŕısticas intŕınsecas do
circuito, dada pela seguinte relação:
f0 =
1
2π
√
LC
(7)
Ou seja, na frequência de ressonância ωL = 1
ωC
, o que condiz com o analisado no gráfico,
a Reatância Indutiva tem o mesmo valor que a Reatância Capacitiva. Frequência de
ressonância como XL = XC na equação (5) XL se anula com o XC , desse modo o primeiro
termo, que é a Resitência, prevalece na equação, ou seja, a Ipedância é equivalente à
Resistência o quê observado pelo gráfico. Desse modo, o circuito tem um comportamento
resistivo e chamado de passa-faixa.
Por fim vemos que a frequência de ressonância é dada graficamente quando XC = XL. Anali-
sando o gráfico da Figura ??, foi obtido que o valor para a frequência de corte deste circuito
é,f exp0 = 31, 11 kHz. Analiticamente, o valor da frequência de corte é dado por:
f cal0 =
1
2π
√
LC
= 31, 11 kHz
Para valores maiores que a frequência de ressonância, a impedância volta a crescer.
O desvio percentual da medida pode ser calculado da seguinte forma:
D% =
∣∣∣∣Dcalculado −DexperimentalDcalculado
∣∣∣∣× 100
D% =
∣∣∣∣30, 89− 31, 0630, 89
∣∣∣∣× 100 = 5, 5% (8)
Os resultados obtidos foram satisfatórios devido ao baixo desvio percentual.
(4) Por meio dos dados obtidos experimentalmente foi posśıvel confeccionar um gráfico da
diferença de fase φ em função da frequência f (Figura 5).
Figura 5: Gráfico representando a dependência entre a Diferença de Fase e a frequência. A
frequência de ressonância ocorre quando φ = 0◦, pelo gráfico pode-se ver que isso ocorre quando
f0 = 31, 55 kHz
.
Temos pelo seguinte diagrama de fasores, a relação dos vetores das Tensões, da Corrente e
a diferença de fase:
7
Y
X
Figura 6: Diagrama relacionando os vetores das Tensões (~VR vetor da Tensão no Resistor; ~VL
vetor da Tensão no Indutor; ~VC vetor da Tensão no Capacitor e ~VT vetor da Tensão Total), da
Corrente (~I vetor da Corrente) e a diferença de fase (φ).
Analisando o gráfico da Figura 5 e o diagrama da Figura 6:
• Para f << f0 a Corrente está atrasada de π2 da Tensão Total, quer dizer que, o vetor
da Tensão do Capacitor, em módulo, é maior do que o vetor da Tensão no Indutor, logo
para frequências menores da frequência de ressonância a Tensão do Capacitor se sobressai
tornando o circuito nessa fase um circuito de passa-baixa;
• Para f >> f0 a Corrente está adiantda de π2 da Tensão Total, isto é, o vetor da Tensão do
Indutor, em módulo, é maior do que o vetor da Tensão no Capacitor, logo para frequências
maiores da frequência de ressonância a Tensão do Indutor se sobressai, tornando o circuito,
nessa fase, um circuito de passa-alta;
• Para f = f0 a corrente está em fase com a Tensão Total, ou seja, a Tensão do Indutor,
em módulo, é igual a Tensão do Capacitor. Mas são de sentidos opostos fazendo com
que eles se anulem e a Tensão do Resistor junto com a Corrente estejam em fase com a
Tensão Total:
~VT = ~VR + ~VL + ~VC = ~VR +~0 +~0 = ~VR (9)
Desse modo, para essa frequência o circuito tem caráter resitivo chamado de passa-faixa.
Analisando o gráfico podemos perceber que para f < f0 a diferença de fase ira variar negati-
vamente de maneira lenta se aproximando ao valor de -90 , para f> f0 a diferença de fase ira
variar positivamente também de maneira lenta e tendendo a 90. Quando f = f0 a fase deve ser
zero.
Quando os valores da frequência giram em torno de f0 a curva no gráfico tem uma variação
rápida com relação a diferença de fase.
Como os componentes dos circuitos não são ideais acabam apresentando certa resistência o
que interfere na medida da diferença de fase.
8
(5) Dada a equação da corrente efetiva Ief = I
2/
√
2 encontramos no gráfico os valores de
frequência(f1,f2) relativos a ela. Assim conseguimos o fator de qualidade.
Q =
f0
|f2 − f1|
Q =
31, 06
|34, 00− 29, 00|
Q = 6, 212
A dependência do fator de qualidade com relação a resistência estará vinculado com a largura
da banda, ou seja, quanto menor a resistência mais estreita é a banda (∆f) do gráfico da Figura
??, pois o pico da corrente é maior.
0
0, 002
0, 004
0, 006
0, 008
0, 01
10 20 30 40 50 60
C
or
re
nt
e
ao
qu
ad
ra
do
((
m
A
)2
)
Frequência (kHz)
Gráfico 4
Corrente ao quadrado
Figura 7: Gráfico representando o quadrado da corrente em função da frequência. A frequência
de corte ocorre quando o quadrado da corrente for máximo. No gráfico foi posśıvel observar
que: f0 = 31, 00 kHz e I
2 = 0, 0088 (mA)2.
9