APS- Jogos Matematicos

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ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA Implantação 20181 
JOGOS MATEMÁTICOS 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM COMPETÊNCIAS RELACIONADAS 
A proposta dessa atividade tem como objetivos levar o aluno a: 
- Modelar, matematicamente, situações problemas que envolvem funções 
polinomiais do 1º. e 2º. graus; 
 
- Compreender e aplicar a regras para determinar raízes de funções polinomiais 
do 1º. e 2º. Graus; 
 
- Analisar e inferir situações problema a fim de otimizar ou minimizar prejuízos; 
 
- Compreender que função desempenha papel importante para construir, 
interpretar e analisar gráficos e compreender o comportamento de certos 
fenômenos do cotidiano; 
I 
II 
III 
IV 
VII 
VII 
IX 
 
 
 ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS 
 
Estudando as funções polinomiais de 1o e 2o graus 
 
Introdução 
 
 
Com a repercussão, por volta dos anos 60, do Movimento da Matemática Moderna, a Álgebra ganhou uma posição de 
destaque nos currículos de Matemática das escolas de educação básica. No atual ensino médio, pode-se afirmar que o tema 
certamente mais privilegiado é o estudo das funções. 
Não se discute a importância do estudo deste tema no ensino médio, mas sim, como é feito e como é desenvolvido o 
mesmo no que se refere a construção do significado e do conceito de função. 
É importante que se desenvolvam atividades com os alunos de modo que eles sejam capazes, ou ao menos estejam em 
situações que propiciem à aquisição do conceito de função como uma relação de interdependência entre duas grandezas. 
Outro ponto importante a se destacar é a necessidade de se trabalhar as funções com diferentes formas de 
representação. Aconselha-se desenvolver com os alunos situações em que eles trabalhem ora na representação numérica de 
função (tabelas, seqüências), ora na representação algébrica (fórmulas), ora na representação gráfica (diagrama, plano 
cartesiano). 
Baseado nestas perspectivas é que propomos atividades que podem colaborar para o desenvolvimento e apropriação 
por parte dos alunos do conceito de função, do conhecimento de função polinomial de 1o e 2o graus e das aplicações destes tipos 
de funções nas diversas outras áreas das ciências. 
 
Generalizando padrões 
 
Iniciaremos nossa oficina com atividades de generalização de padrões e a construção do conceito de função através de 
situações envolvendo a representação numérica e geométrica, e a passagem dessas representações para a representação 
algébrica de função. 
 
Atividade 01: 
 
Um professor ao trabalhar com seus alunos, inventa uma regra para transformar números. A medida que os alunos 
falam um certo número o professor responde outro. Observe: o aluno fala 3 e o professor responde 8, o aluno fala 5 e o professor 
reponde 12, para 10 o professor responde 22, para 11 responde 24, para o 30 responde 62, para o zero responde 2, para o –1 
responde zero, para o –5 responde –8, etc ... 
Expresse numéricamente, através de uma tabela, o que o professor faz com os números dos alunos. Expresse 
graficamente, no plano cartesiano, a mesma situação. Generalize a regra inventada pelo professor para qualquer número inteiro 
que o a 
 
 
 Universidade Anhembi Morumbi - campus Mooca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Jonatas messias de Freitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APS – Jogos Matematicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo, SP. 
24/10/2020 
 
 
 
luno falar. 
 
NÚMERO CALCULO DO PROFESSOR 
X 2*x+2 
3 2*3+2=8 
5 2*5+2=12 
10 2*10+2=22 
11 2*11+2=24 
30 2*30+2=62 
0 2*0+2=2 
-1 2*(-1)+2=0 
-5 2*(-5)+2=(-8) 
 
 
 
Observe e discuta as seguintes questões: 
a) é permitida, na representação gráfica, a união dos pontos ? 
R:Sim. Basta acha dois pontos no plano cartesiano e traçar uma reta. 
b) a generalização que você encontrou é uma função? 
R: Sim. Uma função de primeiro grau F(x)= 2*x+2 
c) se a resposta acima foi afirmativa, qual é o conjunto domínio e o conjunto imagem da função? 
R: Domínio: D(f) = IR 
 Imagem: Im (f) = IR 
 
Atividade 02
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35
Valores Y
 
O Sr Cabral é dono de uma padaria e fez a seguinte tabela para o indicar o preço a ser pago pelos seus clientes na compra de 
pãezinhos: 
Quantidade de pães (q) 1 2 3 5 7 
Preço a pagar (P), em R$ 0,25 0,50 0,75 1,25 1,75 
 
De acordo com a tabela acima, responda: 
a) qual o preço a ser pago por 6 pães? E por 23? 
R: 6*R$ 0,25= R$ 1,50 
 23*R$ 0,25= R$ 5,75 
b) quantos pães é possível comprar com R$ 4,25? E com R$ 8,50? 
R: 4,25/0,25 = 17 
 8,5/0,25 = 34 
c) chamando de “q” o número de pães e “P” o preço pago por eles, qual a expressão que relaciona “P” e “q”? 
R:P=0,25Q 
d) essa relação é uma função? Se sim, qual é o domínio dessa função? Se não, explique por que a relação não é uma 
função. 
R:Sim,Função linear do 1°Grau. O dominio dafunção é D = {q ∈ R \ q > 0} 
e) construa o gráfico cartesiano que representa a relação acima. 
 
 
Atividade 03: 
 
Um ciclista, ao partir do marco zero de uma estrada, aciona o cronômetro para anotar, durante a viagem, o instante “t” 
e sua posição “S” fornecida pelos marcos quilométricos que o mesmo se encontra. As anotações obtidas constam na tabela 
abaixo: 
 
tempo (t), em h 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 
Posição (S), em km 0 4 8 12 16 20 24 28 
 
Observando a tabela dada, responda: 
a) qual é a relação entre “S” e “t”? R: S=8*t 
b) construa um gráfico que descreva a variação de “S” em relação a variação de “t” 
c) a relação descrita é uma função? Se sim, qual é o domínio? Se não, justifique sua resposta. 
R: Sim, dominio é real. 
d) qual a principal diferença que você observa entre o gráfico traçado nessa atividade e o gráfico das atividades 
anteriores? 
R:Esta é uma função linear
 R$-
 R$0,20
 R$0,40
 R$0,60
 R$0,80
 R$1,00
 R$1,20
 R$1,40
 R$1,60
 R$1,80
 R$2,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Valores Y
 
 
 
 
 
 
Modelando situações através das funções polinomiais de 1o e 2o graus 
 
 
mesmos. 
Uma das principais funções da Álgebra é a de modelar problemas do “mundo real” e encontrar soluções para os 
 
De acordo com os PCNEM os temas abordados devem permitir aos alunos conexões entre os diversos conceitos 
matemáticos e entre as diferentes formas de pensamento matemático, bem como salientar as conexões entre os temas 
matemáticos e as outras áreas do conhecimento, como Física, Geografia ou a Economia. 
Assim, o conceito de função pode desempenhar também um papel importante para descrever e estudar através da leitura, 
interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos do cotidiano. 
O aluno deve adquirir conceitos que lhe permitam lidar com o conceito de função em situações diversas, por 
intermédio de uma variedade de situações – problema de Matemática e de outras áreas. Ainda nesse aspecto, é importante que o 
aluno seja incentivado a buscar soluções, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para a 
interpretação e investigação da Matemática. 
Baseado no que foi discutido nas atividades 01, 02 e 03, e nas refexões acima, vamos desenvolver algumas situações 
em que as funções polinomias de 1o e 2o graus podem ser utilizdas para a resolução de problemas em algumas áreas do 
conhecimento. 
Atividade 04: 
 
Em uma empresa os custos de produção de seus produtos, na maioria das vezes, são divididos em duas partes: custos 
fixos, que existem ainda que nada esteja sendo produzido e o custo variável, que é aquele que varia de acordo com a quantidade 
produzida. 
Observe o gráfico abaixo, que representa a situação de uma empresa que produz sapatos: 
x 
 
a) quais são os custos fixo e variável por sapato produzido? 
R: Custo fixo R$ 1000,00 Custo váriavel R$20,00
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 5 10 15 20 25 30
Valores Y
 
 b)o gráfico mostra que o custo para a produção de 150 sapatos foi de R$ 4.000,00. Explique, com suas palavras, como esse 
valor foi obtido. 
 
 R:Atravez da equação do custo total.C)encontre uma fórmula que expresse o custo C em função da quantidade produzida. 
 R:CT(X)= 1000+20*Q 
D)qual o custo quando 170 sapatos são produzidos? quantos sapatos são produzidos quando o custo é R$ 2.440,00? 
R: CT(X)=1000+20*170= R$4400,00 
 CT(X)=1000+20*72= R$2440,00 
 
 
Atividade 05: 
 
Quando Marcio viajou por 20 dias para as praias do nordeste, ele quis alugar uma bicicleta para poder passear e 
conhecer várias praiais mais afastadas. Para tanto, ele consultou duas empresas que alugavam bicicletas. 
 
Na PEDALEAKI, o aluguel era dado pela uma tabela do tipo: 
 
Dias (d) 1 2 3 5 N 
Aluguel (A), em R$ 6,00 12,00 18,00 
 
Já na LEVEABIKE, era cobrada uma taxa inicial de R$ 8,00 e mais R$ 4,00 por dia. Diante disso, um amigo brincalhão, que morava 
na cidade, disse que poderia alugar uma bike para ele segundoa lei: A = 5d + 4, onde A é o aluguel a pagar e d é o número de dias 
que ele usar a bike. 
 
Nestas condições: 
 
a) faça uma tabela para as propostas da LEVEABIKE e do amigo, para 1, 2, 3, 4, 5, 12 e n dias e o respectivo aluguel e 
amplie a tabela da PEDALEAKI, para os mesmos valores. 
R: 
Amigo F(X)= 5*X+4 LEVEABIKE F(X)= 8+4*X PEDALEAKI F(X)=6*X 
DIA 1 F(X)= 5*1+4=9 DIA 1 F(X)= 8+4*1=12 DIA 1 F(X)=6*1=6 
DIA 2 F(X)= 5*2+4=14 DIA 2 F(X)= 8+4*2=16 DIA 2 F(X)=6*2=12 
DIA 3 F(X)= 5*3+4=19 DIA 3 F(X)= 8+4*3=20 DIA 3 F(X)=6*3=18 
DIA 4 F(X)= 5*4+4=24 DIA 4 F(X)= 8+4*4=24 DIA 4 F(X)=6*4=22 
DIA 5 F(X)= 5*5+4=29 DIA 5 F(X)= 8+4*5=28 DIA 5 F(X)=6*5=33 
DIA 12 F(X)= 5*12+4= 64 DIA 12 F(X)= 8+4*12=56 DIA 12 F(X)=6*12=72 
 
 
b) qual das três ofertas era a mais econômica para Marcio? 
R: A oferta da LEVEABIKE 
c) represente as três situações num mesmo gráfico cartesiano. Verifique, em seguida, se a resposta dada no item anterior 
se confirma nesse gráfico. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Valores Y
 
 
 
d) as funções envolvidas nesse problema são polinomial do 1o grau? alguma delas é afim? alguma delas é linear? 
R: Todas são do 1°grau, linear e afim. 
 
Sugestão: é importante que se faça uma discussão com os alunos sobre as características particulares das funções polinomiais do 
1o grau, quanto ao fato de serem classificadas em: constante, linear e linear afim (ou simplismente, função afim). 
 
Atividade 06: 
 
João tem uma fábrica de sorvetes. Ele vende mensalmente 300 caixas de picolés por R$ 20,00 cada uma. Entretanto, 
ele percebeu que, cada vez que diminuía R$ 1,00 no preço da caixa, vendia 40 caixas a mais. Nessa situação; 
 
a) complete a tabela: 
 
Preço de cada caixa, em R$ Número de caixas vendidas Receita, em R$ 
20,00 300 6.000,00 
19,00 340 6460,00 
18,00 380 6840,00 
17,00 420 7140,00 
16,00 460 7360,00 
15,00 500 7500,00 
14,00 540 7560,00 
13,00 580 7540,00 
12,00 620 7440,00 
11,00 660 7260,00 
 
 
b) quanto João deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse máxima? 
R:R$ 14,00 
c) chamando de 20 – x o preço de cada caixa, o número de caixas vendidas é R:860 e a receita R(x) = 
R:5160,00 . 
d) represente graficamente a função acima, destacando o ponto em que a receita é máxima. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
DIA1 DIA2 DIA3 DIA4 DIA5 DIA12
Título do Gráfico
Amigo LEVEABIKE PEDALEkI
 
 
Atividade 07: 
 
A temperatura T na qual a água ferve depende da altitude A acima do nível do mar. Se a altitude é medida em metros e 
a temperatura em graus Celsius, vale a função: A = 1.000(100 – T) + 580(100 – T)2. 
 
a) em que altitude o ponto de ebulição é 99,5o C? 
R: A = 1*(100-t) +580*(100-t)2 
T=99.5 
A=145.5000 
 
b) Discuta o caso T = 100o C. 
R: T=100; indica que a função atinge seu zero, quando colocamos t=100 tempo que que atingirá valor zero. 
 
c) qual a temperatura de ebulição da água em Campos do Jordão, que está a uma altitude de 1.628m? 
 
R:A=1.1628m 
0 = 5800098.372 – 116001*t + 580*t2 
 R$6.000,00
 R$6.200,00
 R$6.400,00
 R$6.600,00
 R$6.800,00
 R$7.000,00
 R$7.200,00
 R$7.400,00
 R$7.600,00
 R$7.800,00
300 350 400 450 500 550 600 650 700
Receita, em R$
 
Atividade 08: 
 
Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 4000 barris de petróleo por dia. Para cada novo poço perfurado, 
a produção diária de cada poço decai de 5 barris. 
a) complete a tabela abaixo: 
 
Poços Produção de cada poço Total 
20 200 4000 
21 195 4095 
22 190 4180 
20 + x 200-5*(x-20) (20+x)*(200-5*(x-20)) 
 
b) expresse a produção diária total do campo como função do número x de novos poços perfurados. 
R: R-F(x)=200-5*(x-20) 
c) determine o número de novos poços que devem ser perfurados para maximizar a produção total diária do campo 
petrolífero. 
R: f(x)= -x2+50*x+1200. O valor para maximizar a produção diária é 25. 
d) represente graficamente a função acima destacando a situação do item c. 
 
 
Curiosidade: 
 
O estudo das funções quadráticas tem sua origem na resolução da equação do 2o grau. 
Problemas que recaem numa equação do 2o grau estão entre os mais antigos da Matemática. Um tablete de barro 
cozido, datado de 1700 A.C. e encontrado na Mesopotâmia era um “livro de exercícios de Matemática”. Os babilônios já 
conseguiam trabalhar com equações do 2o grau pelo método de completar quadrados, pois já conheciam algumas fórmulas 
de fatoração. 
Como exemplo do método babilônio, vamos resolver geometricamente a equação x2 + 8x = 9 e encontrar a solução 
positiva. 
 
Tomemos um quadrado de lado x e quatro retângulos de comprimento x e largura 2. A figura à esquerda tem área 9. 
 
 
 
Para completar o quadrado à direita, devemos adicionar a ele, mais quatro quadrados de lado 2. Assim, ficamos com x2 
+ 8x + 16 = 9 + 16. Daí, podemos obtemos x2 + 8x + 16 = 25, que pode ser escrito como (x + 4)2 = 52, e concluímos que x = 1. 
Os babilônios não tinham a escrita algébrica e os tabletes encontrados apresentavam apenas seqüências do tipo “faça 
isto”, “faça aquilo”, “este é o resultado”. Aproximadamente 3 milênios mais tarde, no século XII da nossa era, o matemático 
hindu Bháskara, utilizando resultados já conhecidos na Índia, resolveu a equação do 2o grau empregando o mesmo raciocínio 
dos babilônios, mas foi além, deixando a fórmula que todos nós conhecemos. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Brasil. Secretaria de Educação Fundamental – Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM): Matemática. 
Brasília, 1999. 
 
Campos, T M M et al – Construindo Sempre Matemática. Editora Proem, São Paulo, 2002. 
 
Coxford, F A & Shulte, P A – As idéias da Álgebra (tradução de Hygino H Domingues). Editora Atual, Brasil, 1995. 
 
SILVA, S M da – Matemática para os Cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis - Editora Atlas, São Paulo, 
1999. 
 
PUC/SP – Notas de aulas do Curso de Licenciatura em Matemática. PUC/SP, São Paulo, 1998. 
 
 
 AVALIAÇÃO 
A avaliação da APS será baseada nos princípios de autonomia pedagógica, feedback significativo e metacognição, 
culminando na autoavaliação do estudante. A nota da APS será atribuída no valor de 0,0 (zero) até 1,0 (um) ponto e 
vai compor a nota da A2, com base na rubrica de autoavaliação disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Só 
poderá realizar a autoavaliação o estudante que finalizar a atividade conforme instruções deste documento, 
postando-a até o dia solicitado pelo professor.