RELATÓRIO GIROSCÓPIO 2018

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Universidade de Brasília – UnB 
Física Experimental 2 – Turma D 
 
 
 
Experimento 3 – Movimento do Giroscópio 
 
 
 
 
Data: 11/04/2018 
Componentes do Grupo: 
Mariana Delmonde Domingos – 15/0017391 
Vinicius Ramos Novaes Paixão – 17/0023613
Domingos Magalhães José – 17/0066975
1. OBJETIVOS 
Este experimento tem por objetivo visualizar os efeitos relacionados ao momento angular no movimento de rotação, além das direções de cada grandeza envolvida, utilizando-se para isso um giroscópio. O experimento será dividido em uma parte qualitativa e outra quantitativa. Na parte quantitativa, determinaremos o momento de inércia do giroscópio usando a lei da conservação da energia mecânica e o movimento de precessão. 
2. INTRODUÇÃO 
Com algumas transformações, podemos utilizar as grandezas que descrevem os movimentos de translação para descrever movimentos de rotação, porém para a determinação das direções e sentidos dos vetores devemos utilizar a regra da mão direita, já que eles são facilmente visualizados como as direções e sentidos no movimento de translação. 
Na tabela abaixo aparecem alguns exemplos de equações equivalentes: 
 
Tabela 1 – Relação de grandezas envolvendo translação e rotação 
 
 
Neste experimento trabalharemos com o giroscópio para o estudo do movimento de rotação. 
 
 
 
O giroscópio pode girar quase livremente em torno do eixo vertical, horizontal e de rotação do disco. Quando em equilíbrio, temos que a resultante das forças e torques atuantes devem ser nulas. Então, na ausência de forças externas a direção do momento linear e angular é mantida fixa. Quando o giroscópio é submetido a um torque externo, ele reage da seguinte forma: 
Assim, de acordo com essa expressão, o momento angular terá sua direção alternada na mesma direção do torque aplicado. Tal fato explica o movimento de precessão do giroscópio quando colocamos um peso em um das extremidades de um giroscópio equilibrado situado a uma distância ℓ do ponto de apoio e girando em torno de seu próprio eixo. O módulo do momento angular permanecerá constante alterando-se apenas a direção do momento angular. 
Chamando o ângulo de precessão do giroscópio em torno do eixo vertical de φ, ter-se-á a seguinte expressão: 
onde Ω é a velocidade angular de precessão. Assim, dL apontará na 
mesma direção do vetor torque τ aplicado pela força do peso dependurado. 
Para a determinação do momento de inércia do giroscópio, podemos utilizar a lei da conservação da energia mecânica. Se o eixo do giroscópio for travado fazendo com que ele apenas gire em torno do seu próprio eixo de rotação. Se uma massa (7) com P=mg for pendurada por um corda enrolada na polia (6) de raio r liberada de uma altura h acima do solo, esse peso acelerará o disco do giroscópio até atingir uma velocidade angular ω . A energia cinética de rotação será a soma da energia cinética do disco e da energia cinética e translação do peso que é dada por: 
Podemos reescrevê-la em termos do período T, ou seja, o tempo que o disco leva para completar uma volta. Então, temos: 
Também podemos determinar o momento de inércia através da velocidade angular de precessão: 
, onde Ωω é uma constante igual ao torque aplicado pelo peso dividido pelo momento de inércia. Deve haver uma relação linear entre esse produto e a massa do peso aplicado em uma das extremidades do eixo do giroscópio. 
Dessa equação temos que: 
onde T é o período do disco e Tp o período de precessão, em segundos. Assim, medindo-se a razão 1/ T.Tp para várias massas diferentes, obter-se-á uma relação linear entre essas duas grandezas, cujo coeficiente angular nos permite determinar I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. MATERIAIS UTILIZADOS 
 
Para o experimento, foram utilizados os seguintes 
· Giroscópio de três eixos 
· Motor elétrico para aceleração do disco 
· Temporizador / Contador para medida do período do disco 
· Suporte para pesos 
· 4 Pesos de 100g 
· Conjunto de Pesos de 10g 
· Régua de 1m de comprimento 
· Conjunto de setas indicativas das grandezas vetoriais 
· Cronômetro Digital 
· Régua 
· Paquímetro 
 
Para a montagem dos gráficos, utilizamos os seguintes programas: 
· Grace 
· Kwrite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. DADOS EXPERIMENTAIS 
4.1 Procedimento 1: Determinação do Momento de Inércia usando a lei de conservação da energia 
 Primeiramente, determinou-se a massa =421,57±0,01	, equivalente a 4 pesos de 100 gramas em conjunto com o suporte, para ser utilizada no processo de medir o período do disco após essa massa acelerá-lo de uma altura ℎ. 
 Após a realização desse procedimento, cujo objetivo consiste em relacionar o período de rotação à altura, foram encontrados os valores presentes na tabela abaixo: 
 
Em que, 
∆ℎ corresponde à incerteza associada à altura, dada pelo erro instrumental da régua. 
 ∆ corresponde à incerteza associado ao período, dada pelo erro instrumental do temporizador ou contador para medida do período do disco. 
Ainda foi medido o raio da polia metálica r = rp±∆rp=2,28±0,05cm , em que rp é o valor médio e ∆ rp corresponde à incerteza dada pelo erro instrumental do paquímetro e, também, a espessura do disco e=0,03± 0,05cm com o paquímetro. 
Por último, foram relacionadas as grandezas 1÷ e T2 em um gráfico. 
 
 
 
 4.2 Procedimento 2: Determinação do Momento de Inércia usando a velocidade angular de precessão 
 Para essa determinação, foram encontrados os valores do período do disco (T) e o período de precessão (Tp) para o torque aplicado. Por conta do atrito nos rolamentos do disco, ocasionando uma menor velocidade de rotação, foram medidos os tempos em que a precessão completa 0.25 voltas e multiplicou-se por 4. 
 O período do disco foi medido em T = Tm ± ∆T = 0,087±0,001s , em que é o tempo médio e ∆T corresponde ao erro instrumental do temporizador. 
Após a realização deste procedimento, relacionando massa (pesos+suporte) ao período de precessão, foram encontrados os valores da tabela abaixo: 
 
Em que, 
 ∆m corresponde à incerteza associada à massa, dada pelo erro instrumental da balança digital. 
 ∆ Tp corresponde à incerteza associada ao período de precessão, dada pelo erro instrumental do temporizador. 
Também foi calculada a distância do eixo de rotação à extremidade onde ocorre a precessão l=lm ±∆l=17,59±0,05cm , em que lm é a distância média e ∆l é o erro instrumental da régua. 
Por último, foram relacionadas as grandezas (1÷T.Tp) e massa em gráfico para, assim, calcular o momento de inércia 
 
 
 
5. ANÁLISE DE DADOS 
 
5.1 Momento de inércia por meio da lei da conservação de energia 
 
O momento de inércia do giroscópio pode ser determinado pela conservação da energia mecânica. Inicialmente, há a energia potencial gravitacional do suporte com pesos que estava dependurado na polia acoplada ao disco. Após, ocorreu a transformação de tal energia para energia cinética de rotação e translação. Assim, o disco girou. Conforme a fundamentação teórica, chegamos a equação abaixo: 
 E substituindo, chegamos a equação abaixo: 
 
Conforme os dados encontrados, explícitos nas tabelas, o gráfico 1 foi produzido e por meio da regressão linear no programa Grace, assim gerou uma reta com equação, em que -2,161 representa o erro associados ao coeficiente angular: 
 
Desta forma, foi confirmada a expectativa da proporcionalidade do inverso do período ao quadrado com a altura, como a equação (2), analisada matematicamente, indica. Portanto, por meio do coeficiente angular (17,925), pode-se encontrar o momento de inércia. 
 
Gráfico 1: Inverso do período ao quadrado em função da altura 
 
Igualando o coeficiente angular da reta, com o coeficiente angular da equação (2), obtém: 	
Substituindo os valores de m e r de acordo com as tabelas, respectivamente, e considerando g=9,7	m/F	encontra-se para o momento de inércia: =0,01133804, ou em algarismos significativos:
 
5.2 Determinação do momento de inércia usando a velocidade angular de precessão 
 
Teoricamente, uma das formas possíveis de se calcular o momento de inércia do giroscópio é através da velocidadeangular de precessão do giroscópio: 
Segundo a equação acima, a velocidade angular de precessão é inversamente proporcional à velocidade angular de rotação, com a constante de proporcionalidade sendo dada pela razão entre o torque e o momento de inércia.
Como estamos trabalhando com os períodos Tp de precessão e T de rotação, fazendo as devidas manipulações matemáticas para obter a relação linear entre o produto Ωω e a massa m do peso aplicado em uma das extremidades do giroscópio, podemos obter a seguinte equação: (*) 1/Tp×1/T=(gl/4π2I)×m 
 
Comparamos à equação acima com uma equação do 1ºgrau, do tipo: y=ax+b 
em que y representa 1/Tp×1/T; a é o coeficiente angular que representa (gl/4π2I); x representa m; 
b é a incerteza associada ao gráfico 
Com base nessa ideia acima e nos dados de medição dos períodos e das massas do peso, montamos um gráfico de 1/Tp×1/T em função da massa: 
 
 
Gráfico 2: Inverso do produto do período de precessão e do disco em função da massa 
 
 
Obtemos a=5,106 e b=0,021. 
Tendo em mente que a=gl/4π2I e com os valores de g e l, 
 
g=9,7±0,1 m/s2 
l=(17,59±0,05)×10-2m, 
temos que I=gl/4π2a 
 
 
gl=͞gl±∆gl=1,71±0,02 m2/s2 
em que ∆gl=[∆g/g+∆l/l] 
 
I=͞I±∆I= (0,848±0,009)×10-2 kg×m2 em que ∆I=I[∆gl/gl] , já que a4π2 é uma constante. 
 
Comparando esse valor com o obtido em 5.1, podemos concluir que, dentro das incertezas obtidas, os valores são coincidentes e, portanto, estão de acordo com o esperado teoricamente. 
 
 
5.3 Momento de inércia por meio da equação para o disco 
 
O momento de inércia para um corpo é conhecido ao integrar
. Assim, para o disco o momento de inércia é: 
 
Em que, 
M corresponde a massa do disco 
R corresponde ao raio do disco 
I corresponde ao momento de inércia do disco 
 
Por meio dos valores encontrados para o momento de inércia por dois métodos diferentes, abordados nos tópicos 5.1 e 5.2, podemos comparar com o momento de inércia encontrado para apenas o disco, sem contar com a polia. 
Conforme a fundamentação teórica, entende-se que o momento de inércia não depende apenas da massa do corpo, mas como esta massa está distribuída. Quando mais próximas as partículas que compõem a massa estão do eixo, menos é o momento angular. Assim, vemos que os momentos nos outros dois tópicos foram um pouco menores em relação a este. Isto ocorre pelo fato de considerar a polia, que tem uma massa concentrada perto do eixo de rotação, diminuindo, assim, o momento angular. 
 
5.4 Questões Suplementares 
a) O rolamento é a mistura de dois movimentos: translação pura e rotação pura. A presença da força de atrito é o que faz com que tenhamos um rolamento ao invés de um deslizamento. Quando se tem a presença da força de atrito estático de rolamento, podemos considerar que o sistema é conservativo, isto é, quase não há perda de energia mecânica. Isso ocorre porque na verdade o trabalho realizado por uma força de atrito é nulo, pois W=F.dr=F.v.dt, mas como no rolamento puro o ponto de contato está em repouso a cada instante, v=0 e, consequentemente, W=0. 
 Entretanto, se houver outra tipo de força de atrito, não haverá mais conservação de energia mecânica. Isso afeta diretamente o momento inércia, ou seja, a dificuldade de rotacionar, pois parte da energia que seria utilizada para a translação e rotação será perdida. 
 
 
b) A equação mgh= 1/2mv2 +1/2Iω2 representa a conservação da energia mecânica para uma situação em que uma massa com peso P=mg for dependurada por uma corda enrolada numa polia de raio r e liberada de uma altura h acima do solo. Esse peso acelerará o disco do giroscópio até que ele atinja uma velocidade angular ω. Na iminência de atingir o solo, a energia cinética do sistema consiste da soma da energia cinética de rotação do disco e da energia cinética de translação do peso. 
 Supondo que há trabalho realizado por uma força atrito (que não seria de rolamento porque, como vimos no item acima, a força de atrito de rolamento não é uma força dissipativa), a equação assume a seguinte forma: 
 
mgh= 1/2mv2 +1/2Iω2 -Watrito 
 
 A equação mostra que ω e v serão menores do que seriam sem a presença de Watrito. Como ω=2π/T e T e h são inversamente proporcionais, a diminuição de ω faz com T seja maior e, consequentemente, h seja menor. 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 
O experimento 3 – movimento do giroscópio – possuiu como expectativa a confirmação da base teórica em relação ao estudo de rotação que envolveu tópicos como momento de inércia, torque e velocidade de precessão. Assim, por meio dos cálculos do momento de inércia, comparações e análise vetoriais chegou-se a conclusões que eram esperadas. 
Os momentos de inércia calculados tanto por meio da conservação da energia, como pela precessão, como pela fórmula pronta para o disco 
) não apresentaram discrepância 
relativa.	 
Assim, o experimento realizado demonstrou as expectativas esperadas de acordo com a fundamentação teórica e discrepâncias pequenas em relação aos erros e incertezas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. REFERÊNCIAS 
 
Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J., Fundamentos da Física, Volume 1, 8ª Ed.
 
Nussenzveig, H. N., Curso de Física Básica 1 , Ed. Edgard Blücher, 5ª Ed.
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia http://disciplinas.stoa.usp.br/pluginfile.php/95876/mod_resource/content/ 1/Notas%20de%20aula%20-%20Momento%20angular.pdf 
 
http://www.infis.ufu.br/sites/infis.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Apostila% 20Mecanica%20Experimental.PDF 
 
http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/pagina_EaF/Modulo_II_Rotacoes/Mod
ulo_II.htm