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Porcentagem no dia a dia
Um dos assuntos que caem em vestibulares, dos mais concorridos aos menos concorridos do país, 
também aparece frequentemente em questões do ENEM.
Além disso, sempre vimos nos telejornais notícias relacionadas, por exemplo: “O preço da gasolina
aumentou 10%”. Dessa forma, se a gasolina custa 5,00 reais e esta irá sofrer um reajuste (aumento) 
de 10%, na matemática escreveremos assim:
10% de 5,00 = 10⁄100 . 5 = 0,50
Ou seja, a gasolina sofrerá um aumento de 50 centavos por litro.
Ao calcularmos uma porcentagem em relação a um valor dado, estamos também representando uma
proporção em que um dos denominadores é igual a 100.
Pelo exemplo acima dado, dizemos que 0,50 representa em 5 o mesmo que 10 representa em 100. 
Veja:
Como representar porcentagem?
Existem três formas de representarmos uma porcentagem: na forma percentual, forma 
fracionária ou forma decimal. Veja:
Forma percentual Forma fracionário Forma decimal
10% 10⁄100 0,1
30% 30⁄100 0,30
5,3% 5,3/100 0,053
Podemos perceber como a porcentagem está presente na nossa vida. Descontos em lojas, promoções
na internet, dificilmente você vai se livrar do assunto.
Usamos a porcentagem quando queremos expressar alguma quantidade como a porcentagem de um 
valor. Veja um exemplo:
Digamos que você vai em uma loja no shopping ou numa loja virtual na internet e encontre um 
produto com desconto de 10%. Seu custo inicial era de R$ 50,00. Esse desconto de 10% 
corresponde à divisão do preço inicial por 100, tomando 10 partes. Veja:
Resumindo: calcular a porcentagem de a% de x é o mesmo que multiplicar a/100 por x.
Entender porcentagem é fundamental para o dia a dia. Se você for a um posto de combustível 
abastecer seu carro, após ouvi na televisão que a gasolina teve tantos por cento de aumento e, 
digamos que seu carro seja flex, então você para e pensa: “devo abastecer com álcool ou gasolina? 
Quantos por cento devo abastecer de álcool ou gasolina?”.
São problemas como esse que nos deparamos e percebemos que a porcentagem é muito importante 
em nossa vida.
Exercícios de porcentagem
Calcule 20% de 500
20% é o mesmo que escrevermos 20/100
20% de 500 =
Coloque 5⁄4 na forma percentual.
Essa é uma forma de conversão mais completa, aqui usamos regra de três. Pegamos o valor que 
queremos converter (5⁄4), depois colocamos o valor que não sabemos na base 100 ( 
x/100 ).
Próximo passo é usar a regra de três para encontrar o valor de x. Então multiplicaremos a proporção
em cruz. 
Após encontrar o valor de x, colocamos o valor que queremos na base 100. Ou seja, reescrevermos, 
pois queremos na forma percentual, colocando o símbolo.
Logo,
Função Quadrática (ou função do 2º grau)
Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do 
primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada 
num polinômio do segundo grau na variável x.
Toda função ( )
é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.
Representação Gráfica de uma Função Quadrática
Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, 
como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas 
dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de 
mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
 
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:
 x  y = -x2 + 10x - 14
2 y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2
3 y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7
4 y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10
5 y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11
6 y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10
7 y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7
8 y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2
Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e 
depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura 
própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é 
o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.
Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas
De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da 
parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).
Raiz da Função Quadrática
Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois 
pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.
Sendo a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e
solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.
Vértice e Concavidade da Parábola
Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e 
que a sua concavidade é para baixo.
 
Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto 
mínimo.
Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência 
entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas funções.
Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:
Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este 
mesmo coeficiente é positivo.
 
O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0:
 
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:
Coordenadas do Vértice da Parábola
A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas 
do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, 
mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.
Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática
Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico 
tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do 
vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um
valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma 
função quadrática.
Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática
 
Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:
Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até 
atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjuntoimagem da função polinomial do 2° grau é:
Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática
 
Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2:
Os coeficientes da regra de associação desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:
6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez 
calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor 
mínimo:
Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai 
aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:
Problemas Resolvidos de Função Quadrática
1. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em 
uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 
18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do 
dia foi?
Resolução:
Veja que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 representa uma parábola com a concavidade 
para baixo (a é menor que 0)
Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado 
utilizando a fórmula abaixo:
t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15
Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.
Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):
t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.
Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.
2. Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um 
pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que 
permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. 
Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, 
o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:
Resolução:
Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 
mais 100 por desistente.
C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)
C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes:
6000x – 100x² = 0
60x – x² = 0
X(60 – x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 60
Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto 
possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre 
quando x = 30.
3. Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da 
parábola definida por f(x), é:
Resolução:
Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:
xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1
Para calcular o y, basta utilizar x=1:
y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7
4. Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular
de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, 
aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:
Resolução:
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.
Temos:
Área = x.(x + 60)
Área = x² + 60x
Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:
2800 / (x²+60x) = 4
4.(x² + 60x) = 2800
4x² + 240x = 2800
4x² + 240x – 2800 = 0
Dividindo todos os membros por 4:
x² + 60x – 700 = 0
Utilizando as fórmulas de soma e produto:
Soma das raízes = -b/a = -60
Produto das raízes: c/a = -700
É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60, e a 
resposta será 10 m.
5. Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real
f(x) = -x² + 7x – 10.
Resolução:
Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:
a = -1, b = 7, c = -1
Soma = -b/a = -7/-1 = 7
Produto = -10/-1 = 10
Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.
O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:
(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5
6. Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor 
máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.
Resolução:
Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética 
das raízes:
Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:
(-2 + k)/2 = 5
-2 + k = 10
k = 10 + 2
k = 12
 
Progressão Aritmética (P.A.)
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..
Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da 
soma da constante com o valor do elemento anterior.
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados 
pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um
número infinito de termos (P.A. infinita).
Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:
• a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
• a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada 
termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição 
na sequência.
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª 
posição na sequência.
Classificação de uma P.A.
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:
• Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
• Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
• Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5
Propriedades da P.A.
1ª propriedade:
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo
2ª propriedade:
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética 
dos outros dois termos.
Exemplo
3ª propriedade:
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do 
primeiro termo com o último termo.
Fórmula do Termo Geral
Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos 
consecutivos, ou seja:
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro 
termo com a razão multiplicada pela posição anterior.
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer 
qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:
Onde,
an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão
Exemplo
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Solução
Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses 
valores na fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n - 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.
Soma dos Termos de uma P.A.
Para encontrar a somados termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:
Onde,
Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo
Exercício Resolvido
1) PUC/RJ - 2018
Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a 
soma y + z?
a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2
Para encontrar o valor de z, podemos usar a propriedade que diz que quando temos três termos 
consecutivos o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois. Assim, temos:
Sendo z igual a 11, então a razão será igual a:
r = 11 - 7 = 4
Desta forma, y será igual a:
y = 7 - 4 = 3
Portanto:
y+z = 3 + 11 = 14
Alternativa: b) 14
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão 
entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.
Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá
ao próximo número, por exemplo:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)
No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o 
número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:
2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256
Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional 
(positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).
Classificação das Progressões Geométricas
De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:
PG Crescente
Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:
(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3
PG Decrescente
Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números 
decrescentes.
Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:
(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3
PG Oscilante
Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por 
exemplo:
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2
PG Constante
Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1
Fórmula do Termo Geral
Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:
an = a1 . q
(n-1)
Onde:
an: número que queremos obter
a1: o primeiro número da sequência
q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1
Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)
a20 = 2 . 2
(20-1)
a20 = 2 . 2
19
a20 = 1048576
Saiba mais sobre as Sequências Numéricas e Progressão Aritmética - Exercícios.
Soma dos Termos da PG
Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:
onde:
Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG
Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,...):
Curiosidade
Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), corresponde a uma sequência numérica cujo quociente 
(q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é constante. A diferença é que enquanto 
na PG o número é multiplicado pela razão, na PA o número é somado.
Equação exponencial 
Para ser considerada equação, uma expressão precisa ter pelo menos uma incógnita, que é um
número desconhecido representado por uma letra, e uma relação de igualdade. Dessa maneira, as
equações exponenciais são aquelas que possuem pelos menos uma incógnita no expoente e bases
positivas diferentes de 1.
Assim, são exemplos de equações exponenciais:
4x + 2 + 16x = 8
16x + 42x = 32
Resolução de equações exponenciais
Resolver uma equação é encontrar o valor numérico das incógnitas que aparecem nela. Para isso, é
preciso ter clareza sobre os seguintes conteúdos:
• Resolução de equações do primeiro grau;
• Propriedades de potências .
Além disso, existe uma propriedade das equações exponenciais que é indispensável para sua
resolução:
ax = ay ↔x = y (a > 0 e a diferente de 1)
O que essa propriedade garante é que, se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes
dessas potências também são.
Veja um exemplo:
3x = 27
Observe que 27 é igual a 33. Substituindo esse valor na equação, teremos:
3x = 33
Note que as bases são iguais. Agora podemos usar a propriedade das equações exponenciais e
escrever:
x = 3
Exemplos:
1º – Resolva a equação: 2x + 4 = 64.
Solução:
2x + 4 = 64
Observe que 64 é uma potência de base 2, pois 64 = 26. Substituindo esse valor na equação,
teremos:
2x + 4 = 26
Usando a propriedade das equações exponenciais, teremos:
x + 4 = 6
Para finalizar, basta calcular a equação resultante.
x = 6 – 4
x = 2
2º – Calcule o valor de x na equação:
16x =  1   
         4x
Solução:
Nesse exemplo, usaremos uma propriedade de potência que permite inverter a base que está na
forma de fração. Queremos que a incógnita esteja no numerador para facilitar os cálculos, então,
sabendo que, ao inverter a base de uma fração, invertemos também o sinal de seu expoente,
podemos reescrever a equação dada da seguinte maneira:
16x =  1   
         4x
16x = 4– x
Agora repetimos os procedimentos usados no exemplo anterior para obter:
42x = 4– x
2x = – x
2x + x = 0
3x = 0
x = 0
3º – Calcule o valor de x na equação:
(2/5)3x = 25/4
Solução:
Observe que 25 é o resultado de uma potência de base 5, e 4 é resultado de uma potência de base 2.
Além disso, 25 está no numerador e o 4 está no denominador da segunda fração. A primeira fração
está invertida nesse sentido.
Para inverter uma fração, basta trocar o sinal de seu expoente. Observe:
(2/5) 3x = 25/4
(5/2)– 3x = 25/4
Reescrevendo a segunda fração na forma de potência e aplicando uma das propriedades de
potências, teremos:
(5/2)– 3x = (5/2)2
Observe que as bases são iguais. Agora basta usar a propriedade das equações exponenciais para
obter:
– 3x = 2
x = – 2 
      3