Conversão de Unidades de Medida

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Matemática Detonada
ENEM 2020
2020, Central Exatas
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PARTE I: FÓRMULAS E TEORIA 1
Assuntos Gerais 2
1 Conversão de Unidades 3
1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Litro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Relação entre metro cúbico e litro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Medida de peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Relação entre kg e litro de água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Metro por segundo (m/s) para quilômetro por hora (km/h) . . . . . . . 7
2 Escala 8
1 Escala 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Escala 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Escala 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Informações Gerais 10
1 Quantidade de dias dos meses do ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Anos bissextos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Pontos Cardeais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Pegadinha das raias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Casas decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Converter de notação angular para notação decimal e vice-versa . . . . 11
7 Número de divisores de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Definição de módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
10 Transformar de grau em radiano e vice-versa . . . . . . . . . . . . . . . 15
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4 Potência de 10 16
1 Multiplicar por 10, 100, 1000... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Dividir por 10, 100, 1000... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Potência de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Relação entre multiplicar e dividir por potências de 10 . . . . . . . . . . 18
5 Escrevendo números em potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Multiplicar e dividir por potências de 10, 100, 1000... . . . . . . . . . . 18
Matemática Básica 19
5 Progressão Aritmética 20
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Termo geral de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Relação entre três termos consecutivos de uma P.A. . . . . . . . . . . . 20
4 Soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Termo médio de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Progressão Geométrica 23
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Termo geral de uma P.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Relação entre três termos consecutivos de uma P.G. . . . . . . . . . . . 23
4 Soma dos termos de uma P.G. finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Soma dos termos de uma P.G. infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Potenciação, Radiciação e Fatoração 26
1 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Relação entre potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Regra de três, Razão e Proporção 29
1 Regra de três diretamente proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Regra de três inversamente proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Pegadinha: Grandezas relacionadas mas sem proporcionalidade . . . . . 31
5 Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Proporção entre lado e área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Proporção entre lado e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Proporcionalidade em equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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9 Porcentagem 34
1 Porcentagem em fração e decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Achar porcentagem de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Acréscimo percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Decréscimo percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Quanto de um número outro vale em porcentagem . . . . . . . . . . . 35
6 Descobrir taxa de aumento ou taxa de diminuição . . . . . . . . . . . . 36
7 Dobrar, triplicar, quadruplicar... em porcentagem . . . . . . . . . . . . 37
8 Pegadinha na qual o valor total altera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 Aplicar porcentagem sequencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10 Logaritmo 39
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Se o logaritmando é igual a 1, o valor do log será sempre igual a zero . 39
4 Se o logaritmando é igual à base, o valor do log é sempre um . . . . . . 40
5 Logaritmo neperiano (natural) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Elevado no logaritmando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 Elevado na base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11 Tática de resolução: Aplicar log nos dois lados de uma equação . . . . 43
Função, Equação e Inequação 44
11 Tipos de função 45
12 Função constante 46
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13 Função do 1º grau 47
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Métodos para desenhar gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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14 Função linear 51
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
15 Função identidade 52
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
16 Função do 2° grau 53
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
17 Equação do 2º grau 56
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Fórmula de Bhaskara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Achar raízes sabendo se Δ é negativo, positivo ou zero . . . . . . . . . 57
4 Relação entre a soma (S) e o produto (P) de raízes . . . . . . . . . . . 58
5 Vértice da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Equação do 2º grau através das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 Achando quem é a, b e c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Uma das raízes pode ter que ser ignorada . . . . . . . . . . . . . . . . 62
18 Função exponencial 63
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Crescente ou decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Interseção com o eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19 Função logarítmica 66
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Crescente ou decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
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20 Inequação 68
1 Inequação do 1º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Multiplicar inequação por -1 inverte o sinal . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Inequação do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Trigonometria e Função Trigonométrica 74
21 Trigonometria 75
1 Seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente . . . . . . . 75
2 Valores de seno, cosseno e tangente para decorar . . . . . . . . . . . . 76
3 Demais valores do cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Demais valores do seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Demais valores da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Relação entre seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Você precisa saber valor máximo e mínimo de seno e cosseno . . . . . . 80
22 Função Trigonométrica 81
1 1º método de resolução: testar valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2 2º método de resolução: encontrar valores da função . . . . . . . . . . 83
Análise Combinatória, Probabilidade e Estatística 89
23 Análise Combinatória 90
1 Princípio Multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2 Princípio Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Princípio Multiplicativo x Princípio Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Resolvendo questão usando Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo . 92
5 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Arranjo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Combinação Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Permutação Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9 Permutação com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10 Combinação com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11 Permutação Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12 Tática de calcular o caso total e diminuir o caso que não pode . . . . . 97
13 Formas diferentes do resultado aparecer nas opções de resposta . . . . 97
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24 Probabilidade 100
1 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2 Probabilidade pode ser representada em porcentagem, fração ou decimal 100
3 Probabilidade da interseção de dois eventos independentes . . . . . . . 101
4 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Probabilidade de ocorrer + probabilidade de não ocorrer = 1 (100%) . 102
6 Probabilidade: Quando soma e quando multiplica? . . . . . . . . . . . 103
7 Probabilidade Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
25 Estatística Básica 105
1 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Média Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Matemática Financeira 109
26 Matemática Financeira 110
1 Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3 Mudar valores de uma data para outra através de juros simples . . . . . 111
4 Mudar valores de uma data para outra através de juros compostos . . . 112
5 Comparar taxas de juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Geometria 2D 115
27 Conceitos Básicos 116
1 Ângulos alternos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2 Soma dos ângulos internos de um polígono qualquer . . . . . . . . . . 116
28 Triângulo 117
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3 Achar área através da base e da altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 Achar área através dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Achar área através de dois lados e o ângulo entre eles . . . . . . . . . . 118
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6 Desigualdade triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 Classificação de triângulo pelo lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Classificação de triângulo pelo ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Triângulo retângulo: Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10 Triângulo retângulo: Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11 Triângulo retângulo: Valor da mediana é sempre metade da hipotenusa 121
12 Triângulo retângulo: círculo circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13 Triângulo retângulo: círculo inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14 Triângulo equilátero: Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
15 Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
16 Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
17 Lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
18 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19 Base média de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
29 Quadrado 131
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 131
4 Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5 Raio do círculo circunscrito em um quadrado . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Raio do círculo inscrito em um quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
30 Retângulo 134
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Raio do círculo circunscrito em um retângulo . . . . . . . . . . . . . . 135
31 Pipa 136
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
32 Losango 138
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2 Soma dos ângulos consecutivos de um losango . . . . . . . . . . . . . . 138
3 Altura de um losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
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5 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Relação entre as diagonais e o lado de um losango . . . . . . . . . . . 139
7 Raio do círculo inscrito em um losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
33 Paralelogramo 142
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2 Soma dos ângulos consecutivos de um paralelogramo . . . . . . . . . . 142
3 Altura de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 Relação entre as diagonais e o lado de um paralelogramo . . . . . . . . 143
34 Trapézio 145
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 Tipos de trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Base média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6 Média hârmonica das bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7 Mediana de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
35 Pentágono regular 148
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2 Ângulo interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 Soma dos ângulos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
36 Hexágono regular 150
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2 Ângulo interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3 Soma dos ângulos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4 Raio do círculo circunscrito em um hexágono regular . . . . . . . . . . 151
5 Raio do círculo inscrito em um hexágono regular . . . . . . . . . . . . . 151
6 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
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37 Elipse 152
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3 Soma da distância entre os focos e um ponto qualquer da elipse . . . . 152
4 Relação entre a, b e c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Excentricidade de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
38 Circunferência 154
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4 Setor circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5 Comprimento de um arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6 Área de um setor circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Comprimento de uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Geometria 3D 157
39 Cubo 158
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2 Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Raio da esfera inscrita em um cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 Raio da esfera circunscrita em um cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
40 Paralelepípedo 160
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2 Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
41 Prisma 162
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
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42 Cilindro 164
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2 Área da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3 Área da superfície lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4 Área total da superfície de um cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
43 Pirâmide 166
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2 Apótema de uma pirâmide - Veja que m’, m e h formam um triângulo
retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3 Área da superfície lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
44 Cone 168
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2 Geratriz de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3 Área da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 Área da superfície lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5 Área total da superfície de um cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
45 Esfera 171
1 Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Área da superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Geometria Analítica 173
46 Geometria Analítica 174
1 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2 Ponto médio de umsegmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3 Condição de alinhamento de três pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4 Utilidade da equação geral da reta e equação reduzida da reta . . . . . 177
5 Achar a equação da reta se você sabe dois pontos . . . . . . . . . . . 178
6 Achar a equação da reta se você sabe o coeficiente angular e um ponto 178
7 Menor distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Achar coeficiente angular e coeficiente linear a partir da equação da reta 179
9 Achar coeficiente angular através de dois pontos . . . . . . . . . . . . . 180
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10 Achar coeficiente angular através do ângulo da reta com uma linha horizontal 180
11 Coeficiente Linear é o valor que faz intersecção com o eixo y . . . . . . 181
12 Achar área do triângulo sabendo as coordenados dos 3 vértices . . . . . 182
13 Equação reduzida da circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14 Equação geral da circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
15 Como saber se um ponto está dentro, em cima ou fora de uma circunferência185
16 Descobrir de um jeito fácil se um ponto está em cima de uma circunferência186
Matriz e Determinante 187
47 Matriz e determinante 188
1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3 Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6 Matriz oposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7 Determinante de uma matriz 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8 Determinante de uma matriz 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
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PARTE II: PROVAS DO ENEM RESOLVIDAS 194
ENEM 2019 195
ENEM 2018 253
ENEM 2017 318
ENEM 2016 395
ENEM 2015 454
ENEM 2014 521
ENEM 2013 583
ENEM 2012 650
ENEM 2011 706
ENEM 2010 763
ENEM 2009 834
L
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68
PARTE I: FÓRMULAS E
TEORIA
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Assuntos Gerais
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1Conversão de Unidades
1 Distância
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
km : quilômetro
hm : hectômetro
dam : decâmetro
m : metro
dm : decímetro
cm : centímetro
mm : milímetro
Quanto é 1 metro em milímetros?
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de metro para mm tem que mul-
tiplicar por 10 três vezes.
1.103 = 1000 mm
Quantos são 58.000.000 centímetros em quilômetros?
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de cm para km tem que dividir
por 10 cinco vezes.
58000000˜ 105 = 580 km
3 Li
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60
51
29
81
68
Quantos são 37 milímetros em metros?
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de mm para metro tem que di-
vidir por 10 três vezes.
37˜ 103 = 0,037 metros
Quantos são 13,45 quilômetros em metros?
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de km para metro tem que mul-
tiplicar por 10 três vezes.
13,45 . 103 = 13450 metros
2 Área
km2 hm2
ˆ100
˜100
dam2
ˆ100
˜100
m2
ˆ100
˜100
dm2
ˆ100
˜100
cm2
ˆ100
˜100
mm2
ˆ100
˜100
Quanto é 1 m2 em mm2?
km2 hm2
ˆ100
˜100
dam2
ˆ100
˜100
m2
ˆ100
˜100
dm2
ˆ100
˜100
cm2
ˆ100
˜100
mm2
ˆ100
˜100
Para transformar de m2 para mm2 tem que mul-
tiplicar por 100 três vezes.
1.1003 = 1000000 mm2
Quantos são 58.000.000 centímetros quadrados em quilômetros quadrados?
km2 hm2
ˆ100
˜100
dam2
ˆ100
˜100
m2
ˆ100
˜100
dm2
ˆ100
˜100
cm2
ˆ100
˜100
mm2
ˆ100
˜100
Para transformar de cm2 para km2 tem que di-
vidir por 100 cinco vezes.
58000000˜ 1005 = 0,0058 km2
4 Li
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16
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60
51
29
81
68
3 Volume
km3 hm3
ˆ1000
˜1000
dam3
ˆ1000
˜1000
m3
ˆ1000
˜1000
dm3
ˆ1000
˜1000
cm3
ˆ1000
˜1000
mm3
ˆ1000
˜1000
Quantos são 27 metros cúbicos em milímetros cúbicos?
km3 hm3
ˆ1000
˜1000
dam3
ˆ1000
˜1000
m3
ˆ1000
˜1000
dm3
ˆ1000
˜1000
cm3
ˆ1000
˜1000
mm3
ˆ1000
˜1000
Para transformar de m3 para mm3 tem que mul-
tiplicar por 1000 três vezes.
27.10003 = 27000000000 mm3
Quantos são 0,13 metros cúbicos em quilômetros cúbicos
km3 hm3
ˆ1000
˜1000
dam3
ˆ1000
˜1000
m3
ˆ1000
˜1000
dm3
ˆ1000
˜1000
cm3
ˆ1000
˜1000
mm3
ˆ1000
˜1000
Para transformar de m3 para km3 tem que dividir
por 1000 três vezes.
0,13˜ 10003 = 0,00000000013 km3
4 Litro
kl hl
ˆ10
˜10
dal
ˆ10
˜10
L
ˆ10
˜10
dl
ˆ10
˜10
cl
ˆ10
˜10
ml
ˆ10
˜10
kl : quilolitro
hl : hectolitro
dal : decalitro
L : litro
dl : decilitro
cl : centilitro
ml : mililitro
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Quantos são 7 quilolitros em centilitros?
kl hl
ˆ10
˜10
dal
ˆ10
˜10
L
ˆ10
˜10
dl
ˆ10
˜10
cl
ˆ10
˜10
ml
ˆ10
˜10
Para transformar de kl para cl tem que multiplicar
por 10 cinco vezes.
7.105 = 700000 cl
5 Relação entre metro cúbico e litro
1 m3 = 1.000 litros
Quantos são 317 centímetros cúbicos em decilitros?
Primeiro vamos transformar de cm3 para m3:
km3 hm3
ˆ1000
˜1000
dam3
ˆ1000
˜1000
m3
ˆ1000
˜1000
dm3
ˆ1000
˜1000
cm3
ˆ1000
˜1000
mm3
ˆ1000
˜1000
Para transformar de cm3 para m3 tem que dividir
por 1000 duas vezes.
317˜ 10002 = 0,000317m3
Agora vamos usar regra de três para achar quan-
tos litros são 0,000317 m3:
1 m3 1000 litros
0,000317 m3 x litros
(1).(x) = (0,000317).(1000)
x = 0,317
Temos 0,317 litros. Vamos transformar para
decilitro:
kl hl
ˆ10
˜10
dal
ˆ10
˜10
L
ˆ10
˜10
dl
ˆ10
˜10
cl
ˆ10
˜10
ml
ˆ10
˜10
Para transformar de L para dl tem que multi-
plicar por 10 uma vez.
(0,317).(10) = 3,17
Resposta: 3,17 decilitros.
6 Medida de peso
kg hg
ˆ10
˜10
dag
ˆ10
˜10
g
ˆ10
˜10
dg
ˆ10
˜10
cg
ˆ10
˜10
mg
ˆ10
˜10
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kg : quilograma
hg : hectograma
dag : decagrama
g : grama
dg : decigrama
cg : centigrama
mg : miligrama
Quantos são 10,5 miligramas em quilograma?
kg hg
ˆ10
˜10
dag
ˆ10
˜10
g
ˆ10
˜10
dg
ˆ10
˜10
cg
ˆ10
˜10
mg
ˆ10
˜10
Para transformar de mg para kg tem que dividir
por 10 seis vezes.
10,5˜ 106 = 0,0000105 kg
7 Relação entre kg e litro de água
1 litro de água = 1kg
Quanto pesam 5 litros de água?
5 litros de água pesam 5 kg. Atenção: Isso só vale para água, para outras subs-
tâncias o enunciado fornecerá o valor.
8 Metro por segundo (m/s) para quilômetro por hora (km/h)
1 m/s = 3,6 km/h
Quantos são 20 m/s em km/h?Faça regra de três:
1 m/s 3,6 km/h
20 m/s x km/h
(1).(x) = (20).(3,6)
x = 72
Resposta: 20 m/s = 72 km/h
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2Escala
1 Escala 1D
escala =
tamanho do desenho
tamanho real
= tamanho do desenho : tamanho real
No mapa abaixo, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro mede 7,6 cm e o mapa tem
escala 1:58.000.000. Qual a medida desse segmento em quilômetro?
1 58000000
7,6 x
(1).(x) = (7,6).(58000000)
x = 440800000 cm
Agora vamos converter de cm para km:
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de cm para km devemos dividir
por 10 cinco vezes:
440800000˜ 105 = 4408 km
Logo, 7,6 cm no mapa equivalem a 4408 km.
Uma rua tem 100 metros. Qual escala deve estar um mapa para que a rua tenha 5 cm nele?
A escala é 1:x. Para cada 1 cm no mapa teremos
"x" cm reais. Devemos achar x. Usando regra de
três:
1 cm x cm
5 cm 100 m
(x��cm).(5 cm) = (1��cm).(100 m)
(x).(5 cm) = (100 m)
Agora vamos converter de metro para cm:
km hm
ˆ10
˜10
dam
ˆ10
˜10
m
ˆ10
˜10
dm
ˆ10
˜10
cm
ˆ10
˜10
mm
ˆ10
˜10
Para transformar de metro para cm devemos mul-
tiplicar por 10 duas vezes:
100 m = (100).(102) cm = 10000 cm
Inserindo este valor na equação anterior:
(x).(5 cm) = 100 m
(x).(5 cm) = 10000 cm
(x).(5��cm) = 10000��cm
x = 2000
A escala é 1:2000.
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2 Escala 2D
se Escala 1D = 1 cm : x cm
então Escala 2D = 1 cm2 : x2 cm2
Quantas vezes foi ampliada a área do estado do Rio de Janeiro em comparação ao mapa do Brasil abaixo?
A escalas estão em 1D. A questão quer saber
em quantas vezes foi ampliada a área do mapa
do Rio de Janeiro. A área é 2D. Vamos transfor-
mar a escala dos dois mapas em 2D para comparar.
Mapa do Brasil
Escala 1D = 1 : 25000000
Escala 2D = 1 cm2 : 250000002 cm2
Para facilitar o cálculo, vamos colocar em potência
de 10:
1 cm2 : (25.106)2cm2
1 cm2 : 625.1012 cm2
Mapa do Rio de Janeiro
Escala 1D = 1 : 4000000
Escala 2D = 1 cm2 : 40000002cm2
1 cm2 : (4.106)2 cm2
1 cm2 : 16.1012 cm2
Agora que descobrimos a escala em 2D dos dois
mapas, vamos dividi-los para ver em quantas vezes
a área foi ampliada:
625.1012
16.1012
= 39,06
O mapa foi ampliado 39,06 vezes.
3 Escala 3D
se Escala 1D = 1 cm : x cm
então Escala 3D = 1 cm3 : x3 cm3
Um turista comprou uma lembrança de um dos monumentos que visitou. Na base do objeto há informações
dizendo que se trata de uma peça em escala 1:400, e que seu volume é de (25 cm3). O volume do monumento
original é de quanto?
(1 cm) equivale a (400 cm) do original, então (1 cm3) equivalerá a:
Ñ (400 cm).(400 cm).(400 cm) = 64000000 cm3.
Se (1 cm3) da peça equivale a (64.000.000 cm3) do monumento, então (25 cm3) equivalerá a:
Ñ (64.000.000)x(25) = 1.600.000.000 cm3.
O monumento original tem 1.600.000.000 cm3.
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3Informações Gerais
1 Quantidade de dias dos meses do ano
janeiro : 31 dias
fevereiro : 28 dias (ano bissexto: 29 dias)
março : 31 dias
abril : 30 dias
maio : 31 dias
junho : 30 dias
julho : 31 dias
agosto : 31 dias
setembro : 30 dias
outubro : 31 dias
novembro : 30 dias
dezembro : 31 dias
2 Anos bissextos
..., 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ...
3 Pontos Cardeais
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4 Pegadinha das raias
Quanto mais próximo do centro, menor é o comprimento da raia.
A figura abaixo ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m.
As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas
paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor
estaria sendo beneficiado?
Todos os valores são desnecessários, só estão lá
para confundir. O único dado importante é o que
marcamos com sublinhado. A menor raia é a raia
1, pois ela é a que está mais próxima do centro.
5 Casas decimais
Veja, por exemplo, o número 1835729:
1
loomoon
milhão
8
loomoon
centena
de
milhar
3
loomoon
dezena
de
milhar
5
loomoon
milhar
7
loomoon
centena
2
loomoon
dezena
9
loomoon
unidade
6 Converter de notação angular para notação decimal e vice-versa
1° = 60’
1° = 3600”
1° : 1 grau
1’ : 1 minuto
1” : 1 segundo
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Quanto é 124° 3’ 18” em notação decimal?
Convertendo 3’ para graus:
1° 60’
x 3’
(1˝).(3) = (60’).(x)
x =
3
60
=
1
20
= 0,05˝
Convertendo 18” para graus:
1° 3600’
x 18”
(1˝).(18”) = (3600”).(x)
x =
18
3600
=
1
200
= 0,005˝
Agora vamos somar esses resultados:
124° + 0,05° + 0,005° = 124,055°
Resposta: 124° 3’ 18” = 124,055°
Quanto é 124,055° em notação angular?
A parte inteira vai ser os graus:
graus = 124°
Agora multiplique a parte decimal por 60:
(0,055).(60) = 3,3
A parte inteira é os minutos:
minutos = 3’
Agora multiplique a parte decimal por 60:
(0,3).(60) = 18
Os segundos são 18”
Resposta: 124,055° = 124° 3’ 18”
7 Número de divisores de um número
Passo 1 : Faça a fatoração em números primos
Passo 2 : Coloque-os dessa forma: 2a.3b.5c.7d.(...)
Passo 3 : O número de divisores será: (a + 1).(b + 1).(c + 1).(d + 1).(...)
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Quantos divisores tem o número 3500?
Passo 1 - Fatorar em números primos:
Para fatorar em números primos, você deve
ir dividindo o número pelos números primos,
começando pelo 2, depois 3, depois 5, e assim
em diante. Se não for possível dividir por um deles,
você pula para o próximo:
3500 2
1750 2
875 5
175 5
35 5
7 7
1
Passo 2:
O número pode ser escrito como
2.2.5.5.5.7 = 22.53.71
Passo 3:
O número de divisores é
(2 + 1).(3 + 1).(1 + 1) = 24
Um número N é dado pela expressão (2x).(5y).(7z), na qual x, y e z são números inteiros não neg-
ativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é
a) x.y.z
b) (x+1).(y+1)
c) x.y.z - 1
d) (x+1).(y+1).z
e) (x+1).(y+1).(z+1) - 1
Pela fórmula, o número de divisores é:
(x + 1).(y + 1).(z + 1)
Mas a questão faz uma pegadinha, ela quer "o
número de divisores de N, diferentes de N", então
temos que diminuir 1 desse valor:
Resposta: (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1
Mas e o fato do enunciado dizer que N é múltiplo
de 10? Isso é só uma pegadinha, pois 10 é 2 vezes
5.
Ok, mas e o enunciado dizer que o número não é
múltiplo de 7? Não deveríamos ter tirado o "z"
da nossa resposta? Essa é outra pegadinha. A
resposta é que poderíamos ter tirado sim, mas não
precisa, pois, como o número não é múltiplo de 7,
o z=0, então o valor (z+1) = (0+1) = 1.
Ou seja, nossa resposta poderia ser também:
(x + 1).(y + 1).(0 + 1) – 1 =
(x + 1).(y + 1).(+1) – 1 =
(x + 1).(y + 1) – 1
A resposta pode tanto ser (x+1).(y+1).(z+1)– 1
quanto ser (x + 1).(y + 1) – 1. Porém, só tem a
primeira opção nas escolhas. Resposta letra e.
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8 Máximo Divisor Comum
Passo 1 : Faça a fatoração em números primos para cada número.
Passo 2 : Pegue os números primos em comum e o menor expoente.
Qual o máximo divisor comum entre os números 630, 1620 e 360?
Passo 1 - Vamosfatorar cada número:
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
1620 2
810 2
405 3
135 3
45 3
15 3
5 5
1
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
630 Ñ (21).(32).(51).(71)
1620 Ñ (22).(34).(51)
360 Ñ (23).(32).(51)
Passo 2:
Todos tem o n° 2, o menor expoente é 1.
(
21
)
Todos tem o n° 3, o menor expoente é 2.
(
32
)
Todos tem o n° 5, o menor expoente é 1.
(
51
)
Só um tem o n° 7. Então, ignore ele.
O máximo divisor comum é (21).(32).(51) = 90
9 Definição de módulo
Considera o valor absoluto do número.
|x| = x
| – x| = x
| + 7| = +7
| – 7| = +7
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10 Transformar de grau em radiano e vice-versa
g
180
=
r
π
g : grau
r : radiano
Quantos são 270° em radiano?
g
180
=
r
π
270
180
=
r
π
3
2
=
r
π
2r = 3.π
r =
3.π
2
Resposta: 270° = 3.π
2
radianos
Quantos são π
4
radianos em graus?
g
180
=
r
π
g
180
=
π
4
π
g
180
=
1
4
4.g = 180
g = 45
Resposta: π
4
radianos = 45˝
Valores notáveis:
0˝ = 0.π
90˝ =
π
2
180˝ = π
270˝ =
3.π
2
360˝ = 2.π
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4Potência de 10
1 Multiplicar por 10, 100, 1000...
Caso 1: o número não tem vírgula
• Acrescente zeros na direita igual ao número de zeros do 10, 100, 1000...
multiplicado por 10 = acrescente 1 zero na direita
multiplicado por 100 = acrescente 2 zeros na direita
multiplicado por 1000 = acrescente 3 zeros na direita
...
37 . 10 = 370
45 . 100 = 4500
320 . 1000 = 320000
Caso 2: o número tem vírgula
• Mova a vírgula para direita igual ao número de zeros do 10, 100, 1000...
• Quando chegar no final, remova a vírgula.
• Caso continue, acrescente zeros na direita.
multiplicado por 10 = mova a vírgula 1 vez para a direita
multiplicado por 100 = mova a vírgula 2 vezes para a direita
multiplicado por 1000 = mova a vírgula 3 vezes para a direita
...
45,678 . 10 = 456,78
45,678 . 100 = 4567,8
45,678 . 1000 = 45678 chegou no final, então remova a vírgula
45,678 . 10000 = 456780 continuou, então acrescente zeros na direita
45,678 . 100000 = 4567800
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2 Dividir por 10, 100, 1000...
• Mova o vírgula para esquerda igual ao número de zeros do 10, 100, 1000...
• Caso não tenha vírgula,imagine que ela está na extrema direita do número.
• Quando chegar na extrema esquerda do número, acrescente um zero na esquerda
da vírgula.
• Caso continue, acrescente zeros na direita da vírgula.
dividido por 10 = mova a vírgula 1 vez para a esquerda
dividido por 100 = mova a vírgula 2 vezes para a esquerda
dividido por 1000 = mova a vírgula 3 vezes para a esquerda
...
45678 ˜ 10 = 45678, ˜ 10 = 4567,8 não tem vírgula, então imagine ela na direita
45678 ˜ 100 = 456,78
45678 ˜ 1000 = 45,678
45678 ˜ 10000 = 4,5678
45678 ˜ 100000 = 0,45678 chegou no extremo, então adiciona um zero na esquerda
45678 ˜ 1000000 = 0,045678 continuou, então acrescenta zero na direita da vírgula
3 Potência de 10
Se positivo, o expoente diz quantos zeros haverão.
Se negativo, eles diz quantas casas depois da vírgula haverão.
...
10–4 = 0,0001
10–3 = 0,001
10–2 = 0,01
10–1 = 0,1
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
...
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4 Relação entre multiplicar e dividir por potências de 10
x ˜ 101 = x . 10–1
x ˜ 102 = x . 10–2
x ˜ 103 = x . 10–3
...
5 Escrevendo números em potências de 10
Escrevendo números em potências de 10.
Veja o número 34567. Ele vai ser igual a:
3,4567.10000 = 3,4567.104
Veja o número 0,34567. Ele vai ser igual a:
3,4567˜10 = 3,4567.10–1
Veja o número 100000. Tem cinco zeros, então:
100000 = 105
Veja o número 0,000001. Tem 6 casas depois
da vírgula:
0,000001 = 10–6
6 Multiplicar e dividir por potências de 10, 100, 1000...
x . 10y = move a vírgula para a direita "y" vezes
x ˜ 10y = move a vírgula para a esquerda "y" vezes
x . 100y = move a vírgula para a direita "2y" vezes
x ˜ 100y = move a vírgula para a esquerda "2y" vezes
x . 1000y = move a vírgula para a direita "3y" vezes
x ˜ 1000y = move a vírgula para a esquerda "3y" vezes
...
Veja os exemplos de multiplicar e dividir por potências de 10, 100 e 1000.
1234567 . 103 = 1234567000
1234567˜ 103 = 1234,567
1234567 . 1003 = 1234567000000
1234567˜ 1003 = 1,234567
1234567 . 10003 = 1234567000000000
1234567˜ 10003 = 0,001234567
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Matemática Básica
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5Progressão Aritmética
1 Definição
P.A. (a1 , a2
+r
, a3
+r
, a4
+r
, . . . , an–1 , an
+r
)
a1 : termo inicial
an : n-ésimo termo
n : número de termos
r : razão
2 Termo geral de uma P.A.
an = a1 + (n – 1).r
Qual é o oitavo termo da P.A.(2, 11, 20, ...)?
Dados da P.A.:
a1 = 2
n = 8
r = an – an–1 = a2 – a1 = 11 – 2 = 9
a8 = ?
Aplicando a fórmula:
an = a1 + (n – 1).r
a8 = 2 + (8 – 1).9
a8 = 2 + 7.9
a8 = 65
3 Relação entre três termos consecutivos de uma P.A.
am =
am–1 + am+1
2
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Se x – 1, x, 8 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P.A.) então o valor de x é:
Dados da P.A.:
am–1 = x – 1
am = x
am+1 = 8
Aplicando a fórmula:
am =
am–1 + am+1
2
x =
x – 1 + 8
2
2.x = x – 1 + 8
2.x – x = 7
x = 7
4 Soma dos termos de uma P.A.
Sn =
(a1 + an).n
2
Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A.(1, 3, 5, ...).
Dados da P.A.:
a1 = 1
r = a2 – a1 = 3 – 1 = 2
n = 30
a30 = ?
S30 = ?
Aplicaremos primeiro a fórmula do termo geral para
encontrar o último termo da P.A.
an = a1 + (n – 1).r
a30 = 1 + (30 – 1).2
a30 = 1 + (29).2
a30 = 59
Aplicando a fórmula da soma dos termos da P.A.:
Sn =
(a1 + an).n
2
S30 =
(1 + 59).30
2
S30 = 900
5 Termo médio de uma P.A.
TM =
a1 + an
2
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Calcule o termo médio k da P.A. (5, x, y, k, z, n, 29).
Dados da P.A.:
a1 = 5
an = 29
TM = ?
Vamos aplicar a fórmula do Termo Médio:
TM =
a1 + an
2
TM =
5 + 29
2
TM = 17
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6Progressão Geométrica
1 Definição
P.G. (a1 , a2
.q
, a3
.q
, a4
.q
, . . . , an–1 , an
.q
)
a1 : termo inicial
an : n-ésimo termo
n : número de termos
q : razão (divisão entre um termo e o termo anterior)
2 Termo geral de uma P.G.
an = a1.qn–1
Qual o valor do último termo de uma P.G. com 9 termos, cuja razão seja 2 e o primeiro termo vale 3?
Dados da P.G.:
a1 = 3
n = 9
q = 2
a9 = ?
Aplicando a fórmula, encontra-se o último termo:
an = (a1).(qn–1)
a9 = (3).(29–1)
a9 = (3).(28)
a9 = (3).(256)
a9 = 768
3 Relação entre três termos consecutivos de uma P.G.
ap =
?ap–1.ap+1
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Calcule o valor de x na P.G. (5, x, 125).
Dados da P.G.:
ap–1 = 5
ap+1 = 125
ap = x = ?
Aplicando a fórmula temos:
ap =
a
(ap–1).(ap+1)
ap =
a
(5).(125)
ap =
?
625
ap = 25
4 Soma dos termos de uma P.G. finita
Sn =
a1.(qn – 1)
q – 1
Calcule a soma dos 7 primeiros termos da P.G. (2,6, 18,...)
Dados da P.G.:
a1 = 2
n = 7
q =
a2
a1
=
6
2
= 3
S7 = ?
Aplicando a fórmula temos:
Sn =
a1.(qn – 1)
q – 1
S7 =
2.(37 – 1)
3 – 1
S7 =
2.(2187 – 1)
2
S7 =
2.(2186)
2
S7 = 2186
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5 Soma dos termos de uma P.G. infinita
Sn =
a1
1 – q
Calcule a soma dos infinitos termos da P.G. (3, 1, 1
3
,
1
9
, ...).
Dados da P.G.:
a1 = 3
q =
a2
a1
=
1
3
Sn = ?
Aplicando a fórmula temos:
Sn =
a1
1 – q
Sn =
3
1 –
1
3
Sn =
3
3 – 1
3
Sn =
3
2
3
Sn =
9
2
Sn = 4,5
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7Potenciação, Radiciação e Fatoração
1 Potenciação
ax = b
a : base
x : expoente
b : potência
an = a.a.a. ... .a
loooooomoooooon
n termos
a0 = 1
a1 = a
am.an = am+n
am
an
= am–n
(am)n = am.n(
a
b
)n
=
an
bn
(a.b)n = an.bn
am.bm = (a.b)m
(a)–n =
1
an(
a
b
)n
=
(
b
a
)–n
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2 Radiciação
n
?
am = b
n?am : radical
? : sinal do radical
n : índice
am : radicando
a : base do radicando
m : expoente do radicando
b : raiz n-ésima de am
Atenção: se não falar o índice, ele é o 2.
Exemplo:
?
5 = 2
?
5
n?am = n.p
?
am.p
n?am =
n
p
b
a
m
p
n?a .b = n
?
a . n
?
b
n
b
a
b =
n?a
n?b
( n
?
a)p = n
?
ap
n
a
m?a = n.m
?
a
n?an = a
n?a. m
?
b = n.m
?
am.bn
n?a
m?b
= n.m
b
am
bn
3 Relação entre potenciação e radiciação
a
m
n = n
?
am
Exemplos:
5
1
2 =
?
5
7
1
3 = 3
?
7
11
5
2 =
?
115
11
5
3 = 3
?
115
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4 Fatoração
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)
Atenção: Lembre que 1 = 12.
Exemplo: x2 – 1 = x2 – 12 = (x + 1).(x – 1)
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8Regra de três, Razão e Proporção
1 Regra de três diretamente proporcional
É a regra de três clássica.
a b
c d
a.d = c.b
Se com 100 reais eu compro 20 doces, quantos doces eu consigo comprar com 500 reais?
100 20
500 x
(100).(x) = (500).(20)
100x = 10000
x = 100
2 Regra de três inversamente proporcional
Você usa ela quando quanto maior for algo, menor será o outro.
a b
c d
a.b = c.d
Um carro sainda da cidade A com velocidade de 100km/h leva 3 horas para chegar na cidade B. Se ele for
com velocidade de 200km/h, quantas horas ele irá levar?
Pergunta para saber se a regra de três é direta-
mente proporcional ou inversamente:
Quanto maior for a velocidade, maior são as ho-
ras gastas? Não! Quanto maior a velocidade,
menor são as horas gastas, então é inversamente
proporcional:
100 km/h 3 horas
200 km/h x horas
(100).(3) = (200).(x)
x =
300
200
x = 1,5
Resposta. Ele irá levar 1 hora e meia.
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3 Regra de três composta
Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de
limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por 6 ralos, e dura
6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade
de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a quanto?
Coloque os dados da seguinte maneira:
reservatório ralos horas
900 6 6
500 x 4
Agora escolha uma das três colunas para ser a
principal, pode ser qualquer uma. Digamos que
escolhemos a coluna "ralos". Coloque do lado dela
uma setinha para cima:
reservatório ralos horas
900
500
6
x
6
4
Agora comparamos a coluna principal com as de-
mais colunas para descobrir se são diretamente
ou inversamente proporcional. Vamos comparar
"ralos" com "horas":
Quanto mais ralos tiver menos horas vai levar,
então é inversamente proporcional. Por ser inver-
samente proporcional, você põe a setinha virada
para baixo do lado da coluna "horas":
reservatório ralos horas
900
500
6
x
6
4
Agora comparamos "ralos" com "reservatório".
Quanto mais ralos tiver, maior pode ser o reser-
vatório, então é diretamente proporcional. Desta
forma, coloque uma setinha para cima do lado da
coluna "reservatório".
reservatório ralos horas
900
500
6
x
6
4
Agora que todas as colunas tem uma setinha, va-
mos montar a equação. Coloque os valores da
coluna principal de um lado da equação. O valor
que está na ponta da setinha fica na parte de cima
da fração e o valor que está na traseira da setinha
fica na parte de baixo.
6
x
= ...
Agora, coloque os valores das outras colunas no
outro lado da equação, um multiplicando o outro,
seguindo a mesma lógica de colocar o valor na
ponta da setinha em cima da fração e o valor na
traseira na parte de baixo.
6
x
=
4
6
.
900
500
Pronto, agora é só resolver essa equação:
6
x
=
3600
3000
(6).(3000) = (x).(3600)
3600.x = 18000
x = 5
Resposta: a quantidade de ralos deverá ser igual a
5.
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4 Pegadinha: Grandezas relacionadas mas sem proporcionalidade
Podemos ter grandezas que são relacionadas mas que não são proporcionais.
O gráfico abaixo caiu numa prova do enem:
A resposta correta era: "o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de
pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade".
5 Razão
Quem vem primeiro na frase fica em cima da fração. Quem vem em segundo na frase
fica embaixo.
Razão entre a e b é:
a
b
Foi medido a quantidade de massa de determinada substância que cada um dos 4 filtros abaixo captura:
• Filtro 1 : 18 mg em 6 dias
• Filtro 2 : 3 dias para 15 mg
• Filtro 3 : 18 mg em 4 dias
Qual o filtro com maior razão entre medida de massa capturada e número de dias?
A questão pediu razão entre massa capturada e
número de dias, então ela quer:
massa capturada
dias
Razão do filtro 1: 18
6
= 3
Para o filtro 2, preste atenção que no enunciado
está 3 dias para 15mg, e a razão que queremos é
entre massa e dias. Cuidado para colocar na ordem
certa na fração:
Razão do filtro 2: 15
3
= 5
Razão do filtro 3: 18
4
= 4,5
Quem tem a maior razão é o filtro 2. Ele é o
que mais captura a substância por dia.
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6 Proporção entre lado e área
Faça a proporção de cada lado e depois multiplique para achar a área
Um retângulo de lados 10 e 15 tem seus lados aumentados em 25%. Em quantos % a área é aumentada?
A antiga área era (10).(15) = 150
Vamos aumentar os lados usando a fórmula de
aumento porcentual:
10.(1 + 0,25) = 12,5
15.(1 + 0,25) = 18,75
A nova área é (12,5).(18,75) = 234,375
Vamos usar a fórmula da taxa de aumento que
tem na seção de porcentagem para achar quanto a
área aumentou:
taxa de aumento =
valor de mudança
valor antigo
taxa de aumento =
234,375 – 150
150
taxa de aumento =
84,375
150
taxa de aumento = 0,5625
A área aumentou em 56,25%.
7 Proporção entre lado e volume
Faça a proporção de cada lado e depois multiplique para achar o volume
Um cubo tem seus lados dobrados. Em quanto o volume aumentou?
Vamos chamar o lado do cubo de "x". Então seuvolume era:
x.x.x = x3
Como dobrou, cada lado será 2x, então o volume será:
2x.2x.2x = 8.x3
Resposta: o volume aumentou 8 vezes.
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8 Proporcionalidade em equações
O cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M.
É diretamente proporcional, então basta igualar os dois:
S3 = M2
Fazendo raiz cúbica nos dois lados:
3?
S3 =
3?
M2
S = M
2
3
A área S da superfície de um mamífero é inversamente proporcional ao quadrado de sua massa M.
É inversamente proporcional, então temos que inverter o "M":
S =
1
M2
O cubo da área "S" da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa "M".
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante "k" a área "S" pode ser escrita em função de
"M" por meio da expressão:
Se mencionar uma constante (k) sem falar mais nada, assuma que ela é diretamente proporcional.
S3 = k.M2
Fazendo raiz cúbica nos dois lados:
3?
S3 =
3?
k.M2
S = 3
?
k.
3?
M2
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9Porcentagem
1 Porcentagem em fração e decimal
5% =
5
100
= 0,05
13% =
13
100
= 0,13
32,47% =
32,47
100
= 0,3247
100% =
100
100
= 1
125% =
125
100
= 1,25
2 Achar porcentagem de um número
(número) . (porcentagem em decimal)
Quanto é 40% de 800?
(número) . (porcentagem em decimal)
(800).(0,4) = 320
Resposta: 320
Quanto é 130% de 800?
(número) . (porcentagem em decimal)
(800).(1,3) = 1040
Resposta: 1040
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3 Acréscimo percentual
novo valor = valor antigo . (1 + % na forma decimal)
Se eu tenho R$ 120,00 e aumento meu dinheiro em 15%, quanto eu vou ter?
novo valor = valor antigo . (1 + % na forma decimal)
novo valor = 120.(1+0,15)
novo valor = 120.1,15
novo valor = 138
Resposta: R$ 138,00
4 Decréscimo percentual
novo valor = valor antigo . (1 - % na forma decimal)
Se eu tenho R$ 120,00 e diminuo meu dinheiro em 15%, quanto eu vou ter?
novo valor = valor antigo . (1 - % na forma decimal)
novo valor = 120.(1-0,15)
novo valor = 120.0,85
novo valor = 102
Resposta: R$ 102,00
5 Quanto de um número outro vale em porcentagem
Faça regra de três igualando o número usado como base a 100%, conforme o exemplo:
Quanto 12 vale de 30?
30 é o número usado como base, então igualamos
ele a 100%
30 100%
12 x
30.x = 100 . 12
30.x = 1200
x = 40
Resposta: 12 é 40% de 30.
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Atenção, pois o número base não será sempre o maior:
Quanto 30 vale de 12?
12 é o número usado como base, então igualamos
ele a 100%
12 100%
30 x
12x = 100.30
12x = 3000
x = 250
Resposta: 30 é 250% de 12.
6 Descobrir taxa de aumento ou taxa de diminuição
Taxa de aumento ou diminuição =
valor de mudança
valor antigo
Se eu tinha R$ 40,00 e agora tenho R$ 56,00, qual foi a taxa de aumento do meu dinheiro?
Taxa de aumento = valor de mudança
valor antigo
Taxa de aumento = 56 – 40
40
Taxa de aumento = 16
40
Taxa de aumento = 0,4
Transformando decimal em porcentagem:
0,4 =
40
100
= 40%
A taxa de aumento foi de 40%.
Se eu tinha R$ 56,00 e agora tenho R$ 40,00, qual foi a taxa de diminuição do meu dinheiro?
Taxa de diminuição = valor de mudança
valor antigo
Taxa de diminuição = 56 – 40
56
Taxa de diminuição = 16
56
Taxa de diminuição « 0,285
Transformando decimal em porcentagem:
0,285 =
28,5
100
= 28,5%
A taxa de diminuição foi de 28,5%.
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7 Dobrar, triplicar, quadruplicar... em porcentagem
Pegadinha com dobrar, triplicar, quadruplicar... em relação ao aumento em porcentagem
Se eu dobrar meu dinheiro, eu tenho 200% do que
eu tinha antes, mas eu aumentei a sua quantidade
em 100%.
Se eu triplicar meu dinheiro, eu tenho 300% do
que tinha antes, mas aumentei a sua quantidade
em 200%.
Se eu quadruplicar meu dinheiro, eu tenho 400%
do que eu tinha antes, mas aumentei a sua quanti-
dade em 300%.
... e assim em diante.
Veja uma questão:
Eu tinha R$ 100,00, agora tenho R$ 300,00. Em
quantos porcento meu dinheiro aumentou:
a) 50% b) 100% c) 200% d) 300%
e) 400%
O seu instinto diria que a resposta é a letra "d",
300%, mas a resposta correta é a letra "c", 200%.
Sempre que tiver porcentagem e a questão pergun-
tar quanto aumentou ou diminuiu, tome cuidado
com essa pegadinha.
8 Pegadinha na qual o valor total altera
Uma empresa tem 1000 funcionários, dos quais 10 são deficientes. A lei diz que ela tem que ter no mínimo
5% dos funcionários deficientes. Quantas pessoas essa empresa precisa contratar para estar dentro da lei?
Pensamento errado:
5% de 1000 é 50. A empresa tem 10 deficientes, en-
tão precisaria contratar 40 funcionários deficientes.
Isto está errado, pois o total seria alterado para
1040 e 5% de 1040 não é 50.
Vamos chamar de "x" a quantidade de deficientes
a ser contratados. O total de funcionários após a
contratação será de 1000 + x.
O total de deficiente será de 10 + x.
Então, 5% desse novo total de funcionários deve
ser igual ao novo total de deficientes:
(1000 + x).0,05 = 10 + x
50 + (0,05).(x) = 10 + x
(0,95).(x) = 40
x =
40
0,95
x « 42,1
Não tem como contratar 42,1 pessoas, então a
empresa precisa contratar 43 funcionários para
estar dentro da lei.
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9 Aplicar porcentagem sequencialmente
Investi R$ 100,00 e aumentei o meu dinheiro em 10%, depois disso, investi tudo de novo e aumentei meu
dinheiro em 20%. Com quanto eu fiquei?
Pensamento errado:
10% + 20% = 30%
Então eu fiquei com: R$ 130,00
Para fazer certo você aplica uma porcentagem
de cada vez:
Primeiro aumento (10%):
(100).(1,1) = 110
Segundo aumento (20%):
(110).(1,2) = 132
Resposta: Fiquei com R$ 132,00.
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10Logaritmo
1 Legenda
logab
logab : logaritmo de b na base a
a : base
b : logaritmando
2 Definição
Se ax = b então x = logab
Se logab = x então ax = b
Se 25 = 32 então 5 = log232
Se 5–3 = 1125 então –3 = log5
1
125
Se log72401 = 4 então 74 = 2401
Lembre que se não falar a base do log, então ela é base 10:
log k = log10k
Se log k = 3 então k = 103
3 Se o logaritmando é igual a 1, o valor do log será sempre igual a zero
loga1 = 0
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4 Se o logaritmando é igual à base, o valor do log é sempre um
logaa = 1
5 Logaritmo neperiano (natural)
Os logaritmos neperianos são os que têm base e « 2,718
logex = log2,718...x
Ele pode ser representado de outra forma: omita a base e troque log por ln
logex = ln x
6 Multiplicação
logab.c = logab + logac
log35.7 = log35 + log37
Talvez você tenha que criar uma multiplicação para resolver a questão:
log399 = log39.11 = log39 + log311
7 Divisão
loga bc = logab – logac
log5
38
7 = log538 – log57
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Talvez você tenha que criar uma divisão para resolver a questão:
log410 = log4
20
2 = log420 – log42
log100,99 = log10
99
100 = log1099 – log10100
8 Elevado no logaritmando
logabc = c.logablog5203 = 3.log520
log1022+x = (2 + x).log102
Talvez você tenha que criar um expoente para resolver a questão:
log5100 = log5102 = 2.log510
log10
1
2 = log102
–1 = –1.log102 = –log102
Lembre que raiz também é expoente:
log5
3?27 = log52
7
3 = 73 .log52
9 Elevado na base
logacb = 1c .logab
log6342 =
1
3 .log642
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Talvez você tenha que criar um expoente para resolver a questão:
log12526 = log5326 =
1
3 .log526
log 1
2
10 = log2–110 =
1
–1 .log210 = –log210
Lembre que raiz também é expoente:
log 3?275 = log2
7
3
5 = 37 .log25
10 Mudança de base
logab =
logcb
logca
Mudando para base 7:
log53 =
log73
log75
Mudando para base igual ao logaritmando:
logab =
logbb
logba
=
1
logba
Lembre que se não falar a base do log, então ela é base 10. Vamos transformar o log abaixo para base 5:
log 17 = log1017 =
log517
log510
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11 Tática de resolução: Aplicar log nos dois lados de uma equação
Considere a seguinte equação 22+x = 106e considere log102 = 0,30
Qual é o valor de x?
Vamos aplicar log na base 10 nos dois lados da
equação:
log1022+x = log10106
Utilizando a fórmula de elevado no logaritmando:
(2 + x).log102 = 6.log1010
Como log1010 = 1 e o enunciado diz que log102 =
0,30:
(2 + x).(0,30) = (6).(1)
(0,3).(x) + 0,6 = 6
(0,3).(x) = 5,4
x = 18
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Função, Equação e Inequação
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11Tipos de função
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12Função constante
1 Definição
É uma função de grau 0 (x0), de valor único e constante (c).
f(x) = y = c.x0 = c.1 = c
f(x) : função de x
c : valor constante da função
2 Características
• O valor da função nunca muda, é constante (c).
• O gráfico é uma reta paralela (ou coincidente) ao eixo x.
• A função não é nem crescente nem decrescente, apenas constante.
• A função corta o eixo y apenas uma vez, no ponto P(x,y) = P(0,c).
3 Gráfico
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13Função do 1º grau
1 Definição
Uma função da seguinte forma é de 1° grau (x1), com coeficiente angular (a) e coefi-
ciente linear (b), quando o valor de (a) é diferente de zero.
f(x) = y = a.x1 + b = a.x + b
f(x) : função de x
a : coeficiente angular (define a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal)
b : coeficiente linear (define o ponto onde a reta corta o eixo vertical)
2 Características
• O gráfico é uma reta inclinada.
• A função pode ser crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0).
• a ‰ 0 : (a) é sempre diferente de zero.
• (b) pode ser igual a zero ou não.
• A função corta o eixo y apenas uma vez, no ponto P(x,y) = P(0,b).
• A função corta o eixo x (raiz da função) apenas uma vez, no ponto P(x,y) =
P(–ba ,0).
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3 Gráficos
CRESCENTE DECRESCENTE
a > 0
b > 0
a < 0
b > 0
a > 0
b = 0
a < 0
b = 0
a > 0
b < 0
a < 0
b < 0
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4 Métodos para desenhar gráficos
1° Método: 2 pontos são conhecidos
P1 = (x1,y1) = (1,2)
P2 = (x2,y2) = (3,0)
Como 2 pontos já são conhecidos, é possível dese-
nhar o gráfico diretamente da seguinte forma:
1) Marque os 2 pontos no plano cartesiano
2) Ligue os pontos com uma linha reta
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2° Método: a função é conhecida
Como a função é conhecida, é possível descobrir
todos os pontos da reta da função. Para desenhar
a função do 1° grau, dois pontos são suficientes:
1) Insira um valor qualquer na variável x
2) Resolva a equação
3) Descubra o valor de y
4) Repita os passos anteriores utilizando outro
valor para x para descobrir o segundo ponto
5) Com dois pontos conhecidos, é possível de-
senhar o gráfico como explicado no 1° método
f(x) = 3.x – 1
Primeiro ponto:
1) Inserindo um valor qualquer na variável x, por
exemplo x = 1
f(x) = y = 3.x – 1
f(1) = y = 3.(1) – 1
2) Resolva a equação
f(1) = y = 3.(1) – 1 = 2
3) Descubra o valor de y
y = 2
Com isso, o primeiro ponto é: (x,y) = (1,2)
Segundo ponto:
4) Repetindo o processo anterior para um outro
valor de x, por exemplo x = 0, encontra-se:
f(x) = y = 3.x – 1
f(0) = y = 3.(0) – 1
f(0) = y = –1
Com isso, o segundo ponto é: (x,y) = (0, – 1)
5) Com dois pontos conhecidos, é possível desenhar
o gráfico de acordo com o 1° método:
3° Método: 1 ponto e o coeficiente angular são conhecidos
Ponto: P = (0, – 1)
Coeficiente angular: 3
Interpretando os dados:
x1 = 0
y1 = –1
a = 3
Utilizando a fórmula geral da função da reta e
inserindo os valores acima, é possível descobrir o
coeficiente linear (b) e, finalmente, a função de
acordo com os dados acima:
f(x) = y = a.x + b
f(0) = –1 = (3).(0) + b Ñ b = –1
f(x) = y = a.x + b
f(x) = y = (3).x + (–1)
f(x) = y = 3.x – 1
Como agora a função é conhecida, é possível
desenhar o gráfico de acordo com o 2° método.
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14Função linear
1 Definição
É um caso especial de função de 1° grau (x1), no qual o valor de (b) é igual a zero.
f(x) = y = a.x1 + 0 = a.x
f(x) : função de x
a : coeficiente angular (define a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal)
2 Características
• O gráfico é uma reta inclinada.
• A função pode ser crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0).
• a ‰ 0 : a é sempre diferente de zero.
• b = 0 : b é sempre igual a zero.
• A função corta o eixo y e o eixo x (raiz da função) no mesmo ponto P(x,y) =
P(0,0).
3 Gráfico
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15Função identidade
1 Definição
É um caso especial de função de 1° grau (x1) e de função linear, no qual o valor de (a)
é igual a um e o valor de (b) é igual a zero.
f(x) = y = 1.x1 + 0 = x
f(x) : função de x
x : variável da função
2 Características
• O gráfico é uma reta inclinada.
• A função é crescente (a = 1 > 0).
• A função corta o eixo y e o eixo x (raiz da função) no mesmo ponto P(x,y) =
P(0,0).
• Os valores de x e y são sempre iguais: (0,0); (1,1); (2,2); (-1,-1); ...
3 Gráfico
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16Função do 2° grau
1 Definição
Uma função da seguinte forma é de 2° grau (x2) quando o valor de (a) é diferente de
zero.
f(x) = a.x2 + b.x1 + c.x0 = a.x2 + b.x + c
f(x) : função de x
a : define a concavidade da parábola
b : define a inclinação da tangente da parábola no ponto que corta o eixo y
c : define onde a parábola corta o eixo y
2 Características
• O gráfico é uma parábola.
• a ‰ 0 : (a) é sempre diferente de zero.
• (b) pode ser igual a zero ou não.
• (c) pode ser igual a zero ou não.
3 Coeficientes
a > 0 : parábola com concavidade para cima
a < 0 : parábolacom concavidade para baixo
a Ò : quanto maior a, mais "fechada" é a parábola
a Ó : quanto menor a, mais "aberta" é a parábola
b > 0 : a curva da parábola cresce logo a direita do ponto que corta o eixo y
b < 0 : a curva da parábola decresce logo a direita do ponto que corta o eixo y
b = 0 : o eixo y corta a parábola ao meio
c : é exatamente o ponto onde a parábola corta o eixo y
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4 Gráficos
• Δ > 0 a > 0 Vértice da parábola (ponto de mínimo):
V = (
–b
2.a
,
–Δ
4.a
)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
x1 > x2
• Δ > 0 a < 0 Vértice da parábola (ponto de máximo):
V = (
–b
2.a
,
–Δ
4.a
)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
x1 < x2
• Δ = 0 a > 0 Vértice da parábola (ponto de mínimo):
V = (
–b
2.a
,0)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
x1 = x2 =
–b
2.a
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• Δ = 0 a < 0 Vértice da parábola (ponto de máximo):
V = (
–b
2.a
,0)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
x1 = x2 =
–b
2.a
• Δ < 0 a > 0 Vértice da parábola (ponto de mínimo):
V = (
–b
2.a
,
–Δ
4.a
)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
Não existem zeros reais da função.
• Δ < 0 a < 0 Vértice da parábola (ponto de máximo):
V = (
–b
2.a
,
–Δ
4.a
)
Zeros da função quadrática:
x1 =
–b +
?
Δ
2.a
x2 =
–b –
?
Δ
2.a
Não existem zeros reais da função.
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17Equação do 2º grau
1 Definição
ax2 + bx + c = 0
a ‰ 0
x : incógnita
a, b : coeficientes
c : termo independente
2 Fórmula de Bhaskara
x =
–b ˘
?
Δ
2a
Δ = b2 – 4ac
x1 =
–b +
a
b2 – 4ac
2a
x2 =
–b –
a
b2 – 4ac
2a
Calcular as raízes da equação x2 – 8x + 15 = 0.
Dados da equação:
a = 1
b = –8
c = 15
Aplicando a fórmula temos:
x =
–b˘
?
b2 – 4ac
2a
x =
–(–8)˘
a
(–8)2 – 4.(1).(15)
2.(1)
x =
8˘
?
64 – 60
2
x =
8˘
?
4
2
x =
8˘ 2
2
x1 =
8 + 2
2
=
10
2
x1 = 5
x2 =
8 – 2
2
=
6
2
x2 = 3
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3 Achar raízes sabendo se Δ é negativo, positivo ou zero
Se Δ > 0 - A equação possui duas raízes reais e distintas. Nesse caso a parábola irá
passar duas vezes pelo eixo x.
x1 =
–b +
a
b2 – 4ac
2a
x2 =
–b –
a
b2 – 4ac
2a
Se Δ < 0 - A equação não possui raízes reais. Nesse caso a parábola não irá passar pelo
eixo x.
Se Δ = 0 - A equação possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso a parábola irá
somente tocar no eixo x.
x1 = x2 =
–b
2a
A função desta parábola é y = 3x
2
2
– 6x + C
Qual é o valor de C?
Como a parábola toca no eixo x, então o Δ = 0,
logo as raízes são:
x1 = x2 =
–b
2a
x =
–(–6)
2.
3
2
x =
6
3
x = 2
Veja que quando x é igual a 2 o y será igual a zero:
y =
3x2
2
– 6x + C
0 =
3.22
2
– 6.2 + C
0 = 6 – 12 + C
C = 6
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4 Relação entre a soma (S) e o produto (P) de raízes
x2 – Sx + P = 0 S =
–b
a
P =
c
a
Veja a equação 3x2 + 4x – 6 = 0. Qual é a soma de suas raízes? Qual é o produto de suas raízes?
Dados da equação:
a = 3
b = 4
c = –6
Cálculo da soma das raízes:
S =
–b
a
S =
–4
3
Cálculo do produto das raízes:
P =
c
a
P =
–6
3
P = –2
Qual é a equação do 2º grau que possui como raízes 3 e 2?
Dados da equação:
x1 = 3
x2 = 2
Cálculo da soma das raízes:
S = x1 + x2
S = 3 + 2
S = 5
Cálculo do produto das raízes:
P = x1.x2
P = 3.2
P = 6
Substituindo na equação abaixo temos:
x2 – Sx + P = 0
x2 – 5x + 6 = 0
Resposta: x2 – 5x + 6
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5 Vértice da parábola
Xv =
–b
2a
Yv =
–Δ
4a
A temperatura no interior de uma estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = –h2 + 22h – 85,
em que h representa as horas do dia. Que horas a temperatura é a máxima? Qual é a temperatura máxima?
O vértice x será o h:
Xv =
–b
2a
Xv =
–22
2.(–1)
Xv = 11
A hora que a temperatura é máxima é 11.
O vértice y será T(h):
Yv =
–Δ
4a
Yv =
–[b2 – 4ac]
4a
Yv =
–[222 – 4.(–1).(–85)]
4.(–1)
Yv =
–[484 – 340]
–4
Yv =
–144
–4
Yv = 36
A temperatura máxima é de 36°.
6 Equação do 2º grau através das raízes
y = a(x – x1).(x – x2)
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Ache a altura H da parábola abaixo.
Veja que podemos colocar o eixo x sobre a linha
horizontal embaixo e o eixo y sobre a linha vertical
que corta a parábola ao meio:
Se fizermos isso, as raízes da parábola serão +5 e
-5. Utilizando a fórmula temos:
y = a.[x – (5)].[x – (–5)]
y = a.[x – 5].[x + 5]
y = ax2 + 5ax – 5ax – 25a
y = ax2 – 25a
Pelo gráfico, quando x for igual a 4, y será igual
a 3. Vamos colocar esse valores na nossa equação
para achar o valor de a:
3 = a.42 – 25.a
3 = 16a – 25a
–9a = 3
a = –
1
3
Nossa equação será: y = – x
2
3
+
25
3
Pelo gráfico, o valor de y será igual ao da al-
tura máxima (H metros) quando x for igual a zero:
H = –
02
3
+
25
3
H = +
25
3
7 Achando quem é a, b e c
Pode estar escondido o c:
y = 2x2 + 4x
y = 2x2 + 4x + 0
a = 2
b = 4
c = 0
Pode estar escondido o b:
y = 3x2 + 5
y = 3x2 + 0x + 5
a = 3
b = 0
c = 5
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Podem estar escondidos o b e o c
y = x2
y = x2 + 0x + 0
a = 1
b = 0
c = 0
O y pode ter que ser isolado:
4x2 + 8x – 2y = –6
2y = 4x2 + 8x + 6
2y
2
=
4x2
2
+
8x
2
+
6
2
y = 2x2 + 4x + 3
a = 2
b = 4
c = 3
O y pode estar em forma de função:
T(h) = –h2 + 22h – 85
Nesse caso T(h) é o y e h é o x:
y = –x2 + 22x – 85
a = –1
b = 22
c = –85
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8 Uma das raízes pode ter que ser ignorada
Uma raíz pode ter valor positivo e a outra negativo, mas o valor negativo é impossível
no mundo real:
A equação que diz o lucro de uma empresa é y = x2 – 10x – 1200, sendo y igual ao lucro e x igual ao
número de unidades produzidas. Com qual quantidade de unidades produzidas o lucro será igual a zero?
Se o lucro é igual a zero, então y = 0
x2 – 10x – 1200 = 0
Vamos aplicar Bhaskara:
x =
–b˘
?
b2 – 4ac
2a
x =
–(–10)˘
a
(–10)2 – 4.1.(–1200)
2.1
x =
10˘
?
100 + 4800
2
x =
10˘
?
4900
2
x1 =
10 + 70
2
x1 = 40
x2 =
10 – 70
2
x2 = –30
Vamos ignorar x2, pois não existe produzir quan-
tidade negativa. Logo, o número de unidades
produzidas que faz o lucro ser zero é 40.
O enunciado impõe alguma condição que irá fazer você rejeitar uma das raízes:
Ache o valor de x para a equação x2 – 30x + 200 = 0, sendo que x tem que ser maior que 15.
Usando Bhaskara:
x =
–b˘
?
b2 – 4ac
2a
x =
–(–30)˘
a
(–30)2 – 4.1.200
2.1
x =
30˘
a
(900 – 800
2
x1 =
30 + 10
2
x1 = 20
x2 =
30 – 10
2
x2 = 10
Como o enunciado diz que x tem que ser maior
que 15, a resposta é 20.
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18Função exponencial
1 Definição
Uma função é considerada exponencial quando um número real (a) maior que 0 e
diferente de 1, tem uma variável