Estatística Variáveis Aleatórias

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Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 
(Binomial e Poisson)
Disciplina: Estatística 
Prof.: Elisabeth Hafner Facin
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Variável Aleatória 
Definição: É uma variável quantitativa, cujos valores depende de fatores aleatórios.
Alguns Exemplos:
Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas;
Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote;
Número de defeitos de um azulejo que sai da linha de produção;
Tempo de resposta de um sistema computacional;
Grau de empeno de um azulejo que sai da linha de produção.
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As variáveis aleatórias podem ser subdivididas em dois grandes grupos:
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável.
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de número reais.
Neste primeiro momento trabalharemos com as variáveis aleatórias discretas.
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Distribuição de probabilidades: consiste de uma tabela que contém os valores possíveis que a variável pode assumir e as suas respectivas probabilidades.
Exemplo: Construa a distribuição de probabilidades para o lançamento de um dado perfeitamente balanceado:
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Distribuição de probabilidades
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
b) Função de probabilidade: 
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
				ou seja; a soma das probabilidades 			sempre é igual a 1 ou 100%.
	
				ou seja; uma probabilidade nunca 			pode ser negativa.
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Média ou Valor Esperado:
Variância:
Desvio Padrão: 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
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PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS (modelos)
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Distribuição de Bernoulli
São casos típicos de sucesso e fracasso:
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou não;
Lançar um dado e observar se ocorre seis ou não;
Numa linha de produção, observar se um item, tomado ao acaso, é ou não defeituoso.
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Distribuição de Bernoulli
Denominamos sucesso e fracasso os dois eventos possíveis em cada caso. O ensaio de Bernoulli é caracterizado por uma variável aleatória X, definida por:
 X = 1 se sucesso e 
X = 0 se fracasso.
A função de probabilidade de X é dada por:
Onde p sempre é a probabilidade de sucesso!
	X	P(x)
	0	1-p
	1	P
	Total	1
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Esperança ou média aritmética:
E(x)=p
Variância:
V(x)=p.(1-p)
Distribuição de Bernoulli
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Na maior parte das vezes, são realizados n ensaios de Bernoulli. O interesse está no número X de ocorrências de sucesso, como nos exemplos a seguir:
a) Lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras.
b) Numa linha de produção, observar dez itens, tomados ao acaso, e verificar quantos estão defeituosos.
Nos exemplos precedentes, se for possível supor:
Ensaios independentes
P{sucesso} = p, constante para todo ensaio (0 < p < 1).
Teremos exemplos de experimentos binomiais.
Distribuição Binomial
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Expressão geral:
Esperança: E(x) = n.p
Variância: V(x) = n.p.(1-p)
Distribuição Binomial
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Distribuição de Poisson
Considere as situações eu que se avalia o número de ocorrências de um tipo de evento por unidade de tempo, de comprimento, de área, ou de volume. Por exemplo:
Número de consultas a uma base de dados em um minuto;
Número de pedidos a um servidor num intervalo de tempo;
Números de erros de tipografia em um formulário;
Números de defeitos em um m² de piso cerâmico.
Suposições básicas:
Independência entre as ocorrências do evento considerado;
Os eventos ocorrem de forma aleatória
Probabilidade de um evento ocorrer: 
Distribuição de Poisson
Esperança e Variância:
E lambda ( )? É a taxa média de consultas por unidade de tempo.
Exemplo: Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos que três consultas. Resp.: 0,4232.
Distribuição de Poisson
Ainda considerando o exemplo anterior, calcule a probabilidade de que nos próximos dois minutos ocorram mais do que 5 consultas. Resp.: 0,5543 (6 ocorrências a cada 2 minutos) 
Distribuição de Poisson
(
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=
i
i
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p
1
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0
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i
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