Vibração-cap5

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Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
5.1 - Introdução 
 Sistemas de dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever 
seu movimento. As Figs. 5.1 e 5.2 mostram alguns exemplos de tais sistemas. 
x(t)
x1(t)
x2(t)
kk
C.G.
C.G.
m, J0
θ(t)
 
k2
k1
x(t)
y(t)
m
 
 Figura 5.1- Corpo com dois graus de liberdade. Figura 5.2 - Massa concentrada. 
 A Fig. 5.1 mostra um sistema constituído de um corpo de massa m e momento de inércia em relação ao centro 
de gravidade (C.G.) J0, sustentado por duas molas de rigidez k. Assumindo que o movimento da massa ocorre apenas 
no plano vertical, a posição do corpo em qualquer instante de tempo é perfeitamente descrita pela coordenada linear 
x(t), que representa o deslocamento vertical do centro de gravidade (CG) do corpo, e pela coordenada angular θ(t), que 
representa a rotação em torno de seu centro de gravidade. Outras coordenadas independentes, como os deslocamentos 
das extremidades x1(t) e x2(t), também poderiam ser utilizadas para descrever completamente o mesmo movimento. 
Assim sendo, o sistema possui dois graus de liberdade. É importante observar que a massa não é aqui tratada como 
pontual (partícula) mas como um corpo rígido com movimento plano restrito à direção vertical. A Fig. 5.2 mostra um 
sistema em que a massa pontual m possui dois graus de liberdade, sem ser um corpo rígido (pode transladar no plano 
xy). 
 O movimento de um sistema de dois graus de liberdade é descrito por duas equações diferenciais de segunda 
ordem geralmente acopladas, isto é, em cada uma das equações estão presentes termos que contém as duas 
coordenadas. Assumindo-se uma solução harmônica para cada coordenada, as equações do movimento conduzem a 
duas frequências naturais para o sistema. Durante a vibração livre em cada uma das frequências naturais, as amplitudes 
das duas coordenadas estão sempre relacionadas entre si formando uma configuração conhecida como modo normal, 
modo principal ou modo natural de vibração. Quando uma condição inicial arbitrária é dada ao sistema, a vibração 
livre resultante será uma combinação dos dois modos naturais de vibração. Quando o sistema vibra sob a ação de uma 
força externa harmônica (vibração forçada), o movimento resultante ocorre na frequência da força aplicada. A 
ressonância pode, então, ocorrer quando a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do 
sistema. Das Figs. 5.1 e 5.2, fica evidente que o movimento do sistema pode ser descrito por um sistema de 
coordenadas independentes. Este sistema se chama de sistema de coordenadas generalizadas. Entretanto, quando as 
equações do movimento estão acopladas, é sempre possível encontrar um sistema de coordenadas em que cada equação 
contém apenas uma coordenada. Estas coordenadas são chamadas de coordenadas principais. 
5.2 - Equações do Movimento 
 A Fig. 5.3a mostra um sistema de dois graus de liberdade com amortecimento viscoso sob ação de forças 
externas. O movimento deste sistema é descrito pelas coordenadas independentes x1(t) e x2(t). Os diagramas de corpo 
livre mostrados na Fig. 5.3b facilitam a aplicação da Segunda Lei de Newton a cada uma das massas, resultando 
 ( ) ( ) 1221212212111 Fxkxkkxcxccxm =−++−++ &&&& (5.1) 
 ( ) ( ) 2232122321222 Fxkkxkxccxcxm =++−++− &&&& (5.2) 
 105 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
x1(t)
F1(t)
m1
F1(t)
m1
x2(t)
F2(t)
m2
m2
F2(t)
k1 k2 k3
c1 c2 c3
k2(x2 - x1)
( )122 xxc && −
k1x1
c x3 2&c x1 1&
(a)
(b)
& , &&x x1 1 & , &&x x2 2
k3x2
 
Figura 5.3 - Sistema de dois graus de liberdade. 
 As equações (5.1) e (5.2) formam um sistema de duas equações diferenciais acopladas. Isto acontece porque 
(5.1) contém termos envolvendo x2 ( 2222 e xkxc −− & ), enquanto (5.2) contém termos envolvendo x1 ( 1212 e xkxc −− & ). O 
acoplamento representa a influência do movimento da massa m1 no movimento da massa m2 e vice-versa. 
 As equações (5.1) e (5.2) podem ser escritas em forma matricial 
 [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ tFtxktxctxm = }++ &&& (5.3) 
onde [m] é a matriz de massa, [c] a matriz de amortecimento e [k] a matriz de rigidez do sistema, dadas por 
 (5.4) 
[ ]
[ ]
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
322
221
322
221
2
1
0
0
kkk
kkk
k
ccc
ccc
c
m
m
m
{x(t)} é o vetor dos deslocamentos e {f(t)} é o vetor das forças, dados por 
 (5.5) ( ){ } ( )( ) ( ){ }
( )
( )⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
tF
tF
tF
tx
tx
tx
2
1
2
1 e 
 As matrizes apresentadas em (5.4) são todas simétricas de forma que 
 (5.6) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , kkccmm TTT ===
onde T indica a transposta da matriz. 
 Observar que as equações (5.1) e (5.2) se tornarão desacopladas se c2 = k2 = 0, tornando as matrizes de 
amortecimento e rigidez diagonais, o que implica em desconectar fisicamente as massas m1 e m2, transformando o 
sistema de dois graus de liberdade em dois sistemas de um grau de liberdade. 
5.3 - Vibração Livre 
5.3.1 - Sistema Não Amortecido 
 A vibração livre do sistema de dois graus de liberdade é obtida fazendo F1(t) = F2(t) = 0 e o amortecimento é 
retirado tornando c1 = c2 = c3 = 0. As equações (5.1) e (5.2) se tornam 
 ( ) 02212111 =−++ xkxkkxm && (5.7) 
 ( ) 02321222 =++− xkkxkxm && (5.8) 
 106 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 A análise da vibração livre consiste na investigação da possibilidade das massas oscilarem harmonicamente 
com a mesma frequência e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes. Assumindo que este movimento seja 
possível, as soluções são da forma 
 (5.9) 
( ) ( )
( ) ( )φω
φω
+=
+=
tXtx
tXtx
cos
cos
22
11
 Substituindo (5.9) em (5.7) e (5.8) tem-se 
 
( )[ ]{ } ( )
( )[ ]{ } ( ) 0cos
0cos
232
2
212
22121
2
1
=+++−+−
=+−++−
φωω
φωω
tXkkmXk
tXkXkkm
 (5.10) 
 Como as equações (5.10) devem ser satisfeitas em qualquer instante de tempo, os termos entre chaves devem 
ser sempre iguais a zero já que a função cos varia entre -1 e +1. Então 
 
( )[ ]
( )[ 0
0
232
2
212
22121
2
1
=++−+−
=−++−
XkkmXk
XkXkkm
ω
ω
] (5.11) 
são duas equações algébricas homogêneas simultâneas com X1 e X2 como incógnitas. Estas equações podem ser 
satisfeitas para a solução trivial X1 = X2 = 0, o que implica em que não há vibração. Para que se obtenha uma solução 
não trivial, o determinante dos coeficientes de X1 e X2 deve ser nulo: 
 ou 
( )[ ]
( )[ ] 0det 32222
221
2
1 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−−
−++−
kkmk
kkkm
ω
ω
 ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] 02232212132221421 =−++++++− kkkkkmkkmkkmm ωω(5.12) 
 
 A equação (5.12) é chamada de equação característica e sua solução conduz aos valores característicos 
(frequências naturais) do sistema. As raízes de (5.12) são dadas por 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ]
21
2
2322121
2
1322211322212
2,1 2
4
mm
kkkkkmmmkkmkkmkkmkk −++−+++±+++
=ω (5.13) 
 É, então, possível uma solução harmônica desde que as frequências da oscilação sejam as obtidas na equação 
(5.13). Elas são, por isso, chamadas de frequências naturais do sistema. 
 X1 e X2 dependem das frequências ω1 e ω2. Os valores de X1 e X2 obtidos com ω1 serão chamados de 
e os obtidos com ω( ) ( )X X1
1
2
1 e 2. serão chamados de ( ) ( )22
2
1 e XX . Como as equações (5.11) são homogêneas é possível 
determinar somente as relações 
( )
( )
( )
( )2
1
2
2
21
1
1
2
1 e X
XrX
Xr == . Substituindo ω ω ω ω2 1
2 2
2
2= = e as equações (5.11) 
produzem 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )32222
2
2
21
2
21
2
1
2
2
2
32
2
12
2
2
21
2
11
1
1
1
2
1
kkm
k
k
kkm
X
X
r
kkm
k
k
kkm
X
X
r
++−
=
++−
==
++−
=
++−
==
ω
ω
ω
ω
 (5.14) 
 Os modos naturais de vibração são expressos pelos vetores modais 
 (5.15) 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
12
2
1
2
2
2
12
1
11
1
1
1
2
1
11 e 
Xr
X
X
X
X
Xr
X
X
X
X
 A vibração livre, no primeiro e no segundo modos naturais é 
 107 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 (5.16) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t
x t
x t
X t
r X t
x t
x t
x t
X t
r X t
1 1
1
2
1
1
1
1 1
1 1
1
1 1
2 1
2
2
2
1
2
2 2
2 1
2
2 2
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
=
+
+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
=
+
+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
cos
cos
cos
cos
ω φ
ω φ
ω φ
ω φ
 = primeiro modo
 = segundo modo
( ) ( )X X1
1
1
2
1 2, , e φ φ são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. 
 Pode-se fazer o sistema vibrar em um de seus modos naturais através da aplicação de condições iniciais 
apropriadas. Para que o sistema vibre no modo i (i = 1,2) as condições iniciais necessárias são 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t X x t
x t r X x t
i
i
1 1 1
2 1 1 2
0 0
0 0
= = = =
= = = =
, & ,
, &
 
 
0
0
 (5.17) 
 Se quaisquer outras condições iniciais forem introduzidas, ambos os modos serão excitados e o movimento 
resultante será uma superposição dos modos naturais na forma 
 ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }x t x t x t= +1 2 (5.18) 
ou então 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t x t x t X t X t
x t x t x t r X t r X t
1 1
1
1
2
1
1
1 1 1
2
2 2
2 2
1
2
2
1 1
1
1 1 2 1
2
2 2
= + = + + +
= + = + + +
cos cos
cos cos
ω φ ω φ
ω φ ω φ
 (5.19) 
 Introduzindo-se as condições iniciais arbitrárias 
 (5.20) 
( ) ( )
( ) ( )
x t x x t v
x t x x t v
1 10 1
2 20 2
0 0
0 0
= = = =
= = = =
, & ,
, &
 
 
10
20
as constantes podem ser determinadas através da solução das seguintes equações, obtidas pela 
substituição de (5.20) em (5.19) 
( ) ( )
21
2
1
1
1 e , , φφXX
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t x X X
x t v X X
x t x r X r X
x t v r X r X
1 10 1
1
1 1
2
2
1 10 1 1
1
1 2 1
2
2
2 20 1 1
1
1 2 1
2
21
2 20 1 1 1
1
1 2 2 1
2
2
0
0
0
0
= = = +
= = = − −
= = = +
= = = − −
cos cos
& sen sen
cos cos
& sen sen
φ φ
ω φ ω φ
φ φ
ω φ ω φ
 (5.21) 
 A solução das equações (5.21) resulta em 
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
X
r r
r x x
v r v
X
r r
x r x
r v v
v r v
r x x
r v v
x r x
1
1
2 1
2 10 20
2 20 2 10
2
1
2
1
2
2 1
20 1 10
2 1 10 20
2
2
2
1
1 20 2 10
1 2 10 20
2
1 1 10 20
2 20 1 10
1
1
=
−
− +
−
=
−
− +
−
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
−
ω
ω
φ
ω
φ
ω
tan
tan
 (5.22) 
Exemplo 5.1 - Frequências Naturais do Sistema Massa-Mola 
 Determinar as frequências naturais e os modos naturais de vibração do sistema massa-mola de dois graus de 
liberdade cujo movimento está restrito à direção vertical 
 108 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
m
m
k
k
k
x1(t)
x2(t)
 
Figura 5.4 - Sistema massa-mola. 
 Equações do movimento 
 
mx kx kx
mx kx kx
&&
&&
1 1 2
2 1 2
2 0
2 0
+ − =
− + =
 
 Assumindo solução harmônica na forma da eq (5.9), o determinante e a equação característica (5.12) tornam-
se 
 
− + −
− − +
= − + =
m k k
k m k
m km k
ω
ω
ω ω
2
2
2 4 2 2
2
2
4 3 0 
cuja solução conduz às frequências naturais 
 
ω
ω
1
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
4 16 12
2
4 16 12
2
3
=
− −
=
=
+ −
=
km k m m k
m
k
m
km k m m k
m
k
m
 
 As relações de amplitudes são obtidas das equações (5.14) 
 
( )
( )
( )
( )
r
X
X
m k
k
k
m k
r
X
X
m k
k
k
m k
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
= =
− +
=
− +
=
= =
− +
=
− +
= −
ω
ω
ω
ω
 
 Os modos naturais, dados pelas equações (5.16) são 
 
( ) ( ){ }
( )
( )
( ) ( ){ }
( )
( )
Modo Segundo 
3cos
3cos
Modo Primeiro 
cos
cos
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
φ
φ
φ
φ
t
m
kX
t
m
kX
tx
t
m
kX
t
m
kX
tx
 
 109 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 Conclui-se que, quando o sistema vibra no primeiro modo, as amplitudes das duas massas permanecem iguais. 
Isto implica que o comprimento da mola intermediária permanece constante (a mola não se deforma, é como se não 
existisse). Os movimentos das massas m1 e m2 estão em coincidência de fase (sincronizados, Fig. 5.5a). Quando o 
sistema vibra no segundo modo, os deslocamentos das duas massas possuem a mesma amplitude mas com oposição de 
fase (Fig. 5.5b). Neste caso o ponto médio da mola permanece estacionário em qualquer instante de tempo. Este ponto é 
chamado nó. 
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
Nó
(a) Primeiro modo (b) Segundo modo 
Figura 5.5 - Modos naturais de vibração. 
 Usando as equações (5.19), o movimento do sistema pode ser expresso como 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
11
1
12
2
2
11
1
11
3coscos
3coscos
φφ
φφ
t
m
kXt
m
kXtx
t
m
kXt
m
kXtx
 
Exemplo 5.2 - Condições iniciais para provocar um modo específico 
 Encontrar as condições iniciais necessárias para que o sistema vibre (1) no primeiro modo e (2) no segundo 
modo. 
Solução:As constantes ( ) ( ) 21
2
1
1
1 e , , φφXX são determinadas com o auxílio das equações (5.22), com as frequências 
naturais e os modos determinados no exemplo 5.1. 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+
=
−+−−=
++−−−=
−
−
k
m
xx
vv
k
m
xx
vv
vv
k
mxxX
vv
k
mxxX
3
tan
tan
32
1
2
1
1020
20101
2
2010
10201
12
2010
2
1020
2
1
2
1020
2
2010
1
1
φ
φ
 
 Os modos naturais foram obtidos no Exemplo 5.1, dados por 
 
( ) ( ){ }
( )
( )
( ) ( ){ }
( )
( )
Modo Segundo 
3cos
3cos
Modo Primeiro 
cos
cos
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
φ
φ
φ
φ
t
m
kX
t
m
kX
tx
t
m
kX
t
m
kX
tx
 
 110 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 (1) Para produzir o primeiro modo é necessário que ( ) 0 21 =X , e, para tanto as condições iniciais devem ser 
 x10 = x20 e v10 = v20
 (2) Para produzir o segundo modo é necessário que ( ) 0 11 =X , e, para tanto as condições iniciais devem ser 
 x10 = - x20 e v10 = - v20
5.4 - Sistema Torcional 
 A Fig. 5.6 mostra um sistema torcional constituído de dois discos de momentos de inércia J1 e J2, conectados 
por segmentos de eixos com rigidezes kt1, kt2 e kt3, sofrendo a ação dos torques Mt1 e Mt2. O sistema possui dois graus de 
liberdade e seu movimento pode ser descrito pelas rotações θ1 e θ2. 
θ2
kt2(θ2-θ1)kt1θ1 kt3θ2
kt1 kt2 kt3J2J1
Mt1 Mt2
(a)
(b)
θ1
θ2θ1
 
Figura 5.6 - Sistema torcional. 
 A segunda Lei de Newton é aplicada para os movimentos de rotação dos discos, resultando nas seguintes 
equações diferenciais 
 (5.23) 
( )
( )
J k k k M
J k k k M
t t t t
t t t
1 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 3 2 2
&&
&&
θ θ θ
θ θ θ
+ + − =
− + + = t
Exemplo 5.3 - Frequências Naturais de um Sistema Torcional 
 Encontrar as frequências naturais e as formas modais para o sistema torcional mostrado na Fig. 5.7 para 
J1 = J0, J2 = 2J0, e kt1 = kt2 = kt. 
θ 1
θ 2
k t2
k t1
J 2
J 1
 
Figura 5.7 - Sistema torcional. 
 111 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
Solução: 
 As equações diferenciais do movimento, dadas em (5.23), com os dados do problema e Mt1 = Mt2 = 0, se 
reduzem para 
 
J k k
J k k
t t
t t
0 1 1 2
0 2 1 2
2 0
2 0
&&
&&
θ θ θ
θ θ θ
+ − =
− + =
cuja solução harmônica é da forma 
 ( ) ( )θ ω φi it t i= + =Θ cos , para 1 2
que substituída nas equações diferenciais conduzem à equação das frequências (eq. 5.13) 
 112 
0= 2 54 0
2 2
0
2ω ωJ J k kt t− +
 A solução desta equação resulta nas frequências naturais 
 ( ) ( )ω ω1
0
2
04
5 17
4
5 17= − = +k
J
k
J
t t e 
e as relações de amplitudes (formas modais) são obtidas com o auxílio das eq. (5.14) 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
r r1 2
1
1
1 2
2
2
1
22
5 17
4
2
5 17
4
= = −
−
= = −
+Θ
Θ
Θ
Θ
 e 
5.5 - Acoplamento de Coordenadas - Coordenadas Principais 
 Qualquer conjunto de coordenadas independentes em número igual de graus de liberdade do sistema pode ser 
utilizado para descrever seu movimento. Estas são chamadas de coordenadas generalizadas. A Fig. 5.8 mostra o 
modelo de um sistema constituído de uma barra com duas massas nas extremidades. 
k1 k2
k1 k2
l'2l'1
CG
A B
m,J0
l2l1
k1x1=k1(x-l1θ)
k2x2=k2(x+l2θ)
CGA B
m,J0e
P
B'
P
CG
A'
l'2l'1
BA
y-l'1θ y(t)
θ(t)
y+l'2θ
k1(y-l'1θ)
k2(y+l'2θ)
B'
CG
A'
l2l1 BA
x1(t)
x(t)
θ(t)
x2(t)
(a)
(b) 
Figura 5.8 - Acoplamento de coordenadas. 
 Este sistema possui dois graus de liberdade quando a barra é considerada como um corpo rígido e não há 
movimento lateral. Nestas condições, vários conjuntos diferentes de coordenadas generalizadas poderiam ser utilizadas 
para descrever o movimento tais como: 
1) Os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t); 
2) O deslocamento x(t) do centro de gravidade (C.G.) e a rotação θ(t); 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
3) O deslocamento y(t) de um ponto qualquer P e a rotação θ(t). 
4) O deslocamento x1(t) da extremidade A e a rotação θ(t). 
 Cada um destes sistemas de coordenadas conduz a um sistema de duas equações diferenciais de segunda 
ordem acopladas. Utilizando-se, por exemplo as coordenadas x(t) (deslocamento do centro de gravidade C.G.) e a 
rotação θ(t) as equações diferenciais que descrevem o movimento do corpo rígido são 
 113 
)
 
( ) ( )
( ) ( 222111
2211
llxkllxkJ
lxklxkxm
G θθθ
θθ
+−−=
+−−−=
&&
&&
 (5.24) 
 Em forma matricial, as eq. (5.24) são escritas na forma 
 (5.25) 
( ) ( )
( ) ( ) ⎭⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
2
22
2
112211
112221
θθ
x
lklklklk
lklkkkx
J
m
G
&&
&&
 As duas equações que formam o sistema (5.24) estão acopladas, ou seja, ambas contém as variáveis x(t) e θ(t). 
Na equação (5.25), a matriz não diagonal representa este acoplamento. Quando a matriz de massa é não diagonal o 
acoplamento é chamado de dinâmico ou inercial. Se a matriz de rigidez é não diagonal, o acoplamento é chamado 
elástico ou estático. 
 De uma forma geral, um sistema pode estar acoplado também pela matriz de amortecimento, de forma que a 
equação matricial geral do movimento pode ser expressa na forma 
 (5.26) 
m m
m m
x
x
c c
c c
x
x
k k
k k
x
x
11 12
12 22
1
2
11 12
12 22
1
2
11 12
12 22
1
2
0
0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
&&
&&
&
&
onde a natureza das matrizes presentes revela o tipo de acoplamento presente: 
 Acoplamento elástico (estático) matriz de rigidez não diagonal; 
 Acoplamento inercial (dinâmico) matriz de inércia não diagonal; 
 Acoplamento de velocidade (dinâmico) matriz de amortecimento não diagonal. 
 O acoplamento depende exclusivamente do sistema de coordenadas utilizado, não sendo, portanto, uma 
característica física do sistema. É possível determinar um sistema de coordenadas que torne o sistema desacoplado. Este 
sistema é chamado de sistema de coordenadas principais ou naturais. A principal vantagem de utilizar coordenadas 
principais é que as equações resultantes podem ser resolvidas independentemente. 
 Considerando o sistema mostrado na Fig. 5.2, com c1 = c2 = c3 = 0 e F1(t) = F2(t) = 0, as equações do 
movimento tornam-se as eqs. (5.7) e (5.8). A solução pode ser expressa na forma 
 (5.27) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t q t q t
x t r q t r q t
1 1 2
2 1 1 2 2
= +
= +
onde as formas modais r1 e r2 são dadas pela eq. (5.14). Introduzindo-se (5.27) em (5.7) e (5.8) obtém-se 
 (5.28) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m q q k q q k rq r q
m rq r q k q q k rq r q
1 1 2 11 1 2 12 1 1 2 2
2 1 1 2 2 12 1 2 22 1 1 2 2
0
0
&& &&
&& &&
+ + + + + =
+ + + + + =
onde k11 = k1 + k2, k12 = - k2 e k22 = k2 + k3. 
 Multiplicando a primeira das equações (5.28) por m2r2 e a segunda por m1 obtém-se 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m r r q m r k m r r k m k m k r q m r k m r k m k m k r q
m m r r q m r k m r k m k m k r q m r k m r r k m k m k r q
1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 12 1 12 1 22 1 1 2 2 11 2 2
2
12 1 12 1 22 2 2
1 2 1 2 2 2 1 11 2 1
2
12 1 12 1 22 1 1 2 1 11 2 1 2 12 1 12 1 22 2 2
0
0
− + + − − + + − − =
− + + − − + + − − =
&&
&&
 (5.29) 
 Utilizando-se as equações (5.14), as eq. (5.29) são reduzidas para a forma 
 (5.30) && ,q q ii i i+ = =ω
2 0 com 1 2
=
)2−
onde ωi (i = 1,2) são as frequências naturais do sistema. As equações (5.30) são independentes,sendo resolvidas 
separadamente. As coordenadas q1 e q2 são então coordenadas principais ou naturais. 
 As soluções das eq. (5.30) são simplesmente 
 (5.31) ( )q t C t ii i i i= −cos( ) ,ω φ com 1 2
de forma que, inserindo (5.31) em (5.27) tem-se 
 (5.32) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
x t C t C t
x t C r t C r t
1 1 1 1 2 2 2
2 1 1 1 1 2 2 2
= − + −
= − +
cos cos
cos cos
ω φ ω φ
ω φ ω φ
que podem ser escritas na forma matricial 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 114 
) (5.33) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } (x t C r t C r t C u t C u t=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− +
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
− = − + −1
1
1 1 2
2
2 2 1
1
1 1 2
2
2 2
1 1
cos cos cos cosω φ ω φ ω φ ω φ
onde são conhecidos como vetores modais. As amplitudes C( ){ } ( ){ }u u1 2 e 1 e C2 e os ângulos de fase φ1 e φ2 dependem 
das condições iniciais. As equações mostram que o movimento do sistema, em qualquer instante de tempo, pode ser 
descrito como uma superposição dos modos naturais multiplicados pelas coordenadas naturais ou principais. 
Exemplo 5.4 - Coordenadas Principais do Sistema Massa-Mola 
Determinar as coordenadas principais para o sistema mostrado na Fig. 5.4. 
Solução: 
As equações que estabelecem o movimento livre do sistema mostrado na Fig. 5.4 foram obtidas no exemplo 5.1 sendo 
as seguintes 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t X
k
m
t X
k
m
t
x t X
k
m
t X
k
m
t
1 1
1
1 1
2
2
2 1
1
1 1
2
2
3
3
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos cos
cos cos
φ φ
φ φ
 (a) 
 Define-se um sistema de coordenadas tais que 
 
( ) ( )
( ) ( )
q t X k
m
t
q t X k
m
t
1 1
1
1
2 1
2
2
3
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
φ
φ
 (b) 
 Substituindo-se (b) em (a) tem-se 
 (c) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t q t q t
x t q t q t
1 1 2
2 1 2
= +
= −
que podem ser resolvidas algebricamente, resultando em 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
q t x t x t
q t x t x t
1 1 2
2 1 2
1
2
1
2
= +
= −
 (d) 
 Como q1(t) e q2(t), dadas na eq. (b), são funções harmônicas, são soluções de equações diferenciais na forma 
 
&&
&&
q k
m
q
q k
m
q
1 1
2 2
0
3 0
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
 (e) 
que são duas equações diferenciais independentes (desacopladas) que são resolvidas separadamente. Estas equações 
representam um sistema de dois graus de liberdade cujas frequências naturais são ω ω1 2 3= =k m
k
m e . 
Exemplo 5.5 - Frequências e Modos de um Automóvel. 
Determinar as frequências associadas ao movimento angular (arfagem) e linear vertical (oscilação) e a localização dos 
centros de oscilação de um automóvel (Fig. 5.9) com os seguintes dados: 
 massa = m = 1000 kg 
 raio de giração = r = 0,9 m 
 distância entre eixo dianteiro e C.G. = l1 = 1,0 m 
 distância entre eixo traseiro e C.G. = l2 = 1,5 m 
 rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m 
 rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m 
Solução: Se x e θ são coordenadas independentes, o diagrama do corpo livre apresentado na Fig. 5.8a, permite que as 
equações diferenciais do movimento sejam escritas na forma 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 115 
)l2θ
 (a) 
( ) ( )
( ) (
mx k x l k x l
J k x l l k x l
&&
&&
= − − − +
= − − +
1 1 2 2
0 1 1 1 2 2
θ θ
θ θ
ou na forma matricial 
 
( ) ( )
( ) ( )
m
J
x k k k l k l
k l k l k l k l
x0
0
0
00
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1
2
2 2
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
+ − −
− − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
&&
&&θ θ (b) 
l1 l2
movimento
angular (pitch)
movimento vertical
(bounce)
CG
krkf
kr
kf
CG
x
θ
Referência
 
CG
+x +θ
O
2,65
CG
+x
−θ
O
0,306
 
 Figura 5.9 - Vibração de um automóvel. Figura 5.10 - Formas modais do automóvel. 
 Para o presente problema tem-se que k1 = kf, k2 = kr e J0 = mr2, de forma que a equação matricial (b) torna-se 
 
( ) ( )
( ) ( )
m
mr
x k k k l k l
k l k l k l k l
xf r f r
f r f r
0
0
0
02
1 2
1 2 1
2
2
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
+ − −
− − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
&&
&&θ θ (c) 
 Para obter a expressão para a vibração livre, assume-se que a solução é harmônica na forma 
 ( ) ( ) ( ) ( )x t X t t t= + =cos cosω φ θ ω φ e Θ + (d) 
 Substituindo as soluções (d) na equação matricial (c) obtém-se 
 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ +
+ − −
− − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ =
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
m
mr
X
t
k k k l k l
k l k l k l k l
X
tf r f r
f r f r
0
0
0
02
2 1 2
1 2 1
2
2
2Θ Θ
ω ω φ ω φcos cos (e) 
que pode ser rearranjada para 
 (f) ( ) ( )( ) ( ) ( )
− + + − −
− − − + +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+ =
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
m k k k l k l
k l k l mr k l k l
X
tf r f r
f r f r
ω
ω
ω φ
2
1 2
1 2
2 2
1
2
2
2
0
0Θ
cos
 Como a função cos tem valores diferentes de zero, conclui-se que 
 (g) ( ) ( )( ) ( )
− + + − −
− − − + +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
m k k k l k l
k l k l mr k l k l
Xf r f r
f r f r
ω
ω
2
1 2
1 2
2 2
1
2
2
2
0
0Θ
 Introduzindo os dados do presente problema a expressão (g) torna-se 
 (h) ( ) ( )
− +
− +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1000 40000 15000
15000 810 67500
0
0
2
2
ω
ω
X
Θ
que possui solução não trivial quando o determinante da matriz se anula 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 116 
) 
( )
(
− +
− +
=
1000 40000 15000
15000 810 67500
0
2
2
ω
ω
 (i) 
resultando na equação das frequências 
 (j) 8 1 999 24750 04 2, ω ω− + =
cuja solução permite a determinação das frequências naturais 
 ω1 = 5,8593 rad/s (k) 
 ω2 = 9,4341 rad/s 
 Substituindo estes valores na equação (h) obtém-se as formas modais 
 
( )
( )
( )
( ) 3061,0
6461,2
2
2
1
1
=
Θ
−=
Θ
X
X
 (l) 
 As localizações dos nós (pontos com velocidade nula, portanto centros de rotação) podem ser obtidas 
observando que a tangente de um ângulo pequeno é aproximadamenteigual ao próprio ângulo. Portanto, da Fig. 5.10, 
encontra-se a distância entre o C.G. e o nó como -2,6461 m para ω1 e 0,3061 para ω2. As formas modais estão 
representadas por linhas tracejadas na Fig. 5.10. 
5.6 - Vibração Forçada 
 As equações diferenciais do movimento de um sistema genérico de dois graus de liberdade sob a ação de 
forças externas podem ser escritas na forma 
 (5.34) 
m m
m m
x
x
c c
c c
x
x
k k
k k
x
x
F
F
11 12
12 22
1
2
11 12
12 22
1
2
11 12
12 22
1
2
1
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
&&
&&
&
&
 Se as forças são harmônicas 
 (5.35) ( )F t F e jj j i t= 0 1 2ω , = ,
= ,
 As soluções de regime permanente são 
 (5.36) ( )x t X e jj j i t= ω , 1 2
onde X1 e X2 são, em geral, quantidades complexas que dependem de ω e dos parâmetros do sistema. Substituindo 
(5.35) e (5.36) em (5.34) obtém-se 
 (5.37) ( ) ( )( ) ( )
− + + − + +
− + + − + +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
ω ω ω ω
ω ω ω ω
2
11 11 11
2
12 12 12
2
12 12 12
2
22 22 22
1
2
10
20
m i c k m i c k
m i c k m i c k
X
X
F
F
 Da mesma maneira que no Capítulo 3, a impedância mecânica é definida por 
 (5.38) ( )Z i m i c k r srs rs rs rsω ω ω= − + + =2 1 2 , ,
e a equação (5.37) é escrita na forma 
 (5.39) ( )[ ]{ } { }Z i X Fω = 0
onde 
 matriz de impedância ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )Z i
Z i Z i
Z i Z i
ω
ω ω
ω ω
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
11 12
12 22
 { } { }X XX F
F
F
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
0
10
20
 e 
 A solução da equação (5.39) é 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 (5.40) { } ( )[ ] { }X Z i F= −ω 1 0
onde a inversa da matriz de impedância é 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )Z i Z i Z i Z i
Z i Z i
Z i Z i
ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
−
=
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
11 22 12
2
22 12
12 11
1 (5.41) 
 Substituindo (5.41) em (5.40) resulta 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
X i
Z i F Z i F
Z i Z i Z i
X i
Z i F Z i F
Z i Z i Z i
1
22 10 12 20
11 22 12
2
2
12 10 11 20
11 22 12
2
ω
ω ω
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω
=
−
−
=
− +
−
 (5.42) 
 Introduzindo os valores de (5.42) nas soluções (5.36) obtém-se 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t
x t
Z i F Z i F
Z i Z i Z i
Z i F Z i F
Z i Z i Z i
ei t1
2
22 10 12 20
11 22 12
2
12 10 11 20
11 22 12
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
−
−
− +
−
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω (5.43) 
Exemplo 5.6 - Resposta de Regime Permanente de um Sistema de Dois Graus de Liberdade 
Determinar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na Fig. 5.11 em que a massa m1 sofre a ação da força 
F1(t) = F10 cos ωt. Traçar a curva de resposta em frequência. 
k
k
k
x1(t)
x2(t)
F1(t) = F10 cos ωt
m
m
 
Figura 5.11 - Vibração forçada de um 
sistema de dois graus de liberdade. 
Solução: As equações do movimento podem ser escritas em forma matricial 
 (a) 
m
m
x
x
k k
k k
x
x
F t0
0
2
2 0
1
2
1
2
10⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
+
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
&&
&&
cosω
 Comparando a eq. (a) com (5.34) observa-se que m11 = m22 = m, m12 = 0, c11 = c12 = c22 = 0, k11 = k22 = 2k, k12 
= - k, F1 = F10 cos ωt, F2 = 0. 
 Assume-se que a solução é harmônica 
 117 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 118 
= (b) ( )x t X t jj j= cos ,ω 1 2
 A equação (5.38) produz 
 ( ) ( ) ( )Z Z m k Z11 22 2 122ω ω ω ω= = − + =, k− (c) 
 A seguir X1 e X2 são obtidos utilizando a equação (5.42) 
 
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
X
m k F
m k k
m k F
m k m k
X
kF
m k k
kF
m k m k
1
2
10
2 2 2
2
10
2 2
2
10
2 2 2
10
2 2
2
2
2
3
2 3
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω ω ω
=
− +
− + −
=
− +
− + − +
=
− + −
=
− + − +
 (d) 
 Definindo-se ω1
2 = k m e ω 2
2 3= k m , as equações (d) se tornam 
 
( )
( )
X
F
k
X
F
k
1
1
2
10
2
1
2
1
2
1
2
2
10
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 (e) 
 A Fig. 5.12 mostra as amplitudes X1 e X2 em função do parâmetro adimensional ω ω1
que foi escolhido 
arbitrariamente. Pode-se ver que as amplitudes X1 e X2 se tornam infinitas em ω ω ω ω= =1 e 2 que são as duas 
condições de ressonância para o sistema. Pode-se observar também que, para um determinado valor de ω, a amplitude 
X1, da massa m1(que sofre a ação da força F1(t)), se reduz para zero. Este é o fundamento do absorvedor dinâmico de 
vibrações que será discutido na seção seguinte. 
X k
F
1
10
X k
F
2
10
0
−1
2
1
3
4
5
−2
−3
−4
−5
−6
0
−1
2
1
3
4
5
−2
−3
−4
−5
−6
ω
ω1
ω
ω11 2
3 4
4321
 
Figura 5.12 - Curvas de resposta em frequência. 
5.7 - Absorvedores Dinâmicos 
 Em um sistema de um grau de liberdade, quando a frequência da função excitadora é igual ou próxima da 
frequência natural do sistema, o fenômeno da ressonância é produzido e grandes amplitudes de vibração são geradas. 
Para evitar este problema, uma alternativa utilizada em máquinas é modificar a frequência natural do sistema através da 
adequada introdução de um sistema auxiliar massa-mola (com ou sem amortecedor) constituindo-se em um absorvedor 
dinâmico. 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
5.7.1 - Absorvedor Não Amortecido 
 Quando uma massa auxiliar m2 é conectada à massa do sistema m1, através de uma mola de rigidez k2, resulta 
em um sistema de dois graus de liberdade como mostra a Fig. 5.13. As equações do movimento do sistema são 
 (5.44) 
( )
( )
m x k x k x x F t
m x k x x
1 1 1 1 2 1 2 0
2 2 2 2 1 0
&& sen
&&
+ + − =
+ − =
ω
 Assumindo solução harmônica na forma 
 119 
= (5.45) ( )x t X t jj j= sen ,ω , 1 2
 Considerando as matrizes que constituem a equação (5.34), que permitem o cálculo das expressões (5.38), 
cujos resultados são introduzidos em (5.42), chega-se a 
 
( )
( )( )
( )( ) 222222121
02
2
2
2
2
22
2
121
0
2
22
1
kmkmkkFk
X
kmkmkk
Fmk
X
−−−+
=
−−−+
−
=
ωω
ωω
ω
 (5.46) 
F0senωt Máquina (m1)
Isolador (k1)
k2
 m2
x2(t)
x1(t)
Absorvedor
dinâmico
Base rígida
 
Fig. 5.13 - Absorvedor dinâmico não amortecido. 
 Como o absorvedor está sendo utilizado para reduzir as amplitudes de vibração na ressonância, com 
ω ω2 1
2 1
1
≈ = k m , deve ser projetado de forma que o numerador da primeira das equações (5.46) seja anulado, 
produzindo 
 ω 2 2
2
1
1
= =
k
m
k
m
 (5.47) 
 Definindo δ ω ωst
F
k
k
m
k
m= = =
0
1
1
2 1
1
2
2 2
2
, , e dividindo numerador e denominador das equações (5.46) 
pelo produto k1k2, chega-se a 
 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 
X
k
k
k
k
X
k
k
k
k
st
st
1 2
2
2
1 1
2
2
2
2
1
2
2
1 1
2
2
2
2
1
1
1 1
1
1 1
δ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
δ ω
ω
ω
ω
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
=
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
 (5.48) 
Com absorvedor Com absorvedor
Sem absorvedor
0
4
8
12
16
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
ω/ω1
X1/δst
m
m
2
1
1 2
1
20
=
=ω ω
Ω1 Ω2
 
Fig. 5.14 - Amplitude de vibração da máquina. 
 A Fig. 5.14 mostra a variação da amplitude de vibração da máquina stX δ1 com a velocidade de operação da 
máquina 12 ωω . As duas amplitudes de pico correspondem às duas frequências naturais do sistema composto. De 
acordo com o pretendido, a amplitude do sistema original é nula em ω ω= 1. Nesta freqüência a amplitude do sistema 
auxiliar é 
 X
k
k
F
kst2
1
2
0
2
= − = −δ (5.49) 
 Introduzindo (5.49) em (5.45) para j = 2, obtém-se 
 ( )x t F
k
t2 0
2
= − senω (5.50) 
que pode ser escrita na forma 
 (5.51) ( )k x t F t2 2 0= − senω
concluindo-se que o absorvedor (massa e mola auxiliares) atuam sobre a massa principal com uma força igual a 
−F0 sen tω que neutraliza a força externa aplicada F0 sen tω . Como este efeito é obtido desde que o absorvedor possua 
frequência natural igual à frequência de operação, os parâmetros m2 e k2 são obtidos estabelecendo limites para a 
amplitude X2 deste mesmo absorvedor. 
 Embora tenha sido projetado para uma determinada frequência de operação da máquina, o absorvedor pode 
atuar satisfatoriamente em uma faixa de frequências em torno desta freqüência de operação. Nesta faixa a amplitude X1 
não se anula mas mantém-se com valores inferiores a um limite previamente estabelecido. A Fig. 5.14 mostra que existe 
uma faixa de frequências, entre as duas novas frequências de ressonância Ω1 e Ω2. O surgimento destas novas 
frequências de ressonância é uma desvantagem do absorvedor dinâmico. Este efeito, entretanto, pode ser reduzido 
através da introdução de amortecimento, como mostra a seção 5.7.2. Observando que 
 
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
ω
ω
µ
k
m
m
m
m
k
k
k (5.52) 
onde 12 mm=µ , os valores de Ω1 e Ω2 são obtidos igualando a zero o denominador das equações (5.48), resultando 
 120 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
 ( )ω
ω
ω
ω
ω
ω
µ ω
ω2
4
2
1
2
2
2
2
1
2
1 1 1 0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ = (5.53) 
cujas raízes são as frequências naturais procuradas 
 
( ) ( )
Ω1 2
2
2
1
2
2
1
2 2
2
1
2
1
2
2
1
2
1 1 1 1 4
2
,
ω
µ ω
ω
µ ω
ω
ω
ω
ω
ω
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
m
 (5.54) 
 A eq. (5.54) mostra que as novas frequências naturais dependem exclusivamente das relações entre as massas 
do absorvedor e sistema principal µ e entre as frequência naturais destes dois sistemas 12 ωω . Se o absorvedor for 
projetado obedecendo rigorosamente a condição ω1 = ω2 = ω a equação (5.54) assume uma forma mais simplificada 
 
( ) ( )[ ]Ω1,2
2
1
22 2
2ω
µ µ µ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+ +m
 (5.55) 
Exemplo 5.7 - Absorvedor de Vibrações para um Motor Diesel 
Um motor diesel, pesando 3000 N, está montado sobre um pedestal. Observou-se que o motor induz vibrações na área 
através do pedestal quando opera a 6000 rpm. Determinar os parâmetros do absorvedor que reduzirão as vibrações do 
motor quando montado no pedestal. A magnitude da força que produz a vibração no motor é 250 N, e a amplitude do 
movimento da massa auxiliar está limitada em 2 mm. 
Solução: 
 A frequência de vibração da máquina é 
 f = = =6000
60
100 628 32 Hz ou rad / segω , 
 Como o movimento do pedestal deve ser eliminado, a amplitude do movimento da massa auxiliar deve ser 
igual e oposta à força excitadora. Da equação (5.51) chega-se a 
 2
2
22220 XmXkF ω== 
 Substituindo os dados, considerando (5.47) 
 ( ) ( )250 628 32 0 002 0 316632
2
2= → =m m, , , kg 
 A rigidez da mola do absorvedor é obtida, também, pela equação (5.47) 
 ( ) ( )k m2 2 2
2628 32 0 31663 125000= = =ω , , N / m
Exemplo 5.8 - Absorvedor para um Conjunto Motor-Gerador 
Um conjunto motor-gerador, mostrado na Fig. 5.15, é projetado para operar na faixa de 2000 a 4000 rpm. Entretanto, o 
conjunto vibra violentamente em 3000 rpm devido a um pequeno desbalanceamento no rotor. Propõe-se colocar uma 
viga engastada com uma massa na extremidade como absorvedor para eliminar o problema. Quando a viga com uma 
massa de 2 kg, sintonizada a 3000 rpm, é ligada ao conjunto, as frequências naturais do sistema obtidas foram de 2500 
rpm e 3500 rpm. Projetar o absorvedor a ser ligado (especificando sua massa e sua rigidez) de forma que as frequências 
naturais do sistema fiquem fora da faixa de operação do conjunto motor-gerador. 
 121 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
Absorvedor de
vibração
Motor Gerador
 
Figura 5.15 - Conjunto motor-gerador com absorvedor dinâmico. 
Solução: 
 As frequências naturais ω1 do motor-gerador e ω2 do absorvedor são dadas por 
 ω ω1
1
1
2
2
2
= =
k
m
k
m
, (a) 
 As frequências naturais Ω1 e Ω2, do sistema combinado, são dadas pela equação (5.54). Como o absorvedor 
com massa m2 = 2 kg está sintonizado, ω1 = ω2 = 314,16 rad/seg (correspondente a 3000 rpm). Usando a notação 
 µ
ω ω
= = =
m
m
r r2
1
1
1
2
2
2
2
, , e 
Ω Ω 
a equação (5.54) se torna 
 r1,2
2
2
1
2
1
2
1= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
µ µ
m (b) 
 Como Ω1 = 261,80 rad/seg (2500 rpm) e Ω2 = 366,52 rad/seg (3500 rpm) tem-se 
 
r
r
1
1
2
2
2
2
26180
314 16
0 83333
366 52
314 16
1 6667
= = =
= = =
Ω
Ω
ω
ω
,
,
,
,
,
,portanto 
 r1
2
2
1
2
1
2
1= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
µ µ 
ou 
 µ =
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
r
r
1
4
1
2
1
2 (c) 
 Como r1 = 0,8333, a equação (c) produz µ = 0,1345 e m1 = m2/ µ = 14,870 kg. 
 O limite inferior especificado para Ω1 é 2000 rpm = 209,44 rad/seg , portanto 
 r1
1
2
209 44
314 16
0 66667= = =
Ω
ω
,
,
, 
 Com este valor de r1, a equação (c) produz µ = 0,6942 e m2 = µ m1 = 10,323 kg. 
 Com este novo valor de µ, a segunda frequência natural pode ser obtida por 
 r2
2
2
1
2
1
2
1 2 2497= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− =
µ µ , 
 122 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
resultando em Ω2 = 4499,4 rpm, que é maior que o limite superior especificado de 4000 rpm. A rigidez da mola do 
absorvedor é, então dada por 
 123 
m ( ) ( )k m2 22 2
2 6314 16 10 323 1 0188 10= = = ×ω , , , N /
5.7.2 - Absorvedor Amortecido 
 O absorvedor dinâmico descrito na seção 5.7.1 remove o pico original de ressonância na curva de resposta em 
frequência da máquina mas introduz dois novos picos. Se for necessário reduzir a amplitude de vibração da máquina 
em uma faixa de frequência, se deve usar um absorvedor dinâmico amortecido como o mostrado na Fig. 5.16. 
 As equações do movimento das duas massa são 
 (5.56) 
( ) ( )
( ) ( )
m x k x k x x c x x F t
m x k x x c x x
1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 0
2 2 2 2 1 2 2 1 0
&& & & sen
&& & &
+ + − + − =
+ − + − =
ω
 
F0senωt Máquina (m1)
Isolador (k1)
k2
 m2
x2(t)
x1(t)
Absorvedor
dinâmico
Base rígida
c2
 
Figura 5.16 - Absorvedor dinâmico amortecido. 
 Assumindo solução harmônica na forma 
 (5.57) ( )x t X t jj j= sen ,ω , 1 2=
se obtém as amplitudes 
 
( )
( )( )[ ] ( )
( )
( )
X
k m i c F
k m k m m k k i c k m m
X
X k i c
k m i c
1
2 2
2
2 0
1 1
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 1 1
2
2
2
2
1 2 2
2 2
2
2
=
− +
− − − − + − −
=
+
− +
ω ω
ω ω ω ω ω
ω
ω ω
ω
 (5.58) 
 Definindo δ ω ωst
F
k
k
m
k
m= = =
0
1
1
2 1
1
2
2 2
2
, , , 12
2
11
2 2 com , , ωζ
ω
ω
ω
ω
mc
c
c
=qp c
c
=== as equações 
(5.58) conduzem a 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )({ })
X q q p
q q q p q q q pst
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 1 1δ
ζ
ζ µ µ
=
+ −
− + + − − −
 (5.59) 
 A curva de stX δ1 em função de 1ωω está mostrada na Fig. 5.17 para p = 1 e µ = 1/20 para uns poucos 
valores diferentes de ζ. Para amortecimento nulo, a curva é a mesma mostrada na Fig. 5.14. Quando o amortecimento é 
 
Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade 
infinito, as duas massas estão rigidamente ligadas e o sistema se comporta como de um grau de liberdade. O principal 
efeito do amortecimento, mostrado para a curva com ζ = 0,1, é a atenuação dos picos de amplitudes nas ressonâncias. 
Isto, porém, produz um aumento das amplitudes na frequência de operação da máquina. Isto faz com que se deva tomar 
um certo cuidado quando se introduz amortecimento no sistema. 
ζ = 0
0
4
8
12
16
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
ω/ω1
X1/δst
m
m
a n
2
1
1
20
=
=ω ω
ζ = 0
ζ = ∞
ζ = 0,1
 
Figura 5.17 - Resposta em frequência do absorvedor dinâmico amortecido. 
 
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