Exercício de Matrizes Resolvidos

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Matemática: Lista de exercícios 
2º Ano do Ensino Médio – Período: 1º Bimestre 
 
Questão 1. Três amigos saíram juntos para comer no sábado e no domingo. As tabelas a seguir 
resumem quantas garrafas de refrigerante cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 
1 2 3
0 1 0
3 1 2
S
 
 

 
  
 e 
2 0 3
0 2 1
1 1 2
D
 
 

 
  
 
S refere-se às despesas de sábado e D às despesas de domingo. Cada elemento aij das matrizes nos dá 
o número de refrigerantes que i pagou a j, sendo Paulo o número 1, Sandra o número 2 e Edna o 
número 3. No sábado, por exemplo, Paulo pagou 1 refrigerante que ele próprio bebeu, 2 de Sandra e 3 
de Edna (primeira linha da matriz S). Quem bebeu mais no fim de semana? *Obs.: Paulo1ª linha, 
Sandra2ª linha e Edna3ª linha. 
Resolução: 
- Utilizando a cor azul para identificar na matriz os refrigerantes consumidos por Paulo, temos: 
2 3
1 0
1 2
1
0
3
S
 
 

 
  
 e 
0 3
2 1
1 2
2
0
1
D
 
 

 
   
Logo, pela soma destes elementos, Paulo bebeu 7 refrigerantes. 
- Utilizando a cor vermelha para identificar na matriz os refrigerantes consumidos por Sandra, 
temos: 
1 3
0 0
3 2
2
1
1
S
 
 

 
  
 e 
2 3
0 1
1 2
0
2
1
D
 
 

 
   
Logo, pela soma destes elementos, Sandra bebeu 7 refrigerantes. 
- Utilizando a cor verde para identificar na matriz os refrigerantes consumidos por Edna, temos: 
3
0
2
1 2
0 1
3 1
S
 
 

 
  
 e 
3
1
2
2 0
0 2
1 1
D
 
 

 
   
Logo, pela soma destes elementos, Edna bebeu 11 refrigerantes. 
 
Resposta: Edna com 11 refrigerantes. 
 
Questão 2. Determine a matriz X
t
, sabendo que X = 
 1 2 5
1 7 2
 
 
 
. 
Resolução: 
Dada a matriz X, ao trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz 
chamada de transposta de X, representada por X
t
 : 
t
1 1
X 2 7 .
5 2
 
 

 
  
 
 
Questão 3. Seja M = 
4 3 4
2 1 5
3 3 2
 
 
 
  
, calcule: 
a) O menor complementar dos elementos a11, a21e a31. 
Resolução: O menor complementar do elemento aij, da matriz quadrada M, é o determinante que se 
obtém de M, eliminando-se dela a linha i e a coluna j. Analogamente, temos: 
 a11 = 
4 3 4
2 1 5
3 3 2
13
 
 

 
 

  
a21 = 
4 3 4
2 1 5
3 3 2
6
 
 

 
 


 
a31 =
4 3 4
2 1 5
3 3 2
11
 
 

 
  
 
b) Os cofatores dos elementos a11, a21e a31. 
Resolução: O cofator do elemento aij, da matriz quadrada M, é Aij = (–1)
i+j
 . Dij , em que Dij é o 
menor complementar de aij. Analogamente, temos: 
A11 = (–1)
1+1
 . D11 A21 = (–1)
2+1
 . D21 A31 = (–1)
3+1
 . D31 
 = 1 . (–13) = (–1) . (–6) = 1 . 11 
 = –13 = 6 = 11 
 
 
c) O valor do determinante utilizando o Teorema de Laplace na 1ª coluna de M. 
Resolução: (i) O determinante de qualquer matriz quadrada M de ordem n é igual à soma dos 
produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos cofatores. 
De acordo com os exercícios anteriores (a) e (b), temos: A11 = –13; A21 = 6; A31 = 11. 
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace (i), temos: 
Det M = a11 . A11 + a21 . A21 + a31. A31 
 = 4 . (–13) + 2 . 6 + 3 . 11 
 = –7 
Questão 4. Qual é a inversa da matriz 
3 7
5 11
 
 
 
? 
Resolução: (i) As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são inversas (não singulares) se, e 
somente se, A . B = In , em que In é a matriz identidade de ordem n. 
(ii) Existe a inversa de M, se, e somente se, o det M  0, caso o det M = 0, então M é não inversível 
(singular). 
De acordo com (i) e (ii), temos: 
3 7 1 0
.
5 11 0 1
3 7 3 7 1 0
5 11 5 11 0 1
11
2
3 7 1 7
11 7
 
2 2
5
5 11 0 2
3 7 0 5
25 11 1
3
3
 
2
 
2 2
x y
z w
x z y w
x z y w
x
x z
y
x z
y w
z
y w
w
     
      
     
    
     
    

 
 
 
  
   
   
  

 
 
 




 
  

 
 
Questão 5. (U. F. Uberlândia-MG) Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então 
–1det( . . )
det
A B A
B
é igual a: 
( A ) 1 
( B ) –1 
( C ) det A + det B 
( D ) det (AB) 
( E ) N. D. A 
Resolução: 
–1 –1 –1det( . . ) det .det .det det .det .det 
det det det
1
.det .det
1.detdet 1.1
det d t
1
e
A B A A B A A A B
B B B
A B
BA
B B
  
   
 
Gabarito: Alternativa A.
 
Questão 6. (UFMT) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianças de ambos os 
sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz 
 
O número diário de gramas de proteínas, de gorduras e de carboidratos consumidos por cada criança e 
cada adulto é dado pela matriz 
 
A partir dessas informações, julgue os itens. 
( F ) 6000 g de proteínas são consumidos diariamente por adultos e crianças do sexo masculino. 
( F ) A quantidade de gorduras consumida diariamente por adultos e crianças do sexo masculino é 
50% menor que a consumida por adultos e crianças do sexo feminino. 
( V ) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13200 g de carboidratos. 
Resolução: Pelas simples leitura das matrizes verificamos que os dois primeiros itens são falsos. 
Provarei a veracidade do terceiro item: 
A partir da matriz 
80 120
100 200
 
 
 
 sabe-se que o número de adultos envolvidos no projeto é de 180 
(somando os elementos da 1º coluna da matriz cuja dita) e o número de crianças é de 320 (somando 
os elementos da 2ª coluna da matriz cuja dita). 
O número de carboidratos consumidos diariamente foi apresentado na terceira coluna da matriz: 
20 20
10 20
20
 30
 
 
 
. 
(i) O número de carboidratos diários consumidos pelos adultos envolvidos no projeto é obtido 
pelo produto entre o elemento a13 da matriz anterior e o número de adultos envolvidos no 
projeto. Portanto, temos: 20 . 180 = 3600 g 
(ii) O número de carboidratos diários consumidos pelas crianças envolvidas no projeto é obtido 
pelo produto entre o elemento a23 da matriz anterior e o número de crianças envolvidas no 
projeto. Portanto, temos: 30. 320 = 9600 g. 
Logo, somando (i) e (ii) obtemos o número diário (em gramas) de carboidratos consumidos pelas 
pessoas envolvidas no projeto. Analogamente, tem-se: 3600 g + 9600 g = 13200 g. 
Questão 7. Escreva na forma matricial os sistemas a seguir: 
a) 
 2
2 2 5
 5 5 1
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 b) 
 3 5 4 8
 2 2 3
 2 3 1
5 6 4
x y z t
x y z
x y z t
x y t
   

   

    
   
 
Resolução:
1 1 1 2
1 2 2 5
5
)
5 1 1
a
   
   
 
   
      
 
3 5 4 1 8
2 1 2 0 3
1 2 1 3 1
5
)
1 0 6 4
b
    
   
 
   
     
   
    
 
Questão 8. Resolva o sistema 
 6
 4
 2 1
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 pela Regra de Cramer. 
Resolução: 
Matriz dos coeficientes: Matriz Vetor: 
1 1 1 6
1 1 1 4
2 1 1 1
: 4 ( . . )
6 1 1
4 1 1
1 1 1 4
1
4
1
4
D S P D
x
Dx
x
D
   
   
   
   
      

 
 
  
 
      
 

 
 
1 6 1
1 4 1
2 1 1 12
3
4 4
1 1 6
1 1 4
2 1 1 8
4 4
 
3
2
(1, 3, ) 2
y
z
Conjunto das Solu
Dy
y
D
Dz
z
çõ s
D
e
 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
      





 
 
Atenciosamente, 
Jair Júnior.