Metodos mátimaticos

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NÃO PODE FALTAR
MATRIZES
Ricardo Puziol de Oliveira
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CONVITE AO ESTUDO
Caro aluno, quando escutamos o termo “métodos matemáticos”, é natural que o
primeiro conceito que vem em nossa cabeça é a relação com a realização de
inúmeros cálculos, às vezes até sem-fim. Mas, será que estamos corretos sobre
esse conceito? 
Para iniciar seu entendimento sobre os conceitos abordados, trabalharemos com a
ideia de matrizes, as quais são, em linguagem popular, tabelas com um gama de
dados. As matrizes são objetos matemáticos úteis para organização e manipulação
de dados computacionalmente. Após essa ênfase no conceito de matrizes,
estudaremos outro conceito que é muito comum, especialmente em modelagem:
sistemas lineares. Os sistemas lineares podem ser aplicados em diversas situações,
por exemplo, no balanceamento de equações químicas, no cálculo de lucros e
dividendos de em empresa, nos problemas de otimização, na resistência de vigas,
entre muitas outras aplicações comuns em nosso cotidiano. 
Por fim, encerraremos a unidade com o conceito de autovalores e autovetores, os
quais, em geral, são utilizados em problemas de otimização computacional e em
aplicações voltadas para a área da física em contexto de mecânica.
Para exemplificar, suponha que você tem que lidar com um problema de
construção civil, cujo objetivo é avaliar a resistência das vigas. Para resolver essa
Fonte: Shutterstock.
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questão, você, inicialmente, trabalhará com a experimentação da situação e
coletará os dados dela. A partir disso, montará a matriz com os dados. Com a
matriz em mãos, por meio de sistemas lineares e operações com matrizes, você
poderá validar a sua hipótese sobre a resistência das vigas. Esta, porém, não é a
única situação em engenharia que você pode utilizar tais conceitos. Existem muitas
outras, como predição de níveis de poluição atmosférica, na engenharia ambiental;
concentração de solventes, na engenharia química; relatórios financeiros
empresariais, no setor público ou privado; entre muitas outras aplicações. Já se
imaginou trabalhando com as matrizes e os sistemas lineares sob essa visão? Para
lhe auxiliar, aprenderemos, no decorrer desta unidade, um pouco mais sobre
esses objetos. Mãos à obra! 
PRATICAR PARA APRENDER
Nesta seção, entenderemos o conceito de matrizes e determinantes por meio de
exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si. Com isso, você
compreenderá a importância do papel das matrizes quando se trata de dados
dispostos em tabelas e como realizar operações com esses dados.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma experimentação de
resistência de vigas de uma construção civil, em que se obteve os valores das
componentes das forças para cada uma das realizações do experimento. Os dados
foram todos dispostos em tabelas, as quais, por sua vez, podem ser dispostas em
matrizes para realização de cálculos, a fim de se atingir o objetivo da pesquisa ou
do trabalho, que pode ser, por exemplo, o tempo total gasto para realização do
experimento ou a escala das forças consideradas nele. Portanto, o uso de
operações utilizando-se o conceito de matriz permite um melhor entendimento e
interpretações do experimento em questão.
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso de matrizes no dia a
dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia.
Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma verificação do
último relatório bimestral de uma empresa de construção civil no ano de 2020 em
relação às vendas de cimento e cal. Os dados de venda da empresa são descritos
pela matriz:
Cada elemento  dessa matriz representa o número de unidades dos produtos do
tipo i (i = 1). A representação do cimento (i = 2) e a representação da cal vendidos
no mês j (j = 1) representam novembro, e j = 2 representa dezembro. De acordo
V = [ ] 1510   1960
 1375   2015
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com as exigências, foi-lhe pedido para verificar as seguintes questões:
1.  Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior diferença
de vendas entre os produtos nos meses correspondentes?
2.  Qual foi a arrecadação bruta da empresa no bimestre com esses dois tipos de
produtos, se o pacote de cimento custa R$30,00 e o pacote de cal custa R$50,00?
Qual foi a arrecadação bruta de cada mês?
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o
processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de matrizes, para que você
possa entender a relação delas com a disposição de dados em tabelas e como
realizar operações. 
CONCEITO-CHAVE
Ao estudar métodos matemáticos, deparamo-nos com diversos conceitos. Nesta
seção, abordaremos um conceito usual em muitas áreas do conhecimento, o
conceito de matrizes. As matrizes são essenciais para muitos problemas, não
apenas porque elas “ordenam e simplificam” mas também porque oferecem novos
métodos de resoluções e novos olhares sobre o problema.
Neste aspecto, entende-se por uma matriz uma tabela de elementos dispostos em
linhas e colunas. Por exemplo, ao coletarmos dados referentes às concentrações
de pH do rio Columbia no primeiro trimestre dos anos de 2013 a 2015, podemos
dispô-los na Tabela 1.1 a seguir.
Tabela 1.1 | Concentrações de pH do rio Columbia de acordo com a estação de monitoramento de água
Umatilla do estado de Washington, nos Estados Unidos, no período de 2013 a 2015
Mês Período
2013 2014 2015
Janeiro 8,12 7,97 8,01
Fevereiro 8,10 8,12 8,02
Março 8,18 8,08 8,10
Fonte: https://bit.ly/384JRCT. Acesso em: 20 jan. 2021.
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, obtemos a seguinte matriz:
⎡⎢⎣8,12   7,92   8,01
8,10   8,12   8,02
8,18   8,08   8,10
⎤⎥⎦ 0
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https://bit.ly/384JRCT
REFLITA
Quando temos uma tabela com uma enorme quantidade de linhas e
colunas, isto é, diversas variáveis, é viável a disposição desses dados em
forma de matriz?
Uma questão que você pode estar se perguntando é: quais são os elementos que
as matrizes podem incorporar? Na primeira impressão, pode parecer que as
matrizes incorporam apenas números, porém elas podem incorporar muitos
outros elementos, por exemplo, funções, matrizes, números complexos etc. De
fato, considere a matriz:
Essa matriz contém em suas entradas números complexos e equações/funções
algébricas. Logo, uma matriz pode também conter uma combinação de elementos
de natureza diferente, não sendo exclusivamente formada por apenas números.
Outro fator importante quando se trabalha com matriz é a representação dela em
termos algébricos. Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:
Em que a letra maiúscula representa a matriz, o subscrito m x n representa a
ordem da matriz e o termo  representa a posição do elemento da matriz. Além
disso, uma matriz é sempre escrita entre colchetes, parênteses ou duas barras. 
ASSIMILE
Sejam  dois números inteiros. Uma matriz A de ordem  é uma dupla
sequência de números reais distribuídos em m linhas e n colunas,
formando a seguinte estrutura:
Cada entrada que compõe uma matriz chama-se de termo dessa matriz, e o
termo  é dito termo geral dessa matriz.
Quando se fala de matriz, uma propriedade que merece destaque é a de igualdade
de matrizes. Diremos que duas matrizessão iguais se elas têm necessariamente o
mesmo número de linhas e colunas e seus termos correspondentes são todos
iguais.
[ ]
2 − 7i    3x3
x2 + 2    − i
Am×n= = [αij]m×n
⎡⎢⎣α11   …   α1n
 ⋮     ⋱    ⋮
αm1  ⋯  αmn
⎤⎥⎦ m × n
Am×n=
⎡⎢⎣α11   …   α1n
 ⋮     ⋱    ⋮
αm1  ⋯  αmn
⎤⎥⎦[αij]mxn
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EXEMPLIFICANDO
Considere as matrizes de concentrações de pH de dois rios aleatórios:
Note que, embora os números apresentados em ambas as matrizes sejam
iguais, as matrizes não são iguais, pois o número de linhas e colunas são
diferentes e os elementos na posição correspondente também são
diferentes.
Uma segunda propriedade das matrizes é a operação de adição de matrizes. Por
exemplo, consideramos a Tabela 1.2 e a Tabela 1.3, as quais descrevem a produção
de materiais de construção em dois anos consecutivos em três regiões brasileiras.
Tabela 1.2 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no primeiro ano
Cimento Tijolo Cal Madeira
Região Sul 3000 200 400 600
Região Norte 700 350 700 100
Região Central 1000 100 500 800
Fonte: elaborada pelo autor.
Tabela 1.3 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no segundo ano
Cimento Tijolo Cal Madeira
Região Sul 5000 50 200 0
Região Norte 2000 100 300 300
Região Central 2000 100 600 600
Fonte: elaborada pelo autor.
Suponha que nosso interesse seja descrever uma tabela que nos dê a produção
por material de construção e por região nos dois anos conjuntamente. Como
procederemos? Ora, neste caso, partimos da operação conhecida como adição de
matrizes. Para realizá-la, devemos verificar se ambas as tabelas têm o mesmo
A =
⎡⎢⎣7,12   7,97
8,01   8,10
8,12   8,02
⎤⎥⎦B = [ ]
7,12   7,97   8,01
8,10   8,12   8,02
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número de linhas e de colunas. No nosso exemplo, essa condição é satisfeita.
Logo, basta somar os elementos correspondentes e teremos a resposta para nosso
objetivo! Assim: 
Portanto, a produção por material de construção e por região nos dois anos
conjuntamente é descrita pela Tabela 1.4.
Tabela 1.4 | Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) nos dois anos
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) nos dois
anos
Cimento Tijolo Cal Madeira
Região Sul 8000 250 600 600
Região Norte 2700 450 1000 400
Região Central 3000 200 1100 1400
Fonte: elaborada pelo autor.
ASSIMILE
A soma de duas matrizes de mesma ordem  e 
 é uma matriz de ordem m x n denotada por 
, cujos elementos são obtidos da soma dos
elementos correspondentes entre as matrizes A e B.
Além da adição e da igualdade de matrizes, duas outras operações são comuns ao
estudarmos matrizes: a multiplicação de um escalar (número) por uma matriz e a
multiplicação de matrizes. Ambas as operações podem ser definidas formalmente
como: 
Definição: seja  uma matriz de ordem m x n e k um número,
podemos definir a matriz  , a qual define a operação de
multiplicação de uma matriz por um escalar.
Definição: sejam  e  , definimos a multiplicação
da matriz A pela matriz B como sendo a matriz  , em que: 
.
A + B = + =
⎡⎢⎣3000   200   400   600
  700   350   700   100
1000   100   500   800
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣5000    50    200     0
2000   100   300   300
2000   100   600   600
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣8000   250    600     600
2700   450   1000    400
3000   200   1100   1400
Am×n = [aij]m×n
Bm×n = [bij]m×n
A + B = [aij + bij]m×n
Am×n = [aij]m×n
k ⋅ A = [kaij]m×n
Am×n = [aij]m×n
Bn×p = [brs]n×p
AB = [cuv]m×p
cuv = ∑n
k aukbkv = au1b1p + ⋯ + aunbnv
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A primeira operação definida é relativamente simples, pois basta multiplicar o
número por cada elemento da matriz. Quanto à segunda operação, devemos
tomar um certo cuidado com ela. Por quê? Vamos ver algumas observações do
produto de matrizes:
•  Só podemos multiplicar duas matrizes A e B se o número de colunas de A for
igual ao número de linhas de B.
•  O elemento  é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira
matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e
somando-se esses produtos.
•  O produto AB das matrizes A e B geralmente é diferente do produto BA das
matrizes B e A. Além disso, em qualquer um dos casos, o produto pode não existir.
Para exemplificar essa operação, consideraremos a matriz A, que representa o
quadro com o número de engenheiros de uma construção civil, e B como uma
matriz que representa o número de projetos disponíveis em cada área da
empresa, em que:
Suponha que o interesse seja multiplicar ambos os quadros, a fim de monitorar os
recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros. Neste caso,
queremos trabalhar com o produto da matriz A com a matriz B. Isto é,
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B,
podemos realizar o produto, e o resultado é uma matriz dada pelo número de
linhas de A com o número de colunas de B, isto é, a ordem da matriz resultante é .
Assim:
Portanto, a matriz que representa os recursos para a disposição dos projetos
associados aos engenheiros da empresa é dada por:
Agora que sabemos algumas das operações básicas de matrizes, interessa-nos
A =
⎡⎢⎣2   1
4   2
5   3
⎤⎥⎦B = [ ]
1   1
0   4
R = AB = ⋅ [ ]
⎡⎢⎣2   1
4   2
5   3
⎤⎥⎦ 1   1
0   4
R = AB = ⋅ [ ] = =
⎡⎢⎣2   1
4   2
5   3
⎤⎥⎦ 1   1
0   4
⎡⎢⎣2  ⋅  1 + 1  ⋅  0   2  ⋅  1 + 1  ⋅  4
4  ⋅  1 + 2  ⋅  0   4  ⋅  1 + 2  ⋅  4
5  ⋅  1 + 3  ⋅  0   5  ⋅  1 + 3  ⋅  4 
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣2    6
4   12
5   17
⎤⎥⎦R =
⎡⎢⎣2    6
4   12
5   17
⎤⎥⎦ 0
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saber quais são os tipos de matrizes que podemos encontrar em nossas situações-
problema. Dos tipos conhecidos de matrizes, destacaremos dez deles:
1.  Matriz quadrada: é um tipo de matriz em que o número de linhas é igual ao
número de colunas.
2.  Matriz nula: é aquela matriz em que todos seus termos são nulos.
3.  Matriz coluna: é o tipo de matriz formada apenas por uma coluna.
4.  Matriz linha: é aquela matriz que é formada por apenas uma linha.
5.  Matriz diagonal: é aquela matriz quadrada, em que todos os elementos fora da
diagonal são nulos.
6.  Matriz identidade: é um tipo de matriz quadrada, em que todos os elementos
da diagonal são iguais a um, e os elementos fora da diagonal são iguais a zero.
7.  Matriz triangular superior: é aquela matriz quadrada, em que todos os
elementos abaixo da diagonal são nulos.
8.  Matriz triangular inferior: é aquela matriz quadrada, em que todos os
elementos acima da diagonal são nulos.
9.  Matriz simétrica: é aquela matriz quadrada, em que se tem .
10. Matriz transposta: é a matriz obtida da operação, em que, dada uma matriz A,
obtém-se uma matriz A’, tal que as linhas de A’ são as colunas de A.
[ ]
1    1
2    3
[ ]
0    0
0    0
[ ]
1
2
[3   − 1    2]
⎡⎢⎣8    0    0
0    2    0
0    0    1
⎤⎥⎦[ ]
1    0
0    1
⎡⎢⎣8    2    1
0    2    3
0    0    1
⎤⎥⎦⎡⎢⎣8    0    0
1    2    0
3    5    1
⎤⎥⎦⎡⎢⎣ 8   5  -1
 5   2   0
-1   0   1
⎤⎥⎦ 0
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Agora que conhecemos os tipos de matrizes e as operações básicas em relação às
matrizes, podemos definir o que é um determinante de uma matriz. Esse conceito
será útil nas seções posteriores na solução de sistemas lineares envolvendo
algumas situações do cotidiano.
O que é determinante? Ora, quando nos referimos a esse termo, estamos nos
referindo a um número associado a uma matriz quadrada A. Esse número é
denotado como det(A) ou |A|. Mas, como encontra-se esse valor? Depende do
tamanho da nossa matriz. Nesta seção, trabalharemos com determinantes de
matrizes até a ordem . Vamos lá?
Para as matrizes de ordem 1x1, não temos nenhum cálculo associado ao
determinante, uma vez o que ele será o próprio elemento da matriz. No entanto,
para uma matriz de ordem 2x2, o cálculo do determinante é feito realizando o
produto dos elementos da diagonal principal subtraindo o produto dos elementos
da diagonal secundária. Em termos matemáticos, temos:
Para as matrizes , o cálculo é feito da mesma maneira? Não necessariamente.
Neste caso, utilizamos a regra de Sarrus para realizar o cálculo. Por esta regra,
adicionamos duas novas colunas na matriz inicial, repetindo os valores das duas
primeiras colunas. Agora temos três diagonais principais e três secundárias.
Procedemos, então, da mesma forma do determinante . Em termos matemáticos,
fazemos:
Com isso, encerramos a nossa primeira seção sobre os conceitos básicos e
fundamentais de matrizes e determinantes, além das operações com esses
objetos. Tais conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no
trabalho proposto no início da unidade, especialmente para organização de dados.
FAÇA VALER A PENA
t
= ( )
⎛⎜⎝2 2
4 4
5 7[ ]
⎞⎟⎠ 2 4 5
2 4 7
det [ ] = a11  ⋅  a22 − a12  ⋅  a21
a11    a12
a21    a22
det =
⎛⎜⎝⎡⎢⎣a11    a12    a13
a21    a22    a23
a31    a32    a33
⎤⎥⎦⎞⎟⎠ ⎡⎢⎣a11    a12    a13
a21    a22    a23
a31    a32    a33
⎤⎥⎦a11    a12    
a21    a22    
a31    a32
= a11  ⋅  a22  ⋅  a33 + a12  ⋅  a23  ⋅  a31 +  a13  ⋅  a21  ⋅  a32 −  a11  ⋅  a23  ⋅  a32 −  a12  ⋅  a21 
⋅ a33 −  a13  ⋅  a22  ⋅  a31
Questão 1
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Suponha que uma certa indústria química fez uma análise de qualidade de água
em três anos consecutivos de quatro tratamentos indicados pelo órgão de
controle. Cada tratamento foi avaliado no potencial de remoção de um
determinado agente tóxico (em g/L) da água. Os dados obtidos sobre a
concentração removida em cada tratamento são expressos pela seguinte tabela:
2017 2018 2019
Tratamento A 20 55 50
Tratamento B 10 47 20
Tratamento C 18 38 70
Tratamento D 27 15 15
Fonte: elaborada pelo autor.
Com base nos tópicos abordados na seção e na tabela apresentada, pode-se
afirmar que:
a.  O tratamento mais eficiente no ano de 2019 foi o tratamento A, uma vez que a maior concentração
removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita no exercício.
b.  O tratamento mais eficiente no ano de 2018 foi o tratamento C, uma vez que a maior concentração
removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita no exercício.
c.  O tratamento mais eficiente no ano de 2017 foi o tratamento B, uma vez que a maior concentração
removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita no exercício.
d.  O tratamento mais eficiente no ano de 2018 foi o tratamento D, uma vez que a maior concentração
removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita no exercício.
e.  O tratamento mais eficiente no ano de 2019 foi o tratamento C, uma vez que a maior concentração
removida é descrita pelo elemento  da matriz, que representa a tabela descrita no exercício.  
Questão 2
Após a conferência de um relatório financeiro de uma empresa, foi-lhe solicitado
um pedido de compra de material de construção civil. De acordo com seu chefe,
você deveria comprar: 40 toneladas do produto A, 50 toneladas do produto B e 60
toneladas do produto C. O custo dos produtos A, B, C é, por tonelada, R$ 5.000, R$
4.000 e R$ 2.500, respectivamente.
Usando multiplicações de matrizes, é correto afirmar que:
a.  O custo total da compra dos produtos é R$ 550.000.
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REFERÊNCIAS
BORGES, R. S.; SOUZA, L. F. M.; CRUZ, P. G. G.; VANCONCELOS, B. S. Aplicação de
matrizes no cotidiano de um engenheiro. In: COLÓQUIO ESTADUAL DE PESQUISA
MULTIDISCIPLINAR, III, 2018, Mineiros. Anais [...]. Mineiros, GO: UNIFIMES, 2018.
b.  O custo total da compra dos produtos é R$ 750.000.
c.  O custo total da compra dos produtos é R$ 250.000.
d.  O custo total da compra dos produtos é R$ 350.000.
e.  O custo total da compra dos produtos é R$ 450.000.  
Questão 3
As aplicações de matrizes vão desde a física até a economia, ou até mesmo a
biologia. Partindo da natureza dessas aplicações, considere uma situação de
colisão entre dois carros. Assumindo um sistema de coordenadas cartesianas, as
posições desses carros são descritas pelos pontos A = (1,2) e B = (5, 1). Em termos
de física, para entender como ocorreu tal colisão, é necessário entender a
trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
Com base nesse contexto, assinale a alternativa correta:
a.  A trajetória em questão é descrita pela equação 5x+4y-9=0.
b.  A trajetória em questão é descrita pela equação x-2y-1=0.
c.  A trajetória em questão é descrita pela equação x+4y-9=0.
d.  A trajetória em questão é descrita pela equação x-4y+15=0. 
e.  A trajetória em questão é descrita pela equação 15x+3y-9=0. 
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