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Sobre a autora Vivianne Rosestolato D. Pereira Tannus A autora deste caderno de estudos é a professora Vivianne Rosestolato Daruich Pereira Tannus, brasileira, natural de Porciúncula/RJ, Bacharel em Engenharia Civil pela Faculdade Redentor (REDENTOR, 2014/01), Mestre em Engenharia e Ciência dos Materiais pela Universidade Estadual Norte Fluminense (LAMAV/UENF, 2016), Especialista em Docência do Ensino Superior (REDENTOR, 2015). É professora da Faculdade Redentor, nos polos Itaperuna e Campos dos Goytacazes desde 2014, nos cursos de Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica, Arquitetura e Serviço Social. Tem experiência nas disciplinas de Introdução ao Cálculo, Geometria Descritiva, Geometria Analítica, Física I, Física II, Probabilidade e Estatística aplicada à Engenharia, Bioestatística, Cálculo III, Resistência dos Materiais, Topografia, Sistemas Isostáticos, Mecânica Geral e Aplicada, Estruturas Metálicas e Madeira, Sistemas Hiperestáticos I e II. Possui experiência em EaD. Atua como Engenheira Civil como projetista e responsável técnica. Apresentação Olá, querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! Iniciando sua formação em Engenharia, você tem um novo desafio nas disciplinas do ciclo profissional. Nossa disciplina intitula-se Sistemas Hiperestáticos I e aborda alguns tópicos que são ferramentas importantes para a formação profissional na área de Engenharia. Esses tópicos englobam, por exemplo, a análise de deslocamentos em pontos específicos em estruturas Isostáticas. Nesta disciplina, aprenderemos também métodos de obtenção de reações de apoio em sistemas hiperestáticos planos e espaciais, bem como a influência das propriedades dos materiais nessas grandezas. É importante frisar que neste caderno, você encontrará o básico dos conceitos necessários para iniciar projetos civis de estruturas reais. Vale ressaltar que será muito importante consultar as bibliografias referenciais, além de outras que forem recomendadas. Acima de tudo, você deverá praticar muito. A disciplina foi dividida em dezesseis aulas, contendo exemplos e atividades a serem resolvidas, sendo importante você manter uma constância em seus estudos. Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você considerar importantes para sua aprendizagem. Não esqueça: aprender Sistemas Hiperestáticos (HIPER I) requer dedicação e prática de exercícios! Então, foque nos conceitos abordados e pratique bastante! Lembre-se de que disciplinas ligadas à matemática e física possuem inúmeras formas de resolução, além de uma grande variabilidade de situações que podem ser influenciadas por detalhes na estrutura. Desta forma, quanto mais exemplos forem resolvidos, maior será sua capacidade de solucionar casos e até mesmo prever o comportamento da estrutura. . . . Bons estudos! Objetivos Sistemas Hiperestáticos I é uma das disciplinas que compõem o ciclo profissional da Engenharia, na área de análise estrutural. Seu objetivo é analisar solicitações e deformações em estruturas planas hiperestáticas. O conhecimento fornecido nesta disciplina possibilita ao aluno a compreensão de conceitos estruturais, além de embasar escolhas de sistemas de sustentação em situações reais. Este caderno de estudos tem como objetivos: Analisar quadros, treliças e grelhas planas e espaciais; Perceber a taxa de variação de momento fletor na estrutura, através de funções matemáticas; Analisar a influência da geometria da estrutura no deslocamento provocado por esforços externos; Analisar a influência da elasticidade do material que compõe a estrutura no deslocamento provocado por esforços externos; Analisar os possíveis deslocamentos em pontos da estrutura que permitem os mesmos; Avaliar a necessidade dos tipos de vínculos para diversas situações; Determinar as solicitações em todos os elementos estruturais de uma estrutura hiperestática; Determinar as reações de apoio devido a cargas externas em estruturas hiperestáticas; Interpretação e solução de problemas espaciais nas demais disciplinas do curso; Capacitar o acadêmico na habilidade de interpretação e resolução de problemas concretos e abstratos, aumentando sua visão espacial, integrando conhecimentos multidisciplinares e viabilizando a representação de figuras associadas a novos padrões e técnicas de resolução. Sumário AULA 1 – FUNÇÕES DE CURVA 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 11 1.1 Funções de Curvas ......................................................................................... 11 1.2 Diagrama de Motor Fletor .............................................................................. 14 AULA 2 - TIPOS DE ESTRUTURAS E SUAS APLICAÇÕES 2 CONCEITO BÁSICO DE ANÁLISE ESTRUTURAL .......................................................... 28 AULA 3 - DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÃO DAS ESTRUTURAS 3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 38 3.1 Estados de Deformação e Carregamento .................................................... 38 AULA 4 - DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 4 MÉTODO DE DESLOCAMENTO (CONTINUAÇÃO) .................................................... 47 4.1 Funções e Sobreposição dos Esforços .......................................................... 47 AULA 5 - ROTAÇÃO 5 MÉTODOS DOS DESLOCAMENTOS ........................................................................... 58 5.1 Análise de Rotação ........................................................................................ 58 AULA 6 - DESLOCAMENTO VERTICAL 6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 68 AULA 7 - TRANSLAÇÃO VERTICAL, HORIZONTAL E ROTAÇÃO 7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 77 7.1 Cálculo Dos Três Deslocamentos Possíveis Em Um Determinado Ponto .... 77 AULA 8 - REVISÃO 8 REVISÃO – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ........................................................... 85 AULA 9 - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 9 ESTRUTURAS ............................................................................................................... 94 9.1 Estruturas Hipostáticas .................................................................................... 95 9.2 Estruturas Isostáticas ....................................................................................... 96 9.3 Estruturas Hiperestáticas ................................................................................. 97 9.4 Grau De Hiperestaticidade ............................................................................ 99 AULA 10 - MÉTODO DAS FORÇAS 10 MÉTODO .................................................................................................................. 105 10.1 Método das Forças ...................................................................................... 105 10.2 Metodologia de Cálculo ............................................................................. 105 AULA 11 - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES 11 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES .................................................................. 129 AULA 12 - MÉTODOS DAS FORÇAS (CONTINUAÇÃO) 12 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS ............................................................. 152 AULA 13 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 13 VIGASHIPERESTÁTICAS – MÉTODO DAS FORÇAS ................................................. 175 AULA 14 - ESTRUTURAS SIMÉTRICAS 14 INTRODUÇÃO ESTRUTURAS SIMÉTRICAS ................................................................. 184 AULA 15 - Efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas 15 INTRODUÇÃO EFEITOS DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ................................................................................................................ 197 AULA 16 - EFEITOS DA OCORRÊNCIA DE RECALQUES DE APOIO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 16 EFEITOS DA OCORRÊNCIA ...................................................................................... 200 16.1 Edifício Nuncio Malzoni ............................................................................... 203 Iconografia Funções de curva Aula 1 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, veremos alguns conceitos já estudados anteriormente em outras disciplinas e que se fazem importantes para o desenvolvimento e compreensão desta. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Relembrar conceitos de funções de reta. Relembrar conceitos de funções de parábolas. Descrever diagramas de momento fletor em funções e seus limites. Determinar reações de apoio em estruturas isostáticas. Determinar diagramas de momento fletor em estruturas isostáticas. P á g i n a | 11 1 INTRODUÇÃO Sempre que pensamos em Engenharia Civil nos vem à mente a palavra CÁLCULO. E realmente, pode ser utilizada na maioria das vezes para definir objetivos das disciplinas deste curso. O cálculo estrutural é a coluna cervical da engenharia e, para que possamos desenvolver todos os conceitos necessários de maneira fácil e rápida, faremos uma revisão dos conteúdos pertinentes aos nossos assuntos desta disciplina. 1.1 Funções de Curvas O primeiro conteúdo a ser revisado será a respeito de funções. Nosso processo de cálculo estrutural requer que os gráficos de esforços solicitantes sejam descritos em forma de funções, barra a barra. Por exemplo, vamos analisar o Diagrama de Momento Fletor da Figura 1 abaixo: Figura 1: Pórtico Plano com solicitações externas e DMF. Fonte: AUTOR (2018) P á g i n a | 12 É necessário que cada elemento estrutural do pórtico tenha seu momento fletor descrito por uma função. Para facilitar o entendimento, numeramos as barras da maneira que acharmos melhor (Figura 2). Neste caso usaremos a coluna da esquerda como Barra 1 (B1), a viga como Barra 2 (B2) e a coluna da direita como Barra 3 (B3). Assim, separando os elementos: Agora, vamos analisar cada barra e suas respectivas funções. Como convenção, vamos adotar as dimensões das barras como dados do eixo x e os valores de momento, dados do eixo y. Adotaremos também a origem dos eixos sempre como o ponto inicial da estrutura, analisando da esquerda para a direita e de baixo para cima (Figura 3). Para B1 temos: Para x = 0, ou seja, o início do elemento estrutural tem um momento nulo. Assim, o par ordenado fica (0; 0) Para x = 5, ou seja, o fim do elemento estrutural, temos um momento com valor +300 kN.m. Assim, o par ordenado fica (5; 300) P á g i n a | 13 Substituindo os valores na equação da reta y = ax + b, temos: Agora, é só substituir os valores de a e b na equação da reta! Assim, a função que descreve a variação do momento na Barra 1 fica: y = 60x Para curvas de segundo grau, utilizaremos o método de integração para descrever a função. O processo é bem simples e consiste em uma simples substituição de valores na fórmula 𝒚 = ∫(−𝑸𝒙 + 𝑽𝑨)𝒅𝒙, onde Q é o valor do carregamento distribuído que deu origem à parábola e VA é o valor da reação vertical do apoio da esquerda. Substituindo e integrando, temos: Esta etapa requer uma atenção especial para identificar o valor de c. Sabemos que o termo independente de uma função revela o ponto em que a curva toca o eixo y. Assim, o valor de c sempre será o primeiro valor de momento do elemento em análise, considerando o sinal do gráfico. Para este exemplo, temos como momento inicial o valor de 300kN.m. Assim, a função que descreve a variação do momento na Barra 2 fica: 𝒚 = −𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑𝟎𝟎 P á g i n a | 14 Para x = 0, ou seja, o início do elemento estrutural, temos um momento com valor de +120 kN.m. Assim, o par ordenado fica (0; 120). Para x = 2, temos um momento com valor nulo. Assim, o segundo par ordenado fica (2; 0). Note que no trecho x de 2m a 3m, não há gráfico de momento. Em casos como este, a seção nula é excluída e não é necessária uma função para descrevê-la. Assim: 120 = 0*a + b b = 120 0 = 2*a + 120 a = -60 Assim, a função que descreve a variação do momento na Barra 3 fica: y = - 60x + 120. É importante ressaltar que esta é uma das inúmeras formas de se descrever funções de curvas. O aluno tem total liberdade para utilizar a forma que desejar para a obtenção das equações das curvas, desde que alcance a função adequada para cada elemento. Dicas de leitura sobre funções de curvas: <http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/ 9788581430966/pages/-22>. 1.2 Diagrama de Motor Fletor O segundo item a ser revisado é a obtenção dos diagramas de momento fletor. Aqui serão vistas as convenções utilizadas e o cálculo de momento ponto a ponto. Em uma estrutura, são necessários valores de momento em pontos críticos existentes. Estes pontos são caracterizados por elementos estruturais ou solicitações que modificam os valores de momento. São eles: vínculos de apoio, rótulas, cargas concentradas, início e fim de carregamentos distribuídos, nós rígidos entre outros não tão frequentes. Vamos tomar um exemplo para demonstrar como serão feitos o processo de cálculo e as convenções. Seja o pórtico da Figura 6: http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788581430966/pages/-22 http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788581430966/pages/-22 P á g i n a | 15 Primeiro passo: calcular as reações de apoio Temos no apoio A uma reação vertical que será chamada de VA e, em B, duas reações. Uma horizontal que será nomeada HB e uma vertical, VB. Como sabemos que a reações de apoios são responsáveis pelo equilíbrio das solicitações, é conveniente que sejam arbitradas sempre em sentido contrário às ações. Assim, como mostra a Figura 7, nossa estrutura fica convencionada desta forma: P á g i n a | 16 Observação: nesta etapa de cálculo do somatório de momento, o aluno pode escolher qual sentido de giro será considerado positivo, sem qualquer alteração de resultados. Será utilizado neste caderno o sentido horário positivo. Esta escolha pode ser feita por ser tratar de um somatório de todo o momento da estrutura em relação a um ponto. É importante lembrar que este somatório sempre é nulo. Assim, tomando um sentido como positivo tudo que for contrário será negativo e a conta será anulada independente da convenção. É importante observar que as reações foram calculadas todas como positivas. Isso se dá pelo fato de que o sentido dos vetores está correto. Assim, toda reação obtida com sinal negatvo significa que o sentido está invertido. Com as reações devidamente calculadas, iniciaremos o processo de cálculo de momento nos pontos críticos, previamente assinalados pelas letras de A até G (Figura 8). Alguns conceitos básicos de momento simplificam o processo de obtenção dos valores de momento. Vejamos inicialmente os casos dospontos A e B. P á g i n a | 17 São dois apoios rotulados em extremidade. Esta característica garante que o valor de momento nesses dois pontos seja ZERO. Mas por quê? Sabemos que o momento em qualquer ponto da estrutura possui o mesmo valor quando calculado à direita e à esquerda do ponto, ou seja, antes e depois da posição analisada. Um apoio rotulado não possui reação de momento, assim, não tem um momento concentrado neste vínculo. O que poderia gerar momento em um apoio rotulado seriam as cargas aplicadas fora deste ponto. O ponto A por ser um extremo, não possui nenhum elemento estrutural localizado antes dele, ou seja, nenhuma solicitação capaz de gerar momento naquele ponto. Assim, todo momento gerado pelo conjunto de forças situados depois do ponto será anulado. O mesmo caso ocorre no ponto B. Assim, para facilitar o processo, sempre que houver apoio de primeiro ou segundo gênero em extremidade da estrutura, o valor do momento neste ponto será zero, a não ser que haja uma carga externa de momento aplicado neste ponto. P á g i n a | 18 Analisaremos agora pontos em que se pode ter certeza de momento nulo. Esta análise é feita a partir do conceito citado anteriormente, a respeito da igualdade do momento quando calculado antes e depois do ponto. Buscando na estrutura, encontramos o ponto C. Ao observarmos a estrutura abaixo (antes ou à esquerda) do ponto C, verificamos que não existe nenhuma solicitação capaz de gerar momento neste ponto. Assim, podemos confirmar que o valor do momento em C é ZERO. Nos demais pontos é necessário o cálculo de momento fletor. Então, já temos: MA = MB = MC = 0 Cálculo do momento no ponto D: Vamos utilizar sempre o critério da igualdade de momento antes e depois do ponto, buscando sempre a parte mais simples para realização do cálculo. Observando o esquema da Figura 9, é possível perceber claramente que a estrutura situada antes do ponto em análise é bem mais simples do que a localizada à direita do ponto. Assim, podemos calcular o momento em D somente pela parte à esquerda (ou abaixo) do ponto. Para convenção de sinais de diagramas de momento, utilizaremos um processo bastante simples. Quando analisarmos colunas, toda carga que “deslocar” a coluna para dentro da estrutura P á g i n a | 19 será considerada como geradora de momento negativo. Desta forma, toda solicitação que “deslocar” a coluna para fora, provocará um momento positivo. Esta técnica pode ser utilizada em qualquer caso, analisando pela direita ou pela esquerda, além de garantir sempre o menor processo de cálculo possível em cada situação. Analisando a coluna AD (Figura 10), observamos que a única carga que gera momento em D é a de 40kN. Esta carga tende a deslocar a coluna para “dentro” da estrutura, gerando assim um momento negativo. Pelo mesmo processo, vamos obter o momento no ponto E. Neste caso será mais simples analisar a estrutura depois do ponto E, ou seja, à direita, pois é composta somente por uma coluna. Assim, ME = -20*1 – HB*5(deslocando a coluna para dentro da estrutura) + 20*3 (“abrindo a estrutura”) ME = -160 kN.m MF (pela direita) = 20*2 – HB*4 = -120kN.m MG (pela direita) = -HB*2 = -80kN.m Com os valores de momento obtidos, é só ligar os pontos no gráfico de acordo com a carga que dá origem aos momentos (Figura 11). P á g i n a | 20 Resumo Prezado aluno, nesta aula abordamos: Formas simplificadas de se obter funções de reta; Método de integração de cortante para obtenção de parábolas relativas ao DMF; Como se determina reações de apoio em pórticos isostáticos; Como se traça um DMF de maneira simples utilizando a convenção de sinais proposta. Além disso, você aprendeu que um diagrama de esforço solicitante pode ser descrito em formas de funções. Percebeu que reações de apoio verticais nem sempre precisam ser utilizadas para o cálculo de um diagrama de momento fletor. Referências Bibliográficas Básica: SUSSEKIND, José Carlos; SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural–Estruturas Isostáticas. Editora Globo, 1980. SUSSEKIND, JOSE CARLOS. Curso de Analise Estrutural. vol. I, Ed. Globo, SE10 Paulo, 1991. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – Vol. 2: Deformações em Estruturas, Método das Forças–Vol. 3: Método das Deformações, Processo de Cross. 1977. AULA 1 Exercícios 1) Determinar, para os pórticos a seguir, as reações de apoio, os diagramas de momento fletor e as funções que descrevem a variação do momento em cada elemento estrutural. AULA 1 Exercícios AULA 1 Gabarito B1: y = -20x B1A: y = -30x B1A: y = 20x B2: y = -5x² + 15x – 40 B1B: y = -60 B1B: y = 40x - 60 B3: y = 20x - 60 B2: y = -10x² + 62x - 60 B2: y = -15x² + 55x + 100 B3: y = 0 B3: y = 80 – 40x AULA 1 Gabarito Tipos de estruturas e suas aplicações Aula 2 APRESENTAÇÃO DA AULA Prezados alunos, nesta aula, veremos alguns conceitos básicos sobre tipos de estruturas hiperestáticas e suas aplicações. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Perceber os tipos de esforços que atuam nos elementos estruturais. Prever deslocamentos em pontos específicos da estrutura. Prever pontos que não permitem deslocamento. Entender o conceito de sistemas treliçados e seus deslocamentos possíveis. Entender o conceito de grelhas espaciais e seus deslocamentos possíveis. Entender o conceito de pórticos espaciais e seus deslocamentos possíveis. P á g i n a | 28 2 CONCEITO BÁSICO DE ANÁLISE ESTRUTURAL Esta aula traz alguns conceitos que vão nos ajudar a analisar estruturas compostas por barras. A Figura 12 mostra um exemplo de um quadro ou pórtico plano. Um quadro plano é a simplificação de um modelo espacial de estrutura. Ele corresponde a uma parcela da estrutura que caracteriza o comportamento tridimensional. São estruturas representadas em duas dimensões, neste caderno nos eixos x e y. As cargas também estão contidas no mesmo plano incluindo forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z (que sai do plano). A Figura 12 também mostra a deformação da estrutura devida às solicitações, de forma amplificada, com as componentes de deslocamentos e rotações dos nós. O modelo desenvolvido para representação de quadros planos não permite deslocamentos na direção Z e nem rotações em torno dos eixos X e Y. Assim sendo, existem diversos conceitos de capacidade de produção e todos com pontos em comum, porém, nesta aula será evidenciada a definição trazida por Slack et al., (2002) em seu livro, que a descreve como sendo “o máximo nível de atividade de valor adicionado em determinado período de tempo que o processo pode realizar sob condições normais de operação”. Assim, o que é analisado em um modelo plano são os seguintes componentes: H → deslocamento na direção do eixo global X; P á g i n a | 29 V → deslocamento na direção do eixo global Y; R→ rotação em torno do eixo global Z. Os elementos que compõem um pórtico são unidos por nós rígidos, perfeitos, a menos que algum tipo de liberação seja indicado. Estes nos possibilitam deslocamentos e rotação compatíveis com cada ligação. Ligações rígidas provocam a deformação por flexão na estrutura aporticada. Os esforços internostambém estão associados ao comportamento plano da estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas três esforços internos (Figura 13): N → esforço normal (esforço interno axial) na direção do eixo local x; Q → esforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local y; M → momento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local z. Esforços internos em uma estrutura representam as tensões de ligação entre as partículas dos materiais. Eles representam o efeito de forças e momentos entre duas partes de uma estrutura reticulada, quando fazemos um “corte” em determinado ponto. Assim, cada lado deste “corte” possui esforços ligantes axiais, cortantes e de momento, posicionados de forma invertida um em relação ao outro, o P á g i n a | 30 que caracteriza a solicitação sendo exercida de ambos os lados. Mais adiante, veremos a relação entre estes esforços internos e as tensões. Outro tipo de estrutura reticulada é a treliça, representada na Figura 14 com supostas cargas e reações. Uma treliça se caracteriza por possuir vínculos entre barras que permitem girar independentemente nas ligações. Na análise de uma treliça, as cargas atuantes são transferidas para os seus nós. Isso faz com que uma treliça apresente apenas esforços normais de tração ou compressão. Mais uma forma usual de estrutura reticulada é a grelha, as quais apresentam cargas na direção perpendicular ao plano, incluindo momentos. A Figura 15 traz uma grelha solicitada por um carregamento transversal distribuído de maneira uniforme. Os apoios de uma grelha apresentam apenas uma componente de força, que é na direção vertical Z, e duas componentes de momento. P á g i n a | 31 Como hipótese de cálculo, consideramos que uma grelha não apresenta deslocamentos dentro do seu plano. A Figura 15, assim como fizemos com o pórtico, indica a configuração exagerada de deformação da grelha, que apresenta os seguintes componentes de deslocamento e rotações: Vz → deslocamento na direção do eixo global Z; Rx → rotação em torno do eixo global X; Ry →rotação em torno do eixo global Y. Na maioria dos casos, os nós que unem os elementos estruturais de grelhas são rígidos. Mas isso não significa que não possa haver rótulas, responsáveis por liberar um ou dois componentes de rotação. Os esforços internos de uma barra de grelha estão mostrados na Figura 16, juntamente com a convenção adotada para os eixos locais de uma barra de grelha. São três os esforços internos: Q→ esforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local z; M→ momento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local y; T→ momento torçor (esforço interno de torção) em torno do eixo local x. E, por último, o caso mais usual de estruturas reticuladas: o pórtico espacial (Figura 17). P á g i n a | 32 Ele representa a união de um pórtico plano a uma grelha. É exatamente o tipo de estrutura que buscamos dimensionar quando se trata de uma edificação. É necessário analisar cada ponto de um quadro espacial pode ter três componentes de deslocamento. Vamos pegar, por exemplo, o ponto E da estrutura. É fácil imaginar que este ponto pode ser deslocado para os lados (H), assim como pode ser “torcido” em qualquer uma das três direções (R) ou até mesmo empurrado para baixo ou “puxado” para cima (V). <http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/97 88581431277>. http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788581431277 http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788581431277 Referências Bibliográficas Básica: SUSSEKIND, José Carlos; SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural–Estruturas Isostáticas. Editora Globo, 1980. SUSSEKIND, JOSE CARLOS. Curso de Analise Estrutural. vol. I, Ed. Globo, SE10 Paulo, 1991. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – Vol. 2: Deformações em Estruturas, Método das Forças–Vol. 3: Método das Deformações, Processo de Cross. 1977. AULA 2 Exercícios 1) Determinar os possíveis deslocamentos nos pontos assinalados na estrutura. 1º PASSO: Como se trata de uma análise fictícia de capacidade de deslocamento em pontos específicos vamos considerar os mais diversos tipos de solicitações na estrutura, capazes de movimentar os pontos escolhidos em todas as direções possíveis. 2º PASSO – Ponto A: Primeiramente escolhemos o ponto e analisamos o tipo de apoio: É um vínculo conhecido como engaste deslizante. Sua principal característica é liberar a translação em um dos eixos, vertical ou horizontal. Nunca as duas simultaneamente. Neste caso específico, podemos observar uma capacidade de deslizamento no eixo y, assim, este apoio provoca duas reações: Momento Fletor e Reação Horizontal. 3º PASSO – ANÁLISE DE DESLOCAMENTO: Conhecendo o tipo de apoio e as solicitações que ele é capaz de restringir, fica fácil definir quais as direções que podem ser deslocadas neste ponto. Se o apoio gera uma reação de momento, significa que ele combate o momento que chega naquele ponto, não permitindo qualquer rotação ali. Assim, não é possível ocorrer rotação no ponto a, pois o tipo de vínculo impede este movimento. Da mesma forma, este tipo de apoio gera uma reação horizontal, ou seja, impede o movimento neste sentido. Assim, não é possível ocorrer translação horizontal no ponto a. P á g i n a | 35 Vimos também que este mesmo vínculo não gera uma reação vertical, ou seja, ele permite o movimento nesta direção. Assim, o apoio engaste deslizante só permite deslocamento vertical. Concluindo, o ponto a pode possuir va. Agora é a sua vez! Analise os tipos de apoio, siga este passo a passo e verifique quais as possibilidades de deslocamento nos demais pontos assinalados! SUGESTÃO DE LEITURA: <http://ceenc.blogspot.com.br/2016/02/curso-de-analise- estrutural-1-2-e-3.html>. http://ceenc.blogspot.com.br/2016/02/curso-de-analise-estrutural-1-2-e-3.html http://ceenc.blogspot.com.br/2016/02/curso-de-analise-estrutural-1-2-e-3.html AULA 2 Gabarito Ponto B: não permite deslocamentos Ponto C: não permite deslocamentos Ponto D: RD Ponto E: HE, RE. Ponto F: RF Nós rígidos (G, H, J, K): permitem todos os deslocamentos (H, V, R). Rótula I: permitem todos os deslocamentos (HI, VI, RI). Deslocamento e deformação das estruturas Aula 3 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, iniciaremos nossos cálculos estruturais. Sabemos que todo material é capaz de se deformar e, como vimos na aula 2, alguns tipos de vínculos permitem deslocamentos também. Bem, dessa forma, nosso objetivo a partir de agora é determinar o deslocamento, gerado por um conjunto de solicitações, em qualquer ponto da estrutura. E, nesta aula, realizaremos os três primeiros passos para este cálculo. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Compreender o início do método dos deslocamentos. Determinar o módulo de rigidez de peças estruturais. Escolher pontos críticos de deslocamento na estrutura. Montar o estado de deformação de um pórtico isostático. Montar o estado de carregamento referente ao deslocamento previsto. P á g i n a | 38 3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 3.1 Estados de Deformação e Carregamento O cálculo do deslocamento se faz necessário para que possamos avaliar se a deformação do elemento estrutural está dentro do permitido. Aplicaremos este método inicialmente em estruturasisostáticas, o que será de grande ajuda para nosso objetivo final desta disciplina, que é determinar reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes em estruturas hiperestáticas. Nosso processo consiste nos seguintes passos: I. Escolha do ponto a ser analisado; II. Determinação do Estado de Deformação (E0); a. Reações de apoio e DMF (M0); III. Determinação do Estado de Carregamento (E1); a. Reações de apoio e DMF (M1); IV. Descrição dos diagramas em funções; a. B10 e B11 b. B20 e B21 c. B30 e B31 V. Sobreposição de esforços; a. 𝐸𝐼𝛿𝑖 = ∫ 𝑀𝑜𝑀𝑖𝑑𝑥 𝑏 𝑎 VI. Determinação do deslocamento no ponto; a. 𝛿 = ∑𝛿𝑖 A melhor forma de aprender cálculo estrutural é praticando, não se esqueça disso! Por isso, nosso conteúdo será explicado sempre a partir de exemplos, a fim de facilitar o entendimento. Então, vamos começar?! P á g i n a | 39 Seja o pórtico plano representado na Figura: 1º passo: Definir o módulo de rigidez do material, mais conhecido como EI. Este módulo agrega as informações referentes ao Módulo de Elasticidade do material que compõe a estrutura (E) com as características geométricas da seção transversal, representada pelo Momento de Inércia (I). O módulo de elasticidade do concreto varia de acordo com a sua resistência à compressão (fck). Se um concreto possui fck = 25, significa que sua resistência à tração é de 25 MPa. Para um fck = 50, temos uma resistência de 50 MPa, e assim por diante. De modo geral, de acordo com a NBR 6118, podemos calcular este valor seguindo a seguinte fórmula: 𝐸 = 5,6√𝑓𝑐𝑘 Com fck em MPa e E em GPa. É importante ressaltar que este valor não está condicionado a um coeficiente de segurança. Caso seja previsto o uso deste nesta etapa de cálculo, aplicamos a seguinte fórmula: 𝐸𝑐𝑠 = 0,85𝐸 Para este caso, vamos considerar uma estrutura de concreto armado, com as seguintes propriedades: Concreto fck = 30; (30MPa) Seção transversal uniforme e retangular com b = 20 cm e h = 40 cm. Assim, começaremos calculando o MÓDULO DE RIGIDEZ DO MATERIAL (EI): P á g i n a | 40 Para o cálculo do E, utilizaremos a fórmula apresentada anteriormente SEM O COEFICIENTE DE SEGURANÇA. 𝐸 = 5,6√𝑓𝑐𝑘 𝐸 = 5,6√30 𝑬 = 𝟑𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟒𝟔 ≈ 𝟑𝟎, 𝟔𝟕 𝑮𝑷𝒂 Para o cálculo do I, considerando a seção retangular e constante, teremos o mesmo Momento de Inércia para todos os elementos estruturais (duas colunas e uma viga). 𝐼 = 𝑏ℎ³ 12 𝐼 = 0,2 ∗ 0,4³ 12 𝑰 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓𝒎𝟒 Com esses valores, podemos calcular nosso MÓDULO DE RIGIDEZ EI. EI = 30,67GPa * 106,7 * 10-5m4 EI = 32,72*106 N.m² = 3,272*104 kN.m² É interessante que deixemos a unidade do EI em kN.m² para que fiquem compatíveis com os dados reais da estrutura. 2º passo: Para calcular os valores de deslocamentos desejados, inicialmente devemos escolher o ponto específico. Neste caso, podemos observar um apoio de primeiro gênero na coluna da direita, que permite deslizamento horizontal neste ponto. Assim, seria interessante saber o quanto este ponto translada e se este valor é seguro. Então temos definido que seja analisado o deslocamento horizontal no ponto B, ou simplesmente HB. Para isso, usaremos como dito previamente, o método dos deslocamentos, ou dos esforços, que consiste em uma sobreposição de esforços reais e esforços virtuais para obtenção de resultados. Os esforços reais são calculados facilmente, utilizando as técnicas que você aprendeu em Mecânica Geral P á g i n a | 41 e Sistemas Isostáticos: Calculamos as reações da estrutura e posteriormente, seu DMF. O cálculo das solicitações do estado real é chamado de ESTADO DE DEFORMAÇÃO, ou simplesmente E0. Nesta etapa verificamos toda a deformação causada na estrutura em geral, sem especificar nenhum ponto. Para a situação em questão, teremos então: Aplicando as equações de equilíbrio: Para facilitar o entendimento, como se trata de EQUILIBRAR a estrutura, podemos montar a equação colocando de um lado da igualdade as forças de mesmo sentido e, do outro lado da igualdade, as que possuem sentido contrário às primeiras. P á g i n a | 42 Construindo o DMF: Pontos de momento nulo: A B e E MCe (momento no ponto C pela esquerda) = HA*4 = 20*4 = 80kN.m MDd (momento no ponto D pela direita) = 20*2 = 40 kN.m Mmáx da carga distribuída = qL²/8 = 10*4²/8 = 20 kN.m Assim, nosso DMF do Estado de Deformação, ou E0, é denominado M0: 3º passo: Calculados os esforços do Estado Real, partiremos para a análise do Estado Virtual, também chamado de Estado de Carregamento ou E1. Nesta etapa, vamos focar no ponto a ser analisado. Com os dados colhidos aqui, conseguiremos direcionar todas as cargas reais influentes para o deslocamento desejado. Como você já estudou em Resistência dos Materiais, o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PVT) funciona da seguinte forma: Excluímos todas as cargas reais que solicitam a estrutura; Escolhemos um ponto a ser analisado; Aplicamos neste ponto uma carga virtual unitária de natureza do deslocamento a ser calculado; Determinamos as reações de apoio virtuais e o DMF virtual, chamado de E1. P á g i n a | 43 Então, mãos à obra! Já conhecemos o ponto a ser analisado, o apoio de primeiro gênero que chamamos de ponto B; A carga virtual unitária a ser aplicada será pontual com direção horizontal, pois queremos saber O DESLOCAMENTO LINEAR HORIZONTAL DESTE PONTO (HB). Nosso estado virtual E1 fica desta maneira: Aplicando as equações de equilíbrio: P á g i n a | 44 Construindo o DMF: Pontos de momento nulo: A e B MCe (momento no ponto C pela esquerda) = HA*4 = 1*4 = 4kN.m MDd (momento no ponto D pela direita) = 1*4 = 4 kN.m Assim, nosso DMF do Estado de Deformação, ou E0, é denominado M0: Na próxima aula, começaremos o processo de descrição dos gráficos em funções, conforme foi revisado na aula 1. Então, vale a pena dar uma relembrada para facilitar seu entendimento! Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. Diagramas de Momento Fletor Aula 4 APRESENTAÇÃO DA AULA Prosseguindo com o exemplo da aula 3, chegou a hora de descrever os DMF’s em funções e limites para posterior sobreposição dos esforços, na aula 5. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Descrever diagramas de momento reais em funções. Descrever diagramas de momento virtuais em funções. Comparar diagramas e definir os limites de ação dos esforços. Sobrepor esforços e calcular o deslocamento horizontal em apoios simples. Analisar o sentido do deslocamento.P á g i n a | 47 4 MÉTODO DE DESLOCAMENTO (CONTINUAÇÃO) 4.1 Funções e Sobreposição dos Esforços Primeiro, analisaremos os dois pórticos juntamente, para identificarmos quais os trechos serão calculados. Como vamos aplicar as funções em um produto, é viável que observemos quais as barras possuem momento. Para cada elemento estrutural do pórtico faremos um processo de integração e, por isso, se uma das barras de um dos estados não possuir valores de momento, automaticamente a correspondente do outro estado se anula. Neste caso, podemos observar que as três barras dos dois estados possuem valores de momento. Assim, começaremos a descrever as funções a partir da B1 do E0 e do E1. B1 Intervalo da função: aqui entram os valores de x que marcam o início e fim do gráfico analisado. Marcamos o início da barra como zero e temos o fim em 4 metros. Assim, [0; 4] Para B10: (0;0) e (4;80) Substituindo em y = ax + b: y = 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Para B11: (0;0) e (4;4) P á g i n a | 48 Substituindo em y = ax + b: y = x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Lembre-se: esta função serve para descrever o comportamento do momento na estrutura. Então, caso tenha insegurança com a função encontrada, é só substituir os limites na função no lugar do x e verificar se os valores de y coincidem com os pontos. Exemplo de verificação: para B10: y = 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Para x = 0; y = 20*0 = 0 OK! Para x = 4; y = 20*4 = 80 OK! B2 Intervalo da função: aqui entram os valores de x que marcam o início e fim do gráfico analisado. Marcamos o início da barra como zero e temos o fim em 4 metros. Assim, [0; 4] Para B20: 𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 Carga distribuída: Q = 10 kN.m Reação de apoio da primeira coluna: VA = 10 kN Momento em x = o: c = 80 kN.m Substituindo: 𝑦 = ∫−10𝑥 + 10. 𝑑𝑥 -5x² + 10x + 80 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Para B21: (0;4) e (4;4) Substituindo em y = ax + b: y = 4 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 P á g i n a | 49 B3 Intervalo da função: aqui entram os valores de x que marcam o início e fim do gráfico analisado. Neste caso temos gráficos presentes em simultaneamente somente em um trecho da coluna. Portanto, marcamos o início da barra como zero e temos o fim do gráfico em 2 metros. Assim, [0; 2] Para B30: (0;40) e (2;0) Substituindo em y = ax + b: y = 40 – 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟐 Para B31: (0;4) e (4;0) Substituindo em y = ax + b: y = 4 - x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟐 Notem que o intervalo da barra 3 do estado virtual não foi o comprimento total da barra. Isto se justifica pelo fato de só haver gráfico simultaneamente nos dois estados de x=0 a x=2. Os intervalos de funções sempre têm que ser os mesmos para cada duas barras correspondentes. Notem que o intervalo da barra 3 do estado virtual não foi o comprimento total da barra. Isto se justifica pelo fato de só haver gráfico simultaneamente nos dois estados de x=0 a x=2. Os intervalos de funções sempre têm que ser os mesmos para cada duas barras correspondentes. Agora que já temos as funções que descrevem a variação de momento em cada elemento da estrutura, nos dois estados analisados, podemos começar a última etapa do cálculo: o deslocamento provocado por cada barra no ponto escolhido. Para isso, usaremos o princípio da sobreposição dos esforços. Esta sobreposição é feita por meio de um produto de integrais, conforme mostra a fórmula abaixo. P á g i n a | 50 𝐄𝐈 = ∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 Onde: é o deslocamento pretendido; a e b são os limites de domínio da função; M0 é a função do elemento analisado no Eo; M1 é a função do elemento analisado no E1; EI é o módulo de rigidez do elemento estrutural. Vamos começar pela barra 1: Para B1: B10 y = 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 (esta função corresponde ao M0 da fórmula) B11 y = x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 (esta função corresponde ao M1 da fórmula) Os limites OBRIGATORIAMENTE têm que ser iguais, pois queremos analisar os mesmos trechos das duas estruturas. Substituindo na fórmula: Substituindo o valor de EI = 3,272*104 kN.m² P á g i n a | 51 𝑩𝟏 = 𝟏𝟐𝟖𝟎 𝟑 ∗ 𝟑, 𝟐𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑩𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟎𝟑𝟗𝟗𝒎 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟒𝒎𝒎 Este valor encontrado significa que a barra 1 provoca no apoio de primeiro gênero um deslocamento PARA A DIREITA de 13,04 mm. Sabemos que o deslocamento tem este sentido através do sinal positivo do resultado. A análise é feita em função do sentido que você escolhe a sua carga virtual lá no E1. Neste caso, adotamos o sentido da carga unitária para a direita, lembra? Vou mostrar novamente o nosso estado virtual para que você possa se situar. Se você adotou sua carga unitária para a direita e o resultado do deslocamento deu positivo, significa que O SENTIDO ESTÁ CORRETO. Não se engane! Não pense que positivo sempre será para a direita e negativo sempre para a esquerda! Sempre que o resultado do deslocamento der positivo, significa que ele está concordando com o sentido da sua carga unitária! Se der negativo, quer P á g i n a | 52 dizer que o sentido do deslocamento naquele ponto é contrário ao da sua carga virtual. Mas como vamos saber qual o sentido correto? Não existe sentido correto. O ideal é analisar, de acordo com os carregamentos, para onde o ponto escolhido tende a se mover, e colocar a carga virtual neste sentido. Caso não seja facilmente previsível, você pode escolher qualquer sentido e interpretar o resultado como foi explicado logo ali acima. P á g i n a | 53 Para finalizar a questão, só falta calcular o deslocamento total no apoio B. Então, o apoio de primeiro gênero sofreu uma translação horizontal de 52,975 mm para a DIREITA, em função das cargas solicitantes, das propriedades geométricas da estrutura e do tipo de material. Agora é a sua vez! Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade! Boa sorte! Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. AULA 4 Exercícios 1) Calcular o deslocamento horizontal nas estruturas abaixo, considerando o EI constante para todos os elementos. Ponto a ser analisado: apoio de primeiro gênero. Dados: concreto fck 25, seção transversal retangular com b = 30 cm e h = 40 cm. AULA 4 Gabarito a) R: 9,32 mm para a direita b) R: 16,5 mm para a esquerda c) R: 15,02 mm para a direita d) R: 5,36 mm para a direita Rotação Aula 5 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, veremos exatamente o mesmo processo executado antes, porém aplicado em uma análise de rotação de algum ponto da estrutura. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Analisar pontos da estrutura sujeitosà rotação. Determinar o estado real. Determinar o estado virtual referente à rotação. Determinar as funções de momento fletor dos estados. Determinar a rotação no ponto escolhido. Analisar o resultado. P á g i n a | 58 5 MÉTODOS DOS DESLOCAMENTOS 5.1 Análise de Rotação Seja a estrutura abaixo: Para este caso, vamos trabalhar com as colunas de aço com seção transversal circular vazada, diâmetro 40 cm e espessura 1 cm. Para a viga vamos adotar seção circular maciça, com diâmetro de 30 cm. O material vai ser o mesmo para toda a estrutura, com E = 205 MPa. Assim, vamos começar calculando o módulo de rigidez de cada elemento. Para as colunas temos: I = 𝜋 (𝐷𝑒4−𝐷𝑖4) 64 = 𝜋 (0,44−0,384) 64 = 2,331 ∗ 10−4𝑚4 EIc = 205 * 109 * 2,331 * 10-4 = 4,78 * 104kN.m² Para a viga temos: I = 𝜋 (𝐷4) 64 = 𝜋 (0,34) 64 = 3,976 ∗ 10−4𝑚4 EIv = 205 * 109 * 3,976 * 10-4 = 8,15 * 104kN.m² O ponto a ser analisado neste caso será o apoio de segundo gênero. Então, vamos calcular qual é a rotação deste ponto devida a estas condições. I. Estado de Deformação (E0) Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: o HB = 5 kN o VA = 28,167 kN o VB = 19,833 kN P á g i n a | 59 Determinando o momento nos pontos críticos: o MA = 0 o MB = 0 o MC = 0 o MDe = 20*2 = 40 kN.m (positivo porque está abrindo a estrutura) o MEd = 15*3 + 5*4 = 65 kN.m o MEd = 5*1 = 5 kN.m II. ESTADO DE CARREGAMENTO É importante lembrar que o estado de carregamento varia de acordo com o tipo de deslocamento requerido. Neste exemplo, vamos analisar a rotação no apoio de segundo gênero, o que nos indica que teremos que aplicar uma carga de rotação (momento) no ponto especificado. O sentido é aleatório, seguindo o princípio da interpretação do resultado. Então, nossa estrutura fica assim: Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: P á g i n a | 60 Determinando o momento nos pontos críticos: o MA = 0 o MB = 1 kN.m (abrindo a coluna) o MCe = 0 o MDd = 1 kN.m Assim, nosso M1 fica desta forma: III. COMPARANDO OS GRÁFICOS P á g i n a | 61 Na barra 1 só temos momento no E0, assim, não é necessário achar função para esta barra, pois quando for multiplicar pela função do E1 que é nula, vai zerar o deslocamento. Isto indica que a barra 1 não colabora em nada para rotacionar o apoio B. Já na barra 2, temos momento por toda sua extensão em ambos os estados, o que garante influência do deslocamento analisado. B2 Para B20: 𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 o Carga distribuída: Q = 8 kN.m o Reação de apoio da primeira coluna: VA = 28,17 kN o Momento em x = o: c = 40 kN.m 𝑦 = ∫−8𝑥 + 28,17. 𝑑𝑥 -4x² + 28,167x + 40 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟔 Para B21: (0;0) e (6;1) Substituindo em y = ax + b: y = x/6 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟔 B3 A barra 3 possui dois intervalos regidos por funções diferentes. Por isso, devemos calcular cada um destes trechos separadamente. Isto só ocorre no estado real, assim, podemos fazer somente uma função do virtual e dividir os limites de acordo com B30. Para B3a0: (0;65) e (3;5) Substituindo em y = ax + b: y = 65 – 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 Para B3b0: P á g i n a | 62 (3;5) e (4;0) Substituindo em y = ax + b: y = 20 – 5x { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟒 Para B31: 𝒚 = 𝟏 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟏 { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟒 IV. SOBREPONDO OS ESFORÇOS Para B2: o -4x² + 28,167x + 40 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟔 o y = x/6 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟔 𝐄𝐈 = ∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 𝐄𝐈𝑩𝟐 = ∫ (−𝟒𝒙 𝟐 + 𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙 + 𝟒𝟎) ∗ ( 𝒙 𝟔 )𝒅𝒙 𝟔 𝟎 𝐄𝐈𝑩𝟐 = ∫ (− 𝟐𝒙𝟑 𝟑 + 𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙² 𝟔 + 𝟐𝟎𝒙 𝟑 )𝒅𝒙 𝟔 𝟎 𝐄𝐈𝑩𝟐 = (− 𝒙𝟒 𝟔 + 𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙³ 𝟏𝟖 + 𝟏𝟎𝒙² 𝟑 ) 𝟔 𝟎 ⌋ 𝑩𝟐 = 𝟐𝟒𝟐 𝐄𝐈 𝑩𝟐 = 𝟐𝟒𝟐 𝟖, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑩𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟗𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒊 − 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 Para B3: o ya = 65 – 20x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 o 𝒚𝒂 = 𝟏 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 o yb = 20 – 5x { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟒 P á g i n a | 63 o 𝒚𝒃 = 𝟏 { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟒 𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 = ∫ 𝑴𝟎𝒂𝑴𝟏𝒂𝒅𝒙 𝒃 𝒂 +∫ 𝑴𝟎𝒃𝑴𝟏𝒃𝒅𝒙 𝒄 𝒃 𝐄𝐈𝑩𝟑 = ∫ (𝟔𝟓 − 𝟐𝟎𝒙) ∗ (𝟏)𝒅𝒙 + 𝟑 𝟎 ∫ (𝟐𝟎 − 𝟓𝒙) ∗ (𝟏)𝒅𝒙 𝟒 𝟑 𝐄𝐈𝑩𝟑 = ∫ (𝟔𝟓 − 𝟐𝟎𝒙)𝒅𝒙 + 𝟑 𝟎 ∫ (𝟐𝟎 − 𝟓𝒙)𝒅𝒙 𝟒 𝟑 𝐄𝐈𝑩𝟑 = (𝟔𝟓𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 𝟐) 𝟑 𝟎 ⌋ + (𝟐𝟎𝒙 − 𝟓𝒙² 𝟐 ) 𝟒 𝟑 ⌋ 𝑩𝟑 = 𝟐𝟏𝟓 𝟐𝐄𝐈 𝑩𝟑 = 𝟐𝟏𝟓 𝟐 ∗ 𝟒, 𝟕𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑩𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒊 − 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 Para finalizar a questão, só falta calcular o deslocamento total no apoio B. 𝛿 =∑𝛿𝑖 𝛿 = 𝛿𝐵1 + 𝛿𝐵2 + 𝛿𝐵3 𝛿 = 0 + 0,00297 + 0,00225 𝛿 = 0,00522 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝛿 = 0,299° Então, o apoio de segundo gênero sofreu uma rotação anti-horária de 0,3°, em função das cargas solicitantes, das propriedades geométricas da estrutura e do tipo de material. Agora é a sua vez! Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade! Boa sorte! Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. AULA 5 Exercícios 1) Calcular a rotação nas estruturas abaixo, considerando o EI constante para todos os elementos. Ponto a ser analisado: ambos os apoios. O processo de cálculo é o mesmo, como se fossem duas questões distintas. Calcule primeira, a rotação no apoio da esquerda e depois, a rotação no da direita. O estado de deformação pode ser aproveitado para os dois cálculos, bem como suas funções. Você só terá que fazer o estado de carregamento relativo a cada caso e depois integrar. Dados: concreto fck 60, seção transversal circular com d = 40 cm. AULA 5 Gabarito 1 - a) R(A): 0,0115 rad no sentido anti-horário R(B): 0,0291 rad no sentido horário b) R(A): 0,0089 rad no sentido horário R(B): 0,00236 rad no sentido anti-horário c) R(A): 0,00378 rad no sentido horário R(B): 0,00525 rad no sentido anti-horário d) R(A): 0,00838 rad no sentido horário R(B): 0,00556 rad no sentido anti-horário Deslocamento vertical Aula 6 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, veremos o último tipo de deslocamento estrutural. O método de resolução é o mesmo dos deslocamentos anteriores, com a simples observação de aplicar uma carga vertical neste caso. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Analisar pontos da estrutura sujeitos a translação vertical. Determinar o estado real. Determinar o estado virtual referente à translação vertical. Determinar as funções de momento fletor dos estados. Determinar a translação vertical no ponto escolhido. Analisar o resultado.P á g i n a | 68 6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Vamos calcular o deslocamento vertical no ponto D, considerando a estrutura toda com a mesma seção transversal retangular de 20 cm x 40 cm e concreto fck 25. Começaremos novamente calculando o módulo de rigidez da estrutura: Concreto fck 25 E = 5,6√25 = 28𝐺𝑃𝑎 𝐼 = 𝑏ℎ³ 12 = 0,2∗0,4³ 12 = 1,0667 ∗ 10−3𝑚4 𝐸𝐼 = 28𝐺𝑃𝑎 ∗ 1,0667 ∗ 10−3𝑚4 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝒌𝑵.𝒎² Com o módulo calculado, podemos começar a calcular os esforços devidos às cargas reais em toda a estrutura: I. Estado de Deformação (E0) Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: HA = 40 kN o VA = 43,33 kN o VB = 76,67 kN Determinando o momento nos pontos críticos: o MA = 0 P á g i n a | 69 o MB = 0 o MFe = 40*2 = 80kN.m o MCe = 40*4 – 20*2 = 120kN.m o MEd = 20*1 = 20kN.m o MGd = 0 I. Estado de Carregamento (E1) Sabemos que o estado de carregamento varia de acordo com o tipo de deslocamento requerido. Neste exemplo vamos analisar o deslocamento vertical no meio da viga, chamado de ponto D, o que nos indica que teremos que aplicar uma carga vertical no ponto especificado. O sentido é aleatório, seguindo o princípio da interpretação do resultado. Então nossa estrutura fica assim: Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: Determinando o momento nos pontos críticos: o MA = 0 o MB = 0 P á g i n a | 70 o MCe = 0 o MD = 1,5 kN.m o MEd = 0 Assim, nosso M1 fica desta forma: I. COMPARANDO OS GRÁFICOS Na barra 1 só temos momento no E0, assim, não é necessário achar função para esta barra, pois quando for multiplicar pela função do E1 que é nula, vai zerar o deslocamento. Isso indica que a barra 1 não colabora em nada para deslocar o ponto D verticalmente. O mesmo ocorre na barra 3. Assim, neste caso, só será necessário encontrar as funções da barra 2. B2 o Para B20 P á g i n a | 71 𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 Carga distribuída: Q = 20 kN.m Reação de apoio da primeira coluna: VA = 43,33 kN Momento em x = o: c = 120 kN.m 𝑦 = ∫−20𝑥 + 43,33. 𝑑𝑥 -10x² + 43,33x + 120 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 e { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟔 Para B21a: (0;0) e (3; 1,5) Substituindo em y = ax + b: y = 0,5x { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 Para B21b: (3; 1,5) e (6;0) Substituindo em y = ax + b: y = 3 - 0,5x { 𝒙 = 𝟑 𝒙 = 𝟔 II. SOBREPONDO OS ESFORÇOS Para B2a: o -10x² + 43,33x + 120 { 𝑥 = 0 𝑥 = 3 o y = 0,5x { 𝑥 = 0 𝑥 = 3 P á g i n a | 72 EI = ∫ 𝑀0𝑀1𝑑𝑥 𝑏 𝑎 EI𝐵2 = ∫ (−10x² + 43,33x + 120) ∗ (0,5𝑥)𝑑𝑥 3 0 EI𝐵2 = ∫ (−5𝑥 3 + 21,667𝑥² + 60𝑥)𝑑𝑥 3 0 EI𝐵2 = (− −5𝑥4 4 + 7,22𝑥³ + 30𝑥²) 3 0 ⌋ 𝐵2 = 363,7 EI 𝐵2 = 363,7 2,987 ∗ 104 𝐵2 = 0,01217 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 Para B2b: o -10x² + 43,33x + 120 { 𝑥 = 0 𝑥 = 3 o y = 3 - 0,5x { 𝑥 = 0 𝑥 = 3 EI = ∫ 𝑀0𝑀1𝑑𝑥 𝑏 𝑎 EI𝐵2 = ∫ (−10x² + 43,33x + 120) ∗ (3 − 0,5𝑥)𝑑𝑥 6 3 𝐵2 = 435 EI 𝐵2 = 435 2,987 ∗ 104 𝐵2 = 0,01456 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝛿 =∑𝛿𝑖 𝛿 = 𝛿𝐵2𝑎 + 𝛿𝐵2𝑏 𝛿 = 0,01217 + 0,01456 = 0,02373𝑚 = 23,7 𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. AULA 6 Exercícios Agora é a sua vez! Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade! Boa sorte! Exercício 1 – Calcular o deslocamento vertical no meio das vigas das estruturas abaixo, considerando o EI constante para todos os elementos. Dados: aço E = 150 GPa, seção transversal circular vazada com d = 24 cm e espessura de 3 cm. AULA 6 Gabarito a) R: 3,951 mm para cima b) R: 4,512 mm para baixo c) R: 1,441 mm para baixo Translação vertical, horizontal e rotação Aula 7 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, iremos analisar pontos deslocáveis das três maneiras possíveis. Estes pontos não podem ser apoios, pois sabemos que qualquer tipo de apoio restringe PELO MENOS um movimento. Assim, vamos analisar os nós rígidos das estruturas. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Analisar pontos da estrutura sujeitos todos os deslocamentos. Determinar o estado real. Determinar os estados virtuais referentes aos deslocamentos pretendidos. Determinar as funções de momento fletor dos estados. Determinar os deslocamentos nos pontos escolhidos. Analisar os resultados. P á g i n a | 77 7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 7.1 Cálculo Dos Três Deslocamentos Possíveis Em Um Determinado Ponto Como o processo já foi descrito detalhadamente nas aulas anteriores, mostraremos somente os passos com os resultados. Nosso primeiro exemplo será o pórtico abaixo, com concreto fck 60 e seção retangular 30 cmx45 cm. EI = 9,8812*104 kN.m² Temos infinitos pontos na estrutura que podem deslocar nos três sentidos, porém, os que mais interessam para o cálculo estrutural são os apoios, como calculamos nos dois primeiros casos vistos, os meios de viga, como calculado na última aula, e os nós, que veremos agora. Assim, vamos calcular os três deslocamentos nos pontos C e D. I. Estado de Deformação (E0) Aplicando as equações de equilíbrio e calculando o momento nos pontos críticos da estrutura, teremos: Por se tratar da mesma estrutura sendo avaliado de formas diferentes, o estado real não muda, assim, vamos usá-lo para todas as análises. II. Estado de Carregamento (E1) - HC P á g i n a | 78 Neste estado, escolheremos um dos possíveis deslocamentos para calcular. A escolha é aleatória, visto que os diferentes deslocamentos não influenciam nos valores entre si. Começaremos pelo deslocamento horizontal no ponto C. Assim, foi aplicada a carga horizontal unitária no ponto C. Realizando o equilíbrio e calculando o momento, chegaremos ao seguinte resultado: Observando os dois diagramas, podemos concluir que a coluna da esquerda não gera deslocamento horizontal no ponto C. Então, vamos calcular as funções das barras 2 e 3. Barra 2: B20 𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 y = -5x² + 36x - 36 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 B21 y = − 3 2 𝑥 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Barra 3: B30a y = 12x+28{ 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 B30b y = 51 – 11x { 𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟓 B30c y = -24 + 4x { 𝒙 = 𝟓 𝒙 = 𝟔 B31 P á g i n a | 79 y = 6 - x{ 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟔 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟓 𝒙 = 𝟓 𝒙 = 𝟔 Calculando o deslocamento horizontal total no ponto C: 𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 EI𝐶 = ∫ ( −5x 2 + 36x − 36) ∗ (− 3 2 𝑥)𝑑𝑥 + 4 0 ∫ (12 + 28𝑥) ∗ (6 − 𝑥)𝑑𝑥 1 0 +∫ (51 − 11𝑥)∗ (6 − 𝑥)𝑑𝑥 5 1 +∫ (−24 + 4x) ∗ (6 − x)𝑑𝑥 6 5 EI𝐶 = −240 + 422 3 + 824 3 − 4 3 H𝐶 = − 174 𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 1,76 𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 I. Estado de Carregamento (E2) - HD Nosso segundo caso será o deslocamento horizontal no ponto D. A carga virtual aplicada no ponto solicitado fica desta forma: Realizando o equilíbrio e calculando o momento, chegaremos ao seguinte resultado: Podemos observar que o DMF deste caso é idêntico ao do caso anterior. Isso significa que os dois pontos sofrem exatamente o mesmo deslocamento. Assim, sem necessidade de repetir o processo, concluímos que: H𝐷= 1,76 𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 II. Estado de Carregamento (E3 e E4) - VC e VD P á g i n a | 80 Nossos próximos dois casos são iguais também. Tratam-se dos deslocamentos verticais nos pontos C e D. Ao aplicar a carga vertical em C e, posteriormente em D, verificamos que o DMF fica totalmente zerado. Ou seja, os dois pontos não sofrem deslocamento vertical em relação ao momento. III. Estado de Carregamento (E5) - RC No quinto estado virtual, calcularemos a rotação do nó C. Aplicando o momento neste ponto e calculando o DMF, temos: P á g i n a | 81 Comparando com o estado real, podemos perceber que somente a viga gera rotação relevante no ponto C. Assim, vamos calcular as funções das vigas. Lembrando que a viga do estado de deformação já está com sua função definida. Para a barra 2, temos: B20 𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 y = -5x² + 36x - 36 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 B25 y = 0,25𝑥 − 1 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Calculando a rotação em C: 𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 EI𝐶 = ∫ ( −5x 2 + 36x − 36) ∗ (0,25𝑥 − 1)𝑑𝑥 4 0 R𝐶 = − 424 𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 0,00143 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 IV. Estado de Carregamento (E6) - RD No quinto estado virtual, calcularemos a rotação do nó C. Aplicando o momento neste ponto e calculando o DMF, temos: P á g i n a | 82 Comparando com o estado real, podemos perceber que somente a viga gera rotação relevante no ponto D. Assim, vamos calcular as funções das vigas. Lembrando que a viga do estado de deformação já está com sua função definida. Para a barra 2, temos: B20 𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 y = -5x² + 36x - 36 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 B25 y = 0,25𝑥 { 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟒 Calculando a rotação em C: 𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 EI𝐶 = ∫ ( −5x 2 + 36x − 36) ∗ (0,25𝑥)𝑑𝑥 4 0 R𝐶 = 40 𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 0,000405 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. Revisão Aula 8 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta última aula referente à primeira avaliação, faremos uma revisão do que foi apresentado anteriormente em aplicações diferentes. Resolveremos exercícios de deslocamentos com intuito de sanar quaisquer dúvidas que você possa ter. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Compreender diferentes casos de deslocabilidades em estruturas; Conhecer situações distintas do método dos deslocamentos; Determinar qualquer tipo de deslocamento em qualquer estrutura. P á g i n a | 85 8 REVISÃO – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Exemplo 1: Seja o pórtico abaixo com colunas em concreto fck 50 e seção transversal quadrada de lado 60 cm e viga feita em concreto fck 80, retangular 70 cm x 90 cm. Vamos determinar qual é o deslocamento do apoio de primeiro gênero? I. MÓDULO DE RIGIDEZ II. ESTADO DE DEFORMAÇÃO P á g i n a | 86 III. ESTADO DE CARREGAMENTO IV. FUNÇÕES Barra 1: B10 o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝐻𝐴 𝑑𝑥 o 𝑦 = ∫−20𝑥 + 280 𝑑𝑥 o 𝑦 = −10𝑥2 + 280𝑥 + 0 { 0 7 B11 o 𝑦 = 𝑥 { 0 7 Barra 2: B20 o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝑉𝐴 𝑑𝑥 P á g i n a | 87 o 𝑦 = ∫−30𝑥 + 119,62 𝑑𝑥 o 𝑦 = −15𝑥2 + 119,62𝑥 + 1470 { 0 13 B11 o 𝑦 = 7 { 0 13 Barra B3 (Colocaremos o ponto inicial no apoio simples para simplificar as funções, assim, ficaria a coordenada zero no ponto B e a coordenada 7 no ponto D): B30 o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝐻𝐵 𝑑𝑥 o 𝑦 = ∫−20𝑥 + 0 𝑑𝑥 o 𝑦 = −10𝑥2 { 0 7 B31 o 𝑦 = 7 − 𝑥 { 0 7 V. DESLOCAMENTO 𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙 𝒃 𝒂 HB = ∫ ( (−10𝑥2 + 280𝑥) ∗ (𝑥) 𝐄𝐈𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒙 𝟕 𝟎 +∫ (−15𝑥2 + 119,62𝑥 + 1470) ∗ (7) 𝐄𝐈𝒗𝒊𝒈𝒂 𝒅𝒙 +∫ (−10𝑥2) ∗ (7 − 𝑥) 𝐄𝐈𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒙 𝟕 𝟎 𝟏𝟑 𝟎 HB = 0.0608 + 0.0599 − 0.0047 HB = 0,1160 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 Podemos observar um deslocamento bastante relevante na estrutura, equivalente a 11,6 cm no apoio B. Isso se deve a vários fatores combinados. São eles: Colunas muito altas e vão muito extenso. Alto carregamento distribuído. Apoios rotulados incapazes estabilizar a estrutura em relação a translações e rotações. P á g i n a | 88 Com este exemplo, fica claro o motivo pelo qual raramente estruturas são construídas de maneira isostática. Sistemas Isostáticos são capazes de suportar esforços externos, gerando reações para estabilizar as forças atuantes na edificação. Porém, temos outras solicitações que devem ser combatidas. Assim, estruturas isostáticas são geralmente aplicadas em casos em que se faz necessária a liberação do movimento, seja para dilatação, para rolamento, entre outros. Alguns casos clássicos de aplicação são pontes e passarelas. Neste capítulo, encerramos nosso conteúdo da primeira avaliação. Refaça os exercícios! Caso seja necessário, recorra ao material de apoio indicado nos capítulos anteriores e bons estudos! Referências Bibliográficas Básica: SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004. SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto Alegre, 1983. BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1985. POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 1977. 376p. ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 1970. SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. AULA 8 Exercícios FIXAÇÃO – determinar o deslocamento horizontal nos apoios simples para cada situação a seguir. Adotar para todos os casos colunas e vigas com retangulares 30 cm x 45 cm, concreto fck 40. P á g i n a | 91 AULA8 Gabarito a) R: 2,625 mm para a direita b) R: 4,043 mm para a esquerda c) R: 14,83 mm para a esquerda d) R: 7,457 mm para a esquerda e) R: 8,735 mm para a direita f) R: 2,583 mm para a direita Estruturas hiperestáticas Aula 9 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula, teremos o primeiro contato com estruturas hiperestáticas. Veremos os tipos de estruturas que existem em função de sua capacidade de permanecer em equilíbrio e você poderá entender a diferença entre estes tipos de estruturas. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Entender os princípios da análise estrutural Entender quais fatores influenciam os tipos de estruturas Conhecer as condições estáticas das estruturas. Identificar os tipos de apoios (vínculos) percebendo as reações de apoio de cada um. Enxergar, de maneira geral, a capacidade que as estruturas possuem de inibir ou não os movimentos previstos. Classificar uma estrutura como HIPO, ISO ou HIPERESTÁTICA. Determinar o grau de hiperestaticidade externo (Ge) de estruturas planas. P á g i n a | 94 9 ESTRUTURAS Estruturas são as partes da edificação responsáveis por manter a construção estável, resistindo aos esforços externos. Uma estrutura ideal, quando solicitada por ações externas, deve ser capaz de suportar esforços de modo que não ocorra ruptura devido aos materiais utilizados ou devido à estabilidade global ou parcial de todos seus elementos. Outro fator importante para que se obtenha um elemento deste tipo em condições ideais é garantir que o mesmo proporcione um bom desempenho estrutural, tanto para resistência a deformações quanto para sua durabilidade, estando sempre dentro do intervalo de vida útil para a qual foi projetada. Primeiramente, o engenheiro deve definir qual tipo de sistema construtivo será empregado no seu projeto e, em seguida, o material a ser utilizado. Resolvidas estas etapas, avançamos para primeira fase de um projeto estrutural: Análise Estrutural. Mas qual é o objetivo geral da Análise Estrutural? Vamos refletir sobre este assunto: 1) Devemos observar que toda estrutura possui características geométricas (seção transversal) e mecânicas (tipos de vínculos, propriedades dos materiais, etc.) conhecidas. 2) Toda estrutura está submetida a um conjunto de ações, que podem ser tanto cargas (forças ou binários) como deformações impostas (recalques de apoio, deformações devido à variação de temperatura ou retração, etc.), Assim, o engenheiro civil deve ser capaz de perceber e determinar numericamente os deslocamentos (translações e/ou rotações) em quaisquer pontos da estrutura, bem como os esforços internos decorrentes das deformações produzidas por estes deslocamentos (esforço normal, cortante, momento e torção), além de determinar também as reações de apoio. Resumindo, o objetivo principal da análise estrutural é prever o comportamento da estrutura em análise. As estruturas podem ainda ser classificadas em hipoestáticas, isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). P á g i n a | 95 9.1 Estruturas Hipostáticas São estruturas que não possuem o número de apoios necessário para garantir a estabilidade da estrutura, quando se considera que as barras sejam rígidas; Número de equações NA MAIORIA DAS VEZES é maior que número de incógnitas (reações de apoio); Existem estruturas hipostáticas que possuem o número de reações MAIOR que o número de equações de equilíbrio, porém, estes vínculos não são suficientes para garantir a estaticidade da estrutura; Estrutura instável, não é capaz de impedir todos os tipos de movimentos pretendidos. Exemplos: 2 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura não é capaz de conter o deslocamento horizontal; 2 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura não é capaz de conter a tendência de giro da barra; P á g i n a | 96 3 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; “Falsa isostática”; Estrutura não é capaz de conter o deslocamento horizontal, mesmo possuindo número de reações igual ao número de equações; 9.2 Estruturas Isostáticas São estruturas que possuem o número exato de vínculos necessários para impedir todos os movimentos possíveis, ou seja, que garantam o equilíbrio da estrutura, quando se considera que as barras sejam rígidas; O cálculo das suas reações de apoio e seus esforços internos é feito apenas utilizando as condições de equilíbrio; Número de vínculos externos (reações de apoio) e vínculos internos (esforços internos) se igualam ao número de equações de equilíbrio; Um sistema determinado resolve o problema; Possui equilíbrio estável; Os esforços internos e as reações NÃO DEPENDEM das propriedades dos materiais e das características geométricas das seções transversais. Exemplos: 3 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter os três movimentos que caracterizam a estabilidade. P á g i n a | 97 3 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter os três movimentos que caracterizam a estabilidade. 3 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter os três movimentos que caracterizam a estabilidade. 3 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter os três movimentos que caracterizam a estabilidade. 9.3 Estruturas Hiperestáticas São as estruturas mais empregadas na engenharia civil, devido ao fato de possuírem o número de vínculos superior ao necessário para garantir a estabilidade do elemento estrutural. As reações de apoio e os esforços internos NÃO PODEM ser determinados apenas utilizando as equações de equilíbrio; Número de equações de equilíbrio é menor que o número de incógnitas; O método de resolução envolve um sistema indeterminado, sendo necessária a utilização de artifícios de cálculo para chegar aos valores finais de reações de apoios e diagramas de esforços solicitantes; possui equilíbrio estável. Os esforços internos dependem das propriedades dos materiais e das características geométricas das seções transversais, conhecidos como módulo de rigidez; as reações de apoio sofrem influência do módulo de rigidez SOMENTE QUANDO este não é constante para toda a estrutura. P á g i n a | 98 Exemplos: 6 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter uma quantidade acima dos três movimentos que caracterizam a estabilidade. 5 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter uma quantidade acima dos três movimentos que caracterizam a estabilidade. 6 reações de apoio; 3 equações de equilíbrio; Estrutura é capaz de conter uma quantidade acima dos três movimentos que caracterizam a estabilidade. Veja este vídeo demonstrando o comportamento dos três tipos de estruturas abordadas acima: <https://www.youtube.com/watch?v=VnBel53lrag>. https://www.youtube.com/watch?v=VnBel53lrag P á g i n a | 99 9.4 Grau De Hiperestaticidade Nesta disciplina, trataremos somente do grau de hiperestaticidade externo de estruturas. Em sistemas hiperestáticos I, lidaremos com pórticos planos hiperestáticos, e, na próxima disciplina, lidaremos com vigas hiperestáticas multiapoiadas. O grau de hiperestaticidade externo de uma estrutura nada mais é do que a quantidade de vínculos que a estrutura possui além dos necessários para garantir a estaticidade do elemento estrutural. Vejamos uns exemplos: 4 reações de apoio – 3 equações da estática Ge = 4 – 3 = 1 Dizemos que a estrutura é 1 vez hiperestática, ou seja, possui
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