APOL 1 - Tópicos de Análise Complexa

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APOL 1 - Tópicos de Análise Complexa 
 
Questão 1 - Tópicos de Análise Complexa 
Leia a afirmação: 
O conjugado de um número complexo z , denotado por z¯, é o número complexo cuja 
parte real é igual à parte real de z e a parte imaginária é o oposto da parte imaginária 
de z. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando a afirmação e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise 
Complexa com Aplicações sobre números complexos, leia as afirmativas a seguir e 
marque V para as verdadeiras e F para as falsas. 
I. ( ) Se para certo número complexo z vale a igualdade z=z¯, então pode-se afirmar que 
a parte imaginária é igual a zero. 
II. ( ) Se para certo número complexo vale a igualdade, então pode-se afirmar que é um 
número imaginário puro. 
III. ( ) Se é um número imaginário puro, então o produto de seu conjugado é um número 
imaginário puro. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V-V-F 
 
B V-F-F 
Você acertou! 
Se z=z¯, pela definição de conjugado (livro-base, p. 4), temos que z é um número real, logo sua parte imaginária é igual a zero. Sendo um número 
real, z não pode ser um número imaginário puro, logo a afirmativa I é verdadeira e a II é falsa. Se z é um imaginário puro, temos que o número zz é igual 
ao quadrado da parte imaginária de z, logo é um número real e, portanto, não imaginário puro. Assim a afirmativa III é falsa e a sequência correta é V – F 
– F. 
 
C V-F-V 
 
D F-V-F 
 
E F-F-V 
Questão 2 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
Questão 3 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
 
Questão 4 - Tópicos de Análise Complexa 
 
Leia o fragmento de texto: 
“Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x,y) que corresponde a um número 
complexo z=x+iy não nulo. Como x=rcosθ e y=rsenθ podemos escrever o número 
z em forma polar como z=r[cosθ+isenθ]”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BROWN, J.W.; 
CHURCHILL, R.V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 17. 
 
Considerando fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre forma polar de 
números complexos, relacione cada número complexo z com os valores corretos 
de r e θ (0<θ≤2πrad) para a forma polar z=r[cosθ+isenθ] deste número complexo: 
1. z=√3+3i 
2. z=−1+i√3 
3. z=6+6ii 
4. z=6+i2√3 
5. z=−3−i√3 
 
( ) r=4√3 e θ=π/6rad. 
( ) r=6√2 e θ=π/6rad 
( ) r=2√3 e θ=π/3rad 
( ) r=2 e θ=2π/3rad 
( ) r=2√3 e θ=7π/6rad 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A 5 - 3 - 4 - 1 - 2 
 
B 5 - 3 - 2 - 1 - 4 
 
C 4 - 5 - 1 - 2 - 3 
 
D 4 - 3 - 1 - 2 - 5 
 
 
E 3 - 5 - 2 - 1 - 4 
 
 
Questão 5 - Tópicos de Análise Complexa 
 
Leia o texto: 
 
Geralmente em textos acadêmicos um número complexo é apresentado em sua 
forma algébrica x+yi, porém também é comum representar tais números como um 
par ordenado de números reais da forma (x,y), onde o primeiro número representa 
a parte real e o segundo a parte imaginária do número complexo. Tal 
representação permite visualizar números complexos como pontos em um plano 
cartesiano. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando as informações do texto e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre plano complexo, leia as 
afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. 
 
I. ( ) O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=(x,y) representa a 
distância do ponto (x,y) para a origem do sistema de coordenadas. 
II. ( ) O módulo de certo número complexo z é igual ao módulo de seu 
conjugado z¯ se, e somente se, vale a igualdade z=z¯. 
III. ( ) Dados dois números complexos z1=(x1,y1) e z2=(x2,y2), a distância no 
plano cartesiano do ponto (x1,y1) para o ponto (x2,y2) é igual ao módulo do 
número complexo z1−z2. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A V-V-F 
 
B V-F-F 
 
C V-F-V 
A afirmativa I é verdadeira, pois o módulo de um número complexo é exatamente a distância do ponto que o representa até a 
origem (livro-base, p. 8). A afirmativa II é falsa, pois o módulo de um número imaginário é sempre igual ao módulo de seu 
conjugado, mesmo quando não vale a igualdade z=z¯, isso fica claro pela definição de conjugado (livro-base, p. 4). A afirmativa 
III é verdadeira, pois o módulo do número complexo z1−z2 é exatamente a distância entre os pontos que 
representam z1 e z2 (livro-base, p. 9). 
 
D F-F-V 
 
E F-V-F 
Questão 6 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
 
Questão 7 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
Questão 8 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
Questão 9 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
Questão 10 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
Questão 11 - Tópicos de Análise Complexa 
Atente para o trecho de texto: 
Embora as definições de limite de uma função em análise real e análise complexa 
sejam muito parecidas, a verificação de existência ou não de um limite em análise 
complexa é mais trabalhosa. Para funções de uma variável real basta verificar se 
os limites laterais existem e coincidem, porém para funções de uma variável 
complexa (assim como para funções de duas ou mais variáveis reais) há uma 
infinidade de caminhos a serem verificados. Este fato torna tal verificação útil 
apenas para provar a não existência de limites quando é possível encontrar dois 
caminhos pelos quais o limite não coincide. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Questão 12- Tópicos de Análise Complexa 
 
Leia o extrato de texto: 
“Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x,y) que corresponde a um número 
complexo z=x+iy não nulo. Como x=r.cosθ e y=r.senθ, podemos escrever o 
número z em forma polar como z=r.[cosθ+isenθ]”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BROWN, J.W.; 
CHURCHILL, R.V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 17. 
Considerando o extrato e texto e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à 
Análise Complexa com Aplicações sobre forma polar de números complexos, 
assinale a alternativa que apresenta os valores corretos de r e θ para a forma 
polar r[cosθ+isenθ] do número complexo z=3+i√3: 
Nota: 10.0 
 
A r=√3 e θ=60°. 
 
B r=2√3 e θ=30°. 
Você acertou! 
A forma polar (livro-base, p. 13) do número z=3+i√3 é 2√3[cos(30°)+isen(30°)], logo r=2√3 e θ=30°. 
Para chegar a tal conclusão basta calcular o módulo de z que é igual a 2√3 e colocar este valor em evidência na expressão de z, então se vê que o 
argumento (ângulo) deve ser 30° 
 
C r=2√3 e θ=60°. 
 
D r=√3 e θ=30°. 
 
 
E r=3√3 e θ=45°. 
 
 
 
 
Questão 13 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
Questão 14 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
 
 
Questão 15 - Tópicos de Análise Complexa 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 16 - Tópicos de Análise Complexa 
Leia a passagem de texto: 
“Dizemos que um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos 
podem ser ligados por um arco todo contido no conjunto. [...] Diz-se que um 
conjunto C é limitado se existe um número positivo K tal que |z| ≤ K| para todo 
z em C. Chama-se conjunto compacto a todo conjunto limitado e fechado”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Ávila, Geraldo. Variáveis 
Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000, p. 28. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no 
plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F 
para as falsas. 
I. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a 
inequação [Im(iz)]2 < 3 é aberto, conexo e limitado. 
II. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a inequação|z+2−i | < 2 é aberto, conexo e limitado. 
III. ( ) Existe ao menos um conjunto não vazio de pontos no plano complexo que é 
simultaneamente aberto e fechado. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V - V - F - F 
 
B V - F - F - V 
 
C F - V - V - F 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois pelas definições de conjunto aberto e conexo (livro-base, p. 23) este conjunto é aberto e conexo, mas, pela 
definição do elemento base, não é limitado. 
A afirmativa II é verdadeira, pois pelas definições de conjunto aberto e conexo (livro-base, p. 23) este conjunto é aberto e conexo, ale disso, é 
limitado. 
A afirmativa III é verdadeira, pois a totalidade do plano complexo (todo o conjunto dos complexos) é não vazio aberto e fechado. 
A afirmativa IV é falsa, pois a totalidade do plano complexo (todo o conjunto dos complexos) é o único conjunto não vazio aberto e fechado, 
mas este conjunto é claramente não limitado, logo não é compacto. 
 
D F - V - V - V 
 
E F - F - F - V 
 
 
Questão 17 - Tópicos de Análise Complexa 
Leia o seguinte trecho de texto: 
Ao trabalhar com computação gráfica e figuras em vetores, muitas vezes é 
necessário realizar em imagens, transformações que não alterem certos aspectos 
da imagem original. Algumas das características que podemos desejar manter são 
a forma de objetos e a distância entre pontos. Pensando do plano em que uma 
imagem esta contida como sendo o plano complexo, uma transformação que 
mantém inalterada a distância entre quaisquer dois pontos é comumente chamada 
de isometria de sobre ele mesmo. Formalmente diz-se que a função f:C→C é uma 
isometria se, para qualquer par de pontos z1 e z2, vale a igualdade 
|z1−z2|=|f(z1)−f(z2)|. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre transformações no 
plano complexo, assinale a alternativa que apresenta apenas funções que são 
isometrias: 
Nota: 0.0 
 
Questão 18 - Tópicos de Análise Complexa 
Leia a passagem de texto: 
Pela maneira como as operações de adição e multiplicação de números 
complexos são definidas, existem expressões válidas para números complexos 
z1,z2 e z3 arbitrários. Estas expressões facilitam cálculos ou demonstram 
propriedades deste conjunto numérico. 
 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre números complexos, 
relacione as expressões a seguir com o nome pelo qual elas são conhecidas. 
 
1. z1z2=z2z1 
2. z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 
3. z1(z2z3)=(z1z2)z3 
4. |z1+z2|≤|z1|+|z2| 
5. z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 
( ) Lei associativa para a multiplicação. 
( ) Lei associativa para a adição. 
( ) Lei comutativa para a multiplicação. 
( ) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição. 
( ) Desigualdade triangular.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A 1 - 3 - 4 - 5 - 2 
 
B 5 - 2 - 1 - 3 - 4 
 
C 2 - 4 - 1 - 5 - 3 
 
D 3 - 2 - 1 - 5 - 4 
Você acertou! 
Pelas expressões apresentadas no livro base vê-se que a ordem correta é 3 – 2 – 1 – 5 – 4, as leis associativas para 
multiplicação e adição, lei comutativa para a multiplicação e distributiva são propriedades básicas de operações com números 
complexos (livro-base, p. 3). A desigualdade triangular pode ser deduzida via definição de módulo de um número complexo, mas 
também tem uma interpretação geométrica com a qual os alunos devem estar familiarizados (livro-base, p. 9). 
 
E 3 - 2 - 5 - 1 - 4 
 
Questão 19 - Tópicos de Análise Complexa 
Atente para a afirmação: 
 
O conjugado de um número complexo z, denotado por ¯z, é o número complexo 
cuja parte real é igual à parte real de z e a parte imaginária é o oposto da parte 
imaginária de z. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando tal afirmação e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à 
Análise Complexa com Aplicações sobre números complexos e que para certo 
número complexo z fixado vale a igualdade, analise as afirmativas a seguir e 
assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas: 
 
I. ( ) É possível verificar que o módulo da parte real do número z é igual a 1/2. 
II. ( ) É possível verificar que o módulo da parte imaginária do número z é igual a 
1/2. 
III. ( ) É possível verificar que o módulo da soma da parte real com a parte 
imaginária do número z é igual a 2. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
A V - F - F 
Realizando simplificações e utilizando produtos notáveis vemos que , logo 
Pela definição do complexo conjugado temos que o valor da expressão z+¯z é igual a duas vezes o valor da parte real de z. 
Portanto, a parte real de z é igual a ±1/2, logo seu modulo é 1/2, fazendo verdadeira a afirmação I. 
As afirmativas II e III são falsas, pois pela expressão dada não é possível obter informações sobre a parte imaginária do 
número z ou sobre a soma das partes real e imaginária. (livro-base, p. 4). 
 
B F - V - F 
 
C F - F - V 
 
D V - V - F 
 
E F - V - V 
Questão 20 - Tópicos de Análise Complexa 
Atente para o texto: 
A forma polar z=r[cosθ+isenθ] de um número complexo facilita a similaridade de 
tais números como pontos no plano complexo, além de ser útil para a 
simplificação do cálculo da multiplicação e divisão entre números complexos. 
Dados dois números complexos z1=r1.[cosθ1+isenθ1] e z2=r2[cosθ2+isenθ2], o 
produto entre eles pode ser realizado da seguinte forma: 
 
z1z2=r1r2[cosθ1+isenθ1][cosθ2+isenθ2]. 
 
Utilizando as fórmulas trigonométricas para seno e cosseno da soma de ângulos, 
obtemos a expressão: 
 
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]. 
 
Essa forma de calcular o produto (multiplicação) entre dois números complexos 
pode ser generalizada e utilizada para o cálculo de potências inteiras de um 
número complexo z. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre a forma polar de 
números complexos, assinale a alternativa que apresenta o número z que torna 
verdadeira a igualdade 
 
 
A z=−i. 
 
B z=−1 
 
 
C z=6i 
 
D z=−4−3i 
 
E z=4 
Questão 21 - Tópicos de Análise Complexa 
Atente para a passagem de texto: 
“Dizemos que um conjunto aberto SS é conexo se quaisquer dois de seus pontos 
podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de 
segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em S. [...] Um conjunto 
aberto não vazio e conexo é denominado domínio. Observe que qualquer 
vizinhança é um domínio”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. 
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33. 
Considerando tais informações, os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à 
Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no plano 
complexo, denotando por Sc o complementar de um conjunto S e dados os 
conjuntos: 
 
A={z∈C;[Im(z)]2>2} 
B={z∈C;|z−1|<3} 
D={z∈C;|z−3|<2} 
 
Leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. 
I. ( ) O conjunto (A∪B)C∩DC é fechado. 
II. ( ) O conjunto (AC∪B)C∩DC é aberto. 
III. ( ) O conjunto AC−B−D é um domínio. 
IV.( ) O conjunto [B−(B∩D)]∪[D−(B∩D)] é um domínio. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
A V - V - F - F 
O conjunto A é formado por dois semiplanos sem as fronteiras, que são as retas z=i√2 e z=−i√2. 
O conjunto B é um disco aberto centrado no ponto z=1 e com raio igual a 3. 
O conjunto D é um disco aberto centrado no ponto z=3 e com raio igual a 2. 
Logo os três conjuntos são abertos. 
A afirmativa I é verdadeira, pois (A∪B)C∩DC=(A∪B∪D)C, como a união de conjuntosabertos é um conjunto aberto, temos que o 
complementar de A∪B∪D é fechado (livro-base, p. 25). 
A afirmativa II é verdadeira, pois (AC∪BC)C∪D, como a união e interseção finita de abertos é um aberto (livro-base, p. 25), 
temos (AC∪BC)C∪D aberto. 
A afirmativa III é falsa, pois AC−B−D é claramente não conexo e não aberto, logo não é domínio. 
A afirmativa IV é falsa, pois [B−(B∩D)]∪[D−(B∩D)] é aberto, mas não é conexo, logo não é domínio. 
Algumas das propriedades usadas na resolução desta questão não são citadas explicitamente no livro-base, mas decorrem 
diretamente de definições apresentadas no livro. 
 
B V - V - F - V 
 
C V - F - F - F 
 
D F - V - F - V 
 
E F - F - F - V 
 
 
Questão 22 - Tópicos de Análise Complexa 
 
Leia a passagem de texto: 
“Dizemos que um conjunto aberto SS é conexo se quaisquer dois de seus pontos 
podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de 
segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em SS.[...] Um conjunto 
aberto não vazio e conexo é denominado domínio. Observe que qualquer 
vizinhança é um domínio”. 
 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. 
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33. 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no 
plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F 
para as falsas. 
 
I. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a 
inequação [Re(iz)]2>2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo. 
II. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a inequação 
|z−3+2i|≤1não é um domínio, pois este conjunto não é aberto. 
III. ( ) O conjunto dos pontos zz, no plano complexo, que satisfazem a inequação 
|z+1+i|<2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo. 
 
 
A V - V - F 
A afirmativa I é verdadeira, pois o conjunto em questão é aberto (livro-base, p. 23) e não vazio, mas não é conexo, logo não é domínio. 
A afirmativa II é verdadeira, pois o conjunto em questão é conexo e não vazio, mas não é aberto (livro-base, p. 23), logo não é domínio. 
A afirmativa III é falsa, pois o conjunto em questão é um domínio, ou seja, é aberto conexo e não vazio. 
 
B V - F - F 
 
C V - F - V 
 
D F - F - V 
 
E F - V - F 
 
 
 
 
 
 
Questão 23 - Tópicos de Análise Complexa 
 
Leia o seguinte trecho de texto: 
“Uma função f é contínua em um ponto z0 se as três condições seguintes 
estiverem satisfeitas: (1) limz→z0f(z) existe, (2) f(z0) existe, (3) limz→z0f(z0). Observe 
que a afirmação (3) realmente contém as afirmações (1) e (2), pois necessitamos 
da existência das quantidades de cada lado da equação daquela afirmação. [...] 
Uma função de uma variável complexa é dita contínua numa região R se for 
contínua em cada ponto de R”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. 
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 52. 
Considerando tais informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à 
Análise Complexa com Aplicações sobre a continuidade de uma função 
complexa, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Toda função polinomial complexa é contínua em todo o plano complexo. 
II. Toda função racional complexa é contínua em todo o plano complexo. 
III. Dada uma região fechada e limitada R, se a função complexa f é contínua em 
R, então f é limitada em R. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
A I 
 
B II 
 
C I e II 
 
D I e III 
A afirmação I. é verdadeira, pois assim como em funções reais, funções complexas polinomiais são contínuas (livro-base, p. 92). 
A afirmação II. é falsa, pois assim como em funções reais, funções complexas racionais são contínuas apenas nos pontos que não zeram 
seu denominador (livro-base, p. 92). 
A afirmação I. é verdadeira, pois assim como em funções reais, funções complexas contínuas sobre uma região fechada e limitada, são 
limitadas (livro-base, p. 92). 
 
E II e III 
 
 
 
Questão 24 - Tópicos de Análise Complexa 
Atente para a afirmação: 
Para que não seja necessário decorar as definições das operações com números 
complexos, pode-se lembrar de algumas propriedades operatórias de tal conjunto 
numérico. Propriedades como comutatividade, associatividade, existência de 
elemento neutro e a lei distributiva facilitam os cálculos envolvendo números 
complexos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso 
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre operações com 
números complexos, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para as 
afirmativas verdadeiras e (F) para as afirmativas falsas: 
I. ( ) As operações de adição, multiplicação e divisão de números complexos 
possuem a propriedade comutativa. 
II. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos possuem a 
propriedade associativa. 
III. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos admitem 
elementos neutros. Sendo 0 o elemento neutro da soma e 1 o elemento neutro da 
multiplicação (identidade aditiva e identidade multiplicativa, respectivamente). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
A V - F - F 
 
B F - V - F 
 
C F - F - V 
 
D V - F - V 
 
E F - V - V 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois a operação de divisão de números complexos não possui a propriedade comutativa (livro-base, p. 5). 
A afirmativa II é verdadeira, pois as operações de adição e multiplicação de números complexos possuem a propriedade associativa (livro-
base, p. 3). ). 
A afirmativa III é verdadeira, pois as operações de adição e multiplicação de números complexos possuem admitem elementos neutros 0 e 
1, respectivamente (livro-base, p. 3).