Apol Análise Matemática 1

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) XX é um conjunto aberto.
II.  ( ) XX é um conjunto limitado.
III. ( ) XX  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) XX é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 2/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  NN e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, então, xx não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se XαXα é um corte de Dedekind, então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque XαXα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0limsin⁡(n)n=0
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin⁡(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin⁡(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N
	
	D
	limsin(n)n=1limsin⁡(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 6/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge éum intervalo de centro x0x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
Questão 7/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 0.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 8/10 - Análise Matemática
Observe a seguinte série numérica:
∑∞132k41−k∑1∞32k41−k
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.
Nota: 0.0
	
	A
	A série converge para 9494
	
	B
	A série converge para 3434
	
	C
	A série diverge.
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica com r=94>1r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2).
	
	D
	A série diverge para 4343 
	
	E
	A série converge para 12.
Questão 9/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 0.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 10/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V