apostila 8º ano - Cópia

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Secretaria Adjunta de Gestão Educacional - SAGE 
Aprendizagem Conectada 
Atividades Escolares 
8º ano do Ensino Fundamental 
APOSTILA PARA SETEMBRO/2020 
MATEMÁTICA 
 
Escola Estadual Professor João Crisóstomo de Figueiredo 
Professor(a): Marli Pereira Barbosa 
Estudante: 
Período: Matutino 
Turma 8° ano ______ 
 
MATEMÁTICA 
Unidade Temática 
 
Habilidade da BNCC 
Trabalhada na Unidade 
Objetos de conhecimentos 
 
Expressões e 
cálculo algébrico 
 
(EF08MA06) • Expressões algébricas 
• O uso de letras para representar 
números. 
• Expressão algébrica ou literais 
• Valor numérico de uma 
expressão algébrica 
• Monômio ou termo algébrico 
• Grau de um monômio 
• Monômios semelhantes 
• Adição algébrica de monômios 
 
 
 
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-ÁLGEBRA. (um pouco de história) 
A álgebra é a parte da matemática dedicada ao estudo de equações, polinômios, operações 
matemáticas e estruturas algébricas, sendo um dos principais ramos da matemática pura. 
Na prática a álgebra é o campo da matemática que faz a generalização da aritmética, ou 
seja, as operações e conceitos, como adição, subtração, multiplicação, divisão, etc, são 
testados e sua eficácia deve ser comprovada para todos os números que pertencem a 
determinados conjuntos numéricos. A álgebra usa letras para representar números. Essa 
representação pode ser tanto de um número desconhecido quanto de qualquer número que 
pertence a um conjunto numérico. 
 
Você consegue imaginar como seria “fazer” Matemática sem utilizar a simbologia 
matemática? 
Eduardo questionou-se por que eram usados letras e símbolos para expressar cálculos que 
ele acreditava poderiam ser descritos com palavras. Observe, na tirinha a seguir, como 
Eduardo imaginou se um matemático do século XVI lhe mostrasse um exemplo de cálculo 
que não utilizava símbolos. 
Vamos rever esse exemplo: 
Duas vezes um número desconhecido adicionado de um inteiro determina qual-quer 
número ímpar, desde que esse número desconhecido pertença ao conjunto dos números 
inteiros 
Agora, pense e responda no caderno: 
• A expressão apresentada como exemplo por François Viète na imaginação de Eduardo 
descreve que tipo de número? 
Passe para a linguagem matemática o exemplo apresentado na tirinha. 
• Escreva literal e matematicamente uma sentença matemática. Qual das duas maneiras 
for a mais simples para você escrever? 
 
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http://www.grpcristorei.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/14/950/231/arquivos/File/LIVROS-DIDATICOS-6E8ANO/Matematica8ano.pdf#page=21
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Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o ser 
humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado. 
Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que 
deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e 
expressar a solução de um problema. Entretanto, muito tempo se passou até as letras 
serem amplamente usadas para indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, 
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principalmente, ao alemão Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo 
Cardano (1501-1576) e Raffaelle Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável 
interesse, intitulada L’Algebra e publicada em 1572. Foi, porém, um advogado e 
matemático francês, François Viète (1540-1603), quem introduziu o uso sistemático 
das letras para indicar os números desconhecidos e os símbolos das operações usados 
até hoje 
• Pense e responda: (Responda às questões no caderno). 
1. Você já sabe que: 
• a área de um retângulo equivale ao produto do comprimento pela largura; 
• a área de um quadrado equivale ao quadrado da medida do lado do quadrado. 
Como você faria para calcular a área de cada figura a seguir? 
 
Das expressões que você escreveu para representar as áreas das figuras, quais foram 
escritas usando-se: 
I) apenas números? II) números e letras? III) apenas letras? 
2-Observe as expressões matemáticas a seguir: 
a) 3 + 2 + 5 . 4 b) x + y + z 
c) 3x2+ 2y + 4 d) (5 - 1)2+18 : 3 - 43 
Que diferenças você observa entre elas? 
O objetivo de representar números desconhecidos por meio de letras era indicar as 
operações matemáticas de forma mais simples e sintética. 
 
 
 
4 
 
Assim 
 
Da mesma forma, se a e b representam dois números reais quaisquer, temos que: 
• a + b ou b + a representa a soma desses dois números; 
• a - b representa a diferença entre esses dois números; 
• a . b ou b . a representa o produto desses dois números; 
• a : b ou 
𝑎
𝑏
 com b ≠ 0, representa a divisão de a por b. 
Na Geometria, se a representa a medida do lado de um quadrado qualquer, temos que: 
 
 
Responda às questões no caderno. 
 1. Escreva as operações de forma sintética: 
a) o quadrado do número real x 
 b) o cubo do número real y. 
c) a raiz quadrada do número real x. 
 d) a quinta potência do número real b. 
e) a adição dos números reais b e c. 
 f) o produto dos números reais a e x. 
 
 
2. Usando duas letras (por exemplo, x e y), escreva uma expressão que represente: 
a) o dobro de um número real adicionado ao dobro de outro número real. 
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http://www.grpcristorei.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/14/950/231/arquivos/File/LIVROS-DIDATICOS-6E8ANO/Matematica8ano.pdf#page=31
http://www.grpcristorei.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/14/950/231/arquivos/File/LIVROS-DIDATICOS-6E8ANO/Matematica8ano.pdf#page=32
http://www.grpcristorei.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/14/950/231/arquivos/File/LIVROS-DIDATICOS-6E8ANO/Matematica8ano.pdf#page=32
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b) o produto da soma pela diferença de dois números reais quaisquer. 
c) a adição dos quadrados de dois números reais quaisquer. 
d) a diferença dos quadrados de dois números reais quaisquer. 
e) o quadrado da soma de dois números reais quaisquer. 
f) a adição da raiz quadrada de um número real com a quinta parte de outro número real. 
 
 
Sabemos que é possível usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., m, n, ..., w, y, z) para 
representar números reais. 
Consideremos, então, as seguintes situações: 
1- Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a 
seguir? 
 
O comprimento da piscina é expresso pelo número real x. 
 A largura da piscina é expressa pelo número real y. 
O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. 
Então, a expressão que representa o perímetro da piscina retangular é: 
2 . x + 2 . you 2x + 2y 
2-Qual é a expressão que representa a área total do terreno da figura? 
A área total do terreno é igual à soma das áreas das partes 1 e 2. Como a parte 1 é um 
retângulo, a sua área é expressa por ab. Como a parte 2 é um quadrado, a sua área é 
expressa por c2. 
6 
 
Então, a expressão que representa a área total do terreno é: 
ab + c2 
Nas duas situações apresentadas, escrevemos expressões matemáticas nas quais aparecem 
números e letras, ou somente letras. Essas expressões mate-máticas são chamadas 
algébricas ou literais. 
• Uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente letras, é 
denominada expressão algébrica ou literal. As letras, que normalmente 
representam números reais, são chamadas variáveis. 
 
Quando uma expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador, ela 
é chamada expressão algébrica inteira 
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador, ela é 
chamada expressão algébrica fracionária 
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no interior de um radical, 
ela é chamada expressão algébrica irracional. 
 
 
Responda às questões : 
7 
 
 1. Em certa loja um livro custa x reais e um caderno custa y reais. Qual é a expressão 
algébrica que representa o valor total pago por Caio ao comprar 5 livros e 8cadernos 
iguais a esses nessa loja? 
2. Em uma empresa trabalham h homens e m mulheres. 
a) Qual é a expressão algébrica que vai representar: 
• o total de pessoas que trabalham nessa empresa? 
• a diferença entre o número de homens e o número de mulheres que trabalham nessa 
empresa? 
• a razão entre o número de homens e o número de mulheres que trabalham nessa 
empresa? 
b) Alguma das expressões algébricas que você escreveu é fracionária? Qual? 
 3. A área de um retângulo pode ser dada pelo produto das medidas de dois lados 
consecutivos. Qual é a expressão algébrica que você pode escrever para representar a área 
da figura a seguir? 
4. Suponha que um terreno tenha a forma da figura aqui mostrada e suas medidas sejam 
representadas, em unidades de comprimento, pelas letras x e y.Qual é a expressão 
algébrica que representa o perímetro desse terreno? 
 
5. Escreva representa a área da figura a seguir.a expressão algébrica que 
 
8 
 
 6. Caio tinha x reais. Foi a uma loja de esportes e comprou 2 pares de tênis. Cada par 
custou y reais. Qual expressão algé-brica pode representar a quantia que sobrou para Caio, 
depois de comprar os pares de tênis? 
7. Qual é a expressão algébrica que representa a soma do quadrado de um número x com 
o triplo do mesmo número x? 
 8. Um alvo é composto de duas regiões, A e B, conforme mostra a figura. 
Nesse alvo, cada flecha que atinge a região A vale x pontos e cada flecha 
que atinge a região B vale y pontos. Fernando atingiu a região A com 7 flechas e a região 
B com 10 flechas. Escreva a expressão algébrica que representa o total de pontos que 
Fernando marcou. 
9- Use uma expressão algébrica para responder. 
a)Quantos dias há em um período de x semanas mais 20 dias? 
b)Quantos meses há em um período de y anos mais 10 meses? 
Vamos analisar duas situações. 
1 Ângela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema. Supondo que cada entrada para 
o cinema custe x reais, a expressão algébrica que representa o gasto delas com as entradas 
é 3x. 
• Supondo que, no domingo, cada entrada custe 18 reais, elas deverão pagar 54 reais pelas 
três entradas: 3x = 3 .18 = 54 
Dizemos que 54 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 18.• Supondo que, 
na quarta-feira, cada entrada custe 15 reais, elas deverão pagar pelas três entradas 45 reais: 
3x = 3 ? 15 = 45 Dizemos que 45 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 
15. 
2 - A forma e as medidas de um terreno estão representadas na figura a seguir: 
9 
 
 
Vamos supor que: 
• o lado do quadrado meça 20 unidades de comprimento 
;• as medidas dos lados b e c do retângulo sejam 16 e 12 unidades de compri-mento, 
respectivamente. 
Nessas condições, vamos calcular a área desse terreno: 
 a2+ bc = 202+ 16 . 12 = 400 + 192 = 592 
A área desse terreno será 592 unidades de área. 
O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica a2+ 
bc para a = 20, b = 16 e c = 12. 
 
➢ Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e 
efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão 
algébrica dada para esses números. 
 
Uma consideração importante 
Em algumas expressões algébricas fracionárias não é possível obter o valor numérico da 
expressão. Isso acontece quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador 
da expressão, e, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Assim: 
• A expressão 
𝑎
𝑥
 não tem valor numérico quando x = 0 
.• A expressão 
𝑎+2
𝑎−1
 não tem valor numérico quando a = 1. 
Na prática, determinamos o valor para o qual uma expressão fracionária não tem valor 
numérico igualando o denominador dessa expressão a zero e resolvendo a equação obtida. 
Vamos ver duas situações: 
1- Para qual valor de x a expressão algébrica 
 𝑥−3 
2𝑥−1 
não tem valor numérico? 
2x - 1 = 0 → 2x = 1 → x = 
 1 
2
 
10 
 
Dizemos que a expressão não tem valor numérico quando x = 
1
2
 
2- Qual deve ser o valor de x, em função de y, para que a expressão algébrica 
𝑥+𝑦
𝑥−𝑌
 não 
tenha valor numérico? 
Igualando o denominador da expressão a zero, temos: 
X - y = 0 → x = y 
Dizemos que a expressão algébrica dada não tem valor numérico quando x = y. 
 
 
 
 
11 
 
 
Pense e responda 
Responda às questões no caderno. 
1. Esta figura é uma representação de um retângulo, cujas medidas dos lados, expressas 
em unidades de comprimento, são x e y. 
 
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo? 
b) Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo da figura? 
c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b existe uma 
diferença. Qual é essa diferença? 
 
2. Suponha um número real x. Como você representaria: 
a) o dobro desse número? 
b) o quadrado do número acrescido do próprio número? 
Veja a situação a seguir 
Uma torneira gotejando desperdiça y litros de água em 1 hora.A expressão algébrica que 
representa a quantidade de água desperdiçada por essa torneira gotejando por 4 horas é 
4y. 
Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou termos algébricos. 
➢ Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada 
apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de 
12 
 
números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no 
radical. 
Assim, são exemplos de monômios: 
• 3x • 7y • x2 • abc • 
4𝑥
3
 
Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado 
coeficiente do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis 
(considerando inclusive seus expoentes), chamada parte literal. 
Observe os exemplos de monômios 
 
 
Responda às questõe. 
1. Mariana vende carrinhos em miniatura ao preço de x reais cada um. Qual o monômio 
que representa o preço de 9desses carrinhos? 
 2. Em uma rodovia, o preço de um dos pedágios é R$ 9,20. Se nesse pedágio passaram 
x carros em determinado dia, qual é o monômio que expressa a arrecadação, em reais 
nesse dia? 
3. Um prédio possui x apartamentos por andar. Se esse prédio tem 20 andares, qual é o 
monômio que representa a quantidade de apartamentos? 
 4. Na Viação Graviola, a viagem de Campina Grande a João Pessoa custa R$ 22,50. Qual 
é o monômio que representa o valor arrecadado com y passageiros que fazem esse trajeto? 
 5. Qual é o monômio que representa o produto de7, a e b? 
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8. Identifique o coeficiente e a parte literal dos monômios a seguir. 
a) 7b3 
b)-x2y 
c) 0,9c4 
d) a5x3 
e)-6,2a4b2c 
f)45 
Grau de um monômio 
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das 
variáveis. 
Exemplos:• O monômio 6x2y5 é do 7o grau.→ (2 + 5 = 7) 
• O monômio - 
1
3
ab é do 2o grau→ (ab = a1b1h 1 + 1 = 2) 
• O monômio 5,1y6 é do 6o grau. 
• O monômio 10 é de grau zero. 
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. 
Nesse caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. 
 Exemplos: 
• O monômio 3x2y5 é do 2o grau em relação à variável x. 
• O monômio -
1
2
a3b é do 1o grau em relação à variável b. 
➢ Monômios semelhantes 
Acompanhe: 
• 10x2y e - 
2
3
 x2y possuem a mesma parte literal: x2y. 
• 2,5x3, 
1
2
 x3 e -4x3 possuem a mesma parte literal: x3. 
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Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, eles são denominados 
monômios semelhantes ou termos semelhantes 
 
➢ Adição algébrica de monômios 
Acompanhe as situações a seguir. 
1 Qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura? 
Para resolver o problema, podemos representar: 
• a área do retângulo 1 pelo monômio 5x; 
• a área do retângulo 2 pelo monômio 3x. 
Então, a área do retângulo ABCD, que é dada pela soma das áreas dos retângulos 1 e 2, 
pode ser representada por 5x + 3x. 
Podemos, também, considerar o retângulo ABCD, cujos lados medem (5 + 3) = 8 e x, e a 
área será dada por 8x. 
Comparando os dois processos, temos: 5 x + 3x = 8x ou, ainda, 5x + 3x == (5 + 3)x = 8x. 
Assim , 8x é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura. 
➢ Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, 
podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebri-camente os 
coeficientes e mantendo a parte literal. Essa operação também pode ser chamada 
de redução de termos semelhantes. 
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Responda às questões : 
1. Entre os monômios a seguir, quais são os que apresentam grau 4? 
 
2. Qual é o grau do monômio -15a3x5y? 
 
3. Qual é o valor que se deve colocar no lugar do expoente x para que o monômio 
7,5a2bxc5 seja do 10o grau? . 
 
4-Observe os monômios 
 
7x310x4 -2x58x2 -2,5x20 
a) Qual é o monômio de maior grau? 
b) Escreva os monômios na ordem decrescente, de acordo com o grau. 
5. Os monômios 10anb2 e 20x7ym são do 8ograu. Qual é o valor numérico da expressão 
m + n 
16 
 
Desafio matemático. 
 
 
 
 
 
 
17 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
• A conquista da matemática : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / José 
Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. 
• Portal só Matematica-https//sómatemática.com.br 
	-ÁLGEBRA. (um pouco de história)