APOSTILA 1 - 8º ANO - REGULAR - 3ª ETAPA

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Apostila elaborada pela Coordenadora: Renata Manhães Matemática – 8º Ano – Página 1 
 
APOSTILA 01 DE MATEMÁTICA – 3ª ETAPA 
 
Conteúdo: Equações e sistemas de equações 
 
 SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES: MÉTODOS DA SUBSTITUIÇÃO E DA ADIÇÃO
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de 
uma incógnita(letra que representa um valor desconhecido). Para resolver um sistema é necessário 
encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações. 
Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as 
equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas. 
Como resolver um sistema de equações do 1º grau? 
Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método 
da substituição ou o da soma. 
 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para 
determinar o seu valor em relação à outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na 
outraequação. 
Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos 
encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, 
assim, encontramos também o valor da outra incógnita. 
Exemplo: 
Resolva o seguinte sistema de equações: 
𝑥 + 𝑦 = 12 
3𝑥 − 𝑦 = 20 
Resolução 
Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, 
para isolar o x. Assim temos: 
Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira: 
3x – y = 20 
 
DATA: / /2020 TURMA: ANO: 8º ANO 
ESCOLAMUNICIPAL 
NOME: 
PROFESSOR(A):__________________________________________ Nº:___ 
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Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para 
encontrar o valor do x: 
 x + y = 12 
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam 
ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 =20. 
 MÉTODO DA ADIÇÃO 
 
No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando 
uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam 
opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários. 
Exemplo: 
Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior: 
Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, 
iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo: 
 
 
 
 
Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação: 
x + y = 12 → x = 
32
4
 → x = 8 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 + 𝑦 = 24 
 → {
3𝑥 − 𝑦 = 20 
5𝑥 + 2𝑦 = 60 
 
 
Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso,devemos 
multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da 
outra equação. 
Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado 
de multiplicarmos todos os termos por- 2, para não modificarmos a igualdade. 
Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é: 
{
−6𝑥 − 2𝑦 = −48
5𝑥 + 2𝑦 = 60 
 
Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo: 
Logo, x = - 12, não podemos esquecer-nos de substituir esse valor em uma das equações para 
encontrar o valor do y. 
Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos 
substituir na mais simples: 
 
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Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da 
substituição. 
Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, 
podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse 
método. 
 
Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos: 
 
 
 
 
Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60) 
 
 
 
 
Resolução de Problemas com Sistemas de Equações 
Exemplo 1 
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a 
população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 
 
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor 
desconhecido). 
Cidade A = x e Cidade B = y 
{
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 200.000
 
Substituindo x = 3y na 2ª equação: x + y = 200000 
 
3y + y = 200 000 
4y = 200 000 
𝑦 = 
200 000
4
 
 
y = 50 000 
 
População da cidade A = 150 000 habitantes População da cidade B = 50 000 habitantes 
 
Exemplo 2 
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. 
Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo- se que no total foram 10notas? 
 
Use X para notas de 20 reais e y para notas de 5 reais 
 
Equação do número de notas: x + y = 10. 
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140 
{
𝑥 + 𝑦 = 10 
20𝑥 + 5𝑦 = 140 
 
Aplicar método da substituição: 
 
Isolando x na 1ª equação x + y = 10 fica x = 10 - y 
Substituindo o valor de x na 2ª equação: 
20x + 5y = 140 → 20(10 – y) + 5y =140 → 200 – 20y + 5y =140 
Substituindo y = 50 000 na 1ª equação, temos: 
 x = 3 . 50 000 → x = 150 000 
 
 
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- 15y = 140 – 200 → - 15y = - 60 (multiplicar por -1) 
15y = 6 → 𝑦 = 
60
15
 → y =4 Substituindo y = 4, temos → x = 10 – 4 → x= 6 
Logo, Cláudio usou 6 notas de R$ 20,00 e 4 notas de R$ 5,00. 
Exemplo 3 
Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o 
dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 
Pequenos: x Grandes: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 1 = 2𝑦 
 →Isolando x na 1ª equação, temos, x + y = 8 → x = 8 - y 
Substituindo o valor de x na 2ª equação: 
x + 1 = 2y → (8 – y) + 1 = 2y → 8 – y + 1 = 2y → 9 = 2y + y 9 =3y 
3y = 9 → 𝑦 = 
9
3
 → y = 3 
Substituindo y = 3 na 1ª equação, temos: x = 8 – 3 → x = 5 
Peixes pequenos: 5 Peixes grandes: 3 
 
Exemplo 4 
Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor 
dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 
Para Maior: x e Para Menor: y 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 16
𝑥 + 5𝑦 = 1
 
Isolando x na 2ª equação, temos : x + 5y = 1 → x = 1 – 5y 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
2(1 – 5y) + 3y = 16 → 2 – 10y + 3y = 16 → - 7y = 16 – 2 → - 7y = 14 (multiplica por -1) 
→ 7y = - 14 → 𝑦 = − 
14
7
 → y = - 2, que satisfaz ao mesmo tempo , as duas equações y = - 2 
Substituindo y = - 2 na 1ª equação, temos: x = 1 – 5 (-2) → x = 1 + 10 → x = 11 
Os números são 11 e -2. 
Observe o exemplo: 
 
ᴥ Soluções da equação x + y =7 
(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); etc. 
ᴥ Soluções da equação 2x + 4y =22 
.(1,5); (3,4); (5,3); (7,2); etc. 
 
O par ordenado (3,4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas equações. 
Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas será o par 
ordenado (3,4). 
 
Solução de um Sistema de Equações do 1º grau com duas incógnitas através da 
representação gráfico 
 
A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o par ordenado. 
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AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA SÓ SERÃO CONSIDERADAS COM SEUS DEVIDOS CÁLCULOS,ASSIM COMO AS DEMAIS QUESTÕES QUE PRECISAM DE CÁLCULO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 
1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retascorrespondentes às duas 
equações. 
Exemplo 2 - Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de 
R$140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 
Resposta: 
x notas de 20 reais y notas de 5 reais 
Sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações do 1º 
grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6,4). 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1 – Resolva os problemas utilizando sistema de equação do 1º grau com uma incógnita por qualquer 
método estudado. 
 
a) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números. 
 
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b) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números? 
 
 
 
 
c) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de 
bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o número de automóveis e bicicletas que se 
encontram no pátio? 
 
 
 
 
d) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as 
girafas? 
 
 
 
 
e) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 
tomates de um lado e 2 pepinos do outro. Quanto pesa um tomate? E um pepino? 
 
 
 
 
 
f) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números? 
 
 
 
 
 
 
g) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam 
R$ 138,00. Qual é o preço de cada peça? 
 
 
 
 
 
h) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou 
em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a 
joaninha 6) 
 
 
 
 
 
2 – A soma de dois números é 7 e a diferença entre eles é 5. De acordo com essas informações 
qual é o par ordenado que seja a solução desse sistema de equação. 
 
a) (6 , 1) b) (12 , 7) c) ( 4 , 5) d) 8 , 0) e) ( 5 , 9) 
 
 
Bibliografia: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/ 
 
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