Teoria do Consumidor na Microeconomia

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Microeconomia
Teoria do Consumidor
Pedro Sabino
pedro.sabino@cefetmg.br
ERE - 1º semestre de 2020
Pedro Sabino (pedro.sabino@cefetmg.br) Microeconomia ERE - 1º semestre de 2020 1 / 22
1 Introdução
2 Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
3 Restrição Orçamentária - conjunto factível de compras
4 Problema de Escolha do Consumidor
Pedro Sabino (pedro.sabino@cefetmg.br) Microeconomia ERE - 1º semestre de 2020 2 / 22
Introdução
Demanda e Teoria do Consumidor
Demanda é a quantidade de um determinado bem ou serviço que um consumidor (ou o conjunto
deles) deseja adquirir em determinado período de tempo, dado sua renda, sua preferência (gosto)
e os preços do bem e produtos relacionados.
Teoria do Consumidor é o campo que estuda como o consumidor aloca sua renda dentre as
possíveis opções de bens ou de serviços a serem comprados.
Em particular, a Teoria do Consumidor o processo de escolha entre os tradeoffs. Uma vez que a
renda é limitada, o consumidor precisa definir as quantidades de cada item que ele consome.
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Introdução
Teoria do Valor do Trabalho × Teoria do Valor Utilitarista
A Teoria do Valor do Trabalho antecedeu a Utilitarista, sendo desenvolvida pelos economis-
tas clássicos (Malthus, Smith, Ricardo, Marx). Ela considera que o valor de um bem se dá
pelo lado da Oferta, mediante o custo do trabalho incorporado ao bem durante a sua produção.
Nesse sentido, é uma teoria objetiva, focada no "custo" da produção como determinante do
valor "natural" do bem, em torno do qual o preço de troca desse bem irá oscilar conforme as
dinâmicas do mercado.
A Teoria do Utilitarista veio complementar a Teoria do Valor do Trabalho ao considerar o lado
da Demanda. Ela distinguiu claramente a diferença entre:
Valor de Uso - É a utilidade ou satisfação que o bem representa para o consumidor.
Valor de Troca - Formada pelo encontro entre Oferta e Demanda do bem ou serviço.
Na visão utilitarista, prepondera a visão do consumidor, o qual irá definir subjetivamente o
valor do bem ou serviço conforme sua Utilidade (i.e., grau de satisfação ou bem-estar conce-
dido ao consumir esse bem ou serviço).
Pressuposto básico da Teoria do Consumidor:
O consumidor busca maximizar a sua Utilidade (conforme a Teoria Utilitarista) ao decidir sobre a
quantidade consumida de um bem em detrimento aos demais, sujeito à sua restrição orçamentária
e aos preços de mercado.
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Preferências e Função de Utilidade
As preferências de um consumidor pode ser descritas formalmente (matematicamente) através
das seguintes notações:
Seja X = {Laranja, Banana, Maçã, ... } o conjunto de bens que ele pode consumir, a preferência
de um indivíduo será representada pela relação algébrica % sobre o conjunto X , i.e.,
Banana % Maçã - se ele prefere uma banana a uma maçã;
Banana ∼ Maçã - se ele é indiferente entre uma banana ou uma maçã; e
Banana � Maçã - se ele é prefere estritamente uma banana a uma maçã.
Uma hipótese usualmente assumida é que essas relações são completas (para qualquer par de
bens (x , y) tem-se x % y ou y % x) e transitivas (se x % y ou y % z então x % z). Isso permite
que as relações de preferência sejam representadas por Funções de Utilidade, i.e., funções reais
u : X → R onde:
x % y ⇔ u(x) ≥ u(y). (1)
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Função Utilidade Univariada
Considere que um indivíduo consome x unidades de um único bem. Geralmente, o consumidor
fica mais feliz ao aumentar o seu consumo, mas quanto maior for este consumo x , menor será o
ganho adicional de mais uma unidade de consumo.
Formalmente, u(x) < u(x + 1) mas [u(x)−
u(x − 1)] > [u(x + 1) − u(x)] ou, pas-
sando o limite, u
′
(qi ) = UMg(qi ) > 0 e
u
′′
(qi ) = UMg
′
(qi ) < 0 onde UMg é a
chamada Utilidade Marginal.
Por exemplo, considere a função de utilidade
u(x) = 2x1/2 = 2
√
x exposta ao lado.
Quanto maior for x , maior será u(x). Todavia, o crescimento em u(x) é cada vez menor. Fazendo
uma analogia, por mais que um consumidor queira beber aguá, a cada gole que ele consome,
ele fica mais saciado/saturado. Assim, a cada gole seu bem-estar/satisfação aumenta mas esse
ganho é cada vez menor.
Pergunta: por que a água, tão necessária à vida humana, é muito mais barata que o diamante?
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Função Utilidade Multivariada
Considere que o consumidor possa
consumir dois itens, x e y . Assim
como no caso univariado, seu bem-
estar irá crescer se ele aumentar o con-
sumo em qualquer um dos itens, mas
esse crescimento será gradativamente
menor. Portanto, a função de utilidade
multivariada terá a forma ao lado.
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Função Utilidade Multivariada
Por sua vez, a avaliação do crescimento do consumo em uma única variável é feita através da
análise parcial. Por exemplo, considere que o consumo de x seja fixado em 4. A variação da
utilidade devido à variação no consumo de y será dado por v(y) = u(4, y) = 41/2 · y1/2 = 2y1/2.
Pergunta: A função v(y) será diferente se x tiver outro valor diferente de 4?
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Curva de Indiferença
A função de utilidade multivariada permite avaliar as variações no bem estar do consumidor ao
alterar a quantidade consumida com cada item. Um problema recorrente é avaliar subistituições
de um item por outro nesse consumo. Nesse caso, a análise pode ser simplificada através da
adoção de Curvas de Indiferença (semelhante às curvas de nível) entre as diferentes cestas de
consumo (x , y) disponíveis. Por exemplo,
Temos A = (2; 6), B = (3; 4) e assim sucessivamente. Todas as cestas na curva U1 possuem
a mesma utilidade, i.e., U(A) = U(B) = U(C) = U(D). Nesse caso, o consumidor é indiferente
quanto à adquirir a cesta A, a B, a C ou a D.
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Curva de Indiferença
Geralmente, a Utilidade cresce a medida que aumentamos a quantidade consumida de ambos os
itens na cesta (pois UMgi (qi , qj ) > 0).
Por exemplo,
Neste caso, temos U1 < U2 < U3. Ou seja, o consumidor prefere a cesta H em relação à cesta G
que é preferida às cestas A, B, C e D.
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Função de Utilidade e Curvas de Indiferença
Ilustrativamente, considere a função de utilidade U(x1, x2) = x
1/2
1 x
1/2
2 . A representação dessa
função de utilidade como curva de indiferença se dá à direita, na figura abaixo:
Pergunta: Em qual direção se dá o aumento da utilidade (satisfação) do consumidor?
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Teoria Utilitarista - Preferências e Função Utilidade
Alguns Tipos de Curvas de Indiferença
As curvas de indiferenças apresentadas anteriormente são "bem comportadas" (estritamente con-
vexas e diferenciáveis em todos os pontos). Abaixo, apresentamos alguns casos especiais:
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Restrição Orçamentária - conjunto factível de compras
Restrição Orçamentária
Restrição Orçamentária é o montante R de renda que um consumidor tem a sua disposição
gastar com um conjunto de bens, delimitando suas possibilidades de consumo.
Isto é, dados os valore da renda R e dos preços px e py ,a linha de preços ou reta orçamentária
R = y · py + x · px ,
é a fronteira das combinações (x , y ) de quantidades dos respectivos bens, que o consumidor
consegue comprar. Ainda, observem que:
ymax é o máximo do produto y que este con-
sumidor pode comprar, abrindo mão do con-
sumo de x (i.e., x = 0) tem-se ymax =
R−xpx
py
= Rpy
. Da mesma forma, tem-se
xmax = Rpx .
Os pontos na linha orçamentária são as
combinações de (x , y ) que exaurem a renda
R.
A inclinação da curva é dada por − pxpy (ob-
servem que podemos reescrever a equação
da renda como y = Rpy −
px
py
· x).
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Restrição Orçamentária - alterações na renda ou nos preços
Exemplo: Considere que um consumidor tenha um orçamento de R$ 200,00 para gastar com y
unidades de camisas ou x de calças. Ainda, considere que cada camisa custa R$ 10,00 e cada
calça custa R$ 20,00. Portanto, a restrição orçamentária é de
200 = 10 · y + 20 · x ou y = 20− 2 · x
Como será o impacto de um aumento de R$ 200,00 no orçamento? E de uma redução no preço
das calças para R$ 10,00?
Alteração na renda: teremos a nova re-
strição orçamentária de
400 = 10 · y + 20 · x
Alteração no preço: teremos a nova re-
strição orçamentária de
200 = 10 · y + 10 · x
Problema de Escolha do Consumidor
Introdução
Seja (x∗, y∗) a cesta que combina as quantidades consumidas/compradas pelo consumidor que
maximiza sua satisfação (medida em Utilidade). Intuitivamente, a cesta ótima será aquela que
alcança a curva de indiferença de maior nível (mais a direita) sujeito à restrição orçamentária que
delimita suas possibilidades de consumo.
Algumas perguntas imediatas são:
É possível que este (x∗, y∗) se
encontre fora da linha da re-
strição orçamentária?
Quais condições matemáticas
permitem identificar o ponto
ótimo? Qual é a interpretação
dessas condições?
Qual a interpretação da incli-
nação em B?
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Taxa Marginal de Substituição
A Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre dois bens é a taxa de intercâmbio entre um bem
por outro que mantém o mesmo nível de satisfação (Utilidade) do consumidor. Ela mede o quanto
um indivíduo atribui a uma unidade extra de um bem em termos de outro bem.
Formalmente, considere dois pontos (cestas de consumo) Z e W quaisquer dentro da mesma
curva de indiferença, teremos:
TMS(Z ,W ) = ∆y
∆x ou,
TMS(Z ) = d yd x =
UMgx (Z )
UMgy (Z )
se u(·) for diferenciável.
Características da curva de indiferença
padrão (convexa e diferenciável):
Inclinação negativa; e
Convexidade em relação à origem.
Nesse caso, a TMS diminui gradativamente
ao longo da curva (convexa).
Pergunta: O que isso reflete?
Problema de Escolha do Consumidor
Equilíbrio do Consumidor - Formulação algébrica
Problema de Otimização do Consumidor
Maximizar sua Função de Utilidade observando o conjunto de cestas de bens que ele pode com-
prar, dada a sua restrição orçamentária.
Formalmente, o problema de otimização é dado por:
Max u(x , y) (2)
s.a. px x + py y ≤ R.
A função Lagrangiana desse problema é L = u(x , y)− λ(px x + py y − R). Logo, as condições de
primeira ordem são:
∂L
∂x
= 0 ⇒ ∂u(x,y)
∂x = 0⇒ UMgx − λpx = 0⇒ λ =
UMgx
px
∂L
∂y
= 0 ⇒ ∂u(x,y)
∂y = 0⇒ UMgy − λpy = 0⇒ λ =
UMgy
py
(3)
∂L
∂λ
= 0 ⇒ px x + py x − R = 0⇒ px x + py y = R
Ainda, podemos sintetizar a primeira com a segunda, através de TMS = UMgxUMgy =
px
py
. Por fim, a
solução desse problema de otimização consiste no par (x∗, y∗), tal que:{
UMgx
UMgy
= pxpy
R = px x + py y
(4)
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Problema de Escolha do Consumidor
Exemplo
Um consumidor tem uma renda mensal de R$ 1.000,00 destinada ao consumo de dois bens, cujos
respectivos preços são px = R$ 100,00 e py = R$ 200,00. Se as preferências do consumidor podem
ser expressas pela função de utilidade u(x , y) = xy , onde x e y são as quantidade consumidas
dos respectivos bens, calcule a escolha ótima (x∗; y∗) desse consumidor.
Resposta:
Temos:
UMgx =
∂u(x , y)
∂x
=
∂xy
∂x
= y , e
UMgy =
∂u(x , y)
∂y
=
∂xy
∂y
= x .
Portanto, {
TMS = UMgxUMgy =
px
py
R = px x + py y
⇒
{ y
x =
100
200
1.000 = 100x + 200y
Resolvendo o sistema de equações acima, temos
y =
100
200
x ⇒ 1.000 = 100x + 200(
100
200
x)⇔ x = 5
Logo, y = 100200 · 5 = 2, 5 e, portanto, (x
∗; y∗) = (5; 2, 5) .
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Problema de Escolha do Consumidor
Equilíbrio do Consumidor - Funções de Utilidade Especiais
Para funções ditas “bem comportadas” (convexas), a formulação anterior é suficiente para encon-
trarmos a escolha ótima do consumidor
Adiante, veremos classes de funções de utilidade relativamente comuns que demandam cuidados
especiais na definição da escolha ótima do consumidor. São elas:
Substitutos Perfeitos - u(x ; y) = x + y ;
Preferências Quase Lineares - u(x ; y) = x + v(y) (nesse caso, a TMS dependerá apenas do
bem 2);
Complementos Perfeitos - u(x ; y) = min{x ; y}.
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Problema de Escolha do Consumidor
Substitutos Perfeitos
Substitutos Perfeitos são representados por funções de utilidade similares a u(x ; y) = x + y .
Nesses casos, o problema será representado por:
A solução será dada por:
x =
{
R
px
se px < py
0 se px > py
y =
{
0 se px < py
R
py
se px > py
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Problema de Escolha do Consumidor
Preferências Quase Lineares
Complementos Perfeitos são representados por funções de utilidade similares a u(x ; y) = x+v(y).
Nesses casos, o problema será representado por:
A solução será dada por: {
TMS(x∗, y∗) = UMgxUMg2 =
1
v′(y) =
px
py
px x∗ + py y∗ = R
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Problema de Escolha do Consumidor
Complementos Perfeitos
Complementos Perfeitos são representados por funções de utilidade similares a u(x ; y) = min{x ; y}.
Nesses casos, o problema será representado por:
A solução será dada por: {
x = y
px x + py y = R
Portanto, x∗ = y∗ =
R
p1 + p2
.
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