calculo_faltas_simetricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CÂMPUS DE PALMAS 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA DE SISTEMAS ELÉRICOS DE POTÊNCIA 
Professor: Sergio Manuel Rivera Sanhueza 
sergiorivera@uft.edu.br 
 
Última atualização: 03/12/2018 
Cálculo de faltas simétricas 
1 Introdução 
 
 A falta simétrica consiste num curto circuito simultaneamente nas três fases. Aplicando 
um curto circuito nos terminais de um gerador síncrono, tem-se um circuito RL, conforme 
mostra a Figura 1. 
 
Figura 1. Curto circuito nos terminais de um gerador síncrono. 
Fazendo a análise no domínio do tempo, a corrente de curto circuito tem comportamento 
análogo ao da Figura 2. 
 
Figura 2. Comportamento transitório da corrente de curto circuito do gerador síncrono. 
 
 Conforme visto na Figura 2, a corrente de falta inicia com valor elevado tendo um 
decaimento exponencial até atingir o seu valor definitivo em regime permanente. Apesar de o 
2 
 
curto circuito ser um fenômeno transitório, por questões práticas, é tratado na forma de três 
regimes permanentes, conforme descrição a seguir. 
Período subtransitório: É aquele que aparece imediatamente após a falta, tendo a duração de 
aproximadamente dois ciclos; 
Período transitório: Após o período transitório, a corrente ainda não atingiu seu valor 
definitivo, continuando a decair por alguns ciclos a mais; 
Regime permanente: Passado o período transitório a corrente já tem seu valor definitivo. 
 
 Devido a esta classificação, após realizarem ensaios nas máquinas síncronas, os 
fabricantes fornecem as reatâncias de geradores e motores para cada um dos períodos: 
X’’: Reatância subtransitória; 
X’: Reatância de transitória; 
X: Reatância de regime permanente. 
 
Já os transformadores e linhas possuem apenas um valor de impedância para cálculos de 
curto circuito. 
Exemplos: 
1) Para o diagrama unifilar, o transformador está a vazio e não existe corrente circulando entre 
os geradores. Sabendo que a tensão no lado Y é 66 kV, determine a corrente subtransitória de 
cada gerador, quando ocorre uma falta simétrica no lado de AT do transformador. Adote a 
base de 69 kV e 75 MVA no lado de AT do transformador. 
 
 
Figura 3. Diagrama unifilar do Exemplo 1. 
3 
 
Dados: 
G1: 50 MVA; 13,8 kV; x’’ = 25 %; 
G2: 25 MVA; 13,8 kV; x’’ = 25 %; 
T: 75 MVA; 13,8 ∆/69 Y kV; 10 %. 
 
2) Para o sistema a seguir: 
a) Calcule uma corrente subtransitória para uma falta no ponto P; 
b) Determine a corrente que circula pelo disjuntor A durante a falta. 
 
Figura 4. Diagrama unifilar do Exemplo 2. 
Dados: 
Gerador: 25 MVA; 13,8 kV; 15 %; 
Motores: 5 MVA; 6,9 kV; 20 %; 
Transformador: 25 MVA; 13,8/6,9 kV; 10 %. 
 
2 Análise de faltas simétrica considerando o carregamento da rede 
 
Os exemplos anteriores mostraram o calculo de curto circuito quando a rede está sem 
carga, o que é apenas uma situação hipotética, pois as redes elétricas operam com carga, onde 
circulam correntes e há que de tensão em cada ramo, ou seja, nas linhas e nos transformadores. 
Desta forma as tensões em cada trecho de uma rede são diferentes devido às quedas de 
tensão, e assim para o cálculo das correntes de curto circuito, torna-se obrigatório o cálculo das 
tensões em cada barra antes da ocorrência da falta. 
4 
 
Há duas formas de se obter as tensões pré falta na rede elétrica, a primeira utilizando as 
tensões internas das máquinas síncronas e a outra aplicando os teoremas da Superposição e de 
Thévennin. O exemplo a seguir será realizado utilizando as duas maneiras de se resolver. 
 
Exemplo: Um alternador e um motor síncrono têm para valores nominais 30000 kVA, 13,2 kV e 
ambos possuem reatâncias subtransitórias de 20 %. A reatância da linha que os liga é de 10 % na 
base dos valores nominais das máquinas. O motor está consumindo 20000 kW com fator de 
potência 0,8 em avanço e tensão terminal de 12,8 kV, quando ocorre uma falta simétrica entre 
seus terminais. Sendo assim determine: 
a) Antes da falta, a tensão é maior nos terminais do motor ou do gerador? Por quê? 
b) Determinar a corrente subtransitória no alternador, no motor e na falta; 
 
2.1 Solução pela tensão interna das máquinas. 
 
O diagrama de impedâncias fica da seguinte forma: 
 
Figura 5. Diagrama de impedâncias na condição pré falta. 
 
Solução: 
a) Antes da falta, a tensão é maior nos terminais do motor ou do gerador? Por quê? 
A tensão em que o motor está operando é de 12,8 kV, assim, em pu, a tensão é de Vm = 
12,8/13,2 = 0,97∠0° pu. 
5 
 
A corrente de carga é dada por: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 ∠ 
Já a corrente base é dada por: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Logo, a corrente de carga em pu é IL = 0,86∠36,9° pu. 
 
Analisando o diagrama de impedâncias a tensão nos terminais do alternador é: 
 ∠ 
Desta forma, a tensão nos terminais do motor é maior que a tensão terminal do alternador. Isto se 
deve ao fato do motor síncrono estar operando sobrexcitado, com fator de potência adiantado 
fornecendo potência reativa ao alternador. 
O diagrama de fasores da Figura 6 mostra geometricamente a operação. 
 
Figura 6. Diagrama de fasores referente a Figura 5. Sem escala. 
 
b) Determinar a corrente subtransitória no alternador, no motor e na falta; 
As tensões internas do alternador e do motor são dadas por: 
 ∠ 
 ∠ 
 
Durante a falta o diagrama de impedância fica da seguinte forma: 
6 
 
 
 
Figura 7. Diagrama de impedâncias durante a falta. 
 
A partir de agora são conhecidas as fontes Eg e Em para este circuito de duas malhas. Na 
malha do alternador tem-se que: 
 ( ) 
 ∠ 
 ∠ 
Na malha do motor tem-se que: 
 ( ) 
 ∠ 
 ∠ 
Por fim a corrente na falta é dada pela soma da contribuição das duas máquinas. 
 
 
 
 ∠ 
 
2.2 Solução pelos teoremas de Thevennin e da Superposição 
 
O item (a) já foi respondido na solução anterior e por isso não será mais necessário 
realiza-lo. Já o item (b) será feito novamente. 
A modelagem de uma rede elétrica na condição pré falta poder realizada com a inserção 
de uma fonte de tensão, com corrente nula, de valor igual à tensão pré falta. 
7 
 
 
Figura 8. Modelagem da rede na condição pré falta. 
 
Na ocorrência do curto circuito, é acrescida uma fonte em série com Vf, de mesmo valor, 
porem defasada de 180°, o que faz circular as correntes Ig’’ e Im’’ nas máquinas. 
 
Figura 9. Modelagem da rede durante a falta. 
 
Às correntes de falta de cada ramo, deve-se acrescentar a corrente pré falta IL, a razão 
para isto se deve ao teorema da Superposição. 
Anulando as fontes Eg, Em e Vf tem-se a correntes de falta que circula em cada 
elemento. 
8 
 
 
Figura 10. Contribuição individual de cada máquina para corrente de curto circuito. 
 
Sobrepondo as Figuras 8 e 10, obtém-se a Figura 9, que é a condição da rede elétrica 
durante a falta. Logo para obter a corrente de curto circuito que passa em cada elemento deve-se, 
além de aplicar o divisor de corrente, somar a corrente que circula antes da falta. 
Sendo assim, começa-se resolvendo o exemplo com o teorema de Thevennin. No ponto 
de curto circuito, a tensão pre falta é Vf=0,97∠0° pu. E a impedância de Thevennin é: 
 
 ( ) ( ) 
Assim, a corrente na falta é: 
 
 
 
 
 ∠ 
 
Aplicando o divisor de corrente, a contribuição do alternador é: 
 
 
 
 
 ∠ 
 
 
 
 
 ∠ 
 
9 
 
À essas correntes deve-se somar a corrente IL anterior à falta, assim, observando o sentido 
de IL em cada caso, as correntes nas máquinas são: 
 
 ∠ ∠ ∠ 
 
 ∠ ∠ ∠ 
 
2.3 Solução pela matriz impedância Zbus 
Considerando o mesmoexemplo do alternador e do motor, tem-se o seguinte diagrama de 
impedância: 
 
Figura 11. Diagrama de impedâncias sem as fontes internas. 
 
Notar que as fontes internas do alternador e do motor forma colocadas em curto circuito. 
A matriz impedância de barras do sistema analisado é dada por: 
 
 
 
Como se tem as tensões pré falta em cada barra, para encontrar a corrente de curto circuito 
basta dividir a tensão de cada barra pela respectiva impedância indicada na diagonal principal de 
Zbus. 
0 0 0 0
0 0,12 0,08 0
0 0,08 0,12 0
0 0 0 0
bus
j j
Z
j j
 
 
 
 
 
 
10 
 
Assim: 
 
 ∠ 
 
 ∠ 
 
 ∠ 
 
 ∠ 
 
A corrente de curto circuito para a falta na barra 3, nos terminais do motor, é dada por: 
 
 
 
 
 
 ∠ 
 
 Considerando a Figura 10, onde é considerada apenas a tensão -Vf, as tensões de defeito 
devido apenas a esta fonte são dadas por: 
11 12 13 141
21 22 23 242
31 32 33 343
41 42 43 444
0
0
0
f
Z Z Z ZV
Z Z Z ZV
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV
     
    

    
     
    
     
 
1
2
3
4
0
0,64 180
0,97 180
0
V
V
V
V
   
   
  
   
     
   
   
 
 
 Já as tensões resultantes no curto circuito, pelo teorema da superposição, é soma de ∆V e 
as tensões pré falta: 
1
1 1
2
2 2
3
3 3
4
4 4
0,84 14,2
0,27 14,22
0
1,08 7,3
f
f
f
f
V V V
V V V
V V V
V V V
        
      
          
      
      
          
 pu 
11 
 
Já as correntes resultantes durante a falta nas linhas, são dadas por: 
 
 
 
 ∠ 
 
 
 
 ∠ 
 
 
 
 ∠ 
Compare agora estes valores com os métodos anteriores. 
O exemplo anterior mostra que antes de se calcular a corrente de curto circuito, tanto no 
ponto de falta, quanto nos demais ramos da rede, é necessário conhecer os valores das tensões 
em todas nas barras, bem como as correntes em todos os ramos. 
Este método é aplicado para elaboração de programas computacionais. 
Repita o exemplo anterior, considerando agora que o curto circuito ocorreu nos terminais 
do alternador. Considere os dois métodos apresentados. 
Exemplo: Monte a matriz impedância de barras, depois considere que uma falta ocorreu na barra 
2. Calcule a corrente na falta, as tensões resultantes nas barras e as correntes resultante nas 
linhas. 
 
Figura 12. Diagrama unifilar. 
Tensões pré falta: 
V1 = 1∠0° pu; 
V2 = 0,99∠-1,74° pu; 
V3 = 1∠-1,74° pu. 
12 
 
 
Impedâncias na linhas: 
Z12 = j0,040 pu; 
Z13 =j0,030 pu; 
Z23 = j0,040 pu. 
 
Em termos práticos, isso quer dizer que antes de se efetuar a análise de curto circuito, 
num sistema elétrico, é necessário executar o fluxo de potência. 
 
Figura 13. Procedimento para cálculo de curto circuito real. 
 
3 Nível de curto circuito. 
 
De acordo com o Teorema de Thévennin, uma rede elétrica pode ser substituída por uma 
fonte de tensão em série com uma impedância. Desta forma em qualquer ponto da rede é 
possível estipular a corrente de curto, conforme ilustrado na Figura 14. 
 
13 
 
 
Figura 14. Aplicação do Teorema de Thevennin para o cálculo da corrente de falta. 
 
Através de programas de simulação, as concessionárias de energia conseguem determinar 
o valor de uma corrente de curto circuito num determinado ponto, assim, um consumidor pode 
saber o valor da corrente de falta no seu ponto de acoplamento com o sistema elétrico, sem 
precisar recorrer à diagramas unifilares. 
Os fatores que contribuem no valor da corrente de curto circuito são: 
 Potência dos geradores; 
 Número de geradores; 
 Distancia da ocorrência da falta; 
 Configuração de linhas e transformadores. 
 
Um elevado valor da corrente de curto circuito no ponto de acoplamento de um consumidor é 
importante, pois indica que há maior confiabilidade, e menor risco de ressonância. 
Assim como a corrente de curto circuito, outra variável empregada é a potência de curto 
circuito, que é dada por: 
 √ 
 No caso de se adotar a tensão base igual à tensão nominal, a potência de curto circuito em 
pu, será: 
 
√ 
√ 
 
 Assim, para valores em pu, a potência de curto circuito é igual ao modulo da corrente de 
falta. 
14 
 
 A potência complexa de curto circuito numa determinada barra do sistema representa a 
impedância equivalente do sistema neste ponto, assim considerando a tensão igual a 1,0 pu: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar a impedância de um sistema de 138 kV com 2000 MVA de curto circuito, 
numa base de 138 kV e 50 MVA. 
 Verifica-se que o fator limitante da potência de curto circuito, ou da corrente de falta é a 
impedância equivalente do sistema, assim quanto menor for a impedância maior será a corrente 
de curto circuito. 
 Quando um determinado grande sistema elétrico apresenta uma impedância equivalente 
muito menor em relação a outro sistema, ou gerador, costuma-se desprezar a impedância do 
sistema maior. Assim surge o conceito da barra infinita, que tem impedância equivalente nula, o 
que resulta numa corrente de curto circuito infinita. 
 Logo uma barra infinita é aquela que possui tensão e frequência constante, sendo 
representada por uma fonte sem impedância, como mostra a Figura 15. 
 
Figura 15. Representação de uma barra infinita. 
Exemplos: 
1) Dado o seguinte diagrama unifilar com as características a seguir: 
15 
 
 
Figura 15. Diagrama do exemplo 1. 
 
G: 100 MVA; 15 kV; j0,12 pu; 
T1: 100 MVA; 15/230 kV; j0,10 pu; Y-Y 
T2: 200 MVA; 230/34,5 kV, j0,12 pu; Y-Y 
LT1: j100 Ω 
LT2: j100 Ω 
LT3: j80 Ω 
Sistema fornecedor: 110 MVA; 230 kV; 
Barra infinita: Consumo de 170 MW, com fator de potência 0,8 atrasado e tensão de 34,00 kV. 
 
Supondo que uma falta simétrica ocorreu na barra que une as três LT’s, determine as 
correntes na falta, no gerador, no sistema fornecedor e na barra infinita. Considerar como base 
230 kV na região das LT’s e 200 MVA. 
 
2) No diagrama a seguir, mostra como um sistema elétrico de 500 MVA de curto circuito em 
13,8 kV, alimenta um conjunto de 10 motores síncronos de 5 MVA e 13,8 kV cada um, cuja 
reatância subtransitória equivalente é de j0,18 pu. Estes motores operam com tensão nominal 
na barra 4 e consomem juntos 46,5 MW em fator de potência unitário, quando ocorre uma 
falta simétrica na barra 1. 
16 
 
 
Figura 16. Diagrama do exemplo 2. 
 
a) Fazer o diagrama de sequência positiva. Adote a base de 100 MVA e 13,8 kV no sistema 
equivalente; 
b) Determine a corrente de carga, em pu, no sistema equivalente, na linha e nos motores; 
c) Calcule a corrente de curto circuito na falta; 
d) Calcule a corrente de curto circuito fornecida pelo sistema equivalente; 
e) Calcule a corrente de curto circuito na LT. 
 
Solução: 
a) Fazer o diagrama de sequência positiva. Adote a base de 100 MVA e 13,8 kV no sistema 
equivalente; (1,0 pontos) 
 
Primeiramente é necessário converter as impedâncias para a mesma base: 
 Sistema equivalente: 
Em pu, a potência é Spu=500/100, assim Spu= 5 pu. 
Logo a impedância equivalente do sistema é Xsis = 1/Spu, assim Xsis=j0,2 pu. 
 
 Transformador T1: 
 (
 
 
)
 
(
 
 
) 
 Linha: 
Zlt = j0,4388x60 → Zlt = 26,328 Ω 
A impedância base na linha é: 
17 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
Logo, a impedância da linha em pu é Zlt = j26,328/47,61 → Zlt = j0,553 pu. 
 
 Transformador T2: 
 (
 
 
)
 
(
 
 
) 
 
 Conjunto de motores síncronos: 
 (
 
 
)
 
(
 
 
) 
Assim, a Figura 1 mostra o circuito equivalente: 
 
Figura 17. Diagrama de impedâncias. 
 
b) Determine a corrente de carga, em pu, no sistema equivalente, na linha e nos motores; (1,0 
pontos) 
 
Comoos motores operam na tensão nominal, a corrente no circuito dos motores é: 
 
 
√ 
 
 
18 
 
A corrente base é dada por: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
Logo a corrente de carga, em pu, no circuito dos motores é: 
IL = 1947,72/4188,65 → IL = 0,465 pu. 
 
Conforme mostra a Figura 1, os transformadores causam desfasamento de 30°, assim, partindo 
do circuito dos motores, a corrente na linha é: 
IL = 0,465∠30° pu. 
Já no sistema equivalente, a corrente de carga é: 
IL = 0,465 pu. 
 
c) Calcule a corrente de curto circuito na falta; (3,0 pontos) 
 
Primeiramente é necessário encontrar a tensão pré falta na barra 1. Analisando a Figura 2: 
 [ ( ) ( )]( ∠ ) ( ∠ )
 ( ∠ )( ∠ ) 
V1 = 1,14∠52,37° pu. 
 
 
19 
 
 
Figura 18. Diagrama de impedâncias durante a falta. 
Aplicando o Teorema de Thevennin, a impedância equivalente vista da barra 1 é: 
 
Zth = j0,2 // ( j0,2 + j0,553 + j0,2 + j0,36 ) → Zth = j0,17 pu 
Assim, a corrente de curto circuito IF é: 
 
 
 
 ∠ 
 
d) Calcule a corrente de curto circuito fornecida pelo sistema equivalente; (2,0 pontos) 
 
Aplicando o divisor de corrente: 
 
 ( ∠ )
 
 
 ∠ 
 
e) Calcule a corrente de curto circuito na LT. (3,0 pontos) 
De acordo com a Lei dos nós, a corrente na LT é: 
 ∠ 
 
Para o valor obtido é necessário adiantar a corrente em 30° devido ao transformador T1, assim: 
 ∠ 
20 
 
 
4 Referências bibliográficas: 
 
[1] Stevenson, W.D. Jr. Elementos de análise de sistemas de potência. 2° Edição em português. 
Ed. McGraw Hill, 1986. 
[2] Kindermann, G. Curto circuito. Edição do autor, 2011. 
[3] Oliveira, J.C., Cogo, J.R., Abreu, J.P. “Transformadores- Teoria e Ensaios” Ed. Edgard 
Blucher, 1984. 
[4] Brown, H. E. Grandes Sistemas Elétricos – Métodos Matriciais. Ed. LTC, Rio de Janeiro 
1977. 
[5] Zanetta Júnior, L.C. Fundamentos de sistemas elétricos de potência. Editora Livraria da Fisica, 
2006. 
 
 
5 Apendice: Determinação de Zbus pela injeção de corrente 
 
A utilização da matriz Zbus refere-se a seguinte equação: 
 
11 12 13 141 1
21 22 23 242 1
31 32 33 343 1
41 42 43 444 1
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV I
    
    
    
    
    
    
 
Primeiramente, o problema é a montagem de Zbus. A opção mais óbvia é montar a matriz 
admitância de barras, Ybus, que é de fácil elaboração, e em seguida fazer a sua inversão. 
O problema que em muitas vezes a matriz Ybus é mal escalonada, chegando a ser singular 
e por isso não sendo possível invertê-la. Para contornar este problema é mais conveniente fazer a 
montagem direta de Zbus, no entanto o seu algoritmo é bem mais complexo. 
O conteúdo desta disciplina ficará restrito a elaboração de Zbus pelo método de injeção de 
corrente, que é um método “manual”. 
21 
 
O método consiste em injetar uma corrente de valor unitário, em barra por barra, da rede 
elétrica e assim calcular a tensão em cada barra, como se se estivesse medindo a tensão com um 
voltímetro. 
Supondo que uma fonte de corrente de valor unitário seja aplicada na barra 1 como 
mostra a Figura. 
 
Figura 19. Aplicação do método da injeção de corrente. 
Como somente a barra 1 tem corrente injetada, pode-se escrever: 
11 12 13 141 1
21 22 23 242
31 32 33 343
41 42 43 444
0
0
0
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV
Z Z Z ZV
Z Z Z ZV
    
    
    
    
    
    
 
Assim, o valor das tensões em cada barra é: 
1 11 1
2 21 1
3 31 1
4 41 1
V Z I
V Z I
V Z I
V Z I
   
   
   
   
   
   
 
 O valor de cada uma destas impedâncias, da primeira coluna de Zbus, é obtido dividindo a 
tensão pela corrente injetada. 
1
1
i
i
V
Z
I
 
22 
 
 Como a corrente tem valor unitário, os valores da primeira coluna de Zbus são 
numericamente iguais as do vetor tensão. Assim basta injetar a fonte de corrente e encontrar as 
tensões nas barras, que por sua vez correspondem a coluna de Zbus. 
No caso da fonte de corrente estar injetando na barra 1, as tensões nas barras serão nulas. 
Mudando a fonte de corrente para a barra 2, as tensões nas barras serão: 
1
2
3
4
0
0,12
0,08
0
V
V j
V j
V
   
   
   
   
   
  
 
Esta é a segunda coluna de Zbus. Colocando a fonte de corrente na barra 3, o vetor das 
tensões é: 
1
2
3
4
0
0,08
0,12
0
V
V j
V j
V
   
   
   
   
   
  
 
Esta é a terceira coluna de Zbus e finalmente colocando a fonte de corrente na barra 4, todas as 
tensões serão nulas. Assim, a matriz impedância de barras é dada por: 
0 0 0 0
0 0,12 0,08 0
0 0,08 0,12 0
0 0 0 0
bus
j j
Z
j j
 
 
 
 
 
 
 
A matriz Zbus traz como informação na sua diagonal principal, a impedância equivalente 
de cada barra. Assim, a impedância equivalente vista pela barra k é o elemento Zkk.