Exercicios- Lista 2

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GEOMETRIA ANALÍTICA:
A SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR
BEHROOZ MIRZAII
Por favor justifique suas respostas e escreve todas etapas das suas soluções.
1. Retas e Planos
1.1. (i) Obtenha uma equação vetorial da reta t que passa pelo ponto P = (−2, 2, 4) e
é concorrente com as retas r : x+ 3 =
y − 2
2
=
z − 1
3
e s : X = (−2, 0, 4) + t(1, 1,−1),
t ∈ R.
(ii) Verifique se as retas r :
x− 1
2
= y =
z − 1
3
e s :
x+ 1
4
=
y + 1
2
=
z + 2
8
são
concorrente.
1.2. (i) Obtenha uma equação geral do plano π tal que contém os pontos A = (1, 1, 0)
e B = (1,−1,−1) e é paralelo ao vetor →u = (2, 1, 0).
(ii) Um paralelogramo ABCD tem um lado contido na reta r : x − 1 = y = z − 1
e um vértice no plano π : x − 3y + z − 5 = 0. Sendo A = (0,−1, 0) e B = (−1, 0, 1),
determine C e D.
1.3. (i) Obtenha uma equação geral do plano que contém a interseção dos planos
x− y + z + 1 = 0 e x+ y − z − 1 = 0 e é paralelo à reta r : x = y − 1
2
=
z − 1
2
.
(ii) Encontre uma equação vetorial da reta t que está contida no plano π : x−y+z = 0
e é concorrente com as retas r :
{
x+ y + 2z = 2
x = y
e s :
{
z = x+ 2
y = 0
.
1.4. (i) Obtenha uma equação geral do plano π que contém o eixo-x e é perpendicular
à reta r : X = (0, 0, 1) + t(1, 1, 0), t ∈ R.
(ii) Encontre a medida do ângulo entre a reta r : x = y = z e o plano Oxy.
1.5. (i) Encontre uma equação geral de um plano que contém a reta s :
{
x = z + 1
y = z − 1
e que forma um ângulo de π/3 com o plano x+ 2y − 3z + 2 = 0.
(ii) Determine a reta que passa pelo ponto P = (0, 2, 1) e que forma ângulos de π/4
e π/3 respectivamente com o eixo dos x e dos y.
1.6. (i) As retas r : x = y = z + 1, s : x − y = z + 1 = 0 e t :
{
x− y − z = 1
x = 0
determinam com o plano π : x+ y − z + 1 = 0 um tetraedro. Calcule a altura relativa
à face situada no plano π.
1
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(ii) Encontre os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos
π1 : 2x− 3y − 4z − 3 = 0 e π2 : 4x− 3y − 2z + 3 = 0.
1.7. (i) Obtenha equações para o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distâncias
ao plano π1 : x−y+2z−1 = 0 são 2020 vez de suas distâncias ao plano π2 : x+y−2z+3 =
0. Descreva o lugar geométrico.
(ii) Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = (0, 0, 2020) está contida
em π : x+ z = 3 e dista 2020 de Oy.
	1. Retas e Planos