Questões de Álgebra Básica Resolvidas - Capa

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Álgebra Básica – Problemas selecionados de matemática	18 de junho de 2014
Questões de Álgebra Básica Resolvidas
Livro: Problemas Selecionados de Matemática – Antônio Luiz Santos (Gandhi)
André Luís Santos
Fundação Educacional Unificada Campograndense – FEUC
	andre2008usa@yahoo.com.br
29 de Dezembro de 2013
Sumário - Gabarito
PARTE I ÁLGEBRA
 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos
 Seção 1.1 – Definições e Propriedades
 Seção 1.2 – Operações
 Capítulo 2 Potenciação
 Seção 2.1 – Potência de Expoente Inteiro
 Seção 2.2 – Leis dos Expoentes
 Capítulo 3 Radiciação
 Seção 3.1 – Leis das Raízes
 Seção 3.2 – Potência de Expoente Natural
 Capítulo 4 Produtos Notáveis e Fatoração
 Seção 4.1 – Produtos Notáveis
 Seção 4.2 – Fatoração
 Seção 4.3 – Racionalização 
 Capítulo 5 Teoria dos Números
 Seção 5.1 – Múltiplos e Divisores
 Seção 5.2 – Teoria Fundamental da Aritmética
 Seção 5.3 – MDC e MMC
 Seção 5.4 – Numeração e Divisibilidade
 Seção 5.5 – Congruências
 Capítulo 6 O Primeiro Grau
 Seção 6.1 – Equação do Primeiro Grau
 Seção 6.2 – Problemas do Primeiro Grau
 Seção 6.3 – Duas ou mais Incógnitas
 Seção 6.4 – Proporcionalidades e Médias 
 Seção 6.5 – Porcentagem
 Seção 6.6 – Inequações do Primeiro Grau
 Seção 6.7 – Módulo de um Real
 Capítulo 7 O Segundo Grau
 Seção 7.1 – Equação do Segundo Grau
 Seção 7.2 – Discussão da Equação do Segundo Grau
 Seção 7.3 – Problemas do Segundo Grau
 Seção 7.4 – Relações entre Coeficientes e Raízes
 Seção 7.5 – Equações Biquadradas e Irracionais
 Seção 7.6 – Fatoração da Função Quadrática
 Seção 7.7 – O Gráfico da Função Quadrática
 Seção 7.8 – Inequações do Segundo Grau
PARTE II ANÁLISE
 Capítulo 8 A Linguagem da Lógica
 Seção 8.1 – Lógica
 Capítulo 9 Teoria dos Conjuntos
 Seção 9.1 – Pertinência e Inclusão
 Seção 9.2 – A Álgebra dos Conjuntos
 Seção 9.3 – Cardinalidade
 Seção 9.4 – Produto Cartesiano
 Capítulo 10 Funções
 Seção 10.1 – Conceitos Fundamentais
 Seção 10.2 – Injeções, Sobrejeções e Bijeções
 Seção 10.3 – Composição de Funções
 Seção 10.4 – Funções Inversas
 Seção 10.5 – Funções Reais 
 
Capítulo 1
 
Seção 1.1 – Definições e Propriedades
 Questão 12) – A raiz quadrada de 0,444444... é igual a:
a) 0,02020202...
b) 0,222222...
c) 4040404...
d) 0,6060606...
e) 0,666666...
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = 0,444... x(10)
10x = 4,444...
Subtraindo, temos:
9x = 4
x = 
Então:
= 0,666666...
Questão 13) – O quociente é igual a:
a) 3,2
b) 3,2222
c) 3
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
1º) Chamamos de x a dízima dada.
x = 6,888... x(10)
10x = 68,888...
Subtraindo, temos:
9x = 62
x = 
2º) Chamamos de y a dízima dada.
y = 2,444... x(10)
10y = 24,444...
Subtraindo, temos:
9y = 22
y = 
3º) Então, com os valor de x e y descobertos, fazemos.
Questão 14) – Se é a fração irredutível equivalente ao número decimal ilimitado periódico 2,486486486... então o valor de p é igual a:
a) 90
b) 91
c) 92
d) 93
e) 94
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = 2,486486486... x(1000)
1000x = 2486,486486486...
Subtraindo, temos:
1000x – x = 2486,486486486... - 2,486486486... 
999x = 2484
x = 
x = 
Mas, temos que:
x = 
Daí, temos o valor de p:
p = 92
Questão 15) – Seja F = 0,4818181... um número decimal ilimitado periódico no qual os dígitos 8 e 1 repetem-se indefinidamente nesta ordem. Quando F é escrito como uma fração irredutível, o denominador excede o numerador de:
a) 13
b) 14
c) 29
d) 57
e) 126
RESOLUÇÃO
F = 0,4818181... x(10)
10F = 4,818181... x(100)
1000F = 481,818181...
Subtraindo, temos:
1000F – 10F = 481,818181... – 4,818181...
990F = 477
F = 
F = 
Daí, temos a diferença entre o denominador e o numerador da fração, ou seja:
110 – 53 = 57
Questão 16) – Se a fração irredutível é equivalente ao inverso do número 0,58333... então a – b é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = 0,58333... x(100)
100x = 58,333... x(10)
1000x = 583,333...
Subtraindo, temos:
1000x – 100x = 583,333... – 58,333...
900x = 525
x = 
x = 	
Mas, temos que:
a = 12
b = 7
Daí, temos que:
a – b = 12 – 7 = 5
 Questão 17) – Se é a fração irredutível equivalente ao número decimal ilimitado então y excede x de:
a) 25
b) 27
c) 29
d) 37
e) 54
	RESOLUÇÃO	
Chamamos de x a dízima dada.
x = 0,5370370... x(10)
10x = 5,370370... x(1000)
10000x = 5370,370370...
Subtraindo, temos: 
10000x – 10x = 5370,370370... – 5,370370...
9990x = 5365
x = 
x = 
Mas, temos que:
x = 29
y = 54
Daí, temos que:
y – x = 54 – 29 = 25
Questão 18) – Se o número decimal ilimitado periódico N = 0,24568568568... for escrito sob a forma da fração irredutível então a soma dos algarismos de p + q é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = 0,24568568568... x(100)
100x = 24,568568568... x(1000)
100000x = 24568,568568568...
Subtraindo, temos:
100000x – 100x = 24568,568568568... – 24,568568568...
99900x = 24544
x = 
x = 
Mas, temos que:
p = 6136
q = 24975
Daí, temos a soma:
p + q = 6136 + 24975 
p + q = 31111
A soma dos algarismos do resultado de p + q é:
3+1+1+1+1 = 7
Questão 19) – Se é a fração irredutível equivalente a onde a e b são inteiros positivos, o valor de a + b é igual a:
a) 6081
b) 6083
c) 6085
d) 6087
e) 6089
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = x(10000)
10000x = x(100)
1000000x = 
Subtraindo, temos:
1000000x – 10000x = - 
990000x = 836700
9900x = 8367
x = 
x = 
Mas, temos que:
a = 2789
b = 3300	
Daí, temos a soma:
a + b = 2789 + 3300
a + b = 6089
Questão 20) – Se o número decimal ilimitado periódico N = 0,011363636... for escrito sob a forma da fração irredutível então m + n é igual a:
a) 88
b) 89
c) 90
d) 91
e) 92
RESOLUÇÃO
N = 0,0113636... x(1000)
1000N = 11,3636... x(100)
100000N = 1136,3636...
Subtraindo, temos:
100000N – 1000N = 1136,3636... – 11,3636...
9900N = 1100
990N = 11
N = 
Mas, temos que:
N = 
m = 1 
n = 90
Daí, temos a soma:
m + n = 1 + 90
m + n = 91
Questão 21) – Sabendo que é a fração irredutível equivalente ao número decimal 0,097222..., o valor de m – n é igual a:
a) 61
b) 62
c) 63
d) 64
e) 65
RESOLUÇÃO
Chamamos de x a dízima dada.
x = 0,097222... x(1000)
1000x = 97,222... x(10)
100000x = 972,222...
Subtraindo, temos:
100000x – 1000x = 972,222... – 97,222...
9000x = 875
x = 
x = 
Mas, temos que:
x = 
m = 7
n = 72
Daí, temos a diferença dos valores:
n – m = 72 – 7 
n – m = 65
Questão 22) – Se o número decimal ilimitado periódico N = for escrito sob a forma da fração irredutível então n – m é igual a:
a) 51
b) 53
c) 55
d) 57
e) 59
	RESOLUÇÃO	
N = x(100)
100N = x(1000000)
100000000N = 
Subtraindo, temos:
100000000N – 100N = - 
99999900N = 59285655
N = 
N = 
Mas, temos que:
N = 
n = 83
n = 140
Daí, temos a diferença entre dos valores:
n – m = 140 – 83
n – m = 57
Questão 23) – Se é o número racional irredutível equivalente a então a + b é igual a:
a) 101
b) 103
c) 105
d) 107
e) 109
RESOLUÇÃO
1º) Chamamos de x a dízima dada.
x = x(10)
10x = x(100)
1000x = 
Subtraindo, temos:
 1000x – 10x = - 
990x = 765
x = 
x = 
2º) Chamamos de y a dízima dada.
y = x(10)
10y = x(10)
100y = 
Subtraindo, temos:
100y – 10y = - 
90y = 33
y = 
y = 
Daí, temos o cálculo:Mas, temos que:
a = 43
b = 60
Daí, temos a soma dos valores:
a + b = 43 + 60
a + b = 103
Seção 1.2 – Operações
Questão 72) – O valor de 100 x 19,99 x 1,999 x 1000 é igual a:
a) (1,999)²
b) (19,99)²
c) (199,9)²
d) (1999)²
e) (19990)²
RESOLUÇÃO
P = 100 x 19,99 x 1,999 x 1000
P = 1999 x 1999
P = (1999)²
Questão 74) – O valor de é igual a:
a) 0,0027
b) 0,0199
c) 0,199
d) 0,27
e) 1,999
RESOLUÇÃO
S = 
S = 0,1 + 0,09 + 0,009 + 0,0009
S = 0,1999
Questão 77) – Considere as afirmativas:
1. 
Se xy = xy e xy = x – y, o valor de [2(812)][(32)5] é igual a -9.
2. 
Se xy = (x + y) + (xy) + y então (57)3 é igual a 222.
3. 
Uma operação ‘’’’ é definida por ab = 1 - , b ≠ 0. O valor de (12)(34) é igual a -1.
4. 
Se é uma nova operação definida como pq = p² - 2q, o valor de 73 é igual a 43.
Conclua que
(A) Todas são verdadeiras
(B) Três são verdadeiras e uma é falsa
(C) Duas são verdadeiras e duas são falsas
(D) Somente três são falsas
(E) Todas são falsas
RESOLUÇÃO
1º) Afirmativa
xy = xy
xy = x – y
[2(812)][(32)5]=
[2(8 – 12)][(3 . 2)5] =
[2(-4)][65] =
2 . (-4)6 – 5 =
- 81 =
-8 -1 = 
-9 OK
2º) Afirmativa
xy = (x + y) + (xy) + y
(57)3 =
(5 + 7 + 5.7 + 7)3 =
(12 + 35 + 7)3 =
543 =
54 + 3 + 54.3 + 3 =
57 + 162 + 3 =
222 OK
3º) Afirmativa
a ∆ b = 1 - 
(1 ∆ 2) ∆ (3 ∆ 4) =
(1 -) ∆ (1 - ) =
∆ =
1 - 
1 - =
1 – 2 =
-1 OK
4º) Afirmativa
pq = p² - 2q
73 = 
7² - 2.3 =
49 – 6 =
43 OK
Concluímos que todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 78) – Definimos a operação em R+0 por ab = . Assinale o menor dos números:
a) 
2(31)
b) 
2(34)
c) 
3(12)
d) 
3(42)
e) 
4(23)
RESOLUÇÃO
Analisando cada uma das alternativas separadamente, temos:
1º) - 
2º) - 
3º) - 
4º) - 
5º) - 
Daí, o menor número dentre os analisados é o 
Questão 201) – Qual o valor da soma abaixo:
a) 1
b) 2
c) 2003
d) 2005
e) 2006
RESOLUÇÃO
Lembrando que: 2 = 1 + 1, daí temos:
Se analisarmos com calma, perceberemos facilmente que na primeira e na segunda fração possuem em comum. Basta chamarmos essa fração de uma letra qualquer, onde chamarei de ‘’a’’, por exemplo, e fazer a substituição na soma dada na questão. Fazendo isso, temos:
= a
Daí, temos que:
Capítulo 2
 
Seção 2.1 – Potência de Expoente Inteiro
Questão 229) – O valor de é igual a:
a) 6
b) 8
c) 24
d) 51
e) 
RESOLUÇÃO
mmc(4,8,16) = 16
Questão 231) – Definimos ab como ab. O valor de é igual a:
a) 
b) 
c) 1
d) 4
e) 256
RESOLUÇÃO
ab = ab
Questão 233) – Seja uma operação associativa por mn = (-1)n.m + (-1)m.n. O valor de 2611788 é igual a:
a) 93
b) 94
c) 95
d) 96
e) 97
RESOLUÇÃO
(261)(1788) 
Fazendo separadamente as operações, temos:
(261) = (-1)1.26 + (-1)26.1 = -26 + 1 = -25
(1788) = (-1)88.17 + (-1)17.88 = 17 – 88 = -71
Agora, nós temos:
(-25-71) = (-1)-71.(-25) + (-1)-25.(-71) = ((-1)71)-1.(-25) + ((-1)25)-1.(-71) = (-1)-1.(-25) + (-1)-1.(-71) = (-1).(-25) + (-1).(-71) = 25 + 71 = 96
	
Seção 2.2 – Lei dos Expoentes	
Questão 236) – Considere as afirmativas:
1. O valor de 2005.(20052005) é 40200252005.
2. O valor de 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 é 67.
3. A quarta parte de 816 é 423.
4. A terça parte de 630 é 2x629.
5. O valor de 4015.5401.401401.55 é 20052005.
Conclua que:	
a) Somente a terceira e a quinta são verdadeiras.
b) As três últimas são verdadeiras.
c) Somente a quinta é verdadeira.
d) A primeira e a segunda são verdadeiras.
e) A segunda é verdadeira e a quinta é falsa.
RESOLUÇÃO
Analisando cada afirmativa, temos:
1. 2005.(20052005) = 20052006
2. 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 = 6.66 = 67
3. 
4. 
5. 4015.5401.401401.55 = 401406.5406 = (401.5)406 = 2005406
Daí, temos a segunda afirmativa correta e a quinta afirmativa é falsa.
Questão 241) – Se 22008 – 22007 - 22006 + 22005 = k.22005, o valor de k é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Colocando 22005 em evidência, temos:
 
Questão 243) – Considere as afirmativas:
I. 210 + 210 = 211
II. 210 – 210 = 010
III. 210.210 = 220
IV. 210:210 = 100
O número de afirmativas VERDADEIRO é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
Analisando cada afirmativa, temos:
I. 210 + 210 = 2.210 = 211
II. 210 - 210 = 010 = 0
III. 210.210 = 210+10 = 220
IV. 210:210 = 1024:1024 = 1
Daí, todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 245) – Os números da forma são sempre múltiplos de:
a) 17
b) 19
c) 23
d) 29
e) 31
RESOLUÇÃO
Utilizando propriedades de potência, temos:
Daí, os números são múltiplos de 17.
Questão 247) – Considere as afirmativas:
I. O quociente de 5050 por 2525 é igual a 225.
II. 
O valor de é igual a 515.
III. 
A razão é igual a 1.
Assinale:
a) Se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras
b) Se somente as afirmativas I e III forem verdadeiras
c) Se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras.
d) Se todas as afirmativas forem verdadeiras.
e) Se todas as afirmativas forem falsas.
RESOLUÇÃO
Analisando cada afirmativa, temos o seguinte:
I. 
II. 
III. 
Portanto, temos somente as duas últimas como alternativas corretas.
Questão 248) – Qual dos números abaixo é diferente dos demais?
a) (24)8
b) (4²)8
c) 216.16²
d) 216.216
e) 48.48
RESOLUÇÃO
Analisando cada caso, temos:
a) (24)8 = 232
b) (4²)8 = 416 = (2²)16 = 232
c) 216.16² = 216.(24)2 = 216.28 = 226
d) 216.216 = 232
e) 48.48 = 416 = (2²)16 = 232
Daí, temos que o único número diferente dos demais é o 216.16² = 226.
Questão 249) – Sejam a = 16².16², b = (84)², c = 216.32², d = (24)8 e e = 48.48. O valor de é igual a:
a) 16².16²
b) (84)²
c) 216.32²
d) (24)8
e) 48.48
RESOLUÇÃO
Simplificando os valores de a, b, c, d, e temos:
Daí, temos que:
Questão 256) – Coloque (F) Falsa ou (V) Verdadeira nas afirmativas e assinale a opção correta.
(V) Se x² = 4 então x6 = 64
(F) Se x6 = 64 então x = 2
(V) (2²)³ < 
(V) Se 10x = 0,2 então 102x = 0,04
(V) 2n+2 + 2n = 5.2n
a) (F) (V) (V) (V)(F)
b) (V)(F) (V) (V) (V)
c) (V)(F) (V) (V)(F)
d) (V) (V)(F) (V) (V)
e) (V)(F) (V)(F) (V)
RESOLUÇÃO
Analisando cada afirmativa, temos:
1º) Elevando ao cubo ambos os membros, temos:
 (x²)³ = 4³ 
 x6 = 64.
2º) Passando o expoente 6 para o segundo membro com a operação inversa, temos:
 x = 
x = ± 2.
3º) Analisando as potências separadas, temos:
(2²)³ = 4³ = 64	
= 28 = 256
Daí, temos que 64 < 256
4º) Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
(10x)² = (0,2)²
102x = 0,04
5º) Colocando 2n em evidência, temos:
2n.2² + 2n = 2n(2² + 1) = 2n(4 + 1) = 2n.5
Questão 264) – O triplo do número 39 + 911 é igual a:
a) 94 + 336
b) 93 + 335
c) 310 + 913
d) 310 + 910
e) 95 + 323
	RESOLUÇÃO
Utilizando as propriedades de potência ab.ac = ab+c e (ab)c = ab.c, temos:
Questão 265) – A metade do número 211 + 48 é igual a:
a) 25 + 44
b) 25 + 28
c) 110 + 28
d) 215 + 45
e) 29 + 47
RESOLUÇÃO
Utilizando algumas propriedades básicas de potências, temos:
Questão 263) – A metade do número 213 + 411 é igual a:
a) 221 + 46
b) 212 + 45
c) 221 + 43
d) 110 + 220
e) 212 + 47
RESOLUÇÃO
Utilizando algumas propriedades básicas de potências, temos:
Questão 279) – Qual o valor do inteiro positivo n para o qual se tem?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
RESOLUÇÃO
Utilizando algumas propriedades básicas de potências, temos:
Como as bases são iguais, basta igualar os expoentes, daí temos que:
n = 12
Questão 283) – O valor numérico da expressão
E = 
 para a = 10-3 e b = -10-2 é igual a:
a) -100
b) -10
c) 1
d) 10
e) 100
RESOLUÇÃO
 
Questão 284) – O valor de é igual a:
a) 1
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Capítulo 3
Seção 3.1 – Lei das Raízes
Questão 366) – O número é igual a:
a) 66
b) 
c) 612
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Utilizando algumas propriedades de potenciação e radiciação, temos que:
Questão 381) – O produto de por é igual a:
a) 
b) 
2
c) 
d) 
e) 
2
RESOLUÇÃO
O mmc entre os índices é igual a 12, ou seja, 3x4 = 12. A partir daí, teremos todos os índices iguais.
Questão 382) – O valor de é:
a) 5
b) 
c) 
d) 
e) 1
	RESOLUÇÃO	
O mmc entre os índices de cima é 20, ou seja, 4x5 = 20, daí temos todas asraízes com os índices iguais.
Questão 386) – Se N > 1 então é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Questão 389) – O valor de é:
a) 
2
b) 
4
c) 
4
d) 
2
e) 
4
RESOLUÇÃO
Questão 391) – A expressão quando escrita como potência de base 2, tem como expoente igual a:
a) 
b) 
c) -6
d) 
e) -8
RESOLUÇÃO
Lembrando que 0,333... é uma dízima periódica simples com período igual a 3, daí escrevemos esta dízima em forma de fração, da seguinte forma:
0,333... = 
Daí, temos que:
Logo, o expoente igual a .
Questão 392) – Simplificando a expressão E = obtemos:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 15
e) 75
RESOLUÇÃO
Questão 393) – Simplificando-se a expressão abaixo, obtemos:
E = 
a) 
b) 
c) 1
d) 
e) 2
RESOLUÇÃO
Questão 395) – Simplificando a expressão 
E = 
obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Utilizando propriedades de potência e raiz, temos:
Agora, como os índices dos radicais são distintos e, para igualarmos, precisamos encontrar o mmc entre os índices 2 e 4, daí temos que:
mmc(2,4) = 4
A partir disso, os novos índices serão iguais a 4, daí temos que:
	
Seção 3.2 – Potência de Expoente Racional
Questão 397) – Se x³ = 20057, y5 = 20058 e z9 = 200510, o valor de (xyz)45 é igual a:
a) 200545
b) 20052005
c) 2005125
d) 2005227
e) 2005250
RESOLUÇÃO
Resolvendo separadamente cada incógnita e utilizando propriedades de potência e raíz, temos:
1º) Determinando o valor de x:
2º) Determinando o valor de y:
3º) Determinando o valor de z:
Daí, temos que:
O mmc entre os denominadores é igual a:
mmc(3,5,9) = 45
Daí:
45 : 3 = 15
45 : 5 = 9
45 : 9 = 5
Com isso, temos o resultado final:
Questão 412) – Resolvendo-se a expressão
encontra-se:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Lembrando que 0,666... é uma dízima periódica simples, onde o período é o número 6. Podemos representar essa dízima através de uma fração da seguinte forma:
0,666... = 
Substituindo esse valor na expressão, temos:
Questão 416) – O valor da expressão
é igual a:
a) 
b) 
c) 0
d) 1
e) -1
RESOLUÇÃO
Lembrando que 0,333... é uma dízima periódica simples, onde o período é o número 3. Podemos representar essa dízima através de uma fração da seguinte forma:
0,333... = 
Substituindo esse valor na expressão, temos:
Questão 420) – A expressão é equivalente a:
a) 
b) 
c) -1
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Racionalizando a fração, temos:
Capítulo 4
Seção 4.1 – Potência de Expoente Racional
Questão 440) – A raiz quadrada de (1020 + 1)² - 1040 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 
d) 
(1010 + 1)
e) 
RESOLUÇÃO
Questão 441) – Se xy = 7, o valor de é:
a) 4
b) 27
c) 214
d) 228
e) 2196
RESOLUÇÃO
 
Questão 447) – Se a² = a + 2, então a³ é igual a:
a) a + 4
b) 2a + 8
c) 3a + 2
d) 4a + 8
e) 27a + 8
RESOLUÇÃO
a² = a + 2
a³ = a.a² = (a + 2).a = a² + 2 = a + 2 + 2a = 3a + 2 
Questão 456) – O natural n para o qual (1012 + 2500)² - (1012 – 2500)² = 10n é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
RESOLUÇÃO
Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b) = a² - b².
(1012 + 2500)² - (1012 – 2500)² = 10n
[(1012 + 2500) + (1012 – 2500)] x [(1012 + 2500) – (1012 – 2500)] = 10n
(1012 + 2500 + 1012 – 2500) x (1012 + 2500 – 1012 + 2500) = 10n
2.1012 . 5000 = 10n
2.5.1012.10³ = 10n
10.1012.10³ = 10n 
1016 = 10n
n = 16
Questão 457) – A expressão, é equivalente a:
a) 4x³
b) 4yx³
c) 4zx³
d) 4yzx³
e) 4xyz
RESOLUÇÃO
Usando o produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b) = a² - b².
Questão 461) – Se 2n + 2-n = 5, então 4n + 4-n é igual a:
a) 23
b) 25
c) 32
d) 33
e) 34
RESOLUÇÃO
2n + 2-n = 5
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
(2n + 2-n)² = 5²
(2n)² + 2-n)² + 2.2n.2-n = 25
(2²)n + (2²)-n + 2 = 25
(2²)n + (2²)-n = 25 – 2
4n + 4-n = 23
Questão 462) – Se x é um número real positivo e , então x³ + é igual a:
a) 
4
b) 
7
c) 
5
d) 
6
e) 
10
RESOLUÇÃO
Elevando ambos os membros ao cubo, temos:
Desenvolvendo o produto notável, temos:
Questão 463) – Se , então x³ + é igual a:
a) 1
b) 2
c) 0
d) 3
e) 6
RESOLUÇÃO
Elevando ao cubo ambos os membros, temos:
Questão 464) – Sabendo que , o valor de é igual a:
a) 40
b) 42
c) 60
d) 62
e) 100
RESOLUÇÃO
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
Questão 466) – Se a = e b = , então o valor de a³ + b³ + 3a²b + 3ab² é:
a) 2
b) 1
c) 4
d) 6
e) 8
RESOLUÇÃO
a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = (a + b)³ = (3 - +-)³ = (3 – 1)³ = 2³ = 8
Questão 468) – Se x = 1 + e y = 1 - , o valor da fração F = é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
x = 1 + 
y = 1 - 
F = 
Questão 470) – Os valores reais de a e b para os quais são tais que a + b é igual a:
a) 50
b) 52
c) 54
d) 56
e) 58
RESOLUÇÃO
Desenvolvendo o produto notável por parte, temos:
1º) 
2º) 
Daí, temos que:
+= 
52 = 
a = 52
b = 0
Logo:
a + b = 52 + 0
a + b = 52
Questão 476) – Se x = 104, y = 10² e p = 2, o número de zeros com que termina o produto é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
RESOLUÇÃO
O produto termina em 16 zeros.
Questão 478) – O produto quando simplificado se torna igual a:
a) x8 – 1
b) x8 + 1
c) x8 + 2x4 - 1
d) x8 - 2x4 - 1
e) x8
RESOLUÇÃO
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
Questão 480) – Simplificando-se o produto P = (x² + x + 1)(x² - x + 1)(x² + 1) ao máximo possível obtemos:
a) x6 - 1
b) x6 + 1
c) x6 – 2x³ - 1
d) x6 + 2x³ - 1
e) x6 
RESOLUÇÃO
P = (x² + x + 1)(x² - x + 1)(x² + 1)
P = (x4 – x³+ x² + x³ - x²()² + x + x² - x + 1)(x² + 1)
P = (x4 + x² - 3x² + x + x² - x + 1)(x² + 1)
P = (x4 + 2x² - 3x² + 1)(x² + 1)
P = (x4 – x² + 1)(x² + 1)
P = x6 – x4 + x² + x4 – x² + 1
P = x6 + 1
Questão 482) – O produto P = é igual a:
a) 100
b) 101
c) 102
d) 103
e) 104
RESOLUÇÃO
Realizando o produto separadamente, temos:
1º) = = 
2º) = 
Logo, o produto de ambos resultados será igual a:
= 
Questão 484) – O númeroé igual a:
a) 2
b) 
2
c) 
4
d) 
e) 
2
RESOLUÇÃO
Fazendo por partes, temos:
1º) 
A = 3
B = 8
C = A² - B
C = 3² - 8
C = 9 – 8
C = 1
Daí, pela fórmula do radical duplo, temos:
2º) 
A = 3
B = 8
C = A² - B
C = 3² - 8
C = 9 – 8
C = 1
Daí, pela fórmula do radical duplo, temos:
Logo, a soma dos valores obtidos é igual ao número equivalente a diferença entre os dois radicais duplos:
Questão 485) – O é igual a:
a) 14
b) 
2
c) 
8
d) 4
e) 
2
RESOLUÇÃO
Fazendo por partes, temos:
1º) 
A = 7
B = 48
C = A² - B
C = 7² - 48
C = 49 – 48
C = 1
Daí, pela fórmula do radical duplo, temos:
2º) 
A = 7
B = 48
C = A² - B
C = 7² - 48
C = 49 – 48
C = 1
Daí, pela fórmula do radical duplo, temos:
Daí temos a soma dos resultados:
Questão 469) – Se o valor de possui a forma de k³, o valor de k é:
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
RESOLUÇÃO
Fazendo por partes o cubo da soma e o cubo da diferença, temos:
1º) 
2º) 
Descobrindo o valor de k³, temos:
Questão 504) – O resultado mais simples de é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Questão 522) – Sabendo que x + y = 1 e x² + y² = 221, o valor de x³ + y³ é igual a:
a) 330
b) 331
c) 332
d) 333
e) 334
RESOLUÇÃO
 x + y = 1
 x² + y² = 221
 x³ + y³ = ?
Elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação, temos:
(x + y )² = 1²
x² + y² + 2xy = 1
221 + 2xy = 1
2xy = 1 – 221
2xy = -220
xy = 
xy = -110
Elevando ao cubo ambos os membros da primeira equação e substituindo xy, temos:
(x + y)³ = 1³
x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1
x³ + y³ + 3.(-110).1 = 1
x³ + y³ -330 = 1
x³ + y³ = 1 + 330
x³ + y³ = 331
Questão 523) – Sejam x e y números reais tais que x + y = 26 e x³ + y³ = 5408. O valor de x² + y² é igual a:
a) 360
b) 362
c) 364
d) 366
e) 368
RESOLUÇÃO
 x + y = 26
 x² + y² = ?
 x³ + y³ = 5408
Elevando ao cubo ambos os membros da primeira equação, temos:
(x + y)³ = 26³
x³ + y³ + 3xy(x + y) = 17576
5408 + 3xy.26 = 17576
5408 + 78xy = 17576
78xy = 17576 – 5408
78xy = 12168
xy = 
xy = 156
Elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação e substituindo xy, temos:
(x + y)² = 26²
x² + y² + 2xy = 676
x² + y² + 2.156 = 676
x² + y² + 312 = 676
x² + y² = 676 – 312
x² + y² = 364
Seção 4.2 – Fatoração
Questão 599) – Se r³ = -1, então é igual a:
a) 1 – r²
b) r² + 2r + 1
c) r² - 2r + 1
d) 2r – r² + 1
e) 2r – r²
RESOLUÇÃOAbrindo o somatório, temos:
Questão 633) – Se x > 0 e x + = 5, o valor de x5 + é igual a:
a) 3125
b) 5000
c) 2525
d) 1250
e) 550
RESOLUÇÃO
1º SOLUÇÃO:
Elevando ambos os membros a quinta potência, temos:
Desenvolvendo o produto notável, temos:
Elevando ambos os membros ao cubo, temos:
Substituindo, temos:
Questão 650) – Sejam a e b números reais tais que a² + b² = 6ab. Se onde p e q são primos entre si, o valor p + q é igual a:
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19 
RESOLUÇÃO
a² + b² = 6ab
Como nós não temos o valor de a – b e nem de a + b, podemos, a partir de a² + b² = 6ab, descobrir a – b e a + b. 
Completando quadrados, temos a + b:
a² + b² + 2ab = 6ab + 2ab
(a + b)² = 8ab
a + b = 
a + b = 
Completando quadrados, temos a - b:
a² + b² - 2ab = 6ab – 2ab
(a – b)² = 4ab
a – b = 
a – b = 
Agora, voltando a fração e substituindo os respectivos valores encontrados, temos:
.
Igualando os numeradores e denominadores, temos:
p= 7
p = 
p = 7
q = 10
Daí, temos a soma de p e q:
p + q = 7 + 10
p + q = 17
Questão 683) – O valor do produto onde o n-ésimo fator é 1 + :
a) 441
b) 4041
c) 4410
d) 4001
e) 4010
RESOLUÇÃO
Questão 685) – A soma S = quando escrita sob a forma da fração irredutível o valor de p + q é:
a) 4001
b) 5001
c) 6001
d) 8001
e) 9001
RESOLUÇÃO
S = 
S = 
S = 
S = 
S = 
Logo:
 = 
p = 1000
q = 3001
Então:
p + q = 1000 + 3001
p + q = 4001
Questão 686) – A soma S = é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Questão 716) – O valor de para x = onde a e b são números reais positivos é:
a) 2( a + b)
b) 2a + b
c) a + 2b
d) a + b
e) a – b
RESOLUÇÃO
x = 
x =
x = 
x = 
x = 
Fazendo por partes a , temos:
Agora, substituindo na fração original, temos:
Questão 774) – A expressão a5 + 3a4b – 5a³b² - 15a²b³ + 4ab4 + 12b5 quando fatorada completamente apresenta um número de fatores com coeficientes inteiros igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Fatorando o polinômio acima temos:
a4(a + 3b) – 5a²b²(a + 3b) + 4b4(a + 3b) = 
(a4 – 5a²b² + 4b4)(a + 3b)
Os coeficientes são: 1, -5, 4, 1 e 3
No total são 5 coeficientes inteiros.
Questão 775) – Um dos fatores da expressão x² - y² + (x + y + 1)² - 1 é:
a) x – y
b) x – 1
c) x + y + 1
d) x – y – 1
e) x + 1
RESOLUÇÃO
x² - y² + (x + y + 1)² - 1 = x² - y² + x² +y² + 1 + 2xy + 2y + 2x – 1 = 2x² + 2xy + 2y + 2x = 2x(x + y) + 2(y + x) = (2 + 2x)(x + y) = 2(1 + x)(x + y).
Um dos fatores é: 
1 + x.
Questão 797) – Se n é um inteiro positivo, a expressão (3 + 2)2n-1 + (3 - 2)2n – 1 – 2 é tal que:
a) Algumas vezes é racional, outras vezes não
b) É sempre um inteiro ímpar
c) É sempre irracional
d) É sempre um inteiro par
e) É sempre um quadrado perfeito
RESOLUÇÃO
Para n = 1, temos:
(3 + 2)2.1 – 1 + (3 - 2)2.1 – 1 – 2 = 
(3 + 2)2 – 1 + (3 - 2)2 – 1 – 2 =
(3 + 2) + (3 - 2) – 2 =
3 + 3 – 2 = 
4
Sempre será um quadrado perfeito.
Seção 4.3 – Racionalização
Questão 841) – Simplificando obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) x + y
RESOLUÇÃO
Questão 842) – Simplificando obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Capítulo 5
	
Seção 5.1 – Múltiplos e Divisores
Seção 5.2 – Teoria Fundamental da Aritmética
Seção 5.3 – MDC e MMC
Seção 5.4 – Numeração e Divisibilidade
Questão 1256) – Calculando-se 30!, vemos que este termina com 7 zeros. O algarismo que procede estes zeros é:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
RESOLUÇÃO
Utilizando a Fórmula de Legendre , onde é a função de Legendre, p é um primo e i é o expoente do fator primo p.
Lembrando que:
30 = 2.5.3
Daí, temos que:
A partir disso, temos:
226.57 = 219.27.57 = 219.(2.5)7 = 219.107 = 524288.107
Logo, o algarismo que precede o 0 é o número 8.
Seção 5.5 – Congruências
Capítulo 6
	
Seção 6.1 – Equação do Primeiro Grau
Questão 1505) – O inteiro mais próximo da raiz da equação é igual a:
a) -3
b) -2
c) -1
d) -4
e) -5
RESOLUÇÃO
Daí, temos que o inteiro mais próximo é:
Questão 1506) – A raiz da equação :
a) É igual a 2
b) É igual a 4
c) É igual a 17
d) É igual a 40
e) Não existe
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores é:
mmc(2,5,1,10) = 10
Daí, temos que:
Logo, não existe raiz para esta equação.
Questão 1507) – O número de raízes da equação é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) Infinito
RESOLUÇÃO
O número de raízes para essa equação é infinita.
Questão 1508) – Se então x é igual a:
a) 3
b) 5
c) 10
d) 15
e) 30
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores é:
mmc(5,3,1) = 15
Daí, temos:
Questão 1509) – A raiz da equação é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 2
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores é igual a:
mmc(6,9,2) = 18
Daí, temos que:
3(-2x+1) + 2x = 9(1-x)
-6x + 3 + 2x = 9 – 9x
-4x + 3 =9 – 9x
-4x + 9x = 9 – 3
5x = 6
x = 
x = 
Questão 1510) – A menor raiz da equação é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 1
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores é igual a:
mmc(2,4) = 4
Daí, temos que:
Temos um produto de dois fatores resultando em zero, daí temos que:
OU
Questão 1511) – A maior raiz da equação (4x² - 9) – 2(2x – 3) + x(2x – 3) = 0 é:
a) 
b) 2
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Fatorando a equação, temos:
(2x – 3)(2x + 3) -2(2x – 3) + x(2x – 3) = 0
(2x – 3)(2x + 3 – 2 + x) = 0
(2x – 3)(3x + 1) = 0
Daí:
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 
OU
3x + 1 = 0
3x = -1
x = 
Como a primeira raiz é positiva e a segunda raiz é negativa, a maior é x = .
Questão 1512) – A soma das raízes da equação (2x + 3)(5x – 7)²(x – 1)³ =0 é igual a:
a) 
b) 
c) 1
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
(2x + 3)(5x – 7)²(x – 1)³ = 0
Temos um produto de três fatores resultando em zero, daí temos que:
2x + 3 = 0
2x = -3
x = 
OU
(5x – 7)² = 0
5x – 7 = 0
5x = 7
x = 
OU
(x – 1)³ = 0
x – 1 = 0
x = 1
Daí, a soma de todas as raízes é igual a:
Questão 1513) – O número de raízes reais da equação (x² - x + 5)² = (x² - 3x + 7)² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos:
x² - x + 5 = x² - 3x + 7
- x + 5 = -3x + 7
- x + 3x = 7 – 5
2x = 2
x = 
x = 1
Logo, a equação admite apenas uma raiz.
Questão 1514) – A raiz da equação é:
a) 
b) 1
c) 
d) 
e) 2
RESOLUÇÃO
Tirando o mmc entre os denominadores, temos:
mmc(x - 1, x + 1, x² - 1) = x² - 1
Daí, temos que:
Cancelando os denominados, temos:
3(x + 1) + 5(x – 1) = 2.1
3x + 3 + 5x – 5 = 2
8x – 2 = 2
8x = 2 + 2
8x = 4
x = 
x = 
Questão 1515) – O valor de x tal que é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores é igual a:
mmc(x, x-2, x(x-2)) = x(x-2)
Daí, temos que:
1,75(x – 2) – 0,25x = 1,25
1,75x – 3,5 – 0,25x = 1,25
1,75x – 0,25x = 1,25 + 3,5
1,5x = 4,75
x = 
x 
O valor de x é uma dízima infinita onde o número que se repete (período) é o número 6.
x = 3,1666... x(10)
10x = 31,666... x(10)
100x = 316,666...
Subtraindo as duas últimas equações a parte que se repete desaparece, daí temos:
100x – 10x = 316,666... – 31,666...
90x = 285
x = 
x = 
Questão 1516) – A raiz da equação (x-1 + 2-1)-1 = é igual a:
a) -1
b) 0
c) 
d) 
e) 1
RESOLUÇÃO
(x-1 + 2-1)-1 = 
4x = 2 + x
4x – x = 2
3x = 2
x =
Questão 1517) – A raiz da equação é igual a:
a) 
b) 
c) -1
d) 
e) 1
RESOLUÇÃO
Questão 1518) – A raiz da equação é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 3
RESOLUÇÃO
Questão 1519) – A raiz da equação está entre:
a) -3 e -1
b) -2 e 0
c) -1 e 1
d) 0 e 2
e) 1 e 3
RESOLUÇÃO
O resultado é igual a 3, daí temos que:
A raiz da equação x = -1 está entre -2 e 0.
Questão 1520) – Se então x é igual a:
a) 
- 2
b) 
+ 2
c) 
d) 
+ 1
e) 
- 1
RESOLUÇÃO
Utilizando a propriedade da proporção, temos que:
Racionalizando, temos:
Questão 1527) – Sobre as raízes da equação 2x + = 6 + podemos afirmar que:
a) São positivas
b) São negativas
c) Possuem sinais contrários
d) Não existem
e) São nulas
RESOLUÇÃO
2x + = 6 + 
2x(x – 3) + 6 = 6(x – 3) + 6
2x² - 6x + 6 = 6x – 18 + 6
2x² - 6x + 6 = 6x – 12
2x² - 6x + 6 – 6x + 12 = 0
2x² - 12x + 18 = 0 :2
x² - 6x + 9 = 0
S = 6
P = 9
Logo:
x’ = x’’ = 3
Questão 1529) – O valor de m para o qual a equação (m² - 9)x = m² + 3m é possível e determinada é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d)4
e) 5
RESOLUÇÃO
m(mx + 1) = 2(2x – 1)
m²x + m = 4x – 2
m²x – 4x = -2 – m
x(m² - 4) = -2 - m
Igualando os termos, temos:
m² - 4 = 0
m² = 4
m = ± 
m ± 2
Logo, para ser impossível precisamos ter m = 2.
Questão 1530) – O valor de m para o qual a equação m²x + 4 = m(x + 4) é impossível é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
m²x + 4 = mx + 4m
m²x – mx = 4m – 4
x(m² - m) = 4m – 4
Daí, temos que:
m² - m = 0
m(m – 1) = 0
m = 0
OU
m – 1 = 0
m = 1
Se tivermos m = 0 temos o seguinte:
0².x + 4 = 0.(x + 4)
4 = 0 Impossível!
Se tivermos m = 1 temos o seguinte:
1².x + 4 = 1.(x + 4)
x + 4 = x + 4 Possível!
Logo, o valor de m para que a equação seja impossível é m = 0.
	
Seção 6.2 – Problemas do Primeiro Grau
Seção 6.3 – Duas ou mais Incógnitas
Questão 1598) – Para quaisquer inteiros a e b definimos a operação por ab = a + b – ab. Resolvendo o sistema (2x) + (3y) = 19 verificamos que y – x é igual a:
 (3x) + (4y) = 89
a) -78
b) 78
c) 156
d) 176
e) 186
RESOLUÇÃO
Fazendo as operações separadas, temos:
(2x) = 2 + x – 2x
(3y) = 3 + y – 3y
(3x) = 3 + x – 3x
(4y) = 4 + y – 4y
Voltando ao sistema e substituindo, temos:
 2 + x – 2x + 3 + y – 3y = 19
 3 - x – 3x + 4 + y – 4y = 89
 -x + 5 – 2y = 19
 -2x + 7 – 3y = 89
 -x – 2y = 19 – 5
 -2x – 3y = 89 – 7
 -x – 2y = 14
 -2x – 3y = 89
Resolvendo o sistema pelo método da adição, encontramos y = 54. Basta substituirmos o valor de y na primeira equação para encontrarmos o valor de x.
-x – 2y = 14
-x – 2.54 = 14
-x – 104 = 14
-x = 14 + 104
-x = 122 .(-1)
 x = -122
Logo, temos a diferença entre os valores encontrados:
y – x = 54 – (-122)
y – x = 54 + 122
y – x = 176
Questão 1614) – Um baleiro vende dois tipos de balas b1 e b2. Três balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade de bala b2 custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de balas do tipo b1 vendidas foi:
a) 144
b) 113
c) 112
d) 111
e) 110	.
RESOLUÇÃO
Se três balas custam R$ 0,10 então cada uma custará . Com essa informação, temos um sistema linear da seguinte forma:
x + y = 127	
x + 0,15y = 5,75
Reescrevendo o sistema modificando a segunda equação, temos:
 x + y = 127
 x + y = 
Resolvendo o sistema acima pelo método da substituição, vamos isolar a incógnita x na primeira equação e substituir na segunda equação. Daí, temos:
x = 127 – y
(127 – y) + y = 
Como x = 127 – y, temos que:
x = 127 – 13
x = 114
Seção 6.4 – Proporcionalidade e Médias
Questão 1660) – Se x homens trabalhando x horas por dia durante x dias produzem x artigos, então, o número de artigos produzidos por y homens trabalhando y horas por dia durante y dias é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
É um problema de regra de três composta, pois envolve mais de duas grandezas. Vamos chamar o número que artigos de p e montar as grandezas e analisar se a grandeza onde se encontra a variável p que iremos descobrir é direta ou inversa em relação às outras grandezas.
Vamos usar as seguintes letras:
H = homens
T = tempo medido em hora
D = dias
A = artigos
Daí, temos:
H T D A
x-----------x------------x------------x
y----------y-------------y------------p
Analisando as grandezas separadamente, temos:
A D
x-----------x
p-----------y
A T
x-----------x
p-----------y
A H
x-----------x
p-----------y
Agora iremos montar uma relação entre as grandezas analisadas separadamente, daí temos:
Questão 1705) – Para 1 < x < y, seja S = {1, x, y, x + y}. O valor absoluto da diferença entre a média e a mediana de S é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
A média aritmética do conjunto S será:
A mediana do conjunto S será:
Daí, a diferença entre a média e a mediana do conjunto S será:
Daí, temos que o valor absoluto é igual a:
Seção 6.5 – Porcentagem
Seção 6.6 – Inequações do Primeiro Grau
Questão 1820) – O maior valor inteiro de x que satisfaz à inequação é igual a:
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
RESOLUÇÃO
O mmc entre os denominadores das frações é:
mmc(2,10,4,3,20) = 60
O maior valor inteiro que satisfaz a inequação apresentada acima é x = 4.
Questão 1825) – O número de soluções inteiras da inequação é igual a:
a) 0
b) 3
c) 4
d) 6
e) infinito
RESOLUÇÃO
Esse tipo de inequação chama-se inequação quociente, pois há uma divisão entre duas funções da forma , para resolvermos esse tipo de inequação basta jogarmos o número 1 para o primeiro membro, tirar o mmc e resolver cada função separadamente. Vejamos:
Chamando o numerador de f(x), determinando o zero da função e fazendo o jogo de sinal, temos:
f(x) = -x – 7
f(x) = 0
0 = -x – 7
x = -7
Na reta real, marcamos bolinha aberta em -7 (pois a desigualdade é maior, ou seja, não entra o zero da função na solução), desenhamos o gráfico da função f(x). Como o coeficiente angular da função é negativo, o comportamento da função fica desta forma:
Chamando o denominador de g(x), determinando o zero da função e fazendo o jogo de sinal, temos:
g(x) = 2x + 4
g(x) = 0
0 = 2x + 4
-4 = 2x
x = 
x = -2
Na reta real, marcamos bolinha aberta em -2 (pois a desigualdade é maior, ou seja, não entra o zero da função na solução), desenhamos o gráfico da função g(x). Como o coeficiente angular da função é positivo, o comportamento da função fica desta forma:
Daí, a solução geral fica:
O número de soluções é igual a 4.
Seção 6.7 – Módulo de um Real
Questão 1875) – Se x e y são reais e |x + y – 17| + |x – y – 5| = 0 então y é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
RESOLUÇÃO
Temos a primeira equação:
x + y – 17 = 0
x + y = 17
Temos a segunda equação:
x – y – 5 = 0
x – y = 5
Com as duas equações, iremos montar um sistema linear de duas equações e duas variáveis, admitindo o par (x,y) como soluções reais do sistema.
Resolvendo pelo o método da adição, basta somar as equações e os termos independentes e encontraremos:
Substituindo x = 11 na primeira equação, temos:
11 + y = 17
y = 17 – 11
y = 6
Questão 1877) – A soma das raízes da equação |2x – 3| = 5 é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4 
RESOLUÇÃO
|2x – 3| = 5
2x – 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 
x = 4
OU
2x – 3 = -5
2x = -5 +3
2x = -2
x = 
x= -1
Logo:
4 – 1 = 3
Questão 1878) – Se |x – 1| = 2x, então x é igual a:
a) -1
b) 1
c) 3
d) 
-1 ou 
e) 
RESOLUÇÃO
|x – 1| = 2x
x – 1 = 2x
-1 = 2x – x
x = -1
O módulo nunca resulta em valor negativo, logo, x = -1 não é raiz.
OU
x – 1 = -2x
x + 2x = 1
3x = 1
x = 
Questão 1879) – O produto das raízes da equação |5 - |x|| = 3 é igual a:
a) 64
b) 128
c) 256
d) 1024
e) 2048
RESOLUÇÃO
|5 - |x||= 3
|5 – x| = 3
5 – x = 3
5 – 3 = x
x = 2
OU
5 – x = -3
5 + 3 = x
x = 8
|5 - |x|| = 3
|5 –(-x)| = 3
|5 + x| = 3
5 + x = 3
x = 3 - 5 
x = -2
OU
5 + x = -3
x = -3 – 5
x = -8
Logo, temos:
P = 2.8.(-2).(-8)
P = 16.16
P = 256
Questão 1880) – A soma das raízes da equação ||2x – 3| - 4| = 6 é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
Substituindo|2x – 3| por y, daí:
|y – 4| = 6
y - 4 = 6
y = 6 + 4
y = 10
OU
y – 4 = -6
y = -6 + 4
y = -2
Daí, temos:
|2x – 3| = -2 (Não convém, pois o resultado de um módulo nunca é negativo)
|2x – 3| = 10
2x – 3 = 10
2x = 10 + 3
2x = 13
x = 
OU
2x – 3 = -10
2x = -10 + 3
2x = -7
x = 
A soma dos valores de x é:
x’ + x’’ = +
x’ + x’’ = 
x’ + x’’ = 
x’ + x’’ = 3
Questão 1885) – A soma de todos os valores de x tais que |3|3x – 1| - 1| = x é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Chamando |3x – 1| de y e substituindo na questão, temos que:
|3y – 1| = x
Daí, temos dois valores para y tais que:
3y – 1 = x
3y = x + 1
y = 
OU
3y – 1 = -x
3y = 1 – x
y = 
Substituindo o primeiro y, temos que:
|3x – 1| = 
3x – 1 = 
3(3x – 1) = x + 1
9x – 3 = x + 1
9x – x = 1 + 3
8x = 4
x = 
x = 
OU
|3x – 1| = 
3x – 1 = -
3(3x – 1) = -(x + 1)
9x – 3 = -x – 1
9x + x = -1 + 3
10x = 2
x = 
x = 
Substituindo o segundo y, temos que:
|3x – 1| = 
3x – 1 = 
3(3x – 1) = 1 – x
9x – 3 = 1 – x
9x + x = 1 + 3
10x = 4
x = 
x = 
OU
|3x – 1| = 
3x – 1 = -
3(3x – 1) = -(1– x)
9x – 3 = -1 + x
9x – x = -1 + 3
8x = 2
x = 
x = 
Daí, temos que a soma de todos os valores de x é igual a:
O mmc entre os denominadores é igual a:
mmc(2,5,4) = 20
Daí, temos que:
Questão 1889) – A diferença entre a menor e a maior raiz da equação |x + 3| + |x – 1| = 6 é:
a) -6
b) -4
c) -2
d) 2
e) 6
RESOLUÇÃO
|x + 3| + |x – 1| = 6
x + 3 + x – 1 = 6
2x + 2 = 6
2x = 6 – 2
2x = 4
x = 
x = 2
OU
x + 3 + x – 1 = -6
2x + 2 = -6
2x = -6 – 2
2x = -8
x = 
x = -4
Logo:
2 – (-4) = 2 + 4 = 6
Questão 1893) – O produto das raízes da equação |x + 2| = 2|x – 2| é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
|x + 2| = 2|x – 2|
x + 2 = 2(x – 2)
x + 2 = 2x – 4
2 + 4 = 2x – x 
x = 6
OU
x + 2 = -2(x – 2)
x + 2 = -2x + 4
x + 2x = 4 – 2
3x = 2
x = 
Fazendo o produto das duas soluções, temos:
x’.x’’ = 6. = = 4
Questão 1903) – A inequação |x – 3| ˂ 7 é equivalente a:
a) -4 ˂ x ˂ 10
b) x ˂ -10 ou x > 4
c) x < -4 ou x > 10
d) x < 4 ou x > 10
e) -10 < x < 4
RESOLUÇÃO
|x – 3|< 7
-7 < x – 3 < 7
-7 + 3 < x – 3 + 3 < 7 + 3
-4 < x < 10
Capítulo 7
 
Seção 7.1 – Equação do Segundo Grau
Questão 1934) – Considere a equação do 2º grau em x tal que ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com ‘’a’’ diferente de zero. Sabendo que 2 e 3 são as raízes dessa equação, podemos afirmar que:
a) 13a + 5b + 2c = 0
b) 9a + 3b – c = 0
c) 4a – 2b = 0
d) 5a – b = 0
e) 36a + 6b + c = 0
RESOLUÇÃO
Como 2 e 3 são as raízes da equação citada acima, basta substituir cada um de suas raízes em ax² + bx + c = 0. Daí, temos que:
Para, , temos:
a.3² + b.3 + c = 0
9a + 3b + c = 0
Montamos a primeira equação.
Para, , temos:
a.2² + b.2 + c = 0
4a + 2b + c = 0
Montamos a segunda equação:
Daí, a partir de cada equação montada separadamente, iremos montar agora um sistema linear formado pela primeira e segunda equação. Daí, temos:
 9a + 3b + c = 0
 4a + 2b + c = 0
Somando as duas equações termo a termo, temos:
9a + 4a + 3b + 2b + c + c = 0 + 0
Agrupando os fatores comuns, temos:
13a + 5b + 2c = 0
Questão 1937) – As equações x² - 5x + 6 = 0 e x² - 7x + c = 0 possuem uma raiz comum. Os valores possíveis de c são:
a) 10 e 15
b) 12 e 15
c) Apenas 10
d) 10 e 12
e) 10,12 e 15
RESOLUÇÃO
Vamos descobrir as raízes por soma e produto da primeira equação. Daí, temos:
x² - 5x + 6 = 0
Os coeficientes da equação são:
a = 1
b = -5
c = 6
Daí:
S =
P = 
Existem dois números que somados resulta em 5 e ao mesmo tempo multiplicados resulta em 6? Sim, existe e esses números são as raízes da equação.
Como uma raiz da equação x² - 5x + 6 = 0 é comum a equação x² - 7x + c = 0, temos que 3 e 2 também são raízes da segunda equação. Basta substituir os dois valores de x na segunda equação para descobrirmos os possíveis valores de c. Daí, temos que:
Para , temos:
x² - 7x + c = 0
3² - 7.3 + c = 0
9 – 21 + c = 0
-12 + c = 0
c = 12
Para , temos:
x² - 7x + c = 0
2² - 7.2 + c = 0
4 – 14 + c = 0
-10 + c = 0
c = 10
Daí, podemos perceber que os possíveis valores de c são 10 e 12. 
Questão 1940) – Se (2p + q)x² - 6qx – 3 = 0 e (6p – 3q)x² -3(p – 2) – 9 = 0 possuem as mesmas raízes, então:
a) p = 6q + 2
b) p + q = 7
c) 3q = p + 2
d) p – 2 = 0
e) 2p + 3q = 8
RESOLUÇÃO
Se duas equações do 2º grau (ax² + bx + c = 0) possuem as mesmas raízes, então podemos dizer que a soma e o produto de uma é igual a soma e o produto da outra. A partir desta informação, vamos resolver a questão. Vamos calcular a soma e o produto de cada uma das equações dada.
Na primeira equação (2p + q)x² - 6qx – 3 = 0, temos:
Na segunda equação (6p – 3q)x² -3(p – 2)x – 9 = 0, temos:
Agora vamos igualar os produtos P de cada uma das equações. Daí, temos:
Agora vamos igualar as somas S de cada uma das equações. Daí, temos:
Temos que:
p – 2 = 0 
OU
2p = 0
Logo, um dos fatores que aparece no produto é p – 2 = 0.
Seção 7.2 – Discussão da Equação do Segundo Grau
Seção 7.3 – Problemas do Segundo Grau
Questão 2086) – Se (x,y) é uma solução para o sistema formado pelas equações xy = 6 e x²y + xy² + x + y = 63. O valor de x² + y² é igual a:
a) 13
b) 
c) 55
d) 69
e) 81
RESOLUÇÃO
Se xy = 6, temos:
x²y + xy² + x + y = 63
xy(x + y) + x + y = 63
(xy + 1)(x + y) = 63
(6 + 1)( x + y) = 63
7(x + y) = 63
x + y = 
x + y = 9
Daí, temos que:
x² + y² = x² + y² + 2xy – 2xy = (x + y)² - 2xy = 9² - 2.6 = 81 – 12 = 69
Seção 7.4 – Relações entre Coeficientes e Raízes
Questão 2124) – O valor de k para o qual a soma das raízes da equação 3kx² -(7 + k)x + 1 = 0 é igual a vale:
a) -28
b) -14
c) -7
d) 0
e) 14
RESOLUÇÃO
Vamos calcular a soma das raízes da equação dada usando a fórmula da soma.
Como a soma vai passar a valer , temos que . Daí, temos que:
Questão 2125) – A soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação ax² - 8x + a³ = 0 é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
A média aritmética entre dois números reais é dada por:
A média geométrica entre dois números naturais é dada por:
Daí, vamos encontrar as raízes da equação ax² - 8x + a³ = 0. Como é uma equação do segundo grau, só admite duas raízes.
Daí, temos os coeficientes da equação:
a = a
b = -8
c = a³
Encontrando o valor do discriminante delta ∆, temos:
∆ = b² - 4ac
∆ = (-8)² - 4.a.a³
∆ = 64 – 4a4
∆ = 4(16 – a4)
Substituindo na fórmula de Bháskara, temos:
Então, as raízes da equação são:
Agora vamos encontrar a média aritmética entre as raízes encontradas. Daí, temos:
Agora vamos encontrar a média geométrica entre as raízes encontradas. Daí, temos:
Agora, vamos realizar a soma entre a média aritmética e a média geométrica. Daí, temos:
Seção 7.5 – Equações Biquadradas e Irracionais
Questão 2195) – A soma das duas menores raízes da equação x4 – 13x² + 36 = , é igual a:
a) 0
b) -4
c) -5
d) -6
e) -13
RESOLUÇÃO
x4 – 13x² + 36 = 0
(x²)2 – 13x² + 36 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
y² - 13y + 36 = 0
Por soma e produto das raízes, temos que:
S = 13
P = 36
y’ = 9
y’’ = 4
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’ 
x² = 9
x = ± 
x = ± 3
x² = y’’ 
x² = 4
x = ± 
x = ± 2
Logo, as raízes da equação biquadrada são:
S = {-3, -2, 2, 3}
Daí, a soma é:
-3 – 2 = -5
Questão 2196) – A diferença entre a maior e a menor raiz da equação x4 – 6x² + 8 = 0 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
x4 – 6x² + 8 = 0
(x²)² - 6x² + 8 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
y² - 6y + 8 = 0
Por soma e produto das raízes, temos que:
S = 6
P = 8
y’ = 4
y’’ = 2
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’
x² = 4
x = ± 
x = ± 2
x² = y’’ 
x² = 2
x = ± 
Logo, a diferença entre a maior e a menor raiz é:
2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Questão 2197) – O produto das raízes positivas da equação x4 – 17x² + 18 = 0 é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
2
e) 
5
RESOLUÇÃO
4x4 – 17x² + 18 = 0
4(x²)² - 17x² + 18 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
4y² - 17y + 18 = 0
= b² - 4ac
= (-17)² - 4.4.18
= 289 – 288
= 1
y = 
y = 
y = 
y’ = 
y’’ = 
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’
x² = 
x = ± 
x = ± 
x² = y’’ 
x² = 2
x = ± 
Logo, o produto das duas raízes positivas é:
Questão 2198) – A soma das duas maiores raízes da equação 81x4 – 45x² + 4 = 0 é?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
81x4 – 45x² + 4 = 0
81(x²)² - 45x² + 4 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
81y² - 45y + 4 = 0
= b² - 4ac
= (-45)² - 4.81.4
= 2025 – 1296
= 729
y = 
y = 
y =
y’ = 
y’’ = 
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’
x² = 
x = ± 
x = ± 
x² = y’’ 
x² = 
x = ± 
x = ± 
Logo, a soma das duas raízes positivas é:
Questão 2199) – A soma dos valores absolutos das raízes da equação x4 – 11x² + 18 = 0 é:
a) 
6
b) 
2
c) 
4 + 2
d) 
5 + 2
e) 
6 + 2
RESOLUÇÃO
x4 – 11x² + 18 = 0
(x²)² - 11x² + 18 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
y² - 11y + 18 = 0
= b² - 4ac
= (-11)² - 4.1.18
= 121 – 72
= 49
y = 
y = 
y = 
y’ = 
y’ = 
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’
x² = 9
x = ±
x = ± 3
x² = y’’ 
x² = 2 
x = ±
Logo, as raízes da equação biquadrada são:
S = {-3, -,, 3}
A soma dos valores absolutos é 3 + 3 + + = 6 + 2
Questão 2200) – O número de soluções inteirasda equação 4x5 + 11x³ - 3x = 0 é igual a:
a) 5
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
RESOLUÇÃO
4x5 + 11x³ - 3x = 0
x(4x4 + 11x² - 3) = 0
x = 0
OU
4x4 + 11x² + 3 = 0
4(x²)² + 11x² - 3 = 0
Fazendo a troca de variável, temos:
x² = y
4y² + 11y – 3 = 0
= b² - 4ac
= 11² - 4.4.(-3)
= 121 + 48
= 169
y = 
y = 
y = 
y’ = 
y’’ = 
Voltando em x² = y, temos:
x² = y’
x² = 
x = ± 
x = ± 
x² = y’’
x² = -3
x = ± Não existe raiz quadrada de radicando negativo.
Logo, as raízes da equação do 5º grau são:
S = 
Só existe apenas 1 solução inteira.
Questão 2217) – A raiz da equação pertence ao intervalo:
a) (1,3)
b) (2,4)
c) (3,5)
d) (4,6)
e) (5,7)
RESOLUÇÃO
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
3x² - 20x + 16 = x² + 16 – 8x
3x² - x² - 20x + 8x = 0
2x² - 12x = 0 :2
x² - 6x = 0
x(x – 6) = 0
x = 0 ou x – 6 = 0
 x = 6
Como o radical possui índice par (n = 2), o resultado NUNCA poderá ser negativo, ou seja, x = 0 não é raiz da equação irracional. 
Verificando se x = 6 é raiz, temos:
2 = 2 OK
Como a igualdade 2 = 2 é verdadeira, a única raiz da equação irracional é x = 6, logo a raiz pertence ao intervalo (5,7).
Questão 2219) – A raiz da equação é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 1
RESOLUÇÃO
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
x4 – x² = x4 + 4x² - 4x³
4x² + x² - 4x³ = 0
5x² - 4x³ = 0
x²(5 – 4x) = 0
x² = 0
x = 0
O número 0 não é raiz da equação irracional.
ou 
5 – 4x = 0
5 = 4x
x = 
Logo, o número é raiz da equação irracional.
Questão 2220) – A raiz da equação é:
a) Um número par
b) Um divisor de 6
c) Um número primo
d) Um múltiplo de 10
e) Um múltiplo de 3
RESOLUÇÃO
Isolando uma raiz, temos:
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
2x – 6 = 25 + x + 4 - 10
2x – x – 6 – 25 – 4 = -10
x – 35 = -10
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
(x – 35)² = (-10)²
x² - 70x + 1225 = 100(x + 4)
x² - 70x + 1225 = 100x + 400
x² - 70x + 1225 – 100x – 400 = 0
x² - 170x + 825 = 0
S = 170
P = 825
x’ = 165 
x’’ = 5
Testando as raízes:
Para x’ = 165, temos:
18 = 5 – 13
18 = -8 
Falso! Logo, x’ = 165 não é raiz.
Para x’’ = 5, temos:
2 = 5 – 3
2 = 2 
Verdadeiro! Logo, apenas x’’ = 5 é raiz.
A raiz 5 é um número primo.
Questão 2222) – A raiz da equação é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
5x + 7 + 3x + 1 - 2= x + 3
8x – x + 8 – 3 = 2
7x + 5 = 2
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
(7x + 5)² =
49x² + 25 + 70x = 4(5x + 7)(3x + 1)
49x² + 70x + 25 = 4(15x² + 5x + 21x + 7)
49x² + 70x + 25 = 4(15x² + 26x + 7)
49x² + 70x + 25 = 60x² + 104x + 28
60x² - 49x² + 104x – 70x + 28 – 25 = 0
11x² + 34x + 3 = 0
Determinando as raízes, temos:
∆ = b² - 4ac
∆ = 34² - 4.11.3
∆= 1156 – 132
∆ = 1024
x = 
x = 
x = 
x’ = 
x’’ = 
Logo, a raíz é:
 x’ = .
Seção 7.6 – Fatoração da Função Quadrática
Questão 2292) – A fração quando simplificada se torna:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
...
1º) x² - 4x – 45 = 0
S = 4
P = -45
x’ = 9
x’’ = -5
x² - 4x – 45 = (x – 9)(x + 5)
2º) x² + 12x + 35 = 0
S = -12
P = 35
x’ = -5
x’’ = -7
x² + 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)
Então teremos:
Seção 7.7 – O Gráfico da Função Quadrática
Questão 2311) – Dado o gráfico da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, onde ∆ = b² - 4ac é o seu discriminante
Considere as seguintes afirmativas:
1. 
e 
2. 
3. 
4. 
Conclua que:
(A) Todas são verdadeiras
(B) Apenas uma é falsa
(C) Duas são falsas
(D) Apenas uma é verdadeira
(E) Todas são falsas
RESOLUÇÃO
f(x) = ax² + bx + c
A concavidade da parábola está voltada pra cima, ou seja, a > 0.
Analisando os casos, temos:
1º) x1 = e x3 = 
2º) x2 = 
3º) y2 = 
4º) y1 = c
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 2322) – O vértice da parábola f(x) = ax² - 10x + c é o ponto de coordenadas (5,-9). O valor de a + c é igual a:
a) 17
b) 11
c) -4
d) 9
e) 15
RESOLUÇÃO
f(x) = ax² + bx + c
y = ax² - 10x + c P(5,-9)
-9 = a.5² - 10.5 + c
-9 = 25a – 50 + c
-9 + 50 = 25a + c
25a + c = 41
c = 41 – 25a
Xv = 
5 = 
-b = 10a x(-1)
b = -10a
Yv = 
Yv = 
-9 = 
4ac – b² = -36a
4a(41 – 25a) – (-10a)² = -36a
164a – 100a² - 100ª = -36a
64a + 36a – 100a² = 0 :(-100)
a² - a = 0
a(a – 1) = 0
a = 0 ou a – 1 = 0
 a = 1 
c = 41 – 25a
c = 41 – 25.1
c = 41 – 25
c = 16
f(x) = x² - 10x + 16
Então, temos que:
a + c = 1 + 16 
a + c = 17
Questão 2324) – O gráfico do trinômio y = ax² + bx + c passa pela origem e possui um mínimo igual a -12. Se o seu vértice está situado à direita da origem então b é igual a:
a) 
-2
b) 
-4
c) -48
d) -24
e) -12
RESOLUÇÃO
y = x² + bx + c
Passa pela origem, ou seja, pelos os pontos (0,0). Logo, temos que:
x = y = 0
Então:
0² + b.0 + c = 0
0 + 0 + c = 0
c = 0
a = 1
Yv = 
Yv = 
-12 = 
4.1.0 – b² = -12.4.1
0 – b² = -48 x(-1)
b² = 48
b = ± 
b = ± 
Logo:
b = - 
Questão 2326) – A parábola de equação y = ax² + bx + c passa pelos pontos A = (-1,12), B = (0,5) e C = (2,-3). O valor de a + b +c é igual a:
a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 2
RESOLUÇÃO
A = (-1,12)
y = ax² + bx + c
12 = a.(-1)² + b.(-1) + c
· a – b + c = 12 
B = (0,5)
y = ax² + bx + c
5 = a.0² + b.0 + c
5 = 0 + 0 + c
· c = 5
C = (2,-3)
y = ax² + bx + c
-3 = a.2² + b.2 + c
· 4a + 2b + c = -3
Montando um sistema linear, temos:
 a – b + c = 12
 c = 5
 4a + 2b + c = -3
Na primeira equação, substituímos o valor de c e fazemos a conta:
a – b + 5 = 12
a – b = 12 – 5
a – b = 7
Na terceira equação, substituímos o valor de c e fazemos a conta:
4a + 2b + 5 = -3
4a + 2b = -3 – 5
4a + 2b = -8 :2
2a + b = -4
Remontando o sistema linear com a incógnita c substituída por 5, temos:
 a – b = 7 
 2a + b = -4
Pelo o método da adição, ao somarmos a primeira equação com a segunda equação, o b desaparece pelo fato de termos o mesmo b com sinais opostos. Ou seja –b + b = 0. 
Somando 2a + a = 3a.
Somando os termos independentes, temos:
7 – 4 = 3
3a = 3
a = 
a = 1
Substituindo o valor de a na primeira equação, iremos descobrir o valor de b. Daí temos:
a – b = 7
1 – b = 7
1 – 7 = b
b = -6
Logo, a soma dos coeficientes será:
a + b + c = 1 – 6 + 5 
a + b + c = 0
Questão 2327) – Se f(x) é um polinômio do segundo grau tal que f(3) = 2.f(2), f(4) = 25 e f(5)=10.f(1). O valor de f(6) é igual a:
a) 59
b) 60
c) 61
d) 62
e) 63
RESOLUÇÃO
f(3) = 2f(2)
f(x) = ax² + bx + c
2(a.2² + b.2 + c) = (a.3² + b.3 + c)
2(4a + 2b + c) = (9a + 3b + c)
8a + 4b + 2c = 9a + 3b + c
8a – 9a + 4b – 3b + 2c – c = 0
· -a + b + c = 0
f(4) = 25
f(x) = ax² + bx + c 
f(4) = a.4² + b.4 + c
· 16a + 4b + c = 25
f(5) = 10f(1)
f(x) = ax² + bx + c
10(a.1² + b.1 + c) = (a.5² + b.5 + c)
10(a + b + c) = (25a + 5b + c)
10a + 10b + 10c = 25a + 5b + c
25a – 10a + 5b – 10b + c – 10c = 0
· 15a – 5b – 9c = 0
Agora, montando um sistema linear com as três equações obtidas, temos:
 -a + b + c = 0
 16a + 4b + c = 25
 15a – 5b – 9c = 0
Escalonando o sistema, teremos:
 -a + b + c = 0
 17a + 3b = 25
 15a – 5b – 9c = 0
 -a + b + c = 0
 17a + 3b = 25
 6a + 4b = 0
 -a + b + c = 0
 17a + 3b = 25
 50a = 100
Descobrindo o valor de a, temos:
50a = 100
a = 
a = 2
Substituindo o valor de a na segunda equação e achando o valor de b, temos:
17a + 3b = 25
17.2 + 3b = 25
34 + 3b = 25
3b = 25 – 34
3b = -9
b = 
b = -3
Substituindo os valores de a e b na primeira equação e achando o valor de c, temos:
-a + b + c = 0
-2 – 3 + c = 0
-5 + c = 0
c = 5
Montando a função f(x), temos:
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = 2x² - 3x + 5
Achando f(6), temos:
f(6) = 2.6² - 3.6 + 5
f(6) = 3.36 – 3.6 + 5
f(6) = 72 – 18 + 5
f(6) = 59
Questão 2332) – Uma função quadrática intercepta o eixo dos y em +16 e intercepta o eixo dos x em +2 e +8. O valor mínimo desta função é igual a:
a) -16
b) -9
c) -6
d) -5
e) Maior que -5
RESOLUÇÃO
Como a função intercepta o eixo y em 16 positivo, podemos afirmar que c = 16, pois o valor de c é onde a parábola corta o eixo das ordenadas e como a função intercepta o eixo x em 2 e 8 positivos, podemos afirmar que os zeros da função é 2 e 8, pois são eles que anulam a função, ou seja, f(x) = 0. Daí, temos que x’ = 2 e x’’= 8.
Agora vamos determinar a função que intercepta o eixo y em 16 e o eixo x em 2 e 8. Para isso, usaremos a forma fatorada da função quadrática que diz que:
f(x) = a(x – x’)(x – x’’)
f(x) = (x – 2)(x – 8)
f(x) = x² - 8x – 2x + 16
f(x) = x² - 10x + 16
Identificando os coeficientes da função do 2º grau:
a = 1
b = -10
c = 16
Encontrando o valor do discriminante ∆, temos:
∆ = b² - 4ac 
∆ = (-10)² - 4.1.16
∆ = 100 – 64
∆ = 36
Encontrando o Yv, temos:
Yv = 
Yv = 
Yv = 
Yv = -9
De outra forma até mais prática, para descobrirmos o valor do Yv sem o uso da fórmula, basta encontrar o Xv = ou Xv = e substituir na função y.
Questão 2335) – Para que o trinômio y = x² - 4x + k tenha seu valor mínimo igual a -9, o maior valor de x, que anula este trinômio é:
a) 2
b) 4
c) 1
d) 5
e) 3
RESOLUÇÃO
Encontrando o valor do discriminante ∆, temos:
∆ = b² - 4ac
∆ = (-4)² - 4.1.k
∆ = 16 – 4k
Yv = 
-9 = 
-9 = 
-36 = 4k – 16
- 36 + 16 = 4k 
-20 = 4k
k = 
k = -5
y = x² - 4x – 5
∆ = 16 – 4k
∆ = 16 – 4.(-5)
∆ = 16 + 20
∆ = 36
x = 
x = 
x = 
x’ = 
x’’ = 
Questão ???:
RESOLUÇÃO
(x + 2)(x + b) = x² + cx + 6
x² + bx + 2x + 2b = x² + cx + 6
x(b + 2) + 2b = cx + 6
Igualando, temos:
2b = 6
b = 
b = 3
b + 2 = c 
3 + 2 = c
c = 5
Seção 7.8 – Inequações do Segundo Grau
Capítulo 8
 
Seção 8.1 – Lógica
Capítulo 9
 
Seção 9.1 – Pertinência e Inclusão
Seção 9.2 – A Álgebra dos Conjuntos
Seção 9.3 – Cardinalidade
Seção 9.4 – Produto Cartesiano
Questão 2656) – O valor de x para o qual {x², x – 1} = {4,1} é um número:
a) Negativo
b) Divisor de 15
c) Múltiplo de 3
d) Primo
e) Quadrado perfeito
RESOLUÇÃO
{x², x – 1} = {4,1}
x² = 4
x = ±
x = ± 2
x – 1 = 1
x = 1 + 1
x = 2
Logo, o número 2 é um número primo.
Questão 2658) – Se {{4}, {4,y}} = {{2x}, {2x, 3x}} então x + y é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
RESOLUÇÃO
{{4}, {4,y}} = {{2x}, {2x, 3x}}
Daí, temos:
{4} = {2x}
2x = 4
x = 
x = 2
E temos ainda que:
{4, y} = {2x, 3x}
{4, y} = {2.2, 3.2}
{4, y} = {4, 6}
Daí, temos:
y = 6
A soma dos valores obtidos é:
x + y = 2 + 6
x + y = 8
Questão 2659) – Sejam a e b números reais. No conjunto de todos os pares ordenados de números reais, define-se a operação por (a,b)(c,d) = (2ac, b + 2d). O valor de x tal que (1,2)(x,3) = (4,8) é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
 (1,2)(x,3) = (4,8)
(2.1.x, 2 + 2.3) = (4,8)
(2x, 2 + 6) = (4,8)
(2x, 8) = (4,8)
Igualando as coordenadas, temos:
8 = 8
2x = 4
x = 
x = 2
Questão 2660) – Seja uma operação binária definida no conjunto dos pares ordenados de números reais por (a,b)(c,d) = (a – c, b + d). Se (3,2)(0,0) = (x,y)(3,2) então o seu valor de x é igual a:
a) -3
b) 0
c) 2
d) 3
e) 6
RESOLUÇÃO
(3,2)(0,0) = (x,y)(3,2)
(3 – 0, 2 + 0) = (x – 3, y + 2)
(3,2) = (x – 3, y + 2)
Igualando as coordenadas, temos:
3 = x – 3
3 + 3 = x
x = 6
y + 2 = 2
y = 2 – 2
y = 0
Questão 2661) – No conjunto dos pares ordenados de números reais definamos uma operação como . Se (3,-4)(x,y) = (1,0) então xy é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
(3,-4)(x,y) = (1,0)
(3.x-(-4).y, 3.y+x.(-4) = (1,0)
(3x + 4y, 3y – 4x) = (1,0)
Igualando as coordenadas, temos:
3x + 4y = 1
3x = 1 – 4y
x = 
3y – 4x = 0
4x = 3y 
x = 
Igualando os valores de x, temos:
=
4(1 – 4y) = 3.3y
4 – 16y = 9y
4 = 9y + 16y
4 = 25y
y = 
Encontrando o valor de x, temos:
x = 
x = 
x = 
Logo, a operação de x com y é:
x
Questão 2662) – No conjunto dos pares ordenados de números reais definamos a operação como (a,b)(a’,b’) = (aa’ + 2bb’, ab’ + ba’). Se (2,3)() = (2,3), então é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
(2,3)()= (2,3)
(2.+ 3.2., 2. + 3.= (2,3)
(2+ 6, 2 + 3) = (2,3)
Igualando as coordenadas, temos:
 2+ 6 = 2 :2
 2 + 3= 3 
 + 3 = 1
 2 + 3= 3 
Isolando na primeira equação, temos:
= 1 - 3
Substituindo na segunda equação, temos:
2 + 3(1 - 3) = 3 
2 + 3 – 9 = 3
-7 = 3 – 3
-7 = 0
 = 
 = 0
Substituindo em = 1 - 3, temos:
= 1 - 3
= 1 – 3.0
= 1 – 0
= 1 
Daí, temos a soma de:
+ = 1 + 0
+ = 1 
Questão 2663) – No conjunto dos pares ordenados de números reais definamos a operação como (a,b)(a’,b’) = (2aa’ + 3bb’, a’b – 2ab’). Se (1,2)(x,y) = (92,28) então x + y é igual a:
a) 30
b) 44
c) 54
d) -54
e) -44
RESOLUÇÃO
 (1,2)(x,y) = (92,28)
(2.1.x + 3.2.y, x.2 – 2.1.y) = (92,28)
(2x + 6y, 2x – 2y) = (92,28)
Igualando as coordenadas, temos:
I) 2x + 6y = 92 :2
 x + 3y = 46
II) 2x – 2y = 28 :2
 x – y = 14
Montando um sistema e resolvendo, temos:
 x + 3y = 46 x(-1)
 x – y = 14 
 -x – 3y = -46
 x – y = 14
Daí, somando a 1º equação com a 2º equação, temos:
-4y = -32
y = 
y = 8
Daí, substituindo y = 8 na 2º equação e encontrando o valor de x, temos:
x – y = 14
x – 8 = 14
x = 14 + 8
x = 22
Daí, a soma dos valores obtidos é:
x + y = 22 + 8
x + y = 30
Questão 2664) – Sendo A = {x Z*|x| ≤ 1} e B = {{x Z+|y|≤ 2}. O número de elementos de AxB é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
RESOLUÇÃO
A = {x Z*|x| ≤ 1}
Daí, o conjunto A é:
|x| ≤ 1
-1 ≤ x ≤ 1
A = {-1, 0, 1}
Como o conjunto A é formado pelos elementos de Z*, o número 0 não entra, daí temos:
A = {1, 1}
B = {{x Z+|y|≤ 2}
Daí, o conjunto B é:
|y|≤ 2
-2 ≤ y ≤ 2
B = {-2, -1, 0, 1, 2}
Como o conjunto B é formado pelos elementos de Z+, os números negativos não entram, daí temos:
B = {0, 1, 2}
O produto cartesiano de A por B é:
AxB = 
O produto cartesiano AxB possui 6 elementos.
Questão 2666) – Sejam A = {0,1,2} e B = {2,3,4,5,6}. Se cada elementos (x,y) de AxB é escrito como uma fração , quantos números distintos se obtém?
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
RESOLUÇÃO
A = {0,1,2}
B = {2,3,4,5,6}
AxB = {(0,2), (0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
= 0 
Os resultados são todos iguais, logo, conta apenas uma fração.
e 
Conta apenas uma fração.
Então, as frações distintas escritas na forma são:
Existem 9 números distintos.
Capítulo 10
 
Seção 10.1 – Conceitos Fundamentais
Seção 10.2 – Injeções, Sobrejeções e Bijeções
Seção 10.3 – Composição de Funções
Questão 2804) – Sejam f: RR e g: RR duas funções definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = (maior inteiro que não supera x). O valor de (fog)() + (gof)() é:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
RESOLUÇÃO
f(x) = x + 1
g(x) = 
(fog)() + (gof)() = f(g() + g(f()
g() = = = 3
f() = + 1 3,23
Então:
f(g() = 3 + 1 = 4
g(f() = = = 3
Logo:
4 + 3 = 7
Questão 2809) – O valor de a para que a funções f,g: RR definidas por f(x) = 2x – 7 e g(x) = 3x + a satisfaçam a (fog)(x) = (gof)(x) é igual a:
a) -10
b) -11
c) -12
d) -13
e) -14
RESOLUÇÃO
f(x) = 2x – 7
g(x) = 3x + a
(fog)(x) = (gof)(x)
2(3x + a) – 7 = 3(2x – 7) + a
6x + 2a – 7 = 6x – 21 + a 
2a – a = -21 + 7
a = -14
Questão 2810) – Se f(x) = então f(f(x)) é igual a:
a) 
b) 
c) 1
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
f(x) = 
f(f(x)) = 
Questão 2811) – Seja f uma função definida por f(x) = ax² - para alguém a positivo. Se f(f() = - então o valor de a é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2 - 
RESOLUÇÃO
f(x) = ax² - 
f() = a.( )² - 
f() = 2a - 
f(f()) = -
a(2a - )² - = - 
a(2a - )² = 0
a = 0 
OU
(2a - )² = 0
2a - = 0
2a = 
a = 
Questão 2812) – Seja f: RR uma função tal que f(f(x) = x.f(x), para todo x real. O valor de f(0) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
 f(f(x)) = x.f(x)
f(0) = ?
f(f(0)) = 0.f(0)
f(0) = x
f(0) = 0
Questão 2813) – Se f(x) = x² - 2x, a soma de todos os valores de para os quais f(x) = f[f(x)] é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
f(x) = x² - 2x
f(x) = f(f(x))
x² - 2x = (x² - 2x)² -2(x² - 2x)
x² - 2x = x4 + 4x² - 4x³ - 2x² + 4x
x4 + 4x² - x² - 2x² - 4x³ + 2x + 4x = 0
x4 – 4x³ + x² + 6x = 0
x(x³ - 4x² + x + 6) = 0
x = 0
OU
x³ - 4x² + x + 6 = 0
Pelo o teorema das raízes racionais , com p e q primos, iremos a partir dos divisores de 6, realizar o teste e descobrir uma das três raízes da equação cúbica.
D(6)= {±1, ±2, ±3, ±6}
Ao testarmos o número 2 positivo, descobriremos que ele é a raiz, logo poderemos usar o Dispositivo Prático de Briot Ruffini e abaixar o grau do polinômio acima para o grau 2.
Então temos:
x² - 2x – 3 = 0
S = 2
P = -3
x’ = -1 e x’’ = 3
Logo: 
0 + 2 – 1 + 3 = 4
Questão 2869) – Se f: R–{2}R-{4} a função definida por f(x) = . O valor de f-1(3) é igual a:
a) 
b) 
c) 3
d) 5
e) 9
RESOLUÇÃO
f(x) = 
y = 
x = 
(y + 2)x = 4y – 3
yx + 2x = 4y – 3
yx – 4y = -3 – 2x
y(x – 4) = -3 – 2x
y = 
f-1(3) = 
Seção 10.4 – Funções Inversas
Questão 2870) – Seja f: R-R-a função definida por f(x) = . O ponto do domínio de f-1 com imagem -4 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
f(x) = 
y = 
x = 
x(3y – 2) = 5y + 4
3yx – 2x = 5y + 4
3yx – 5y = 4 + 2x
y(3x – 5) = 4 + 2x
y = 
Como Imagem = y = -4, temos:
-4 = 
-4(3x – 5) = 4 + 2x
-12x + 20 = 4 + 2x
-12x – 2x = 4 – 20
-14x = -16 .(-1)
14x = 16
x = 
x = 
Questão 2871) – Se f(x) = e g(x) é a sua inversa então g(2) é igual a:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
RESOLUÇÃO
f(x) = 
y = 
x = 
x(y + 1) = 3y – 7
xy + x = 3y – 7
xy – 3y = -7 – x
y(x – 3) = -7 – x
y = 
Como g(x) = f-1(x) = 
Daí:
g(2) = f-1(2) = 
Questão 2872) – Seja f: R-{2} R-{1} uma função definida por f(x) = . A expressão de f-1(x) é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO
Trocando f(x) por y, temos:
y = 
x =
x(y – 2) = y + 1
xy – 2x = y + 1
xy – y = 2x + 1
y(x – 1) = 2x + 1
y = 
Questão 2874) – Seja f uma função definida para todo x ≠ 3 pela fórmula f(x) = . O valor de k para o qual a f-1(x) = é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) -2
e) -3
RESOLUÇÃO
 Trocando f(x) por y, temos: 
y = 
x = 
x(y – 3) = 2y + 1
xy – 3x = 2y + 1
xy – 2y = 3x + 1
y(x – 2) = 3x + 1
y = 
Como f-1(x) = f(x), temos:
Então, o valor de k será:
k = 2
Questão 2875) – Sejam f e g duas funções reais definidas respectivamente por f(x) = , x ≠ 3 e g(x) = x² - 13. O valor de g(f-1(1)) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO
Trocando f(x) por y, temos:
y = 
x = 
x(y + 3) = 2y – 1
xy + 3x = 2y – 1
xy – 2y = -1 – 3x
y(x – 2) = -1 – 3x
y = 
f-1(x) = 
f-1(1) = 
Como g(x) = x² - 13, vamos calcular a composta g(f-1(1)), daí temos:
g(4) = 4² - 13
g(4) = 16 – 13
g(4) = 3
Seção 10.5 – Funções Reais
 (
73
)
9
4
n
m
(
)
(
)
3
2
2
2
5
7
2
5
7
3
2
2
2
5
7
3
2
2
7
3
2
5
2
2
7
3
5
2
2
5
2
7
3
2
-
-
=
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
2
9
8
20
21
2
15
2
14
9
2
.
4
2
15
2
.
10
21
2
14
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
5
7
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
5
7
-
=
-
+
-
=
-
-
+
-
=
-
-
-
+
=
+
-
+
-
=
+
+
-
-
=
x
x
x
x
x
x
x
3
6
-
x
3
6
-
x
3
6
)
3
(
6
3
6
)
3
(
2
-
+
-
=
-
+
-
x
x
x
x
x
4
*
*
n
m
=
12
7
3
10
,
0
3
10
,
0
30
1
20
3
100
575
20
3
285714
59
,
0
(
)
(
)
13
7
91
91
7
910
70
2540
3450
70
3450
70
2540
3450
90
20
2540
575
6
90
127
20
100
575
600
90
127
20
100
575
20
3
30
127
=
=
=
=
-
=
=
+
=
+
-
=
+
-
=
+
-
=
+
-
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
2
3
y
x
2
3
x
y
3
2
y
x
3
2
x
y
y
2
3
3
3
3
3
3
3
.
.
x
y
p
x
x
y
p
x
y
px
y
x
p
x
y
x
y
x
y
x
p
x
=
=
=
=
=
2
1
3
1
4
1
n
m
6
1
8
1
4
2
2
1
4
1
y
x
X
y
x
y
x
X
+
+
=
+
+
+
+
=
2
y
x
M
+
=
(
)
(
)
(
)
4
1
4
2
2
2
2
1
4
2
2
2
1
.
1
2
4
2
2
1
=
-
-
+
+
=
+
-
+
+
=
+
-
+
+
=
-
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
M
X
4
1
4
1
=
(
)
20
16
3
3
10
4
6
7
10
3
3
2
3
x
x
x
x
x
-
-
+
<
-
+
-
-
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
85
425
425
85
234
191
68
153
191
68
234
153
9
200
48
20
90
54
90
18
105
30
48
9
200
20
90
105
18
54
90
30
16
3
3
10
20
6
7
15
3
18
3
30
60
16
3
3
10
20
60
6
7
15
3
18
3
30
20
16
3
3
10
4
6
7
10
3
3
2
3
<
<
<
+
<
-
+
<
-
-
+
+
<
-
-
-
+
+
+
-
+
<
-
+
+
-
-
-
-
+
<
-
+
-
-
-
-
-
+
<
-
+
-
-
-
-
-
+
<
-
+
-
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
4
2
3
>
+
-
x
x
te
cons
x
g
x
f
tan
)
(
)
(
>
285714
59
,
0
(
)
0
4
2
7
0
4
2
4
2
3
0
4
2
4
2
3
0
1
4
2
3
1
4
2
3
>
+
-
-
>
+
-
-
-
>
+
+
-
-
>
-
+
-
>
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
4
-
{
}
2
7
/
-
<
<
-
Î
=
x
R
x
S
î
í
ì
=
-
=
+
5
17
y
x
y
x
11
2
22
22
2
=
=
=
x
x
x
2
8
2
2
-
3
1
3
1
285714
,
59
3
1
2
13
2
7
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
2
7
2
7
-
2
6
20
21
20
23
4
5
285714
,
59285714
20
27
20
29
3
1
+
x
3
1
x
-
8
4
2
1
10
2
5
1
285714
,
59285714
10
4
5
2
8
2
4
1
4
1
5
3
2
1
4
1
5
2
5
1
2
1
+
+
=
+
+
+
20
27
20
5
12
10
=
+
+
2
4
2
8
-
3
2
3
12
3
1
=
x
2
2
=
x
(
)
5
1
5
=
-
-
=
-
a
b
99999900
59285655
6
1
6
=
=
a
c
2
3
2
1
=
=
x
x
(
)
q
p
a
c
P
q
p
q
q
p
q
a
b
S
+
-
=
=
+
=
+
-
-
=
-
=
2
3
2
6
2
6
(
)
(
)
(
)
(
)
q
p
q
p
q
p
a
c
P
q
p
p
q
p
p
q
p
p
a
b
S
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
=
2
3
2
3
9
3
6
9
2
2
2
3
2
3
3
6
2
3
(
)
(
)
0
2
0
0
2
0
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
=
=
=
=
+
=
-
+
=
-
+
-
=
-
-
-
-
=
+
-
q
q
q
q
q
q
q
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
q
p
p
p
p
q
p
p
q
p
q
q
p
p
q
p
q
2
.
2
0
0
2
2
0
2
0
.
6
2
2
2
6
2
2
2
6
-
=
+
-
=
-
+
-
=
-
-
-
=
+
32
1173
7
63
4
1
140
83
(
)
k
k
k
k
a
b
S
3
7
3
7
+
=
+
-
-
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28
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k
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k
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2
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2
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a
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2
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x
x
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2
1
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x
x
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D
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2
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2
8
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17
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9
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3
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3
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2
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0
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±
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72
162
27
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+
9
1
162
18
162
27
45
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=
-
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1
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1
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3
1
3
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0
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2
1
.
2
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)
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+
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=
-
72
,
7
9
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4
.
2
169
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±
-
72
,
772
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1
8
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13
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+
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x
x
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20
36
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4
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x
x
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32
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3
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9
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x
x
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7
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3
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9
(
2
+
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x
x
)
7
(
3
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9
(
2
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x
x
13
2
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²
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3
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2
105
36
²
3
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x
x
x
x
x
x
x
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7
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3
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2
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3
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+
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x
x
x
x
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2
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a
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D
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b
2
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a
b
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6
,
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4
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a
b
ac
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²
4
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36
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2
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9
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9
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+
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9
1000
9
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9
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1
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1
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3
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1
3
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x
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1
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1
...
1
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1
...
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4
1
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1
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1
1
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2005
1
...
1
4
1
3
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