Livro-Pré cálculo de MAURICIO A VILCHES

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MATEMÁTICA I - A.C.
(Antes do Cálculo)
- 4 - 2 2 4
- 4
- 2
2
4
MAURICIO A. VILCHES
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?
Isso depende bastante de até onde você quer chegar."
Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Nestas notas apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do ensino médio,
que achamos essenciais para êxito no estudo do Cálculo de uma Variável Real.
Na disciplina de Cálculo é sempre importante, para fixar os conceitos apresentados
na sala de aula, entender os exemplos e aplicacões de cada tópico estudado. A dife-
rença entre o Cálculo e outras disciplinas, é que no Cálculo serão utilizados todos os
conhecimentos, que teoricamente, deveriam ser estudados durante o ensino médio.
O Cálculo, requier um mínimo de maduridade e habilidadade para lidar com técnicas
e conceitos novos, daí a necessidade de apresentar esta notas baseadas essencialmente
na prática.
Admitiremos a familiaridade do leitor com os tópicos usuais em qualquer currículo do
ensino médio.
Por exemplo, familiaridade com o conjunto dos números reais, com as operações fun-
damentais e suas respectivas propriedades, bem como com a visualização geométrica
de R como uma reta, onde se fixou a origem, a unidade e um sentido de percurso e
com os conceitos de equação, identidades e funções.
Também é recomendável que o leitor possua conhecimento sobre o esboço de curvas e
gráficos elementares assim como sobre Trigonometria elementar.
Mauricio A. Vilches
Rio de Janeiro - Brasil
4
Conteúdo
1 INTRODUÇÃO 9
1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Equações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Equações Polinomiais de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Equações Polinomiais de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Equações Redutíveis a Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 A Equação Biquadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Outras Equações Redutíveis a Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Equações Algébricas não Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Inequações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Inequações Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Outros Tipos de Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11 Sequências: P.A. e P.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Progessões Aritméticas (P.A.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.1 Interpolação Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Progessões Geométricas (P.G.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13.1 Interpolação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 A RETA NO PLANO 37
2.1 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Distância entre dois Pontos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 A Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Intersecção com os Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Intersecção com os Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Colinearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.10 Posição Geral de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5
6 CONTEÚDO
2.11 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.12 Equação Geral do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.13 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.14 Distância Entre duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.15 Famílias de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.16 Famílias de Retas que passam pela Interseção de duas Retas . . . . . . . . . . . . 65
2.17 Intersecção de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.18 Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.19 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 AS CÔNICAS 77
3.1 A Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1 Elementos da Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Elementos da Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 O Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 A Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Elementos da Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 A Equação Geral do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Forma Normal das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7 Parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.1 Vértice da Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8 Hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9 Exemplos Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.10 Família de Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.11 Interseção de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.12 Propriedades Reflexivas das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 POLINÔMIOS 131
4.1 Polinômios de uma Variável Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Raízes de um Polinômio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Algoritmo da Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4 Raízes Racionais de um Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Sistemas de Equações no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6 Inequações que Envolvem Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7 Sistemas de Inequações de uma Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.8 Inequações no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9 Sistemas de Inequações no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.10 Aplicações das Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
CONTEÚDO 7
5 TRIGONOMETRIA 165
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3 Equações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3.1 Equações que envolvem senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4 Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6 TRIGONOMETRIA: APLICAÇÕES 193
6.1 Coeficiente Angular da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.2 Ângulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3 Forma Normal da Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4 Distância entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.5 Triângulos Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.6 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.6.1 Área de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.7 Lei dos Co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.7.1 Fórmula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.8 Resolução de Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.8.1 Triângulos Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.8.2 Triângulos Arbitrários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.9 Resolução de Triângulos - Caso Ambíguo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.10 Exemplos Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7 TRANSLAÇÕES E ROTAÇÕES 237
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.2 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.4 A Equação Geral de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.4.1 Eliminação do Termos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.4.2 Eliminação dos Termos Mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.6 Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8 RESPOSTAS 269
8.1 Capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.2 Capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.3 Capítulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.4 Capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.5 Capítulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6 Capítulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.7 Capítulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8 CONTEÚDO
Bibliografia Básica 273
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Denotemos por N o conjunto dos números naturais, por Z o conjunto dos números inteiros e
por R o conjunto dos números reais.
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando
os símbolos usuais para maior (>), maior ou igual (≥), menor (<), menor ou igual (≤), podemos
ver, por exemplo, que se a, b ∈ R e a < b, então b− a > 0; no eixo coordenado temos que a está
à esquerda de b. Para todo a, b ∈ R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.
É conhecido que a ordenação dos números reais é compatível com as operações de adição e
multiplicação, definidas em R. De fato:
Proposição 1.1. Para todo x, y, z, w ∈ R, temos:
1. Se x > y, então x+ z > y + z.
2. Se x > y e z > w, então x+ z > y + w.
3. Se x > y e z > 0, então x · z > y · z.
4. Se x > y e z < 0, então x · z < y · z.
Outras propriedades elementares são:
1. Se x > y =⇒−x < −y.
2. x · y > 0 =⇒ x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0.
3. x · y < 0 =⇒ x > 0 e y < 0 ou x < 0 e y > 0.
9
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os
intervalos.
Sejam a, b ∈ R tais que a < b.
Intervalos Abertos
Os intervalos abertos de extremidades a e b, são denotado por (a, b) é definido por:
(a, b) = {x ∈ R/a < x < b}.
a b
( )
Figura 1.1: Intervalo aberto.
Intervalos Fechado
Os intervalos fechados de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:
[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}.
a b
][
Figura 1.2: Intervalo fechado.
Intervalos Semi-aberto e Intervalo Semi-fechado
Os intervalos semi-abertos e semi-fechados, são denotados e definidos, respectivamente, por:
[a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} e (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}.
a b
[ )
a
( ]
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.
Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞,
os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
(a,+∞) = {x ∈ R/a < x} e (−∞, a] = {x ∈ R/x ≤ a},
1.3. EQUAÇÕES 11
(−∞, a) = {x ∈ R/x < a} e [a,+∞) = {x ∈ R/x ≥ a}.
a
(
a
]
Figura 1.4: Intervalos ilimitados.
Note que:
R = (−∞,+∞).
Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em
geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
1.3 Equações
As equações são igualdades entre duas expressões matemáticas que apresentam alguns valo-
res desconhecidos, chamados incógnitas e que só se verificam para determinados valores das
incógnitas.
As equações aparecem de forma natural em diversas aplicações. Por exemplo:
[1] Um pintor experiente pinta uma casa em 10 horas e seu aprendiz pinta, a mesma casa, em
15 horas. Em quanto tempo pintam a casa se trabalham juntos?
[2] Uma corretora tem dois terrenos A e B, ambos de forma retangular. O comprimento do
terreno A mede 7 metros a mais que sua largura. O comprimento do terreno B mede 2 metros
a mais que o comprimento do terreno A e sua largura mede 3 metros a menos do que a largura
do terreno A. Se a área de B é de 37 m2 a menos do que a área do terreno A,determine as
medidas dos terrenos.
Observação 1.1.
1. Estudaremos as equações em R que apresentam uma incógnita. Resolver uma equação
em R significa determinar todos os valores possíveis, em R, da incógnita e que tornam a
igualdade verdadeira. A solução de uma equação é também dita raiz da equação. Para
determinar as raízes de uma equação utilizamos as propriedades elementares dos núme-
ros reais.
2. Como a definição de equação é muito ampla, nestas notas nós consideraremos as equ-
ções ditas elementares, isto é, as mais utilizadas e que não requerem quase nenhum pré-
requisito.
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Exemplo 1.1.
[1] Um pintor experiente pinta uma casa em 10 horas e seu aprendiz pinta, a mesma casa, em
15 horas. Em quanto tempo pintam a casa juntos?
Seja x o número de horas do pintor e de seu aprendiz quando trabalham juntos. Se representa-
mos com a unidade (1), o trabalho total a ser realizado; então:
1
x
é o trabalho realizado quando
trabalham juntos em uma hora, logo:
1
10
+
1
15
é a quantidade de trabalho realizado pelo pintor e seu aprendiz em uma hora, e:
1
10
+
1
15
=
1
x
=⇒ 1
6
=
1
x
,
donde temos x = 6, isto é, trabalhando juntos gastam 6 horas para pintar a casa.
[2] Uma corretora tem dois terrenos A e B, ambos de forma retangular. O comprimento do
terreno A mede 7 metros a mais que sua largura. O comprimento do terreno B mede 2 metros
a mais que o comprimento do terreno A e sua largura mede 3 metros a menos do que a largura
do terreno A. Se a área de B é de 37 m2 a menos do que a área do terreno A, determine as
medidas dos terrenos.
Seja x a largura do terreno A, então x + 7 é o comprimento do terreno A, (x + 7) + 2 é o
comprimento do terreno B, x − 3 é a largura do terreno B, x (x + 7) é a área do terreno A e
((x+ 7) + 2)(x− 3) a área do terreno B; logo:
((x+ 7) + 2)(x− 3) + 37 = x (x+ 7),
donde obtemos−x+10 = 0 e x = 10. O terreno A mede 10m de largura e 17m de comprimento
e o terreno B mede 7m de largura e 19m de comprimento.
1.4 Equações Polinomiais
Um equação polinomial de grau n em R, é definida como:
a0 + a1 x+ a2 x
2 + a3 x
3 + . . . . . .+ an−1 xn−1 + an xn = 0,
onde ai ∈ R e an 6= 0. Os números reais ai são ditos coeficientes da equação polinomial.
Agora enunciaremos o Teorema Fundamental da Álgebra:
Teorema 1.1. Toda equação polinomial, de grau n ≥ 1 com coeficientes sendo números com-
plexos, admite n soluções complexas.
Ou equivalentemente:
Toda equação polinomial, de grau n ≥ 1 possui n raízes reais e/ou complexas.
Este teorema nos garante que podemos achar soluções das equações polinomiais.
1.4. EQUAÇÕES POLINOMIAIS 13
1.4.1 Equações Polinomiais de Primeiro Grau
Seja a ∈ R, a 6= 0, então
a x+ b = 0 tem a única solução x = − b
a
.
Exemplo 1.2.
[1] A soma de dois números pares consecutivos é 102 . Ache os números
Seja x um dos números, o seguinte número par será x+ 2; logo:
x+ x+ 2 = 102 =⇒ 2x+ 2 = 102 =⇒ x = 50.
Os números são 50 e 52.
[2] Um pai tem 42 anos de idade e seu filho 10 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será
o triplo da idade do filho?
Seja x os anos que devem passar; logo, devemos ter:
x+ 42 = 3 (x+ 10) =⇒ 2x = 12 =⇒ x = 6.
Em 6 anos o pai terá o triplo da idade do filho.
1.4.2 Equações Polinomiais de Segundo Grau
Seja a, b, c ∈ R, a 6= 0, então
a x2 + b x+ c = 0 tem soluções: x =

−b+√b2 − 4 a c
2 a
−b−√b2 − 4 a c
2 a
.
Para outras equações polinomiais, ver os parágrafos seguintes.
Exemplo 1.3.
[1] Determine os números reais que são iguais ao seu quadrado.
Seja x o número procurado; logo devemos ter x2 = x, isto é:
x (x− 1) = 0 =⇒ x = 0 e x = 1.
[2] Determine a solução de (x− 3)2 + 5 = x+ 4.
Desenvolvendo (x− 3)2 + 5 = x+ 4, temos x2 − 7x+ 10 = 0 que tem soluções:
x = 2 e x = 5.
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
[3] A diferença entre as medidas da base e da altura de um retângulo é 4 m. Determine as
dimensões do retângulo se a área é 60 m2.
Sabemos que a área de um retângulo é base × altura. Se x é a altura, temos:
x (x+ 4) = 60 =⇒ x2 + 4x− 60 = 0 =⇒ x = 6.
A altura mede 6m e a base mede 10m. Note que consideramos somente a raiz positiva da
equação.
1.5 Equações Redutíveis a Quadráticas
A seguir apresentaremos alguns tipos equações não quadráticas, porém solúveis pelos métodos
utilizados para equações quadráticas.
1.5.1 A Equação Biquadrada
A equação biquadrada é do tipo:,
a x4 + b x2 + c = 0,
onde a, b, c ∈ R, a 6= 0. Fazendo u = x2, a equação fica:
a u2 + b u+ c = 0,
qu e é uma equação quadrática.
Exemplo 1.4.
[1] Determine a solução de x4 − 3x2 + 2 = 0.
Fazendo u = x2, a equação fica:
u2 − 3u+ 2 = 0,
que tem soluções u = 1 e u = 2. Como x = ±√u, as soluções da equação são:
x = 1, x = −1, x =
√
2 e x = −
√
2.
[2] Determine a solução de 3x4 + 2x2 − 1 = 0.
Fazendo u = x2, a equação fica:
3u2 + 2u− 1 = 0,
que tem soluções u = −1 e u = 1
3
. Como x = ±√u, as soluções da equação são:
x = i, x = −i, x = 1√
3
e x = − 1√
3
,
onde i =
√−1 é a unidade imaginária.
1.5. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A QUADRÁTICAS 15
1.5.2 Outras Equações Redutíveis a Quadráticas
As equações do tipo:
a (x− p)2 + b (x− p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0. Fazendo u = x− p, a equação fica:
a u2 + b u+ c = 0.
As equações do tipo:
a (xr − p)2 + b (xr − p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0 e r ∈ Q. Fazendo u = xr − p, a equação fica:
a u2 + b u+ c = 0.
Em geral, as equações do tipo:
a (xr − p)2n + b (xr − p) + c = 0,
onde a, b, c, p ∈ R, a 6= 0 e r ∈ Q. Fazendo u = (xr − p)n, a equação fica:
a u2 + b u+ c = 0.
Exemplo 1.5.
[1] Resolva (x+ 2)2 + 11 (x+ 2)− 12.
Fazendo u = x+ 2, a equação fica:
u2 + 11u− 12 = 0 =⇒ u = −12 e u = 1.
Logo, x = −14 e x = −1.
[2] Resolva (x2 − 1)2 + (x2 − 1)− 12 = 0.
Fazendo u = x2 − 1, a equação fica:
u2 + u− 12 = 0 =⇒ u = −4 e u = 3.
Logo, x2 = −3 e x = ±√3 i, x = ±2.
[3] Resolva x2/3 + 4x1/3 − 5 = 0.
Fazendo u = x1/3, temos:
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
u2 + 4u− 5 = 0 =⇒ u = −5 e u = 1.
Logo, x1/3 = −5 e x = −125, x1/3 = 1 e x = 1.
[4] Resolva (x2 − 8)2 − 5 (x2 − 8) + 6 = 0
Fazendo u = x2 − 8, temos:
u2 − 5u+ 6 = 0 =⇒ u = 2 e u = 3.
Logo, x2 − 8 = 2 e x = ±√10, x2 − 8 = 3 e x = ±√11.
1.6 Equações Algébricas não Polinomiais
Equações algébricas são equações em que para determinar suas soluções somente podemos uti-
lizar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação.
As equações polinomiais são um caso particular das quações algébricas.
Exemplo 1.6.
[1] Determine a solução de x+ 5
√
x = 6.
Primeiramente observemos que x > 0. Façamos t =
√
x, (t > 0); então, a equação fica t2+5 t = 6
que tem solução:
t = −6 e t = 1.
A única solução da equação original é x = 1.
[2] Determine a solução de
√
3x+ 1−√x+ 4 = 1.
Primeiramente observemos que x ≥ −1
3
; escrevamos a equação:
√
3x+ 1 =
√
x+ 4 + 1
e elevemos ao quadrado ambos os lados da equação. Temos:
3x+ 1 = (
√
x+ 4 + 1)2 =⇒ √x+ 4 = x− 2 =⇒ x2 − 5x = 0
que tem solução x = 0 e x = 5. Note que x = 0 não é solução da equação original (por que?);
logo, a única solução é x = 5.
[3] Determine a solução de 3
√
1 +
√
x = 2
Primeiramente observemos que x > 0. Elevando ao cubo ambos os lados da equação, temos:
1 +
√
x = 8 =⇒ √x = 7 =⇒ x = 49.
1.7. INEQUAÇÕES 17
1.7 Inequações
As inequações em R, são desigualdades que apresentam uma incógnita. Resolver uma inequa-
ção em R significa determinar todos os valores possíveis, em R, da incógnita e que tornam a
desigualdade verdadeira. Para determinar as raízes de uma inequação utilizamos as proprie-
dades elementares dos números reais.
Exemplo 1.7.
O preço para pintar um apartamento é apresentado de duas formas:
(a) 2500 reais mais30 reais por hora.
(b) 100 reais por hora.
Quando a forma (a) é mais vantajosa?
Seja x o número de horas; então devemos resolver
100x > 2500 + 30x =⇒ x > 250
7
∼= 35.714.
Logo, a proposta (a) é mais conveniente se a pintura for realizada em menos de 35 horas.
1.7.1 Inequações Lineares
Determinemos o conjunto-solução de:
a x+ b ≥ 0.
Note:
a x+ b ≥ 0⇐⇒ a x ≥ −b;
logo:
Se a > 0, x ≥ − b
a
; o conjunto-solução é
[− b
a
,+∞).
Se a < 0, x ≤ − b
a
; o conjunto-solução é
(−∞,− b
a
]
.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.7.2 Inequações Quadráticas
Seja a x2 + b x+ c = 0 a equação do segundo grau. Denotemos por
∆ = b2 − 4 a c
o discriminante da equação e α, β as raízes reais da equação (α ≤ β). O conjunto-solução S de
uma desigualdade quadrática depende dos sinais de a e de ∆, respectivamente.
1. Para ∆ > 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x+ c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = (−∞, α] ∪ [β,+∞)
e a x2 + b x+ c ≤ 0 tem conjunto-solução S = [α, β]
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x+ c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = [α, β]
e a x2 + b x+ c ≤ 0 tem conjunto-solução S = (−∞, α] ∪ [β,+∞).
2. Para ∆ = 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x+ c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = R
e a x2 + b x+ c ≤ 0 tem conjunto-solução S = {α}.
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x+ c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = {α}
e a x2 + b x+ c ≤ 0 tem conjunto-solução S = R.
3. Para ∆ < 0.
(a) Se a > 0, a desigualdade a x2 + b x+ c > 0 tem conjunto-solução:
S = R
e a x2 + b x+ c ≤ 0 tem conjunto-solução S = ∅.
(b) Se a < 0, a desigualdade a x2 + b x+ c ≥ 0 tem conjunto-solução:
S = ∅
e a x2 + b x+ c < 0 tem conjunto-solução S = R.
1.7. INEQUAÇÕES 19
Para outras inequações polinomiais, ver os parágrafos seguintes.
Exemplo 1.8.
[1] Ache a solução de: 2x2 − 3x− 3 ≥ −1.
Note que 2x2 − 3x − 3 ≥ −1 é equivalente a 2x2 − 3x − 2 ≥ 0, ∆ > 0, a > 0 e as raízes de
2x2 − 3x− 2 = 0 são x = −1
2
e x = 2; logo:
S =
(−∞,−1
2
] ∪ [2,+∞).
[2] Ache a solução de: 3 (2x− 5)(x− 1) ≤ (5− 2x)2.
0 ≤ (5− 2x)2 − 3 (2x− 5)(x− 1) =⇒ 0 ≤ −(2 + x) (−5 + 2x) =⇒ 0 ≥ (2 + x) (−5 + 2x).
As raízes de (2 + x) (−5 + 2x) = 0 são x = −2 e x = 5
2
; logo:
S =
[− 2, 5
2
]
.
[3] Determine o conjunto solução de x2 + 1 < 2x2 − 3 < −5x.
Estudemos separadamente x2 + 1 < 2x2 − 3 e 2x2 − 3 < −5x:
(a) x2 + 1 < 2x2 − 3:
x2 + 1 < 2x2 − 3⇐⇒ x2 − 4 > 0 =⇒ x < −2, ou x > 2.
Logo:
S1 = (−∞,−2) ∪ (2,+∞).
(b) 2x2 − 3 < −5x
2x2 − 3 < −5x⇐⇒ 0 > (3 + x) (2x− 1) =⇒ x > −3 e x < 1
2
.
Logo:
S2 = (−3, 1
2
).
Logo:
S = S1 ∩ S2 = (−3,−2).
[4] Determine os valores de a tais que:
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
x2 y2 + a x y2 + y2 + x y + a y + 1 > 0, ∀x, y ∈ R.
Fatorando, podemos reescrever a inequação:
p y2 + q y + 1 > 0,
onde p = x2 + a x + 1 e q = x + a. Logo, temos uma equação quadrática em y; para que seja
positiva para todo y, devemos ter:{
p > 0
∆ < 0
⇐⇒
{
x2 + a x+ 1 > 0
3x2 + 2 a x+ 4− a2 > 0.
Ambas as equações são quadráticas em x; logo devemos exigir que os discriminantes de ambas
as equações sejam negativos (por que?):{
a2 − 4 < 0
4 a2 − 12 (4− a2) < 0 ⇐⇒ |a| < 2 e |a| <
√
3.
Logo:
S = (−
√
3,
√
3).
1.8 Outros Tipos de Inequações
[1] Ache a solução de: x3 < x.
Fatorando x3 − x = x (x+ 1) (x− 1); então, x3 − x < 0 é equivalente a x (x+ 1) (x− 1) < 0, da
qual obtemos x < −1 ou 0 < x < 1. O conjunto-solução é:
S = (−∞,−1) ∪ (0, 1).
[2] Ache a solução de:
6x− 2
3x+ 6
≥ 9.
Note que a desigualdade não é equivalente a 6x− 2 ≥ 9 (3x+ 6). Se 3x+ 6 > 0, isto é x > −2;
então, 6x − 2 ≥ 9 (3x + 6), donde obtemos x ≤ −8
3
. Se 3x + 6 < 0, isto é x < −2; então,
6x− 2 ≤ 9 (3x+ 6), donde obtemos −8
3
≤ x. Logo, o conjunto-solução é:
S = [−8
3
,−2).
[3] Ache a solução de:
x+ 2
x− 1 ≤
x
x+ 4
.
1.9. VALOR ABSOLUTO 21
Resolvemos
x+ 2
x− 1 −
x
x+ 4
≤ 0, que é equivalente a 7x+ 8
(x− 1) (x+ 4) ≤ 0, da qual obtemos
−8
7
≤ x < 1 ou x < −4. Logo, o conjunto-solução é:
S =
(−∞,−4) ∪ [− 8
7
, 1
)
.
[4] Ache a solução de:
x+ 1
2− x <
x
3 + x
.
Resolvemos
x+ 1
2− x −
x
x+ 3
< 0, que é equivalente a
3 + 2x+ 2x2
(x− 2) (x+ 3) > 0, logo:
Devemos resolver: 3 + 2x+ 2x2 > 0, (x− 2) > 0 e (3 + x) > 0, donde x > 2
Devemos resolver: 3 + 2x+ 2x2 > 0, x− 2 < 0 e 3 + x < 0, donde x < −3. Então:
S = (−∞,−3) ∪ (2 +∞).
1.9 Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real a, denotado por |a| é definido como o maior
número do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:
|a| =
{
a se a ≥ 0
−a se a < 0.
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintes
propriedades imediatas. Sejam a, b ∈ R; então:
1.
√
a2 = |a|, para todo a ∈ R
2. |b| < a se e somente se b ∈ (−a, a), a > 0
3. |a · b| = |a| · |b|
4. |b| ≥ a se e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0
5.
∣∣∣∣ab
∣∣∣∣ = |a||b| , se b 6= 0
6. |a+ b| ≤ |a|+ |b|.
7. |a− b| ≤ |a|+ |b|
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
8. |a| − |b| ≤ |a− b|.
Exemplo 1.9.
[1] Ache a solução de: |x2 − x+ 1| > 1.
Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é equivalente a: x2−x+1 > 1 ou x2−x+1 < −1.
Se x2−x+1 > 1, então x (x−1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2−x+1 < −1, então (x− 1
2
)2
+
7
4
< 0,
o que é impossível. O conjunto-solução é:
S = (−∞, 0) ∪ (1,+∞).
[2] Ache a solução de: |9− 2x| ≥ |4x|.
Pela propriedades anteriores, |9− 2x| ≥ |4x| é equivalente a: 9− 2x ≥ |4x| ou 9− 2x ≤ −|4x|;
Se 9− 2x ≥ |4x|, então 2x− 9 ≤ 4x ≤ 9− 2x; logo,
−9
2
≤ x ≤ 3
2
.
Se 9− 2x ≤ −|4x|, então 9− 2x ≤ 4x ≤ 2x− 9, que não possui solução. O conjunto-solução é:
S =
[− 9
2
,
3
2
]
.
[3] Ache a solução de: 2− |x− 3| ≤ 3x+ 1.
Pela propriedades anteriores, se x − 3 ≥ 0, temos: 2 − (x − 3) ≤ 3x + 1 que é equivalente a
x ≥ 1. Por outro lado, se x− 3 < 0, temos: 2 + (x− 3) ≤ 3x+ 1 que é equivalente a x ≥ −1. O
conjunto-solução é:
S = [−1 +∞].
[4] Ache a solução de:
∣∣∣∣3− 2xx+ 2
∣∣∣∣ ≤ 4.
Resolvamos −4 ≤ 3− 2x
x+ 2
≤ 4.
Se x > −2 , −4 (x+ 2) ≤ 3− 2x ≤ 4 (x+ 2):
(a) −4 (x+ 2) ≤ 3− 2x, é equivalente a x ≥ −11
2
.
(b) 3− 2x ≤ 4 (x+ 2), é equivalente a x ≥ −5
6
, e:
S1 =
[− 5
6
,+∞).
Se x < −2 , −4 (x+ 2) ≥ 3− 2x ≥ 4 (x+ 2):
(a) −4 (x+ 2) ≥ 3− 2x, é equivalente a x ≤ −11
2
.
1.9. VALOR ABSOLUTO 23
(b) 3− 2x ≥ 4 (x+ 2), é equivalente a x ≤ −5
6
, e:
S2 = (−∞,−11
2
]
.
Finalmente:
S = S1 ∪ S2 = (−∞,−11
2
] ∪ [− 5
6
,+∞).
[5] Resolva
√
x+ 1 > |x+ 1|.
Primeiramente observamos que x+ 1 ≥ 0, isto é −1 ≤ x; por outro lado, se x = −1 a inequação
não é válida.
Se x+ 1 ≥ 0, então |x+ 1| = x+ 1 e:
√
x+ 1 > x+ 1⇐⇒ x+ 1 > (x+ 1)2 ⇐⇒ x2 + x < 0.
Logo:
S = (−1, 0).
[6] Resolva |x− 1| < |x|
x
.
Temos dois casos: x > 0 e x < 0.
Se x > 0, temos que
|x|
x
= 1 e:
|x− 1| < 1⇐⇒ 0 < x < 2.
Logo:
S1 = (0, 2).
Se x < 0, temos que
|x|
x
= −1 e S2 = ∅. Então:
S = S1 = (0, 2).
[7] Ache a solução de: √
|x| − 1 ≥ a, a 6= 0.
Primeiramente, devemos ter |x| − 1 ≥ 0, isto é |x| ≥ 1. Logo:
x ∈ S1 = (−∞,−1] ∪ [1,+∞);
e:
|x| − 1 ≥ a2.
Por outro lado, 1 + a2 > 1 e −(1 + a2) < −1, então:
Se a > 0:
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
x ∈ S2 = (−∞,−1− a2)] ∪ [1 + a2,+∞);
e
S = S1 ∩ S2 = (−∞,−1− a2)] ∪ [1 + a2,+∞).
Se a < 0, temos:
S = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
Por que?
[8] Ache a solução de: ∣∣∣∣x+ 3x− 2
∣∣∣∣ ≥ x|x| .
Note que:
x
|x| =
{
1 se x > 0
−1 se x < 0.
Se x > 0, resolvemos: ∣∣∣∣x+ 3x− 2
∣∣∣∣ ≥ 1⇐⇒ x+ 3x− 2 ≥ 1 ou x+ 3x− 2 ≤ −1.
Logo:
x+ 3
x− 2 ≥ 1 ou
x+ 3
x− 2 ≤ −1⇐⇒
5
x− 2 ≥ 0 ou
2x+ 1
x− 2 ≤ 0
⇐⇒ x > 2 ou − 1
2
≤ x < 2.
Isto é:
S1 = (0, 2) ∪ (2,+∞),
pois, x ∈ (0,+∞).
Se x < 0, como o valor absoluto de qualquer número é positivo,temos:
S2 = R− {2} ∩ (−∞, 0) = (−∞, 0).
logo, a solução é:
S = S1 ∪ S2 = R− {0, 2}.
[9] Se x ∈ N, ache a solução de:
1.10. DISTÂNCIA 25
(x− 3)2√1− |x− 3| −√4− |x|
x2 + x+ 1
≤ 0.
Analisando a inequação podemos obsevar que (x−3)2 é sempre não negativo e o denominador
é quadrático e sempre positivo pois seu coeficiente principal é 1 e seu discriminante ∆ = −3.
Logo, para resolver a inequação basta resolver:
√
1− |x− 3| −
√
4− |x| ≤ 0⇐⇒
√
1− |x− 3| ≤
√
4− |x|.
Primeiramente:
1− |x− 3| ≥ 0 e 4− |x| ≥ 0⇐⇒ x ∈ [2, 4].
Agora:
√
1− |x− 3| ≤
√
4− |x| =⇒ |x| ≤ 3 + |x− 3|.
Como x ∈ N, verificamos a inequação para x = 2, 3, 4; logo, não é difícil ver que:
S = {2, 3, 4}.
1.10 Distância
Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais.
A distância entre os números reais a e b é |a− b|.
Então |a| é a distância de a à origem.
Exemplo 1.10.
[1] A distância entre os números pi e −pi é |pi − (−pi)| = 2pi.
[2] A distância entre os números −2 e −12 é | − 12− (−2)| = | − 10| = 10 e a distância entre os
números −2 e 23 é |23− (−2)| = 25.
[3] A distância entre os números −1
6
e
3
2
é:∣∣∣∣− 16 − 32
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− 53
∣∣∣∣ = 53 .
26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.11 Sequências: P.A. e P.G.
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais.
Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função:
f : N −→ R.
f(n) = an é chamado o termo geral da sequência. A sequência é denotada por:(
an
)
n∈N =
(
a1, a2, . . . . . . , an, . . .
)
.
Não confundir a sequência
(
an
)
n∈N com {a1, a2, . . . . . . , an, . . . } que é o conjunto-imagem da
função que define a sequência .
Exemplo 1.11.
[1] Se
(
1
n
)
n∈N
=
(
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
)
; o conjunto-imagem é
{ 1
n
/ n ∈ N}.
1 2 3 4 5 6 7
1
Figura 1.5: Gráfico da sequências
( 1
n
)
.
[2] Se
(√
n
)
n∈N =
(
1,
√
2, . . . ,
√
n, . . .
)
; o conjunto-imagem é {√n /n ∈ N}.
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
Figura 1.6: Gráfico da sequência
(√
n
)
.
[3] Se
(
(−1)n)
n∈N =
(− 1, 1, −1, . . . , (−1)n, . . . ); o conjunto-imagem é {−1, 1}.
1.12. PROGESSÕES ARITMÉTICAS (P.A.) 27
1.12 Progessões Aritméticas (P.A.)
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual à soma do termo anterior com uma constante r, chamada razão da P.A.., isto é,(
an
)
n∈N é uma P.A. ⇐⇒ an − an−1 = r, ∀n ≥ 1
Não é difícil ver que o termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma P.A. são, respecti-
vamente:
an = a1 + (n− 1) r e Sn = (an + a1)n
2
Logo, as P.A. são sequências do tipo:
a, a+ r, a+ 2 r, a+ 3 r, . . . . . . , a+ (n− 1) r . . .
1.12.1 Interpolação Aritmética
Interpolar aritmeticamente n números entre outros dois conhecidos a e b, consiste em construir
uma P.A.
a, a1, a2, ..., an, b.
Como a P.A. tem n+ 2 termos e a1 = a e an+2 = b, podemos determinar r; de fato:
b = a+ [(n+ 2)− 1] r =⇒ r = b− a
n+ 1
Uma vez conhecido o valor de r, obtemos todos os termos da P.A. Os termos da P.A. são cha-
mados meios aritméticos.
1.13 Progessões Geométricas (P.G.)
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo,
é igual ao produto do termo anterior por uma constante q 6= 0, chamada razão da P.G.. Isto é,
(
an
)
n∈N é uma P.G. ⇐⇒
an
an−1
= q, ∀n > 1
O termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma P.G. são, respectivamente:
an = a1 · qn−1 e Sn =

na1 se q = 1
a1 (1− qn)
1− q se q > 1
28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
se a P.G. é finita. No caso em que a P.G. tem infinitos termos, temos:
S =
a1
1− q − 1 < q < 1
Logo, as P.G. são sequências do tipo:
a, a q, a q2, a q3, . . . . . . , a qn−1 . . .
1.13.1 Interpolação Geométrica
Interpolar geometricamente n números entre outros dois conhecidos a e b; consiste en construir
uma P.G.
a, a1, a2, ..., an, b.
Com a P.A. tem n+ 2 termos e a1 = a e an+2 = b, podemos determinar q; de fato:
b = a qn+1 =⇒ q = n+1
√
b
a
Uma vez conhecido o valor de q, obtemos todos os termos da P.G. Os termos da P.G. são cha-
mados meios geométricos.
Exemplo 1.12.
[1] Determine cinco meios aritméticos entre -18 e 25.
A P.A. é: −18, a2, a3, a4, a5, a6, 25. Então aplicando a fórmula para n = 5, a1 = a = −18 e
a7 = b = 25, temos:
r =
43
6
,
e:
a2 = −65
6
, a3 = −11
3
, a4 =
7
2
, a5 =
32
3
e a6 =
107
6
.
[2] Determine quatro meios geométricos entre 25 e
1
125
.
Temos que a1 = 25 e a6 =
1
125
, logo:
q =
5
√
1
3125
=
1
5
,
e:
a2 = 5, a3 = 1, a4 =
1
5
, e a5 =
1
25
.
[3] Se num edifício o primeiro andar se encontra a 7.4 m de altura e a distância entre dois
andares consecutivos é de 3.8 m, determine a altura do décimo nono andar.
1.13. PROGESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.) 29
Temos uma P.A. tal que r = 3.8; como an = a1 + (n− 1) r, temos que:
a19 = 7.4 + 18× 3.8 = 75.8 m.
[4] Se os ângulos de um triângulo formam uma P.A. e se o maior ângulo é
7pi
12
, determine a
medida dos outros ângulos.
Seja a3 o maior ângulo:
a1 = a3 − 2 r = 7pi
12
− 2 r
a2 = a3 − r = 7pi
12
− r
a3 =
7pi
12
=⇒ a1 + a2 + a3 = pi =⇒ r = pi
4
.
Logo: a1 =
pi
12
e a2 =
pi
3
.
[5] (Puc-SP) As medidas dos lados de um triângulo formam a P.A. (x+1, 2x, x+5). Determine
o perímetro do triângulo.
Como an − an−1 = r para todo n temos a2 − a1 = a3 − a2, donde x = 3 e o perímetro do
triângulo é 18.
[6] Numa empresa de serviços de informação telefônica do tipo 0300., o número de pessoas que
ligaram, por dia, variou de acordo com uma P.A. de razão 4. Sabendo-se que cada ligação foi
correspondente a 0.4 dólares, e que no primeiro dia duas pessoas ligaram, determine o número
mínimo de dias a fim de que o total arrecadado atinja o valor de 81.920 dólares:
Sabemos que:
an = a1 + (n− 1) r e Sn = (an + a1)n
2
=
(2 a1 + (n− 1) r)n
2
.
Como a1 = 0.8 e no segundo dia ligam 6 pessoas que corresponde a 6×0.4 = 2.4, temos r = 1.6
e:
81.920 =
(2× 0.8 + (n− 1)× 1.6)n
2
= 0.8× n2 =⇒ n = 320.
Logo, são 320 dias.
[7] (Mack-SP) Seja a P.G. de termos positivos (x− 2, √x2 + 11, 2x+ 2, . . .). Determine a7.
Sabemos que:
an
an−1
= q;
logo, temos que
a3
a2
=
a2
a1
e:
30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
a3 a1 = a
2
2 =⇒ (2x+ 2) (x− 2) = x2 + 11 =⇒ x = 5.
Logo, a1 = 3 e a2 = 6 donde q = 2 e a7 = 192.
[8] Determine 3 números em P.G. tal que a soma seja 26 e o produto seja 216.
Temos: 
a+ a q + a q2 = 26
a3 q3 = 216
=⇒ q = 6
a
=⇒ a2 − 20 a+ 36 = (a− 2) (a− 18) = 0.
Se a = 2, q = 3 e os números são 2, 6 e 18.
Se a = 18, q =
1
3
e os números são 18, 6 e 2.
[9] A soma dos 3 primeiros termos de uma P.G. é 38. Sabendo que se subtraimos 2 do terceiro
termo, êles passam a formar uma P.A., calcule o quinto termo da P.G.
Sabemos que a1 + a1 q + a1q2 = 38 e que {a1, a1 q, a1 q2 − 2} é uma P.A, logo:
a1(q − 1) = a1 q2 − 2− a1 q ⇐⇒ a1 [2 q − q2 − 1] = −2.
Temos o seguinte sistema:
a1 + a1 q + a1q
2 = 38
a1 [2 q − q2 − 1] = −2
=⇒ q = 3
2
ou q =
2
3
e a1 = 8 ou a1 = 18,
respectivamente, e
a5 =
81
2
ou a1 =
32
9
.
[10] Um fundo de investimentos contava com 760 clientes e, no mês passado, admitiu 60 novos
investidores. Espera-se que, daqui por diante, o número de clientes novos, por mês, seja sempre
o dobro do número de clientes atraidos no mês anterior. Em quanto tempo o número total de
investidores nesse fundo ultrapassará 10000?
Note que temos:
760 + 60 + [120 + 240 + . . . . . .+ 120× 2n−1] > 10000⇐⇒
820 + 120 [1 + 2 + . . . . . .+ 2n−1 > 10000
Este último é equivalente a:
120 [2n − 1] > 9180⇐⇒ 2n > 155
2⇐⇒ 2n+1 > 155.
O menor n que satisfaz a desigualdade é n = 7; logo, 7 meses é o prazo mínimo.
1.13. PROGESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.) 31
[11] Ache 4 números naturais entre 2 e 486 tais que formem uma P. G.
Note que a1 = 2 e a6 = 486, logo
a6 = a1 q
5 =⇒ q5 = 243 =⇒ q = 3.
Os 4 números são:
{, 6, 18, 54, 162}.
[12] Seja uma P.G. tal que an+1 < an para todo n ∈ N. Se a soma dos tres primeiros termos é 39
e o seu produto é 729, e se denotamos por a, b e c os tres primeiros termos da P.G, determine o
valor de a2 + b2 + c2.
Seja q a razão da P.G, poderemos escrever os tres termos por:
{x
q
, x, x q}.
Por outro lado:
x
q
× x× x q = 729 =⇒ x3 = 729 =⇒ x = 9.
Logo, temos: {9
q
, 9, 9 q}. Por outro lado:
9
q
+ 9 + 9 q = 39 =⇒ 3− 10 q + 3 q2 = 0 =⇒ q = 1
3
ou q = 3.
Como os termos da P.G. satisfazem an+1 < an para todo n ∈ N, devemos ter que:
q =
1
3
(por que?). Os termos são 27, 9 e 3:
272 + 92 + 32 = 819.
32 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.14 Exercícios
1. Determine os valores de x tais que:
(a)
√
x2 = x
(b)
√
(x− 1)2 = x− 1
(c)
√
x2 − 2x+ 1 = 1− x
(d)
√
x4 = x2
(e) |x+ 1| = |x− 1|
(f) |x− 1|2 = |2x− 1|
(g) |x| = |x+ 7|
(h) |x− 1|2 = |2x+ 1|
(i)
∣∣∣∣4− x3x
∣∣∣∣ = 3
(j)
∣∣∣∣ x2x− 1
∣∣∣∣ = 4
2. Determine a solução de :
(a) (x+ 5)2 − 2 (x+ 5)− 5 = 0
(b) x2/5 − 7x1/5 − 8 = 0
(c) 2 (x3 − 1)2 − 6 (x3 − 1)− 2 = 0
(d) x4/3 − 2x2/3 − 2 = 0
(e) 4 (x+ 3)1/3 + 3 (x+ 3)2/3 − 4 = 0
(f)
√
x+ 2− 6 4√x+ 2− 16 = 0
(g) (x− 3)2 − 5 (x− 3) + 6 = 0
(h) (x+ 4)2 − (x+ 4)− 4 = 0
(i) (x2 − 2)2 − 3 (x2 − 2) + 1 = 0
(j) (x3 + 1)2 + 5 (x3 + 1)− 1 = 0
(k) (
√
x− 3)2 +√x− 4 = 0
(l) (x+ 1)4 − 3 (x+ 1)2 + 2 = 0
(m) (( 5
√
x−1)4−1)4−2 ( 5√x−1)4−1)+1 = 0
(n) (x3 + 1)2 − (x3 + 1)− 2 = 0
(o) (x2−2x+ 1)2−5 (x2−2x+ 1)−6 = 0
3. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto
solução:
(a) x4 − x2 < 0
(b) x2 − 2 ≥ x
(c) x2 + x > 2
(d) (x− 5)4 (x+ 10) ≤ 0
(e) |x+ 2| < 1
(f) |x− 5| < |x+ 1|
(g) 4x2 + 10x− 6 < 0
(h) |x− 1|2 < |2x+ 1|
(i) |x2 − 1||x+ 1| > 0
(j) 2x2 − 2 ≤ x2 − x
(k) |x− 1|+ |x− 2| > |10x− 1|
(l) x2 − 7x+ 8 > (x− 6)2
(m) |x2 − x− 1| < 2
(n) |x+ 1|+ |x+ 2| > |10x− 1|
(o) |x2 − 1| < |x− 1|
1.14. EXERCÍCIOS 33
4. Resolva as seguintes inequações:
(a)
x
x− 1 ≥ 0
(b)
x
x− 5 − 2 ≥ 0
(c)
x− 1
x+ 5
> 2
(d)
x− 1
x+ 1
≥ 0
(e)
x
x− 3 ≤
x
x+ 1
(f)
x2 + 2
x+ 3
> x
(g)
x2
x+ 3
≥ x+ 1
(h)
x2 − 4
x+ 6
≥ 0
(i)
(x+ 1) (x− 7)
(x− 1) (x− 6) (x+ 3) > 0
(j) 3 (x+ 3) ≥ 2 (1− 1
x
)
(k) 3 (
1
x
− 3) > 5 (x+ 1)
5. Se 3x+ 15 = 0, determine o valor de
(a)
|x+ 5|
|x− 5|
(b) |x| − |x− 8| |x+ 6||1− 2x|
6. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) Para todo x, y e z: |x+ y + z| = |x|+ |y|+ |z| e
(b) Para todo x e y: |x− y| ≤ |x| − |y|.
(c) Para todo x e y: ||x| − |y|| ≤ |x+ y|.
7. Resolva as seguintes inequações com valor absoluto:
(a) |2x− 1| > 3
(b) |2x+ 5| ≥ |x+ 4|
(c)
∣∣∣∣x5 − 12
∣∣∣∣ ≥ 5
(d)
∣∣∣∣2x− 1x+ 3
∣∣∣∣ ≤ 1
(e)
∣∣∣∣x+ 1x− 2
∣∣∣∣ > 2
(f)
∣∣∣∣3x− 1x+ 7
∣∣∣∣ < 3
(g)
∣∣∣∣2x− 12x+ 1
∣∣∣∣ > 3
34 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
8. As temperaturas nas escalas de Fahrenheit (F) e Celsius (C) estão relacionadas pela fór-
mula:
C =
5 (F − 32)
9
.
A que temperatura na escala de Fahrenheit corresponde na escala de Celsius um objeto
que está entre 40 e 50 graus Celsius.
9. Uma resistência tem 7 Ohms e uma resistência variável é instalada em paralelo. A resis-
tência resultante é dada por:
RT =
7R
R+ 7
.
Determine o valor de R tal que RT seja maior que 3 Ohms.
10. O quíntuplo de um número x subtraído de 12 é sempre maior do que 13. Escreva e resolva
essa inequação.
11. A soma de 5 com a metade de um número é sempre maior do que a diferença entre 10 e
o dobro desse número. Resolva essa inequação.
12. (Parte Inteira) Para todo x ∈ R, denotamos e definimos a parte inteira de x por:
[[x]] = n⇐⇒ n ≤ x < n+ 1, onde n ∈ Z.
Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de a resposta ser falso:
(a) [[x]] = x se, e somente se x ∈ Z.
(b) Para todo x e y: [[x]] + [[y]] < [[x+ y]]
(c) Para todo x e n ∈ N:
[[
[[x]]
n
]]
=
[[
x
n
]]
Determine a solução de:
(a) [[x]]2 − 2 [[x]]− 2 ≤ 0.
(b) [[4x2 − 5x− 4]] ≤ 1.
(c)
√
[[x]]2 − 12 + [[x]]2 − [[x]]− 6 ≥ 0.
13. Determine quatro meios aritméticos entre 1 e 19.
1.14. EXERCÍCIOS 35
14. Determine cinco meios geométricos entre 8 e
1
8
.
15. Determine seis meios geométricos entre 1 e 2187.
16. Numa P. A. a soma do segundo e quinto termos é 45 e a razão é a metade do primeiro
termo. Calcule a soma dos 20 primeiros termos.
17. Numa P. A. a razão, o número de termos e o último termo são números inteiros consecu-
tivos. Sabendo que o primeiro termo é -10, calcule a soma dos 10 primeiros termos.
18. Numa P. A. de 36 termos, o primeiro termo é 25 e o último 305. Calcule a razão.
19. Numa P. A. de 9 termos e razão 2, a soma de seus termos é igual a zero. Calcule o sexto
termo da P.A.
20. Numa P. A. o primeiro termo é 12 e a razão é 3. Calcule o número de termos para que a
soma seja 882.
21. Calcular a soma dos 80 primeiros termos da PA : 6, 9, 12, 15, 18 ...
22. Determine x para que x+ 2, 18 + x e x+ 66 estejam em P.G.
23. Numa P.G. de 6 termos, a soma dos 3 primeiros termos é 65 e a soma dos 3 últimos é 1755.
Calcule o primeiro termo.
24. Em 2005 o preço de um certo produto era x− 3 reais, em 2008 era de x+ 1 reais e em 2011
era de 2x + 8 reais. Sabendo que o aumento foi dado em P.G.,de 3 em 3 anos, determine
a razão da P.G.
25. Uma empresa de prospecção de água contratou a abertura de um poço sob as seguintes
condições: recebe 100 reais pelo primeiro metro perfurado, 200 pelo segundo, 400 pelo
terceiro e assim sucessivamente, duplicando sempre até o último metro perfurado. Se a
estimativa é de que o poço deverá ter 10 metros, quanto será o custo total da perfuração?
26. Três números a, b e c estão em P.A. Se a+ b, b e b+ c estão em P.G. e a2 + c2 = 8, calcule a
razão das duas progressões.
27. Determine n, se:
32 + 33 + . . . . . . 3n = 1089.
28. (UFSC 1989) Numa PG de 6 termos positivos a razão é 5. O produto do décimo termo
com o último é 12500. Determine o valor do terceiro termo.
36 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
29. Os termos do primeiro membro da equação:
3 + 6 + ...+ x = 381
formam uma P.G. Determine o conjunto solução da equação.
30. (UFRRJ 2004) Em uma P.A. não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os
termos 2a, 4a e 7a, nesta ordem, formam uma P.G. Determine esta P.A.
31. Quantos inteiros consecutivos, começando com 10, devem ser considerados para que sua
soma seja igual a 2035?
32. Determine a soma dos termos da P. G. infinita: 10, 4,
8
5
.
33. Calcule a soma de todos os inteiros entre 100 e 800 que são divisíveis por 3.
34. (FUVEST/01) Uma P. A. e uma P. G. temˆ, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que
os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o
segundo termo da P. A. excede o segundo termo da P. G. em 2. Determine o terceiro
termo das progressões.
Capítulo 2
A RETA NO PLANO
2.1 Plano Coordenado
Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x)
se, e somente se x = y.
O elemento x do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e y é chamado a se-
gunda coordenada do par.
De forma análoga à representação geométrica dos números reais, podemos representar geome-
tricamente os pares ordenados.
Para isto consideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpen-
dicularmente.
A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta verticalé chamada eixo
das ordenadas ou eixo dos y.
A interseção das retas é chamada origem, à qual associamos o par (0, 0) e atribuimos sentidos
a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado.
As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes.
A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), é feita de
forma análoga a do eixo coordenado.
Exemplo 2.1.
Considere os seguintes pontos:
A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1) e , D = (1,−2),
tem a seguinte representação no plano coordenado:
37
38 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
D
A2
1
-1
-2
-2 10
x
y
B
C
Figura 2.1:
2.2 Distância entre dois Pontos no Plano
Usando o Teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor-
denado.
B
x
y
x
y
1 2
1
2
A
d
y
x
Figura 2.2: Distância entre dois pontos.
Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distância d entre A e B é:
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
A distância possui as seguintes propriedades imediatas.
Proposição 2.1. Sejam A, B e C pontos do plano, então:
1. d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.
2. d(A,B) = d(B,A).
3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).
2.3. PONTOMÉDIO 39
2.3 Ponto Médio
Desejamos determinar o ponto médio entre o ponto A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Denotemos
por P = (x, y) o ponto em questão. Isto é:
d(A,P ) = d(B,P ) =
d(A,B)
2
.
Considere os seguintes pontos auxiliares R = (x, y1) e T = (x2, y) como no desenho:
x1 x 2x
A
B
P
y1
y2
y
R
T
Figura 2.3: Ponto médio.
O triângulo ARP e o triângulo PTB são congruentes; logo, temos:
d(A,R) = d(P, T ) e d(R,P ) = d(T,B),
isto é:
x =
x1 + x2
2
e y =
y1 + y2
2
Exemplo 2.2.
[1] Calcule a distância entre os pontos A = (2,−3) e B = (−2, 1). Aplicando a fórmula:
d(A,B) =
√
(−2− 2)2 + (1− (−3))2 =
√
32.
40 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Figura 2.4: Exemplo [1].
[2] Se a abscissa de um ponto é 4 e sua distância ao ponto (−2, 6) é 10, determine a ordenada
do ponto.
Denotemos por A = (4, y) o ponto em questão e B = (−2, 6). Aplicando a fórmula:
10 = d(A,B) =
√
36 + (y − 6)2 ⇐⇒ y = −2 ou y = 14.
- 2 -1 1 2 3 4
5
10
Figura 2.5: Exemplo [2]
[3] Determine o ponto no eixos dos x que é equidistante aos pontos (1, 3) e (−3, 5).
Denote por A = (1, 3), B = (−3, 5) e P = (x, 0) o ponto procurado, logo devemos ter:
d(A,P ) = d(B,P )⇐⇒ (x− 1)2 + 9 = (x+ 3)2 + 25 =⇒ x = −3 =⇒ P = (−3, 0).
2.3. PONTOMÉDIO 41
- 3 - 2 -1 1
1
2
3
4
5
Figura 2.6: Exemplo [3]
[4] Verifique que os pontos A = (3, 8), B = (−11, 3) e C = (−8,−2) são os vértices de um
triângulo isósceles.
Calculemos d(A,B), d(B,C) e d(A,C);
d(A,B) =
√
(−11− 3)2 + (3− 8)2 =
√
221
d(B,C) =
√
(−8 + 11)2 + (−2− 3)2 =
√
34
d(A,C) =
√
(−8− 3)2 + (−2− 8)2 =
√
221.
Logo, d(A,B) = d(A,C) e o triângulo é isósceles.
-10 -8 -6 -4 -2 2
-2
2
4
6
8
Figura 2.7: Exemplo [4]
[5] Verifique que os pontos A = (7, 5), B = (2, 3) e C = (6,−7) são os vértices de um triângulo
retângulo.
42 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
Calculemos d(A,B), d(B,C) e d(A,C);
d(A,B) =
√
(2− 7)2 + (3− 5)2 =
√
29
d(B,C) =
√
(6− 2)2 + (−7− 3)2 =
√
116
d(A,C) =
√
(6− 7)2 + (−7− 5)2 =
√
145.
Logo, d(A,B)2 + d(B,C)2 = d(A,C)2; os pontos são os vértices de um triângulo retângulo.
1 2 3 4 5 6 7
- 6
- 4
- 2
2
4
Figura 2.8: Exemplo [5]
[6] Classifique o triângulo de vértices (−4, 3), (3, 0) e (0, 1).
Denotemos por A = (−4, 3), B = (3, 0) e C = (0, 1). Primeiramente calculamos:
d(A,B) =
√
58, d(B,C) =
√
10 e d(A,C) =
√
20.
Como d(A,B) 6= d(B,C) 6= d(A,C) é um triângulo escaleno.
3- 4
1
3
Figura 2.9: Exemplo [6]
2.4. A RETA 43
[7] Determine os pontos que distam 5 unidades do ponto A = (1, 2) e distam 2 unidades do
eixo dos x.
Seja P = (x, y) um ponto que satisfaz o pedido:
d(P,A) =
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 5 =⇒ (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25.
Como a distância de P ao eixo dos x é 2, esta distância é exatamente a ordenada do ponto P ,
que pode ser nagativa ou positiva:
Se y = 2, temos que (x− 1)2 = 25, logo x− 1 = ±5, então x = 6 ou x = −4; os pontos são:
(6, 2), (−4, 2).
Se y = −2, temos que (x − 1)2 + 16 = 25, logo x − 1 = ±3, então x = 4 ou x = −2; os pontos
são:
(4,−2), (−2,−2).
- 4 - 2 2 4 6
- 2
2
4
6
Figura 2.10: Exemplo [7]
2.4 A Reta
Algebricamente, a equação geral da reta é a equação de primeiro grau em duas variáveis; a
recíproca é válida. Existem diversas formas de apresentar as equações das retas no plano. Nós
veremos as mais importantes.
2.5 Equação da Reta
Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos distintos no plano:
44 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
y
xx2
P1
x1
y1
y2
2P
Figura 2.11:
A equação da reta que passa pelos pontos P1 e P2 é:
y − y2
y2 − y1 =
x− x2
x2 − x1 ,
ou equivalentemente:
a x+ b y + c = 0
onde a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1 y2 − x2 y1.
1. Reciprocamente, a equação:
a x+ b y + c = 0
representa uma reta.
2. Se a = 0 e b 6= 0, a reta é horizontal:
y = −c
b
.
3. Se b = 0 e a 6= 0, a reta é vertical:
y = − c
a
.
4. Se c = 0 a reta passa pela origem.
5. O ponto P0 = (x0, y0) pertence à reta a x+ b y + c = 0 se, e somente se a x0 + b y0 + c = 0.
2.6. INTERSECÇÃO COM OS EIXOS COORDENADOS 45
6. O número:
−a
b
=
y2 − y1
x2 − x1
é chamado coeficiente angular ou inclinação da reta.
7. No caso em que x1 = x2, a reta vertical que não possui inclinação.
Não é difícil ver que se a reta passa pelos pelos pontos (a, 0) e (0, b), temos:
y − 0
0− b =
x− a
a− 0 =⇒ b x+ a y = a b,
logo:
x
a
+
y
b
= 1
Esta forma de apresentar a equação da reta é dita forma dos interceptos.
2.6 Intersecção com os Eixos Coordenados
Considere a reta: a x+ b y + c = 0.
1. Intersecção com o eixo dos x. Fazemos y = 0 na equação e obtemos:
x = − c
a
=⇒ o ponto (− c
a
, 0).
2. Intersecção com o eixo dos y. Fazemos x = 0 na equação e obtemos:
y = −c
b
=⇒ o ponto (0,−c
b
).
Exemplo 2.3.
[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4).
Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e c = −2; logo, a equação é: 7x+ 3 y − 2 = 0.
46 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
-1 1 2 3 x
-4
-2
2
4
y
Figura 2.12: A reta 7x+ 3 y − 2 = 0.
[2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) pertença à reta 3x+ 5 y − 12 = 0.
O ponto P = (3, k) pertence à reta 3x+ 5 y − 12 = 0 se, e somente se 3 · 3 + 5 · k− 12 = 0; logo,
k =
3
5
.
-1 1 2 3 4 5 x
-1
1
2
3
4
y
Figura 2.13: A reta 3x+ 5 y − 12 = 0 e o ponto P = (3, 3/5).
[3] Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos (−2,−1) e (4, 3).
Escrevamos a equação da reta que passa por (−2,−1) e (4, 3):
−2x+ 3 y − 1 = 0.
Logo a inclinação é:
2
3
.
2.6. INTERSECÇÃO COM OS EIXOS COORDENADOS 47
- 4 - 2 2 4
- 2
-1
1
2
3
Figura 2.14: Exemplo [3].
[4] Determine k tal que a reta 4x− k y − 7 = 0 tenha inclinação igual a 3.
Reescrevendo a reta:
y =
4x
k
− 7
k
=⇒ 4
k
= 3 =⇒ k = 4
3
.
[5] Determine k1 e k2 tais que a reta x+ k1 y − 2 k2 = 0 intersecte o eixo dos x no ponto (−4, 0)
e o eixo dos y no ponto (0, 1).
Fazendo x = 0, então y =
2 k2
k1
, logo:
2 k2
k1
= 1 =⇒ 2 k2 = k1.
Fazendo y = 0, então x = 2 k2, logo:
2 k2 = −4 =⇒ k2 = −2 =⇒ k1 = −4,
A reta é x− 4 y + 4 = 0.
48 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
- 4 - 2 2 4
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 2.15: Exemplo [4].
2.7 Equação Reduzida da Reta
Se uma reta não é paralela ao eixo dos y, então b 6= 0. Fazendo:m =
y2 − y1
x2 − x1 e n =
x2y 1 − x1 y2
x2 − x1 ,
obtemos a equação reduzida da reta:
y = mx+ n
O número m é chamado coeficiente angular ou inclinação da reta e n é chamado coeficiente
linear da reta.
É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular
m é:
y − y0 = m (x− x0)
2.8. INTERSECÇÃO COM OS EIXOS COORDENADOS 49
−
−
y
x
P1
x1
y
2
x2 x1
x2
y2
P2
y1
y1
Figura 2.16:
2.8 Intersecção com os Eixos Coordenados
Considere a reta: y − y0 = m (x− x0).
1. Eixo dos x. Fazemos y = 0 na equação e obtemos o ponto de interseção:
x =
mx0 − y0
m
=⇒ o ponto (mx0 − y0
m
, 0
)
.
2. Eixo dos y. Fazemos x = 0 na equação e obtemos o ponto de interseção:
y = −mx0 + y0 =⇒ o ponto (0,−mx0 + y0).
2.9 Colinearidade
Os pontos P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) são colineares se, e somente se as inclina-
çãos das retas que passam por P1 e P2, P1 e P3 e P2 e P3 são iguais. Isto é:
y2 − y1
x2 − x1 =
y3 − y1
x3 − x1 =
y3 − y2
x3 − x2
Exemplo 2.4.
[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).
Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0 = P2; então, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, y−x+ 1 = 0
ou y = x− 1.
50 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
-1 1 2 3 x
-2
-1
1
2
y
Figura 2.17: A reta y = x− 1.
[2] Escreva na forma reduzida a equação: 4x+ 2 y + 5 = 0.
A forma reduzida é do tipo y = mx+ n; então:
y = −2x− 5
2
.
[3] Determine se os pontos (0,−1), (1, 3) e (−1,−5) são colineares.
Devemos verificar que:
y2 − y1
x2 − x1 =
3 + 1
1− 0 = 4,
y3 − y1
x3 − x1 =
−5 + 1
−1− 0 = 4 e
y3 − y2
x3 − x2 =
−5− 3
−1− 1 = 4;
logo, são colineares.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5
- 6
- 4
- 2
2
4
6
Figura 2.18: Exemplo [3].
2.10 Posição Geral de Duas Retas
Duas retas, no plano, podem ser:
Concorrentes, isto é, tem um único ponto em comum.
2.10. POSIÇÃO GERAL DE DUAS RETAS 51
Paralelas, isto é, não tem nenhum ponto em comum.
Coincidentes, isto é, tem infinitos pontos em comum.
Considere o sistema formado pelas retas:{
a1 x+ b1 y + c1 = 0
a2 x+ b2 y + c2 = 0.
Sabemos que tal sistema linear, pode ter uma, nenhuma ou infinitas soluções. Logo:
Concorrentes, se, e somente se:
a1
a2
6= b1
b2
.
Paralelas, se, e somente se:
a1
a2
=
b1
b2
6= c1
c2
.
Coincidentes, se, e somente se:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Exemplo 2.5.
[1] Verifique se as retas 3x − 4 y = 0, x + y − 7 = 0 e 4x − 3 y = 0 determinam um triângulo
isósceles.
Devemos ver se as retas são duas a duas concorrentes; determinar os pontos de interseção e
finalmente verificar os lados do triângulo.
{
3x− 4 y = 0
x+ y − 7 = 0
{
x+ y − 7 = 0
4x− 3 y = 0
{
3x− 4 y = 0
4x− 3 y = 0.
Note que as retas são concorrentes; as soluções dos sistemas são, respectivamente;
A = (4, 3), B = (3, 4) e C = (0, 0).
Por outro lado d(C,B) = d(C,A); logo, é um triângulo isósceles.
52 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
Figura 2.19: O triângulo isosceles, do exemplo [1/.
2.11 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas
Sejam y = m1 x+ n1 e y = m2 x+ n2 as equações de duas retas.
As retas são paralelas se, e somente se:
m1 = m2
As retas são perpendiculares se, e somente se:
m1 ·m2 = −1
Logo, as retas de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e a2 x + b2 y + c2 = 0 são perpendiculares, se, e
somente se:
a1 a2 + b1 b2 = 0
Em resumo, as retas l1 e l2, são paralelas se, e somente se:
l1 : a x+ b y + c1 = 0 e l2 : a x+ b y + c2 = 0, c1 6= c2
Em particular, as retas y = mx e y = mx+ b , são paralelas.
2.11. PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS 53
Figura 2.20: As retas y = mx e y = mx+ b.
As retas l1 e l2, são perpendiculares se, e somente se:
l1 : a x+ b y + c1 = 0 e l2 : b x− a y + c2 = 0
Exemplo 2.6.
[1] Ache o valor de k tal que as retas:
(a) y − (2 + k)x
2− k = 1 e y − 3x+
k − 2
k + 2
= 0 sejam paralelas.
(b) k y = x+ k3 e y − 1 = 2 k2x sejam perpendiculares.
(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo,
2 + k
2− k = 3 =⇒ k = 1.
Logo, temos as retas y − 3x− 1 = 0 e y − 3x− 1
3
= 0.
-0.4 -0.2 0.2 0.4 x
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 2.21: As retas do exemplo (a).
54 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
(b) As retas são perpendiculares se:
[1
k
] · [2 k2] = −1; donde k = −1
2
. Logo, temos as retas
4 y + 8x− 1 = 0 e 2 y − x− 2 = 0.
-1.0 -0.5 0.5 1.0 x
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 2.22: As retas do exemplos (b).
[2] Determine a inclinação da reta perpendicular a reta que passa pelos pontos (2, 3) e (−4, 1).
A inclinação da reta que passa pelos pontos (2, 3) e (−4, 1) é:
m1 =
1
3
.
Logo, a inclinação da reta perpendicular é:
m2 = − 1
m1
= −3.
[3] Determine a equação da reta que passa pelo ponto (−3,−5) e é paralela à reta 3 y = −2x+27.
A reta em questão é do tipo y = mx + b; como o coeficiente angular da reta 3 y = −2x + 27 é
−2
3
, temos que m = −2
3
e:
y = −2x
3
+ b,
como (−3,−5) pertence à reta: −5 = 6
3
+ b e b = −7, logo:
y = −2x
3
− 7.
2.11. PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS 55
- 5 5
-10
- 5
5
10
Figura 2.23: As retas do exemplos [3].
[4] Determine a reta que passa pelo ponto (−2, 3) e é perpendicular à reta 2x− 3 y + 6 = 0.
A reta em questão é do tipo y = mx + b; como o coeficiente angular de 2x − 3 y + 6 = 0 é 2
3
,
temos que m = −3
2
e:
y = −3x
2
+ b.
Como x = −2 e y = 3, temos, b = 0. Logo:
y = −3x
2
.
- 4 - 3 - 2 -1 1 2 3
- 3
- 2
-1
1
2
3
4
Figura 2.24: As retas do exemplo [4].
[5] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas 2x−3 y+7 = 0 e 5x+y+9 = 0
e é perpendicular à reta 2x− y + 1 = 0.
Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:
56 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
{
2x− 3 y = −7
5x+ y = −9.
Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que procuramos tem equação y = m2 x+b tal quem1·m2 = −1,
onde m1 = 2 é o coeficiente angular da reta 2x− y + 1 = 0; logo:
m2 = −1
2
e y = −x
2
+ b.
Como a reta passa por (−2, 1), a reta procurada é x+ 2 y = 0.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 2.25: As retas do exemplo [5].
[6] Um ponto P é equidistante dos pontos A = (2, 1) e B = (−4, 3). Se a inclinação da reta que
passa pelo ponto P e C = (1,−1) é 2
3
, determine P .
Seja P = (x, y), como d(P,A) = d(P,B) temos que:
(x− 2)2 + (y − 1)2 = (x+ 4)2 + (y − 3)3 =⇒ y = 3x+ 5.
A reta que passa por P e C tem inclinação
2
3
e sua equação é:
2x− 3 y = 5;
substituindo nesta última equação y = 3x+ 5, temos:
2x− 3 (3x+ 5) = 5 =⇒ x = −20
7
=⇒ y = −25
7
.
O ponto P =
(− 20
7
,−25
7
)
.
2.11. PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS 57
- 5 5
-10
- 5
5
10
Figura 2.26: As retas do exemplo [6].
[7] Determine a equação da reta que passa pelo ponto P =
(
3,
1
2
)
, sabendo que a soma dos
comprimentos dos segmentos que ela determina sobre os eixos coordenados é 6.
Considere a forma simétrica da equação da reta:
x
a
+
y
b
= 1, logo temos que a+ b = 6 e:
x
a
+
y
6− a = 1.
Como a reta passa por P :
3
a
+
1
2 (6− a) = 1 =⇒ 2 a
2 − 17 a+ 36 = 0 =⇒ a1 = 9
2
e a2 = 4.
Logo, b1 =
3
2
e b2 = 2 e obtemos:
2x
9
+
2 y
3
= 1 e
x
4
+
y
2
= 1.
2 4 6 8
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 2.27: As retas do exemplo [7].
[8] Considere o triângulo de vérticesA = (2, 0),B = (−1, 6) e C = (4, 10). Determine a equação
da reta que contem a altura do triângulo, a partir do ponto A.
58 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
- 6 - 4 - 2 2 4
2
46
8
10
Figura 2.28: Exemplo [8].
A inclinação da reta que liga B e C é:
m1 =
4
5
,
a altura do triângulo a partir do ponto A é determinada pela reta que passa por A e é perpen-
dicular à reta que passa por B e C; logo a inclinação dessa reta é:
m2 = −5
4
,
e
y = −5x
4
+ b.
Como o ponto A = (2, 0) pertence à reta: 0 = −5
2
+ b e b =
5
2
; logo:
y = −5x
4
+
5
2
,
é a equação da reta que contem a altura.
2.12 Equação Geral do Primeiro Grau
A equação geral de primeiro grau é:
Ax+B y + C = 0
onde A, B, C ∈ R, A e B não são simultaneamente nulos.
Pelo visto anteriormente, não é difícil ver que a equação geral do primeiro grau é a equação de
uma reta e reciprocamente toda equação de uma reta pode ser escrita como uma equação geral
do primeiro grau.
2.13. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 59
1. Se B 6= 0, temos que:
y = −Ax
B
− C
B
.
2. Se B = 0 e C 6= 0, temos que:
x = −C
A
,
reta paralela ao eixo dos y.
3. Se B = 0 e C = 0, temos que:
x = 0
é a equação do eixo das y.
4. Se A = 0 e C 6= 0, temos que:
y = −C
B
,
reta paralela ao eixo dos x.
5. Se A = 0 e C = 0, temos que:
y = 0
é a equação do eixo das x.
2.13 Distância de um Ponto a uma Reta
Denotemos por l a reta de equação a x + b y + c = 0 e a reta perpendicular a l, passando pela
origem de equação b x− a y = 0. Resolvendo o sistema:{
a x+ b y + c = 0
b x− a y = 0,
obtemos o ponto:
P = −k (a, b), onde k = c
a2 + b2
Logo, a distância da origem a reta l é:
60 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
d = d(O, l) =
|c|√
a2 + b2
P
O
d
Figura 2.29: .
Em geral, a distância de um ponto Q = (x1, y1) a reta l é dada por:
d(Q, l) =
|a x1 + b y1 + c|√
a2 + b2
.
Veja os próximos capítulos.
d
Q
Figura 2.30: .
2.13. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 61
Exemplo 2.7.
[1] Determine a distância entre o ponto (−1, 2) e a reta 3x− 4 y − 7 = 0.
Logo:
d =
| − 3− 8− 7|√
9 + 16
=
18
5
.
[2] Determine a distância entre o ponto (0, 2) e a reta 12x− 5 y + 4 = 0.
Logo:
d =
| − 10 + 4|√
144 + 25
=
6
13
.
[3] Determine o valor de k tal que a distância da reta 8x+ 15 y+ k = 0 ao ponto (2, 3) seja igual
a 2 unidades.
Temos:
d =
|8 (2) + 15 (3) + k|
17
= 2 =⇒ |61 + k| = 34,
logo, k = −27 ou k = −95.
- 5 5
2
4
6
Figura 2.31: Exemplo [3].
[4] Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4,−2) e dista 2 unidades da origem.
A reta que passa por (4,−2) é do tipo:
y + 2 = m (x− 4)⇐⇒ −mx+ y + 4m+ 2 = 0.
Por outro lado:
d(O, l) =
|4m+ 2|√
m2 + 1
= 2 =⇒ (4m+ 2)2 = 4 (m2 + 1) =⇒ m (3m+ 4) = 0,
Logo, m = 0 ou m = −4
3
e
62 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
y + 2 = 0 e 4x+ 3 y − 10 = 0.
- 4 - 2 2 4
- 4
- 2
2
4
Figura 2.32: Exemplo [4].
2.14 Distância Entre duas Retas
Sejam l1 be l2 retas paralelas de equações:
a x+ b y + c1 = 0 e a x+ b y + c2 = 0; c1 6= c2,
respectivamente. Consideremos P = (x0, y0) um ponto em l2, logo:
a x0 + b y0 + c2 = 0 =⇒ −c2 = a x0 + b y0,
e
d(P, l1) =
|a x0 + b y0 + c1|√
a2 + b2
.
Logo, a distância entre l1 e l2 é:
d(l1, l2) = d(P, l1) =
|a x0 + b y0 + c1|√
a2 + b2
=
|c1 − c2|√
a2 + b2
.
Finalmente, temos:
d(l1, l2) =
|c1 − c2|√
a2 + b2
2.14. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 63
O
d
Figura 2.33: A distância entre l1 e l2.
Exemplo 2.8.
[1] Determine a distância entre as retas 3x+ 4 y − 13 = 0 e 3x+ 4 y + 7 = 0.
Como a = 3, b = 4, c1 = −13 e c2 = 7, temos:
d(l1, l2) =
|c1 − c2|√
a2 + b2
= 4.
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 4
- 2
2
4
Figura 2.34: As retas do exemplo [1].
[2] Determine m tal que as retas mx + y = 12 e 4x − 3 y = m + 1 sejam paralelas; determine
sua distância.
A condição de paralelismo das retas é:
m
4
= −1
3
=⇒ m = −4
3
.
Logo, as equações são:
64 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
4x− 3 y + 36 = 0 e 4x− 3 y + 1
3
= 0.
A distância entre as retas é:
d =
|36− 1
3
|
√
16 + 9
∼= 7.1333.
-1- 2- 3- 4 1 2 3 4
Figura 2.35: As retas do exemplo [2].
2.15 Famílias de Retas
Uma família de retas paralelas é definida por:
{a x+ b y + k = 0 / k ∈ R},
com a e b fixados. O número k é dito parâmetro da família.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 2.36: Família de retas x− y + k = 0.
A família de retas perpendiculares à família a x+ b y + k = 0 é:
2.16. FAMÍLIAS DE RETAS QUE PASSAM PELA INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS 65
a y − b x+ k1 = 0.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 2.37: As famílias de retas x− y + k = 0 e y + x+ k1 = 0.
2.16 Famílias de Retas que passam pela Interseção de duas Retas
Sejam a família a x+ b y + k = 0, as retas a1 x+ b1 y + c1 = 0 e a2 x+ b2 y + c2 = 0 e o ponto de
interseção das retas P . A equação:
a1 x+ b1 y + c1 + k (a2 x+ b2 y + c2) = 0
representa todas as retas que passam pelo ponto P , exceto a reta a2 x+ b2 y + c2 = 0.
A importância desta equação é que podemos calcular a equação da reta que passa pela interse-
ção de duas retas dadas sem ter que determinar o ponto de interseção.
[1] Determine a equação da reta que passa pelo ponto (−2, 3) e pela interseção das seguintes
retas x+ 5 y + 2 = 0 e 3x+ 4 y − 5 = 0.
A família de retas que passam pela interseção das retas dadas é:
x+ 5 y + 2 + k (3x+ 4 y − 5) = 0.
Como o ponto (−2, 3) pertence á família, obtemos que k = −15, logo a equação da reta é:
4x+ 5 y − 7 = 0.
66 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
- 4 - 2 2 4
-1
1
2
3
4
Figura 2.38: Exemplo [1].
[2] Determine a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das seguintes retas x+4 y−
18 = 0 e x+ 2 y − 2 = 0 e tal que seja paralela a 3x+ 8 y + 1 = 0.
Considere:
x+ 4 y − 18 + k (x+ 2 y − 2) = 0⇐⇒ (k + 1)x+ (4 + 2 k) y − 18− 2 k = 0.
Por outro lado a reta deve ter inclinação −3
8
, logo, devemos ter:
− k + 1
4 + 2 k
= −3
8
=⇒ k = 2,
então:
x+ 4 y − 18 + 2 (x+ 2 y − 2) = 0⇐⇒ 3x+ 8 y − 22 = 0.
[3] Determine a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das seguintes retas 3x +
5 y + 26 = 0 e 7x− 11 y − 13 = 0 e tal que seja perpendicular a 7x+ 3 y − 9 = 0.
Considere:
3x+ 5 y + 26 + k (7x− 11 y − 13) = 0,
note que sua inclinação é:
m1 = − 3 + 7 k
5− 11 k ,
por outro lado a inclinação da reta 7x+ 3 y − 9 = 0 é m2 = −7
3
, como:
m1 ·m2 = −1 =⇒ k = −9
4
.
Logo, a equação da reta perpendicular é:
3x− 7 y − 13 = 0.
2.17. INTERSECÇÃO DE RETAS 67
- 4 - 2 2 4
- 6
- 4
- 2
2
4
6
Figura 2.39: Exemplo [3].
2.17 Intersecção de Retas
Sejam y = m1 x+ b1 e y = m2 x+ b2 duas retas, então, o sistema:{
y = m1 x+ b1
y = m2 x+ b2,
tem uma única solução se, e somente se as retas são não paralelalas, isto é, m1 6= m2; logo, seus
gráficos se intersectam num único ponto:
P =
( b2 − b1
m1 −m2 ,
b2m1 − b1m2
m1 −m2
)
.
Analogamente para a interseção de mais de duas retas. Veja os próximos capítulos.
Exemplo 2.9.
[1] Ache os pontos de interseção das retas 2x+ 8 y − 5 = 0 e −2x− 6 y + 9 = 0.
Temos o sistema: 
y = −x
4
+
5
8
y = −x
3
+
3
2
;
logo:
P =
(21
2
,−2).
68 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
5 10 15 20
- 4
- 2
2
Figura 2.40: Exemplo [1].
[2] Determine os vértices do triângulo de lados formados pelas retas y = 3x , y = 2 − x e
y = x− 5. Resolvemos o sistema:

(1) y = 3x
(2) y = 2− x
(3) y = x− 5.
Fazendo (1)=(2), temos x =
1
2
e y =
3
2
; fazendo (2)=(3), temos x =
7
2
e y = −3
2
e finalmente
fazendo (1)=(3), temos
x = −5
2
e y = −15
2
.
Logo, os vértices são:
(1
2
,
3
2
)
,
(7
2
,−3
2
)
e
(− 5
2
,−15
2
)
.
2.18. SEMIPLANOS 69
- 4 - 2 2 4
- 8
- 6
- 4
- 2
2
4
Figura 2.41: Exemplo [2].[3] A soma de dois números é 28 e sua diferença é de 12. Ache os números.
Denotemos por x e y os números; logo, devemos ter:{
x+ y = 28
x− y = 12
que tem solução x = 20 e y = 8.
[4] Dois anos atrás, um homem era seis vezes mais velho que sua filha. Em 18 anos ele terá o
dôbro da idade da sua filha. Determine sua idade atual.
Denotemos por x a idade atual do pai e y a idade atual da filha. A equação para a condição de
2 anos atrás:
x− 2 = 6 (y − 2) =⇒ x− 6 y = −10;
a equação para a condição de 18 anos:
x+ 18 = 2 (y + 18) =⇒ x− 2 y = 18.
Agora devemos resolver o sistema: {
x− 6 y = −10
x− 2 y = 18,
que tem solução x = 32 e y = 7.
2.18 Semiplanos
Considere a reta l de equação:
a x+ b y + c = 0,
70 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
tal que b > 0.
1. O ponto P = (x1, y1) está acima da reta l se:
a x1 + b y1 + c > 0.
2. O ponto Q = (x2, y2) está abaixo da reta l se:
a x2 + b y2 + c < 0.
l
QP
Figura 2.42: .
Isto é, uma reta determina duas regiões do plano chamadas semiplanos.
Exemplo 2.10.
[1] A reta y = x , determina os semiplanos:
x− y > 0 e x− y < 0.
2.18. SEMIPLANOS 71
- 4 - 2 2 4
- 4
- 2
2
4
Figura 2.43: Gráfico de x− y < 0.
[2] A reta 2x− y + 2 = 0, determina os semiplanos:
2x− y + 2 > 0 e 2x− y + 2 < 0.
- 4 - 2 2 4
- 4
- 2
2
4
Figura 2.44: Grafico de 2x− y + 2 > 0.
Veja os próximos capítulos.
72 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
2.19 Exercícios
1. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles:
(a) (4, 5); (−4,−5)
(b) (0, 6); (−3,−6)
(c) (−2,−3); (−8,−6)
(d) (5, 7); (−4, 3)
(e) (
√
2, 1); (0, 1)
(f) (−pi, 3); (3, pi)
(g) (−5, 9); (4,−7)
(h) (−1,−10); (10, 2)
(i) (−4, 5); (−4, 9)
(j) (2,
5
2
); (1, 3)
(k) (
√
225, 3); (15,
√
3)
2. Classifique os triângulos de vértices:
(a) (−2, 1), (2,−3) e (6, 5)
(b) (7, 0), (4, 1) e (6, 7)
(c) (−5,−3), (−7, 3) e (2, 6)
(d) (−1, 5), (1, 1) e (5,−1)
(e) (7, 8), (5, 2) e (0, 7)
(f) (1, 1), (6,−1) e (4,−6)
(g) (−5,−2), (0, 1) e (1, 2)
(h) (2, 4), (5,−6) e (7, 9)
3. Utilize a fórmula da distância para verificar se os pontos são colineares.
(a) (−4,−6), (1, 0) e (11, 12)
(b) (−2,−4), (3, 7/2) e (11, 12)
(c) (23, 30), (2, 3) e (10, 5)
(d) (2, 4), (−2, 3) e (3, 3)
(e) (−1/3,−3), (2, 4) e (5/2, 11/2)
(f) (−2, 1), (2, 2) e (10, 4)
4. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de um
retângulo são iguais.
5. Verifique que os seguintes pontos: (3,−3), (−3, 3) e (3√3, 3√3) são os vértices de um
triângulo equilátero.
6. Se (0, 0) e (a, 0) são vértices de um triângulo equilátero, determine o outro vértice.
7. Determine os pontos equidistantes dos pontos:
2.19. EXERCÍCIOS 73
(a) (0,−2) e (6, 4).
(b) (−16, 4) e (2, 6)
(c) (5, 9) e (−2,−10)
(d) (32, 4) e (−9, 7)
8. Determine k tal que (4, 0), (k, 0) e (0,−6) sejam os vértices de um triângulo retângulo com
o lado reto em (0, 6).
9. Área de um triângulo. Se os vértices de um triângulo são (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3),
verifique que a área do triângulo é dada por:
A =
1
2
∣∣y1 (x2 − x3) + y2 (x3 − x1) + y3 (x1 − x2)∣∣.
10. Calcule a área dos seguintes triângulos, de vértices:
(a) (−3, 0), (0,−3) e (0, 3)
(b) (−4, 2), (5, 4) e (2,−3).
(c) (−6,−6), (−2, 8) e (4, 2).
(d) (−3, 4), (5, 3) e (2, 0).
(e) (−4,−1), (−1, 2) e (1, 1)
11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:
(a) P1 = (3, 1); P2 = (5, 2)
(b) P1 = (1, 3); P2 = (2, 5)
(c) P1 = (−5, 3); P2 = (0, 4)
(d) P1 = (1,−1); P2 = (−1, 1)
(e) P1 = (2, 3); P2 = (4, 7)
(f) P1 = (1, 1); P2 = (−1,−1)
(g) P1 = (−1,−1); P2 = (2, 3)
(h) P1 = (−4, 1); P2 = (1,−1)
12. Ache a equação da reta que passa pelo ponto e inclinação dados:
(a) (−1, 2) e m = 4
(b) (3, 0) e m = −1/2
(c) (3, 7) e m = 0
(d) (4,−2) e m = 10
(e) (−1,−1) e m = −1
(f) (1, 2) e m não existe.
(g) (3, 2) e m = 2.
(h) (3, 2) e m = −2
74 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
13. Ache as equações das retas que passam pelo ponto dado e:
1) são paralelas às retas dadas,
2) são perpendiculares às retas dadas:
(a) (−3, 2), 3x− 7 y + 4 = 0
(b) (3,−2), 2x+ 5 = 0
(c) (−2, 3), 5x+ y + 1 = 0
(d) (0, 1), −x+ 4 y − 6 = 0
(e) (1, 2), x− 2 y + 6 = 0
(f) (0, 1), −7x+ 2 y − 3 = 0
14. Considere o quadrilátero com vértices em (−5, 0), (3, 2), (5,−8) e (−7,−6):
(a) Determine as medidas de suas diagonais.
(b) Verifique que os pontos médios formam um paralelogramo.
(c) Determine o perímetro do paralelogramo.
15. Determine a área do triângulo formado pela reta 3x−4 y−12 = 0 e os eixos coordenados.
16. Se os vértices de um triângulo são (0, 0), (4, 2) e (−2, 6), determine as equações das retas
que formam os lados do triângulo.
17. Obtenha a equação da reta paralela à reta 2x+ 3 y + 1 = 0 e que passa pelo ponto
P = (5,−2).
18. Ache a equação da reta perpendicular à reta 2x + 5 y − 1 = 0 e que passa pelo ponto
P = (1, 1).
19. Verifique que as retas 2x+ 3 y = 1 e 6x− 4 y − 1 = 0 são perpendiculares.
20. Determine k tal que as retas 2x− 4 y − k = 0 e 9x− 2 k y + 5 = 0 sejam perpendiculares.
21. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, 8/3) e pela interseção das retas
3x− 4 y − 2 = 0 e 9x− 11 y − 6 = 0.
22. Ache a distância do ponto à reta dada:
(a) (−1, 2), 3x− 4 y − 7 = 0
(b) (0, 1), 2x− 3 y − 11 = 0
(c) (0, 2), 12x− 5 y + 4 = 0
(d) (−3, 7), 4x+ 3 y − 5 = 0
(e) (3,−2), 2x+ 5 = 0
(f) (1,−3), −x+ 2 y − 3 = 0
2.19. EXERCÍCIOS 75
23. Determine a família de retas que são paralelas à reta 2x− 7 y + 2 = 0.
24. Determine a família de retas que são perpendiculares à reta 3x+ 2 y − 7 = 0
25. Determine k tal que uma reta da família de retas k x− y+ 8 = 0 passe pelo ponto (−2, 4).
Ache a equação da reta.
26. Determine k tal que a reta 2 y + k x − 11 = 0 passe pela intersecção de x + 2 y + 5 = 0 e
2x+ 3 y + 3 = 0.
27. Determine k tal que a reta 5x− 12 y + k = 0 diste 5 unidades da origem.
28. Determine k tal que a reta k x− y + 3√5 = diste 3 unidades da origem.
29. Determine a equação da reta que equidista das retas paralelas 12x− 5 y + 3 = 0 e
12x− 5 y − 6 = 0.
30. Determine k tal que uma reta da família de retas 3x − k y − 7 = 0 seja perpendicular a
7x+ 4 y − 11 = 0
31. Determine a equação da reta que passa pela intersecção das retas 3x + 2 y + 8 = 0 e
2x− 9 y − 5 = 0 e é paralela à reta 6x− 2 y + 11 = 0.
32. Determine a equação da reta que passa pela intersecção das retas 4x− y − 1 = 0 e
7x− 2 y = 0 e é perpendicular à reta 3x+ 8 y − 19 = 0.
33. Determine o ponto de intersecção das retas 9x+ 6 y − 14 = 0 e 3x− 6 y + 10 = 0.
34. Determine os vértices do triângulo de lados formados pelas retas −2x + 16 y − 4 = 0,
x− 2 y + 11 = 0 e −5x− 3 y − 1 = 0.
35. Se ao primeiro de dois números é adicionado duas vezes o segundo, o resultado é 21, mas
quando ao segundo número é adicionado duas vezes o primeiro o resultado é 18. Ache
os números.
36. Seis anos atrás, João tinha quatro vezes a idade de Maria. Em quatro anos, ele terá o
dôbro da idade de Maria. Determine a idade deles.
76 CAPÍTULO 2. A RETA NO PLANO
Capítulo 3
AS CÔNICAS
As cônicas (ou seções cônicas), são curvas planas obtidas pela interseção de um cone circular
reto com um plano. As curvas obtidas são ditas cônicas não degeneradas e recebem o nome de
círculos, parábolas, elipses e hipérboles.
Definição 3.1. Sejam F um ponto e L uma reta, no plano, tais que F /∈ L. Chama-se cônica o
seguinte subconjunto do plano:
C = {P / d(P, F ) = e · d(P,L)},
onde e > 0.
Equivalentemente:
Uma cônica é formada pelos pontos P (lugar geométrico), do plano que satisfazem:
d(P, F ) = e · d(P,L).
O ponto F é dito foco, a reta L é dita diretriz e o número e é dito excentricidade da cônica.
Definição 3.2. Dada uma cônica C :
1. Se e = 1, a cônica é chamada parábola.
2.