Aula 10_Diagramas de Fases

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DIAGRAMAS DE FASES 
Introdução 
 Diagramas de Fases, também chamados Diagramas de 
Equilíbrio são ferramentas importantes no estudo de materiais. 
 Os Diagramas de Fases definem as regiões de estabilidade das 
fases que podem ocorrer nos sistemas sob condições de pressão 
constante (atmosférica). 
 As interrelações entre as fases, a temperatura e a composição 
são mostrados para diagramas em condições de equilíbrio. 
 
 
Definições 
 Componentes: metais puros e/ou compostos que compõem uma liga. 
Ex. o latão é uma liga cobre-zinco, portanto os componentes são o Cu e 
o Zn. 
 Solução Sólida: consiste em uma mistura homogênea no estado sólido 
de pelo menos dois tipos diferentes de átomos. 
 Soluto: elemento ou composto que está presente em menor 
concentração em uma solução sólida. Os átomos de soluto ocupam 
posições substitutivas ou intersticiais no reticulado cristalino do 
solvente. 
 Solvente: elemento ou composto presente em maior concentração em 
uma solução sólida; também chamado de átomos hospedeiros. 
 Sistema: porção do universo que se seleciona para estudar (átomo, 
porção de líquido, barra metálica). No contexto dos diagramas está 
relacionado à série de possíveis ligas que consistem nos mesmos 
componentes, independente da composição, exemplo, o sistema Fe-C. 
Fases 
Fase pode ser definida como uma porção homogênea de um sistema 
que possui características físicas e químicas uniformes. 
 Todo material puro pode ser considerado como sendo uma fase, da 
mesma forma as soluções sólidas, líquidas e gasosas constituem uma 
fase. 
Liga Alumínio- 
Cobre 
a (fase escura) 
b (fase clara) 
Fases 
 Se mais de uma fase estiver presente em um sistema, 
cada fase terá suas próprias propriedades e existirá 
uma fronteira separando as fases, através da qual há 
uma mudança descontínua e abrupta nas características 
físicas e/ou químicas. 
 
 A maioria das ligas metálicas, sistemas cerâmicos, poliméricos e 
compósitos são constituídos de mais de uma fase, que interagem 
de tal maneira que a combinação das propriedades do sistema 
multifásico é diferente de qualquer uma das fases individuais e 
em geral mais atrativa. 
Equilíbrio de Fases 
Equilíbrio de Fases 
Equilíbrio de Fases 
Equilíbrio de Fases 
 Um sistema está em equilíbrio quando está no seu estado de maior 
estabilidade. 
 Termodinamicamente para P e T constantes um sistema fechado 
(massa e composição definidas) está em equilíbrio estável para o seu 
menor valor possível de Energia Livre de Gibbs, matematicamente: 
dG = 0 Eq. (3) 
 Pela eq. (1) o estado de maior estabilidade está relacionado com a 
combinação de baixa H e alta S. 
 Baixas T ⇒ Sólidos são estáveis porque têm ligações atômicas fortes 
reduzindo E (H) 
 Altas T ⇒ Predomina o termo ( -TS ) e as fase com maior mobilidade 
atômica (líquidos e gases) são mais estáveis 
Equilíbrio de Fases 
Equilíbrio de Fases 
Energia livre de Soluções Ideais 
A energia livre de um mol de solução ideal é dado por: 
As quantidades representam o aumento na 
energia livre quando um mol de A, ou de B, 
é dissolvido a T constante em uma 
quantidade muito grande de solução. 
 Energia livre de dois 
elementos puros em função da 
temperatura 
 Os valores da energia livre na 
temperatura indicada são 
inseridos no gráfico abaixo 
nas laterais esquerda e direita. 
 A linha tracejada representa o 
termo 
 
 Ou a energia livre da solução 
menos o termo relacionado à 
entropia 
Energia livre de Soluções Ideais 
O último termo é plotado na 
figura como a curva pontilhada 
na base da figura a partir da 3ª 
coluna da tabela ao lado. 
 
 
A energia livre da solução é a 
soma das duas curvas 
pontilhadas e é mostrada como 
a curva sólida na figura 
 
Determinação Gráfica das Energias Livres Parciais 
Molares 
 Supondo que se deseje 
determinar as energias livres 
parciais de uma solução com 
composição NA = 0,7 
 
 A energia livre total da solução é 
determinada pela reta 
perpendicular tracejada na 
figura. 
 
 As energias livres parciais são 
obtidas através da tangente à 
curva. Os interceptos com os 
eixos determinam os valores das 
energias livres parciais 
Determinação Gráfica das Energias Livres Parciais 
Molares 
Determinação Gráfica das Energias Livres Parciais 
Molares 
 A Figura ao lado mostra uma curva 
hipotética para um sistema de duas 
fases em uma temperatura em que as 
curvas de energia livre se interceptam 
– condição para a existência das duas 
fases em equilíbrio. 
 Essas curvas são função da 
temperatura 
 A P e T constantes, as composições 
das fases são fixas em uma mistura de 
duas fases em equilíbrio. 
 As energias livres parciais de cada 
componente são iguais em ambas as 
fases em equilíbrio. 
Determinação Gráfica das Energias Livres Parciais 
Molares 
As composições das duas fases devem ter valores correspondentes à 
intersecção da tangente comum com as duas curvas. 
Desde que há uma única tangente, as composições são dadas por: 
Sistema Isomorfos Binários 
 Um sistema isomorfo é o mais simples dos 
sistemas, no qual é observado apenas um 
tipo de estrutura cristalina para toda a faixa 
de composição. 
 Em um sistema isomorfo como o Cu-Ni, 
os elementos se combinam para formar 
uma única fase líquida e uma única fase 
sólida. 
 A área acima da linha liquidus corresponde 
à região de estabilidade da fase líquida 
 A área abaixo da linha solidus corresponde 
à região de estabilidade da fase sólida 
 Entre as linhas liquidus e solidus há uma 
região em que as duas fases coexistem 
 
Sistema Al2O3 – Cr2O3 
 Apresenta uma única solução líquida e outra sólida, separadas 
por um campo bifásico sólido-líquido 
 A solução sólida Al2O3 – Cr2O3 é do tipo substitucional na 
qual os íons Al3+ substituem os Cr3+ e vice versa. 
 Alta solubilidade: mesma valência, mesma estrutura cristalina e 
raios similares (0,053 e 0,062 nm) 
wt% Ni 20 40 60 80 100 0 
1000 
1100 
1200 
1300 
1400 
1500 
1600 
T(ºC) 
L (líquido) 
a 
 
(solução sólida 
CFC) 
Diagrama 
de equilíbrio 
Cu-Ni 
Determinação das fases presentes 
24 
• Regra 1: Se conhecemos T e Co, então conhecemos: 
 - quais fases estão presentes. 
• Exemplos: 
A(1100ºC, 60 %p Ni): 
 1 fase: a 
B (1250ºC, 35 %p Ni): 
 2 fases: L + a 
B
 (
1
2
5
0
º
C
,3
5
) 
 A(1100ºC,60) 
Adapted from Fig. 9.3(a), Callister & 
Rethwisch 8e. (Fig. 9.3(a) is adapted from 
Phase Diagrams of Binary Nickel Alloys, P. 
Nash (Ed.), ASM International, Materials 
Park, OH (1991). 
Na temperatura indicada no ponto y, a 
liga apresenta duas fases, líquido e 
sólido, cada uma com diferentes 
composições. 
As composições são determinadas da 
seguinte forma: 
 
-Traça-se uma linha horizontal 
(isoterma) no campo bifásico na 
temperatura de interesse. 
 
- A composição de cada fase é definida 
pela intersecção dessa linha com as 
linhas de contorno de fase (no caso 
linhas liquidus e solidus) 
Determinação da Composição das Fases 
Determinação da composição das fases 
26 
%p Ni 
20 
1200 
1300 
T(ºC) 
L (líquido) 
a 
(sólido) 
30 40 50 
sistema
Cu-Ni 
• Regra 2: Se conhecemos T e C0, então podemos determinar: 
 -- a composição de cada fase. 
• Exemplos: 
TA 
A 
35 
C0 
32 
CL 
Em TA = 1320ºC: 
 Somente Líquido (L) presente 
 CL = C0 
 ( = 35 %p Ni) 
A TB = 1250ºC: 
 Fases a e L presentes 
 CL = C liquidus ( = 32 %p Ni) 
 Ca = C solidus ( = 43 %p Ni) 
A TD = 1190ºC: 
 Soment Sólido (a) presente 
 Ca = C0 ( = 35 %p Ni) 
Considere C0 = 35 %p Ni 
D 
TD 
Linha de amarração 
4 
Ca 
3 
Adapted from Fig. 9.3(a), Callister & 
Rethwisch 8e. (Fig. 9.3(a) is adapted from 
Phase Diagrams of Binary Nickel Alloys, P. 
Nash (Ed.), ASM International, Materials 
Park, OH (1991). 
B 
TB 
Desenvolvimento da Regra da AlavancaDuas expressões relacionadas a conservação de massa 
Só duas fases presentes, então 
a soma de suas frações deve 
ser 1 
A massa de um dos componentes 
presente em ambas as fases debe ser 
igual à massa do componente na liga 
A solução simultânea das duas 
equações leva à regra da alavanca 
Determinação das Quantidades das Fases 
28 
• Regra 3: Se conhecemos T e C0, podemos determinar: 
 -- a fração em peso de cada fase. 
• Exemplos: 
Em TA : Só fase líquida (L) 
 WL = 1.00, Wa = 0 
Em TD : Só fase sólida, a 
 WL = 0, W a = 1.00 
%p Ni 
20 
1200 
1300 
T(ºC) 
L (líquido) 
a 
(sólido) 
3 0 4 0 5 0 
sistema
Cu-Ni 
TA 
A 
35 
C0 
32 
CL 
B 
TB 
D 
TD 
tie line 
4 
Ca 
3 
R S 
Em TB : Ambas as fases estão presentes 
73.0
3243
3543




= 0.27 
WL  
S 
R + S 
Wa  
R 
R + S 
Considere C0 = 35 %p Ni 
Adapted from Fig. 9.3(a), Callister & 
Rethwisch 8e. (Fig. 9.3(a) is adapted from 
Phase Diagrams of Binary Nickel Alloys, P. 
Nash (Ed.), ASM International, Materials 
Park, OH (1991). 
Composição das Fases durante o Resfriamento 
Durante a solidificação sob 
condições de equilíbrio, a 
composição das fases muda 
com a temperatura. 
A composição da fase líquida 
segue a curva liquidus. 
A composição da fase sólida 
segue a curva solidus. 
30 
Ex: Resfriamento da liga Cu-Ni 
%p Ni 
20 
120 0 
130 0 
3 0 4 0 5 0 
110 0 
L (líquido) 
a 
(sólido) 
T(ºC) 
A 
35 
C0 
L: 35wt%Ni 
Sistema
Cu-Ni 
• Diagrama de fase: 
 Sistema Cu-Ni 
Adapted from Fig. 9.4, 
Callister & Rethwisch 8e. 
• Considere as 
modificações 
microestruturais que 
acompanham o 
resfrimento de uma liga 
com 
 C0 = 35 %p Ni 
46 35 
43 
32 
a: 43 wt% Ni 
L: 32 wt% Ni 
B a: 46 wt% Ni 
L: 35 wt% Ni 
C 
E 
L: 24 wt% Ni 
a: 36 wt% Ni 
24 36 
D 
Sistema isomorfo do ponto de vista da energia livre 
 Em um sistema de liga como o Cu-Ni, os átomos dos componentes são 
muito similares tal que pode-se assumir, que eles formam uma solução 
ideal tanto na fase líquida quanto na sólida. 
 Vamos considerar o sistema Cu-Ni na temperatura de fusão do Ni 
puro, 1455°C. Nesta temperatura, as energias livres do Ni puro líquido e 
sólido se igualam. 
 Para qualquer outra composição nesta temperatura, a fase líquida é a 
estável, e então sua energia deve ser menor que a da fase sólida. 
 
Sistema isomorfo do ponto de vista da energia livre 
 Com a diminuição da temperatura a um valor ainda superior ao do 
ponto de fusão do Cu puro, a curva da energia livre do líquido será 
deslocada para cima em direção à curva da fase sólida. 
 As duas curvas se interceptam em alguma composição intermediária. 
 A tangente comum às duas curvas, define as composições 62% de Cu 
para fase sólida e 78% de Cu para fase líquida 
 
Máximo e Mínimo 
 As curvas ao lado mostram a 
sequência de formação de um 
mínimo 
 A curva da fase sólida tem menor 
curvatura que a da fase líquido, com 
a diminuição da temperatura, Tc, as 
duas curvas se tangenciam em um 
ponto mínimo. 
 Neste exemplo, em temperaturas 
como Tb, é possível traçar duas 
tangentes, que determinam duas 
regiões de equilíbrio das duas fases 
do diagrama de fases. 
 
Máximo e Mínimo 
 As curvas ao lado mostram a 
sequência de formação de um máximo. 
 Aqui a curva da fase sólida tem 
maior curvatura. 
 Quando os contornos das regiões 
bifásicas se interceptam, em um 
máximo ou mínimo, ambas as curvas 
são tangentes uma a outra e a uma 
isoterma. 
 Esses pontos são chamados pontos 
congruentes 
 Nos pontos congruentes a 
solidificação ocorre sem mudança de 
composição ou temperatura, similar a 
de um metal puro. 
 
Gap de Miscibilidade 
 No diagrama Au-Ni, a região abaixo da 
linha curva que ocupa a região central 
inferior do diagrama, é chamada gap de 
miscibilidade. 
 Nessa região, duas fases a1 e a2 são 
estáveis. Ambas as fases são cúbicas de 
face centrada, mas diferem em 
propriedades. 
 A condição necessária para a formação 
do gap de miscibilidade é que ambos os 
componentes cristalizem na mesma 
estrutura, e haver uma tendência de átomos 
de mesmo tipo segregar no estado sólido. 
 O gap de miscibilidade pode ser 
considerado como duas linhas solvus que 
se encontram na parte superior 
Sistemas Eutéticos Binários 
Binários: dois componentes 
Eutético: tem uma composição 
especial com um mínimo na 
temperatura de fusão 
Na maioria dos sistemas de ligas, os 
componentes são parcialmente 
miscíveis no estado sólido. 
Ou seja, as soluções sólidas só 
existem sobre um limitado intervalo 
de composição e temperatura. 
Entre os limites de solubilidade, a 
liga no estado sólido apresenta duas 
fases distintas. 
• TE : Nenhum líquido abaixo de TE 
: Composição na 
 temperatura TE 
• CE 
 
CE 
TE • Reação Eutética 
 L(CE)  a(CaE) + b(CbE) 
 
 Cu) wt%2.09( Cu) wt%.88( Cu) wt%1.28( ba L
resfriamento 
aquecimento 
 Ag) wt%.08( Ag) wt%1.29( Ag) wt%9.71( ba L
resfriamento 
aquecimento 
Sistemas Eutéticos 
Sistema Cu2O – PbO 
 Os dois componente do sistema são miscíveis totalmente no estado 
líquido 
 São totalmente imiscíveis no estado sólido e formam o composto 
Cu2O.PbO 
 Esse composto se 
dissocia a 580°C nos 
sólidos Cu2O e PbO 
Exemplo: sistema cerâmico 
Sistema MgO – Al2O3 
 Há uma fase intermediária, chamada spinélio – MgAl2O4 (há um 
intervalo de composições sobre a qual esse composto é estável) 
 Há limitada solubilidade de Al2O3 em MgO abaixo de 1400°C 
(diferença entre cargas e raios dos íons Mg2+ e Al3+ (0,072 x 0,053 nm) 
Exemplo: sistema cerâmico 
 Pelas mesmas razões MgO é 
insolúvel em Al2O3 
 Há dois eutéticos. 
Sistema SiO2 – Al2O3 
 Sistema comercialmente importante – cerâmicas refratárias 
 A fase polimórfica da sílica estável nessas temperatura é chamada 
cristobalita 
Exemplo: sistema cerâmico 
 Sílica e alumina não são 
solúveis entre si – não há 
soluções sólidas terminais. 
 Os dois óxidos reagem e 
forma um composto 
denominado mulite (mulita) 
3Al2O3.2SiO2 
 O sistema apresenta um 
eutético a 1587°C e 7,7%p 
Al2O3. 
43 
EX 1: Sistema Eutético Pb-Sn 
L + a 
L + b 
a + b 
200 
T(ºC) 
18.3 
C, wt% Sn 
20 60 80 100 0 
300 
100 
L (liquid) 
a 
183ºC 
61.9 97.8 
b 
• Para uma liga com 40 %pSn e 60 %p Pb a 150ºC, determine: 
 -- as fases presentes 
sistema
Pb-Sn Resposta: a + b 
-- a composição das fases 
-- a quantidade 
relativa das fases 
150 
40 
C0 
 
11 
Ca 
 
99 
Cb 
 
S R 
Resposta: Ca = 11 wt% Sn 
 Cb = 99 wt% Sn 
W 
a 
= 
Cb - C0 
Cb - Ca 
= 
99 - 40 
99 - 11 
= 
59 
88 
= 0.67 
S 
R+S 
= 
W b = 
C0 - Ca 
Cb - Ca 
= 
R 
R+S 
= 
29 
88 
= 0.33 = 
40 - 11 
99 - 11 
Resposta: 
Adapted from Fig. 9.8, 
Callister & Rethwisch 8e. 
44 
EX 2: Sistema Eutético Pb-Sn 
Resposta: Ca = 17 wt% Sn 
-- as composições das fases: 
L + b 
a + b 
200 
T(ºC) 
C, wt% Sn 
20 60 80 100 0 
300 
100 
L (liquid) 
a 
 b 
L + a 
183ºC 
• Para uma liga com 40 %pSn e 60 %p Pb a 220ºC, determine: 
 -- as fases presentes: 
Pb-Sn 
system 
-- a quantidade 
relativa das fases 
W a = 
CL - C0 
CL - Ca 
= 
46 - 40 
46 - 17 
= 
 6 
29 
= 0.21 
WL = 
C0 - Ca 
CL - Ca 
= 
23 
29 
= 0.79 
40 
C0 
 
46 
CL 
 
17 
Ca 
 
220 
S R 
 Resposta: a + L 
 CL = 46 wt% Sn 
Resposta: 
Adapted from Fig. 9.8, 
Callister & Rethwisch 8e. 
Microestrutura Eutética 
A medida que cobre é adicionado à prata a temperatura de fusão da liga vai 
diminuindo até atingir 779°C para a composição de 28,1 % de Cu. 
O líquido solidifica gerando 
uma mistura das fases a e b. 
A transformação ocorre em 
uma única temperatura, há 
um curto tempo para difusão, 
limitado movimento atômico e 
portanto uma microestrutura 
fina resulta. 
A essa composição e 
temperatura a ligasofre uma 
reação em que a fase líquida 
é transformada em duas fases 
sólidas a e b. 
Essa reação é chamada 
reação eutética. Essa reação 
é uma das reações invariantes 
pois sempre ocorre para a 
mesma composição e 
temperatura para cada 
sistema de liga. 
Após a transformação, a 
composição da fase a é 
8,8% de Cu e a da fase b é 
92% de Cu. 
Microestrutura Eutética 
Da regra da alavanca, 
a razão de fase b para 
fase a na mistura 
eutética é de 2:7. 
Microestrutura Eutética 
Acima da linha liquidus, a 
liga está na fase líquida. 
A 820°C, a fase a começa a 
aparecer. Como é o 
primeiro sólido a aparecer é 
chamada fase primária. 
Microestrutura Hipoeutética 
Microestrutura Hipoeutética 
Com a continuidade do 
resfriamento, a proporção da 
fase primária aumenta para 
cerca de 40% na temperatura 
eutética 
Microestrutura Hipoeutética 
A composição da fase 
primária a aumentou para 
9% de Cu. 
A composição do líquido é 
igual a composição do 
eutético de 28,1% de Cu. 
Para temperaturas abaixo 
da eutética, o líquido 
remanescente solidifica 
em uma microestrutura 
eutética composta pelas 
fases a e b 
Microestrutura Hipoeutética 
Microestrutura Hipoeutética 
54 
• Para ligas para as quais: 18.3 wt% Sn < C0 < 61.9 wt% Sn 
• Resultado: partículas de fase a e um microconstituinte eutético 
18.3 61.9 
S R 
97.8 
S R 
primary a 
eutectic a 
eutectic b 
WL = (1- W a ) = 0.50 
Ca = 18.3 wt% Sn 
CL = 61.9 wt% Sn 
S 
R + S 
Wa = = 0.50 
• Justo acima de TE : 
• Justo abaixo de TE : 
C a = 18.3 wt% Sn 
C b = 97.8 wt% Sn 
S 
R + S 
W a = = 0.73 
W b = 0.27 
Adapted from Fig. 9.16, 
Callister & Rethwisch 8e. 
Sistema 
Pb-Sn 
L + b 200 
T(ºC) 
C, wt% Sn 
20 60 80 100 0 
300 
100 
L 
a 
b 
L + a 
40 
a + b 
TE 
L: C0 wt% Sn L a 
L 
 a 
55 
Hipoeutético & Hipereutético 
L + a 
L + b 
a + b 
200 
C, wt% Sn 20 60 80 100 0 
300 
100 
L 
a 
 b 
TE 
40 
(Sistema Pb-Sn) 
Adapted from Fig. 9.8, 
Callister & Rethwisch 8e. 
(Fig. 10.8 adapted from 
Binary Phase Diagrams, 
2nd ed., Vol. 3, T.B. 
Massalski (Editor-in-Chief), 
ASM International, 
Materials Park, OH, 1990.) 
160 mm 
Microconstituinte eutético 
Adapted from Fig. 9.14, 
Callister & Rethwisch 8e. 
hipereutético: (ilustração) 
b 
b 
b 
b 
b 
b 
Adapted from Fig. 9.17, 
Callister & Rethwisch 8e. 
(Illustration only) 
(Figs. 9.14 and 9.17 
from Metals 
Handbook, 9th ed., 
Vol. 9, Metallography 
and Microstructures, 
American Society for 
Metals, Materials 
Park, OH, 1985.) 
175 mm 
a 
a 
a 
a 
a 
a 
hipoeutético: C0 = 50 wt% Sn 
Adapted from 
Fig. 9.17, Callister & 
Rethwisch 8e. 
T(ºC) 
61.9 
eutectic 
eutético: C0 = 61.9 wt% Sn 
Microestrutura fora do Eutético 
Esta liga tem uma composição que está fora do intervalo de composição 
eutética. 
Acima da linha liquidus a 
liga existe como uma única 
fase líquida. 
A 910°C a fase primária a 
começa a se formar. 
Abaixo da linha solidus não 
ocorre mais nenhuma 
transformação até que a 
linha solvus seja alcançada. 
Aqui a fase a torna-se 
saturada em Cu. 
A quantidade de fase 
primáriaa aumenta para 
100% na temperatura 
solidus de 840°C. 
A composição da fase a 
agora é a mesma da liga. 
 
 Abaixo de 740°C, a fase 
b rica em Cu começa a 
precipitar. Isto ocorre 
com frequência em 
contornos de grãos. 
Microestrutura fora do Eutético 
Outras Reações Invariantes 
Eutético & Peritético 
60 
Diagrama de fase Cu-Zn 
Adapted from Fig. 9.21, 
Callister & Rethwisch 8e. 
Transformação Eutetóide   +  
Transformação Peritética  + L  
Monotéticas 
As reações monotéticas representam outra forma de transformação 
envolvendo três fases na qual uma fase líquida se transforma em uma 
fase sólida e uma fase líquida de composição diferente. 
 
A transformação monotética está relacionada com um gap de 
miscilibidade no estado líquido 
Monotéticas 
Fases Intermediárias 
 Fases intermediárias também são 
comuns em diagramas de fases. 
 O sistema Ag-Mg possui cinco fases 
sólidas das quais, duas são soluções 
sólidas terminais. As outras 3 Ag3Mg, b’ e 
 são fases intermediárias estáveis em um 
intervalo de composição e portanto são 
soluções sólidas. 
 b’ é uma solução sólida ordenada, 
estável até a fusão. 
 O campo de b’ é limitado na parte 
superior por um máximo 
 O limite superior do campo 
monofásico da fase  termina em um 
ponto peritético a 492°C e 75 %at Mg 
Fases Intermediárias 
 Muitas fases intermediárias tem 
campos que são linhas verticais. 
Essas fases são chamadas 
compostos intermetálicos. 
 Fases intermediárias do tipo 
composto são formadas durante a 
solidificação da mesma maneira 
que as soluções sólidas, por reações 
congruentes ou peritéticas. 
 Exemplos são vistos no 
diagrama Mg-Ni 
 
Compostos Intermetálicos 
65 
Compostos intermetálicos existem como linhas no diagrama não como 
área devido à estequiometria (i.e. a composição de um composto tem 
um valor fixo). 
Adapted from 
Fig. 9.20, Callister & 
Rethwisch 8e.