Introdução ao Cálculo Numérico

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Introdução 
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1 INTRODUÇÃO 
 A área de estudo interessada na obtenção de modelos e técnicas computacionais para análise e 
solução de problemas é nome ada por Cálculo numérico, métodos numéricos, engenharia assistida por 
computador, projeto assistido por computador, computer aided engineering (CAE), computer aided design 
(CAD), matemática computacional e computação científica. 
 
 Modelagem e simulações computacionais são utilizadas quando a solução analítica de um problema 
não é possível ou muito complicada ou quando a aproximação do fenômeno real é muito exigida. Outros 
aspectos que motivam o uso de modelagens e simulações são a redução de custos para realização de ensaios 
ou de provas, bem como a necessidade da repetitividade de resultados ou o estudo de situações críticas. 
 
 A figura apresenta, de forma simplificada, as etapas para solucionar um problema de um fenômeno 
qualquer. 
 
 
Figura 1 
 
 O esquema da figura 1 mostra duas etapas fundamentais para a solução de um problema: 
 
I. Modelagem do problema: etapa inicial que consiste na representação do problema por um modelo 
matemático conveniente, respeitando as teorias das área específicas que originaram o problema. 
II. Resolução do modelo: etapa caracterizada pela busca de uma solução para o modelo matemático 
obtido na fase de modelagem utilizando métodos numéricos específicos para atingir o objetivo. 
 
 No entanto, a resolução de modelos matemáticos obtidos na modelagem de problemas reais de 
diversas áreas é muitas vezes complexa e envolve fenômenos não-lineares, podendo tornar impossível a 
descoberta de uma solução analítica para o problema dado. Nestes casos, e/ou quando for possível aceitar 
soluções aproximadas para os problemas reais, os métodos numéricos são ferramentas importantes para sua 
solução. 
 Para compreender melhor e diferenciar os métodos analíticos dos métodos numéricos, vejamos 
agora dois exemplos simples característicos. 
 
1º Caso: Um método analítico para determinar (quando existem) as raízes reais de uma função 
quadrática   2f x ax bx c   , com a 0 é dado pela fórmula de Bhaskara, a saber: 
 
2b b 4ac
x
2a
  
 
Desse modo, os zeros reais de   2f x x 5x 6   são 
 
  2
1
5 5 4 1 6
x 2
2
 
  e 
  25 5 4 1 6
x 3
2
 
  
 
 
Cálculo Numérico 
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2º Caso: Um método numérico para determinar uma aproximação para a raiz quadrada de um número 
real p, maior que 1, é o algoritmo de Eudoxo: 
 
Do fato que p 1 , temos que 1 p p  . 
Escolhe-se, como uma primeira aproximação para p ,  0x 1 p 2  , ou seja, a média 
aritmética entre 1 e p . Pode-se mostrar que 
0
p
0x
p x  . 
Escolhe-se como uma nova aproximação  
0
p
1 0x
x x 2  , isto é, a média aritmética entre 
0
p
x
e 
0x . Novamente, pode-se mostrar que 
1
p
1x
p x  . 
Continuando desse modo, podemos construir uma sequência de aproximações dada por: 
 
 
n
n 1
n 1
1 p 2 se n 0
x p
x 2 se n 1
x


  

  
  
 
 
 
 A tabela a seguir fornece os valores de algumas aproximações para 2 obtidas pelo 
algoritmo de Eudoxo. Para que se possa avaliar a precisão das aproximações, são fornecidos 
também os quadrados dessas aproximações. Trabalhando com 14 dígitos depois do ponto 
decimal, é possível observar que, na quinta aproximação, 4x temos, ,4x 2 00000000000000 . 
 
 
Tabela 1. Algoritmo de Eudoxo para 2 
 
 
 De modo geral pode-se dizer que o cálculo numérico tem por objetivo estudar técnicas numéricas ou 
métodos numéricos para obter soluções de problemas reais que possam ser representados por modelos 
matemáticos, ou seja, o cálculo numérico busca produzir respostas numéricas para problemas matemáticos. 
0 1,50000000000000 2,25000000000000
1 1,41666666666667 2,00694444444444
2 1,41421568627451 2,00000600730488
3 1,41421356237469 2,00000000000451
4 1,41421356237309 2,00000000000000
5 1,41421356237309 2,00000000000000
6 1,41421356237309 2,00000000000000