Atividade calculo vetorial resolvida

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA – DEMA0039 – 4 
CRÉDITOS – 60h 
PERÍODO: 2020.1 
PROFESSOR: MARCOS DENILSON GUIMARÃES 
ALUNO: ____________________________________________ DATA: ___/___/___ 
 
ATIVIDADE 2.1 
 
 
1) Determine o ponto da reta 𝑟: {
𝑥 = 2 − 𝑡
𝑦 = 3 + 𝑡
𝑧 = 1 − 2𝑡
 que tem abscissa 4. 
Solução: 
Ter abscissa 4 significa dizer que 𝑥 = 4. Agora, basta fazer as devidas substituições: 
𝑥 = 2 − 𝑡 → 4 = 2 − 𝑡 → 𝑡 = 2 − 4 → 𝑡 = −2
𝑦 = 3 + 𝑡 → 𝑦 = 3 + (−2) → 𝑦 = 3 − 2 → 𝑦 = 1
𝑧 = 1 − 2𝑡 → 𝑧 = 1 − 2(−2) → 𝑧 = 1 + 4 → 𝑧 = 5
. Logo o ponto procurado é 𝑃(4, 1, 5). 
 
2) O ponto 𝑃(2, 𝑦, 𝑧) pertence à reta determinada por 𝐴 (3, −1, 4) e 𝐵(4, −3, −1). Calcule 
𝑃. 
 
Solução: 
Inicialmente vamos determinar as equações da reta desejada. Como essa reta é determinada 
pelos pontos 𝐴 e 𝐵, o vetor diretor dela é dado por �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1, −2, −5). Logo, as 
equações da reta são: 𝑟: {
𝑥 = 3 + 1𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
𝑧 = 4 − 5𝑡
. Do fato de 𝑃(2, 𝑦, 𝑧) pertencer a essa reta, temos: 
{
2 = 3 + 1𝑡 → 2 − 3 = 𝑡 → 𝑡 = −1
𝑦 = −1 − 2𝑡 → 𝑦 = −1 − 2(−1) → 𝑦 = −1 + 2 → 𝑦 = 1
𝑧 = 4 − 5𝑡 → 𝑧 = 4 − 5(−1) → 𝑧 = 4 + 5 → 𝑧 = 9
. Assim, o ponto procurado tem 
coordenadas 𝑃(2, 1,9). 
 
3) Determinar as equações reduzidas, tendo 𝑧 como variável independente, da reta que passa 
pelos pontos 𝑃1(−1, 0, 3) e 𝑃2(1, 2, 7). 
 
Solução: 
A reta que passa pelos pontos determinados tem como vetor diretor o vetor 
�⃗� = 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 = (2, 2, 4). Em seguida, passemos a determinar as suas 
equações simétricas: 
𝑥−𝑥1
𝑎
=
𝑦−𝑦1
𝑏
=
𝑧−𝑧1
𝑐
→
𝑥+1
2
=
𝑦−0
2
=
𝑧−3
4
. Dessas equações, resultam que: 
 
𝑥+1
2
=
𝑧−3
4
→ 4(𝑥 + 1) = 2(𝑧 − 3) → 4𝑥 + 4 = 2𝑧 − 6 → 4𝑥 = 2𝑧 − 10 → 
𝑥 =
1𝑧
2
−
5
2
. 
E de 
𝑦−0
2
=
𝑧−3
4
→ 4𝑦 = 2(𝑧 − 3) → 4𝑦 = 2𝑧 − 6 → 𝑦 =
1𝑧
2
−
3
2
. 
 
4) Qual deve ser o valor de 𝑚 para que os pontos 𝐴(3, 𝑚, 1), 𝐵(1, 1, −1) 𝑒 𝐶(−2, 10, −4) 
pertençam à mesma reta? 
 
Solução: 
A condição para que três pontos estejam na mesma reta é que os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
sejam colineares, isto é: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−2, 1 − 𝑚, −2) e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 =
(−5, 10 − 𝑚, −5). Como esses pontos são colineares, as suas coordenadas devem ser 
proporcionais, ou seja, 
−2
−5
=
1−𝑚
10−𝑚
=
−2
−5
. Então, 
 
−2
−5
=
1−𝑚
10−𝑚
→ −5(1 − 𝑚) = −2(10 − 𝑚) → −5 + 5𝑚 = −20 + 2𝑚 → 
5𝑚 − 2𝑚 = −20 + 5 → 3𝑚 = −15 → 𝑚 = −5. 
 
5) Determine as equações da reta que passa por 𝐴(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo 
aos eixos dos 𝑥 e dos 𝑦. 
 
Solução: 
Se a reta que passa por A é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos 𝑥 e dos 𝑦, logo seu vetor 
diretor é dado por �⃗� = (0, 0, 𝑐), ou seja, suas equações são da forma {
𝑥 = 2 + 0. 𝑡
𝑦 = 3 + 0. 𝑡
𝑧 = 4 + 𝑐𝑡
 ou {
𝑥 = 2
𝑦 = 3
. 
Note também que, como duas das componentes do vetor diretor são nulas, �⃗� = (0, 0, 𝑐) ∥ �⃗⃗�, 
e, portanto, a reta é paralela ao eixo de �⃗⃗�, ou seja, 𝑟 ∥ 𝑂𝑧. 
 
6) Represente graficamente as retas cujas equações são: 
a) {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 3 − 𝑡
𝑧 = 2𝑡
 e b) {
𝑦 = −3𝑥 + 6
𝑧 = −𝑥 + 4
 
 
Solução: 
 
 
7) Determine o valor de 𝑛 para que seja de 30° o ângulo que a reta 𝑟: {
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 3
 forma 
com o eixo dos 𝑦. 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula cos 𝜃 =
|𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗|
|𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗| |𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗|
→ cos 30° =
|(1, 𝑛, 2) . (0, 1, 0)|
√1+𝑛2+4 √0+1+0
→
√3
2
=
√𝑛2
√𝑛2+5
 
√3
2
=
𝑛
√𝑛2 + 5
→ 2𝑛 = (√3(𝑛2 + 5) → (2𝑛)2 = ((√3(𝑛2 + 5))
2
→ 4𝑛2 = 3𝑛2 + 15 
→ 𝑛2 = 15 → 𝑛 = ±√15. 
 
8) Calcule o ponto de interseção das retas 𝑟: {
𝑦 = −5
𝑧 = 4𝑥 + 1
 e 𝑠:
𝑥−1
2
=
𝑧−5
−3
; 𝑦 = −5. 
 
Solução: 
Como se trata de calcular o ponto de interseção, basta substituir o valor de 𝑧 da primeira reta 
na segunda. Ou seja, 
 
𝑥−1
2
=
𝑧−5
−3
→
𝑥−1
2
=
(4𝑥+1)−5
−3
→
𝑥−1
2
=
4𝑥−4
−3
→ 
2(4𝑥 − 4) = −3(𝑥 − 1) → 8𝑥 − 8 = −3𝑥 + 3 → 8𝑥 + 3𝑥 = 3 + 8 → 11𝑥 = 11 
→ 𝑥 = 1. Logo, o ponto de interseção é dado por 𝑃(1, −5, 5). 
 
9) Sejam as retas 𝑟: {
𝑥 = 2 + 3𝑡
𝑦 = 4 + 5𝑡
𝑧 = 𝑚𝑡
 e 𝑠: {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑧 =
𝑥
2
−
3
2
, determine o valor de 𝑚 para que 𝑟 e 𝑠 
sejam concorrentes. 
 
Solução: 
Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Da 
reta 𝑟 temos que: 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 5, 𝑚) 𝑒 𝐴1 = (2, 4, 0). E da reta 𝑠, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 2,
1
2
) 𝑒 𝐴2 =
(1, 3, −1). Além disso, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝐴2 − 𝐴1 = (−1, −1, −1). Para que essas retas sejam 
concorrentes, (𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗) = 0 → |
3 5 𝑚
1 2 1 2⁄
−1 −1 −1
|
3 5
1 2
−1 −1
= 0 → 
−6 −
5
2
− 𝑚 + 2𝑚 +
3
2
+ 5 = 0 → 𝑚 − 6 − 1 + 5 = 0 → 𝑚 − 2 = 0 → 𝑚 = 2. 
 
10) Calcule a distância do ponto 𝑃(1, , 2, 3) à reta 𝑟: {
𝑥 = 1 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 2 − 𝑡
. 
Solução: 
Como a distância de ponto à reta é dada pela fórmula: 𝑑 = 𝑑(𝑃, 𝑟) =
|�⃗⃗� 𝑥 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|�⃗⃗�|
. Assim, 
𝐴(1, 0, 2) 𝑒 �⃗� = (−2, 2, −1). Desse modo, 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (0, 2, 1). Logo, 
 |�⃗� 𝑥 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
−2 2 −1
0 2 1
|
𝑖 𝑗
−2 2
0 2
= 2𝑖 − 0𝑗 − 4�⃗⃗� − 0�⃗⃗� + 2𝑖 + 2𝑗 = (4, 2, −4). 
Portanto, 𝑑(𝑃, 𝑟) =
|�⃗⃗� 𝑥 𝐴𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|�⃗⃗�|
=
√16+4+16
√4+4+1
=
√36
√9
=
6
3
= 2. 
 
11) Calcular a distância entre as retas 𝑟: {
𝑥 = 3
𝑦 = 2
 e 𝑠: {
𝑥 = 1
𝑦 = 4
. 
 
Solução: 
Observem que as retas são paralelas ao eixo �⃗⃗�, ou seja, 𝑟 ∥ 𝑂𝑧. Notem também que elas são 
paralelas, pois 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗. De 𝑟, temos que: 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 0, 1) 𝑒 𝐴1 = (3, 2, 1). Já de 𝑠, vem que: 
𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 0, 1) 𝑒 𝐴2 = (1, 4, 1). Logo, 
 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝐴2 − 𝐴1 = (−2, 2, 0) 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
0 0 1
−2 2 0
|
𝑖 𝑗
0 0
−2 2
= −2𝑗 − 2𝑖 =
(−2, −2, 0). Portanto, 𝑑(𝑟, 𝑠) = 𝑑(𝐴1, 𝑠) =
|𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗|
=
√4+4+0
√0+0+1
= √8 = √4. 2 = 2√2. 
 
12) Seja o plano 𝜋: 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 4 = 0. Calcule: 
a) O ponto deste plano que tem abscissa 1 e ordenada 3; 
b) O ponto deste plano que tem abscissa 0 e cota 2; 
c) O valor de 𝑘 para que o ponto 𝑃(𝑘, 2, 𝑘 − 1) pertença a 𝜋; 
d) O valor de 𝑘 para que o plano 𝜋1: 𝑘𝑥 − 4𝑦 + 4𝑧 − 7 = 0 seja paralelo a 𝜋. 
 
Solução: 
a) Basta substituir 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3, logo 3(1) + 3 − 𝑧 − 4 = 0 → 3 + 3 − 4 = 𝑧 → 𝑧 = 2. 
Logo, o ponto procurado é 𝑃(1, 3, 2). 
b) Basta substituir 𝑥 = 0 𝑒 𝑧 = 2, logo 3(0) + 𝑦 − (2) − 4 = 0 → 0 + 𝑦 − 6 = 0 → 𝑦 =
6. Logo, o ponto procurado é 𝑃(0, 6, 2). 
c) Para que o ponto (𝑘, 2, 𝑘 − 1) pertença a 𝜋, ele deve satisfazer a equação do plano. Logo, 
3(𝑘) + 2 − (𝑘 − 1) − 4 = 0 → 3𝑘 + 2 − 𝑘 + 1 − 4 = 0 → 2𝑘 − 1 = 0 → 𝑘 = 1 2⁄ . 
d) Para que os planos sejam paralelos, 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗. Como 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 1, −1) 𝑒 𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑘, −4, 4), 
suas componentes devem ser proporcionais. Isto é, 
3
𝑘
=
1
−4
=
−1
4
. De 
3
𝑘
=
1
−4
→ 𝑘 = −12. 
 
13) Determine uma equação geral do plano paralelo ao plano 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 5 = 0 e que 
contenha o ponto 𝐴(−1, 2, 3). 
 
Solução: 
𝜋1 ∥ 𝜋, o vetor 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −3, −1) normal a 𝜋 é também normal a 𝜋1. Logo, 
 𝜋1: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0. Como 𝐴 ∈ 𝜋, 
 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0 → 2(−1) − 3(2) − (3) + 𝑑 = 0 → 
−2 − 6 − 3 + 𝑑 = 0 → −11 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = 11. Portanto, 𝜋1: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 11 = 0. 
 
14) Sendo {
𝑥 = 1 + ℎ − 2𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
𝑧 = 4 + 2ℎ − 2𝑡
equações paramétricas de um plano 𝜋, obter uma equação geral. 
 
Solução: 
Dessas equações paramétricas, temos que sua equação vetorial é dada por: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 1, 4) + ℎ(1, 0, 2) + 𝑡(−2, −1, −2). 
Disso, �⃗⃗� = (1, 0, 2) 𝑒 �⃗� = (−2, −1, −2). Como o vetor �⃗⃗� 𝑥 �⃗� é simultaneamente ortogonal a 
�⃗⃗� e �⃗�, ele é um vetor normal ao plano. Portanto, 
�⃗⃗� 𝑥 �⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
1 0 2
−2 −1 −2
|
𝑖 𝑗
1 0
−2 −1
= −4𝑗 − 1�⃗⃗�+ 2𝑖 + 2𝑗 = (2, −2, −1). Assim, o plano 
𝜋: 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0. Como (1, 1, 4) pertence à reta, 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0 → 
2(1) − 2(1) − (4) + 𝑑 = 0 → 2 − 2 − 4 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = 4. Logo, 
 𝜋: 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 4 = 0 
 
15) Determine uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: 𝐴(4, 3, 2) e 
{
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = 3 + 2𝑡
. 
 
Solução: 
A reta passa pelo ponto 𝐵(0, 2, 3) e tem a direção do vetor �⃗� = (1, −1, 2). Os vetores-base 
são �⃗� e 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Sendo A (ou B) um ponto fixo desse plano e 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) um ponto genérico, 
devemos ter (𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗�, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = 0. Basta agora calcularmos 
 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥 − 4, 𝑦 − 3, 𝑧 − 2) 𝑒 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−4, −1, 1). Com isso, calcular 
(𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗�, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) = 0 → |
𝑥 − 4 𝑦 − 3 𝑧 − 2
1 −1 2
−4 −1 1
|
𝑥 − 4 𝑦 − 3
1 −1
−4 −1
= 0 → 
−(𝑥 − 4) − 8(𝑦 − 3) − (𝑧 − 2) − 4(𝑧 − 2) + 2(𝑥 − 4) − (𝑦 − 3) = 0
→ −𝑥 + 4 − 8𝑦 + 24 − 𝑧 + 2 − 4𝑧 + 8 + 2𝑥 − 8 − 𝑦 + 3 = 0
→ 𝑥 − 9𝑦 − 5𝑧 + 33 = 0 
 
16) Determine o valor de 𝑚 de modo que os planos seguintes sejam perpendiculares: 
𝜋1: 𝑚𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 e 𝜋2: 2𝑥 − 3𝑚𝑦 + 4𝑧 + 1 = 0. 
 
Solução: 
Para que sejam perpendiculares, 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 → (𝑚, 1, −3). (2, −3𝑚, 4) = 0 → 
2𝑚 − 3𝑚 − 12 = 0 → −𝑚 − 12 = 0 → 𝑚 = −12. 
 
17) Estabeleça equações reduzidas na variável 𝑥 da reta interseção dos planos: 
 𝜋1: 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0. 
 
Solução: 
Se atribuirmos valores a 𝑥, para 𝑥 = 0, {
−𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0
2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0
→ {
−𝑦 + 2𝑧 = 1
2𝑦 − 3𝑧 = 4
→
{
−2𝑦 + 4𝑧 = 2
2𝑦 − 3𝑧 = 4
→ 𝑧 = 6. De 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 → 2𝑦 − 18 − 4 = 0 → 2𝑦 = 22 → 𝑦 = 11. 
Portanto, um ponto de interseção é 𝑃(0, 11, 6). 
Como o vetor diretor de 𝑟 é simultaneamente ortogonal a 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, −1, 2) 𝑒 𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 2, −3), 
o vetor �⃗� pode ser dado por: 
�⃗� = 𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
3 −1 2
1 2 −3
|
𝑖 𝑗
3 −1
1 2
= (−1, 11, 7). Escrevendo equações paramétricas de 
𝑟, temos: 𝑟: {
𝑦 = 11𝑥 + 11
𝑧 = 7𝑥 + 6
. 
 
18) Determine o ângulo formado pela reta 𝑟: {
𝑦 = −2𝑥
𝑧 = 2𝑥 + 1
 e o plano 𝜋: 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0. 
 
Solução: 
A fórmula para o cálculo do ângulo entre reta e plano é dada por: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
|�⃗⃗� . �⃗⃗�|
|�⃗⃗�| |�⃗⃗�|
. Assim, 
 �⃗� = (1, −2, 2) 𝑒 �⃗⃗� = (1, −1, 0). Logo, 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
|�⃗⃗� . �⃗⃗�|
|�⃗⃗�| |�⃗⃗�|
→ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
√32
√1+4+4 √1+1+0
→ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
3
3√2
𝑥
√2
√2
=
√2
2
. Portanto, 𝜃 = 45°. 
 
19) Calcule a distância entre o ponto 𝑃(2, −1, 2) ao plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 = 3. 
 
Solução: 
Observe que �⃗⃗� = (2, 1, 0) 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0. 𝐶𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜, 
 𝑑(𝑃, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
=
|2(2) + 1(−1) + 0(2) − 3|
√22 + 12 + 02
=
0
√5
= 0. 
 
20) Determine a distância entre os seguintes planos paralelos: 𝜋1: 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0 e 
𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0. 
 
Solução: 
𝑑(𝜋1, 𝜋2) = 𝑑(𝑃0, 𝜋2), com 𝑃0 ∈ 𝜋1. Logo, 𝑃0 = (0, 0,
5
2⁄ ). Assim, 
 𝑑(𝜋1, 𝜋2) = 𝑑(𝑃0, 𝜋2) =
|1(0)+1(0)+1(5 2⁄ )−3|
√12+12+12
=
|−1 2⁄ |
√3
=
1
2
√3
=
1
2√3
𝑥
√3
√3
=
√3
6
. 
 
21) Calcule a distância entre a reta 𝑟: {
𝑥 = 4 + 3𝑡
𝑦 = −1 + 𝑡
𝑧 = 𝑡
 e 𝜋: 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0. 
 
Solução: 
Considerando que a distância de uma reta ao plano é a distância de um ponto qualquer da reta 
a este plano, temos que: 
𝑑(𝑟, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋) =
|1(4) + (−1)(−1) + (−2)(0) + 4|
√12 + (−1)2 + (−2)2
=
9
√6
𝑥
√6
√6
=
9√6
6
=
3√6
2
. 
𝑂𝑏𝑠.: �⃗� . �⃗⃗� = (3, 1, 1) . (1, − 1, − 2) = 3 − 1 − 2 = 0, ou seja, 𝑟 ∥ 𝜋. 
Bom trabalho! 
Lembrem-se: “A persistência é o caminho do sucesso”.