8. O teorema de Poincaré-Bendixson

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6.2 0 Teorema de Poincare
'
- Bendixen
0 seguinte resultado Se aplica especialmewte a Campos Plana res .
NO que segue f= ( fhfa ) e- um Campo
vetorialdefinidonumabertoFEdelR2.fseradeclasseCtparaadmitiravalidadedoTeoremadeexistEnuaeumaddde.AssumiremostambemqueVxEEoflux00tCxlestaradefinidoparatodotz0.TeOrema6.11.CP0iNCARE-BENDixsoN1Osdnicosconjuntosw-LimiteCompactos.haovazioseSemsingularidadessaoas6rbitaspERi5DicAs.NademonstraGaodesteresultadoEfundamentalosgteTeoremaeo.TEOREMA6.2iCTEOREMADACuRVADEJoRDAN70CompLemewtarNOpLANOdeumacurvafeohadaeSimpLestEmduascomponentesconexasabertasedisjuntas.UmaLimitadaeuma@chadaafront.iraiolmiYimtadaagsdeunasdo.a
Curra
. Sem auto - intersexes
O teorema da curva de Jordan termite provar 0 Sgte
resulted fundamental . .
LEMA 6.13 . ( LEMA DAS SEQULENCIAS MONOTONAS )
.
Seja XE -5 um Ponto de wma segao transversal local 5
' de um
Campo planar f . Se a trajetoria xct ) = At ( x ) Volta a
bater em § para terms crescents Oct ,<ta< . . . < tn ,
ehtao a sequtncia de pontes Xn=0tn( x ) E MONOTONA em S
'
no segwinte sentido : no segment $ , Xn esta sempre entre
Xn . , e Xntn . ALEM disso , existem tn <tmr tais queXn = Xn+r Se , e somente se , a
trajetoriadefporXePERi6DicA.D_niAdemonstragaosevEmelhornosdesenhos.AregiaoemverdetemporfronteiraXnt.hmacurvadeJordan.AtrajetoriaXn.P0rXnficapressanessaVegiaoe@GMaunicamaneiradebaterdenovoemSlEfazendoqueXnfiqueehtreXn.seXnt1.S
'
Xntl
.
Efi .÷÷¥oi±e÷transversal
.
COROLA
'
Rio 6.14 :
Num Campo planar Lw ( x ) neo pode intersect ar
Uma segao Local do Campo en Mais de um Ponte
.
Deer : ze Lwlx )
.
f
Ott " ) #->ו= In sequincia monstona\
caixadhfluxo
Como sequencias monotonous termumuinia www.teehtaolwlx ) n S - { Z } .
Precisaremos tambon do seguinte resultado :
prop . 6.15 : Se LWCX) E Compaoto e Conte 'm uma 6rbita
Periodico para um Campo planar , entao
Lwlx ) coincide com a Oirbita Periodico .
Dem : Seja 8 umabrbita periodic a aentida em Lwlx ) .
Por Ser compact
, Lwcx ) E Conexo . Seja R= Lwlx ) \ 8 .
Devemos provar que 12=0 .
Suponha que 121=0 . Entao R nao poder Ser fechado pois
{R , 8 } seria Uma a. Sao fechada neo trivial de Lwlx ) , ie ,
Rn 8=4 e RU8=Lw( x ) .
Isto implica que In 8=1/0 ( pelamesma ratio ) .
Logo existe Yoe 8 e uma sequencia (Yr ) em R tal que
Yr -7 Yo . Mas Como 8oE8 , entao Yonato pode Ser uma
Singularidade do Campo e terms Uma segao transversal
Local S por Yo . Pelo resuttado anterior Lwcx) intersect a
S
'
no Maximo num Ponto . Come Yre Lwlx ) e Yrl→ Yo ,
isto signifier que Yn=Yo . trial .
Mas istoe uma contradict pa 's YRER = Lwlx ) ) 8 !
Demonstragao do teorema 6.11 . de Poincare - Bendixson .
Sejax tat que Lwlx) E Compact , neo vazio e Sem singularidades .
Tomemos ZELWK ) . Mostraremos que atrajetoria 8 por z e
PERIOD '' CA Pelo resultadoanterior ( Teo . 6.15 )
,
Lwtx ) = 8 .
flz ) # 0
#¥Y
fhehtidaemlwlx)
* ( x ) Zelwlx
) $tlz ) term alguim
Ponto de acumwlagoio
#
p e Lwlx ) .
g.gg#(pp..g...qaaz, ,
fcp ) ←p•
Lwlx ) so pode intersectar s
'
lot Uma inica Vez . Mas Zn→P .
r Logo P=Zn !
Caixa de fluxo
Ottt ) £ Periodical
.
COROLERIO 6.16 :
Um aenjunto compact , neo vazio e invariant por
UM Campo planar Contem , Pew memos , Uma
Singularidade on uma drbita Periodico .
Precisamos agora do conceit o de Ser simplesmente conexo .
DEI : Um Conjunto IEERZ
E simples Mente conexo se
0
"
interior
"
de Cada Cuna de Jordan
contida@EestainteiramentecontidoemE.Acomponent
Limitada
.
HE =R2\Eo→ }
<
noo E SC .
Otensateeansed .@
Lembremos que se $= ( feta ) : EERZ - R
entao 0 DIVERGENTE de f I
divf = It+ Yay = trago Df , divf : HE E 122 - R
Zx
Exempla : f ( x ,y ) = ( xy2 , x2y3 ) . Divf = y2+3x2y ?
0 sgte resultado permite exduir a existence 'a de iorbitas
periodic as para Certos fluxos .
PROP. 6.17 : ( TEOREMA DE BENDIXSON )
Seja f : E -
1R2EdeclasseCldefinidanumconjwntoabertoesimp.Conex0EE1R.2se0fluxodeftemumaOibitaperiddicaehtaodivfEidenticamentenuLooutrocadesinaLemE.Dem_iLembremosOteoremadeGreenirHPFx-Fyldxdy-f0cPdxtady@Tmandof-Cfn.f
a ) e Q=fs
,
P= - fa temos ¢
§ divfdxdy = §c f. dy - fadx Onde G
'
E a Oibita Periodico
do fluxo . Ehtao C E parametrizada ( xct ) , ycts )
Onde ( it
, g)= ( fhfa ) . Assim dx = fsitsdt edy=fadt .
Temosentao que ,§divfdA=0 E daqui a condusao da
proposigao .