Matematica Aplicada a Administração

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INTRODUÇÃO 
 
 Se perguntarmos por que esta disciplina; a matemática está 
incluída na administração? É muito interessante fazermos uma análise deste 
fato, pois através de matérias e artigos sobre a matemática aplicada na 
administração, concluímos que a mesma está profundamente inserida na 
administração, assim como faz parte de nosso cotidiano. Fica claramente 
definido que a matemática contribui bastante para o administrador 
proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de 
finanças, na produção, na comercialização, negociações, ate mesmo na área 
de recursos humanos e em processo que envolve a administração em geral, 
bem como no desenvolvimento de seu raciocínio lógico. É formidável o apoio e 
as atividades exercidas que estimulam o raciocínio lógico e critico, dentro de 
variados problemas. Tem como base a idéia de selecionar à melhor tomada de 
decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro, a curto ou longo prazo. 
Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é 
tornar o método de tomada decisões mais racional possível, para a resolução 
de problemas. No entendimento dos fatos, concluímos que a matemática tem 
como objetivo capacitar o administrador a formular o problema, estabelecer as 
regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O administrador 
pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação para o 
processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e 
analisar gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das 
despesas, análise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O 
fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que 
é o segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, 
de ter sido habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas idéias 
e compará-las com as de outros será uma vantagem no mercado de trabalho 
(empresas de consultoria, por exemplo). TUDO SÓ DEPENDE DE VOCÊ! 
Você estará mais bem preparado para enfrentar os desafios de seu futuro 
profissional do que alguém que recebeu apenas treinamento técnico. As 
 
2 
 
técnicas estão mudando a cada instante; o que é hoje a última palavra estará, 
em poucos anos, completamente superado. 
Para ser bem sucedido no mercado de trabalho é preciso estar preparado para 
sempre aprender mais durante toda a vida (FORMAÇÃO CONTINUADA), ter a 
capacidade de estudar para acompanhar e, se possível, antecipar as inovações 
que irão surgindo. 
As principais opções no mercado de trabalho são: 
 Trabalhos na indústria e em serviços que requerem conhecimentos de 
modelagem matemática em empresas tais como: Petrobrás, IBM, 
bancos, seguradoras, indústria do petróleo, Telecom, mineradoras, 
operadores logísticos etc. 
 Empresas de consultoria empresarial que trabalha com grandes 
empresas nacionais e multinacionais 
 Empresas de gestão de recursos financeiros através de estratégias 
baseada em cenários macroeconômicos e controle de risco 
 Empresas de consultoria na área de finanças. 
 Carreira acadêmica prosseguindo com mestrado e doutorado em 
Administração de empresa e subseqüente carreira executiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
FUNÇÃO RECEITA DEMANDA, OFERTA E CUSTO. 
 
01 - FUNÇÃO RECEITA DO 1º GRAU - )(xR 
1º CASO – PREÇO FIXO DE VENDA 
 
Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem 
para a formação da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como 
volume da produção e potencial de mercado não podem ser esquecidos na 
formação da receita: porem em pequenos intervalos, onde já foram 
consideradas as variáveis restritivas, e considerando-se o preço constante 
nesse intervalo de produção, o rendimento total da empresa ou receita total, 
será função, somente, da quantidade vendida. Supondo que sejam vendidas 
“x” unidades do produto, o que se recebe pela venda efetuada é chamado 
função receita de vendas e pode ser representada genericamente por: 
 xPxR .)(   x
xR
xP
)(
)(  
 Onde: 
 P = Preço fixo por unidade vendida ( P maiúsculo) 
x = Quantidade vendida de produtos ou serviços 
 
02 – FUNÇÕES RECEITA MÉDIA )(xmeR – É a relação entre a Receita pela 
quantidade x de produtos ou serviços vendidos, ou seja, 
x
(x)R(x)meR  
Observe que a Receita média é sempre igual ao preço de venda do produto 
)((x)meR xP 
03 - Função Receita Marginal - )()( xmgR 
 Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. 
Chamamos de receita marginal à derivada de R(x) em relação à x, e 
representam o efeito causado por uma pequena variação de x quantidades 
 
4 
 
vendidas do produto, ou seja, a receita marginal é aproximadamente igual à 
variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x 
unidades e indicamos a por: )(´)()1()( xRxRxRxmgR  
EXEMPLOS 
01 - Se uma empresa tem um preço unitário de venda de seu produto de R$ 
5.000,00 e se não vender nenhuma unidade, sua receita será zero; se vender 
dez unidades, seu rendimento total será R$ 50.000,00. Vê-se que a função 
receita, para diferentes quantidades vendidas, pode ser também representada 
por uma função linear que passa pela origem e tem como declividade o preço 
de venda. Portanto, a sua função Receita será: 
)(xR = 5.000,00. X 
 R(x) 
 50.000,00 
 
: 
 
 Observe que a função receita é uma função linear do 1º grau e que, portanto 
o gráfico é uma reta que passa sempre pela origem do sistema cartesiano. 
 
02 - Um produto é vendido por R$ 7,00 à unidade. Determine: 
2.1) A função Receita: )(xR = 7,00.x 
2.2 – O gráfico correspondente para uma venda de 10 unidades do produto. 
 Veja que atribuindo dois valores arbitrários a x = 0 e x = 10 termos: 
7,00 7,00.0 0( ) (0) (0)R x R Rx      
7,00 7,00.10 70,00( ) (10) (10)R x R Rx      
 R(x) 
 
 
: 
x (quantidade) 
70 
0 10 
x (quantidade) 10
0 
0 
 
5 
 
 
 Veja a tabela abaixo, para a receita de x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Unidades 
vendidas. 
 
 x R = 7.x x R = 10.x x R = 25.x 
 0 R = 7.0 = 0 0 R = 10.0 = 0 0 R = 25.0 = 0 
 1 R = 7.1 = 7,00 1 R = 10.1 = 10,00 1 R = 25.1 = 25,00 
 2 R = 7.2 = 14,00 2 R = 10.2 = 20,00 2 R = 25.2 = 50,00 
 3 R = 7.3 = 21,00 3 R = 10.3 = 30,00 3 R = 25.3 = 85,00 
 4 R = 7.4 = 28,00 4 R = 10.4 = 40,00 4 R = 24.4 = 100,00 
 5 R = 7.5 = 35,00 5 R = 10.5 = 50,00 5 R = 25.5 = 125,00 
 6 R = 7.6 = 42,00 6 R = 10.6 = 60,00 6 R = 25.6 = 150,00 
 
 
2.3) Se )(xR = 7,00.x, quantas unidades do produto devem ser vendidas para 
que a Receita seja de R$ 28.000,00? 
 Se )(xR = 7,00.x Temos que P/ )(xR = 28.000,00  28.000,00 = 
7,00.x  
00,7
00,000.28
x  x = 4.000 unidades 
 
2º CASO: O PREÇO PODE SER MODIFICADO COM CONSEQUENTE 
VARIAÇÃO DE DEMANDA DE MERCADO – FUNÇÃO RECEITA DO 2º 
GRAU. 
 
 Vimos anteriormente como obter a função receita do 1º grau 
considerando o preço fixo. Daqui por diante veremos também alguns exemplos 
de como obter a função receita quadrática pela venda de x unidades do 
produto, quando o preço pode ser modificado, com conseqüente variação de 
demanda do mercado, pois quanto menor o preço, maior será a demanda ou 
 
6 
 
procura desse produto, o qual será mais especificamente mostrado mais 
adiante no estudo de função demanda e função oferta. 
 
01 – Numa empresa o preço de venda do seu produto é dado pela função 
20( )p xx   para x < 20. Determine: 
 1.1) A função receita 
1.2) O gráficoda função receita 
1.3) O nível de produção que maximiza a receita 
1.4) A receita máxima da empresa 
1.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
1.6) A função receita média 
1.7) A função preço de venda do produto 
1.8) ) O preço máximo de venda do produto 
1.9) A função receita marginal 
1.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
1.11) Qual o menor nível de produção para que a receita seja de R$ 75,00 
1.12) É viável para o empresário um nível de produção que anule a receita da 
empresa? 
 
RESOLUÇÃO 
1.1. Para P = 20 – x, temos: 
2. (20 ). 20( ) ( ) ( )R P x R x x R x xx x x       
1.2. Gráfico da função Receita: Como se trata de uma função quadrática 
temos: 
a) Cálculo dos zeros da função - Os zeros da função quadrática que 
correspondem aos valores de IRx para os quais a função se anula, 
graficamente corresponde aos pontos em que a parábola intercepta o eixo das 
abscissas ou eixo Ox, cujas raízes podem ser calculadas pela fórmula de 
 
7 
 
Báskara dado por 
a
acbbx
2
42 
 . Para a função receita dada por 
220( )R x xx   , temos: 
20 20 0 .( 20 ) 0 ´ 0( )
20 0 ´́ 20
R x x x x xx
x x
        
    
 
 
b) Cálculo do Vértice da parábola 
 
´ ´́( ; ) ( , ) ( )( )2 4 2
b x xV x y V ou x e y f xv v v v va a
 
     
Então: 0 20 20 10( ) ( )2 2
x xv v

    
2 2( ) ( 20 ) (10) ( 20.10 10 ) (10) 200 100( )
(10) 100
y f x x x f fv v v v
f
         
 
 Portanto o vértice da parábola será: (10 :100)V 
 
c) Cálculo dos interceptos 
 
São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos das 
abscissas (eixo x) e o eixo das ordenadas (eixo y), ou seja: 
 Coordenadas com o eixo das ordenadas ( 0 ; y) 
2/ 0 20.0 0 0 0 0(0) (0) ( )P x R R R x         
 Coordenadas com o eixo das abscissas (x ; 0) e 
P/ 
20 20 0 .( 20 ) 0 ´ 0( )
20 0 ´́ 20
R x x x x xx
x x
        
    
 
 Portanto os interceptos são: Coordenadas dos eixos das ordenadas ( 0 ; 0 ) e 
Coordenadas dos eixos das abscissas (0 ; 20). O gráfico da função receita 
será: 
 
8 
 
 
 R(x) 
 
 
 
 
 
 
 
1.3) O nível de produção que maximiza a receita 
O nível de produção que maximiza a receita é para 10x  unidades 
1.4) A receita máxima da empresa 
A receita máxima é dada pelo nível de produção de 10 unidades. Portanto: 
2 220 20.10 10 200 100 100,00( ) (10) (10) (10)R x x R R Rx          
 
Outra maneira de calcularmos a receita máxima de produção da empresa: 
2 2( ) ( ) ( 20 ) (10) ( 20.10 10 ) (10) 200 100( max .) ( )
(10) 100, 00 ( ) 100,00( max.)
R x y f x x x f fv v v v
f R x
         
   
 
1.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
O nível de produção que maximiza a receita é para 0 20x  unidades 
1.6) A função receita média 
x
R
R xxme
)(
)(  xxRx
x
x
x
x
xxR mexme 

 20)(220
22
)(
 
Obs. A receita média é sempre uma função decrescente e igual ao preço de 
venda desse produto. 
1.7) A função preço de venda do produto 
A função preço de venda do seu produto é dada pela função 20( )p xx   
para x < 20. 
1.8) ) O preço máximo de venda do produto 
100,0
0 
0 10 20 x (unidades) 
 
9 
 
O preço máximo que os consumidores estão dispostos a pagar é para o nível 
de produção de x = 10 unidades. Portanto: 
 20 20 10 10,00( ) (10) (10)P x P Px        
1.9) A função receita marginal 
Se a receita marginal é a derivada de R(x) em relação à x, e indicamos a 
receita marginal por 
)(´)( xRxmgR 
. 
 
ANEXO I: 
TEORIA E APLICAÇÕES DO CÁLCULO - DERIVADA DAS PRINCIPAIS 
FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO 
 
 Mesmo que nossa habilidade no cálculo de limites seja bastante boa, 
utilizar diretamente a definição para calcular derivadas de funções é uma tarefa 
um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformar num processo penoso e 
cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras 
gerais que permitam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar 
qualquer função que possa ser obtida a partir daquelas outras, por meio de 
operações elementares, isto é, adição, multiplicação por constante, 
multiplicação e divisão. A expressão DERIVADA é costumeiramente 
empregada no lugar de Função derivada ou de Derivada de uma função. 
Doravante faremos uso dessas fórmulas ou regras com o principal objetivo, de 
transformar o processo de derivar funções em simples manipulações 
algébricas, o que torna esta tarefa menos penosa, ou, até mesmo, fácil e 
agradável. 
 
 
 01 – A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE É NULA. 
 Se k é uma constante e 0( ) , e então f (́x) = 0f x cx para todo x real. 
 
10 
 
Exemplos: 
 a) 0 5
'  yy b) 0 3
'  yy 
 
 02- Derivada da função potencia: 
Seja a função por nxxf )( derivável num certo intervalo. Então a sua 
derivada nesse intervalo é 1.)(´
 nxnxf 
Exercícios resolvidos: 
 
Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) 23)( xxf  
123.2)(́
 xxf  xxf 6)(´  
b) 01022534)( xxxxxf   10.02.15.2
134.3)(́
1112   xxxxf 
210212)(´  xxxf 
c) 3
5
)( xx
f   3.5)(
 xxf  
135.3)(́
 xxf  
415)(´
 xxf 
 4
15
)(´ xx
f  
 
d) 
3
5 3 5
( ) ( )
7 7
8 8x x
f x f x    

3 2 21
5 5 5
( ) ( ) ( ) ( ) 2
5
7 3 7 3 21 21´ . . ´ . . ´ ´
8 5 8 5 40
40
x x x xf x f x f x f
x
  
        
( ) 5 2
21´
40
xf
x
 
 
Conseqüentemente, a derivada da função identidade é igual à unidade. 
 1/)(  nPe
nxxfSeja 
 
11 
 
 xxfxfxxfxxf
nxnxfEntão ;1)(´1.1)(´
01)(´
11.1)(´
1.)(´:
 
 
Exercícios de fixação: 
Determine a derivada das seguintes funções: 
 
1) 40)( xf 
2) 
7
3)( xf 
 3) 12)( xf 
 4) xxf 25)(  
 5) xxf 9)(  
 6) xxf 3 .7)(  
 7) xxf )( 
 8) 64)( xxf  
 9) 200)( xxf  
 10) 35)(  xxf 
 11) 5
4)(
x
xf  
 12) 
3 2)( xxf  
 13) 
4 3
15)(
x
xf  
 14) 53 4)( xxf  
 15) 64
3)(
x
xf  
 16) 
4 3
9
8)( xxf 
 
 17) 3
2
6)(  xxf 
 18) 45)( xf 
 
12 
 
 19) 
8
7)(
5 3
3 2
x
x
xf  
 20) 3 2
5 3
2( ) 5
3
f x x
x
  
 
03 - Derivada da função logarítmica 
 Se 1( ) ln , então f (́x) = 
x
f x x , para x > 0 ( A derivada do logaritmo 
neperiano de x é o inverso de x ) 
 
04 - Derivada das Funções Seno e Cosseno 
(a) Se ( ) , então f´(x) = cosx f x senx para todo x real; 
(b) Se ( ) cos , então f´(x) = -senxf x x para todo x. 
 
 05 - Derivada da Função Exponencial 
 
x x f(x) = a , então f '(x) = a ln , para todo x real ( com a > 0 e a 1)e aS  
 Propriedades Operatórias 
 
 Derivada da soma de duas funções – É a soma das derivadas das 
funções 
'')(')( vuxfvuxf  
 
Derivada da diferença de duas funções – É a diferença das derivadas 
das funções 
'')(')( vuxfvuxf  
 
 Derivada do produto 
 '.'.)('.)( vuvuxfvuxf  
 
13 
 
 Exemplo: 
2(10 3 2).( 4 5)( )f x x xx      
2 1 1 1 1 1 0 0´ (2.10 1.3 ).( 4.1 ) ´ (20 3 ).( 4. )( ) ( )
´ (20 3).( 4) ´ 80 12( ) ( )
f x x x f x x xx x
f x f xx x
         
      
 
 Derivada do quociente 
 2
'.'.)(')(
v
vuvuxfv
uxf  
Exemplo: 
2 2 33 (3 4).( 1) ( 4 10).24 10( ) ´( )2 2 21 ( 1)
x x x x xx xf x f x
x x
       
 
 
 
 EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
Determine a derivada das seguintes funções: 
21) 24)( 3  xxxf 
 
22) xxxxf 23
2
1)( 34  
 
23)  xxxxf 3.2)( 2  
 
24)   xxxxf 4523)( 2  
 
25) 
32
1)(



x
xxf 
 
26) 123 36  xxy 
 
27) 3 xxy  
 
14 
 
 
28) 
x
xxy 235
23 
 
 
29)   125312  xxxy 
 
30) 242 52
3
 xxy 
 
31) 
1
2
1
3






x
x
x
xy 
 
 32) 
1085
452
2
2



xx
xxy 
 
 Função Composta – Regra da Cadeia 
 
 Utiliza-se a regra da cadeia para situações onde temos que derivar funções 
compostas, isto é quando a variável independente também é uma função 
onde: 
         xhxhgxfxhgxf '.'')(  isto é , é a derivada da função “de 
fora” vezes a derivada da função “de dentro”. Por exemplo: 
01) 2 4( ) ( 5)f x x  
Temos que f ’(x) = g’(h(x)).h’(x), Então, resolvendo o exemplo, temos: 
30)2 4 1 2 1 2 3 2(́ ) 4.( 5) .(2 4( 5) .2 8 .( 5)f x x x x x x x       
 
02) 2 3( ) 5 xf x  
 
 
03)  32 1 xy 
 
15 
 
04)  22 23 xxy  
05)  
 4
3
1
1



x
xy 
 06) Dado    4 31.43  xxy . Mostre se 4 14
21'


x
xy e calcule )15('f . 
 07). Dado  3 21x 9625  



 xxy . Mostre se 3 13
240'


x
xy e calcule )7('f . 
 
1.9) Continuando com a resolução dos exercícios, temos que se a função 
receita é dada por 220( )R x xx   , então, a função receita marginal será dada 
por: )(´)( xRxmgR   )´
220()( xxxmgR   
 
1.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
a) Receita média: xxRme  20)( b) Receita marginal: 
xxmgR 220)(  
Rascunho: Cálculo dos zeros das funções receita média e receita marginal. 
20 / 0 20 0 20( ) ( )R x P R x xme me         
2020 2 / 0 20 2 0 20 2 10( ) ( ) 2
R x P R x x x xmg mg            
 
 
 ( )R me ; ( )R mg 
 ( )R me 
 ( )R mg 
 x (unidades) 
20 
0 10 20 
( ) 20 2R x xmg  
 
 
16 
 
1.11) Qual o menor nível de produção para que a receita seja de R$ 75,0 
 Para que o menor nível de produção resulte numa receita de R$ = 75,00 
temos: 
 Se 220( )R x xx   e 75,00( )R x  temos que: 
2 275 20 20 75 0x x x x       
Resolvendo a equação acima encontramos: x = 5 e x = 15. 
Conseqüentemente o menor nível de produção é de x = 5 unidades que irá 
resultar numa receita de R$ 75,00 
 
1.12) Não é viável um nível de produção que anule a receita, o que aconteceria 
para x = 0 e para x = 20 unidades, pois temos que 0 < x < 20 , ou seja, para 
o empresário é interessante reter a venda dos produtos, até que um preço 
satisfatório seja oferecido por eles. 
É sempre bom continuarmos estudando juntos! 
 
Numa empresa de brinquedos a função receita de seus principais produtos é 
dada por: 
02 ) xxR x 53
2 2
)(  
03) 5)(  xxR 
04) xxR 50)(  
Determine para cada questão acima: 
a) A função receita média 
b) A função receita marginal 
c) O preço unitário de venda do produto 
 
 
 
 
17 
 
RESOLUÇÃO 
02) Seja a função
 
xxR x 53
2 2
)(  
 a) A função receita média 
x
R
R xxme
)(
)(  
5
3
25
3
21).5
3
2(
5
3
2
22
2
)( 


x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
R xme 
 
 
 
b) A função receita marginal 
 )(´)( xRxmgR   )´53
22
()( xxxmgR   
 
c) O preço unitário de venda do produto
 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x)(
 
 
x
x
x
xP
x
xxP
x
xx
P 5
3
21).5
3
2(
5
3
2
22
2



 
 
 
 
OBS. Observe que o preço unitário de venda do produto é sempre igual a 
sua receita média. 
 
03) Seja a função 5)(  xxR 
a) A função receita média 
x
R
R xxme
)(
)( 
 
 
x
x
xmeR
5
)()(

  
 
5
3
2
)( 
xR xme 
5
3
2

xP 
x
xmeR
5
1)()(  
5
3
4
)( 
xxmgR
 
 
18 
 
 
b) A função receita marginal 
)(´)()( xRxmgR   )´5()()(  xxmgR  
 
Conclusão: Vimos que a receita marginal é decorrente da venda de uma 
unidade adicional a partir de x unidades. Neste caso, qualquer que seja as x 
unidades vendidas, a receita adicional devido à venda de mais de uma unidade 
não se altera e vale R$ 1,00 ( Neste caso a função receita marginal é uma 
função constante ). 
 
c) O preço unitário de venda do produto 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x )(
 

 
 
x
xP 5  
 
 
 
 
 
04) 
a) A função receita média 
 Temos que xR x 80)(  
80.80)(  x
xR xme 
 
 
 
b) A função receita marginal 
xR x 80)(   )(´)()( xRxmgR   )´80()()( xxmgR   
 
Conclusão: Vimos que a receita marginal é decorrente da venda de uma 
unidade adicional a partir de x unidades. Neste caso, qualquer que seja as x 
1)()( xmgR 
51
1
51)1(
51)(
5
)(  PPPxx
P
xx
x
xP
 
00,80)( xmeR 
00,80)()( xmgR 
 
19 
 
unidades vendidas, a receita adicional devido à venda de mais de uma unidade 
não se altera e vale R$ 80,00 ( Neste caso a função receita marginal é uma 
função constante ). 
 
c) A função preço de venda do produto 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x)(
 

 x
xP .80  
 
05 - Numa empresa, a função receita de um determinado produto 
é xxxR 50
210)(  . Determine: 
5.1) A função receita 
5.2) O gráfico da função receita 
5.3) O nível de produção que maximiza a receita 
 5.4) A receita máxima da empresa 
 5.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
 5.6) A função receita média 
 5.7) A função preço de venda do produto 
 5.8) ) O preço máximo de venda do produto 
 5.9) A função receita marginal 
 5.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
 06 – Repita o exercício anterior supondo que a função receita da empresa 
é dada por. xxxR 800
24)(  
7 - A função receita média de vendas de um produto é 7503)(  xxmeR . 
Determine: 
7.1) A função receita 
 7.2) O gráfico da função receita 
 7.3) O nível de produção que maximiza a receita 
 7.4) A receita máxima da empresa 
00,80P 
 
20 
 
 7.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
 7.6) A função receita média 
 7.7) A função preço de venda do produto 
 7.8) O preço máximo de venda do produto 
 7.9) A função receita marginal 
 7.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
08 - Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço é R$ 80,00; 20 
relógios de pulso são vendidos quando seu preço é R$ 60,00. Qual é a 
equação do preço dos relógios em função da demanda, sabendo-se que é uma 
função linear? 
Resolução: 
Equação geral do preço dos relógios em função da demanda (Equação Geral 
da reta): 
 P = ax + b 
P/ x = 10 temos P = 80,00  80,00 = 10.a + b 
P/ x = 20 temos P = 60,00  60,00 = 20.a + b 
Resolvendo o sistema de equações abaixo, temos: 



) x(-1b + 20.a = 60
b + 10.a = 80
 
 
 
20 = - 10.a  
10
20
a  
Cálculo de “b” 
80 = 10.a + b  80 = 10.(-2) + b  80 = - 20 + b  80 + 20 = b  
Portanto a função preço em função da demanda será: 
P = ax + b  
 
2a 
b = 100 
P = - 2x + 100 ou P + 2x - 100 





b - 20.a- = 60
b + 10.a = 80
 
21 
 
2
1a 
Determine ainda: 
8.1) A função receita 
8.2) O gráfico da função receita 
8.3) O nível de produção que maximiza a receita 
 8.4) A receita máxima da empresa 
 8.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
 8.6) A função receita média 
 8.7) A função preço de venda do produto 
 8.8) ) O preço máximo de venda do produto 
 8.9) A função receita marginal 
8.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
09 - Quando o preço for de R$ 25,00 nenhuma máquina fotográfica de um 
determinado tipo está disponível no mercado; para cada R$ 10,00 de aumento 
nopreço, 20 máquinas fotográficas a mais estão disponíveis no mercado. Qual 
é a função do preço da oferta? 
Resolução: 
Equação geral da reta: P = ax + b 
P/ x = 0 temos P = 25,00  25,00 = 0.a + b 
P/ x = 20 temos P = 35,00  35,00 = 20.a + b 
Resolvendo o sistema de equações abaixo, temos: 



 b + 20.a = 35
b = 25
 
Cálculo de “a” 
35 = 20.a + b  35 = 20.a + 25 
35 - 25 = 20.a  10 = 20.a  
20
10a  
Portanto a equação de oferta será: 
P = ax + b ( Equação geral da função afim ou do 1º grau ) 
 
25
2
1
 xP Ou 2P = x + 50 ou x - 2P + 50 = 0 
 
22 
 
 
Determine ainda: 
9.1) A função receita 
9.2) O gráfico da função receita 
9.3) O nível de produção que maximiza a receita 
 9.4) A receita máxima da empresa 
 9.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
 9.6) A função receita média 
 9.7) A função preço de venda do produto 
 9.8) O preço máximo de venda do produto 
 9.9) A função receita marginal 
 9.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
10 - Num estacionamento para automóveis, o preço por duas horas de 
estacionamento é R$ 5,00. A esse preço, estacionam 19 automóveis por dia. 
Se o preço cobrado for R$ 7, 50, estacionarão 17 automóveis. Admitindo 
linear a curva de demanda, obtenha sua equação. 
Determine ainda: 
10.1) A função receita 
10.2) O gráfico da função receita 
10.3) O nível de produção que maximiza a receita 
10.4) A receita máxima da empresa 
10.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
10.6) A função receita média 
10.7) A função preço de venda do produto 
10.8) O preço máximo de venda do produto 
10.9) A função receita marginal 
 10.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
 
23 
 
11 – A um preço de R$ 50,00 por unidade, um grupo de artesãos fabrica 
colares de um único tipo e a quantidade vendida é 20 unidades por dia; se o 
preço por unidade é R$ 40, 00, a quantidade vendida é 30. Admitindo linear a 
curva de demanda, determine: 
11.1) A função receita 
11.2) O preço que deve ser cobrado para maximizar a receita dos artesãos. 
11.3) Quantas unidades devem ser vendidas por dia para maximizar a receita. 
11.4) A receita média 
 
12 - Um produtor observou que, quando o preço unitário de seu produto era 
R$ 10, 00, a demanda mensal era 6.000 unidades e, quando o preço era 
R$ 12,00, a demanda mensal era 5.600 unidades. 
12.1) Qual a equação de demanda admitindo a função do 1º grau? 
12.2) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita mensal? 
 
13 - A função receita de um produto é xxR 00,80)(  , obtenha a receita marginal 
para 10 unidades do produto e interprete o resultado. 
Resolução: Se 
( ) ( )80 ( ) ´ ( ) (80 )´ ( ) 80,00x mg x mg mgR x R x R R x x R x       
Conclusão: Vimos que a receita marginal é decorrente da venda de uma 
unidade adicional a partir de x unidades. Neste caso, qualquer que seja as x 
unidades vendidas, a receita adicional devido à venda de mais de uma unidade 
não se altera e vale R$ 80,00 ( Neste caso a função receita marginal é uma 
função constante ). 
 
14 - Dada a função receita, xxxR 150023)(  obtenha: 
14.1. A função receita marginal 
 
24 
 
2 2
( ) ( )3 1500 ( ) ´ ( ) ( 3 1500 )´
( ) 6 1500
14.2. ( 100 ) 6.100 1500 ( 100 ) 600 1500
(100) 900,00
x mg x mg
mg
mg mg
mg
R x x R x R R x x x
R x x
R R
R
         
  
       

 
Conclusão: A receita marginal decorrente da venda de uma unidade adicional 
a partir de 100 unidades é de aproximadamente de R$ 900,00. Podemos 
calcular essa receita marginal para a centésima primeira unidade de outra 
maneira, utilizando a própria definição de receita marginal dada por: 
( ) ( ) ( 1)mgR x R x R x    (100) (101) (100)R R Rmg   
2 23 1500. 3.100 1500.100 3.10.000 150.000( ) (100) (100)
30.000 150.000 120.000(100) (100)
R x x R Rx
R R
          
     
 
2 23 1500. 3.101 1500.101 3.10201 151500( ) (101) (101)
30603 151500 120.897(101) (101)
R x x R Rx
R R
          
     
 
120897 120000 897(101) (101) (100) (101) (100)R R R R Rmg mg mg       
 
14.3) )200(mgR e a interpretação do resultado. 
15 - Se a função de demanda for p = - x + 40 obtenha a receita marginal. 
 
16 - Repita o exercício anterior com a seguinte função de demanda: 
5
20
300



x
P 
17 - Em cada caso, obtenha a receita marginal e esboce os respectivos 
gráficos: 
17.1) xxR 5)(  17.2) xxxR 900
23)(  
 
25 
 
17.3) xxR 3)(  17.4) xxxR 300
25)(  
 
18 - Em relação à questão anterior em cada caso, calcule a receita média e 
esboce o gráfico. 
 
19 – Numa empresa a receita marginal de seu produto é Rmg(x) = 10 – x. 
Determine: 
19.1) A função receita 
 
Resolução: 
 Para calcularmos a receita conhecendo-se a receita marginal, e se por outro 
lado temos que a Receita marginal é a derivada da Receita, veremos a 
seguir que a operação inversa da derivação é a integração e, portanto 
concluímos que a Integral da Receita marginal é igual a sua Receita primitiva. 
Portanto: dxxRR mgx ).()(  
 
ANEXOS II 
TEORIA E APLICAÇÕES DO CÁLCULO - INTEGRAL INDEFINIDA DE UMA 
FUNÇÃO 
 
 Seja a função f(x) cuja derivada f´(x) = g(x) contínua e “C” uma constante 
real indeterminada. Denominamos de Integral Indefinida da função g(x), e 
indicamos pelo símbolo  dxxg )( a uma primitiva qualquer de g(x) que no 
caso é f(x), pois vimos que g(x) é a sua derivada, adicionada a uma constante 
arbitrária “C”. A essa integração indefinida podemos dizer, então, que é a 
operação inversa das operações de derivação ou diferenciação. O símbolo 
 chama-se sinal de integral, e a constante “C” denomina-se constante de 
integração. 
 
CxfdxxgxgxfSe  )()()()´( 
 
26 
 
Principais propriedades operatórias: 
 
 P1 - Seja o número n  -1 C
n
xdxx
n
n 



 1
1
, temos 
 
Obs.: Fórmula da constante:   cxkkdx . 
 
 P2 - Integral de uma constante  k por uma função: 
     dxxfkdxxfk .. 
 P3 – Integral da soma:            dxxgdxxfdxxgxf 
 
 P4 - Integral da subtração: 
           dxxgdxxfdxxgxf 
 
1
lndx x c
x
  
 cos xdx senx c  
 cossenxdx x c  
 x xe dx e c  
ln .
xaxa dx c
a
  
 
EXEMPLOS 
Consideremos a função. 32xy  A derivada de y em relação à x é 
representada por 
dx
dy que é dado por 26x
dx
dy
  dxxdy .26 . Integrando 
ambos os membros da equação, temos: dxxdy .26 . 
 
27 
 
que 32
3
36
12
126
xy
x
y
x
y 


 , que é a função primitiva, ou seja, a 
operação Integração é o inverso da operação derivação, isto é, quando 
integramos qualquer derivada de uma função, encontramos a sua função 
primitiva, ou ainda em outras palavras, encontramos a função que deu origem 
a sua derivada. Algumas integrais podem ser obtidas facilmente: 
 
Propriedades Operatórias 
 
A integral indefinida possui propriedades operatórias que são: 
 
 P1 Integral da soma: 
           dxxgdxxfdxxgxf 
 
 P2 Integral da subtração: 
           dxxgdxxfdxxgxf 
 
 P3 Integral de uma constante  k por uma função:      dxxfkdxxfk .. 
 
 E possui, também, fórmulas para a sua resolução: 
 
 F1: Fórmula da potência: 
 

c
n
xdxx
n
n
1
1
, para 1n 
 
 F2: Fórmula da constante:   cxkkdx . 
 
Exemplos: 
01 – CyyCydyydy 


  1
1
10
10
.0 
02 - CxCxCxdxxdx 



  110
.
110
0 
 
28 
 
03 - CxCxdxx



 3
4
12
44
312
2 
04 - dxdxxdxxdxxdxxxx   .10.5.4.2)10542( 2323 = 
 Cxxxx 







10
11
5
12
4
13
2 111213 Cxxxx  10
2
5
3
4
4
2 234
 
Então:   dxxxx )10542( 23 Cx
xxx
 10
2
5
3
4
2
234
 
Continuemos estudando juntos ainda. Calculemos as seguintes integrais 
imediatas: 
01 - CxCxCxdxxdxx  

 44
4
4
13
13
43434 
02 - 
   




 



 CxxCxxxdxdxxdxxx
2
23
3
35
11
11
3
12
12
5325325 
03 - 
   




 



 CxxCxxxdxdxxdxxx
2
25
3
310
11
11
5
12
12
1052105210
 
04 -    

 

 CxxCxxxdxdxxdxx
2
2
4
11
11
10
10
40.44 
05 -  

 CxCxdx 3
10
10
33 
06 – 
xxxxCxxxxCxxxx
dxxdxdxxdxxdxxxx










    



3
2
25
3
3243
2
25
3
32
4
443
11
11
5
12
12
2
13
13
4
352234352234
 
07 - Cxdxxdxx  ln3
133 
 
29 
 
08 - 
CxxCxxdx
x
dxxdx
x
x 


   




 ln2
3
3.7ln2
12
12
.71227227 
 
09 -   Csenxxxdxsenxdxdxxsenx   3cos2cos32cos32 
 
10 – 
Cxx
x
xxx
xxxxdxdxxdxxdxxxx



 







   



2
29
3
34
22
5
2
2.9
3
3.4
2
2.5
11
11
9
12
12
4
13
13
.59243592435
 
11 - CxCxCxdxxdxx 


 3
314
2
3
2
3
.7
12
1
12
1
.72
1
.7.7 
12 - 
3 4.63 44
8.3
3
4
3
4
8
13
1
13
1
83
1
838 xCxCxCxdxxdxx 


  
13 – 
CxxCxx
Cxxdxxdxxdxxxdxxx







   












4
3 4.3
3
3.23
4
4
32
3
3
2
13
1
13
1
12
1
12
1
3
1
2
13
1
2
13
 
 
 
 
 
30 
 
14 – 
C
x
xx
CxxxCxxxdxxdx
x
dx
dx
x
dxxdxdxx
dx
x
xdx
x
xdx
x
xx




 










15ln3.4
1.15ln3.4
12
12
15ln3.421513.4
2
11513.42
15
2
3
2
24
2
15324
 
15 - Cxxdxxdx
x
dxx
x















 3arctan1
1
1
1 32
2
2
2
 
16 - Cxedxxedxxe   5.55 
17 – 
Cxxe
Cxxedxxdxxedxxdxxedxxe




   



4
4.93
13
13
.933.933.933.923
 
18 - 
       Cxexdxxesenxdxdxxesenxdxdxxesenx 10cos101010
 
19- 
3 1 2 1 1 15. 3.3 2 3 2( 5 3 10) 5 3 10 10.3 1 2 1 1 1
4 3 25 3 10.
4 3 2
x x xx x x dx x dx x dx xdx dx x
x x x x
  
                  
   
 
20- Após a resolução dessas questões de Integral, descanse um pouco! 
 
 
 
 
31 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
 
Agora é com você. Determine a integral das funções abaixo: 
 
 
 
 












dxx
dx
x
dxx
dxxx
dxx
dxx
dxx
dxxxx
22
2
3 2
34
5
4
5
23
3628
3)27
)26
2035)25
18)24
)125()23
2
3)22
654)21
 
  dx
x
xxx
dx
x
xx








 
6 5
34
43
1.252)30
3
25)29
 
 
ANEXO II: TEORIA E APLICAÇÕES DO CÁLCULO - INTEGRAL 
INDEFINIDA – MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 
 
 É importante considerarmos que outra técnica de integração muito 
usada para a resolução de algumas integrais que não apresentam funções 
elementares imediatas, tornando-se inviável a utilização direta das três 
propriedades e das fórmulas apresentadas anteriormente é o método de 
substituição e, por isso procura-se um artifício para cairmos em algumas das 
primitivas imediatas, as quais deverão conhecer de memória. 
 A técnica apresentada é muito simples chamada de integração por 
substituição que leva a uma expressão que lembra a regra da cadeia do cálculo 
das derivadas. O importante é verificar, se a integral pode ser colocada em 
 
32 
 
função de certa expressão multiplicada pela derivada da mesma, 
eventualmente a menos de um fator multiplicativo constante. Substitui-se, 
então, a expressão em questão por uma nova variável. Seja  xf escrita na 
forma   '.uug , em que  xuu  , logo uma primitiva de  xf será obtida 
tomando-se uma primitiva de  ug e substituindo u por  xu . 
 
Em outras palavras: 
 
 Notemos inicialmente que não existe uma fórmula imediata para o cálculo 
dessa integral   


 xdxx 6
3
523 . 
Entretanto se fizermos: 
23 5, 6 0 6 6du duu x teremos x x du xdx
dx dx
        
a integral pode ser escrita sob a seguinte forma 3.u du . Aplicando a Regra 
da Integral de uma potência:  

c
u
udxu
n
n
1
1
, para 1n , temos: 
 
 
2 43 1 4 3 (3 5)3 3 2. . 3 5 6 .6
3 1 4 4
2 43 (3 5)2tan : 3 5 .6 .32
xu uu du c u du c x xdx xdx c
xPor to x xdx xdx c
           
  
 
 
Agora é com você. Determine a integral das funções abaixo: 
 
 01)    xdxx 432 22 = 
 
02)   dxxx 1.3 32 = 
 
 
33 
 
03)    dxxx 22
1
3 .2 = 
 
04)    dxxx 465 2 = 
 
05) 
  
dx
x
x
82 1
2 = 
 
06)    dxxx 233 32 = 
 
07) dx
x
x

4 3
2
2
= 
 
 
 Voltando as questões propostas, agora é com você continuar com as 
resoluções a partir da questão 19 que consiste em calcular a função receita, 
conhecendo-se a receita marginal. Pensando melhor... Esse primeiro cálculo 
vamos fazê-lo juntos, pois você já sabe como calcular as integrais imediatas. 
 
19.1) Temos que ( ).( )R R x dxmgx   
2
2
( )
( ) (10 ) :
1 10 10 10.(10 ) 10 10 . 10( ) 1 1 20 1
: 10
2x
Se R x x temos quemg
x xxR x dx dx xdx x dx xxdxx
xEntão R x
 

              
 
 
Agora sim é com você! Determine: 
19.2) O gráfico da função receita 
19.3) O nível de produção que maximiza a receita 
 
34 
 
19.4) A receita máxima da empresa 
19.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
19.6) A função receita média 
19.7) A função preço de venda do produto9 
19.8) ) O preço máximo de venda do produto 
19.9) A função receita marginal 
19.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
20 – Se numa empresa a receita marginal de seu produto é Rmg(x) = 80,00. 
Determine: 
20.1) A função receita 
20.2) O gráfico da função receita 
20.3) O nível de produção que maximiza a receita 
20.4) A receita máxima da empresa 
20.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
20.6) A função receita média 
20.7) A função preço de venda do produto 
20.8) ) O preço máximo de venda do produto 
20.9) A função receita marginal 
20.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema 
cartesiano 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 
21 - Numa empresa o preço de venda do seu produto é: 
21.1) p = 4 - 2x. 
21.2) 2
5

xp 
21.3) p = - 2x + 3 
 
35 
 
21.4) 1
2

xp 
21.5) p = 5 – 3x 
21.6) 
3
25 xp  
21.7) 
4
31 xp  
21.8) p = - x 
21.9) 
2
53 xp  
21.10) p = - 3x + 2 
 
Determine para cada caso acima: 
a ) A função receita 
b) O gráfico da função receita 
c) O nível de produção que maximiza a receita 
d) A receita máxima da empresa 
e) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
f) A função receita média 
g) A função preço de venda do produto 
h) O preço máximo de venda do produto 
i) A função receita marginal 
j) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema cartesiano 
 
Fique tranqüilo porque vamos juntos novamente exercitar mais um pouco. 
Numa empresa a receita marginal de seu produto é dada por: 
22 ) 5
3
4)(  xxRmg 
23) xmgR 53 
24) 00,60)( xmgR 
 
36 
 
Determine para cada questão acima: 
a) A função receita 
b) A função receita média 
c) O preço unitário de venda do produto 
 
RESOLUÇÃO 
 
22) A função receita 
5
3
4)(  xxRmg  dxxRR mgx ),()(  
a) xxxxdxdxxdxxR x 53
25
2.3
45.
3
4)).5
3
4(
2
11
)( 
 
xxR x 53
2 2
)( 
 

 
 
b) A função receita media 
x
R
R xxme
)(
)(  
x
xx
xmeR
5
3
22
)(

  
x
x
x
xmeR
1
).5
3
22
()(   
 
c) O preço unitário de venda doproduto 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x )(
 
 
x
x
x
xP
x
xxP
x
xx
P 5
3
21).5
3
2(
5
3
2
22
2



 
 
 
 
 
OBS. Observe que o preço unitário de venda do produto é sempre igual a 
sua receita média. 
 
 
5
3
2

xP 
xxR x 53
2 2
)(  
5
3
2
)( 
x
xmeR 
 
37 
 
xxR 60)(  
2
53 xP 
 
23) 
a) A função receita 
xR mg 53)(   dxxRR mgx ),()(  
2
53
2
535.3).53(
211
)(
xxxxxdxdxdxxR x 

 
 
b) A função receita média 
x
R
R xxme
)(
)(  
2
53
2
531).
2
53(2
53 22
2
)(
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
R xme 

  
c) O preço unitário de venda do produto 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x )(
 
 
 2
53
2
531).
2
53(2
53 22
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
P 


 
 
 
24) 
a) A função receita 
00,60)( xmgR  dxxRR mgx ),()(  
  dxxR .60)(  
b) A função receita média 
x
R
xR xme
)()(   
6060)( 
x
xxRme  
 
c) O preço unitário de venda do produto 
2
53
2
)(
xxR x  
2
53)(
xR xme 
00,60)( xRme 
 
38 
 
xPR x .)(   Px
R x )(  x
R
P x)(
 
00,6060 
x
xP 
 
AGORA É COM VOCÊ! 
 
25 – Numa empresa a receita marginal de seu produto é: 
25.1) Rmg(x) = - 2x + 4 25.6) Rmg(x) = 3 - 5x 
25.2) 6
4
3
)(  xxmgR 27.7) 53
4
)(  xxmgR 
25.3) Rmg(x) = - 7x + 3 28.8) Rmg(x) = - 6x + 2 
25.4) 6
5
2
)(  xxmgR 29.9) 32
1)(  xxRmg 
25.5) 1
2
3)(  xxRmg 30.10) Rmg (x) = 4 - 4x 
Determine para cada caso acima: 
a ) A função receita 
b) O gráfico da função receita 
c) O nível de produção que maximiza a receita 
d) A receita máxima da empresa 
e) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 
f) A função receita média 
g) A função preço de venda do produto 
 h ) O preço máximo de venda do produto 
i) A função receita marginal 
j) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema cartesiano 
 
 
 
 
 
00,60P
 
39 
 
DEMANDA DE MERCADO E OFERTA 
 
01 – FUNÇÃO DEMANDA DE MERCADO COM PREÇO VARIÁVEL 
 
 Seja uma utilidade de bem ou serviço qualquer, e seja D a demanda ou 
procura de mercado desta utilidade a um preço P não fixo, pelo qual todos os 
consumidores estão dispostos e aptos a adquirir, em determinado período de 
tempo. A função que a todo e qualquer preço variável P associa a 
demanda ou procura de mercado D, é denominado função de demanda de 
mercado de venda dessa utilidade. Lembremos que a função demanda é 
sempre decrescente com o seu coeficiente angula negativo, e como a 
demanda do bem é uma função inversa do seu preço, temos que quanto maior 
o preço, menor será a demanda e, entre outros fatores depende: 
a) Do preço do bem 
b) Da renda do consumidor 
c) Do preço de outros bens 
d) Dos hábitos e gosto dos consumidores 
 
Obs. 
a) EFEITO – RENDA: Quando o preço do bem aumenta, o consumidor fica 
em termos reais, com menos dinheiro e, portanto, irá reduzir o consumo do 
bem e vice-versa. 
 
b) EFEITO – SUBSTITUIÇÃO: Se o preço do bem aumenta e o de outros bens 
fica constante, o consumidor procura substituir o seu consumo por outro bem 
similar, e se o preço diminui, o consumidor volta a aumentar o seu consumo. 
Há duas exceções à lei da procura: Os chamados bens de Giffen e os bens de 
Veblen. Os bens de Giffen são de pequeno valor, porém de grande importância 
no orçamento dos consumidores de baixa renda, enquanto os bens de Veblen 
são bens de consumo ostentatório, tais como, obras de artes, tapeçaria, 
automóveis de luxo, mansões iates, etc. 
 
40 
 
Evidentemente a função receita dessa utilidade em função da sua demanda é 
dada por: R(D) = P. D. 
Onde: 
R(D) = Receita em função da demanda de mercado associada à venda dessa 
utilidade. 
P = Preço variável de venda da utilidade 
D = Demanda de mercado ou quantidade vendida. 
Exemplo: O quadro abaixo ilustra a situação mostrando os valores da Receita 
correspondente a diversos preços e as respectivas demandas de mercado de 
um produto em função do preço dado por D(P) = 30 – 3P. ( Ou x = 30 – 3P ) 
30 303 30 10
3 3 3 3
x x xP x P P P          
P D R = P.D 
1 27 R = 1.27 = 27 
3 21 R = 3.21 = 61 
5 15 R = 5.15 = 75 
7 9 R = 7.9 = 63 
9 3 R = 9.3 = 27 
 
01 – A demanda de mercado de um produto que é vendido em pacotes é dada 
por D(P) = 32 – 4P. Determine: 
 
1.1. O intervalo de variação do preço 
1.2. Represente graficamente a função demanda em função do preço 
1.3. A função receita em função do preço 
1.4. Represente graficamente a função receita em função do preço 
1.5. Qual a função receita média em função do preço 
1.6. Qual a função receita marginal em função do preço 
1.7. O intervalo de variação da demanda 
1.8. Represente graficamente a função preço em função da demanda 
1.9. A função receita em função da demanda 
 
41 
 
1.10. Represente graficamente a função receita em função da demanda 
1.11. Qual o nível de produção que maximiza a receita em função dessa 
demanda 
1.12. Qual a receita máxima em função da demanda 
1.13. Qual a capacidade máxima de produção da empresa em função da 
demanda 
1.14. Qual o preço máximo que os consumidores estão dispostos a pagar 
pelo produto, em função de sua demanda. 
1.15. Qual a função receita média em função da demanda 
1.16. Qual a função receita marginal em função da demanda. 
1.17. A receita marginal para a demanda de 10 pacotes 
1.18. Determine o valor da demanda para P = 6,00 e P = 4,00 
1.19. A que nível de preço a demanda será de 10 pacotes 
1.20. A partir de que nível de preço a demanda será menor que 20 pacotes 
1.21. A partir de que preço a demanda será maior que 24 pacotes 
1.22. A que preço a demanda ficará entre 8 e 20 pacotes. 
 
RESOLUÇÃO 
 
1.1. O intervalo de variação do preço 
 Temos que: 
Como D > 0  32 - 4P > 0  32 > 4P  P4
32  P < 8 
Então, o preço varia no intervalo ] 0 ; 8 ], ou seja, 0 < P < 8 
1.2 – Representem graficamente a função demanda em função do preço 
 
 D(P) 
 
 D = 32 - 4p ; 0 < P < 8 
 
 
 
32 
P 8 0 
D = 32 - 4P 
 
42 
 
 
1.3 – A função receita em função do preço 
 Se D = 32 - 4P e substituindo na equação da receita, temos que: 
 R(P)= P.D  
2
)()( 432)432(. PPRPPR PP  0 < P < 8 
 
1.4 - Represente graficamente a função receita em função do preço. 
 R(P) 
 
 2)( 432 PPR P  ; 0 < P < 8  R (P) > 0 
 
 
 
 
 
1.5 - Qual a função receita média em função do preço 
Temos que 2)(
)(
)()( 432 PPRex
R
RR P
p
meP  então: 
 P
PPR
Pme
2
)(
432 

 

 P
P
P
PR
Pme
2
)(
432

 
 
1.6 - Qual a função receita marginal em função do preço 
Temos que a receita marginal é a derivada da receita. Portanto: 
 )´432()( 2)(´)( PPRPR Pmg   
 
 
1.7 - O intervalo de variação da demanda 
 Temos que a função preço em função da demanda é dada por: 
 D = 32 – 4P  4P = 32 - D  P = 44
32 D
  
 Como P > 0  0
4
8  D 
4
8 D  D32 ou 32D 
 [Então: A demanda varia no intervalo ] 0, 32 ], ou seja, 0 < D < 32 
64 
P 0 8 4 
 
4
8 DP  
P
Pme
R 432
)(
 
PPR mg 832)()(  
 
43 
 
 
1.8 - Represente graficamente a função preço em funçãoda demanda 
 
 
 
 
4
8 DP  ; 0 < D < 32 
 
 
 
 Obs. O preço máximo P = 8,00 ocorre para uma demanda nula (D = O) 
 1.9 - A função receita em função da demanda. 
 Substituindo a equação preço na função receita, temos 
 R(D) = P.D  R (D) = ( 4
8 D ) D  com 0 < 
D < 32 
 
 1;10 - Represente graficamente a função receita em função da demanda 
 
 64,00 
4
8
2
)(
DDR D  com 0 < D < 32  R 
(D) > 0 
 
 
 
 
 
1.11 – Qual o nível de produção que maximiza a receita em função dessa 
demanda 
 Resp. Para o nível de produção D = 16 pacotes, a receita máxima é de 
R$ 64,00 
 
D 0 32 16 
D 32 0 
8 
P(D) 
R(D) 
4
2
8)(
DDDR 
 
 
44 
 
 1.12 - Qual a receita máxima em função da demanda 
 Se o nível de produção que maximiza a receita é dado por D = 16 pacotes, 
então substituindo na função receita em função da demanda, temos: 
4
8
2
)(
DDR D 
 

 4
16168
2
)20(  xR
 
 
4
256128)20( R
 
 64128)20( R
 
 00,64)20( R
 
 1.13 - Qual a capacidade máxima de produção da empresa em função da 
demanda
 
Resp. A capacidade máxima de produção da empresa em função de sua 
demanda é de 32 pacotes. 
 1.14 - Qual o preço máximo que os consumidores estão dispostos a pagar 
pelo produto, em função de sua demanda. 
 Como o nível de produção é de D = 16 pacotes, e substituindo na função do 
preço, temos: 
4
8)(
D
DP  
 
4
168)( DP 
 48)( DP 
 
 P(D)= 4,00 
 Resp. O preço máximo é de R$ 4,00 que resulta numa receita máxima de 
R$ 64,00. 
 
 1.15 - Qual a função receita média em função da demanda 
 eD
R
DRRSe DmeD
)(
)()( )(  4
8
2
)(
DDR D 
 
 
4
8)(
4
8)(1).
4
8()(4
8
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
DDR
D
D
D
DDR
D
DDDR
D
DD
DR
me
mememe




 
 1.16 - Qual a função receita marginal em função da demanda. 
 
45 
 
)(´)( DDmg RR   ´)( 48)(
2DDR Dmg 
 
 )(
4
.28.1)(
12
11

 
DDR Dmg
 
 )(
4
.28)(
1
0 DDR Dmg   
 
 
 1.17 - A receita marginal para a demanda de 10 pacotes 
 2
8)( DR Dmg 
 
 
 2
108)(10 mgR
 
 
2
108)(10 mgR
 
 
58)(10 mgR
 
 
 
1.18 - Determine o valor da demanda para P = 6,00 e P = 4,00 
 
 P = 6,00 
D = 32 - 4p  D = 32 – 4.6  D = 32 - 24  D = 8 pacotes 
 P = 4,00 
D = 32 - 4p  D = 32 – 4.4  D = 32 - 16  D = 16 pacotes 
 
 1.19 - A que nível de preço a demanda será de 10 pacotes 
P/ D = 10 pacotes  D = 32 - 4p  10 = 32 - 4P  
 4P = 32 - 10  4P = 22 50,54
22
 PP
 
1.20 - A partir de que nível de preço a demanda será menor que 20 pacotes 
 Temos que a demanda em função do preço é dado por: D = 32 - 4p 
P/ D < 20 pacotes  32 - 4p < 20  32 – 20 < 4P  12 < 4P 
 
00,3
4
12
4
12
 PPouP
 
 
1.21 - A partir de que preço a demanda será maior que 24 pacotes 
 Temos que a demanda em função do preço é dado por: D = 32 - 4p 
00,3)(10 mgR 
2
8)( DR Dmg  
 
46 
 
P/ D > 24 pacotes  32 - 4p > 24  32 – 24 > 4P  8 > 4P 
 
00,2
4
8
4
8
 PPouP
 
 
1.22 - A que preço a demanda ficará entre 8 e 20 pacotes. 
 Temos que a demanda em função do preço é dado por: D = 32 - 4p 
 P/ (8 < D < 20) pacotes  8 < 32 - 4p < 20  
 (I) 8 < 32 - 4P  4P < 32 - 8  4P < 24  6
4
24
 PP 
 (II) 32 - 4P < 20  32 – 20 < 4P  12 < 4P  
3
4
12
4
12
 PPouP 
 Fazendo )()( III  temos que: 3,00 < P < 6,00 
 
02 – Estabeleça a expressão da Receita em função da demanda R(D) = P.D 
para cada caso abaixo: 
2.1. D = 42 – 3P 2.4. 281 PD  
2.2. D = 16 – P 2.5. 8022  PPD 
2.3. PD
2
1
5  . 2.6 21102  xxD 
 
FUNÇÃO OFERTA DE MERCADO 
 
 Seja uma utilidade de bem ou serviço qualquer, e seja S a oferta de 
mercado desta utilidade a um preço P não fixo, pelo qual todos os produtores 
ou vendedores estão dispostos e aptos a oferecer, em determinado período de 
tempo. A função que o todo e qualquer preço P qualquer associa a oferta 
de mercado S, é denominado função de oferta de mercado de venda 
dessa utilidade, portanto, quanto maior o preço maior será a oferta dos 
produtos, pois os para quem vende, é melhor o maior o lucro. 
 
47 
 
Lembremos que a função oferta é sempre uma função crescente com o 
seu coeficiente angular positivo. Ex.: 
 
01 - Seja a função S dada em função do preço dada por 
( ) 10 10 20PS P P      , onde P é o preço por unidade e S é a 
correspondente oferta de mercado. Determine: 
1.1 – A representação gráfica da função oferta 
 
 S S = - 10 + P ; 10 20P  ; S > 0 
 
 
 
 
 
 
1.2 – A função preço em função da oferta 
1.3 – A representação gráfica da função preço em função da oferta 
1.4 - A partir de que preço haverá oferta? 
Haverá oferta, quando S > 0 , ou seja 10 0 10,00P P     
1.5 – A que preço a oferta será de 300 unidades? 
1.6 - – A partir de que preço a oferta será maior que 1200 unidades? 
1.7 - – A partir de que preço a oferta será menor que 2000 unidades? 
1.8 - Para que preço a oferta ficará entre 150 e 450 unidades? 
 
02 – Seja a função oferta S em função do preço dada por ( ) 15 3PS P   
com 400P  , onde P é o preço por unidade e S é a correspondente oferta de 
mercado. Determine: 
2.1 – A Representação gráfica da oferta em função do preço dada por 
( ) 15 3PS P   com 400P  
2.2 – A função preço em função da oferta 
-10 
0 10 20 
 10 
P 
 
48 
 
2.3 – A representação gráfica da função preço em função da oferta 
2.4 - A partir de que preço haverá oferta? 
2.5 – A que preço a oferta será de 750 unidades? 
2.6 – A partir de que preço a oferta será maior que 900 unidades? 
2.7 – A partir de que preço a oferta será menor que 1500 unidades? 
2.8 - Para que preço a oferta ficará entre 150 e 450 unidades? 
03 - Seja a função dada por 2 16S P  com 6P  , onde P é o preço por 
unidade e S é a correspondente oferta de mercado. Determine: 
3.1 – A Representação gráfica da oferta em função do preço dada por com 
2 16S P  com 6P  
 
3.2 – A função preço em função da oferta 
3.3 – A representação gráfica da função preço em função da oferta 
3.4 - A partir de que preço haverá oferta? 
3.5 – A que preço a oferta será de 640 unidades? 
3.6 – A partir de que preço a oferta será maior que 3200 unidades? 
3.7 – A partir de que preço a oferta será menor que 1600 unidades? 
3.8 - Para que preço a oferta ficará entre 800 e 2400 unidades? 
 
04 - Seja a função dada por 2 7 10S P x   com 7P  , onde P é o 
preço por unidade e S é a correspondente oferta de mercado. Determine: 
0 P 
S 
4 - 4 
- 16 
6 
20 
2 16S P  ; 4 6P  ; 
0 20S  
 
49 
 
4.1 - A Representação gráfica da oferta em função do preço dada por 
2 7 10S P x   7P  
4.2 – A função preço em função da oferta e represente graficamente 
4.3 - A representação gráfica da função preço em função da oferta 
4.4 - A partir de que preço haverá oferta? 
4.5 – A que preço a oferta será de 640 unidades? 
4.6 – A partir de que preço a oferta será maior que 3200 unidades?4.7 – A partir de que preço a oferta será menor que 1600 unidades? 
4.8 - Para que preço a oferta ficará entre 800 e 2400 unidades? 
 
O PREÇO DE EQUILÍBRIO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO DE MERCADO 
NA CONCORRÊNCIA PERFEITA 
 
 A oferta e a demanda do bem x conjuntamente determinam o preço de 
equilíbrio no mercado de concorrência perfeita. O preço de equilíbrio (PE) é 
definido como o preço que iguala as quantidades demandadas pelos 
compradores e as quantidades ofertadas pelos vendedores, de tal modo que 
ambos os grupos fiquem satisfeitos. A quantidade correspondente ao preço de 
equilíbrio é denominada de quantidade equilíbrio (QE) de mercado da utilidade. 
Ex.: 
01 – Seja a função de demanda dada por D (x) = 140 - 2P (x) (demanda) e 
a função oferta dada por S (x) = - 10 + P (x) (oferta) 
 
Px Dx = 140 – 2Px Sx = - 10 + Px 
30 140 – (2 x 30) = 80 - 10 + 30 = 20 
40 140 – (2 x 40) = 60 - 10 + 40 = 30 
50 140 – (2 x 50) = 40 - 10 + 50 = 40 
60 140 – (2 x 60) = 20 - 10 + 60 = 50 
 
Observando-se a tabela acima, percebe-se facilmente que o preço de equilíbrio 
é R$ 50,00 e, a quantidade de equilíbrio é 40 unidades. 
 
50 
 
Para se obter o preço de equilíbrio, seria mais fácil igualarem-se as 
quantidades demandadas e ofertadas (já que o preço de equilíbrio iguala as 
duas quantidades). 
Se D (x) = 140 - 2P (x ( demanda ) e S (x) = - 10 + P (x) (oferta), temos que: 
 
150140 2 10 2 10 140 3 150 50,00
3
p p P P P P P                 

 
Logicamente a quantidade de equilíbrio (QE) será: 
( ) ( ) ( ) ( )140 2 140 2.50 140 100 40x x x xD p D D D          
02 – Das equações abaixo, quais podem representar funções de demanda e 
quais podem representar funções de oferta? 
a) P = 30 – 3x (Lê-se: preço em função da demanda) 
b) P = x + 20 (Lê-se: preço em função da oferta) 
c) P – 5x +30 
d) 2x +2p = 500 
e) X – 5p = 120 
 
Obs. A função demanda é sempre uma função decrescente, ou seja, o 
coeficiente angular é sempre negativo, enquanto que na função oferta 
que é uma função crescente, o seu coeficiente angular é sempre 
positivo. 
 
 03 – Determine o preço de equilíbrio de mercado para as seguintes situações: 
a) p = 20 + 2x e p = 30 - 10x 
b) p = 6x + 40 e p - 100 = 2x 
c) 
 04 - Num certo mercado as funções de oferta e demandas são dadas 
respectivamente por 
p = 0,9 + 18 e p = 45 - 0,6x. Se o Governo tabelar o preço de venda em R$ 
27,00 por unidade, em quantas unidades a demanda excederá a oferta. 
 
 
51 
 
 05 - As funções de oferta e demanda de certo produto são respectivamente 
 p = 20 + 0,5x e p – 50 = 0,5x. Determine: 
a) Qual o preço de equilíbrio de mercado 
b) Se o Governo instituir um imposto igual a R$ 3,00 por unidade vendida, 
cobrado junto ao produtor, qual o novo preço de equilíbrio 
c) Nas condições do item “ b” qual a receita arrecada pelo Governo 
 
 
02 - FUNÇAO CUSTO - )(xC 
 
 Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total 
depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e 
indicamos por CT(x)). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que 
não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À 
soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos 
custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x 
chamamos custo variável (e indicamos por Cv), ou seja, os custos (C) de uma 
empresa devem ser classificados em fixos (CF) e variáveis (CV). Supondo que 
sejam produzidas x unidades de certo produto, o custo total C(x), em qualquer 
nível de produção é a soma do custo fixo e o custo variável, e será dado por: 
 
 CT(x) = CF + CV 
Onde: 
CT(x)= Custo total 
 CF = Custo fixo 
 CV = Custo variável 
 
Custos fixos - São aqueles que, dentro de determinada capacidade de 
produção permanecem constantes em seu total, apesar das variações dos 
volumes de produção ou venda, como por exemplo, o aluguel do imóvel, 
 
52 
 
depreciação, juros, instalações e equipamentos, que permanecerá fixo, ou não 
variável, independentemente de volume de produção ou vendas. 
Os custos fixos possuem as seguintes características: 
a) são quantias fixas dentro de certos limites de produção ou até a 
capacidade máxima de produção. 
b) são fixos em seu total, mas diminuem unitariamente à medida que a 
produção aumenta. 
 
 Custos variáveis - São aqueles que variam em seu total, conforme 
flutuem as atividades produtivas da empresa. São exemplos típicos as 
comissões dos vendedores, a matéria-prima utilizada, a mão-de-obra direta, 
gastos promocionais, variando de acordo com as flutuações de venda ou 
produção, ou seja, quanto maior a produção, maior será a parcela de custo 
variável. Podemos dizer que xpxCV .)(  em que “p” é o preço variável médio 
de produção. 
Os custos variáveis possuem as seguintes características: 
a) variam no total em proporção direta ao volume de atividade: 
b) permanecem relativamente constantes, no ponto de vista unitário, 
mesmo que o volume de atividades varie. 
OBS.: 
 
A) - MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO POR UNIDADE 
Chama-se margem de contribuição por unidade à diferença entre o preço de 
venda e o custo variável por unidade, ou seja: MC = PV -- CV 
 
B) - CUSTO MÉDIO OU CUSTO UNITÁRIO 
Chama-se custo médio de produção ou custo unitário, o custo total dividido 
pelo número de unidades x. 
x
xCxCm
)()(  
 
 
 
53 
 
C) – CUSTO VARIÁVEL MÉDIO DE PRODUÇÃO 
 
Chama-se custo Variável médio de produção, o custo variável dividido pelo 
número de unidades x, que é dado por: 
x
xCVxmCV
)()(  
Para calcular o percentual (%) de cada um dos itens que compõem o 
demonstrativo de resultados de uma empresa, devemos dividi-lo pela Receita 
de Vendas, multiplicando o resultado por 100. Veja o exemplo abaixo: 
 
01 - Numa dada empresa a Receita de Vendas e de R$ 15.000,00 e os Custos 
Variáveis é de R$ 4.500,00. Determine o percentual dos Custos variáveis. 
 
% dos Custos Variáveis Totais = 100
Re
var x
vendascomtotalceita
totaisiáveisCustos 
 
% dos Custos Variáveis Totais = %30
00,000.15
00,000.450100
00,000.15
00,500.4
x 
Isso quer dizer que os Custos Variáveis Totais representam 30% da Receita 
Total com vendas. Adote o mesmo procedimento para os demais itens. 
 
13.2 - Função Custo Marginal - )(xmgC 
 
Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. 
Chamamos de custo marginal à derivada de C(x). Indicamos o custo marginal 
por )1()()(´)(  xCxCxmgCCxmgC . 
 
EXEMPLOS 
 
01 - O custo fixo de fabricação de um produto é de R$ 30,00 e o custo variável 
por unidade é de R$ 2,00. Determine: 
 
54 
 
 
1.1) A função custo fixo 
1.2) A função custo variável 
1.3) A função custo total 
1.4) O custo de produção de três unidades do produto 
1.5) O custo de produção de quatro unidades do produto 
1.6) A função custo marginal 
1.7) O custo de produção da quarta unidade do produto 
1.8) A função custo médio 
1.9) ) O custo médio de produção das quatro primeiras unidades do produto 
1.10) A função custo variável médio 
1.11) O gráfico das funções custo fixo, custo variável e custo total num mesmo 
sistema cartesiano. 
 
Resolução: 
1.1) A função custo fixo 
 CF(x)= 30,00 
 
1.2) A função custo variável 
CV(x) = p.x  CV(x) = 2.x 
 
1.3) A função custo total 
 C(x) = 30 + 2x 
 
1.4) O custo de produção de três unidades do produto 
 Se C(x) = 30 + 2x  P/ x = 3  C(3) = 30 + 2.3  C(3) = 30 + 6 
 C(3) = 36,00 
 
1.5) O custo de produção de quatro unidades do produto 
Se C(x) = 30 + 2x  P/ x = 4  C(4) = 30 + 2.4  C(3) = 30 + 8 
  C(3) = 38,00 
 
55 
 
 
1.6) A função custo marginal 
Se )1()()(´)(  xCxCxmgCCxmgC . 
 
1.7) O custo de produçãoda quarta unidade do produto 
Se )1()()(´)(  xCxCxmgCCxmgC . 
(4) (4) (3) (4) 38 36 (4) 2,00C C C C Cmg mg mg       
 
1.8) A função custo médio 
30 2( ) 30 2( ) ( ) ( )
30( ) 2
C xx xC x C x C xme me mex x x x
C xme x
      
 
 
 
1.9) ) O custo médio de produção das quatro primeiras unidades do produto 
(4) (4) (4)
30 2 7,5 2 9,50
4
30( ) 2C x C C Cme x
         
1.10) A função custo variável médio 
00,2)(.2)()()(  xmeCVx
xxmeCVx
xCVxmeCV 
 
1.11) O gráfico das funções custo fixo, custo variável e custo total num mesmo 
sistema cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
30 
CV(x) = 2x 
C(x) = 30 + 2x CT(X) ; CV(X) ; CF(x) 
0 
10 
x (unidades) 
40 
5 
CF(x) = 30 
 
56 
 
02 - Considerem a função custo 30050025,1302,0)(  xxxxC 
O custo marginal é dado por 5005,1.2202,0.3)´()(  xxxCxmgC 
5003206,0)(  xxxmgC 
Se quisermos o custo marginal para x = 10 teremos 
50030650010.32)10(06,0)10( mgC . 
476)10( mgC 
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, 
decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de x unidades. No 
exemplo dado, 476)10( mgC representa, aproximadamente, C(lI) - C(lO), ou 
seja, o custo de produção da 11ª unidade. 
 
 03. Dada a função custo 000.1000,150)(  xxC , obtenha o custo marginal e 
interprete o resultado. 
 
Resolução: 
00,150)(')(
1000.00,150)(


xCxC
xxC
mg
 
Conclusão: 
O Custo marginal é o custo decorrente da produção de uma unidade adicional 
a partir de x unidades. Neste caso, qualquer que sejam as x unidades o custo 
adicional devido à produção de mais uma unidade é de 150,00 reais. 
 
04. Dada a função custo 00,20000,20250,2330,0)(  xxxxC , obtenha: 
4.1) O custo marginal )(xmgC 
 
 
57 
 
4.2) )5(mgC e a interpretação do resultado; 
 4.3) )10(mgC e a interpretação do resultado. 
Resolução 
4.1) 00,20.50,2.230,0.3)(')( 2  xxxCxCmg 
 00,20.00,5.90,0)( 2  xxxCmg 
4.2) 50,1700,2000,2525.90,000,2000,5.55.90,0)5( 2 mgC 
O Custo marginal decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de 
5 unidades é de 17,50 reais. 
4.3) 00,6000,2000,50100.90,000,2010.00,510.90,0)10( 2 mgC 
O Custo marginal decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de 
10 unidades é de 60,0 reais. 
 
05. Repita o exercício anterior para a seguinte função custo: 
00,20000,5210,0)(  xxxC 
06 - Dada a função custo 20.602.6
3
3
)(  xxxxC , obtenha o custo 
marginal e mostre que ele tem um ponto de mínimo para x = 6 no 
domínio  ;6 
Resolução 
60122)()(
206026
3
3
)(


xxxCmgxC
xxxxC
 
Em x = 6 existirá um ponto de mínimo, caso o domínio seja  ;6 , pois a 
função )(xCm é sempre crescente. 
 
07. Em cada caso, obtenha o custo marginal e esboce os respectivos gráficos: 
a) 1002)(  xxC c) 1003021032)(  xxxxC 
 
58 
 
b) 200)(  xxC d) 100202533)(  xxxxC 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01- Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida 
seja 40.000 unidades. Se o custo fixo de fabricação for R$ 250.000,00 e o 
variável por unidade for R$ 20,00, qual o preço mínimo que a editora deverá 
cobrar por livro? 
 
02 - Dada a função custo anual de uma empresa 321030)( xxxxC  , 
a) Ache o custo médio 
x
xCxCm
)()(  
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, 
indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. 
 
03 - Repitam o exercício anterior com a função custo total 
xxxxC
2
152
12
3
)(  
 
04 - Dada à função custo C = 10 + 1,5x, mostre que o custo médio é sempre 
decrescente. 
 
05- Dada à função custo mensal de fabricação de um produto C(x) = 8 + 5x: 
a) Mostre que o custo médio é sempre decrescente. 
b) Qual o custo médio mínimo, se a capacidade da empresa é produzir no 
máximo 12 unidades por mês? 
 
 06 - Sabendo que a margem de contribuição por unidade é de R$ 6,00, o 
preço de venda é R$ 20, 00 e o custo fixo R$ 300,00 por dia, obtenha: 
a) A função receita; 
 
59 
 
b) A função custo total; 
c) O ponto de nivelamento; 
 07 – Sabendo-se que o custo marginal é Cmg(x) = 0,2x + 10 e que o custo fixo 
é de R$ 1000,00, Determine: 
a) A função custo 
b) A função custo variável 
 
 08 – Sabendo-se que o custo marginal é Cmg(x) = 6 e que o custo fixo é R$ 
600,00 obtenham a função custo 
 
 09 – Sabendo-se que o custo marginal é R$ 3x2 – 3x + 10 e que o custo fixo é 
R$200,00 obtenha: 
a) A função custo 
b) O custo médio para x = 5 
 
 10 – Repitam o exercício anterior para a função custo marginal 
Cmg(x) = 2x2 - 3x + 15 
 
 11 – Se o custo marginal é Cmg(x) = 0,16x + 8, obtenha a função custo, 
sabendo-se que quando são produzidas 20 unidades, o custo vale R$ 140,00 
pag. 189 
 
 12 – Uma empresa estima que o custo diário de fabricação seja de R$ 6000,00 
quando nenhuma peça é produzia, e um custo de R$ 24.000,00 quando são 
produzidas 750 unidades. Admitindo-se que a função custo é do 1º grau, 
determine: 
a) A função custo 
b) O custo diário para se produzirem 300 unidades 
 
 
60 
 
 13 _ Uma empresa opera com um custo fixo diário de R$ 1000,00. O ponto de 
nivelamento ocorre quando são produzidas e vendidas 40 unidades 
diariamente. Determine: 
a) A margem de contribuição da empresa 
 
 14 – Uma loja compra um produto e o revende com uma margem de 
contribuição unitária igual á 10% do preço de venda. Determine: 
a) O preço de venda em função do custo variável por unidade. 
b) Qual a margem de contribuição como porcentagem de c? 
 
 15 – Se a margem de contribuição unitária é igual a 15% do custo variável por 
unidade, qual o valor dessa margem como porcentagem do preço de venda 
 
16 – Se a margem de contribuição unitária é de 20% do preço de venda, qual é 
essa margem como porcentagem do custo variável por unidade 
 
17 - O custo anual de fabricação de x unidades de um produto é 
4001002,0)( 2  xxxC . Obtenha o valor de x que minimiza o custo médio. 
 
18 - Dada à função custo total xxxxC 55,15,0)( 23  . 
a) Obtenha o custo marginal; 
b) Obtenha o custo médio; 
c) Mostre que, no ponto de mínimo do custo médio, o custo marginal é igual ao 
custo médio. 
 
 19 - Repita o exercício anterior com a seguinte função custo total: 
xxxxC 156)( 23  
 
20 – Descanse um pouco e continue depois! 
 
 
 
61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO – REVISÃO 
 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
 Conceito 
 
Uma expressão matemática é denominada algébrica ou literal quando possui 
“números e letras” ou explicitamente, apenas “letras”. As letras são chamadas 
variáveis. 
 
Exemplos: 
a) x + y b) 5xy c) x + 2 d) - 3a + 2b 
 
 Termo Algébrico 
 
É todo produto indicado de números reais, representados ou não por variáveis, 
pertencente a uma expressão algébrica. 
 
 
62 
 
Exemplos: 
a) - 5xy2 + 15x3y – 8xy + 2 
 - 5xy2  é um termo algébrico 
 15x3y  é um termo algébrico 
 - 8xy  é um termo algébrico 
 2  é um termo algébrico ou termo constante 
 
Classificação das Expressões Algébricas 
 
As expressões algébricas são classificadas do seguinte maneira: 
 













spolinomiainãoressõesexpSãoirracional
spolinomiainãoressõesexpSãoafracionári
spolinomiairessõesexpasSãoeiraint
racional
ébricalgAExpressão
 
Uma expressão algébrica é: 
 
 Racional inteira: quando não contém variável em radical nem em 
denominador. 
Exemplos: 
 a) 3x + y b) 5a2 + 2 5 c) 23
3510
zyx  d) 
10
22 223 yxx  
 
 Racional fracionária: quando não contém variável em radical, mas contém 
no denominador. 
Exemplos: 
 a) 
y
x3
20 + 2y b) 15x2 + 7x – 
x
20 c) 4 x +10 y + 
z
1 + 2 d) 4
3
1



x
x 
 
 
63 
 
 Irracional: quando contém variável sob radical. 
Exemplos: 
 
 a) 30 x + 12y b) x5 +8x2 c) 5 x + 
y
1 d) 30 + 
x5
1 + 
x2
1 
 
 Valor Numérico de uma Expressão Algébrica 
 
Quando substituímos cada variável de uma expressão algébrica por um 
número real e efetuamos as operações indicadas, obtemos o Valor Numérico 
(VN) da expressão. 
 
Exemplos: 
1º) Determinar o valor numérico (VN)de cada expressão algébrica, abaixo: 
a) 4a + 7b, para a = 2 e b = 4 
b) 2x + 15y, para x = 1/5 e y = –2 
c) 
9
1052


x
xx , para x = 5 
 d) 
xy
yx
3
75  , para x = 1 e y = –2 
 
 Monômio 
 
É uma expressão algébrica racional inteira composta de um só termo. 
 
Um monômio é composto por duas partes: 
 O coeficiente, que é a parte numérica; 
 A parte literal, que é composta pelas letras e seus respectivos expoentes. 
 
Exemplos: 
a) –6a2b ___ coeficiente e ___ parte literal 
 
64 
 
b) 4xy2 ___ coeficiente e ___ parte literal 
c) 5 4 3 2
8
x y z ___ coeficiente e ___ parte literal 
d) 
5
52nm ___ coeficiente e ___ parte literal. 
 
Grau de um monômio 
 
É a soma dos expoentes da parte literal. 
Exemplos: 
a) –7a2b Grau: _______ 
b) 9xy2 Grau: _______ 
c) 3 4 3 2
5
a b c d Grau: _______ 
d) 
30
52nm Grau: _______. 
 
 Polinômio 
 
É uma expressão algébrica racional inteira composta de dois ou mais 
monômios ou termos. 
Podemos ainda classificá-los como: 
a) Binômio: quando possui dois termos 
b) Trinômio: quando possui três termos. 
 
Exemplos: 
a) 3 x + y 
b) 2x2 – 5x + 8 
c) 3x2y – 15xy2 + 9xy + 12x2y2 
d) 18a3b2c + 12ab3c2 – 9a2bc2 + 3a3b3c – abc + 15 
 
65 
 
 
 Grau de um polinômio 
É obtido do termo de maior grau. 
 
Exemplos: 
a) 4x + y Grau: ____ 
b) 14x2 – 30x + 10 Grau: ____ 
c) 12x2y – 15xy2 + 6xy + 2x2y2 Grau: ____ 
d) 8a3b2c + 10ab3c2 – 9a2bc2 + 20a3b3c – 5abc + 7 Grau: ____ 
 
Termos Semelhantes 
 
São monômios ou termos que possuem a parte literal idêntica. 
Exemplos: 
a) 30x2 e 15x2 → São semelhantes 
b) 
3
5 xyz2 e 2 xyz2 → São semelhantes 
c) 40xy e 7xy2 → Não são semelhantes. 
 
 Operações com Monômios e Polinômios 
 
Adição e Subtração 
Somamos ou subtraímos monômios semelhantes. Da mesma forma, somamos 
ou subtraímos polinômios, reduzindo seus termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
1) Dados os monômios: A = 4xy, B = 6xy e C = - 5xy, encontre: 
a) A + B + C = 
 
 
b) A – B – C = 
 
66 
 
c) C + A – B = 
 
 
2) Dados os polinômios: A = x2 + 3x –72 e B = 5x2 –62x + 14, efetue: 
a) A + B = 
b) A – B = 
c) B – A = 
3) Dados os polinômios: A = x2 + 5x + 6 e B = x2 – 5, faça: 
a) A + B = 
b) A – B = 
c) B – A = 
 
4) Dados os polinômios: A = 8x2 + 3x + 6, B = x – 4, C = x3 + 5x2 + 2x, faça: 
a) A + B + C = 
b) A + B – C = 
c) C – A + B= 
 
 Multiplicação de monômios 
Multiplicamos os coeficientes entre si, e na parte literal, conservamos as 
variáveis e somamos os expoentes das variáveis iguais. 
 
Exemplos: 
1) Determine os produtos: 
a) (30x2)  (2x) = 
 b) (–5ax2)  (–
2
1 a3x) = 
 c) 
5
3 xyz  (–
2
1 xw)  (7wz) = 
 d) 3a)  (–8b)  (5c)  (
6
1 ) = 
 
67 
 
 
 Multiplicação de monômio por polinômio 
Multiplicamos o monômio por cada termo do polinômio. 
 
Exemplos: 
1) Determine os produtos: 
a) (8x)  (5x2 – x + 3) = 
 b) (-5ax2)  (
2
1 ax – 4ay +8) = 
 c) 
5
3 xyz  (–
2
1 x + 2y – 6z) = 
 d) (4a)  (–2ab + 5a2 +8 b2) = 
 
 Multiplicação entre polinômios 
Multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por todos os termos segundo 
polinômio e depois reduzimos os termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
1) Determine os produtos: 
a) (3x + 2)  (x2 – 4x + 5) = 
b) (x – 2)  (x2 – 5x +7) = 
c) (x + 3)  (5x2 – 9x + 12) = 
d) (3a2 + a - 3)  (–2a + 4) = 
Divisão entre monômios ou “polinômios por monômios” 
Dividimos os coeficientes entre si e a parte literal entre si, subtraindo os 
expoentes quando as letras são iguais. 
 
Exemplos: 
1) Efetue as divisões: 
a) (100x2y2z) : (50xyz) = 
b) (25ab) : (5c) = 
 
68 
 
c) (xy) : (3xyz) 
d) (16x2 + 4x + 30) : (2x) = 
 
 Divisão entre polinômios 
 
Algoritmo para divisão entre polinômios através do Método da Chave: 
1º) ordenamos os polinômios em ordem decrescente de grau e completamos 
com zeros os termos faltosos; 
2º) dividimos o termos de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor; 
3º) multiplicamos o quociente pelo divisor e subtraímos entre resultado do 
dividendo; 
4º) repetimos o processo com o resto da subtração + um termo. 
Além disso, temos o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, que usa uma tabela 
com todos os coeficientes para efetuar a divisão. 
 
Exemplos: 
1) Efetue as divisões através do Método da Chave e do Dispositivo Prático 
de Briot-Ruffini 
a) (x2 – 2x + 3) : (x + 2)  = 
 
b) (x2 – 3x + 6) : (x – 3) = 
 
 
c) (3x2 – 7x + 10) : (x + 3) = 
 
d) (5a5 – 2a + 1) : (a + 1) = 
 
e) (x5 – x) : (x – 1) = 
 
69 
 
 
Fatoração de Expressões Algébricas 
 
Fatorar significa transformar em fatores. 
 
1o) Caso: Fator Comum em Evidência 
 
 
ax + bx = x(a + b) 
Exemplos: 
 
a) 3a4 – 6a2 + 9a3 = 3a2(a2 – 2 + 3a) 
b) 6x2y – 18xy2 = 6xy(x – 3y) 
c) - 3x2 – 4x3 – 6x4 – 12x5 = 
d) 6a(x + y) + 10b(x + y) = 
 
2o) Caso: Agrupamento 
 
ax + bx + ay + by = 
x(a + b) + y(a + b) = 
(a + b)(x + y) 
 
 
Exemplos: 
 
a) 4am + 6bm + 4an + 6bn = 
 
 
b) 5ax – 5ay – 3bx + 3by = 
 
c) x3 + x2 + x + 1 = 
 > 3a2 é o fator comum em evidência; 
> 3 é o maior divisor entre 3, 6 e 9; 
> a2 é o maior divisor entre a2, a3 e a4, ou seja, a de 
menor expoente; 
> Divide-se cada termo por 3a2 e o resultado 
 coloca-se no parêntese. 
> Fator Comum dos dois primeiros termos 
> Fator Comum dos dois últimos termos 
> Fator Comum dos termos 
anteriores 
 
70 
 
Exercícios: 
 
1) Fatorar as expressões abaixo. 
 
a) 2ax + bx + 3x = 
 
b) b) a3b4 – 2a2b5 + 3ab6 = 
 
 c) xy + ax + 2y + 2a = 
 
d) 2a2 – ab = 
 
e) 2x2y – 4xy2 + 6x2y2 = 
 
f) 2x3 + x2 – 6x – 3 = 
 
g) 2a4x6 – 20a7x5 = 
 
h) 8x5yz2 + 16x3y2z3 – 24x4y2z4 + 4x5z3y = 
 
i) xy + ay – bx – ab = 
 
 
 
 
 
71 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Casos Fórmulas 
1o) Caso: Quadrado da Soma de Dois 
Termos 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
2o) Caso: Quadrado da Diferença de Dois 
Termos 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
3o) Caso: Produto da Soma pela Diferença 
de 
 dois termos 
(a + b).(a – b) = a2 – b2 
4o) Caso: Cubo da Soma de Dois Termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5o) Caso: Cubo da Diferença de Dois 
Termos 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
6o) Caso: Trinômio do 2o Grau (x + m).(x + n) = x2 + (m + n)x + 
mn 
7o) Caso: Quadrado da Soma de Três 
Termos 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 
2ac + 2bc 
8o) Caso: Formação da Soma de Dois 
Cubos 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
9o) Caso: Formação da Diferença de Dois 
Cubos 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 
 
 
Fatoração de Expressões Algébricas – Continuação 
 
3o) Caso: Fatoração de Trinômio Quadrado Perfeito 
Exemplos: 
a) x2 + 2xy + y2 = 
 
 
72 
 
b) x2 – 2xy + y2 = 
 
4o) Caso: Fatoração da Diferença de Dois Quadrados 
 
Exemplos: 
a) x2 – y2 = 
 
b) x2 – 4 = 
 
c) 4x2 – 16 = 
 
d) 25x4 – 64y4 = 
 
1) Resolver as questões abaixo, conforme cada caso: 
 
1o) Caso: “Quadrado da soma de dois termos”: “O quadrado do 1º, mais 2 
vezes o 1º vezes o 2º, mais o quadrado do 2º”. 
a) (x + 2)2 = 
b) (3y + 4)2 = 
 
 
 
2o) Caso: “Quadrado da diferença de dois termos”: “É