Lista Tranferencia de calor

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Exercício de Fenômenos de Transporte 
 
Aluno: Francisco Jose de Souza Vieira Filho turma 02 
 
3. Em uma casa aquecida eletricamente, a temperatura do solo em contato com uma parede de 
concreto do porão é de 12,8°C. A temperatura na face interna da parede é de 20°C. A parede tem 
uma espessura de 0,10 m e uma área de 9,0 m². Suponha que um quilowar hora de eletricidade 
custe $0,10. Quantas horas são necessárias para que uma quantidade de energia que custa um 
dólar seja conduzida através da parede? 
 
Q =
(kA∆T)t
L
 
𝑡 =
𝑄𝐿
𝑘𝐴∆𝑇
 
𝑡 =
3,6𝑥106. 0,10
1,1.9.7,2
 
𝑡 = 5050,5 𝑠 
𝑡 = 5050,5 𝑠.
1𝑚𝑖𝑛
60
.
1ℎ
60𝑚𝑖𝑛
= 14,03 
 
4. A quantidade de calor conduzida por segundo dos capilares sanguíneos abaixo da pele até a 
superfície é igual a 240J/s. A energia se transfere por uma distância de 2,0x10^-3 m através de 
um corpo cuja área superficial é de 1,6m². Supondo que a condutividade térmica seja a da 
gordura do corpo, determine a diferença de temperatura entre os capilares e a superfície da pele. 
 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑄𝐿 = (𝐾𝐴∆𝑇)𝑡 
∆𝑇 =
𝑄𝐿
𝑡𝐾𝐴
 => 
240.2𝑥10−3
0,20.1,6
 => 1,5°𝐶 
 
5. Devido a uma diferença de temperatura ∆T, ocorre uma condução de calor através de uma 
placa de alumínio com uma espessura de 0,035 m. Posteriormente, a placa é substituída por uma 
placa de aço inoxidável que possui a mesma diferença de temperatura e área da seção 
transversal. Qual deveria ser a espessura da placa de aço para que a mesma quantidade de calor 
por segundo fosse transferida através dela? 
 
L al=0,035m; mesmo ∆T e A 
L aço=? 𝑄𝑎𝑙 =
(𝐾𝑎𝑙𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑎𝑙
 𝑄𝑎ç𝑜 =
(𝐾𝑎ç𝑜𝐴∆𝑇)𝑇
𝐿𝑎ç𝑜
 
 
(𝐾𝑎𝑙𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑎𝑙
=
(𝐾𝑎ç𝑜𝐴∆𝑇)𝑇
𝐿𝑎ç𝑜
 
𝐾𝑎𝑙
𝐿𝑎𝑙
=
𝑘𝑎ç𝑜
𝐿𝑎ç𝑜
 
𝐿𝑎ç𝑜 =
𝐾𝑎ç𝑜𝐿𝑎𝑙
𝑘𝑎𝑙
 => 
14.0,035
240
= 2,04𝑥10−3𝑚 
 
6. Um esquiador está vestido com uma jaqueta confeccionada de pena de ganso com 15 mm de 
espessura. Um outro esquiador está vestido com um suéter de lã que tem 5,0 mm de espessura. 
As duas roupas possuem a mesma área superficial. Supondo que a diferença de temperatura entre 
as superfícies internas e externas de cada vestimenta seja a mesma, calcule o quociente (lã/pena 
de ganso) da perda de calor devido à condução durante o mesmo intervalo de tempo. 
 
𝑄𝑙𝑎 =
(𝑘𝑙𝑎𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑙𝑎
 𝑄𝑝𝑔 =
(𝑘𝑝𝑔𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑝𝑔
 
 
(𝑘𝑙𝑎𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑙𝑎
=
(𝑘𝑝𝑔𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿𝑝𝑔
 
Fazendo 
𝑄𝑙𝑎
𝑄𝑝𝑔
 
𝑄𝑙𝑎
𝑄𝑝𝑔
=
𝐾𝑙𝑎
𝐿𝑙𝑎
𝐾𝑝𝑔
𝐿𝑝𝑔
 => 
𝐾𝑙𝑎 𝐿𝑝𝑔
𝐾𝑝𝑔 𝐿𝑝𝑔
 => 
0,040.0,015
0,025.0,005
= 4,8 
7. Na equação da condução Q=(KA∆T)t/L a combinação dos fatores kA/L é chamada de 
condutância. O corpo humano possui a capacidade de variar a condutância do tecido abaixo da 
pele por meio de vasoconstrição e vasodilatação, nas quais o fluxo de sangue para as veias e 
capilares na base da pele é reduzido e aumentado, respectivamente. A condutância pode ser 
ajustada dentro de uma faixa tal que o tecido abaixo da pele é equivalente a uma espessura de 
0,080 mm de Styrofoam ou 3,5 mm de ar. Por qual fator o corpo pode ajustar a condutância? 
 
 
 
𝐶𝑠𝑡 =
𝐾𝑠𝑡𝐴
𝐿𝑠𝑡
 𝐶𝑎𝑟 =
𝐾𝑎𝑟𝐴
𝐿𝑎𝑟
 
𝐾𝑠𝑡𝐴
𝐿𝑠𝑡
=
𝐾𝑎𝑟𝐴
𝐿𝑎𝑟
 
𝐶𝑠𝑡
𝐶𝑎𝑟
=
𝐾𝑠𝑡𝐿𝑎𝑟
𝐾𝑎𝑟𝐿𝑠𝑡
 => 
0,010.3,5𝑥10−3
0,0236.8𝑥10−5
= 17,09 
 
8.Uma haste composta de aço inoxidável e ferro com comprimento de 0,50 m. A seção 
transversal desta haste composta está mostrada no desenho, sendo formada por um quadrado 
inscrito em um círculo. A seção transversal quadrada possui 1,0 cm de lado. A temperatura de 
uma extremidade da haste é de 78 °C, enquanto a outra extremidade é de 18 °C. Supondo que 
não saia calor pela superfície externa cilíndrica, determine a quantidade total de calor transferida 
por condução através da haste em dois minutos. 
 
 
 
 
 
𝐷2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝐷2 = 2𝑙² 
4𝑅2 = 2𝐿2 
𝑅2 =
𝐿2
2
 
𝐴𝑓𝑒 = 𝐴𝑓𝑒 − 𝐴𝑎ç𝑜 
𝐴𝑓𝑒 = 𝜋𝑅2 − 𝐿2 
𝐴𝑓𝑒 =
𝜋𝐿2
2
− 𝐿2 
𝐴𝑓𝑒 = 0,57𝐿2 
 
𝑄𝑡 = 𝑄𝑎ç𝑜 + 𝑄𝑓𝑒 
𝑄𝑡 =
(𝐾𝑎ç𝑜𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
+
(𝐾𝑓𝑒𝐴𝑓𝑒∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑄𝑡 =
60.120
0,50
[14. (0,01)2 + 79(0,57.0,01)2] 
𝑄𝑡 = 85,5 
 
 
 
 
 
9. Três materiais de construção, placa de gesso [k= 0,30 J/(s.m°C)], tijolo maciço [ k= 0,60 
J/(s.m.°C)], e madeira [k= 0,10 J/s.m.°C] são unidos em camadas formando um sanduíche como 
ilustrado no desenho. As temperaturas nas superfícies internas e internas são iguais a 27°C e 0°C, 
respectivamente. Cada material possui a mesma espessura e mesma área da seção transversal. 
Determine a temperatura (a) na interface placa de gesso - tijolo maciço e (b)na interface tijolo 
maciço - madeira. 
 
 
𝑄
𝑇
=
𝐾𝑔𝐴𝑔(27 − 𝑇𝑔)
𝐿𝑔
=
𝐾𝑡𝐴𝑡(𝑇𝑔 − 𝑇𝑡)
𝐿𝑡
=
𝐾𝑚𝐴𝑚(𝑇𝑚 − 0)
𝐿𝑚
 
(I) (II) (III) 
𝐾𝑔(27 − 𝑇𝑔𝑡) = 𝐾𝑡(𝑇𝑔𝑡 − 𝑇𝑡𝑚) = 𝐾𝑚(𝑇𝑡𝑚 − 0) 
 (II) = (III) 
𝐾𝑡. 𝑇𝑔𝑡 − 𝐾𝑡. 𝑇𝑡𝑚 = 𝐾𝑚. 𝑇𝑡𝑚 
0,60𝑇𝑔𝑡 − 0,60𝑇𝑡𝑚 = 0,10𝑇𝑡𝑚 
0,60𝑇𝑔𝑡 = 0,70𝑇𝑡𝑚 
𝑇𝑡𝑚 =
0,60𝑇𝑔𝑡
0,70
 
 (I) = (III) => gesso - tijolo 
𝐾𝑔(27 − 𝑇𝑔𝑡) = 𝐾𝑚 (
0,60𝑇𝑔𝑡
0,70
) 
8,1 − 0,30𝑇𝑔𝑡 = 0,085𝑇𝑔𝑡 
8,1 = 0,385𝑇𝑔𝑡 
𝑇𝑔𝑡 =
8,1
0,385
= 21,03°𝐶 
 (I) = (II) => tijolo - madeira 
8,1 − 6,309 = 0,10𝑇𝑡𝑚 
1,791 = 0,10𝑇𝑡𝑚 
𝑇𝑡𝑚 = 17,91°𝐶 ≅ 18°𝐶 
 
10. Em uma casa a temperatura na superfície de uma janela é de 25 °C. A temperatura fora da 
casa na superfície da janela é de 5,0 °C. Perde-se calor através da janela por condução, e a perda 
de calor por segundo possui um certo valor. A temperatura do lado de fora começa a cair, enquanto 
as condições de dentro da casa permanecem as mesmas. Como resultado, a perda de calor por 
segundo aumenta. Qual a temperatura na superfície da janela no lado de fora quando se dobra o 
calor perdido por segundo? 
 
𝑄
𝑇
=
𝐾𝐴∆𝑇
𝐿
 => 
𝑄
𝑇
=
20𝐾𝐴
𝐿
 
Após a temperatura externa começar a cair: 
𝑄
𝑇
= 2.
20𝐾𝐴
𝐿
 
 
2.20𝐾𝐴
𝐿
=
𝐾𝐴(25 − 𝑇𝑒𝑥𝑡)
𝐿
 
40 = (25 − 𝑇𝑒𝑥𝑡) 
15 = −𝑇𝑒𝑥𝑡 
𝑇𝑒𝑥𝑡 = −15°𝐶 
 
11. Duas hastes de alumino e outra de cobre, estão unidas pela extremidade. A área da seção 
transversal de cada uma é de 4,0 x 10^-4 m² e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A 
extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 °C, enquanto a extremidade livre da haste 
de cobre é mantida a 25 °C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser 
desprezada. (a) Qual a temperatura na interface alumínio – cobre? (b) Qual a quantidade de calor 
conduzida através da unidade formada pelas duas hastes em 2,0 s? (c) Qual a temperatura na haste 
de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente? 
 
 a) (I) (II) 
𝑄
𝑇
=
𝐾𝑎𝑙𝐴(302 − 𝑇𝑎𝑐)
𝐿
 <=> 
𝑄
𝑇
=
𝐾𝑐𝑜𝐴(𝑇𝑎𝑐 − 25)
𝐿
 
 
 (I) = (II) 
𝐾𝑎𝑙𝐴(302 − 𝑇𝑎𝑐)
𝐿
=
𝐾𝑐𝑜𝐴(𝑇𝑎𝑐 − 25)
𝐿
 
𝐾𝑎𝑙(302 − 𝑇𝑎𝑐) = 𝐾𝑐𝑜(𝑇𝑎𝑐 − 25) 
72480 − 240𝑇𝑎𝑐 = 390𝑇𝑎𝑐 − 9750 
630𝑇𝑎𝑐 = 82230 
𝑇𝑎𝑐 = 130,52°𝐶 
 
b) 
𝑄𝑎 =
𝐾𝑎𝑙𝑎(302 − 130,52)𝑡
𝐿
=> (
240.4𝑥10−4. 171,48
0,040
) . 2 = 823,104 J 
c) Qual é a temperatura na haste de alumínio a um L=0,015 m da extremidade mais quente? 
𝑄 =
(𝐾𝑎𝑙𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 => 823,104 =
240.4𝑥10−4(302 − 𝑇𝑑)2
0,015
 
823,104 =
0,192(302 − 𝑇𝑑)
0,015
 => 
57,984 − 0,192𝑇𝑑
0,015
= 823,104 
57,984 − 0,192𝑇𝑑 = 12,34 
𝑇𝑑 =
45,644
0,192
 
𝑇𝑑 = 237,7°𝐶 
 
12. Uma haste de cobre tem um comprimento de 1,5 m e a área da seção transversal de 4,0 x 10^-
4 m². Uma extremidade da haste está em contato com água fervendo e a outra com uma mistura 
de gelo e água. Qual massa de gelo se funde por segundo? Suponha que não haja perda de calor 
através da superfícielateral da haste. 
 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑚𝐿𝑓 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑚
𝑡
=
(𝐾𝐴∆𝑇)
𝐿. 𝐿𝑓
 
𝑚
𝑡
=
390.100.4𝑥10−4
1,5.33,5𝑥104
 
𝑚
𝑡
= 3,10𝑥10−5
𝑘𝑔
𝑠
 
 
13. Uma extremidade de uma barra de latão é mantida a 306 °C e a outra a temperatura constante, 
porém mais baixa. A área da seção transversal da barra é de 2,6 x 10^-4 m². Devido ao isolamento, 
as perdas através das laterais da barra são desprezíveis. No entanto, o calor flui através da barra a 
uma taxa de 3,6 J/s. Qual a temperatura da barra em um ponto distante 0,15 m da extremidade 
quente? 
 
𝑄
𝑡
=
𝐾𝑙𝑎𝐴∆𝑇
𝐿
 
𝑄
𝑡
=
110.2,6𝑥10−4(306 − 𝑇𝑑)
0,15
 
 
3,6 =
110.2,6𝑥10−4(306 − 𝑇𝑑)
0,15
 
0,54 = 8,7516 − 0,0286𝑇𝑑 
𝑇𝑑 =
8,2116
0,0286
= 287,11°𝐶 
 
14. Uma lâmina de gelo com 0,30 m de espessura cobre um lago. A temperatura do ar na superfície 
de gelo é de -15°C. Em cinco minutos a espessura do gelo aumenta de uma pequena quantidade. 
Suponha que não haja fluxo de calor no solo abaixo para dentro d’água e que a camada de gelo 
acrescentada seja muito fina quando comparada com os 0,30 m. Determine quantos milímetros 
aumenta a espessura do gelo. 
 
𝑄 = 𝑚𝐿𝑓 = ℓ𝑣𝑙𝑓 
𝑄 = ℓ𝐴ℎ𝑙𝑓 
ℓ𝐴ℎ𝑙𝑓 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
ℎ =
(𝐾∆𝑇)𝑡
ℓ𝑙𝑓. 𝐿
 
ℎ =
2,2. (15). (300)
33,5𝑥104. 917.0,30
= 1,07𝑥10−4 
15. Duas hastes cilíndricas possuem a mesma massa. Uma é feita de prata (massa específica = 
10.500 kg/m³) e a outra de ferro (massa específica = 7.860 kg/m³). as duas hastes conduzem a 
mesma quantidade de calor por segundo quando mantida a mesma diferença de temperatura entre 
suas extremidades. Qual o quociente (prata em relação ao ferro) (a) dos comprimentos e (b) dos 
raios destas hastes? 
 
a) 
𝑄
𝑡
=
𝐾𝑝𝑟𝐴𝑝𝑟∆𝑇
𝐿𝑝𝑟
 <=> 
𝑄
𝑡
=
𝐾𝑓𝑒𝐴𝑓𝑒∆𝑇
𝐿𝑓𝑒
 
𝐾𝑝𝑟𝐴𝑝𝑟∆𝑇
𝐿𝑝𝑟
=
𝐾𝑓𝑒𝐴𝑓𝑒∆𝑇
𝐿𝑓𝑒
 
𝐿𝑝𝑟
𝐿𝑓𝑒
=
𝐾𝑝𝑟𝐴𝑝𝑟
𝐾𝑓𝑒𝐴𝑓𝑒
 
(
𝐿𝑝𝑟
𝐿𝑓𝑒
) =
𝐾𝑝𝑟ℓ𝑝𝑟𝐿𝑝𝑟
𝐾𝑓𝑒ℓ𝑓𝑒𝐿𝑓𝑒
 
(
𝐿𝑝𝑟
𝐿𝑓𝑒
)
2
=
𝐾𝑝𝑟ℓ𝑝𝑟
𝐾𝑓𝑒ℓ𝑓𝑒
 
𝐿𝑝𝑟
𝐿𝑓𝑒
= √
𝐾𝑝𝑟ℓ𝑝𝑟
𝐾𝑓𝑒ℓ𝑓𝑒
 
𝐿𝑝𝑟
𝐿𝑓𝑒
= √
420.7860
79.10500
= 2 
b) ℓ =
𝑚
𝑣
  𝑚 = ℓ𝑣 
 
ℓ𝑝𝑣𝑝 = ℓ𝑓𝑣𝑓 
ℓ𝑝𝐴𝑝𝐿𝑝 = ℓ𝑓𝐴𝑓𝐿𝑓 
𝐴𝑝
𝐴𝑓
=
ℓ𝑓𝐿𝑓
ℓ𝑝𝐿𝑝
 
𝜋𝑝2
𝜋𝑓2
=
7860.1
10500.2
 
𝜋𝑝
𝜋𝑓
=
√7860
10500(2)
= 0,61 
16. Um homem está em pé ao ar livre na sombra onde a temperatura é de 28°C. (a) Qual a energia 
radiante absorvida por segundo na sua cabeça quando ela estiver coberta por cabelos? A área da 
superfície dos cabelos (suponha que ela seja plana) é de 160 cm² e a sua emissividade igual a 
0,85. (b) Qual seria a energia radiante absorvida pelo mesmo homem se ele fosse careca e a 
emissividade da sua cabeça fosse igual a 0,65? 
 
a) 
𝑄
𝑡
= ℓ𝜎𝑇4𝐴 
𝑄
𝑡
= 0,85.5,67𝑥10−8. 301,154. 0,016 
𝑄
𝑡
= 6,34
𝐽
𝑠
 
b) P/ℓ= 0,65 
𝑄
𝑡
= ℓ𝜎𝑇4𝐴 
 
𝑄
𝑡
= 0,65.5,67𝑥10−8. 301,154. 0,016 
 
𝑄
𝑡
= 4,85 
𝐽
𝑠
 
 
17. Quantos dias levaria para que um cubo negro perfeito (0,0100 m de lado, 30°C) irradiasse a 
mesma quantidade de energia de uma lâmpada de 100 W usa em uma hora? 
 
 
𝑄
𝑡
= ℓ𝜎𝑇4𝐴 
𝑡 =
𝑄
ℓ𝜎𝑇4𝐴
 
𝑡 =
100.3600
1.5,67𝑥10−8. (303,15)4. 6(0,01)2
 
𝑡 = 1252962,004𝑠 => 
60𝑠
1𝑚
=
60𝑚
1ℎ
=
24ℎ
1𝑑𝑖𝑎
=
86400𝑠
1𝑑𝑖𝑎
 
1252962,004𝑠
86400𝑠
= 14,5 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
18. O filamento de uma lâmpada tem uma temperatura de 3,0 x 10³ °C e irradia 60 W de potência. 
A emissividade do filamento é de 0,36. Determine a área da superfície do filamento. 
 
𝑄 = ℓ𝜎𝑇4𝐴𝑡 
𝐴 =
𝑄
𝑡
.
1
ℓ𝜎𝑇4
 
𝐴 = 60
1
0.35(3273,15)45,67𝑥10−8
 
𝐴 = 2,6𝑥10−5𝑚2 
 
19. Um objeto emite 30 W de potência radiante. Se ele fosse um corpo negro perfeito, mantida as 
demais condições, ele emitiria 90 W de energia radiante. Qual a emissividade do objeto? 
 
Caso 01 
30 = ℓ𝜎𝑇4𝑡 
Caso 02 
90 = ℓ𝜎𝑇4𝑡 
ℓ =
30𝑤
90𝑤
= 0,33 
 
 
20. A quantidade de potência radiante produzida pelo Sol é aproximadamente 3,9 x 10^26. 
Supondo que o Sol seja um corpo negro perfeito esférico com um raio de 6,96 x 10^8 m. determine 
a temperatura da sua superfície (em Kelvin). 
𝑃 = ℓ𝜎𝑇4𝐴 
𝑇 = √
𝑃
ℓ𝜎(4𝜋𝑟2)
4
 
𝑇 = √
3,9𝑥1026
1.5,67𝑥10−8. 4𝜋(6,96𝑥108)
4
 
𝑇 = 5797,8 𝐾 ≅ 5800𝐾 
 
21. Um carro estacionado sob o Sol absorve energia de uma taxa de 560 W por metro quadrado 
da área superficial. O carro alcança uma temperatura na qual ele irradia energia a esta mesma 
taxa. Tratando o carro como um radiador perfeito (e=1), determine a temperatura. 
 
 
𝑃 = ℓ𝜎𝑇4𝐴 
 
𝑇 = √
𝑃𝑜
ℓ𝜎𝐴
4
 
 
𝑇 = √
560
1.5,67𝑥10−8
4
= 315,24𝐾 
 
22. Suponha que a temperatura da pele de uma pessoa despida seja de 34°C quando a mesma está 
em pé dentro de um ambiente cuja a temperatura é de 25°C. A área superficial da pele dessa 
pessoa é de 1,5 m²(a) supondo que a emissividade é de 0,80, determine a perda líquida de potência 
radiante do corpo (b) determine o número de calorias alimentares de energia ( 1 caloria alimentar 
= 1 kcal = 4186 J) que se perde em uma hora devido à taxa líquida de perda de calor perdida na 
parte (a). a conversão metabólica de alimentos em energia repõe essa perda. 
a) 
𝑃𝑙𝑖𝑞 = ℓ𝜎𝐴(𝑇4 − 𝑇𝑜4) 
𝑃𝑙𝑖𝑞 = 0,80.5,67𝑥10−8. 1,5(307,154 − 298,154) 
𝑃𝑙𝑖𝑞 = 67𝑊 
b) 
Q = Pt 
𝑄 = (67𝑊). (3600𝑠). (1
𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑎
4186𝐽
) 
𝑄 = 58 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 
 
23. A parede de concreto de um edifício possui uma espessura de 0,10 m. A temperatura dentro 
do edifício é de 20 °C enquanto a temperatura do lado de fora é de 0,0 °C. Existe condução de 
calor através da parede. Quando o edifício não está aquecido, a temperatura de dentro cai para 0,0 
°C e condução de calor cessam. Entretanto a parede emite energia radiante quando a sua 
temperatura é de 0,0 °C. A energia radiante emitida por segundo por metro quadrado é igual à 
perda de calor por segundo por metro quadrado devido à condução. Qual a emissividade da 
parede? 
 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 => (
𝑄
𝐴𝑡
) =
𝐾∆𝑇
𝐿
 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎çã𝑜 => (
𝑄
𝐴𝑡
) = ℓ𝜎𝑇4 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎çã𝑜 
𝐾∆𝑇
𝐿
= ℓ𝜎𝑇4 
ℓ =
𝐾∆𝑇
𝜎𝑇4𝐿
 
ℓ =
1,1. (20 − 0)
5,67𝑥10−8. 2734. 0,10
 
ℓ = 0,698 𝑜𝑢 0,7 
 
24.Uma esfera sólida possui uma temperatura de 773 K. a esfera é derretida e moldada novamente 
como um cubo que possui a mesma emissividade e emite a mesma potência radiante que a esfera. 
Qual a temperatura do cubo? 
 
 
 
 
𝑃𝑒 = 𝑃𝑐 
ℓ𝜎𝑇4𝑒𝐴𝑒 = ℓ𝜎𝑇4𝑐𝐴𝑐 
𝑇4𝑒𝐴𝑒 = 𝑇4𝑐𝐴𝑐 
𝑇4𝑒(4𝜋𝑟2) = 𝑇4𝑐(6𝐿2) 
𝑇4𝑒(4𝜋0,62²) = 𝑇4𝑐(6𝐿2) 
𝑇𝑐 = √
𝑇4𝑒(4𝜋0,62𝐿2)
6𝐿2
4
 
𝑇𝑐 = √
7734(4𝜋0,62𝐿2)
6𝐿2
4
= 825,16𝐾 
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑉𝑒 = 𝑉𝑐 
4
3
𝜋𝑟3 = 𝑙3 
𝑅 = √
3𝑙3
4𝜋
3
= 0,62𝐿 
 
 
 
25. Um cilindro sólido está irradiando potência. Ele possui um comprimento igual a dez vezes o 
seu raio. Ele é cortado em um certo número de cilindros menores, todos do mesmo comprimento. 
Cada cilindro pequeno tem a mesma temperatura que o cilindro original. A energia radiante total 
emitida pelos pedaços cilíndricos é o dobro da emitida pelo cilindro original. Em quantos cilindros 
menores foi dividido o cilindro original? 
 
𝐿𝑐 = 10𝑅 
𝐴1 = 2𝜋𝑅2 + (2𝜋𝑅)𝐿 
𝐴1 = 2𝜋𝑅2 + 20𝜋𝑅² 
𝐴1 = 22𝜋𝑅2 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴2 => 𝐴2 = 𝑁(2𝜋𝑅2) + 20𝜋𝑅² 
𝐴2 = 𝜋𝑅2(𝑁 + 20) 
𝑃𝑐
𝑃𝑗
=
ℓ𝜎𝑇4𝐴2
ℓ𝜎𝑇4𝐴1
 
𝑃𝑐
𝑃𝑗
=
𝐴2
𝐴1
= 2 
𝜋𝑅2(𝑁 + 20)
22𝜋𝑅2
= 2 
𝑁 + 20 = 44 
𝑁 = 24 
24
2
= 12 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑠 
26. Uma pequena esfera (emissividade = 0,90, raio = r1) está localizada no centro de uma casca 
esférica de amianto (espessura = 1,0 cm, raio externo = r2). A espessura da casca é pequena 
comparada com os raios externos e internos da casca. A temperatura da esfera pequena é de 800,0 
°C e a temperatura interna da casca é de 600,0 °C, ambas as temperaturas permanecendo 
constantes. Supondo que r2/r1 = 10,0 e ignorandoqualquer ar no interior da casca, determine a 
temperatura na superfície externa da casca. 
𝑄
𝑡
=
(𝐾𝐴∆𝑇)
𝐿
 => 𝑃𝐿 = 𝐾𝐴∆𝑇 
ℓ𝜎𝐴1(𝑇4 − 𝑇40 =
(𝐾𝐴2∆𝑇)
𝐿
 
(0,9). (5,67𝑥10−8)𝐴1[(1073)4 − (873)4] =
(0,09)𝐴2∆𝑇
10−2
 
380,029 = 0,09 (
𝐴2
𝐴1
) ∆𝑇 => (
𝐴2
𝐴1
) = 100 
380,029 = 9∆𝑇 
∆𝑇 =
380,029
9
 
∆𝑇 = 42,254°𝐶 
 
𝐴2
𝐴1
=
𝜋𝑅22
𝜋𝑅21
= (
𝑅2
𝑅1
)
2
 
(
𝑅2
𝑅1
)
2
= 102 = 100 
27. Uma extremidade de um atiçador de fogo feito de ferro é colocada em lareira onde a 
temperatura é de 502 °C, e a outra extremidade mantida à temperatura de 26 °C. o atiçador tem 
1,2 m de comprimento e um raio de 5,0 x 10^-3 m. ignorando o calor perdido ao longo do 
comprimento do atiçador, determine a quantidade de calor conduzido de uma extremidade do 
atiçador e outra em 5,0 s. 
 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑄 =
79𝜋(5,0𝑥10−3)2(502 − 26)(5,0)
1,2
 
𝑄 = 12 𝐽 
 
 
28. Uma geladeira tem uma área superficial de 5,3 m². ela é revestida com um isolamento de 
0,075 m de espessura cuja a condutividade térmica é de 0,030 J/(s.m.°C). a temperatura interior é 
mantida a 5 °C e a da superfície externa em 25 °C. Quanto calor por segundo está sendo removido 
pela unidade refrigeradora? 
 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
𝑄
𝑡
=
𝐾𝐴∆𝑇
𝐿
 
𝑄
𝑡
=
0,030.20.5,3
0,075
= 42,4
𝐽
𝑠
 
29. Uma mulher come uma sobremesa que contém 260 calorias. (Esta unidade “Caloria”, com C 
maiúsculo, é usada por nutricionistas; 1 Caloria = 4186 J, veja a seção 12.7.) a temperatura da sua 
pele está a 36 °C e a do entorno em 21 °C. a emissividade de sua pele é de 0,75 e a sua área 
superficial é 1,3 m². Quanto tempo levaria para que ela emitisse uma energia radiante líquida de 
seu corpo que fosse igual a energia contida nesta sobremesa? 
 
𝑄 = 260𝑐𝑎𝑙 → 𝑥 𝐽 
1𝑐𝑎𝑙 → 4186 𝐽 
𝑄 = 1088360 𝐽 
𝑄
𝑡
= ℓ𝜎𝐴∆𝑇4 
𝑡 =
𝑄
ℓ𝜎∆𝑇𝐴4
=
1088360
0,75.5,67𝑥10−8. 1,3. (3094 − 2944)
 
𝑡 = 1,19𝑥104 𝑠 
 
30. O corpo de uma pessoa está produzindo energia internamente devido aos processos 
metabólicos. Se o corpo perde mais energia do que os processos metabólicos estão gerando, sua 
temperatura cairá. Se a queda de temperatura for grave, pode haver uma ameaça à vida. Suponha 
que uma pessoa esteja despida e que esteja sendo perdida energia por radiação de uma área da 
superfície corporal de 1,40 m², que possui uma temperatura de 34 °C e uma emissividade de 
0,700. Suponha que os processos metabólicos estejam produzindo energia a uma taxa de 115 J/s. 
Qual a temperatura do ambiente mais frio em que esta pessoa poderia permanecer em pé sem 
experimentar uma queda na temperatura do corpo? 
 
𝑃 = ℓ𝜎𝐴(𝑇4 − 𝑇𝑜4) 
𝑃
ℓ𝜎𝐴
= (𝑇4 − 𝑇𝑜4) 
𝑃
ℓ𝜎𝐴
− 𝑇4 = −𝑇𝑜4 
115
0,7.5,67𝑥10−8. 1,40
− (307,15)4 = −𝑇𝑜4 
−𝑇𝑜4 = −6830636481 
𝑇𝑜 = √6830636481
4
= 287,48 𝐾 𝑜𝑢 14,33°𝐶 
 
31. Reveja o exemplo 6 antes de tentar resolver este problema. Suponha que o fogão naquele 
exemplo tivesse uma área superficial de apenas 2,00 m². Qual deveria ser a sua temperatura (em 
Kelvin) de modo que ele continuasse gerando uma potência líquida de 7300 W? 
 
𝑃
𝑡
= ℓ𝜎𝐴(𝑇4 − 𝑇𝑜4) 
7300 = 0,9.567𝑥10−8. 2(𝑇4 − 𝑇𝑜4) 
7300
1,02𝑥10−7
+ (302)4 = 𝑇4 
𝑇 = √
7300
1,02𝑥10−7
+ (302)4
4
= 531,64 𝐾 
32. Hélio líquido está armazenado na sua temperatura de ebulição de 4,2 K em um recipiente 
esférico (raio = 0,30 m). o recipiente é radiador corpo negro perfeito. O recipiente está envolto 
por um escudo esférico cuja a temperatura é de 77 K. Faz-se vácuo no espaço entre o recipiente 
e o escudo. O calor latente para evaporação do hélio é de 2,1 x 10^4 J/kg. Que massa de hélio 
líquido evapora e escapa através da válvula de ventilação em uma hora? 
 
𝑄 = 𝑚𝐿𝑓 
ℓ𝜎𝐴∆𝑇4𝑡 = 𝑚𝐿𝑓 
𝑚
𝑡
=
ℓ𝜎𝐴∆𝑇4
𝐿𝑓
 
𝑚
𝑡
=
1.5,67𝑥10−8𝜋(0,30)2. (774 − 4,24)
2,1𝑥104
 
𝑚
𝑡
= 1,07𝑥10−4
𝑘𝑔
𝑠
 => 
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
=
60𝑚𝑖𝑛
1ℎ
=
3600𝑠
1ℎ
 
𝑚
𝑡
= 0,38
𝑘𝑔
𝑠
 
 
33. Em bule de alumínio, 0,15 kg de água a 100 °C evaporam em quatro minutos. O fundo do 
bule tem uma espessura de 3,1 x 10^-3 m e possui uma área superficial de 0,015 m². para evitar 
que a água evapore rápido demais, uma placa de aço inoxidável foi colocada entre o bule e a base 
de aquecimento. A placa possui 1,4 x 10^-3 m de espessura e a sua área coincide com a do bule. 
Supondo que o calor esteja sendo conduzido para a água apenas pelo fundo determine a 
temperatura (a) na interface alumínio – aço (b) na superfície de aço em contato com a base de 
aquecimento. 
a) 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
∆𝑇 =
𝑄𝐿
𝐾𝐴𝑡
=
(𝑚𝑙)𝐿
𝐾𝐴𝑡
 
∆𝑇 =
(𝑚𝑙)𝐿
𝐾𝐴𝑡
=
(0,15)(22,6𝑥105)(3,1𝑥10−3)
(240)(0,015)(240)
= 1,2°𝐶 
𝑇 = 100°𝐶 + ∆𝑇 = 101,2°𝐶 
b) 
∆𝑇 =
(𝑚𝑙)𝐿
𝐾𝐴𝑡
=
(0,15)(22,6𝑥105)(1,4𝑥10−3)
(14)(0,015)(240)
= 9,4°𝐶 
𝑇 = 101,2°𝐶 + ∆𝑇 = 110,6°𝐶 
 
34. Reveja o exemplo conceitual 4 antes de tentar resolver este problema. Para ilustrar o efeito do 
gelo sobre a placa de resfriamento de alumínio, considere o desenho mostrado aqui e os dados 
neles contido. Ignore qualquer limitação relacionada a algarismos significativos (a) calcule a 
quantidade de calor por segundo por metro quadrado que seria conduzida através da combinação 
gelo - alumínio (b) calcule a quantidade de calor por segundo por metro quadrado que seria 
conduzida através do alumínio se o gelo não estivesse presente. Note o quão maior é a resposta 
na parte (b) comparada com a parte (a) 
 
a) 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
(𝐾𝑔𝐴𝑔∆𝑇)
𝐿𝑔
=
(𝐾𝑎𝑙𝐴𝑎𝑙∆𝑇)
𝐿𝑎𝑙
 
 I II 
(22)𝐴𝑔(−10 − 𝑇)
0,005
=
(240)𝐴𝑎𝑙[𝑇 − (−25)]
0,0015
 
Aplicando T= -24,959°C na equação I temos que: 
 
(22). [(−10 − (−24,959)]
0,005
=
6,58𝑥103𝐽
𝑠. 𝑚²
 
b) Aplicando T=-10°C na equação II temos que: 
(240)[(−10 − (−25)]
0,0015
=
2,4𝑥106𝐽
𝑠. 𝑚²
 
 
35. O desenho mostra uma haste cilíndrica sólida ² formada por um cilindro central de chumbo e 
uma camisa externa concêntrica de cobre. Exceto pelas suas extremidades, o cilindro está isolado 
(o que não é mostrado), de modo que as perdas de calor pela superfície curva não desprezíveis. 
Quando uma diferença de temperatura é mantida entre suas extremidades, esta haste conduz 
metade da quantidade de calor que ela conduziria se ela fosse feita de cobre sólido. Determine o 
quociente entre os raios r1/r2. 
 
 
𝑄 = 𝑄𝑐 + 𝑄𝑙 
1
2
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
=
(𝐾𝑐𝐴𝑐∆𝑇)𝑡
𝐿𝑐
+
(𝐾𝑙𝐴𝑙∆𝑇)𝑡
𝐿𝑙
 
1
2
𝐾𝑐𝜋𝑟22 = 𝐾𝑐𝜋(𝑟22 − 𝑟12) + 𝐾𝑙𝜋12 
𝐾𝑐 (
1
2
𝑟22 − 𝑟22 + 𝑟12) = 𝐾𝑙𝑟12 
195𝑟22 = 390(𝑟22 − 𝑟12) + 35𝑟1² 
195𝑟22 = 355𝑟12 
𝑟1
𝑟2
= √
195
355
= 0,74 
36. O desenho mostra uma placa em camadas formada pela junção de diferentes materiais 
isolantes que possuem condutividade térmica k1 e k2. As espessuras L1 e L2 são diferentes e a 
temperatura TQ e maior do que a temperatura TF. Mostre que o calor que atravessa a placa por 
condução em um tempo t é dado por Q = A( TQ – TF) t/[ (L1/ k1) + (L2/ k2)], de modo que o 
valor efetivo de R da placa é (L1/ k1) + (L2/ k2). 
 
𝑄 =
(𝐾𝐴∆𝑇)𝑡
𝐿
 
(𝐾1𝐴1∆𝑇)𝑡
𝐿1
=
(𝐾2𝐴2∆𝑇)𝑡
𝐿2
 
𝐾1
𝐾2
(𝑇𝐻 − 𝑇) =
𝐾2
𝐿2
(𝑇 − 𝑇𝐶) 
𝑇 =
𝐾1
𝐿1 𝑇𝐻 +
𝐾2
𝐿2 𝑇𝐶
𝐾1
𝐿1 + 𝐾2/𝐿2
 
𝑄 =
𝐾1𝐴𝑇𝐻 − 𝑇𝐶
𝐿1
 
𝑄 =
𝐾1𝐴𝑡
𝐿1
[𝑇𝐻 − (
𝐾1
𝐿1 𝑇𝐻 +
𝐾2
𝐿2 𝑇𝐶
𝐾1
𝐿1 +
𝐾2
𝐿2
)] 
𝑄 = 𝐴𝑡 [
𝐾1
𝐿1
𝑇𝐻 − (
𝐾1²
𝐿1²
𝑇𝐻 +
𝐾1𝐾2
𝐿1𝐿2 𝑇𝐶
𝐾1
𝐿1 +
𝐾2
𝐿2
)] 
𝑄 = 𝐴𝑡 [
𝐿1𝐾2𝐾1
𝐿1
𝑇𝐻 +
𝐿2𝐾12
𝐿1
𝑇𝐻 −
𝐿1𝐿2𝐾12
𝐿12
𝑇𝐻 − 𝐾1𝐾2𝑇𝐶
𝐿1𝐾2 + 𝐿2𝐾1
] 
𝑄 = 𝐴𝑡 [
𝐾1𝐾2𝑇𝐻 − 𝐾1𝐾2𝑇𝐶
𝐾1𝐾2
]
−1
= 𝐴𝑡(𝑇𝐻 − 𝑇𝐶) (
𝐾1𝐾2
𝐿1𝐾2 + 𝐿2𝐾1
) 
𝑄 = 𝐴𝑡(𝑇𝐻 − 𝑇𝐶) (
𝐿1𝐾2 + 𝐿2𝐾1
𝐾1𝐾2
)
−1
= 𝐴𝑡(𝑇𝐻 − 𝑇𝐶) (
𝐿1
𝐾1
+
𝐿2
𝐾2
)
−1
 
𝑄 =
𝐴(𝑇𝐻 − 𝑇𝐶)𝑡
(
𝐿1
𝐾1
+
𝐿2
𝐾2
)