ENSINO DE MATEMATICA COM MATERIAS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS

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PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
ENSINO DE MATEMÁTICA COM 
MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOCENTE: 
 
JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFoorrttaalleezzaa--CCeeaarráá 
22000088 
 
 
ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR 
FACULDADE ATENEU 
COORDENADOR GERAL: 
PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE 
COORDENADORAS PEDAGÓGICAS: 
PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
 
ENSINO DE MATEMÁTICA COM 
MATERIAIS DIDÁTICOS ALTERNATIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOCENTE: 
 
JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFoorrttaalleezzaa--CCeeaarráá 
22000088 
 
 
 
 
 
 
Ensino de Matemática com Utilização de Materiais Didáticos Alternativos 
Prof. Helder Filho - helder@accessueducacao.org 
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Sumário 
A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7 
B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7 
C. Carga horária ...................................................................................................... 7 
1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E MATERIAIS 
DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS ................................................................................... 8 
1.1. Introdução .......................................................................................................... 8 
1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ............................................... 9 
1.2.1. Algumas concepções de LEM ........................................................................ 9 
1.2.2. A construção do LEM .................................................................................. 10 
1.2.3. Objeções ao uso do LEM ............................................................................. 12 
1.3. Material didático (MD) .................................................................................... 16 
1.3.1. MD manipulável ........................................................................................... 16 
1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem ................................................... 18 
1.3.3. O professor e o uso do MD .......................................................................... 19 
1.3.4. Potencialidades do MD ................................................................................ 21 
1.3.5. Obstáculos ao uso do MD ............................................................................ 25 
1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM ....................................................... 25 
1.5. Referências bibliográficas do texto .................................................................. 26 
2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NO 
ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................................................... 27 
Referências bibliográficas do texto ............................................................................ 36 
3. OFICINA DE GEOMETRIA COM CANUDOS ........................................... 37 
3.1. Construindo um Dodecaedro com Canudos .................................................... 38 
3.2. Lista de materiais ............................................................................................. 39 
3.3. Atividade 1: Construção de um tetraedro regular ............................................ 40 
3.4. Atividade 2: Construção de um octaedro regular ............................................ 41 
3.5. Atividade 3: Construção de um icosaedro regular ........................................... 42 
3.6. Atividade 4: Construção de um cubo e de suas diagonais ............................... 42 
4. APROXIMAÇÃO TEÓRICA À REALIDADE DO JOGO .......................... 44 
4.1. Introdução ........................................................................................................ 44 
4.2. Sobre a etimologia do termo jogo .................................................................... 45 
4.3. Sobre o conceito de jogo .................................................................................. 49 
 
 
 
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4.4. Sobre a definição do jogo ................................................................................ 51 
4.5. Origem do jogo ................................................................................................ 55 
4.6. Características do jogo ..................................................................................... 57 
4.7. Conclusões ....................................................................................................... 58 
5. JOGOS DIDÁTICOS: SEU USO E IMPORTÂNCIA NA 
APRENDIZAGEM ....................................................................................................... 60 
5.1. Introdução ........................................................................................................ 60 
5.2. Motivação ........................................................................................................ 60 
5.3. O Jogo Didático ............................................................................................... 61 
6. COMO MINISTRAR CONTEÚDOS COM UM JOGO DE PALAVRAS . 64 
6.1. Introdução ........................................................................................................ 64 
6.2. Como ministrar conteúdos com o autódromo? ................................................ 65 
6.3. Como ministrar conteúdos com o jogo do telefone? ....................................... 67 
6.4. Como ministrar conteúdos com o cochicho? ................................................... 68 
6.5. Como ministrar conteúdos com o arquipélago? .............................................. 69 
6.6. Como ministrar conteúdos com o hiper-arquipélago? ..................................... 70 
6.7. Como ministrar conteúdos com o torneio? ...................................................... 71 
6.8. Como transformar pontos ganhos pelas equipes em notas? ............................ 72 
 
 
 
 
 
 
 
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A. Objetivo do módulo 
 
O módulo se insere em uma perspectiva teórica que propõe discutir a metodologia do 
ensino da matemática, diante das novas necessidades de mudanças no paradigma de 
ensinar e aprender, no contexto social e tecnológico. 
Também, como forma de incitar questionamentos e ampliar as possibilidades de refle-
xão e ação dos professores sobre as próprias vivências de sala de aula. 
 
B. Ementa do módulo 
 
1. O papel do professor de Matemática na formação do pensamento científico. 
2. A influência da concepção desse papel na prática pedagógica. 
3. Análise de temas do ensino da matemática, como: dificuldades básicas, materiais 
didáticos convencionais, materiais didáticos alternativos, etc. 
4. Aplicar materiais didáticos manipuláveis e alternativos através da utilização de 
experimentos em aulas teóricas e práticas. 
5. Despertar o interesse pela matemática experimental como método de ensino. 
6. Possibilitar aos alunos docentes contato com novas abordagens do conteúdo ma-
temático e ampliar o repertório de estratégias do professor. 
 
C. Carga horária 
 
12 horas-aula 
 
 
 
 
 
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1. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E 
MATERIAIS DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS1 
Sérgio Lorenzato
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1.1. Introdução 
Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram a 
importância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem. 
Assim, por exemplo, por volta de 1650,Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se 
do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que 
só se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensível 
para alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou a 
experiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, por 
volta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; na 
mesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial. 
Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando a 
importância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, e 
Poincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Mais 
recentemente, Montessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos e 
atividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmente 
do tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletida 
sobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que as 
experiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seu 
raciocínio. Enfim, cada educador, a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduo 
sobre o objeto é básica para a aprendizagem. Em termos de sala de aula, durante a ação 
pedagógica, esse reconhecimento evidencia o fundamental papel que o material didático 
pode desempenhar na aprendizagem. 
Nessa lista de pensadores e educadores podem constar, por justiça, nomes como 
o de Claparède (defensor da inclusão de brincadeiras e jogos na escola) e o de Freinet 
(que recomendava o uso de cantinhos temáticos na sala de aula), que valorizavam a 
ativida-de como fator básico para a aprendizagem. 
Essa lista de nomes de expoentes da educação que reconheceram a eficácia do 
material didático na aprendizagem poderia ser muito maior, mesmo se restrita ao ensino 
da matemática, se lembrarmos das contribuições de Willy Servais, Caleb Gattegno, 
Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges Cuisenaire, Jean-Louis 
Nicolet, Luigi Campedelli e Zoltan P. Dienes, entre muitos outros. No Brasil, Júlio 
César de Mello e Souza3 - isto é, Malba Tahan - e Manoel Jairo Bezerra4, entre outros, 
muito contribuíram para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas 
 
1 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) – 
Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 3. 
2 É licenciado em matemática pela UNESP (Rio Claro), mestre em educação pela UnB (Brasília), doutor 
em educação pela UNICAMP (Campinas) e pós-doutor em educação matemática pela Université Laval 
(Canadá). Docente da Faculdade de Educação da UNICAMP. 
3 J ú l io César de Mello e Souza (1957), Técnicas e procedimentos didáticos no ensino da matemática, 
Rio de Janeiro, Aurora. 
4 Manoel Jairo Bezerra (1962), O material didático no ensino da matemática, Rio de Janeiro, 
Diretoria do Ensino Secundário/ Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário/ 
MEC. 
 
 
 
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de matemática. Seria injusto faltar o registro a um excepcional matemático que 
percebeu a influência do ver e do fazer na aprendizagem: Arquimedes. Ele evidenciou 
isso quando escreveu a Eratóstenes, mais ou menos no ano 250 a.C, dizendo: “é meu 
dever comunicar-te particularidades de certo método que poderás utilizar para descobrir, 
mediante a mecânica, determinadas verdades matemáticas [...] as quais eu pude 
demonstrar, depois, pela Geometria” (apud NICOLET, 1967). Desse modo, Arquimedes 
revelou o modo pelo qual fazia descobertas matemáticas e confirmou a importância das 
imagens e dos objetos no processo de construção de novos saberes. Nessa mesma linha 
de pensamento está um antigo provérbio chinês, que diz: “se ouço, esqueço; se vejo, 
lembro; se faço, compreendo”, o que é confirmado plenamente pela experiência de 
todos, especialmente daqueles que estão em sala de aula. Enfim, não faltam argumentos 
favoráveis para que as escolas possuam objetos e imagens a serem utilizados nas aulas, 
como facilitadores da aprendizagem. Justamente por isso, decorre uma inescapável 
necessidade de as escolas possuírem laboratórios de ensino dotados de materiais 
didáticos de diferentes tipos. 
1.2. O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) 
Nossa sociedade pressupõe e, até mesmo, exige que muitos profissionais tenham 
seus locais apropriados para desempenharem o trabalho. É assim para o dentista, 
cozinheiro, médico-cirurgião, veterinário, cabeleireiro, porteiro, ator, entre muitos 
outros. E por que local apropriado para trabalhar? Porque o bom desempenho de iodo 
profissional depende também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis. Em muitas 
profissões, a prática difere pouco do planejamento; não é o caso do magistério, devido à 
criatividade dos alunos, que torna o LEM simplesmente indispensável à escola. Assim 
como nossas casas se compõem de partes essenciais, cada uma com uma função 
específica, nossas escolas também devem ter seus componentes, e um deles deve ser o 
Laboratório de Ensino de Matemática (LEM). 
No entanto, alguém poderia lembrar-se de que foi, e ainda é possível, ensinar 
assuntos abstratos para alunos sentados em carteiras enfileiradas e com o professor 
dispondo apenas do quadro-negro. Afinal, muitos de nós aprendemos (e ensinamos?) a 
fazer contas desse modo. Porém, para aqueles que possuem uma visão atualizada de 
educação matemática, o laboratório de ensino é uma grata alternativa metodológica 
porque, mais do que nunca, o ensino da matemática se apresenta com necessidades 
especiais e o LEM pode e deve prover a escola para atender essas necessidades. 
1.2.1. Algumas concepções de LEM 
Mas o que é um LEM? Existem diferentes concepções de LEM. Inicialmente ele 
poderia ser um local para guardar materiais essenciais, tornando-os acessíveis para as 
aulas; neste caso, é um depósito/arquivo de instrumentos, tais como: livros, materiais 
manipuláveis, transparências, filmes, entre outros, inclusive matérias-primas e 
instrumentos para confeccionar materiais didáticos. Ampliando essa concepção de 
LEM, ele é um local da escola reservado preferencialmente não só para aulas regulares 
de matemática, mas também para tirar dúvidas de alunos; para os professores de 
matemática planejarem suas atividades, sejam elas aulas, exposições, olimpíadas, 
avaliações, entre outras, discutirem seus projetos, tendências e inovações; um local para 
criação e desenvolvimento de atividades experimentais, inclusive de produção de 
materiais instru-cionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica. 
Facilitando a realização de experimentos e a prática do ensino-aprendizagem da 
 
 
 
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matemática, o LEM deve ser o centro da vida matemática da escola; mais que um 
depósito de materiais, sala de aula, biblioteca ou museu de matemática, o LEM é o lugar 
da escola onde os professores estão empenhados em tornar a matemática mais com-
preensível aos alunos. 
O LEM pode ser um espaço especialmente dedicado à criação de situações 
pedagógicas desafiadoras e para auxiliar no equacionamento de situações previstas pelo 
professor em seu planejamento mas imprevistas na prática, devido aos questionamentos 
dos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de diferentes 
materiais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para 
estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para 
facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, 
experimentar, analisar e concluir, enfim,aprender e principalmente aprender a aprender. 
Para muitos professores, todas as salas de aula e todas as suas aulas devem ser 
um laboratório onde se dão as aprendizagens da matemática. Essa é uma utopia que 
enfraquece a concepção possível e realizável do LEM, porque ela pode induzir 
professores a não tentarem construir o LEM num certo local da escola em que traba-
lham, seja este numa sala, num canto ou num armário. 
O LEM, mesmo em condições desfavoráveis, pode tornar o trabalho altamente 
gratificante para o professor e a aprendizagem compreensiva e agradável para o aluno, 
se o professor possuir conhecimento, crença e engenhosidade. Conhecimento porque, 
tendo em vista que ninguém ensina o que não sabe, é preciso conhecer matemática mas 
também metodologia de ensino e psicologia, enfim, possuir uma boa formação 
matemática e pedagógica; crença porque, como tudo na vida, é preciso acreditar naquilo 
que se deseja fazer, transformar ou construir; e engenhosidade porque, muito frequen-
temente, é exigida do professor uma boa dose de criatividade, não só para conceber, 
planejar, montar e implementar o seu LEM, como também para orientar seus alunos e 
transformá-los em estudantes e, de preferência, em aprendizes também. 
Assim, por exemplo, diante dos poliedros de Platão, convém que surjam 
questionamentos pelos alunos ou pelo professor, tais como: Por que assim são 
denominados? Quem foi Platão? Quais foram suas contribuições para a matemática? 
Por que os poliedros de Platão são somente cinco, isto é, quais são suas características? 
Quais são os outros tipos de poliedros? Onde os poliedros estão presentes? 
Uma lista de indagações, tal como essa, poderia ser afixada no LEM para que o 
professor e os alunos se ponham à procura das respostas ao longo dos dias seguintes 
para, então, darem retorno de suas descobertas. Note que aprender a procurar, e mesmo 
a encontrar respostas, é mais importante para a formação do indivíduo do que as 
respostas às indagações. Note, também, que, mesmo dispondo de um LEM, o professor 
pode simplesmente mostrar aos alunos os cinco poliedros, dando o nome e a definição 
de cada um. Assim, temos dois modos diferentes de utilizar um mesmo LEM... e 
provavelmente dois professores com concepções bem diferentes de educação e de LEM. 
1.2.2. A construção do LEM 
É difícil para o professor construir sozinho o LEM e, mais ainda, mantê-lo. 
Convém que o LEM seja consequência de uma aspiração grupai, de uma conquista de 
professores, administradores e de alunos. Essa participação de diferentes segmentos da 
escola pode garantir ao LEM uma diferenciada constituição, por meio das possíveis e 
 
 
 
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indispensáveis contribuições dos professores de história, geografia, educação artística, 
educação física, português, ciências, entre outros. 
A contribuição dos alunos para a construção da LEM é muito Importante para o 
processo educacional deles, pois é fazendo que se aprende. Orientados pelo professor 
responsável pelo LEM, os alunos, distribuídos em grupos, podem solicitar, dos 
professores das áreas mencionadas, exemplos de interseção dessas áreas com a ma-
temática. Certamente, a coleta será quantitativamente maior do que esperavam, 
principalmente se contarem com o apoio bibliográfico ou computacional; em seguida, 
será necessário preparar o material para apresentação do que foi coletado. Assim, o 
LEM irá constituindo-se de acordo com as condições locais e até mesmo tornará pos-
sível uma exposição escolar dos trabalhos produzidos pelos alunos. Mas, para que tudo 
aconteça, é preciso que a escola possua professores que acreditem no LEM, que 
reconheçam a necessidade de a escola possuir seu LEM, que se empenhem na 
construção dele e que considerem as possibilidades da escola. 
A respeito da construção do LEM, é também fundamental considerar a quem ele 
se destina; se o LEM se destina para crianças de educação infantil, os materiais devem 
estar fortemente centrados para apoiar o desenvolvimento delas no que se refere aos 
processos mentais básicos - correspondência, comparação, classificação, se-qiienciação, 
seriação, inclusão e conservação -, os quais são essenciais para a formação do conceito 
de número; além desses materiais, o LEM deve possuir aqueles que poderão favorecer a 
percepção espacial (formas, tamanhos, posições, por exemplo) e a noção de distância, 
para a construção do conceito de medida. 
Se o LEM se destina às quatro primeiras séries do ensino fundamental, o apelo 
ao tátil e visual ainda deve manter-se forte, mas os materiais devem visar mais 
diretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção da 
necessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim, 
aos objetivos matemáticos. 
Essa característica deve continuar presente no LEM para as séries seguintes do 
ensino fundamental, mas agora também devem 
compor o LEM aqueles materiais que desafiam o raciocínio lógico-dedutivo 
(paradoxos, ilusões de ótica) nos campos aritmético, geométrico, algébrico, 
trigonométrico, estatístico. 
Ao LEM do ensino médio, podem ser acrescidos artigos de jornais ou revistas, 
problemas de aplicação da matemática, questões de vestibulares, desafios ao raciocínio 
topológico ou combinatório, entre outros. E também várias questões ou situações-
problema referentes a temas já abordados no ensino fundamental, mas que agora 
demandam uma análise e interpretação mais aprofundadas por parte dos alunos. 
E o que dizer do LEM para os cursos de formação de professores? Que ele é, 
simplesmente, mais que necessário para as instituições de ensino que oferecem tais 
cursos. É inconcebível que, em suas aulas, os professores desses cursos realcem a 
necessidade da autoconstrução do saber, a importância dos métodos ativos de apren-
dizagem, o significado dos sentidos para a aprendizagem, o respeito às diferenças 
individuais, mas, na prática de ensino e no estágio supervisionado, os seus alunos não 
disponham de instrumentos para a realização da prática pedagógica. Se lembrarmos que 
mais importante do que ter acesso aos materiais é saber utilizá-los corretamente, então 
não há argumento que justifique a ausência do LEM nas instituições responsáveis pela 
 
 
 
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formação de professores, pois é nelas que os professores devem aprender a utilizar os 
materiais de ensino; é inconcebível um bom curso de formação de professores de mate-
mática sem LEM. Afinal, o material deve estar, sempre que necessário, presente no 
estudo didatico-metodológico de cada assunto do programa de metodologia ou didática 
do ensino da matemática, pois conteúdo e seu ensino devem ser planejados e ensinados 
de modo simultâneo e integrado. 
Existem diversos tipos de LEM, em razão dos seus diferentes objetivos e 
concepções. Apesar dessa diversificação, a lista seguinte de sugestões de materiais 
didáticos, instrumentos ou equipamentos pode ser a base para a constituição de muitos 
LEM, cada um adaptado ao contexto em que estiver inserido. 
De modo geral, o LEM pode constituir-se de coleções de: 
• Livros didáticos; 
• Livros paradidáticos; 
• Livros sobre temas matemáticos; 
• Artigos de jornais e revistas; 
• Problemas interessantes; 
• Questões de vestibulares; 
• Registros de episódios da história da matemática; 
• Ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos; 
• Jogos; 
• Quebra-cabeças; 
• Figuras; 
• Sólidos; 
• Modelos estáticos ou dinâmicos; 
• Quadros murais ou pôsteres; 
• Materiais didáticos industrializados; 
• Materiais didáticos produzidos pelos alunos e professores; 
• Instrumentos de medida; 
• Transparências, fitas, filmes, softwares; 
• Calculadoras; 
• Computadores; 
• Materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos.A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma 
vez construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que 
o professor se mantenha atualizado. 
1.2.3. Objeções ao uso do LEM 
Na prática escolar, é facilmente constatável que muitos professores não 
conhecem o LEM, outros o rejeitam sem ter experimentado, e alguns o empregam mal. 
Apesar de o LEM ser uma excelente alternativa metodológica, ele possui 
limitações didáticas, sofre prejulgamentos, e algumas crendices o perseguem. Vejamos 
algumas questões referentes a esses assuntos: 
1. O LEM é caro, exige materiais que a escola não dá ao professor e raríssimas 
escolas possuem um LEM. 
Lecionar numa escola que não possui LEM é uma ótima oportunidade para construí-lo 
com a participação dos alunos, utilizando sucatas locais. Assim, o custo é diminuto e 
todos, alunos e professor, conhecem a aplicabilidade dos materiais produzidos; dessa 
 
 
 
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forma, evita-se um fato comum nas escolas que recebem os materiais: muitos não são 
utilizados por desconhecimento de suas aplicações. Afinal, mais importante do que 
receber pronto ou comprar o LEM é o processo de construção dele. 
2. O LEM exige do professor uma boa formação. 
É nossa obrigação estar bem preparados para propiciar a aprendizagem da matemática 
àqueles que nos são confiados. Além disso, qual é o método de ensino que não exige do 
professor uma boa formação matemática e didático-pedagógica? Na verdade, com 
professor despreparado, nenhum método produz aprendizagem significativa. 
3. O LEM possibilita o “uso pelo uso”. 
Sim, como todo instrumento ou meio. Daí a importância dos saberes do professor, 
indispensáveis para a utilização tia quadra e dos equipamentos de esportes, da 
biblioteca, dos computadores, entre outros. O LEM possibilita o “uso pelo uso” dele 
como também o seu mau uso. Tudo dependerá do professor. Aqui cabe uma analogia: 
dize-me como usas o LEM e eu saberei que tipo de professor és. 
4. O LEM não pode ser aplicado a todos os assuntos do programa. 
Realmente o LEM não é uma panaceia para o ensino, não é um caminho para todos os 
momentos da prática pedagógica, mas seguramente pode disponibilizar uma diversifi-
cação de meios e uma excelente prontidão ao uso deles como nenhuma outra alternativa 
oferece. 
5. O LEM não pode ser usado em classes numerosas. 
Em educação, a quantidade e a qualidade geralmente se desenvolvem inversamente. Por 
isso, em turmas de até trinta alunos, é possível distribuí-los em subgrupos, todos estu-
dando um mesmo tema, utilizando-se de materiais idênticos, e com o professor dando 
atendimento a cada subgrupo. Para turmas maiores, infelizmente o “fazer” é substituído 
pelo “ver”, e o material individual manipulável é, inevitavelmente, substituído pelo 
material de observação coleti-va, pois a manipulação é realizada pelo professor, caben-
do aos alunos apenas a observação. 
6. O LEM exige do professor mais tempo para ensinar. 
Antes de considerar o tempo dispendido para que os alunos aprendam, é preciso 
considerar a qualidade da aprendizagem, questionando: com o LEM o rendimento dos 
alunos melhora? Os alunos preferem aulas com ou sem o LEM? Por quê? Apesar de as 
respostas a essas questões de penderem do perfil profissional do professor, dos interes-
ses dos alunos e dos objetivos da escola, é provável que o uso do LEM desperte nos 
alunos indagações não previstas pelo professor e, nesse sentido, se eles forem atendidos, 
o ensino demandará mais tempo que o previsto. Em contrapartida, muitas vezes, o uso 
do LEM, por facilitar a aprendizagem, faz o professor ganhar tempo. 
7. É mais difícil lecionar utilizando o LEM. 
Essa frase insinua uma limitação do LEM. Se a dificuldade aqui se refere ao aumento de 
movimentação e de motivação dos alunos e de troca de informações entre eles, causadas 
pelo LEM, podemos dizer que o LEM exige do professor uma conduta diferente da 
exigida pela aula tradicional; se a dificuldade for referente ao fato de que os alunos, 
influenciados pelo LEM, passam a fazer perguntas difíceis ou fora do planejamento da 
aula, então, realmente, usar o LEM pode ser mais difícil para parte dos professores. Em 
ambos os casos, não se trata de limitação própria ao LEM, mas sim de situações em que 
os alunos efetivamente trabalham mais do que quando apenas assistem à explanação do 
 
 
 
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professor. Em outras palavras, o LEM pode ocasionar nos alunos uma mudança de 
comportamento. 
8. O LEM pode induzir o aluno a aceitar como verdadeiras as propriedades 
matemáticas que lhes foram propiciadas pelo material manipulável ou gráfico. 
Dependendo do nível de desenvolvimento dos alunos, é altamente desejável que essa 
afirmação seja verdadeira, pois, até o aparecimento do raciocínio lógico-dedutivo por 
volta dos 13 ou 14 anos de idade, a aquisição do conhecimento apóia-se fortemente no 
verbal (audição), no gráfico (visão) e na manipulação (tato). Confiando plenamente 
naquilo que vêem, pois praticam o “é verdade porque vi”, “vale porque tem a mesma 
medida”, “se vale para dois ou ires casos então valerá para todos”, confundem 
constatação de natureza perceptual com demonstração, e não sentem a necessidade de 
provas lógico-dedutivas porque tomam a percepção visual como prova. Quando os 
jovens adquirem o poder de dedução lógica, é importante mostrar-lhes sofismas, 
falácias e paradoxos matemáticos com o objetivo de eles perceberem que conclusões 
baseadas apenas na intuição ou naquilo que se vê podem contrapor-se ao que o 
raciocínio lógico-dedutivo aponta como verdadeiro. Raciocínio dedutivo será 
fundamental para todos os estudos posteriores: ele vai logicamente permitir-nos, de 
agora em diante, separar aquilo que parece ser verdadeiro daquilo que essencialmente é 
verdadeiro. 
Mas onde encontrar uma coleção de sofismas, falácias e paradoxos? No LEM. 
Seguem-se alguns exemplos: 
a) Se 2 - 2 = 3 - 3, então 2 (1 - 1) = 3 (1 - 1) e cancelando o fator (1 - 1) comum aos 
dois termos, resulta 2 = 3. Qual seria a causa desse desfecho absurdo? 
b) Veja as figuras 1 e 2. Monte um quadrado de 8cm por 8cm. Divida-o em dois 
trapézios e dois triângulos, conforme mostra a figura 1, cuja área é 64cm2. Agora, 
com as mesmas quatro partes obtidas do quadrado, monte um retângulo, conforme 
mostra a figura 2, cuja área é 65cm2. Assim, você acabou de descobrir que 64 = 
65. 
c) Veja a figura 3. A medida da semicircunferência de raio igual a 1 é n ou 2? Sa-
bendo que o comprimento da circunferência é dado por C = 2nr, temos que o 
comprimento da semicircunferência da figura é 7ir e, se o raio vale 1, então o 
comprimento pedido mede 7r. Simples, não é? No entanto, observemos as figuras 
4 e 5, em cuja construção cada curva gera duas outras menores e o diâmetro de 
cada curva maior é igual ao dobro do da menor. Continuando indefinidamente este 
processo (figura 6), a curva limite se constituirá de círculos infinitamente peque-
 
 
 
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nos, quando então ela se confundirá com o segmeto AE, cuja medida é 2, porque 
vale o dobro do raio que mede 1. Afinal, o arco mede n ou 2? 
d) Observe a figura 7, em que estão 
representadas duas rodas A e B, de 
tamanhos diferentes e firmemente 
unidas entre si; elas rolam ao mesmo 
tempo sobre dois trilhos C e D co-
locados em níveis diferentes. As rodas 
partem da posição 1 e rolam até a posi-
ção 2, conforme mostra a figura 8, sem 
deslizarem, percorrendo uma distância 
igual ao comprimento da roda maior. 
Nessas condições, 
quando a roda maior 
completar uma volta a 
menor também 
completará uma volta 
porque uma está fixa 
na outra, percorrendo,assim, a mesma 
distância que vai do 
ponto 1 ao 2. Mas 
como explicar que as medidas das circunferências 
são iguais se as rodas são de diferentes tamanhos? 
e) Veja a figura 9. As retas r e 5 são paralelas? Elas 
se parecem paralelas? 
Se, por um lado, é importante o professor 
propor situações que realcem o perigo de se acreditar em 
conclusões baseadas apenas no que foi percebido pelos 
sentidos, por outro lado, não menos desastroso será 
conduzir os alunos à total descrença em tudo que a observação e a intuição nos revelam 
 
 
 
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ou sugerem. Estas são um bom começo para investigar e para aprender. 
1.3. Material didático (MD) 
Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-
aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um 
quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. 
Apesar dessa enorme gama de possibilidades, todos os MD constituem apenas 
um dos inúmeros fatores que interferem no rendimento escolar do aluno. Os MD podem 
desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o 
professor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um 
assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para 
facilitar a redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitarão a 
escolha do MD mais conveniente à aula. 
Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de 
ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o 
MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não 
substitui o professor. 
Devido à impossibilidade de abordar a utilização didática dos distintos tipos de 
MD que podem compor um LEM, aqui vamos referir-nos apenas ao MD manipulável 
concreto. 
1.3.1. MD manipulável 
Existem vários tipos de MD. Alguns não possibilitam modificações em suas 
formas; é o caso dos sólidos geométricos construídos em madeira ou cartolina, por 
exemplo, que, por serem estáticos, permitem só a observação. Outros já permitem uma 
maior participação do aluno: é o caso do ábaco, do material montessoriano (cuisenaire 
ou dourado), dos jogos de tabuleiro. 
Existem, ainda, aqueles dinâmicos, que, permitindo transformações por continui-
dade, facilitam ao aluno a realização de redescobertas, a percepção de propriedades e a 
construção de uma efetiva aprendizagem. É o caso da estrela (ver figura 10) construída 
com 18 palitos ou cotonetes iguais e unidos por borrachas (pedaços de garrote simples 
nos pontos ímpares e transpassados nos pontos pares); ela pode ser dobrada de várias 
maneiras e, assim, pode facilitar o estudo de simetria, rotação, reflexão, triângulo, 
 
 
 
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hexágono, tetraedro, hexaedro, isomeria ótica, entre outros assuntos. Seguem algumas 
das formas possíveis: 
a) Ponha os vértices ímpares no centro da estrela (figura 11) 
b) Coloque 1 e 7 no centro da estrela (figura 12) 
c) Superponha 1 ao 7 (figura 13) 
d) Coloque 1, 5, 7 e 11 no centro da estrela (figura 14) 
Utilizando-se de questões tais como as seguintes, será possível estimular os 
alunos para operações além das simplesmente manipulativas: 
• Que figura plana pode ser construída colocando-se o 4 junto ao 10? 
• Quantas diferentes figuras planas podem ser construídas? 
• Qual delas tem o maior perímetro? E a maior área? 
• Qual é a relação entre a área da figura estrelada inicial e da figura hexagonal em a? 
• É possível formar um tetraedro (espacial)? 
• Qual é a área total do hexaedro? 
• Qual é a diferença entre a representação de uma figura e a sua imagem mental? 
Convém termos sempre em mente que 
a realização em si de atividades manipulativas 
ou visuais não garante a aprendizagem. Para 
que esta efetivamente aconteça, faz-se 
necessária também a atividade mental, por 
parte do aluno. E o MD pode ser um excelen-
te catalisador para o aluno construir seu saber 
matemático. Neste tipo de saber, os lados não 
possuem largura nem espessura, só compri-
mento. Largura e espessura são necessárias à 
representação, seja por imagem, seja por 
material concreto. 
Um outro exemplo de MD é aquele que se refere ao Teorema de Pitágoras: ele 
compõe-se de um triângulo retângulo com quadrados construídos sobre os respectivos 
lados do triângulo. Este material estático pode transformar-se em dinâmico, 
interessante, desafiador e inspirador, se for construído em acrílico: são duas placas 
idênticas (no formato do estático), coladas uma sobre a outra, de modo que elas possam 
reter algum material moldável, como óleo, Agua ou areia. Fazendo um furo de A a B e 
de C a D, como mostra a figura seguinte, quando o MD for mudado da posição 1 (figura 
15) para a posição 2 (figura 16), o líquido (ou areia) interno se transferirá dos dois 
 
 
 
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quadrados menores para o quadrado maior, sugerindo a existência de uma equivalência 
entre os quadrados. Qual será o tipo de MD que os alunos irão preferir: o estático ou o 
dinâmico? 
 
1.3.2. MD e o processo de ensino-aprendizagem 
A utilização do MD está sempre intimamente relacionada com um processo de 
ensino que possui uma característica aparentemente paradoxal. Vejamos por quê. 
É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humano 
caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ou 
utilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quando 
ouvem o nome do objeto, flui em suas mentes a ideia correspondente ao objeto, sem 
precisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento, 
forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorre 
pela separação mental das propriedades inerentes a objetos (DAVIDOV, 1982, p. 332). 
Esse processo começa com o apoio dos nossos sentidos e, assim, ele é aparentemente 
paradoxal porque, pan se chegar no abstrato, é preciso partir do concreto. O abstrato, 
segundo Kopnin (1978, p. 54), é o “isolamento de alguma propriedade sensorialmente 
acessível do objeto”. Faz-se necessário partir do concreto. O concreto pode ter duas 
interpretações: uma delas refere-se ao palpável, manipulável, e outra, mais ampla, inclui 
também as imagens gráficas; ainda sobre o concreto, às vezes, o real tem sido 
confundido com o concreto. Essa trajetória é semelhante à que se deve fazer para 
conseguir o rigor matemático: para consegui-lo, com seus vocábulos, expressões, 
símbolos e raciocínios, é preciso começar pelo conhecimento dos alunos, que é um 
ponto distante e oposto ao rigor matemático, porque é empírico e baseado no concreto. 
O avião retrata bem essa característica aparentemente contraditória do processo 
educacional: ele é feito para voar, mas, para voar, precisa partir do chão. Tal 
característica poderia ser considerada de somenos importância se não conduzisse alguns 
profissionais à falsa conclusão de que o uso do MD retarda o desenvolvimento 
intelectual do aluno. Não seria a ausência do MD a causa de possíveis retardamentos? 
 
 
 
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Uma das pesquisas5 que comprovaram a eficiência do ensino com MD foi realizada em 
Brasília, com cerca de 180 crianças cursando a 5” série, com idades variando entre 11 e 
12 anos e com semelhantes condições de conhecimento matemático, conforme resultado 
de pré-teste. Essas crianças pertenciam a distintas escolas e a diferentes níveis 
socioeconômicos, e 70% delas consideravam a matemática uma disciplina difícilpara 
aprender; em cada escola, um mesmo professor lecionou para duas turmas, numa 
utilizando MD, na outra, não. Os resultados revelam que o grupo que foi ensinado com 
MD reagiu de for-ma muito mais positiva, tanto diante de questões fáceis como de mé-
dias e de difíceis, do que o grupo que foi ensinado sem MD. 
1.3.3. O professor e o uso do MD 
A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. Para 
que os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor disponha de um 
LEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o professor saber utilizar 
corretamente os MDs, pois estes, como outros instrumentos, tais como o pincel, o re-
vólver, a enxada, a bola, o automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino, 
exigem conhecimentos específicos de quem os utiliza. 
Assim, o professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se: 
será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algum 
material didático? Com qual? Em outras palavras, o professor está respondendo as 
questões: “Por que material didático?”, “Qual é o material?” e “Quando utilizá-lo?”. Em 
seguida, é preciso perguntar-se: “Como este material deverá ser utilizado?”. Esta última 
questão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer uma 
aprendizagem significativa. 
Tomemos, por exemplo, a representação de um triângulo qualquer, feita em 
cartolina ou em madeira: com ele, o professor pode mostrar aos alunos, justapondo os 
três “vértices”, que a “soma dos três ângulos dá 180 graus”. Note que essa atitude do 
professor, que se resume em apenas apresentar um resultado aos alunos, é um mero 
reforço à memorização do enunciado matemático que pode ser encontrado nos livros 
didáticos. No entanto, as consequências do uso do material podem ser mais abrangentes 
e positivas, se cada aluno desenhar um triângulo qualquer (equilátero, isósceles, 
escaleno ou retângulo, grande ou pequeno, e em diferentes posições), recortar e dobrar 
sua figura e mostrar aos colegas suas observações, descobertas ou conclusões. Algumas 
destas podem ser: 
• Quando juntados os três ângulos, dá meio círculo; 
• Dá sempre 180 graus, em qualquer tipo de triângulo; 
• Mas tem que dobrar os lados ao meio, se não, não junta os três ângulos; 
• O ponto onde se juntam os três ângulos depende das medidas dos ângulos; 
• O ponto onde se juntam os três ângulos varia de triângulo para triângulo; 
• O ponto onde se juntam os três ângulos é o pé da altura do triângulo; 
• Todo triângulo pode ser transformado em dois retângulos; 
• A área do triângulo é o dobro da área de cada retângulo; 
• O perímetro do triângulo é maior do que o de cada retângulo. 
 
5 Sérgio Lorenzato (1976), Subsídios metodológicos para o ensino da matemática:cáculo de áreas das 
figuras planas, Tese (Doutorado) - FE-UNICAMP, Campinas. 
 
 
 
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A diferença entre as duas maneiras distintas de utilização de MD aqui 
apresentadas ressalta que a eficiência do MD depende mais do professor do que do 
próprio MD, e ainda mostra a importância que a utilização correta do MD tem no 
desenvolvimento cognitivo e afetivo do aluno. 
O modo de utilizar cada MD depende fortemente da concepção do professor a 
respeito da matemática e da arte de ensinar. Um pro-fessor que concebe a matemática 
como um conjunto de proposições dedutíveis, auxiliadas por definições, cujos 
resultados são regras ou fórmulas que servem para resolver exercícios em exames, 
avaliações, roncursos, seguramente poderia, utilizando-se apenas do quadro-negro, 
mostrar ou provar aos alunos que a soma dos três ângulos dá ISO graus e, em seguida, 
dar alguns exercícios para auxiliar a memorização dessa propriedade. Para muitos de 
nós, a matemática foi ensinada assim e, por isso, não conseguimos admirar a beleza e 
harmonia dela, nem ver nela um essencial instrumento para cotidianamente lei colocado 
a nosso serviço. Para o aluno, mais importante que co-nhecer essas verdades 
matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a percepção da sua competência, a 
melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer 
constatações, a satisfa-çlo do sucesso, e compreender que a matemática, longe de ser um 
bicho-papão, é um campo de saber onde ele, aluno, pode navegar. 
Com referência à manipulação propriamente dita do MD pelos alunos, convém 
lembrar que, num primeiro momento, o MD pode gerar alguma estranheza ou 
dificuldade e propiciar noções superficiais, ideias incompletas e percepções vagas ou 
erróneas; por isso, quando o MD for novidade aos alunos, a eles deve ser dado um tem-
po para que realizem uma livre exploração. Todas as pessoas passam por essa primeira 
etapa em que, através da observação, conhecem o superficial do MD, tal como suas 
partes e cores, tipos de peças e possibilidade de dobra ou decomposição. São esses 
banais conhecimentos que possibilitarão, com ou sem o auxílio do professor, a procura e 
a descoberta de novos conhecimentos. Para ilustrar, tomemos o MD representado pela 
figura 17, feito em papelão, onde os pontos A a B são fixos e Pé móvel; os três pontos 
A, B, P são unidos por um fio; para representar vários triângulos, o P deve deslocar-se 
pelo corte no papelão, entre C e D. Os triângulos são diferentes quanto às formas, mas 
todos têm a mesma medida de base. E o que acontece com as medidas das alturas, se AB 
for paralelo a CD? O que se pode dizer das áreas desses diferentes triângulos? E de seus 
perímetros? 
 
 
 
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Diante desse MD, é provável que os alunos se deparem inicialmente observando 
e testando o possível movimento do fio e percebendo o paralelismo entre AB e CD. 
Feito isso, as questões anteriores se tornarão fáceis aos alunos, se souberem os conceitos 
de perímetro e de área. Aqui, é importante que seja realizada entre os alunos a 
verbalização dos pensamentos, isto é, a comunicação das ideias, raciocínios, ações e 
conclusões deles. Será nesse momento que o professor poderá avaliar como e o que os 
alunos aprenderam; além disso, a socialização das estratégias, processos, erros e conclu-
sões, entre os alunos, não é menos importante para a formação deles. Após a 
verbalização, é recomendável que cada aluno tente registrar em seu caderno, conforme 
suas possibilidades, as novas conquistas decorrentes das atividades, concretas e 
abstraías, por eles realizadas. 
1.3.4. Potencialidades do MD 
Todo MD tem um poder de influência variável sobre os alunos, porque esse 
poder depende do estado de cada aluno e, também, elo modo como o MD é empregado 
pelo professor. Assim, por exemplo, para um mesmo MD, há uma diferença pedagógica 
entre a aula em que o professor apresenta oralmente o assunto, ilustrando-o com um 
MD, e a aula em que os alunos manuseiam esse MD. O MD é o mesmo, mas os 
resultados do segundo tipo de aula serão mais benéficos à formação dos alunos porque, 
de posse do MD, as observações e reflexões deles serão mais profícuas, uma vez que 
poderão, em ritmos próprios, realizar suas descobertas e, mais facilmente, memorizar os 
resultados obtidos durante suas atividades. 
Existem também diferenças de potencialidade 
entre o MD manipulável e sua representação gráfica, 
porque, apesar de todas as contribuições da perspectiva, 
ela não retrata as reais dimensões e posições dos lados e 
faces dos objetos, uma vez que ela camufla o 
perpendicularismo e o paralelismo laterais, como mostra 
a figura 18. 
Talvez a melhor das potencialidades do MD seja 
revelada no momento de construção do MD pelos 
próprios alunos, pois é durante esta que surgem 
imprevistos e desafios, os quais conduzem os alunos a fazer conjecturas e a descobrir 
caminhos e soluções. 
Vejamos, então, algumaspotencialidades mais específicas dos MD. 
Raios X 
Analise o seguinte diálogo, frequente em nossas salas de aula, até mesmo em 
cursos de aperfeiçoamento para experientes professores de ensino fundamental. 
Aos alunos é dado um MD (figura 19) formado por quatro palitos de mesmo 
comprimento, representando um losango, flexível nos 
pontos 1, 2, 3 e 4. 
Professor - Procurem transformar esta figura em outras 
e digam o que observaram. 
Alunos - “Um segmento”; “um triângulo”; “outros 
losangos”; “quando o ângulo 1 aumenta, o ângulo 2 
diminui”; “os ângulos opostos são iguais”, “outros 
paralelogramos”, “um quadrado”. 
 
 
 
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Professor - A sequência de movimentos que transformou losango em quadrado 
destruiu alguma característica (propriedade) dos losangos? 
Alunos - Não, os lados continuaram iguais. 
Professor - Então, o quadrado é losango? 
Alunos - Não, losango é losango, quadrado é quadrado. 
Note que: 
a) Esta última resposta indica que esses alunos estão no primeiro nível da proposta de 
Van Hiele6. 
b) Nesse exemplo, o MD possibilitou ao professor constatar 
conceitos que precisam ser revistos ou ampliados. 
c) O MD foi para o professor o mesmo que o aparelho de raios 
X é para o médico ou dentista. 
Complicador 
Se o MD pode ser para o aluno um facilitador, para o professor, às vezes, ele 
pode ser um complicador. Em outras palavras, é muito mais fácil dar aula sem MD, mas 
também é mais difícil aprender sem o MD. O uso do MD planejado para atingir um 
determinado objetivo, frequentemente, possibilita ao aluno a realização de observações, 
constatações, descobertas e até mesmo o levantamen-to de hipóteses e a elaboração e 
testagem de estratégias que, às vezes, não estavam previstas no planejamento nem eram 
do conhecimento do professor. No entanto, é preciso reconhecer que essa dificuldade 
vem no intuito de melhorar a qualidade do processo de rnsino-aprendizagem. Um 
exemplo disso (figura 20) é o que pode acontecer quando se dá ao aluno um triângulo 
(dobrável pelos pontos médios dos lados), esperando que ele redescubra que “a soma 
dos três ângulos é 180 graus” (figura 21), como foi sugerido em 3.3: 
Quando se pergunta aos alunos o que eles observaram na transformação anterior, 
frequentemente dizem que “o triângulo se transformou em dois retângulos”, o que é 
uma verdade geralmente inesperada por alguns professores e que não consta nos livros 
didáticos; ou, então, os alunos dizem que “no triângulo sempre cabem seis triângulos”, 
referindo-se à propriedade “todo triângulo pode ser decomposto em seis triângulos 
menores congruentes dois a dois”. Outra observação dos alunos que pode surpreender 
alguns professores é a de que a área do retângulo (figura 21) é a metade da área do 
triângulo inicial (figura 20). Tal constatação é válida, mas, também, é contraditória para 
 
6 Van Hiele propõe que o desenvolvimento do pensamento geométrico pode se dar em cinco níveis. 
 
 
 
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quem se lembrar das fórmulas para cálculo da área de retângulo e de triângulo. Como se 
explica essa contradição? 
Só para crianças 
A experiência tem mostrado que o MD facilita a aprendizagem, qualquer que 
seja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice de que MD só deve ser 
utilizado com crianças. Justificando essa crendice, alguns dizem que, como a abstração 
é essencial para a aprendizagem da matemática, quanto mais o MD concreto for 
utilizado, mais retardado será o processo de abstração, de matematização do aluno. 
Aqueles que assim pensam provavelmente ainda não fizeram a seguinte 
experiência: escolha pessoas adultas que não estudaram geometria espacial e diga a elas 
que “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides”. Se elas não 
compreenderem a mensagem, e certamente não a compreenderão, apresente o desenho 
da figura em questão; mesmo assim, diante da imagem, a maioria das pessoas não 
compreenderá o que está sendo dito e mostrado. No entanto, se a todas elas for dado um 
modelo tridimensional para manusear, imediatamente indicarão ter compreendido o 
significado da frase. Então, por que utilizar MD só com crianças? 
Na verdade, o importante é verificar se o assunto é novidade para os alunos, e 
não a idade deles. 
Regulador 
O MD pode ser um eficiente regulador do ritmo de ensino para.i aula, uma vez 
que ele possibilita ao aluno aprender em seu próprio ritmo e não no pretendido pelo 
professor. Por isso, o emprego de MD pode “atrasar o programa”, e essa é uma das 
críticas mais frequentes ao seu uso. Na verdade, a utilização de MD pode inicialmente 
tornar o ensino mais lento, mas em seguida, devido à compreensão adquirida pelo aluno, 
o ritmo aumentará e o tempo gasto no início será, de longe, recompensado em 
quantidade e principalmente em qualidade. Em outras palavras, é uma questão de opção: 
valorizar mais o ensino ou a aprendizagem, dar o programa ou aprender com 
compreensão, lembrando que, se não há aprendizagem, não podemos considerar que 
houve ensino, e mais: o professor pode acelerar o ritmo das atividades dos alunos 
apresentando questões que os auxiliem em suas reflexões, fazendo acontecer a chamada 
descoberta dirigida. Portanto, é possível interferir no ritmo dos alunos. 
Modificador 
Pelo exemplo do prisma que foi decomposto em três pirâmides pode-se verificar 
que a utilização do MD favorece a alteração de ordem de abordagem do conteúdo 
programático, pois a dupla MD e imaginação infantil quase sempre abre um leque de 
possibilidades, muitas delas imprevistas. Se de um lado o processo se torna rico, por 
outro se torna mais difícil para ser conduzido dentro de uma visão fechada, diretiva e 
predeterminada. É importante registrar que o MD nunca favorece o adiamento do 
assunto; ao contrário, ele quase sem-pre propicia a antecipação da abordagem. Outro 
exemplo que ilus-n.i liem isso é o seguinte: diante do triângulo cujos ângulos se juntam 
para mostrar que a soma é 180 graus (assunto de 7a e 8a séries), crianças de 1a série 
disseram que “as três pontas dá meia roda”. Longe de observar erro de português ou 
falta de rigor na linguagem matemática, é preciso exaltar que intuitivamente as crianças 
em fase escolar inicial já conseguem detectar a verdade matemática e expressá-la em 
sua linguagem. E isso é uma façanha, porque eles ainda não construíram os conceitos de 
triângulo, ângulo, grau, adição, círculo e medida. Será que isso significa que é preciso 
 
 
 
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abrir mão do rigor para se conseguir o rigor? Será que isso indica que a dosagem seriada 
deve merecer uma atenção maior do que a escola tem dado? Ou será isso uma indicação 
de que o MD permite antecipar a abordagem de conteúdos programáticos no currículo 
escolar? 
Outro tipo de alteração que quase sempre o uso de MD ocasiona se refere ao 
nível de atividade dos alunos em sala de aula, pois, em decorrência da motivação que 
ele gera nos alunos, estes falam e movimentam-se mais que de costume, o que para 
muitas pessoas pode significar bagunça. 
Dosagem seriada 
A prática pedagógica tem confirmado a necessidade e a conveniência da adoção 
do currículo em espiral, tão recomendado por ilustres educadores; nele, ao longo das 
séries, os mesmos assuntos são retomados e, a cada vez, os conhecimentos são 
ampliados e aprofundados. Por exemplo, se pretendermos que alunos de 5a série cal-
culem áreas de figuras planas sem usar fórmulas (por equivalência de áreas), o processo 
pode começar na educação infantil através da montagem/desmontagem de figuras 
quaisquer; em seguida, na la/4a séries, devem vir jogos livres com figuras de diferentesformas e cores, explorando a equivalência de suas áreas (por transformação) para, então, 
finalmente na 5a série, serem calculadas as áreas por meio de medidas. 
Um mesmo MD pode ser utilizado para um assunto, porém, em diferentes níveis 
de conhecimento. É o caso do MD sobre o chamado Teorema de Pitágoras, apresentado 
no item 3.1: num primeiro momento, o objetivo era facilitar a percepção da existência 
de uma equivalência entre “os quadrados”; mais tarde, com o apoio de con-tagcm ou 
medida, os conhecimentos avançam para a constatação numérica (área), a condicional 
(triângulo retângulo), depois para a demonstração (prova) e finalmente para ampliações 
do tipo: o teorema vale para outras formas ou somente para quadrados? A palavra 
“quadrado” no enunciado refere-se à forma ou à área de figura? Em quais condições o 
teorema vale para três dimensões (volume)? Quais aplicações práticas são previsíveis? 
Computador 
Uma outra crítica contra o uso de MD se baseia no argumento de que, com a 
chegada do computador, o MD se tornou obsoleto e desnecessário. Primeiramente, é 
preciso lembrar que infelizmente o computador não chegou à grande maioria das 
escolas brasileiras; e isso é mais sério do que parece, porque muitas escolas que já se 
equiparam com computadores não sabem bem o que fazer com eles. tudo indica que 
comprar o equipamento e conseguir o espaço físi-CO para ele é o mais fácil: o mais 
difícil é conseguir software (programa) adequado e principalmente professor preparado 
para elaborar, desenvolver e avaliar um processo de ensinar e aprender dilcrente dos que 
tivemos até hoje. Em segundo lugar, o MD manipulável tem-se mostrado um eficiente 
recurso para muitos alunos que, não compreendendo a mensagem (visual) da tela do 
computador, recorrem ao MD (manipulável) e então prosseguem sem dificul-dades com 
o computador. Assim sendo, para muitos alunos, o MD desempenha a função de um 
pré-requisito para que se dê a aprendiam através do computador. 
Funciona sempre? 
Apesar de o MD geralmente despertar o interesse de quem aprende, ele pode não 
apresentar o sucesso esperado pelo professor. Como já vimos no item 3, para que se dê 
uma significativa aprendizagem, faz-se necessário que haja uma atividade mental, e não 
somente a manipulativa, por parte do aluno. Ao professor cabe acreditar no MD como 
 
 
 
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um auxiliar do processo de ensino-aprendizagem, pois como muitas coisas na vida, ele 
só produz bons resultados para quem nele acredita. E mais: o MD necessita ser 
corretamente empregado, isto é, é preciso conhecer o porquê, o como e o quando 
colocá-lo em cena. Caso contrário, o MD pode ser ineficaz ou até prejudicial à 
aprendizagem. 
Efeitos colaterais 
Se for verdadeiro que “ninguém ama o que não conhece”, então fica explicado 
porque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não foi dado conhecer a 
matemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de MD, o 
professor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma aprendizagem com com-
preensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de serem 
criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a de ser ela uma 
disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outras 
semelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante durante 
as aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos 
pela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o 
aumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno. 
1.3.5. Obstáculos ao uso do MD 
De modo geral, pode-se dizer que os obstáculos ao uso do MD são de ordem 
extrínseca a ele, pois é fácil constatar que a própria política educacional emanada pelos 
governos federal, estaduais ou municipais geralmente não preconiza ou orienta os 
educadores ao uso do MD; que raras são as escolas de ensino fundamental ou médio que 
possuem seu LEM; que poucas são as instituições responsáveis pela formação de 
professores que ensinam seus alunos a usarem MD. Em decorrência, muitos professores 
não sentem falta de MD em suas práticas pedagógicas, ou não dispõem de MD, ou não 
acreditam nas influências positivas do uso do MD na aprendizagem, ou não sabem 
utilizar corretamente o MD. A esses todos se somam aqueles que, por diferentes 
motivos, resistem às mudanças didáticas e, pior ainda, aqueles que opinam contra o uso 
do MD sem o conhecerem ou sem o terem experimentado7. 
Enfim, as causas da ausência do MD nas salas de aulas não são devidas a ele 
propriamente. 
1.4. Para auxiliar a reflexão sobre MD e LEM 
• O que é um LEM? 
• Quais são os fatores a serem considerados no planejamento de um LEM? 
• Por que escolas de formação de professores devem possuir seus LEMs? 
• O que você pode fazer para que sua escola venha a ter um LEM? 
• Como o MD pode influir no processo ensino-aprendizagem? 
• Quando o uso do MD é recomendável? Justifique. 
• Quais aspectos educacionais devem ser considerados ao planejar e ao empregar MD: 
o cognitivo, o afetivo, o histórico, o pedagógico ou o epistemológico? 
• Por quais maneiras se pode dar a má aplicação do MD? 
• Como construir MD de boa qualidade e de baixo custo? 
• O uso de MD facilita ou dificulta o magistério? Justifique. 
 
7 Sérgio Lorenzatto, trabalho apresentado no Seminário sobre Prática do Ensino, UNESP, Rio Claro, em 
1989; e apresentado no III Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRN, em 1990. 
 
 
 
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• A ausência de MD torna deficiente o ensino? Justifique. 
• Quais dificuldades os professores enfrentam para produzir, adquirir ou utilizar MD? 
• Quais são as características de um bom MD? 
• Por que os alunos preferem aulas com MD? 
• Quais são os argumentos favoráveis ao uso de MD no ensino? 
• Quais são os seus argumentos para não usar MD em suas aulas? 
• Dê exemplo de caso em que o uso de MD provocou a reflexão dos alunos. 
• Comente: O uso do MD garante uma aprendizagem com compreensão. 
• Comente: O MD só deve ser usado com crianças. 
• Comente: A aritmética e a álgebra escolares podem tornar-se mais fáceis aos alunos 
se ilustradas com o apoio das formas, pois é a geometria que, por possibilitar as 
representações visuais, intermedeia as sensações iniciais do mundo físico com as 
abstrações exigidas pelo processo de formação dos conceitos matemáticos. 
• Comente: As características dos MD devem ser distintas de acordo com os níveis 
escolares ou com as faixas etárias a que se destinam. 
• Comente: As secretarias de educação deveriam implantar LEM em suas escolas. 
1.5. Referências bibliográficas do texto 
CASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la matemática moderna. Tradução de Felipe 
Roblelo Vasquez. México (DF), Trillas. 
DAVIDOV, V.V. (1982). Tipos de generalización en la ensenanza. 2. reimpresión. 
Ciudad de La Habana, Editorial Pueblo y Educación. 
FIORENTINI, D. & MIORIM, M.A. (1993). “Uma reflexão sobre o uso de materiais 
concretos e jogos no ensino da matemática”. Boletim SBEM, São Paulo, ano 4, n. 7. 
KOPNIN, P.V. (1978). A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro, 
Civilização Brasileira, vol. 123 (Coleção Perspectivas do Homem). 
LOVELL, K. (1988). O desenvolvimento dos conceitos matemáticos e científicos na 
criança. Tradução de Auriphebo B. Simões. Porto Alegre, Artmed. 
MANSUTTI, M. A. (1993). “Concepção e produção de materiais institucionais em 
educação matemática”. Revista de Educação Matemática - SBEM, São Paulo, ano 1, n. 
l, pp. 17-29. 
NICOLET, J.L. (1967). “Intuición matemática y dibujos animados”. In: COMISION 
INTERNACIONAL PARA EL ESTÚDIO Y MEJORA DE LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS. 
El materialpara la ensenanza de las matemáticas. Tradução de Gonzalo Medina. 
Madrid, Aguilar, pp. 55-73. 
POLYA, G. (1978). A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. 
Rio de Janeiro, Interciência. 
RÊGO, R.G. & RÊGO, R.M. (2000). Matematicativa. João Pessoa, Ed. UFPb. 
STRATHERN, P. (1998). Arquimedes e a alavanca em 90 minutos. Tradução de Maria 
Helena Geordane. Rio de Janeiro, Zahar. 
THE MATHEMATICAL ASSOCIATION (1968). Mathematics Laboratories in Schools. 
London, G. Bell e Sons. 
 
 
 
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2. DESENVOLVIMENTO E USO DE MATERIAIS DI-
DÁTICOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA8 
Rômulo Marinho do Rego9e Rogéria Gaudêncio do Rego10 
A filosofia e política do Laboratório de Estudos e Pesquisa da Aprendizagem 
Científica (LEPAC), vinculado ao Departamento de Matemática do Centro de Ciên-
cias Exatas e da Natureza da Universidade Federal da Paraíba (CCEN/UFPb), vêm 
sendo elaboradas e discutidas desde a sua fundação, em 1991. Baseiam-se na crença 
de que a construção do saber matemático é acessível a todos e que a superação dos 
baixos índices de desempenho de nossos alunos requer também conhecimentos exter-
nos à matemática; compromissos políticos na direção de mudanças, envolvendo a es-
cola, a comunidade, administradores escolares; a luta por melhores condições de tra-
balho e por uma formação inicial e continuada de qualidade. Ao lado da pesquisa, 
visando o desenvolvimento de materiais didáticos adequados à realidade das nossas 
escolas e de sua divulgação por meio de livros, as ações da equipe do LEPAC estavam 
inicialmente direcionadas para a formação de especialistas, lançando as condições 
de superar as limitações dos cursos de pós-graduação de caráter tecnicista, passando 
posteriormente a abranger a assessoria em projetos de implantação de clubes e labora-
tórios de matemática; na montagem de módulos e projetos de feiras de ciências na 
área de matemática; oficinas, palestras e cursos para alunos e professores de matemá-
tica, além da realização de uma exposição anual intitulada "Matemática e imagina-
ção", nos moldes da exposição francesa "Horizontes matemáticos". 
As diversas linhas de desenvolvimento de conhecimentos matemáticos a-
pontadas como mais apropriadas dentro da perspectiva de mudanças - entre as quais: 
resolução de problemas, jogos e quebra-cabeças, história da matemática - estão inte-
gradas às diversas ações da equipe do LEPAC, que já executou mais de vinte projetos 
institucionais (SPEC/PADCT/CAPES, PROGRAD, PROLICEN, PROBEX)11 e realizou 
cursos e exposições em instituições de ensino fundamental, médio e superior em es-
tados do Norte e Nordeste, baseados em um acervo material constantemente renova-
do e ampliado, fruto de pesquisas realizadas na área de ensino de matemática, com-
posto de kits didáticos, jogos e quebra-cabeças, coleção de elementos da natureza, 
ricos de conexões com a matemática, entre outros recursos. 
As novas demandas sociais educativas apontam para a necessidade de um en-
sino voltado para a promoção do desenvolvimento da autonomia intelectual, criati-
vidade e capacidade de ação, reflexão e crítica pelo aluno. Para tanto, faz-se neces-
 
8 In O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org.) – 
Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). p. 39. 
9 Bacharel e mestre em matemática e doutor em educação matemática. E professor do Departamento de Matemá-
tica e Estatística da Universidade Estadual da Paraíba (UEPb) e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de 
Educação da Universidade Federal da Paraíba (UFPb). 
10 Bacharel em matemática, mestre em filosofia e doutora em educação matemática. É professora do Departa-
mento de Matemática da UFPb e atua na Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da mesma 
universidade. 
11 Significado das siglas: SPEC - Subprograma Educação para a Ciência; PADCT -Programa de Apoio ao Desen-
volvimento Científico e Tecnológico; CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; PRO-
GRAD - Programa de Apoio aos Cursos de Graduação - UFPb; PROLICEN - Programa de Licenciatura - UFPb; 
PROBEX - Programa Institucional de Bolsas de Extensão - UFPb 
 
 
 
 
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sário a introdução da aprendizagem de novos conteúdos de conhecimentos e de me-
todologias que, baseadas na concepção de que o aluno deve ser o centro do processo de 
ensino-aprendizagem, reconheça, identifique e considere seus conhecimentos pré-
vios como ponto de partida e o prepare para realizar-se como cidadão em uma socie-
dade submetida a constantes mudanças. 
O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) em uma escola constitui um 
importante espaço de experimentação para o aluno e, em especial, para o professor, 
que tem a oportunidade de avaliar na prática, sem as pressões do espaço formal tradi-
cional da sala de aula, novos materiais e metodologias, resultados de pesquisas dis-
ponibilizados na literatura (ver sugestões em Rego & Rego, 2004), ampliando sua 
formação de modo crítico, ou seja, quando associado à formação docente, oportuniza 
a realização de atividades em que professores da educação básica e alunos de cursos 
de licenciatura possam refletir e elaborar sua avaliação pessoal do sistema de ensino 
adotado em nossas escolas e construir modelos viáveis de superação de seus aspectos 
negativos. 
Quando instalados em instituições de ensino superior, os laboratórios de en-
sino, além de incentivar a melhoria da formação inicial e continuada de educadores 
de matemática, promovendo a integração das ações de ensino, pesquisa e extensão, 
possibilitam: 
i. Estreitar as relações entre a instituição e a comunidade, atuando como parceira na 
solução dos problemas educacionais que esta apresenta, buscando a melhoria do ensi-
no e constituindo um espaço de divulgação e de implantação de uma cultura de base 
científica; 
ii. Estimular a prática da pesquisa em sala de aula, baseada em uma sólida forma-
ção teórica e prática; e 
iii. Firmar projetos de parceria com os sistemas locais de ensino, visando à instalação 
de clubes e laboratórios de matemática, além de oficinas e cursos de formação conti-
nuada para seus professores. 
Uma das linhas de investigação e ação em um LEM compreende a elaboração, 
adaptação e uso de materiais didáticos de matemática, considerando-se os objetivos 
educacionais a serem atingidos, sua potencialidade para auxiliar a aprendizagem de 
conhecimentos de naturezas diversas (informações, conceitos, habilidades ou atitu-
des), seu alcance e suas limitações e a sua adequação à competência dos alunos, le-
vando-se em conta conhecimentos prévios, faixa etária, entre outros elementos. Se 
concebermos uma aula de matemática como um espaço em que os alunos vão expe-
rimentar, descobrir significados e processos para essas experiências ou atividades de 
aprendizagem, como afirmam Grossnickle e Brueckner (1965, p. 87), materiais 
adequados são necessários. 
Manoel Jairo Bezerra destacou, na obra O material didático no ensino da 
matemática, suas principais funções (1962, pp. 10-13): 
i. Auxiliar o professor a tornar o ensino da matemática mais atraente e acessível; 
ii. Acabar com o medo da matemática que, criado por alguns professores e alimentado 
pelos pais e pelos que não gostam de matemática, está aumentando cada vez mais a 
dificuldade do ensino dessa matéria e 
iii. Interessar maior número de alunos no estudo dessa ciência. 
Uma vez trabalhado e avaliado em sala de aula um recurso didático pode ser, 
caso indicado, reestruturado, compreendendo-se que a aprendizagem não reside em 
 
 
 
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sua estrutura física ou na simples ação sobre ele, mas resulta do aprofundamento de 
reflexões sobre essa ação. 
Acreditava-se, há até relativamente pouco tempo, que os alunos aprendiam de 
igual maneira, acumulando informações e regras. Sabemos, entretanto, que cada alu-
no tem um modo próprio de pensar e que este varia em cada fase de sua vida, es-
tando seu pensamento em constante processo de mudança. A aprendizagem pela 
compreensão é um processo pessoal e único que acontece no interior do indivíduo, 
embora relacionado a fatores externos, exigindo do raciocínio o que quase sempre é 
deixado apenas como tarefa para a memória. As interações do indivíduo com o mun-
do possibilitam-lhe relacionar fatos, estruturar idéias e organizar informações, inter-
nalizando-os. 
Por meio de experiências pessoais bem-sucedidas, o aluno desenvolve o gos-
to pela descoberta, a coragem para enfrentar desafios e para vencê-los, desenvolven-
do conhecimentos na direção de uma ação autônoma. Porém, como afirmava Igná-
tiev, ainda no ano de 1911, "a independência mental, a reflexão e a criatividade não 
podem ser metidas em nenhuma cabeça", sendo seguros apenas os resultados dos 
casos em que a introdução no campo da matemática ocorrer de forma prazerosa, "ba-
seando-se em objetos e exemplos do ambiente cotidiano, selecionados com a criativi-
dade e interesse correspondentes" (IGNÁTIEV, 1986). Nessa concepção de aprendi-
zagem, o material concreto tem fundamental importância, pois, a partir de sua utiliza-
ção adequada, os alunos ampliam sua concepção sobre o que é, como e para que a-
prender matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a a-
prendizagem pela formação de idéias e modelos. 
Assim, as atividades realizadas em um LEM estão voltadas para o desenvol-
vimento de conhecimentos matemáticos e a formação geral do aluno, auxiliando-o a: 
i. Ampliar sua linguagem e promover a comunicação de idéias matemáticas; 
ii. Adquirir estratégias de resolução de problemas e de planejamento de ações; 
iii. Desenvolver sua capacidade de fazer estimativas e cálculos mentais; 
iv. Iniciar-se nos métodos de investigação científica e na notação matemática; 
v. Estimular sua concentração, perseverança, raciocínio e criatividade; 
vi. Promover a troca de idéias através de atividades em grupo; 
vii. Estimular sua compreensão de regras, sua percepção espacial, discriminação 
visual e a formação de conceitos. 
Em razão das características socioeconômicas da nossa população, um dos 
grandes desafios enfrentados pelos pesquisadores que atuam à frente de LEMs com-
preende a socialização dos resultados de seus trabalhos. Nossa experiência pessoal 
aponta para a possibilidade de produção e de massificação de materiais de baixo cus-
to e grande potencial didático, dentro de padrões de segurança que não coloquem em 
risco o seu usuário, com um acabamento que torne as atividades a serem realizadas 
agradáveis aos sentidos, contribuindo para formação do senso estético e direcionan-
do a atenção e a percepção para os aspectos cognitivos a serem trabalhados. 
Para exemplificar a potencialidade de recursos simples na promoção de ativi-
dades didáticas em um LEM, apresentamos algumas sugestões, aqui descritas de mo-
do sucinto, cujos objetivos e uso em sala de aula poderão ser encontrados com deta-
lhes nos textos já publicados (REGO & REGO, 1999a, 1999b, 2004; REGO, RE-
GO & GAUDENCIO JR., 2003) ou em vias de publicação pela equipe do LEPAC. É 
 
 
 
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importante lembrar que os roteiros de sugestão de uso de qualquer recurso instrumen-
tal devem ser vistos como possíveis caminhos que poderão ou deverão ser reestrutu-
rados de acordo com as especificidades dos alunos e dos conhecimentos a serem de-
senvolvidos, e não como receituários, seguidos fielmente sem a promoção de refle-
xões. 
A primeira atividade, intitulada estudo de quadriláteros (RÊGO & REGO, 
1999a), demanda apenas papel (ofício, de revistas, jornal etc.), cola e tesoura. Suge-
rimos que seja desenvolvida no estudo de quadriláteros, sendo indicada para alunos 
de todas as séries da educação básica. O que deverá variar, em cada caso, são as exi-
gências formais envolvidas, no que trata da análise das propriedades das figuras ob-
tidas e na nomenclatura apresentada, com menos ou mais rigor, dependendo do nível 
da turma e dos objetivos a serem alcançados. O procedimento a ser adotado inicia-se 
com o corte de algumas tiras de papel com aproximadamente 30 cm de comprimento 
e 4cm de largura. Depois de recortadas, colar as tiras formando cada uma um anel 
comum, como indicado na figura 1. 
Iniciar a discussão questionando aos alunos 
o que acontece quando cortamos um desses anéis ao 
meio, ao longo da linha pontilhada, como indicado na 
figura l (o pontilhado não precisa ser feito, na ilustra-
ção serve apenas para indicar onde deverá ser realiza-
do o corte). Depois de feitas as previsões, cortar o 
anel e conferir o resultado. 
Em seguida, colar dois anéis iguais ao pri-
meiro, com mesmo diâmetro e largura, um perpendi-
cular ao outro, como indicado na figura 2, estimando 
o que acontece quando cortarmos ao meio os dois 
anéis colados, como feito no anel da questão inicial. 
Verificar o resultado obtido confrontando-o com as 
hipóteses levantadas. 
Vale notar que, quando o primeiro anel é cor-
tado, o conjunto fica semelhante a uma algema (uma 
tira com duas argolas, uma em cada extremidade). 
Em seguida, cortar a tira ao meio, pois esta cor-
responde a uma das argolas que estavam inicialmen-
te coladas. Os alunos poderão em seguida investigar: 
i. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-
los) para que o resultado seja um losango (não quadrado)? 
ii. Que modificações devem ser feitas (no tamanho dos anéis ou na forma de colá-
los) para que o resultado seja um retângulo (não quadrado)? 
iii. Como devem ser os anéis, e como colá-los, para que o resultado seja um paralelo-
gramo (não quadrado)? 
Outras investigações podem ser feitas: 
i. Colar três anéis de mesmo tamanho, cada um perpendicular ao seguinte e cortar 
os três ao meio, tentando estimar e verificando o resultado; 
 
 
 
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ii. Colar três anéis de tamanhos diferentes, dispostos entre si como no caso anterior, 
ou três iguais colados inclinados um em relação ao outro, estimando e verificando os 
resultados, entre outras. 
Solicitar aos alunos que façam um pequeno relatório ou tabela, descrevendo a 
dimensão dos anéis (se todos são de mesmo tamanho ou não); a quantidade de anéis 
utilizada em cada caso; como estavam colados uns em relação aos outros (se perpen-
diculares, inclinados etc.) e os resultados obtidos. Dependendo do nível da turma, os 
alunos podem analisar e explorar os elementos das figuras obtidas, suas definições e 
interseções entre estas como, por exemplo, concluindo que todo quadrado é um re-
tângulo, embora o contrário não aconteça. Essa atividade enseja oportunidade de 
abordar de maneira intuitiva questões relativas aos quantificadores universais e exis-
tenciais e de suas negações; levar o aluno a diferenciar o que é uma definição e um 
conceito, bem como o desenvolvimento de atitudes como ver a matemática como 
um conhecimento social, em permanente processo de construção. Após cada ativi-
dade, além do registro e da busca de associação do conhecimento desenvolvido den-
tro da linguagem, abre-se um espaço para discutir as habilidades que estão sendo 
desenvolvidas com a realização e reflexão sobre ela. 
Ainda em geometria, sugerimos para a confecção de esqueletos de poliedros, 
que poderão ser explorados posteriormente no estudo de propriedades de sólidos, 
planos de simetria, Teorema de Euler, dentre outros, o uso de grampos pequenos de 
cabelo (de metal,