Gab 1ºEE q 2 e q3 - 2012 1

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2ª Questão: Dados os valores observados de uma quantidade � = ���, ��	em torno dos valores 
médios �̅ = 10, �
 = 70: 
 
a) (1,0 ponto) Estime as taxas de variação de 
� com � e de � com � em torno dos valores médios; 
b) (1,0 ponto) Determine a aproximação linear 
de � em torno do ponto médio ��, �� = �10, 70�. 
 
 
 
 
Resposta: 
a) Dada uma quantidade � = ���, ��, se tomarmos o valor médio de �
 = 70, então 
quantidade passa a ser função apenas de �, � = ���, 70� = ����. A derivada �� =
��/�� é a taxa de variação de � com �. Quando � = 10, 
���10� = lim
�→�
��10 + �� − ��10�
�
 
																																																			= lim
																																																																													�→�
��10 + �, 70� − ��10,70�
�
≡ ���10,70�, 
que é, por definição, a derivada parcial de � em relação a � no ponto �10, 70�. Podemos 
aproximar os valores a partir de uma tabela �	 × �, tomando variações � = ±1, por exemplo. A 
partir da tabela acima, temos que a taxa de variação de � com � é, aproximadamente: 
���10� ≅
#$�%%,&��'$�%�,&��(
%
=
#)%')�(
%
= 1 e ���10� ≅
#$�*,&��'$�%�,&��(
'%
=
#+*')�(
'%
= 1, 
 
Tomando a média destes valores, podemos dizer que ���10� = �
�
�10,70� ≈ 1. [0,5 ponto] 
Similarmente, tomando �̅ = 10,	e definindo -��� = ��10, ��,	em � = 70: 
-��70� = lim
�→�
-�70 + .� − ��70�
.
= lim
�→�
��10,70 + .� − ��10,70�
.
≡ �/�10,70�, 
 
Similarmente, podemos estimar pela mesma tabela a taxa de variação de � com �, tomando 
variações de . = ±1: 
-′�70� ≅
#$�%�,&)�'$�%�,&��(
)
 =
#))')�(
)
= 1	 e -��70� ≅
#$�%�,1)�'$�%�,&��(
')
=
#+)')�(
')
= 1. 
Em média, -��70� = �
�
�10,70� ≈ 1. [0,5 ponto] 
 
b) A linearização, ou aproximação linear de uma função ���, �� é dada pela função linear 
cujo gráfico é o plano tangente ao gráfico de � no ponto de tangencia �2, 3�: 
4��, �� = ��2, 3� + ���2, 3��� − 2� + �/�2, 3��� − 3� 
Portanto, para � = ���, �� no ponto �10, 70�, usando as estimativas obtidas em (a) 
4��, �� = ��10,70� + ���10,70��� − 10� + �/�10,70��� − 70� 
																																											= 50 + 1 × �� − 10� + 1 × �� − 70� = 30 + � + �.						[1,0 ponto] 
 
 
3ª Questão: Dada ���, �� = 	 7� cos � + 7/ sin �, 
a) (1,5 pontos) Determine o plano tangente ao gráfico de � pela origem. 
b) (1,5 pontos) Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na 
proximidade de �0,0�. 
 
Resposta: 
a) Como visto na questão anterior, a equação do plano tangente ao gráfico de ���, ��	em 
�2, 3�	é dada por: 
� = ��2, 3� + ���2, 3��� − 2� + �/�2, 3��� − 3� 
Neste caso, �� = 7� cos � + 7/ cos �, e �/ = −7� sin � + 7/ sin �, e portanto: 
���0,0� = 7
� cos 0 + 7� cos 0 = 2, �/�0,0� = −7
� sin 0 + 7� sin 0 = 0.	 
E como ��0, 0� = 7� cos 0 + 7� sin 0 = 1, temos que: 
 � = 1 + 2 × �� − 0� + 0 × �� − 0� = 1 + 2�																					[1,5 ponto] 
é o plano tangente pedido. 
c) A fim de garantir que a aproximação linear seja uma boa aproximação, elaboramos a 
noção de funções diferenciáveis de 2 variáveis. Por definição, se � = ���, ��,	então �	é 
diferenciável em �2, 3�	se o incremento ∆� = ��2 + ∆�, 3 + ∆�� − ��2, 3�	puder ser 
expresso como ∆� = ���2, 3�∆� +	�/�2, 3�∆� + >%∆� + >?∆�, onde >%	e >? → 0	quando 
�∆�, ∆�� → �0,0�. A fim de tornar a verificação da diferenciabilidade mais direta (ou 
seja, se a aproximação linear será uma boa aproximação), temos o teorema que diz que se 
as derivadas parciais �� , �/		existem na proximidade de �2, 3� e são contínuas em �2, 3�, 
então	�	 é diferenciável em �2, 3�.	 
Neste caso, temos que �� = 7� cos � + 7/ cos �, e �/ = −7� sin � + 7/ sin � estão definidas e 
são contínuas em todo @?, pois são combinações (somas e multiplicações) das funções 7�,
7/	, sin �, 	sin �,	cos �, 	cos �,	que são contínuas em @. Portanto, � é diferenciável em todo @?, e 
particularmente em �0, 0�, e assim a aproximação é boa na proximidade deste ponto. [1,5 ponto] 
 
Note. Em �2, 3� = �0, 0�, ∆� = �� − 0� = �, ∆� = �� − 0� = �, ��0,0� = 1, ���0,0� = 2,
�/�0,0� = 0,	portanto, temos que ∆� = 2� + >%� + >?� = �7� cos � + 7/ sin �� − 1, ou seja, 
>%� + >?� = �7
� cos � + 7/ sin �� − �2� + 1� = ���, �� − 4��, �� 	→ 0	quando ��, �� → �0, 0�, 
logo a diferença entre a função ���, ��	e sua linearização 4��, �� é cada vez menor, quão mais 
próximos estejamos da origem. 
Note. Em alguns livros textos, definem alternativamente uma função ���, �� como diferenciável 
se lim�A,��→��,�� B�ℎ, �� ‖�ℎ, ��‖⁄ = 0, onde B�ℎ, �� = ���, �� − 4��, ��	 é o erro associado à 
aproximação linear na proximidade do ponto. O argumento é que 	 
lim
�A,��→��,��
B�ℎ, �� = lim
�A,��→��,��
‖�ℎ, ��‖ 		× lim
�A,��→��,��
B�ℎ, �� ‖�ℎ, ��‖⁄ 								 
e portanto quando esta condição é satisfeita, o erro tende a zero na proximidade do ponto. No 
nosso caso, basta observar que o erro B�ℎ, �� = ���, �� − 4��, �� 	→ 0 quando ��, �� → �0, 0�.