MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
TEMA 1 
MÓDULO 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou seja, são o valor pago pelo tomador de um empréstimo ao credor, para compensá-lo pelo capital cedido por um determinado prazo.
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a dívida contraída, é preciso devolver, na data acordada para o pagamento (Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante.
O esquema acima ilustra uma operação de crédito. No instante inicial (t=0), o credor cede um capital ao tomador, que no prazo acordado (t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M):
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser aplicados a uma operação de investimento. Quando você realiza uma aplicação financeira, o capital investido gera juros, produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um banco. Depois de algum tempo, essa pessoa quita a dívida pagando ao banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
juros
A taxa de juros
Você saberia dizer se esses juros são altos ou baixos? Reflita um pouco.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo de:
1 ano
Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem baixos (1% ao ano).
1 dia
Nesse, entretanto, o considerariam bem elevados (1% ao dia).
Observamos, então, que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo a que se referem.
Os juros de uma operação podem, portanto, ser expressos como um percentual do capital em determinado prazo. A isso chamamos de taxa de juros.
TAXA DE JUROS
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest rate) como a razão entre os Juros e o Capital, expressa em porcentagem e referida a um determinado prazo:
𝐢=𝑱𝑪
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
	Prazo
	Abreviação
	ao dia
	a.d.
	ao mês
	a.m.
	ao bimestre
	a.b.
	ao trimestre
	a.t.
	ao quadrimestre
	a.q.
	ao semestre
	a.s.
	ano ano
	a.a.
	ao período
	a.p.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos, eles não são a mesma coisa. Os juros são expressos em unidades monetárias: reais, dólares, euros etc. Já as taxas de juros são expressas em percentual e referidas a um período (dia, mês, ano etc.).
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros, incidindo periodicamente sobre o capital, se acumulam.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples, somente o Capital Inicial rende juros. Assim, o valor dos juros que são acrescidos ao capital é calculado com base apenas no capital inicialmente investido.
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem incorporados na operação é igual a:
𝐉=𝐂×𝐢
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de capitalização simples a uma taxa de juros igual a i ao período, temos que os juros calculados serão:
Após o 1º período: C×i
Após o 2º período: C×i......
Após o n-ésimo período: C×i
𝐉=𝐂×𝐢×𝐧
E teremos um Montante (M) igual a:
𝐌=𝐂+𝐉
𝐌=𝐂+𝐂×𝐢×𝐧
𝐌=𝐂×(𝟏+𝐢×𝐧) 
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de Capitalização Simples.
Lembre-se que o número de períodos (n) e a taxa de juros (i) devem estar na mesma unidade de tempo! Se n está expresso em meses, então i deve ser “ao mês”; se n estiver em anos, i deve ser “ao ano”, e assim por diante! Exemplo: 
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
M=C×(1+i×n)
No enunciado, são dados:
C = 2.000 i = 15% a.a. = 0,15   n = 3 anos
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo, podemos substituir seus valores na expressão e obtemos o seguinte montante:
M=2.000×(1+0,15×3)
M=2.000×1,45=R$ 2.900,00 
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
	Instante
	Juros
	Montante
	t = 0
	-
	2.000
	t = 1 ano
	2.000 x 15% = 300
	2.000 + 300 = 2300
	t = 2 anos
	2.000 x 15% = 300
	2.300 + 300 = 2.600
	t = 3 anos
	2.000 x 15% 300
	2.600 + 300 = 2.900
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que são obtidos pela aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital inicial de 2.000 reais.
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
Quando as taxas são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo (n), produzem o mesmo montante (M). No caso de juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e duas vezes maior do que a semestral, por exemplo.
Exemplo: Uma taxa de juros simples de 1% a.m. é equivalente a uma taxa de 3% a.t., pois a taxa trimestral será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma vez que há 3 meses em um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros simples de 1% a.m. corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um trimestre a uma taxa de 3% a.t.:
100×(1+1%×3)=100×(1+3%×1).
MÓDULO 2
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de capitalização são calculados exclusivamente sobre o Capital Inicial da operação. No entanto, a maioria das operações financeiras não são estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização composta, ou Juros Compostos, a cada período de capitalização, os juros são incorporados ao capital do período anterior para servirem como base de cálculo dos juros no próximo período.
Chamando o Capital Inicial da operação de C, observamos que esse capital passa por uma série de aumentos sucessivos a uma taxa i. Como aumentar um valor em ×% equivale a multiplicá-lo por (1+×%), se a taxa de juros é igual a i, a cada período de capitalização, o capital é multiplicado por (1+i).
Ao final de n períodos, temos um montante final igual a:
M=Cx[(1+i)x(1+i)⋯1+i]⏟n vezes
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
𝐌=𝐂+𝐉     →     𝐉=𝐌−𝐂
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa última equação, temos:
J=C×(1+i)n−C
	Exemplo
Quais são os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.200,00, após 3 meses, a uma taxa composta de 1% a.m.?
Notem a nomenclatura utilizada. O enunciado pede os juros e o Valor Futuro da aplicação.
Muitas vezes, o Capital e o Montante são chamados de Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF) da operação financeira, respectivamente. Então, vemos que a questão nos pede o Montante e os Juros. Vamos lá!
Para juros compostos, temos que:
	M=C×(1+i)n
C = 1.200 i = 1% a.m. = 0,01 n = 3 meses
Logo:
M=1.200×(1+0,01)3=1.236,36 reais
Agora vamos calcular os juros da operação. Para isso, fazemos:
J=M−C=1.236,36−1.200=36,36 reais
Vejam que para calcular os juros não precisamos usar a fórmula J=C×[(1+i)n−1]. Bastou que calculássemos o Montante e subtraíssemos o Capital.
J=C×[(1+i)n
TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do período de capitalização, ou seja, o período em que os juros são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
Efetivas: Quando os períodos coincidem.
	Taxas Efetivas
	5% a.m. com capitalização mensal
	4% a.a com capitalização anual
	10% a.s.
	1% a.d.
Nominais: Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização.
	Taxas Nominais
	10% a.b. com capitalização mensal
	12% a.a. com capitalização semestral
	6% a.m. com capitalização diária
	8% a.s. com capitalização trimestral
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização, inferimos que se trata de taxa de juros efetiva.
Mais importante ainda, nas fórmulas que desenvolvemos para juros compostos, devemos sempre utilizar taxas efetivas! Caso tenha sido informada uma taxa nominal, devemos convertê-la para a taxa efetiva antes de aplicar a fórmula.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetivae nominal são taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas efetivas:
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital (C) e pelo mesmo período (n), produzem o mesmo montante (M). No entanto, à diferença dos juros simples, as taxas proporcionais não são equivalentes para juros compostos!
Para encontramos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a seguinte fórmula, em que as taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo período de tempo, mas estão expressos na unidade de suas taxas correspondentes. Exemplo:
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser determinada da seguinte forma:
im=(1+ia)1ano12meses−1
im=(1+12%)112−1=0,95% a.m.
Note que a taxa mensal equivalente a 12% a.a. não é 1% a.a. como nos juros simples! Em juros compostos, taxas proporcionais não são equivalentes.
TAXA REAL E TAXA APARENTE
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos deixar de falar de inflação. A inflação é o termo usado para designar a alta geral dos preços em uma economia. O seu oposto é a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder de compra da moeda, pois, com os preços mais altos, a mesma quantidade de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo, exatamente como fazem os juros. Assim, quando aplicamos um determinado capital, o montante recebido ao final da operação não tem o mesmo poder de compra que teria no início da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa aparente, pois não leva em consideração as perdas ocasionadas pela inflação. Se o efeito da inflação for descontado dessa taxa aparente, obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real é dada por:
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo período. Em outras palavras, se estamos falando de um período de 1 ano, as três taxas devem ser taxas efetivas anuais. Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos converter as taxas para as mesmas unidades de tempo.
Exemplo: A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de 6% a.a. Nesse período, a inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim, podemos calcular a taxa real, uma vez que a taxa de inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a. Temos:
1+iaparente=(1+i inflação)×(1+ireal)
1+0,06=(1+0,03)×(1+ireal)
1+ireal=1+0,031+0,06=1,029
ireal=0,029×100%=2,9%a.a.
TAXAS PREFIXADAS E PÓS-FIXADAS
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum investidor quer ver seu dinheiro render menos do que a inflação. Pensando nisso, o mercado financeiro desenvolveu os títulos chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de juros reais que serão pagos e um fator de atualização monetária – como, por exemplo, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)  – que será usado para compensar a inflação.
Assim, no início da operação, como não se sabe o valor da inflação futura, também não há como saber o valor do montante a ser pago para resgatar o título. Sobre esse tipo de operação, diz-se que está “em aberto”.
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização monetária (ou correção monetária) e calcula-se a taxa pós-fixada da operação, combinando o fator de atualização com a taxa de juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de ipós, a taxa de correção monetária de icm e a taxa de juros acordada no início da operação de ijuros, temos:
(1+ 𝑖_pós )=(1+𝑖_cm )⏟  x (1+𝑖_juros )
Fator de atualização monetária
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o valor do montante ao final da operação, nos títulos pós-fixados só se conhece o montante final na data do vencimento do título, ou seja, a posteriori.
MÓDULO 3
DESCAPITALIZAÇÃO OU DESCONTO RACIONAL
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização. Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para formar um Montante (M), ou seja, ao Valor Presente (VP) somam-se juros para formar um Valor Futuro (VF).
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor Futuro para o cálculo do Valor Presente. Assim, o desconto racional corresponde aos juros seriam incorporados ao Capital na operação de capitalização.
DESCONTO COMERCIAL
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um outro ente (Credor).
Exemplo: Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: Duplicatas, Notas Promissórias, Letras de Câmbio, Cheque pré-datado, etc. Há pequenas diferenças entre esses diversos títulos: na duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o Emissor. Já na Nota Promissória e no Cheque, o Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no nosso estudo é a possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de crédito:
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o devedor pelo pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas operações são chamadas de Operações de Desconto.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o devedor pelo pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas operações são chamadas de Operações de Desconto.
Atenção
Cuidado com a Nomenclatura! Quando um devedor antecipa um pagamento ou um credor “vende” um título de crédito, dizemos que eles estão RESGATANDO ou DESCONTANDO o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual, ou Valor Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-se do seu Valor de Face (ou Valor Futuro, ou Valor Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do Desconto. Assim, temos a seguinte relação:
Exemplo: Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com Valor Nominal (VF) igual a 1.100 reais, vencendo em 1 ano. Contudo, você não quer esperar todo esse tempo para receber o Valor de Face da duplicata e decide antecipar seu recebimento, descontando o título em um banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no que ele quer receber de remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais. Nesse caso, temos o seguinte valor para o desconto:
Desconto=VF−VP
Desconto=1.100−900=200 reais
Repararam que, na operação de descapitalização, o valor do desconto estava diretamente ligado à taxa de juros da operação de capitalização correspondente? Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o credor, que deseja antecipar o recebimento do título, e o banco que vai descontá-lo.
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
𝐃𝐞𝐬𝐜𝐨𝐧𝐭𝐨=𝐕𝐅−𝐕𝐏
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial simples, o desconto racional simples, o desconto racional composto e o desconto comercial composto.
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
𝐃𝐞𝐬𝐜𝐨𝐧𝐭𝐨=𝐕𝐅−𝐕𝐏
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial simples, o desconto racional simples, o desconto racional composto e o desconto comercial composto.
DESCONTOCOMERCIAL SIMPLES OU DESCONTO BANCÁRIO, OU DESCONTO “POR FORA” (D)
Esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas de factoring etc.) para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é um desconto comercial, ou seja, não se trata de uma operação de descapitalização, e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘D’ para representar o desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações principais: o seu Valor Nominal (VF) e a data de vencimento, ou o prazo para o vencimento (n).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial simples (iD) oferecida pelo banco, podemos calcular o valor do desconto através da seguinte expressão:
𝐃=𝐕𝐅×𝒊_𝑫×𝐧
Notem a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos juros simples. Como vimos, o valor atual de um título (VP) é dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o desconto (D). Logo, temos:
VP=VF−D
VP=VF−VF×iD×n
VP=VF(1−iD×n)
DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o Regime Simples ou linear. Reservaremos a letra minúscula ‘d’ para representar esse desconto, e chamaremos de id a taxa de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
d=VP×id×n
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de que o desconto comercial é calculado sobre o valor de face (VF), enquanto o desconto racional é calculado sobre o valor atual do título (VP).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela diferença entre o valor de face e o desconto. Logo:
VP=VF−d
VP=VF−VP×id×n
VF=VP+VP×id×n 𝐕𝐅=𝐕𝐏×(𝟏+𝒊_𝒅×𝒏)
ou
VP=VF1+id×n
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria taxa da operação de capitalização no regime simples, ou seja, estamos realmente falando de uma operação de descapitalização.
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “POR DENTRO” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização, pois a maioria das operações de capitalização são efetuadas sob o regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), temos:
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU “POR FORA” (DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de cálculo é utilizada em operações de desconto de títulos pelas instituições financeiras, porém com menos frequência do que o seu similar simples. Neste caso, temos:
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
MÓDULO 4
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o investidor/devedor, mesmo que estejam em diferentes instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será de:
M=1.000×(1+10%)=1.100
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que estes dois capitais são equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de 10% a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores monetários que estão expressos em datas diferentes, sob uma determinada taxa de juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus Valores Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma data.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data (Vencimento) a um outro ente (Credor).
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os Descontos para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando os dois principais regimes de capitalização e descontos: o Regime de Juros Simples e o Regime de Juros Compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS SIMPLES
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e para uma mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Neste exemplo, vamos considerar a data focal como sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte relação de capitalização em juros simples:
𝐕𝐅=𝐕𝐏×(𝟏+𝐢×𝒏)
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
C12017=1.000×(1+10%×2)=1.200
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2017, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado C2 para trazê-lo à data focal de 2015:
C22015=1.2001+10%×2=1.000
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes?
Para verificar se os capitais C1 e C3 são equivalentes, definimos novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital C1 em 2016, temos:
C12016=1.000×(1+10%×1)=1.100
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2016, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10% a.a., a 1.100 reais em 2016 e a 1.200 reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos C2 com C3:
Avaliando o valor do capital C3 em 2017, temos:
C32017=1.100×(1+10%×1)=1.210
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB JUROS COMPOSTOS
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos verificar se os capitais C1 e C2 são equivalentes:
Para juros compostos, temos:
𝐕𝐅=𝐕𝐏×(𝟏+𝒊)𝒏
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
𝑪1𝟐𝟎𝟏𝟕=𝟏.𝟎𝟎𝟎×(𝟏+𝟏𝟎%)2=𝟏.𝟐𝟏𝟎
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais C1 e C3 acima são equivalentes?
Avaliando o valor do capital C1 em 2016, temos:
C12016=1.000×(1+10%×1)=𝟏.𝟏𝟎𝟎
Como o valor de C1, avaliado em 2016, é igual ao valor de C3, também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros simples de 10% ao ano.
Se compararmos agora C3 com C2, o que teremos?
Avaliando o valor do capital C3 em 2017, temos:
C32017=1.100×(1+10%)=𝟏.𝟐𝟏𝟎
Ou seja, os capitais são equivalentes.
Essa é uma propriedade fundamental dos juros compostos, que os distinguem dos juros simples. Se dois capitais são equivalentes em uma determinada data focal e a uma determinada taxa de juros, eles serão equivalentes em qualquer data focal.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência de capitais.
EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo, podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois fluxos:
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes valores presentes para os dois fluxos:
VPFC1=5501+10%+1.210(1+10%)2=1.500
VPFC2=−500+2.420(1+10%)2=1.500
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são equivalentes. E isso vale para qualquer data focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma:
VFFC1=550×(1+10%)+1.210=1.815
VFFC2=−500×(1+10%)2+2.420=1.815
Assista ao vídeo e entenda melhor como comparar valores monetários emdiferentes instantes do tempo
TEORIA NA PRÁTICA
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão cobrar para operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”.
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros embutidas, mesmo que isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas de juros “escondidas” dentro de outras taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é equivalente receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses valores são equivalentes, como vimos, pois:
(1 + 5%) x R$ 1.000,00 = R$ 1.050,00
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. Por exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a um mês, o que é melhor do que R$ 1.050,00.
TEMA 2
MÓDULO 1
CLASSIFICAÇÃO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS
Uma série de pagamentos é simplesmente um fluxo de entradas de caixas que se estende ao longo do tempo. Esses pagamentos podem:
Ser (ou não) iguais;
Estar (ou não) igualmente espaçados no tempo.
As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com:
· Periodicidade
· Prazo
· Valor das entradas de caixa
· Início da série
· Momento do pagamento
PERIODICIDADE
Essas séries podem ser:
a) Periódicas
As entradas de caixa são igualmente espaçadas no tempo.
b) Não periódicas
Essas entradas possuem espaçamentos distintos.
PRAZO
As séries de pagamento podem ser:
a) Finitas
Sua duração é limitada.
b) Infinitas
Possuem duração ilimitada. Elas também são chamadas de perpetuidades.
VALOR DAS ENTRADAS DE CAIXA
Elas podem ser:
a) Constantes
Todos os valores das entradas de caixa são iguais.
b) Variáveis
Esses valores não são todos iguais.
INÍCIO DA SÉRIE
Podem ser:
a) Imediatas
O primeiro pagamento é devido no primeiro período.
b) Diferidas
Ele ocorre após o primeiro período.
MOMENTO DO PAGAMENTO
Quanto ao momento, as séries de pagamento podem ser:
a) Antecipadas
O pagamento é devido no início do período ao qual ele se refere.
b) Postecipadas
Ele é realizado no final do período a que se refere.
Observe o exemplo a seguir:
Em relação aos pagamentos, esta figura indica uma série:
· Periódica (eles estão igualmente espaçados)
· Finita (ela é limitada a sete pagamentos)
· Constante (todos eles são iguais)
· Diferida (o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período)
Sobre o primeiro pagamento, a figura ainda pode ser classificada como:
· Antecipada (se ele se referir ao terceiro período, que começa no ponto 2 e termina no 3)
· Postecipada (caso ele se refira ao segundo período, que tem início no ponto 1 e termina no 2)
Na segunda figura, por sua vez, temos uma série:
· Periódica (pagamentos igualmente espaçados)
· Infinita (eles se perpetuam indefinidamente)
· Constante (todos são iguais)
· Imediata (o primeiro pagamento é no primeiro período)
· Antecipada (ele se refere ao mesmo período)
SÉRIES UNIFORMES
SÉRIES UNIFORMES FINITAS
As séries uniformes são periódicas e constantes, ou seja, todos os pagamentos possuem o mesmo valor e estão igualmente espaçados.
Vamos analisar o exemplo a seguir:
Consideremos que a série representada acima seja uma imediata e postecipada (primeiro pagamento ao final do primeiro período). Se utilizarmos uma taxa de juros i, o Valor Presente (VP) dela poderá ser obtido trazendo cada um dos fluxos da série para o instante 0.
Assim:
Este valor presente representa o de um fluxo único no instante 0, que, por sua vez, é equivalente, sob uma taxa de juros i, à série de pagamentos inicial. Ou seja, realizar todos os n pagamentos de valor igual a P da série é o mesmo que fazer um único pagamento de valor igual a VP no instante 0.
O termo que multiplica P na fórmula do valor presente é chamado fator de valor atual de uma série de pagamentos, sendo representado da seguinte forma:
Fator de valor atual costuma ser tabelado para diversos valores de n e de i conforme indica a tabela a seguir:
	n\i
	1%
	2%
	3%
	4%
	5%
	6%
	7%
	8%
	9%
	10%
	12%
	15%
	18%
	1
	0,990099
	0,980392
	0,970874
	0,961538
	0,952381
	0,943396
	0,934579
	0,925926
	0,917431
	0,909091
	0,892857
	0,869565
	0,847457
	2
	1,970395
	1,951561
	1,913469
	1,886094
	1,859410
	1,833393
	1,808018
	1,783265
	1,759111
	1,735537
	1,690051
	1,625709
	1,565642
	3
	2,940985
	2,883883
	2,828611
	2,775091
	2,723248
	2,673012
	2,624316
	2,577097
	2,531295
	2,486852
	2,401831
	2,283225
	2,174273
	4
	3,091965
	3,807728
	3,717098
	3,629895
	3,545951
	3,465105
	3,387211
	3,312127
	3,239720
	3,169865
	3,037349
	2,854978
	2,690062
	5
	4,853431
	4,713459
	4,579707
	4,451822
	4,329476
	4,212364
	4,100197
	3,992710
	3,889651
	3,790787
	3,604776
	3,352155
	3,127171
	6
	5,795476
	5,601431
	5,417191
	5,242137
	5,075692
	4,917324
	4,766539
	4,622879
	4,485918
	4,355261
	4,111407
	3,784482
	3,497602
	7
	6,728194
	6,471991
	6,230883
	6,002054
	5,786373
	5,582381
	5,389289
	5,206370
	5,032953
	4,868419
	4,563756
	4,160420
	3,811527
	8
	7,651678
	7,325481
	7,019692
	6,732745
	6,463213
	6,209794
	5,971298
	5,746639
	5,534819
	5,334926
	4,967640
	4,487321
	4,077566
	9
	8,566017
	8,162237
	7,786109
	7,435331
	7,107821
	6,801692
	6,515232
	6,246888
	5,995247
	5,759024
	5,328250
	4,771584
	4,303022
	10
	9,471304
	8,982585
	8,530203
	8,110896
	7,721735
	7,360087
	7,023581
	6,710081
	6,417657
	6,144567
	5,650223
	5,018768
	4,494086
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos an¬i
Assim, para calcular o valor presente de uma série uniforme como a do nosso exemplo, basta procurar o fator de valor atual na tabela e multiplicá-lo por P.
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme.
Consultando a tabela na coluna correspondente a i = 10% e na linha que corresponde a n = 9, podemos achar o valor de a9¬10%= 5,759024.
	n\i
	1%
	2%
	3%
	4%
	5%
	6%
	7%
	8%
	9%
	10%
	12%
	15%
	18%
	1
	0,990099
	0,980392
	0,970874
	0,961538
	0,952381
	0,943396
	0,934579
	0,925926
	0,917431
	0,909091
	0,892857
	0,869565
	0,847457
	2
	1,970395
	1,951561
	1,913469
	1,886094
	1,859410
	1,833393
	1,808018
	1,783265
	1,759111
	1,735537
	1,690051
	1,625709
	1,565642
	3
	2,940985
	2,883883
	2,828611
	2,775091
	2,723248
	2,673012
	2,624316
	2,577097
	2,531295
	2,486852
	2,401831
	2,283225
	2,174273
	4
	3,091965
	3,807728
	3,717098
	3,629895
	3,545951
	3,465105
	3,387211
	3,312127
	3,239720
	3,169865
	3,037349
	2,854978
	2,690062
	5
	4,853431
	4,713459
	4,579707
	4,451822
	4,329476
	4,212364
	4,100197
	3,992710
	3,889651
	3,790787
	3,604776
	3,352155
	3,127171
	6
	5,795476
	5,601431
	5,417191
	5,242137
	5,075692
	4,917324
	4,766539
	4,622879
	4,485918
	4,355261
	4,111407
	3,784482
	3,497602
	7
	6,728194
	6,471991
	6,230883
	6,002054
	5,786373
	5,582381
	5,389289
	5,206370
	5,032953
	4,868419
	4,563756
	4,160420
	3,811527
	8
	7,651678
	7,325481
	7,019692
	6,732745
	6,463213
	6,209794
	5,971298
	5,746639
	5,534819
	5,334926
	4,967640
	4,487321
	4,077566
	9
	8,566017
	8,162237
	7,786109
	7,435331
	7,107821
	6,801692
	6,515232
	6,246888
	5,995247
	5,759024
	5,328250
	4,771584
	4,303022
	10
	9,471304
	8,982585
	8,530203
	8,110896
	7,721735
	7,360087
	7,023581
	6,710081
	6,417657
	6,144567
	5,650223
	5,018768
	4,494086
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos an¬i
Assim, temos:
Este valor presentepode ser interpretado como um único fluxo no instante 0, que equivaleria à série com todos os pagamentos. Pode-se, portanto, concluir que um investimento que promete pagar a série de pagamentos do exemplo vale atualmente R$5.759,02.
Se algum investidor aplicar nesse investimento, ele obterá o seguinte fluxo de caixa:
Ou seja, ele terá um desembolso inicial com o investimento no instante 0 (seta vermelha para baixo), recebendo, a partir daí, nove pagamentos de 1.000 ao término de cada um dos nove períodos. Isso lhe dará um rendimento de 10% a.p. na sua aplicação.
Também é possível calcular o valor futuro da série ao se levar o valor presente até a data do último pagamento, ou seja, o instante n. Obtemos, neste caso, a seguinte fórmula:
Substituindo o valor de VP que calculamos antes, temos isto:
Em que sn¬i corresponde ao fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos que também pode ser obtido por intermédio de uma tabela.
	n\i
	1%
	2%
	3%
	4%
	5%
	6%
	7%
	8%
	9%
	10%
	12%
	15%
	18%
	1
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	1,000000
	2
	2,010000
	2,020000
	2,030000
	2,040000
	2,050000
	2,060000
	2,070000
	2,080000
	2,090000
	2,100000
	2,120000
	2,150000
	2,180000
	3
	3,030100
	3,060400
	3,090900
	3,121600
	3,152500
	3,183600
	3,214900
	3,246400
	3,278100
	3,310000
	3,374400
	3,472500
	3,572400
	4
	4,060401
	4,121608
	4,183627
	4,246464
	4,310125
	4,374616
	4,439943
	4,506112
	4,573129
	4,641000
	4,779328
	4,993375
	5,215432
	5
	5,101005
	5,204040
	5,309136
	5,416322
	5,525631
	5,637093
	5,750739
	5,866601
	5,984710
	6,105100
	6,352847
	6,742381
	7,154210
	6
	6,152015
	6,308121
	6,488410
	6,632975
	6,801913
	6,975318
	7,153291
	7,335929
	7,523334
	7,715610
	8,115189
	8,753738
	9,441967
	7
	7,213535
	7,434283
	7,662462
	7,898294
	8,142008
	8,393827
	8,654021
	8,922803
	9,200434
	9,487171
	10,089012
	11,066799
	12,141521
	8
	8,285670
	8,582969
	8,892336
	9,214226
	9,549109
	9,897668
	10,259802
	10,636627
	11,028474
	11,438858
	12,299693
	13,726819
	15,326995
	9
	9,368527
	9,754628
	10,159106
	10,582795
	11,026564
	11,491316
	11,977989
	12,487558
	13,021036
	13,579400
	14,775656
	16,785842
	19,085855
	10
	10,462212
	10,949721
	11,463879
	12,006107
	12,577892
	13,180795
	13,816448
	14,486562
	15,192930
	15,937424
	17,548735
	20,303718
	23,521308
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos sn¬i
No exemplo anterior, o valor futuro seria dado por:
A série que acabamos de estudar era uma imediata postecipada, pois o pagamento relativo ao primeiro período ocorreu no final dele. No entanto, conhecer o valor para essa série torna o cálculo do valor presente para a imediata antecipada uma tarefa bem simples.
Observemos este exemplo:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme antecipada:
Podemos interpretar a antecipada acima como uma série postecipada de oito pagamentos (setas verdes) mais um pagamento igual a P no instante inicial (seta vermelha).
Dessa forma, seu valor presente será dado por:
Podemos fazer algo semelhante para o cálculo do valor de séries diferidas.
Vejamos o exemplo a seguir:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme diferida:
Podemos interpretar a diferida acima como uma série postecipada de nove pagamentos cujo instante inicial é o ponto 1. Se calcularmos seu valor presente pela fórmula, acharemos um fluxo equivalente no instante 1.
Séries uniformes infinitas
As séries uniformes finitas possuem um número ilimitado de entradas de caixa. O fluxo a seguir representa uma imediata postecipada:
O valor presente desse fluxo infinito é dado pela seguinte expressão:
Qual é o valor presente da seguinte perpetuidade?
Usando a fórmula, temos o seguinte cálculo:
Para uma série antecipada, basta somar ao valor acima os 1.000 que foram pagos no instante 0.
Observaremos, por fim, um exemplo de cálculo de taxa de juros.
Exemplo
Após poupar parte de sua renda por anos, João conseguiu juntar R$50.000,00. Ele pensa em colocar seu dinheiro em uma aplicação financeira que renda 0,5% ao mês. Um amigo, porém, garante que ele pode comprar, com essa quantia, uma perpetuidade que paga R$200 mensais, o que seria mais vantajoso.
João fica confuso, pois não conhece termos técnicos e não sabe o que é uma perpetuidade. Agora que acabou de estudar este módulo, você pode ajudá-lo.
Para isso, basta aplicar a fórmula da perpetuidade ligeiramente reorganizada para o cálculo da taxa de juros da perpetuidade:
Ou seja, a perpetuidade gera um retorno de apenas 0,4%, índice inferior ao 0,5% que João pode obter com a aplicação financeira.
MÓDULO 2
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)
Quando alguém toma um empréstimo em um banco, o valor recebido é chamado de principal. Para quitar a dívida, é necessário lhe devolver o principal mais os juros da operação. A maneira como são estruturados os pagamentos de ambos é conhecida como um sistema de amortização de dívidas.
Um dos sistemas mais conhecidos e utilizados para isso é o francês (ou Price). Nele, todas as parcelas de pagamento são iguais, formando uma série uniforme finita. O fluxo de caixa do tomador de empréstimo, portanto, teria a seguinte forma:
No instante inicial, quem pegou o empréstimo recebe o principal, passando a efetuar pagamentos uniformes a partir do próximo período até quitar toda a dívida.
Como o principal deve ser equivalente ao valor presente do fluxo de pagamentos, nós, lembrando as séries uniformes finitas, aplicaremos a seguinte fórmula:
Com ela, poderemos calcular o valor dos pagamentos periódicos:
Note que o termo a multiplicar o principal na fórmula acima é o inverso do fator de acumulação de capital de uma série finita:
João comprou um imóvel: na compra, ele financiou R$ 100.000 no sistema Price a serem quitados em 50 parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m. Considerando  , calcule o valor das prestações mensais que ele deverá pagar.
Para isso, podemos utilizar a fórmula que acabamos de estudar:
João, assim, vai ter de pagar 50 prestações de R$2.551,27 para quitar seu financiamento de R$100.000,00. Se somarmos os valores de todos os pagamentos realizados por ele, teremos o seguinte resultado:
Vemos então que João, além de pagar o valor do principal correspondente a R$100.000,00, ainda vai precisar desembolsar mais R$27.563,50 a título de juros.
Vejamos agora como os pagamentos de juros e do principal se distribuem entre as prestações. Para isso, voltaremos ao exemplo de João.
No instante inicial, ele recebeu os R$100.000,00, passando a ter um saldo devedor do mesmo valor com o banco. Após um mês, um juro de 1% passa a incidir sobre essa quantia. Desse modo, João passa a dever:
Neste momento, ele paga a primeira parcela de R$2.557,21; assim, seu saldo devedor ao final do primeiro período passa a ser de:
Observe que João pagou os juros de R$1.000,00 relativos ao primeiro período e ainda teve de gastar mais R$1.557,21, o que reduziu seu saldo devedor de R$100.000,00 no instante inicial para R$98.442,79 no final do primeiro período. Dessa forma, ele amortizou sua dívida.
Podemos resumir essa situação na tabela a seguir:
	Período
n
	Parcela
Pmt
	Juros
Jn=SDn-1×i
	Amortização
An=Pmt-Jn
	Saldo devedor ao final do período
SDn=SDn-1-An
	0
	-
	-
	-
	100.000
	1
	2.557,21
	1.000
	1.557,21
	98.442,79
No segundo período, os juros passam a incidir sobre o saldo devedor do período anterior:
A amortização relativa a esse período será a diferença entre a parcela e os juros:
Isso vai ocorrer da mesma forma nos períodos seguintes. Confira esta tabela:
	Período
n
	Parcela
Pmt
	Juros
Jn=SDn-1×i
	Amortização
An=Pmt-Jn
	Saldo devedor ao final do período
SDn=SDn-1-An
	0
	-
	-
	-
	100.000
	1
	2.557,21
	1.000
	1.557,21
	98.442,79
	2
	2.557,21
	984,43
	1.572,78
	96.870,01
	3
	2.557,21
	968,70
	1.588,51
	...
	...
	...
	...
	...
	2.531,89
	50
	2.557,21
	25,32
	2.531,89
	0
	Total
	127.563,50
	27.563,50
	100.000
	
Note a trajetória tanto dos valores pagos a título de juros quanto dos pagos de amortização. Osjuros são decrescentes, pois a base sobre a qual o saldo devedor do período anterior é calculado vai sendo reduzida ao longo do tempo.
Por outro lado, os valores de amortização vão aumentando: eles são cada vez mais predominantes no valor total das prestações, as quais, aliás, são todas iguais. Ou seja, a cada prestação, o devedor paga menos juros e mais amortização, mantendo a parcela constante.
Podemos resumir esse comportamento relativo aos juros e às amortizações no gráfico a seguir em que cada barra vertical corresponde a uma prestação:
MÓDULO 3
INTRODUÇÃO
Neste módulo, conheceremos outro sistema de amortização de dívidas muito importante: o Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Salientaremos que a grande vantagem dele em relação ao Price é que o SAC exige menos pagamentos de juros, ainda que os valores iniciais das parcelas possam ser bastante elevados.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)
Ao contrário do Price, os pagamentos no SAC não são constantes. Como o próprio nome diz, os valores de suas amortizações é que o são.
Como o principal de um empréstimo, ao final de n períodos, deverá ser totalmente amortizado, serão necessárias n parcelas de amortização iguais para quitar a dívida.
Com isso, podemos calcular o valor de cada amortização dividindo o principal pela quantidade de períodos dela:
Esta fórmula constitui, portanto, o valor da amortização em todos os períodos. Também podemos escrever que:
Os juros do primeiro período incidem sobre o valor do principal, sendo iguais a:
A primeira prestação, por sua vez, será dada pelo seguinte cálculo:
Ao final do primeiro período, o saldo devedor terá sido amortizado em A, sendo igual a:
Os juros do segundo período então serão os seguintes:
Já a segunda prestação será dada por:
Verificaremos agora outro exemplo relativo ao SAC.
João comprou um imóvel. Na compra, ele financiou R$100.000 no sistema SAC a serem pagos em 50 parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m. Calcule o valor da primeira e da última parcela que ele irá pagar.
As amortizações serão todas iguais a:
Os juros relativos ao primeiro período incidiram sobre o principal. Desse modo:
Para calcular a última parcela, P50, lembre-se de que os primeiros 49 pagamentos já terão sido amortizados:
	Período
n
	Amortização
	Juros
Jn=SDn-1×i
	Parcela
Pmt = A + J
	Saldo devedor final
	0
	
	
	
	100.000
	1
	2.000
	1.000
	3.000
	98.000
	2
	2.000
	980
	2.980
	96.000
	3
	2.000
	960
	2.960
	94.000
	...
	...
	...
	...
	...
	49
	2.000
	40
	2.040
	2.000
	50
	2.000
	20
	2.020
	0
	Total
	100.000
	25.500
	125.500
	
Vimos que, no sistema Price, esse mesmo financiamento resultou em juros totais no valor de R$27.563,50. Já no SAC, eles totalizaram R$25.500,00, tendo um valor, portanto, inferior ao do sistema Price.
Esta é a grande vantagem do SAC: sua aplicação implica juros totais menores que os do Price.
Por outro lado, a primeira prestação no SAC foi de R$3.000,00, valor superior aos R$2.557,21 do Price. Também podemos notar que, no sistema SAC, tanto as prestações quanto os juros são decrescentes. Notemos a figura a seguir:
MÓDULO 4
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTO (SAM)
Normalmente utilizado em financiamentos do Sistema Financeiro de Habitação (SFH), o SAM busca combinar os sistemas SAC e Price (ou francês). Ele é estruturado para que suas parcelas periódicas sejam iguais à média aritmética de dois sistemas de amortização: o francês (SAF) e o SAC.
Na prática, o SAM divide o principal em duas partes iguais e aplica a cada uma delas um dos dois sistemas. Metade usa o SAC; a outra, o SAF. Uma das vantagens na utilização do SAM é que ele possui juros totais menores que os do Price, ainda que não conte com parcelas iniciais tão altas como as do SAC.
Ter parcelas iniciais muito altas é ruim, pois, normalmente, os projetos aos quais se destinam o financiamento só começam a gerar retornos um certo tempo após o investimento inicial. Isso pode dificultar o pagamento da dívida nos casos em que as parcelas iniciais são muito relevantes.
Quanto à definição do SAM, já podemos elencar quatro características:
· Parcelas decrescentes: Como as relativas ao SAF são constantes e as relativas ao SAC, decrescentes, o SAM também conta com parcelas decrescentes, pois ele é a média dos dois;
· Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC: Como os juros no SAM são iguais à média aritmética dos juros nos dois sistemas, eles ficam maiores que os do SAC e menores que os do SAF;
· Parcelas iniciais: Menores que as do SAC e maiores que as do SAF;
· Parcelas finais: Maiores que as do SAC e menores que as do SAF.
Essas características estarão mais evidentes na figura a seguir se fizermos uma comparação das parcelas de cada um dos três sistemas de amortização com o exemplo estudado anteriormente:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES AMERICANO
O sistema americano prevê a amortização integral do principal no último período do financiamento. Este tipo de estrutura de amortização é muito comum nos títulos públicos e instrumentos de dívida corporativa.
Exemplo
Notas do Tesouro Nacional pré-fixadas (NTN-F) e debêntures.
Já nos períodos intermediários, conforme ilustra a figura abaixo, apenas os juros do sistema americano são pagos:
Os juros em cada período sempre são calculados aplicando-se a taxa de juros ao principal:
Todas as parcelas intermediárias são iguais a J, enquanto a última parcela equivale à soma do principal com a última parcela de juros.
TEMA 3
CALCULAR O VALOR PRESENTE LÍQUIDO DE UM PROJETO
Apresentaremos o método de avaliação de projetos do Valor Presente Líquido (VPL), calculado a partir de seu fluxo de caixa. Esse é um dos mais importantes métodos de avaliação de projetos e consiste basicamente em calcular o valor presente de todas as entradas e saídas de caixa, utilizando para isso a taxa mínima de atratividade como fator de desconto.
O VPL é definido como o Valor Presente dos Fluxos de Caixa Líquidos do projeto, descontados por sua Taxa Mínima de Atratividade.
Projetos que apresentam VPL positivo devem ser implantados, pois adicionam valor à empresa.
Projetos com VPL negativo devem ser rejeitados.
FLUXO DE CAIXA LÍQUIDO DE UM PROJETO
Vamos imaginar que determinado projeto preveja:
· Investimento inicial de R$100.000;
· Prejuízo de R$20.000 nos dois primeiros anos;
· Lucros crescentes de R$10.000 no terceiro ano, R$70.000 no quarto ano e R$80.000 no quinto e último ano do projeto.
1- Podemos representar essas informações conforme a figura seguinte:
A figura representa o diagrama de fluxos de caixa líquido do projeto e é a partir dele que analisaremos sua viabilidade financeira. Dizemos que o fluxo de caixa é líquido, pois em cada período são alocados os valores líquidos de receitas e despesas ocorridas.
2- Também podemos representar os fluxos de caixa do projeto por meio de uma tabela em que o valor de cada entrada e cada saída de caixa é representado em uma das linhas:
	Período
	Fluxo de Caixa (FC)
	0
	(100.000)
	1
	(20.000)
	2
	(20.000)
	3
	10.000
	4
	70.000
	5
	80.000
Note que representamos os valores negativos colocando-os entre parênteses.
Os fluxos de caixa podem ainda ser classificados da seguinte forma:
Nosso trabalho aqui será o de identificar se um projeto que apresenta determinado fluxo de caixa é viável ou não. Ou seja, se vale ou não investir nesse projeto.
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA)
Para podermos avaliar se o fluxo de caixa de um projeto é viável ou não, temos que lembrar que não podemos comparar valores em diferentes instantes de tempo.
Sabemos que, para comparar valores monetários, temos que levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. Assim, precisamos levar todos os valores de determinado fluxo de caixa para o mesmo instante de tempo antes de compará-los.
Sabemos também que é necessário usar uma taxa de juros para fazer a transposição desses valores. E a pergunta que surge é:
Que taxa de juros devemos utilizar quando estamos avaliando um projeto?
A taxa que devemos utilizar deve refletir a remuneração justa pelo projeto e é função das taxas de juros praticadasna economia e dos riscos do projeto.
Quanto mais arriscado for um projeto, maior deve ser a remuneração dos investidores para que eles assumam tais riscos. A essa taxa de juros, damos o nome de Taxa Mínima de Atratividade (TMA).
Por exemplo, se a taxa de juros paga pelos títulos públicos é de 5%a.a., a TMA de um projeto não poderá ser inferior a esse valor, pois por que motivo alguém investiria em um projeto arriscado se é possível investir em títulos públicos sem risco e receber uma remuneração maior?
Portanto, quanto mais arriscado um projeto, maior será a TMA que os investidores exigirão para aportar recursos nele
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
O Valor Presente Líquido de um projeto, ou seu Valor Atual, é a soma de todos os fluxos de caixa do projeto, trazidos ao instante inicial pela Taxa Mínima de Atratividade.
Ou seja, ele é calculado trazendo-se todos os fluxos de caixa a valor presente utilizando a taxa mínima de atratividade como taxa de desconto.
No fluxo anterior, o VPL seria calculado da seguinte maneira:
De forma mais genérica, podemos usar a seguinte expressão para o cálculo do VPL:
Um VPL positivo indica que a rentabilidade do projeto é maior do que a TMA e o projeto deve ser aceito. Já um VPL negativo indica que a rentabilidade do projeto é menor do que a TMA e o projeto deve ser rejeitado.
	Critério
	Decisão
	VPL > 0
	Projeto deve ser aceito
	VPL < 0
	Projeto deve ser rejeitado
VARIAÇÃO DO VPL COM A TMA
Vimos que o valor do VPL depende da taxa mínima de atratividade que utilizamos para descontar os fluxos de caixa. Quanto maior a TMA utilizada, menor é o VPL, pois os fluxos de caixa passam a ser descontados por taxas cada vez maiores.
O gráfico seguinte mostra como varia o VPL de um projeto com fluxo de caixa convencional para diversos valores de TMA utilizados.
VARIAÇÃO DO VPL COM A TMA
Vimos que o valor do VPL depende da taxa mínima de atratividade que utilizamos para descontar os fluxos de caixa. Quanto maior a TMA utilizada, menor é o VPL, pois os fluxos de caixa passam a ser descontados por taxas cada vez maiores.
O gráfico seguinte mostra como varia o VPL de um projeto com fluxo de caixa convencional para diversos valores de TMA utilizados.
Ponto A
O valor da taxa mínima de atratividade é igual a zero, ou seja, não estamos descontando nenhum dos fluxos, apenas somando-os pelos seus valores nominais. Logo, o VPL é igual à soma algébrica de todos os fluxos de caixa.
Ponto B
Representa a situação em que o VPL é igual a zero, ou seja, a taxa desse ponto zera o valor presente líquido quando usada para descontar os fluxos. Essa taxa recebe o nome de Taxa Interna de Retorno, ou TIR, e será abordada no próximo módulo.
Como sabemos que o projeto é viável quando VPL > 0, o gráfico nos mostra que qualquer valor de TMA abaixo do ponto B significa que o projeto é viável. Já valores de TMA acima do ponto B indicam uma inviabilidade do projeto, pois o VPL seria negativo.
MÓDULO 2
CALCULAR A TAXA INTERNA DE RETORNO DE UM PROJETO
Neste módulo, apresentaremos outro método de avaliação de projetos muito utilizado que consiste em calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto e compará-la à Taxa Mínima de Atratividade (TMA).
A TIR é definida como a taxa de desconto que torna nulo o valor do VPL de um projeto.
TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR
A Taxa Interna de Retorno de um projeto é a que torna o VPL nulo, ou seja, é a maior taxa de desconto para que um projeto seja viável.
Vamos recordar o gráfico do VPL × TMA para um projeto com fluxo de caixa convencional:
A TIR é a taxa correspondente ao ponto de interseção do gráfico com o eixo horizontal. Quando a taxa mínima de atratividade é igual à TIR, o VPL se torna zero.
Calcule a TIR do seguinte projeto:
	Ano
	Fluxo de Caixa
	1
	-1.000
	2
	515
	3
	530,45
	4
	546,36
SOLUÇÃO
Usando a HP 12C, vamos calcular o valor da TIR, usando a seguinte sequência de comandos.
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória
	1000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -118.000
	515 + g + CFj
	Insere o valor de FC1
	530,45 + g + CFj
	Insere o valor de FC2
	546,36 + g + CFj
	Insere o valor de FC3
	f + IRR
	Calcula a TIR
Problemas com a TIR
A TIR é um dos métodos mais utilizados para a avaliação de projetos porque exprime, em um único valor percentual, o retorno esperado de um projeto. Apesar de ser muito utilizada, a TIR apresenta alguns problemas.
O primeiro deles diz respeito à possibilidade de fornecer múltiplos resultados. Como vimos, o cálculo da TIR recai em polinômios de grau “n” (número de períodos). Assim, um fluxo de 10 períodos pode ter até 10 resultados diferentes.
Na prática, fluxos de caixa convencionais não apresentam esse problema. Já os fluxos de caixa não convencionais terão tantas soluções para a TIR quanto o número de mudanças de sinal que apresentam.
Por exemplo, o fluxo a seguir apresentará 3 valores distintos de TIR, pois possui 3 inversões nos sentidos das setas.
O segundo problema com a TIR é o fato de se assumir que todos os fluxos de caixa intermediários serão reinvestidos à mesma taxa.
Explicando melhor:
Se você resolveu investir em um projeto, podemos assumir que o retorno desse projeto é alto, correto?
Esse retorno é dado pela TIR. Após receber o primeiro fluxo de caixa positivo do projeto, você deveria reinvesti-lo em algum outro projeto para não deixar esse dinheiro parado. O método da TIR assume que você irá investi-lo em algum outro projeto com a mesma taxa de retorno.
Mas isso será sempre possível?
Há boa probabilidade de você não conseguir um projeto tão rentável para reaplicar seu dinheiro no futuro.
TIR MODIFICADA - TIRM
Para tentar resolver os dois problemas da TIR que acabamos de analisar, um método ligeiramente modificado foi desenvolvido.
Nesse método, denominado TIR modificada, antes de calcular a TIR, levam-se todas as entradas de caixa para o valor futuro a uma taxa de reinvestimento (TR) e são trazidas a valor presente todas as saídas de caixa a uma taxa que representa a taxa de financiamento, ou o custo de capital da empresa (CC).
Vamos ver como esse procedimento resolve os problemas estudados anteriormente!
Quando levamos todos os fluxos positivos para o valor futuro e todos os valores negativos para o valor presente, nosso novo fluxo ficará da seguinte forma:
Ou seja, passamos a ter um fluxo convencional e, portanto, com apenas um valor possível para a TIRM.
Além disso, ao usarmos uma taxa de reinvestimento para levar as entradas de caixa a valor futuro, podemos usar um valor estimado mais realista para as taxas disponíveis para investimento dos fluxos de caixa intermediários. Ou seja, não estamos mais considerando que os fluxos intermediários estão sendo reinvestidos pela TIR.
Por fim, ao trazer os fluxos negativos a valor presente pelo custo de capital, estamos usando taxas compatíveis com a capacidade da empresa de se autofinanciar para executar o projeto. O custo de capital, ou a taxa de financiamento, representa a taxa que a empresa precisa pagar para levantar capital.
Uma vez estabelecido o fluxo da figura anterior, podemos calcular o TIRM a partir da seguinte demonstração:
MÓDULO 3
PERÍODO DE PAYBACK SIMPLES - PERÍODO DE PAYBACK DESCONTADO - TAXA DE RETORNO CONTÁBIL (TRC)
PERÍODO DE PAYBACK SIMPLES
O payback simples é o tempo de retorno do investimento inicial de um projeto. Ou seja, o prazo em que o valor investido no projeto será recuperado.
Quando investimos em um projeto, uma das primeiras coisas que nos perguntamos é em quanto tempo vamos recuperar o dinheiro investido. Essa é a ideia do método do período de payback, ou período de retorno do investimento.
Imagine que tenhamos o seguinte fluxo de caixa em um projeto:
Em quanto tempo os 100.000 reais investidos inicialmente serão recuperados?
Vamos analisar em uma tabela:
	Período
	Fluxo de Caixa
	Acumulado
	1
	10.000
	10.000
	2
	20.000
	30.000
	3
	30.000
	60.000
	4
	40.000
	100.000
	5
	50.000
	130.000
No quarto período, chegamos a um valor acumulado de 100.000 reais, ou seja, o projeto se paga em 4 anos.
O critério para se decidirsobre a aceitação ou a rejeição do projeto é o tempo de payback ser menor que o tempo mínimo de recuperação (TMR).
	Critério
	Decisão
	Payback < TMR
	O projeto deve ser aceito
	Payback > TMR
	O projeto deve ser rejeitado
No exemplo anterior, completamos os 100.000 reais iniciais exatamente no quarto período. Isso nem sempre acontece. Vejamos esse outro projeto:
Podemos montar a seguinte tabela:
	
	Fluxo de Caixa
	Acumulado
	1
	3.000
	3.000
	2
	3.000
	6.000
	3
	3.000
	9.000
	4
	3.000
	12.000
	5
	3.000
	15.000
Nesse caso, vemos que o valor inicial investido de 10.000 reais é recuperado entre os períodos 3 e 4. Após o período 3, já haviam sido recuperados 9.000 reais, restando ainda 1.000 reais a recuperar. Como no período 4 houve uma entrada de caixa de 3.000 reais, foi necessário apenas 1/3 desse período para recuperar os 1.000 reais restantes. Assim, o período de payback seria igual a:
Calcule o payback simples do seguinte projeto:
	Ano
	Fluxo de Caixa
	1
	-1.000
	2
	515
	3
	530,45
	4
	546,36
Podemos montar a seguinte tabela:
	Período
	Fluxo de Caixa
	Acumulado
	0
	-1.000
	-1.000
	1
	515
	-485
	2
	530,45
	45,45
	3
	546,36
	591,81
Podemos observar que os 1.000 de investimento inicial serão recuperados entre o 1º e o 2º ano. Assim, o payback simples será dado por:
PROBLEMAS DO PERÍODO DE PAYBACK SIMPLES
O método do período de payback tem algumas limitações.Clique nos botões para ver as informações
1. Não é levado em consideração o valor do dinheiro no tempo. Os fluxos são somados sem serem descontados do valor presente.
2. O método privilegia projetos com retorno mais rápido, sem considerar o valor total agregado pelo projeto.
Para ilustrar essa segunda situação, vamos calcular o VPL do fluxo a seguir, cujo payback já calculamos igual a 3 anos e 4 meses. Para isso, vamos usar uma taxa de desconto de 10%a.a.
Se o tempo mínimo de recuperação for igual a 3 anos, o método do payback vai concluir pela rejeição do projeto, mesmo com um VPL positivo.
PERÍODO DE PAYBACK DESCONTADO
O método do payback descontado resolve um dos problemas identificados no método do payback simples: não levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. Nesse método, os fluxos são todos descontados a valor presente por uma taxa de desconto para sua determinação.
Voltemos ao seguinte projeto:
Em quanto tempo os 100.000 reais investidos inicialmente serão recuperados?
Vamos analisar em uma tabela, considerando uma taxa de desconto de 10%a.a.:
Nesse caso, o período de payback descontado estará entre 4 e 5 anos, pois é nesse intervalo que recuperamos os 100.000 reais investidos inicialmente. Podemos calculá-lo, fazendo:
Repare que o payback descontado ficou maior do que o payback simples.
Você consegue ver o porquê?
Quando descontamos os fluxos para valor presente, eles ficam menores e, com isso, é necessário mais tempo para completar o valor do investimento inicial. Calcule o payback descontado do seguinte projeto, dada a taxa de 3%a.a.:
	Ano
	Fluxo de Caixa
	1
	-1.000
	2
	515
	3
	530,45
	4
	546,36
Podemos montar a seguinte tabela:
Como o investimento inicial de 1.000 reais foi recuperado integralmente no ano 2, o payback descontado é igual a 2 anos.
TAXA DE RETORNO CONTÁBIL (TRC)
A Taxa de Retorno Contábil é um método de avaliação de investimentos que compara o valor contábil de um investimento com o seu custo.
O valor desse investimento é o preço ao qual ele foi ou poderá ser negociado no mercado.
O custo do investimento é o valor investido no projeto.
A TRC pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Uma TRC < 0 indica um lucro negativo, logo, o projeto deve ser rejeitado. Caso a TRC > 0, o projeto deve ser aceito.
	Critério
	Decisão
	TRC > 0
	O projeto deve ser aceito
	TRC < 0
	O projeto deve ser rejeitado
Exemplo
Um investimento custou R$100.000 e gerou um lucro de R$25.000 para uma companhia. Qual o valor da Taxa de Retorno Contábil?
Como a TRC > 0, o projeto deve ser aceito.
MÓDULO 4
ESTUDO DE CASO
Vamos analisar um projeto e aplicar a ele os diversos métodos que estudamos até aqui. Seja um projeto representado pelo seu fluxo de caixa líquido:
Vamos agora aplicar os métodos que estudamos para avaliar esse projeto.
OBTENDO O VPL
Para usarmos o método do VPL, precisaremos utilizar a taxa mínima de atratividade do projeto. Encontramos, então, nossa primeira dificuldade. Como estimá-la?
A TMA precisa levar em consideração as taxas de juros da economia, os riscos envolvidos no projeto e o custo de capital da empresa que realizará o investimento.
Suponhamos que a TMA para este caso seja de 20%a.a. e calculemos o VPL:
Dessa forma, como o VPL < 0, o projeto deve ser rejeitado.
OBTENDO A TIR
Vamos agora aplicar o método da TIR para analisar o mesmo projeto. Diferentemente do método do VPL, não precisamos de nenhuma informação adicional para o cálculo da TIR.
Usando a HP 12C, vamos calcular o valor da TIR com a seguinte sequência de comandos:
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória
	118000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -118.000
	5000 + g + CFj
	Insere o valor de FC1
	95000 + g + CFj
	Insere o valor de FC2
	20000 + g + CFj
	Insere o valor de FC3
	5000 + g + CFj
	Insere o valor de FC4
	80000 + g + CFj
	Insere o valor de FC5
	f + IRR
	Calcula a TIR
O resultado encontrado será mostrado no visor:
TIR=19,40%a.a.
Para determinar se o projeto deve ser aceito ou rejeitado, precisamos comparar o valor da TIR com a taxa mínima de atratividade.
Caso a TMA seja menor do que 19,40%a.a., o projeto deve ser aceito. Caso a TMA seja maior do que 19,40%, o projeto deve ser rejeitado, conforme podemos observar no gráfico:
Note que, no método do VPL, precisávamos estimar a TMA para calculá-lo. No método da TIR, não precisamos estimar a TMA para o cálculo, mas precisamos de seu valor para comparar com o resultado obtido e decidir pela aceitação ou rejeição do projeto.
Assumindo a hipótese anterior de que a TMA = 20%a.a., concluímos que o projeto deve ser rejeitado, pois TMA > TIR.
Como o fluxo do nosso exemplo é convencional, só há um valor possível para a TIR. Caso o fluxo fosse não convencional, poderíamos ter encontrado mais de um valor de TIR, o que dificultaria nossa análise.
A Taxa Interna de Retorno Modificada, próximo método que aplicaremos, resolve essa questão.
OBTENDO A TIRM
Para calcular a Taxa Interna de Retorno Modificada, primeiro vamos levar todas as entradas de caixa para valor futuro.
Antes de fazer isso, precisamos estimar a taxa de reinvestimento (TR) para o nosso projeto. Essa taxa é baseada na percepção das taxas de juros disponíveis para reinvestir as entradas de caixa intermediárias do projeto que estamos analisando.
Vamos supor que essa taxa seja igual a 10%. Assim, teremos o seguinte valor futuro das entradas de caixa:
Uma vez calculado o valor futuro das entradas de caixa, passamos ao cálculo do valor presente das saídas de caixa. Para isso, precisamos estimar o valor da taxa de financiamento. Essa taxa é função do custo de capital da empresa, ou seja, da capacidade da empresa em atrair financiamentos.
Como o único fluxo de saída no exemplo que estamos analisando é o investimento inicial, não vamos precisar dessa taxa.
VP=118.000
Para calcular a TIRM, fazemos:
Precisamos comparar o valor da TIRM com o valor da TMA. Caso a TMA seja menor do que a TIRM, o projeto deve ser aceito. Caso a TMA seja maior do que a TIRM, o projeto deve ser rejeitado.
Assumindo a hipótese inicial de que a TMA = 20%a.a., o projeto deve ser rejeitado, pois TMA > TIR.
Note que não temos mais os problemas que enfrentamos com a TIR, pois a TIRM não gera múltiplos resultados, nem assume que os fluxos intermediários são reinvestidos por uma taxa irrealista.
Por outro lado, precisamos estimar valores para as taxas de reinvestimento e financiamento, o que não era necessário quando utilizávamos a TIR.
OBTENDO O PAYBACK SIMPLES
Para calcularmos o período de payback simples, vamos recorrer à seguinte tabela:
	Período
	Fluxo de Caixa
	Acumulado
	1
	5.000
	5.000
	2
	95.000
	100.000
	3
	20.000120.000
	4
	5.000
	125.000
	5
	80.000
	205.000
Podemos observar que os 118.000 de investimento inicial serão recuperados entre o 2º e o 3º ano. Assim, o payback será dado por:
Para decidirmos se o projeto deve ser aceito, devemos comparar o valor do payback simples com o valor do tempo mínimo de retorno (TMR).
Caso o payback seja menor do que o TMR, o projeto deve ser aceito. Caso o payback seja maior do que o retorno, o projeto não deve ser aceito.
A estimativa do TMR deve levar em consideração a necessidade de geração de fluxos de caixa pela empresa, ou seja, sua necessidade de liquidez.
Supondo que o TMR = 2,5 anos, concluímos que o projeto deve ser aceito, pois payback < TMR. Veja que os métodos anteriores indicavam a rejeição do projeto, enquanto o método do payback indica sua aceitação.
OBTENDO O PAYBACK DESCONTADO
Para levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, vamos agora calcular o valor do payback descontado. Para isso, precisamos definir uma taxa de desconto, a qual pode ser baseada no custo de capital da empresa, que é a taxa de remuneração dos acionistas e credores. Vamos supor que essa taxa seja de 10%a.a. e utilizar a seguinte tabela para o cálculo do payback descontado:
	Período
	Fluxo de Caixa
	Fluxo Descontado
	Acumulado
	1
	5.000
	5.0001+10%=4.545,45
	4.545,45
	2
	95.000
	95.0001+10%2=78.512,40
	83.057,85
	3
	20.000
	20.0001+10%3=15.026,30
	98.084,15
	4
	5.000
	5.0001+10%4=3.415,05
	101.499,20
	5
	80.000
	80.0001+10%5=49.673,70
	151.172,90
Logo, o payback descontado estará entre o 4º e o 5º ano.
Compare esse resultado com o valor encontrado para o payback simples. O valor quase dobrou com o desconto.
Se mantivermos o critério escolhido para o TMR = 2,5 anos, concluímos que o projeto deve ser rejeitado, pois o payback descontado é maior do que o TMR.
OBTENDO A TAXA DE RETORNO CONTÁBIL (TRC)
Por fim, vamos calcular a TRC desse projeto.
O primeiro passo consiste em estimar o valor atual do projeto, ou seja, descontar os fluxos a valor presente, desconsiderando o investimento inicial. Para fazer isso, também devemos escolher uma taxa de desconto que reflita as taxas de juros da economia e os riscos do projeto. Um bom candidato é a taxa mínima de atratividade.
Estamos supondo que a TMA = 20%a.a., logo:
Como o custo inicial do projeto é de 118.000, o valor da TRC será dado por:
Como a TRC < 0, concluímos que o projeto deve ser rejeitado.
TEMA 4
AVALIAÇÃO DE PROJÉTOS: ANÁLISE COMPARATIVA
PROJETOS INDEPENDENTES E MUTUAMENTE EXCLUDENTES
Imagine que você seja o CFO de uma fábrica. Neste momento, você analisa uma carteira de projetos com as seguintes opções:
1. Projeto de instalação de uma linha de produção para um novo produto que acaba de ser aprovado.
2. Projeto de reforma de um armazém logístico para reduzir custos de processamento de encomendas.
3. Projeto de construção de novo armazém logístico para reduzir custos de processamento de encomendas.
Como um bom CFO, você percebe que o primeiro projeto é independente dos demais. A decisão de executá-lo, portanto, não depende da análise dos outros existentes. Desse modo, se ele for um projeto viável, deverá ser executado.
O mesmo não ocorre com os outros dois projetos, pois eles são opções diferentes com o mesmo objetivo: reduzir os custos de processamento de encomendas. Mesmo que ambos sejam viáveis, você deve executar apenas um deles, ou seja, o melhor.
Neste caso, eles não são independentes, e sim mutuamente excludentes, pois a execução de um implica o abandono do outro.
De forma resumida, podemos definir projetos independentes e mutuamente excludentes da seguinte forma:
De posse de um terreno, uma construtora tem duas alternativas: construir um edifício de apartamentos por R$10 milhões ou um edifício comercial por R$8 milhões. Seu orçamento disponível é de R$20 milhões. Esses projetos são independentes ou mutuamente excludentes?
Estamos diante de projetos mutuamente excludentes, uma vez que a decisão de construir um edifício residencial implica o abandono do projeto de construção de um edifício comercial. Neste caso, essa exclusão se deu por limitações de recursos físicos, já que a empresa possui apenas um terreno onde se pode construir. Desse modo, se ela construir um edifício residencial, não terá onde erigir o comercia
USANDO O VPL E A TIR PARA SELECIONAR PROJETOS
Antes de comparar projetos, devemos nos certificar de que eles são viáveis. Para isso, usamos algumas ferramentas. Vamos conhecê-las a seguir.
· Valor Presente Líquido (VPL);
· Taxa Interna de Retorno (TIR);
· Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM);
· Payback simples ou descontado;
· Taxa de Retorno Contábil (TRC).
Os critérios de aceitação ou rejeição dos projetos estão resumidos na tabela a seguir:
	Método
	Aceitação
	Rejeição
	VPL
	VPL > 0
	VPL < 0
	TIR
	TIR > taxa mínima de atratividade
	TIR < taxa mínima de atratividade
	TIRM
	TIRM > taxa mínima de atratividade
	TIRM < taxa mínima de atratividade
	Payback simples ou descontado
	Payback < tempo máximo de retorno
	Payback > tempo máximo de retorno
	TRC
	TRC > 1
	TRC < 1
Em função dos objetivos da empresa e das circunstâncias do projeto, eles podem ter uma maior ou menor importância na análise de viabilidade.
Uma vez eliminados os projetos economicamente inviáveis, passamos à análise dos que restaram, identificando tanto os independentes dos demais quanto os mutuamente excludentes.
Suponhamos que dois projetos mutuamente excludentes possuam os seguintes fluxos de caixa:
Podemos calcular o VPL e a TIR de cada um dos projetos.
Vamos rememorar o cálculo do VPL do projeto A:
1° - Na HP 12C
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória.
	100000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -100.000.
	25000 + g + CFj
	Insere o valor dos fluxos de 25.000.
	5 + g + Nj
	Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
	5 + i
	Insere a TMA.
	f + NPV
	Calcula o VPL.
2° - No Excel
Agora, na coluna C9, insira a fórmula:
=VPL(C1;C4:C8)+C3
Desse modo, temos este resultado:
Agora vamos observar o cálculo do VPL do projeto B:
1° - Na HP 12C
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória.
	100000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -100.000.
	15000 + g + CFj
	Insere o valor de CF1 = 15.000.
	25000 + g + CFj
	Insere o valor dos fluxos de 25.000.
	3 + g + Nj
	Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
	35000 + g + CFj
	Insere o valor de CF5 = 35.000.
	5 + i
	Insere a TMA.
	f + NPV
	Calcula o VPL.
2° - No Excel
Para o cálculo da VPL no Excel, vamos primeiramente organizar a planilha conforme a imagem a seguir. Podemos aproveitar a mesma que apresentamos anteriormente, incluindo apenas o Projeto B analisado neste momento:
Agora, na coluna D9, insira a fórmula:
=VPL(C1;D4:D8)+D3
Com isso, observamos este resultado:
Após relembramos o cálculo do VPL, vamos lembrar agora o de TIR no projeto A:
1° - Na HP 12C
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória.
	100000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -100.000.
	25000 + g + CFj
	Insere o valor dos fluxos de 25.000.
	5 + g + Nj
	Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
	f + IRR
	Calcula a TIR.
	35000 + g + CFj
	Insere o valor de CF5 = 35.000.
	5 + i
	Insere a TMA.
	f + NPV
	Calcula o VPL.
2° - No Excel
Empregaremos a planilha que já possuímos inserindo uma linha para TIR e, na coluna C10, a fórmula:
=TIR(C3:C8)
Assim, obtemos o resultado:
Agora vamos ver o cálculo de TIR no projeto B:
1° - Na HP 12C
	Teclas
	Ação
	CLX
	Limpa a memória.
	100000 + CHS + g + CF0
	Insere o fluxo inicial de -100.000.
	15000 + g + CFj
	Insere o valor de CF1 = 15.000.
	25000 + g + CFj
	Insere o valor dos fluxos de 25.000.
	3 + g + Nj
	Insere o número de períodos em que o fluxo de 25.000 se repete.
	35000 + g + CFj
	Insere o valor de CF5 = 35.000.
	f + IRR
	Calcula a TIR.
2° - No Excel
Usando a mesma planilha, inserimos, na coluna D10, esta fórmula:
=TIR(D3:D8)
Desse modo, temos o seguinte resultado:
Projeto A
VPLA=8.236,92
TIRA=7,93% a.a.
Projeto B
VPLB=6.548,37
TIRB=7,10% a.a.
Os dois projetos possuem VPL >0 e TIR > 5%; eles, portanto, são viáveis.
Mas ainda resta uma questão:
Qual dos dois se deve escolher então?
O VPL indica o quanto de valor um projeto aporta. Portanto, quanto maior for o VPL, melhor o projeto será. A TIR, por sua vez, remete à rentabilidade dele. Assim como ocorre no VPL, quanto maior for a TIR, melhor será o projeto.
Dessa forma, os dois indicadores apontam A como o melhor dos dois projetos. Logo, ele deve ser o projeto escolhido.
Apresentaremos o VPL e a TIR para cada um deles, considerando, neste caso, uma Taxa Mínima de Atratividade (TMA) igual a 5% ao ano (a.a.):
Projeto A
VPLA=4.561,76
TIRA=19,29% a.a.
Projeto B
VPLB=4.791,19
TIRB=18,13% a.a.
Analisando os dois projetos, resta uma dúvida: qual seria a melhor opção?
Se considerarmos:
O que faremos então?
Antes de decidirmos, precisaremos entender o motivo dessa divergência entre os dois métodos. Para isso, vamos olhar o gráfico que mostra a relação entre o VPL e a TMA para os dois projetos.
Vemos neste gráfico que a TIR do projeto A é maior que a TIR do B, pois a curva azul corta o eixo horizontal em 19,29%, enquanto a vermelha o atravessa em 18,13%. No entanto, como estamos usando uma TMA = 5%, o VPL do projeto B é, neste ponto, superior ao VPL de A.
Se usássemos outro valor para a TMA, o que teria ocorrido?
Considerando uma TMA igual a 15% a.a., esta tabela apresenta o VPL e a TIR para cada um dos projetos:
Projeto A
VPLA=1.091,34
TIRA=19,29% a.a.
Projeto B
VPLB=913,81
TIRB=18,13% a.a.
Notemos que a escolha da TMA só afeta o cálculo do VPL. A TIR dos dois projetos permanece inalterada. Os métodos do VPL e da TIR agora indicam o projeto A como sendo o melhor.
Ao analisarmos o TMA, verificamos que:
1. Quando a TMA está à direita do ponto de interseção entre as duas curvas, os métodos convergem na escolha do projeto.
2. Quando ela fica à esquerda desse ponto entre as duas curvas, eles divergem.
Fica clara então a importância de uma boa estimativa da TMA para a avaliação de projetos pelo método do VPL. Agora que já entendemos o motivo de haver uma divergência entre os dois métodos, ainda resta a pergunta:
QUAL PROJETO ESCOLHER?
O recomendado é que, caso haja alguma divergência entre os dois métodos, se dê preferência ao método do VPL, pois ele indica o valor adicionado à empresa. Além disso, os pressupostos da TIR, que considera que os fluxos intermediários serão reinvestidos na própria TIR, são menos realistas que os do VPL, o qual, por sua vez, observa que esses fluxos serão investidos na TMA.
Dessa maneira, na ausência de outras informações, escolhe-se o projeto com o maior VPL. No caso apresentado, a escolha recai sobre B.
MÓDULO 2
TIR INCREMENTAL
MÉTODO DA TIR INCREMENTAL
Consideremos dois projetos mutuamente excludentes: A e B. Seus fluxos estão descritos nesta tabela:
	Ano
	Projeto A
	Projeto B
	0
	-10.000
	-30.000
	1
	2.000
	5.150
	2
	2.000
	5.150
	3
	2.000
	5.150
	4
	2.000
	5.150
	5
	2.000
	5.150
	6
	2.000
	5.150
	7
	2.000
	5.150
	8
	2.000
	5.150
	9
	2.000
	5.150
	10
	2.000
	5.150
PROJETO A: O projeto A consiste na reforma de um equipamento. Apesar requerer um custo inicial menor, ele também apresenta retornos menores ao longo do tempo.
PROJETO B: O projeto B se trata da compra de um equipamento novo. Ele exige um investimento inicial mais substancial, mas também apresenta retornos maiores conforme o tempo avança.
Considerando uma TMA de 9% a.a., analisaremos os dois projetos calculando seus Valores Presentes Líquidos (VPLs) e suas TIRs:
Projeto A
VPLA=2.835,32
TIRA=15,10% a.a.
Projeto B
VPLB=3.050,94
TIRB=11,26% a.a.
Vemos que o projeto A possui um VPL menor que o de B. Por outro lado, a TIR de A é maior que a do projeto B.
Este é o mesmo problema estudado no módulo anterior. No entanto, esses dois projetos possuem uma diferença significativa em seu investimento inicial.
Será que o acréscimo no VPL que B oferece justifica investir três vezes mais e adquirir um novo equipamento?
Outra questão:
Se eu decidir investir no projeto A, conseguirei aplicar os R$20.000 que sobraram em outro investimento que gere uma rentabilidade tão boa quanto a de B? A análise de projetos com custos iniciais muito diferentes sempre esbarra nessas questões. Vamos ver como podemos respondê-las. Comecemos pela análise deste gráfico:
Ao valor da taxa que corresponde ao ponto de interseção das duas curvas, damos o nome de TIR incremental (TIRi) ou ponto de Fischer. Ela é a taxa que torna nulo o fluxo incremental dos dois projetos. Vamos ver o motivo para isso. Primeiramente, calcularemos o fluxo incremental do projeto B em relação ao A:
	Ano
	Projeto A
	Projeto B
	Projeto B – Projeto A
	0
	-10.000
	-30.000
	-20.000
	1
	2.000
	5.150
	3.150
	2
	2.000
	5.150
	3.150
	3
	2.000
	5.150
	3.150
	4
	2.000
	5.150
	3.150
	5
	2.000
	5.150
	3.150
	6
	2.000
	5.150
	3.150
	7
	2.000
	5.150
	3.150
	8
	2.000
	5.150
	3.150
	9
	2.000
	5.150
	3.150
	10
	2.000
	5.150
	3.150
A última coluna da tabela acima mostra o fluxo incremental do B sobre o projeto A. Ele seria o fluxo complementar obtido se a empresa resolvesse gastar mais R$20.000 para implantar o projeto B em vez do A.
Calcularemos o VPL e a TIR desse fluxo incremental. Para isso, consideremos que TMA = 9% a.a.:
	Ano
	Projeto A
	Projeto B
	VPLA=2.835,32
	VPLB=3.050,94
	VPLi=215,62
	TIRA=15,10% a.a.
	TIRB=11,26% a.a.
	TIRi=9,24% a.a.
Vemos que o projeto incremental possui um VPL > 0 e uma TIR >TMA. Logo, ele se revela como um projeto atrativo que deve ser implantado. Dessa forma, escolhemos B em detrimento de A.
Qual projeto você escolheria caso a TMA fosse maior que o ponto de interseção das curvas?
PROJETO A
Afinal, ele teria um maior VPL.
E se a TMA fosse menor que a desse ponto?
PROJETO B
Pois agora ele teria o maior VPL.
A seguinte lógica funciona para a escolha do projeto:
· A: Se a TMA >TIRi ou se a TMA estiver à direita do ponto de interseção;
· B: Se a TMA < TIRi ou se a TMA estiver à esquerda desse ponto.
O ponto de interseção deve corresponder ao valor da TIRi.
VALOR PRESENTE LÍQUIDO ANUALIZADO (VPLA)
Conhecido como Valor Anual Uniforme Equivalente, o VPLa é particularmente útil na análise de projetos com durações distintas. Para analisar os mutuamente excludentes (o que fizemos até aqui), sempre comparamos os que possuem o mesmo prazo de duração. Precisamos comparar coisas comparáveis: lembre-se da velha história de que não é possível a comparação entre maçãs e laranjas. Para se comparar o VPL de dois projetos, portanto, é preciso que eles tenham a mesma duração.
COMO SE COMPARA PROJETOS COM PRAZOS DISTINTOS?
Uma maneira de permitir a comparação deles é anualizar o cálculo do VPL. Dessa forma, os Valores Presentes Líquidos Anualizados (VPLa) podem ser comparados independentemente da duração desses projetos. Porém, para anualizar o valor do VPL, não basta calcular seu valor e dividi-lo pela duração do projeto. Deve-se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. Desse modo, a anualização consistirá no cálculo de uma série uniforme que, descontada pela TMA, gere o mesmo valor do VPL do projeto. Observe os projetos a seguir:
O projeto A tem a duração de “n” anos.
O projeto B tem a duração de “m” anos.
Assim, não é possível comparar os valores de seus VPLs. No entanto, após os anualizarmos, distribuindo seus VPLs em parcelas anuais uniformes cujos valores presentes se igualem aos respectivos VPLs, poderemos compará-los.
EX:
TEMA 5
MÓDULO 1
FUNCIONAMENTO DOS MERCADOS FINANCEIROS
Descreveremos aqui os objetivos dos mercados financeiros, sua importância para a economia de um país e a composição do Sistema Financeiro Nacional, além do funcionamento de algum dos seus principais componentes.
Algumas das decisões mais relevantes tomadas pelos agentes econômicos, as famílias, as empresas e o governo dizem respeito ao consumo, à poupança e ao investimento. As famílias consomem parte de sua renda e poupam outra parte para se precaverem das incertezas futuras. As empresas e o governo necessitam de recursos para realizar investimentos produtivos: compra de máquinas,