Aula 11 - Distribuição de Probabilidades Contínuas

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Distribuição de Probabilidade
 Prof.: Joni Fusinato
 joni.fusinato@ifsc.edu.br
 jfusinato@gmail.com
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição de 
Probabilidade Contínua
Modelo 
Normal
Modelo t de 
Student Modelo χ
2
Distribuição Normal
• Considerada a mais importante
das distribuições de
probabilidades contínuas.
• Seu gráfico, chamado de curva
normal ou curva gaussiana tem
forma de sino e descreve
fenômenos que ocorrem na
natureza, indústria e pesquisa.
• A equação depende de dois
parâmetros: µ e σ (média e
desvio populacionais).
https://www.youtube.com/watch?v=9xUBhhM4vbM
https://www.youtube.com/watch?v=4HpvBZnHOVI
Quando o número de variáveis aumenta,
a densidade de probabilidade da variável
aproxima–se da curva em forma de sino da
distribuição normal.
Mesa de Galton
• Usada quando não se tem a média e o desvio padrão
populacional.
• Nestes casos usa-se a média e o desvio padrão amostral que
segue a distribuição normal.
Distribuição de t Student
Distribuição de χ2
• A distribuição χ2 ou qui-quadrado é
uma das distribuições mais usadas
realizar testes de χ2.
• Este teste serve para avaliar
quantitativamente a relação entre o
resultado de um experimento e a
distribuição esperada para o
fenômeno. Isto é, ele nos diz com
quanta certeza os valores
observados podem ser aceitos como
regidos pela teoria em questão.
• Testes de hipótese usam, também, a
distribuição χ2.
Distribuição Normal
Gauss
Definição:
Seja X uma variável aleatória contínua tal que X tem distribuição 
normal com média µ e variância σ2 se, e somente se sua função 
densidade de probabilidade for dada por:
( ) 1f x dx



A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em 
número de desvios padrões (z)
Normal 
padronizada
Normal não 
padronizada
z = x - µ
µ x 0 z
PP
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão
Características:
Média: µ = 0
Desvio-Padrão: σ = 1
Distribuição Normal 
Reduzida ou Padronizada
Um significado prático para o que aprendemos
• Analistas da linha de produção calcularam o tempo médio de 75 
segundos e desvio padrão de 6 segundos para a montagem de 
uma peça.
• Graficamente temos:
Exemplo 1: Analistas da linha de produção calcularam o tempo 
médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos para a 
montagem de uma peça. Qual a probabilidade de um trabalhador 
levar um tempo menor ou igual a 81 segundos?
Transformar a variável X em variável normal padronizada Z
Consultando a tabela conclui-se que a probabilidade é de 84,13% 
de levar um tempo menor ou igual a 81 segundos
Atenção! Para resolver os exemplos será adotada a tabela 
de distribuição Normal Padrão Acumulada
Em uma região, o QI das pessoas adultas segue a distribuição normal 
com média de 100 pontos e desvio-padrão de 15 pontos. Escolhendo 
uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade desta pessoa ter QI menor 
que 75 pontos?
X < 75
= 100
 = 15
Probabilidade de X < 75 é de 4,75% 
Exemplo 2: A equipe interna de uma empresa audita balanços 
contábeis e demora em média 40 minutos e desvio-padrão de 12 
minutos. Uma empresa de Contabilidade afirma que pode realizar 
essa atividade em 25 minutos em média. Qual a probabilidade dessa 
afirmação ser verdadeira?
X = 25
= 40
 = 12
P(X = 25) = 10,56% 
Probabilidade de X = 25 é de 10,56% 
1) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo
comprimento segue a distribuição normal com média  = 10,00 m e
desvio padrão  = ± 0,09 m. Se o comprimento dos tubos
ultrapassar 10,20 m eles serão refugados. Calcule a probabilidade
dos tubos terem comprimentos superiores a 10,20 m
22,2
09,0
1020,10






Xz
P (Z 2 ,2 2 ) = 0 ,9 8 6 8 = 1 - 0 ,9 8 6 8 = 0 ,0 1 3 2 = % 1 ,3 2
f(x)
10
X10,20
0 2,22 Z
Consultando tabela temos:
Atividades
DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT
William Sealy Gosset
DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT
• Distribuição de probabilidade publicada por um autor que se
chamou de Student, pseudônimo de William Sealy Gosset, que
não podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos
enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness.
• A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de
se determinar a média de uma população (que segue a
distribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema,
não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas
ela deve ser normal.
• Padronizar variável aleatória normal requer que o µ e σ sejam 
conhecidos. Na prática, porém, não podemos calcular z = (x - µ)/ σ 
porque σ é desconhecido. Em vez disso, substituímos σ por s
(desvio padrão amostral) e calculamos a estatística t.
s
xt 
DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT
• Se a variância da população, σ2 não é conhecida, não podemos 
usar a distribuição normal como a distribuição de referência para 
a média da amostra. Neste caso usamos a distribuição t.
• Se a distribuição de referência é normal e a variância da 
população é estimado por s2, a quantidade:
• que é conhecido como a média padronizada ou como a estatística 
t, terá à distribuição com ν = n - 1 graus de liberdade.
Xt
s / n
 

DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT
Exemplo 1: Para os dados de nitrato, a média da amostra de
concentração é igual a 7,51 mg/L e encontra-se a uma distância
considerável abaixo do verdadeiro valor de referência 8,00 mg/L. Se
a verdadeira média da amostra é de 8,0 mg/L e o laboratório está
medindo precisamente, um valor tão baixo quanto 7,51 mg/L que
ocorrem por acaso apenas quatro vezes em 100. Sabe-se que o
desvio padrão é 1,38 em 27 amostras. “Qual a probabilidade de se
obter uma amostra tão pequenas com média = 7,51 mg/L a partir da
análise das 27 amostras?"
Xt
s / n
 

27/38,1
851,7 
t
19,5/38,1
0,49-
t
842,1
0,2658
0,49-
t
A DISTRIBUIÇÃO T
• A distribuição de referência é necessária, a fim de escolher se o 
resultado é facilmente explicada por mero acaso ou se é variação 
excepcional. 
• A distribuição T é uma relevante referência que representa o 
conjunto de resultados que poderiam ocorrer por acaso. 
• Um resultado que cai sobre a cauda da distribuição pode ser 
considerado excepcional.
Tabela 1 - Distribuição T
Tabela 2- Distribuição t
https://www.youtube.com/watch?v=yhfODPGaMmY –
Distribuição Normal com exemplos (Prof Allan)
https://www.youtube.com/watch?v=-N60-uc_Erk –
Distribuição Normal com exemplos (Profa Zuleica)