Distribuição Normal: Conceitos e Exemplos

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Distribuição Normal
Introdução 
Um modelo probabilístico é aquele que nos diz, ou melhor, nos traduz na forma de números o comportamento de uma variável.
Ex: peso, altura...
Essa distribuição de frequência denominada curva normal.
A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja forma lembra um sino. Ela é unimodal, sendo seu ponto de frequência máxima situado no meio da distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem.
“O mundo é normal!” Acredite se quiser! Muitos dos fenômenos aleatórios que
encontramos na prática apresentam uma distribuição muito peculiar, chamada Normal.
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Curva Normal
Curva Normal
A Curva Normal é a representante do modelo normal e é obtida a partir da função densidade que nada mais é do que uma função que origina o gráfico anterior.
Assim, se X é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e variância σ2
Notação: X ~ N(µ, σ2) então a sua densidade é dada por
O símbolo ~ (til) denota "tem a distribuição de probabilidade de". Por exemplo, X ~ N(0,1).
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Propriedades - Curva Normal
É simétrica ao redor da média;
Média=Med.=Moda
A área sobre a curva é igual a 1;
Para valores muito grandes de x, tendendo a infinito (ou muito pequenos, tendendo a menos infinito), a curva tende a zero.
Propriedades - Curva Normal
A grande vantagem de pressupor que uma variável tem distribuição normal é o fato de ser possível - porque a distribuição é conhecida - calcular as probabilidades relacionadas a essa variável.
Existe uma relação entre a área sobre a curva e a média e o desvio-padrão.
Essas probabilidades são dadas pelas áreas sob a curva.
A distribuição N(0,1) de média 0 e variância 1 é muito importante e tem uma nomenclatura especial:
Distribuição normal padrão ou Distribuição normal reduzida.
Distribuição normal padrão ou Distribuição normal reduzida.
As probabilidades associadas à distribuição normal reduzida são dadas em tabelas, o que torna fácil saber as probabilidades associadas a essa distribuição. Basta procurar na tabela.
Podemos transformar qualquer variável aleatória X com distribuição normal de média e desvio padrão conhecidos numa distribuição normal reduzida.
Dos itens 1 e 2 segue-se que qualquer probabilidade associada a X pode ser obtida transformando X (distribuição normal) em z (distribuição normal reduzida)
Usando a tabela da Normal Padrão
P(0 ≤ Z ≤ zc) = p, ou seja, a probabilidade fornecida pela tabela (p) corresponde ao intervalo que vai de 0 até um certo número zc no eixo x. 
Esquematicamente, a tabela da normal nos fornece a probabilidade correspondente à área a seguir:
Leitura da Tabela
Consultado a tabela da Normal
Dado Z = 0,75
Consultado a tabela da Normal
Dado Z = 0,75
p (0 < X < 0,75) =???
Consultado a tabela da Normal
Dado Z = 0,75
P (X > 0,75) = ???
p
Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão assumir valores entre 1 e 1,5
Se a distribuição for normal mas não for padrão?
Neste caso se transforma uma variável que tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ, em uma variável com distribuição normal reduzida de média zero e desvio padrão 1.
Exemplo: Considere uma variável aleatória normal com média 3 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de essa variável assumir valores entre 4 e 7.
Exemplo: Qual a probabilidade de escolher-se de forma aleatória, numa só tentativa, uma pessoa que tenha renda anual entre US$ 5.000 e US$ 7.000, morador de uma cidade. Sendo a renda média desta cidade US$ 5.000 e o desvio padrão de US$ 1.500?
Exemplo: O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente distribuído com uma média de 0,4 segundos com um desvio-padrão de 0,05 segundos. Qual a probabilidade de que uma reação de um motorista requeira:
a) mais de 0,5 segundos
b) entre 0,4 e 0,5 segundos
Exemplo: O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente distribuído com uma média de 0,4 segundos com um desvio-padrão de 0,05 segundos. Qual a probabilidade de que uma reação de um motorista requeira:
a) mais de 0,5 segundos
b) entre 0,4 e 0,5 segundos
Exemplo: A quantidade de colesterol em 100 mL de plasma sanguíneo humano tem distribuição normal com média 200 mg e desvio padrão 20 mg. Qual é a probabilidade de uma pessoa apresentar entre 200 e 225 mg de colesterol por 100 mL de plasma?
Exemplo: O quociente de inteligência tem média 100 e desvio padrão 15. Qual é a proporção de pessoas com quociente de inteligência acima de 135?
Exemplo: Em um hospital psiquiátrico, os pacientes permanecem internados em média 50 dias, com um desvio padrão de 1º dias. Se for razoável pressupor que o tempo de permanência tem distribuição aproximadamente normal, qual é a probabilidade de um paciente permanecer no hospital:
a) mais de 30 dias? 
b) menos de 30 dias?
Exemplo: Em um hospital psiquiátrico, os pacientes permanecem internados em média 50 dias, com um desvio padrão de 1º dias. Se for razoável pressupor que o tempo de permanência tem distribuição aproximadamente normal, qual é a probabilidade de um paciente permanecer no hospital:
a) mais de 30 dias? 
b) menos de 30 dias?
Teste de aptidão
Em um certo teste de aptidão para contratação de determinada empresa, os candidatos devem realizar uma sequência de tarefas no menor tempo possível. Suponhamos que o tempo necessário para completar esse teste tenha uma distribuição Normal com média 45 minutos e desvio-padrão de 20 minutos. Suponhamos que, numa primeira etapa, esse teste foi aplicado com uma amostra de 50 candidatos. 
Qual a probabilidade de encontrarmos algum candidato que tenha um tempo superior a 50 minutos (candidato muito lento) ou inferior a 30 minutos (que seria impossível completar o teste)? 
Qual o número aproximado de candidatos com tal perfil?