Calculo de Parâmetros de linha

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Paraˆmetros de Linha de Transmissa˜o
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncia
Robson Dias
dias@coe.ufrj.br
COPPE/UFRJ
Suma´rio
1 Paraˆmetros por Unidade de Comprimento de uma LT
2 Campo Ele´trico de um Condutor Isolado
3 Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados
4 Capacitaˆncia entre Dois Condutores Ideˆnticos
5 Tensa˜o entre um Condutor e o Solo
6 Tensa˜o entre Dois Condutores sobre o Solo
7 Tensa˜o de Mu´ltiplos Condutores sobre o Solo
8 Capacitaˆncias de um Sistema de Mu´ltiplos Condutores
9 Capacitaˆncias das Linhas de Transmissa˜o
Capacitaˆncias de uma Linha Monofa´sica
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica
10 Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
Paraˆmetro por Unidade de Comprimento de uma LT
A linha e´ um elemento passivo
Os paraˆmetros de sequ¨eˆncias
positiva e negativas sa˜o iguais
Os paraˆmetros f´ısicos de um elemento passivo na˜o variam com a mudanc¸a
da sequ¨eˆncia da tensa˜o aplicada
R ! resisteˆncia dos condutores
L ! fluxo magne´tico
C ! cargas
G ! correntes de fuga
Paraˆmetro por Unidade de Comprimento de uma LT
A linha e´ um elemento passivo
Os paraˆmetros de sequ¨eˆncias
positiva e negativas sa˜o iguais
Os paraˆmetros f´ısicos de um elemento passivo na˜o variam com a mudanc¸a
da sequ¨eˆncia da tensa˜o aplicada
R ! resisteˆncia dos condutores
L ! fluxo magne´tico
C ! cargas
G ! correntes de fuga
Paraˆmetro por Unidade de Comprimento de uma LT
A linha e´ um elemento passivo
Os paraˆmetros de sequ¨eˆncias
positiva e negativas sa˜o iguais
Os paraˆmetros f´ısicos de um elemento passivo na˜o variam com a mudanc¸a
da sequ¨eˆncia da tensa˜o aplicada
R ! resisteˆncia dos condutores
L ! fluxo magne´tico
C ! cargas
G ! correntes de fuga
Paraˆmetro por Unidade de Comprimento de uma LT
A linha e´ um elemento passivo
Os paraˆmetros de sequ¨eˆncias
positiva e negativas sa˜o iguais
Os paraˆmetros f´ısicos de um elemento passivo na˜o variam com a mudanc¸a
da sequ¨eˆncia da tensa˜o aplicada
R ! resisteˆncia dos condutores
L ! fluxo magne´tico
C ! cargas
G ! correntes de fuga
Campo Ele´trico de um Condutor Isolado
x
+q
Campo Ele´trico a uma distaˆncia x :
E =
q
2⇡ ✏ x
A tensa˜o entre p1 e p2 e´:
u12 =
Z D2
D1
E dx
u12 =
q
2⇡ ✏
log
✓
D2
D1
◆
Campo Ele´trico de um Condutor Isolado
x
+q
Campo Ele´trico a uma distaˆncia x :
E =
q
2⇡ ✏ x
A tensa˜o entre p1 e p2 e´:
u12 =
Z D2
D1
E dx
u12 =
q
2⇡ ✏
log
✓
D2
D1
◆
Campo Ele´trico de um Condutor Isolado
x
+q
D2
D1
+q
p1
p2
Campo Ele´trico a uma distaˆncia x :
E =
q
2⇡ ✏ x
A tensa˜o entre p1 e p2 e´:
u12 =
Z D2
D1
E dx
u12 =
q
2⇡ ✏
log
✓
D2
D1
◆
Campo Ele´trico de um Condutor Isolado
x
+q
D2
D1
+q
p1
p2
Campo Ele´trico a uma distaˆncia x :
E =
q
2⇡ ✏ x
A tensa˜o entre p1 e p2 e´:
u12 =
Z D2
D1
E dx
u12 =
q
2⇡ ✏
log
✓
D2
D1
◆
Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados
D
+qa
+qb
Tensa˜o considerando apenas a
carga no condutor a:
uab (1) =
qa
2⇡ ✏
Z D
ra
1
x
dx
uab (1) =
qa
2⇡ ✏
log
✓
D
ra
◆
Tensa˜o considerando apenas a
carga no condutor b:
uab (2) =
qb
2⇡ ✏
Z rb
D
1
x
dx
uab (2) =
qb
2⇡ ✏
log
⇣ rb
D
⌘
Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados
D
+qa
+qb
Tensa˜o considerando apenas a
carga no condutor a:
uab (1) =
qa
2⇡ ✏
Z D
ra
1
x
dx
uab (1) =
qa
2⇡ ✏
log
✓
D
ra
◆
Tensa˜o considerando apenas a
carga no condutor b:
uab (2) =
qb
2⇡ ✏
Z rb
D
1
x
dx
uab (2) =
qb
2⇡ ✏
log
⇣ rb
D
⌘
Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados (cont.)
A tensa˜o considerando os dois
condutores:
uab = uab (1) + uab (2)
uab =
qa
2⇡ ✏
log
✓
D
ra
◆
+
qb
2⇡ ✏
log
⇣ rb
D
⌘
No caso de qa = q e qb = �q:
uab =
q
2⇡ ✏
✓
log
D
ra
+ log
D
rb
◆
uab =
q
2⇡ ✏
log
D2
ra rb
Se os dois condutores forem
ideˆnticos (ra = rb = r):
uab =
q
⇡ ✏
log
D
r
Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados (cont.)
A tensa˜o considerando os dois
condutores:
uab = uab (1) + uab (2)
uab =
qa
2⇡ ✏
log
✓
D
ra
◆
+
qb
2⇡ ✏
log
⇣ rb
D
⌘
No caso de qa = q e qb = �q:
uab =
q
2⇡ ✏
✓
log
D
ra
+ log
D
rb
◆
uab =
q
2⇡ ✏
log
D2
ra rb
Se os dois condutores forem
ideˆnticos (ra = rb = r):
uab =
q
⇡ ✏
log
D
r
Tensa˜o entre Dois Condutores Carregados (cont.)
A tensa˜o considerando os dois
condutores:
uab = uab (1) + uab (2)
uab =
qa
2⇡ ✏
log
✓
D
ra
◆
+
qb
2⇡ ✏
log
⇣ rb
D
⌘
No caso de qa = q e qb = �q:
uab =
q
2⇡ ✏
✓
log
D
ra
+ log
D
rb
◆
uab =
q
2⇡ ✏
log
D2
ra rb
Se os dois condutores forem
ideˆnticos (ra = rb = r):
uab =
q
⇡ ✏
log
D
r
Capacitaˆncia entre Dois Condutores
D
+q -q
Capacitaˆncia para o plano de
refereˆncia:
ca0 = cb0 = 2 cab
A capacitaˆncia e´ definida como sendo carga por unidade de potencial:
q = cab uab ! cab = quab =
⇡ ✏
log (D/r)
Capacitaˆncia entre Dois Condutores
D
+q -q
c
ab
Capacitaˆncia para o plano de
refereˆncia:
ca0 = cb0 = 2 cab
A capacitaˆncia e´ definida como sendo carga por unidade de potencial:
q = cab uab ! cab = quab =
⇡ ✏
log (D/r)
Capacitaˆncia entre Dois Condutores
D
+q -q
c
b0
c
a0
Capacitaˆncia para o plano de
refereˆncia:
ca0 = cb0 = 2 cab
A capacitaˆncia e´ definida como sendo carga por unidade de potencial:
q = cab uab ! cab = quab =
⇡ ✏
log (D/r)
Tensa˜o entre um Condutor e o Solo
Condutor Imagem
u = 0 V
O solo e´ considerado um
condutor ideal
Pode-se considerar que ele
funciona como um “espelho”
Para representar este efeito
utiliza-se um condutor imagem
A diferenc¸a de potencial entre o
condutor e o solo e´:
ua0 =
q
2⇡ ✏ log
2 h
r
Tensa˜o entre um Condutor e o Solo
Condutor Imagem
u = 0 V
O solo e´ considerado um
condutor ideal
Pode-se considerar que ele
funciona como um “espelho”
Para representar este efeito
utiliza-se um condutor imagem
A diferenc¸a de potencial entre o
condutor e o solo e´:
ua0 =
q
2⇡ ✏ log
2 h
r
Tensa˜o entre um Condutor e o Solo
Condutor Imagem
u = 0 V
O solo e´ considerado um
condutor ideal
Pode-se considerar que ele
funciona como um “espelho”
Para representar este efeito
utiliza-se um condutor imagem
A diferenc¸a de potencial entre o
condutor e o solo e´:
ua0 =
q
2⇡ ✏ log
2 h
r
Tensa˜o entre Dois Condutores sobre o Solo
O valor de um em relac¸a˜o ao
solo depende da sua pro´pria
carga (e de sua imagem), e da
carga do condutor vizinho e de
sua respectiva imagem
Para o condutor m:
um =
1
2⇡ ✏

qm log
2 hm
rm
+ qn log
rn
Dmn
+ qn log
rn
D 0mn
�
) um = 12⇡ ✏

qm log
2 hm
rm
+ qn log
D 0mn
Dmn
�
Tensa˜o entre Dois Condutores sobre o Solo
O valor de um em relac¸a˜o ao
solo depende da sua pro´pria
carga (e de sua imagem), e da
carga do condutor vizinho e de
sua respectiva imagem
Para o condutor m:
um =
1
2⇡ ✏

qm log
2 hm
rm
+ qn log
rn
Dmn
+ qn log
rn
D 0mn
�
) um = 12⇡ ✏

qm log
2 hm
rm
+ qn log
D 0mn
Dmn
�
Tensa˜o entre Dois Condutores sobre o Solo (cont.)
Fazendo o mesmo para o condutor n:
un =
1
2⇡ ✏

qn log
2 hn
rn
+ qm log
D 0mn
Dmn
�
Montando o sistema matricial, temos:

um
un
�
=
1
2⇡ ✏
"
log 2 hmrm log
D0mn
Dmn
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnrn
#
Diagonal principal ) Termos pro´prios
Fora da diagonal principal ) Termos mu´tuos
Tensa˜o entre Dois Condutores sobre o Solo (cont.)
Fazendo o mesmo para o condutor n:
un =
1
2⇡ ✏

qn log
2 hn
rn
+ qm log
D 0mn
Dmn
�
Montando o sistema matricial, temos:

um
un
�
=
1
2⇡ ✏
"
log 2 hmrm log
D0mn
Dmn
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnrn
#
Diagonal principal ) Termos pro´prios
Fora da diagonal principal ) Termos mu´tuos
Tensa˜o de Mu´ltiplos Condutores sobre o Solo
2666664
um
un
uo
up
...
3777775 =
1
2⇡ ✏
2666666664
log 2 hmrm log
D0mn
Dmn
log D
0
mo
Dmo
log
D0mp
Dmp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnrn log
D0no
Dno
log
D0np
Dnp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log 2 horo log
D0op
Dop
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log
D0op
Dop
log 2 hprp · · ·
...
...
...
...
. . .
3777777775
2666664
qm
qn
qo
qp
...
3777775
Tensa˜o de Mu´ltiplos Condutores sobre o Solo
2666664
um
un
uo
up
...
3777775 =
1
2⇡ ✏
2666666664
log 2 hmrm log
D0mn
Dmn
log D
0
mo
Dmo
log
D0mp
Dmp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnrn log
D0no
Dno
log
D0np
Dnp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log 2 horo log
D0op
Dop
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log
D0op
Dop
log 2 hprp · · ·
...
...
...
...
. . .
3777777775
2666664
qm
qn
qo
qp
...
3777775
Capacitaˆncias de um Sistema de Mu´ltiplos Condutores
Vimos que:
U = PQ
Sabemos que
Q = CU
Assim
C = P�1
Capacitaˆncias de um Sistema de Mu´ltiplos Condutores
cont.
qm = cm0 um + cmn (um � un) + cmo (um � uo) + cmp (um � up)
qm = (cm0 + cmn + cmo + cmp) um � cmn un � cmo uo � cmp up
C =
2664
cmm �cmn �cmo �cmp
�cnm cnn �cno �cnp
�com �con coo �cop
�cpm �cpn �cpo cpp
3775
onde:
cmm = (cm0 + cmn + cmo + cmp)
cnn = (cn0 + cnm + cno + cnp)
coo = (co0 + com + con + cop)
cpp = (cp0 + cpm + cpn + cpo)
Capacitaˆncias de uma Linha Monofa´sica
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Circuito Equivalente das
Capacitaˆncias de uma LT
monofa´sica
Capacitaˆncias de uma Linha Monofa´sica
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Circuito Equivalente das
Capacitaˆncias de uma LT
monofa´sica
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Lembrando:
U = PQ
P =
1
3
8<:
24 paa pab pacpba pbb pbc
pca pcb pcc
35+
24 pbb pbc pbapcb pcc pca
pab pac paa
35+
24 pcc pca pcbpac paa pab
pbc pba pbb
359=;
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Lembrando:
U = PQ
P =
1
3
8<:
24 paa pab pacpba pbb pbc
pca pcb pcc
35+
24 pbb pbc pbapcb pcc pca
pab pac paa
35+
24 pcc pca pcbpac paa pab
pbc pba pbb
359=;
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Lembrando:
U = PQ
P =
1
3
8<:
24 paa pab pacpba pbb pbc
pca pcb pcc
35+
24 pbb pbc pbapcb pcc pca
pab pac paa
35+
24 pcc pca pcbpac paa pab
pbc pba pbb
359=;
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Capacitaˆncias das linhas de Transmissa˜o
Lembrando:
U = PQ
P =
1
3
8<:
24 paa pab pacpba pbb pbc
pca pcb pcc
35+
24 pbb pbc pbapcb pcc pca
pab pac paa
35+
24 pcc pca pcbpac paa pab
pbc pba pbb
359=;
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
P =
24 paa pab pabpab paa pab
pab pab paa
35
sendo
paa =
1
3
(paa + pbb + pcc)
paa =
1
3
1
2⇡✏
✓
log
2 ha
r
+ log
2 hb
r
+ log
2 hc
r
◆
paa =
1
2⇡✏
log
2 hm
r
onde
hm =
3
p
ha hb hc ) altura me´dia goeme´trica
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
Para os elementos fora da diagonal principal:
pab =
1
3
(pab + pbc + pca)
pab =
1
3
1
2⇡✏
✓
log
D 0ab
Dab
+ log
D 0bc
Dbc
+ log
D 0ca
Dca
◆
pab =
1
2⇡✏
log
D 0mi
Dm
D 0mi = 3
p
D 0ab D
0
bc D
0
ca ) distaˆncia me´dia geome´trica entre condutor e
imagem
Dm =
3
p
Dab Dbc Dca ) distaˆncia me´dia geome´trica entre condutores
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
A matriz de capacitaˆncias e´ (valores me´dios):
C = P
�1
Isto e´ equivalente a:
qabc = (f1 C123 + f2 C231 + f3 C312) Uabc
fn e´ a frac¸a˜o do comprimento total que o trecho de transposic¸a˜o
corresponde
Cjik e´ a matriz de capacitaˆncia do trecho correspondente
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
Capacitaˆncia pro´pria me´dia:
cS0 =
1
3
(caa + cbb + ccc)
Capacitaˆncia mu´tua me´dia:
cM0 =
1
3
(cab + cbc + cca)
Matriz de capacitaˆncias me´dias da LT:
C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Capacitaˆncia para o solo:
cg0 = cS0 � 2 cM0
(combinac¸a˜o da pro´pria e da mu´tua)
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
Capacitaˆncia pro´pria me´dia:
cS0 =
1
3
(caa + cbb + ccc)
Capacitaˆncia mu´tua me´dia:
cM0 =
1
3
(cab + cbc + cca)
Matriz de capacitaˆncias me´dias da LT:
C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Capacitaˆncia para o solo:
cg0 = cS0 � 2 cM0
(combinac¸a˜o da pro´pria e da mu´tua)
Capacitaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
Capacitaˆncia pro´pria me´dia:
cS0 =
1
3
(caa + cbb + ccc)
Capacitaˆncia mu´tua me´dia:
cM0 =
1
3
(cab + cbc + cca)
Matriz de capacitaˆncias me´dias da LT:
C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Capacitaˆncia para o solo:
cg0 = cS0 � 2 cM0
(combinac¸a˜o da pro´pria e da mu´tua)
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
Considerando:
Iabc = | !CUabc
aplicando a transfomac¸a˜o de similaridade:
I012 = | !A
�1 CAU012
I012 = | !C012 U012
Lembrando que:
A =
24 1 1 11 a2 a
1 a a2
35
onde a = exp(| 2⇡3 )
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
C012 = A
�1 CA =
24 c00 c01 c02c10 c11 c12
c20 c21 c22
35
Se a LT for transposta, de forma que:
C ' C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Enta˜o:
C012 =
24 cS0 � 2 cM0 0 00 cS0 + cM0 0
0 0 cS0 + cM0
35
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
C012 = A
�1 CA =
24 c00 c01 c02c10 c11 c12
c20 c21 c22
35
Se a LT for transposta, de forma que:
C ' C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Enta˜o:
C012 =
24 cS0 � 2 cM0 0 00 cS0 + cM0 0
0 0 cS0 + cM0
35
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
C012 = A
�1 CA =
24 c00 c01 c02c10 c11 c12
c20 c21 c22
35
Se a LT for transposta, de forma que:
C ' C =
24 cS0 cM0 cM0cM0 cS0 cM0
cM0 cM0 cS0
35
Enta˜o:
C012 =
24 cS0 � 2 cM0 0 00 cS0 + cM0 0
0 0 cS0 + cM0
35
Multiplos Condutores por Fase (Pro´xima Aula)
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x HmL
yHmL
Multiplos Condutores por Fase (Pro´xima Aula)
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x HmL
yHmL
-1 0 1
-1
0
1
x HmL
yHmL
Multiplos Condutores por Fase (Pro´xima Aula)
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x HmL
yHmL
-1 0 1
-1
0
1
x HmL
yHmL
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x HmL
yHmL
Paraˆmetros de Linha de Transmissa˜o
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncia
Robson Dias
dias@coe.ufrj.br
COPPE/UFRJ
Suma´rio
1 Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
2 Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
LT com um Cabo Pa´ra-raio
LT com dois Cabos Pa´ra-raios
3 Capacitaˆncia de Linhas com Circuito Duplo
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
Me´doto Aproximado (RMG)
Encontrar um condutor equivalente
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x HmL
yHmL
Me´doto Aproximado (RMG)
Encontrar um condutor equivalente
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x HmL
yHmL
Me´doto Aproximado (RMG)
Encontrar um condutor equivalente
-1 0 1
-1
0
1
x HmL
yHmL
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
Um caso gene´rico
H´ıpoteses
Os condutores esta˜o no mesmo
potencial
As cargas sa˜o distribu´ıdas igualmente
A altura de todos os subcondutores sa˜o
iguais (h)
Os raios de todos os condutores sa˜o
iguais
u = qn (p11 + p12 + . . . + p1n)
u = qn (p21 + p22 + . . . + p2n)
u = qn (p31 + p32 + . . . + p3n)
... =
...
u = qn (pn1 + pn2 + . . . + pnn)
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
Um caso gene´rico
H´ıpoteses
Os condutores esta˜o no mesmo
potencial
As cargas sa˜o distribu´ıdas igualmente
A altura de todos os subcondutores sa˜o
iguais (h)
Os raios de todos os condutores sa˜o
iguais
u = qn (p11 + p12 + . . . + p1n)
u = qn (p21 + p22 + . . . + p2n)
u = qn (p31 + p32 + . . . + p3n)
... =
...
u = qn (pn1 + pn2 + . . . + pnn)
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
Pelas hipo´teses assumidas:
(p11 + p12 + . . . + p1n) = (p21 + p22 + . . . + p2n) = . . .
Somando as equac¸o˜es:
n u = q (p11 + p12 + . . . + p1n)) u = qn (p11 + p12 + . . . + p1n)
Substituindo os valores de p11,p12,. . .
u =
q
2⇡✏ n
✓
log
2h
r
+ log
2h
s12
+ log
2h
s13
+ . . .
◆
Finalmente:
u =
q
2⇡✏
✓
log
2h
n
p
r s12 s13 . . . s1n
◆
) u = q
2⇡✏
✓
log
2h
RMG
◆
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
Pelas hipo´teses assumidas:
(p11 + p12 + . . . + p1n) = (p21 + p22 + . . . + p2n) = . . .
Somando as equac¸o˜es:
n u = q (p11 + p12 + . . . + p1n)) u = qn (p11 + p12 + . . . + p1n)
Substituindo os valores de p11,p12,. . .
u =
q
2⇡✏ n
✓
log
2h
r
+ log
2h
s12
+ log
2h
s13
+ . . .
◆
Finalmente:
u =
q
2⇡✏
✓
log
2h
n
p
r s12 s13 . . . s1n
◆
) u = q
2⇡✏
✓
log
2h
RMG
◆
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
A matriz P fica:
P =
q
2⇡✏
2664
log 2haRMGa log
D0ab
Dab
log D
0
ac
Dac
log
D0ba
Dba
log 2hbRMGb log
D0bc
Dbc
log D
0
ac
Dac
log
D0bc
Dbc
log 2hcRMGc
3775
O me´todo do RMG vale para este caso?
Capacitaˆncias de LT com Mu´ltiplos Condutores por Fase
A matriz P fica:
P =
q
2⇡✏
2664
log 2haRMGa log
D0ab
Dab
log D
0
ac
Dac
log
D0ba
Dba
log 2hbRMGb log
D0bc
Dbc
log D
0
ac
Dac
log
D0bc
Dbc
log 2hcRMGc
3775
O me´todo do RMG vale para este caso?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x HmL
yHmL
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
2664
Ua
Ub
Uc
0
3775 =
2664
paa pab pac pap
pba pbb pbc pbp
pca pcb pcc pcp
ppa ppb ppc ppp
3775
2664
qa
qb
qc
qp
3775
Tomando a u´ltima linha da Matriz:
0 = ppa qa + ppb qb + ppc qc + ppp qp
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
2664
Ua
Ub
Uc
0
3775 =
2664
paa pab pac pap
pba pbb pbc pbp
pca pcb pcc pcp
ppa ppb ppc ppp
3775
2664
qa
qb
qc
qp
3775
Tomando a u´ltima linha da Matriz:
0 = ppa qa + ppb qb + ppc qc + ppp qp
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
2664
Ua
Ub
Uc
0
3775 =
2664
paa pab pac pap
pba pbb pbc pbp
pca pcb pcc pcp
ppa ppb ppc ppp
3775
2664
qa
qb
qc
qp
3775
Tomando a u´ltima linha da Matriz:
0 = ppa qa + ppb qb + ppc qc + ppp qp
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
Isolando qp:
qp = � 1ppp (ppa qa + ppb qb + ppc qc)
Substituindo na equac¸a˜o:
24 UaUb
Uc
35 =
2666664
paa � pap ppappp pab �
pap ppb
ppp
pac � pap ppcppp
pba � pbp ppappp pbb �
pbp ppb
ppp
pbc � pbp ppcppp
pca � pcp ppappp pcb �
pcp ppb
ppp
pcc � pcp ppcppp
3777775
24 qaqb
qc
35
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
266664
Ua
Ub
Uc
0
0
377775 =
266664
paa pab pac pap1 pap2
pba pbb pbc pbp1 pbp2
pca pcb pcc pcp1 pcp2
pp1a pp1b pp1c pp1p1 pp1p2
pp2a pp2b pp2c pp2p1 pp2p2
377775
266664
qa
qb
qc
qp1
qp2
377775
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
266664
Ua
Ub
Uc
0
0
377775 =
266664
paa pab pac pap1 pap2
pba pbb pbc pbp1 pbp2
pca pcb pcc pcp1 pcp2
pp1a pp1b pp1c pp1p1 pp1p2
pp2a pp2b pp2c pp2p1 pp2p2
377775
266664
qa
qb
qc
qp1
qp2
377775
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
266664
Ua
Ub
Uc
0
0
377775 =
266664
paa pab pac pap1 pap2
pba pbb pbc pbp1 pbp2
pca pcb pcc pcp1 pcp2
pp1a pp1b pp1c pp1p1 pp1p2
pp2a pp2b pp2c pp2p1 pp2p2
377775
266664
qa
qb
qc
qp1
qp2
377775
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
De forma simplificada:
Uabc
0
�
=

P1 P2
P3 P4
� 
qabc
qp1p2
�
A matriz P reduzida:
Uabc =
⇣
P1 � P2 · P�14 · P3
⌘
qabc
Finalmente
Cabc = P
�1
abc
onde
Pabc [3⇥3] = P1 � P2 · P�14 · P3
Capacitaˆncias de LT com Cabos Pa´ra-raios
De forma simplificada:
Uabc
0
�
=

P1 P2
P3 P4
� 
qabc
qp1p2
�
A matriz P reduzida:
Uabc =
⇣
P1 � P2 · P�14 · P3
⌘
qabc
Finalmente
Cabc = P
�1
abc
onde
Pabc [3⇥3] = P1 � P2 · P�14 · P3
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
Sem cabo pa´ra-raio

Uabc
Ua0b0c0
�
= Pabc [6⇥6]

qabc
qa0b0c0
�
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
onde
Pabc =
26666664
paa pab pac paa0 pab0 pac 0
pba pbb pbc pba0 pbb0 pbc 0
pca pcb pcc pca0 pcb0 pcc 0
pa0a pa0b pa0c pa0a0 pa0b0 pa0c 0
pb0a pb0b pb0c pb0a0 pb0b0 pb0c 0
pc 0a pc 0b pc 0c pc 0a0 pc 0b0 pc 0c 0
37777775
Matriz de capacitaˆncias e´:
Cabc [6⇥6] = P�1abc [6⇥6] =

C11 C12
C21 C22
�
Podemos escrever:
Iabc
Ia0b0c0
�
= |!

C11 C12
C21 C22
� 
Uabc
Ua0b0c0
�
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
onde
Pabc =
26666664
paa pab pac paa0 pab0 pac 0
pba pbb pbc pba0 pbb0 pbc 0
pca pcb pcc pca0 pcb0 pcc 0
pa0a pa0b pa0c pa0a0 pa0b0 pa0c 0
pb0a pb0b pb0c pb0a0 pb0b0 pb0c 0
pc 0a pc 0b pc 0c pc 0a0 pc 0b0 pc 0c 0
37777775
Matriz de capacitaˆncias e´:
Cabc [6⇥6] = P�1abc [6⇥6] =

C11 C12
C21 C22
�
Podemos escrever:
Iabc
Ia0b0c0
�
= |!

C11 C12
C21 C22
� 
Uabc
Ua0b0c0
�
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
Uma vez que os circuitos esta˜o em paralelo:
Uabc = Ua0b0c0
enta˜o
Iabc =|!(C11 + C12)Uabc
Ia0b0c0 =|!(C21 + C22)Uabc
A corrente total do circuito e´:
IT = Iabc + Ia0b0c0 = |!(C11 + C12 + C21 + C22)Uabc
que e´ equivalente a:
IT = |!Ceq Uabc
onde
Ceq = C11 + C12 + C21 + C22
Assim, as capacitaˆncias de sequ¨eˆncias sa˜o:
C012 eq = A
�1 Ceq A
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
Uma vez que os circuitos esta˜o em paralelo:
Uabc = Ua0b0c0
enta˜o
Iabc =|!(C11 + C12)Uabc
Ia0b0c0 =|!(C21 + C22)Uabc
A corrente total do circuito e´:
IT = Iabc + Ia0b0c0 = |!(C11 + C12 + C21 + C22)Uabc
que e´ equivalente a:
IT = |!Ceq Uabc
onde
Ceq = C11 + C12 + C21 + C22
Assim, as capacitaˆncias de sequ¨eˆncias sa˜o:
C012 eq = A
�1 Ceq A
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
Com os cabos pa´ra-raios
24 UabcUa0b0c0
0
35 = Pabcp [8⇥8]
24 qabcqa0b0c0
qp1p2
35
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
onde
Pabc =
266666666664
paa pab pac paa0 pab0 pac 0 pap1 pap2
pba pbb pbc pba0 pbb0 pbc 0 pbp1 pbp2
pca pcb pcc pca0 pcb0 pcc 0 pcp1 pcp2
pa0a pa0b pa0c pa0a0 pa0b0 pa0c 0 pa0p1 pa0p2
pb0a pb0b pb0c pb0a0 pb0b0 pb0c 0 pb0p1 pb0p2
pc 0a pc 0b pc 0c pc 0a0 pc 0b0 pc 0c 0 pc 0p1 pc 0p2
pp1a pp1b pp1c pp1a0 pp1b0 pp1c 0 pp1p1 pp1p2
pp2a pp2b pp2c pp2a0
pp2b0 pp2c 0 pp2p1 pp2p2
377777777775
Pabcp =

P1 [6⇥6] P2 [6⇥2]
P3 [2⇥6] P4 [2⇥2]
�
Capacitaˆncias de Linhas com Circuito Duplo
A matriz P0abc reduzida e´:
P0abc [6⇥6] = P1 [6⇥6] � P2 [6⇥2] · P�14 [2⇥2] · P3 [2⇥6]
Cabc [6⇥6] = P0 �1abc [6⇥6]
Agora basta seguir os passos apresentados anteriormente
Pro´xima Aula
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Revisa˜o sobre Capacitaˆncias de LT
LT com Circuito Duplo e Cabos Pa´ra-raios (Pro´xima Aula)
Paraˆmetros de Linha de Transmissa˜o
Capacitaˆncias de Sequ¨eˆncia
Robson Dias
dias@coe.ufrj.br
COPPE/UFRJ
Suma´rio
1 Desbalanc¸o Elestrosta´tico
Sistemas Na˜o Aterrados
Sistemas Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Causas
Na˜o transposic¸a˜o
Ciclos incompletos de transposic¸a˜o
Consequ¨eˆncia
Corrente residual no neutro, independente do carregamento da linha
Problemas
Mal funcionamento da protec¸a˜o
Desbalanc¸o de tensa˜o
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Causas
Na˜o transposic¸a˜o
Ciclos incompletos de transposic¸a˜o
Consequ¨eˆncia
Corrente residual no neutro, independente do carregamento da linha
Problemas
Mal funcionamento da protec¸a˜o
Desbalanc¸o de tensa˜o
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Iabc = | !Cabc Uabc = |Babc Uabc
I012 = |B012 U012
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
U =
24 UanUbn
Ucn
35 =
24 Ua � UnUb � Un
Uc � Un
35 = Uabc �Un
como
U012 = A
�1 Uabc = A�1 (U+Un)
enta˜o
U012 =
24 UnUan
0
35
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Podemos escrever:
Ia0 =| (B00 Ua0 + B01 Ua1)
Ia1 =| (B10 Ua0 + B11 Ua1)
Ia2 =| (B20 Ua0 + B21 Ua1)
Sistemas Na˜o Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Un 6= 0
Ia0 = 0
enta˜o
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Zero
d0 =
Ua0
Ua1
= �B01
B00
= �c01
c00
Sistemas Na˜o Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Un 6= 0
Ia0 = 0
enta˜o
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Zero
d0 =
Ua0
Ua1
= �B01
B00
= �c01
c00
Sistemas Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Un = 0
Ia0 = |B01 Ua1
Ia1 = |B11 Ua1
Ia2 = |B21 Ua1
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Zero
d0 =
Ia0
Ia1
=
B01
B11
=
c01
c11
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Negativa
d2 =
Ia2
Ia1
=
B21
B11
=
c21
c11
Sistemas Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Un = 0
Ia0 = |B01 Ua1
Ia1 = |B11 Ua1
Ia2 = |B21 Ua1
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Zero
d0 =
Ia0
Ia1
=
B01
B11
=
c01
c11
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Negativa
d2 =
Ia2
Ia1
=
B21
B11
=
c21
c11
Sistemas Aterrados
Desbalanc¸o Eletrosta´tico
Un = 0
Ia0 = |B01 Ua1
Ia1 = |B11 Ua1
Ia2 = |B21 Ua1
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Zero
d0 =
Ia0
Ia1
=
B01
B11
=
c01
c11
Fator de Desbalanc¸o de Sequ¨eˆncia Negativa
d2 =
Ia2
Ia1
=
B21
B11
=
c21
c11
Paraˆmetros de Linha de Transmissa˜o
Impedaˆncias de Sequ¨eˆncia
Robson Dias
dias@coe.ufrj.br
COPPE/UFRJ
Suma´rio
1 Indutaˆncia Interna de um Condutor
2 Indutaˆncia Externa de um Condutor
3 Indutaˆncia de uma LT Monofa´sica
4 Matriz de Indutaˆncias de um Grupo de N Condutores
5 Indutaˆncias de N Condutores sobre o Solo Ideal
6 Indutaˆncias de N Condutores sobre o Solo Ideal
7 Indutaˆncias de linhas idealmente transposta
Indutaˆncia Interna de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Distribuic¸a˜o uniforme de
corrente em seu interior
Pelas hipo´teses podemos dizer
que:
Ii = I
r2i
r2
podemos ainda considerar que
Hi e´ constante e igual a:
Hi =
Ii
2⇡ ri
ou
Hi =
ri
2⇡ r2
I
e por conseguinte:
Bi = µHi = µ
ri I
2⇡ r2
Indutaˆncia Interna de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Distribuic¸a˜o uniforme de
corrente em seu interior
Pelas hipo´teses podemos dizer
que:
Ii = I
r2i
r2
podemos ainda considerar que
Hi e´ constante e igual a:
Hi =
Ii
2⇡ ri
ou
Hi =
ri
2⇡ r2
I
e por conseguinte:
Bi = µHi = µ
ri I
2⇡ r2
Indutaˆncia Interna de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Distribuic¸a˜o uniforme de
corrente em seu interior
Pelas hipo´teses podemos dizer
que:
Ii = I
r2i
r2
podemos ainda considerar que
Hi e´ constante e igual a:
Hi =
Ii
2⇡ ri
ou
Hi =
ri
2⇡ r2
I
e por conseguinte:
Bi = µHi = µ
ri I
2⇡ r2
Indutaˆncia Interna de um condutor
O fluxo por unidade de
comprimento e´:
d� =
µ ri I
2⇡ r2
dri
O fluxo enlac¸ado d�:
d� =
r2i
r2
d� =
µ I r3i
2⇡ r4
dri
integrando de 0 a r :
�int =
Z r
0
µ I r3i
2⇡ r4
dri =
µ I
8⇡
Substituindo os valores
�int =
I
2
⇥ 10�7Wbt/m
A indutaˆncia interna e´ dada por:
Lint =
�int
I
=
1
2
⇥ 10�7H/m
Indutaˆncia Interna de um condutor
O fluxo por unidade de
comprimento e´:
d� =
µ ri I
2⇡ r2
dri
O fluxo enlac¸ado d�:
d� =
r2i
r2
d� =
µ I r3i
2⇡ r4
dri
integrando de 0 a r :
�int =
Z r
0
µ I r3i
2⇡ r4
dri =
µ I
8⇡
Substituindo os valores
�int =
I
2
⇥ 10�7Wbt/m
A indutaˆncia interna e´ dada por:
Lint =
�int
I
=
1
2
⇥ 10�7H/m
Indutaˆncia Interna de um condutor
O fluxo por unidade de
comprimento e´:
d� =
µ ri I
2⇡ r2
dri
O fluxo enlac¸ado d�:
d� =
r2i
r2
d� =
µ I r3i
2⇡ r4
dri
integrando de 0 a r :
�int =
Z r
0
µ I r3i
2⇡ r4
dri =
µ I
8⇡
Substituindo os valores
�int =
I
2
⇥ 10�7Wbt/m
A indutaˆncia interna e´ dada por:
Lint =
�int
I
=
1
2
⇥ 10�7H/m
Indutaˆncia Externa de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Muito distante do solo
Sabemos que:
Hx =
I
2⇡ x
e que a densidade de campo
Bx = µHx
Bx = µ
I
2⇡ x
Indutaˆncia Externa de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Muito distante do solo
Sabemos que:
Hx =
I
2⇡ x
e que a densidade de campo
Bx = µHx
Bx = µ
I
2⇡ x
Indutaˆncia Externa de um Condutor
Hipo´teses:
Condutor Macic¸o
Cil´ındrico
Infinito
Muito distante do solo
Sabemos que:
Hx =
I
2⇡ x
e que a densidade de campo
Bx = µHx
Bx = µ
I
2⇡ x
Indutaˆncia Externa de um Condutor
O fluxo em um elemento tubular de espessura dx:
�x =
Z x
r
Bx dx
ou
�x =
µ I
2⇡
Z x
r
1
x
dx
assim o fluxo enlac¸ado desde r ate´ a distaˆncia d e´:
�ext =
µ I
2⇡
✓
log
d
r
◆
A Indutaˆncia externa e´:
Lext =
µ
2⇡
✓
log
d
r
◆
) Lext = 2⇥ 10�7 log dr
Indutaˆncia Externa de um Condutor
O fluxo em um elemento tubular de espessura dx:
�x =
Z x
r
Bx dx
ou
�x =
µ I
2⇡
Z x
r
1
x
dx
assim o fluxo enlac¸ado desde r ate´ a distaˆncia d e´:
�ext =
µ I
2⇡
✓
log
d
r
◆
A Indutaˆncia externa e´:
Lext =
µ
2⇡
✓
log
d
r
◆
) Lext = 2⇥ 10�7 log dr
Indutaˆncia de uma LT Monofa´sica
Indutancia devido ao fluxo do
condutor 1:
L1 =
✓
1
2
+ 2 log
D
r1
◆
⇥ 10�7
podemos escrever:
L1 =2⇥ 10�7
✓
log
1
✏�
1
4
+ log
D
r1
◆
L1 =2⇥ 10�7
 
log
D
r1 ✏
� 14
!
L1 =2⇥ 10�7 log Dr 01
Indutaˆncia de uma LT Monofa´sica
Indutancia devido ao fluxo do
condutor 1:
L1 =
✓
1
2
+ 2 log
D
r1
◆
⇥ 10�7
podemos escrever:
L1 =2⇥ 10�7
✓
log
1
✏�
1
4
+ log
D
r1
◆
L1 =2⇥ 10�7
 
log
D
r1 ✏
� 14
!
L1 =2⇥ 10�7 log Dr 01
Indutaˆncia de uma LT Monofa´sica
Indutancia devido ao fluxo do
condutor 1:
L1 =
✓
1
2
+ 2 log
D
r1
◆
⇥ 10�7
podemos escrever:
L1 =2⇥ 10�7
✓
log
1
✏�
1
4
+ log
D
r1
◆
L1 =2⇥ 10�7
log
D
r1 ✏
� 14
!
L1 =2⇥ 10�7 log Dr 01
Indutaˆncia de uma LT Monofa´sica
Fazendo o mesmo para o
condutor 2:
L2 = 2⇥ 10�7 log Dr 02
a indutaˆncia total do
circuito e´:
L =L1 + L2
L =4⇥ 10�7 log Dp
r 01 r 02
se r1 = r2:
L = 4⇥ 10�7 log D
r 0
Matriz de Indutaˆncias de um Grupo de N Condutores
Hipo´tese:
I1 + I2 + I3 + In = 0
O fluxo que enlac¸a (�1P 1) o condutor 1 devido a` corrente I1 e´:
�1P 1 = I1
✓
1
2
+ 2 log
D1P
r1
◆
⇥ 10�7
enta˜o
�1P 1 = 2⇥ 10�7I1 log D1Pr 01
Matriz de Indutaˆncias de um Grupo de N Condutores
Hipo´tese:
I1 + I2 + I3 + In = 0
O fluxo que enlac¸a (�1P 1) o condutor 1 devido a` corrente I1 e´:
�1P 1 = I1
✓
1
2
+ 2 log
D1P
r1
◆
⇥ 10�7
enta˜o
�1P 1 = 2⇥ 10�7I1 log D1Pr 01
Matriz de Indutaˆncias de um Grupo de N Condutores
Hipo´tese:
I1 + I2 + I3 + In = 0
O fluxo que enlac¸a (�1P 1) o condutor 1 devido a` corrente I1 e´:
�1P 1 = I1
✓
1
2
+ 2 log
D1P
r1
◆
⇥ 10�7
enta˜o
�1P 1 = 2⇥ 10�7I1 log D1Pr 01
Matriz de Indutaˆncias de um Grupo de N Condutores
O fluxo devido a` corrente I2 que enlac¸a o condutor 1 e´:
�1P 2 = 2⇥ 10�7I2 log D2PD12
Logo, o fluxo total que enlac¸a o condutor 1 devido a todos os
condutores e´:
�1P = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
D1P
r 01
+ I2 log
D2P
D12
+ I3 log
D3P
D13
+ In log
DnP
D1n
◆
ou
�1P = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
1
r 01
+ I2 log
1
D12
+ I3 log
1
D13
+ In log
1
D1n
+
I1 logD1P + I2 logD2P + I3 logD3P + In logDnP)
Matriz de Indutaˆnicas de um Grupo de N Condutores
lembrando que In = �(I1 + I2 + I3), enta˜o
�1P = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
1
r 01
+ I2 log
1
D12
+ I3 log
1
D13
+ In log
1
D1n
+
I1 log
D1P
DnP
+ I2 log
D2P
DnP
+ I3 log
D3P
DnP
◆
considerando o ponto P muito distante dos condutores, temos:
�1 = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
1
r 01
+ I2 log
1
D12
+ I3 log
1
D13
+ In log
1
D1n
◆
fazendo para todos os fluxos:
[�]=[L] [I]
Matriz de Indutaˆnicas de um Grupo de N Condutores
lembrando que In = �(I1 + I2 + I3), enta˜o
�1P = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
1
r 01
+ I2 log
1
D12
+ I3 log
1
D13
+ In log
1
D1n
+
I1 log
D1P
DnP
+ I2 log
D2P
DnP
+ I3 log
D3P
DnP
◆
considerando o ponto P muito distante dos condutores, temos:
�1 = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
1
r 01
+ I2 log
1
D12
+ I3 log
1
D13
+ In log
1
D1n
◆
fazendo para todos os fluxos:
[�]=[L] [I]
Indutaˆncias de N Condutores sobre o Solo Ideal
o fluxo total que enlac¸a o condutor 1 e´:
�1 = 2⇥ 10�7
✓
I1 log
2 hm
r 0m
+ I2 log
D 0mn
Dmn
◆
Logo: 
�1
�2
�
= 2⇥ 10�7
"
log 2hmr 01
log D
0
mn
Dmn
log D
0
mn
Dmn
log hnr 0
# 
I1
I2
�
Indutaˆncias de N Condutores sobre o Solo Ideal
2666664
�m
�n
�o
�p
...
3777775 = 2⇥10�7
2666666664
log 2 hmr 0m log
D0mn
Dmn
log D
0
mo
Dmo
log
D0mp
Dmp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnr 0n log
D0no
Dno
log
D0np
Dnp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log 2 hor 0o log
D0op
Dop
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log
D0op
Dop
log 2 hpr 0p · · ·
...
...
...
...
. . .
3777777775
2666664
Im
In
Io
Ip
...
3777775
Indutaˆncias de N Condutores sobre o Solo Ideal
2666664
�m
�n
�o
�p
...
3777775 = 2⇥10�7
2666666664
log 2 hmr 0m log
D0mn
Dmn
log D
0
mo
Dmo
log
D0mp
Dmp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log 2 hnr 0n log
D0no
Dno
log
D0np
Dnp
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log 2 hor 0o log
D0op
Dop
· · ·
log D
0
mn
Dmn
log D
0
no
Dno
log
D0op
Dop
log 2 hpr 0p · · ·
...
...
...
...
. . .
3777777775
2666664
Im
In
Io
Ip
...
3777775
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Lembrando:
⇤ = L I
L =
1
3
8<:
24 Laa Lab LacLba Lbb Lbc
Lca Lcb Lcc
35+
24 Lbb Lbc LbaLcb Lcc Lca
Lab Lac Laa
35+
24 Lcc Lca LcbLac Laa Lab
Lbc Lba Lbb
359=;
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Lembrando:
⇤ = L I
L =
1
3
8<:
24 Laa Lab LacLba Lbb Lbc
Lca Lcb Lcc
35+
24 Lbb Lbc LbaLcb Lcc Lca
Lab Lac Laa
35+
24 Lcc Lca LcbLac Laa Lab
Lbc Lba Lbb
359=;
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Lembrando:
⇤ = L I
L =
1
3
8<:
24 Laa Lab LacLba Lbb Lbc
Lca Lcb Lcc
35+
24 Lbb Lbc LbaLcb Lcc Lca
Lab Lac Laa
35+
24 Lcc Lca LcbLac Laa Lab
Lbc Lba Lbb
359=;
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
Lembrando:
⇤ = L I
L =
1
3
8<:
24 Laa Lab LacLba Lbb Lbc
Lca Lcb Lcc
35+
24 Lbb Lbc LbaLcb Lcc Lca
Lab Lac Laa
35+
24 Lcc Lca LcbLac Laa Lab
Lbc Lba Lbb
359=;
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta
L =
24 Laa Lab LabLab Laa Lab
Lab Lab Laa
35
sendo
Laa =
1
3
(Laa + Lbb + Lcc)
Laa =
2⇥ 10�7
3
✓
log
2 ha
r 0
+ log
2 hb
r 0
+ log
2 hc
r 0
◆
Laa = 2⇥ 10�7 log 2 hmr 0
onde
hm =
3
p
ha hb hc ) altura me´dia goeme´trica
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
Para os elementos fora da diagonal principal:
Lab =
1
3
(Lab + Lbc + Lca)
Lab =
2⇥ 10�7
3
✓
log
D 0ab
Dab
+ log
D 0bc
Dbc
+ log
D 0ca
Dca
◆
Lab = 2⇥ 10�7 log D
0
mi
Dm
D 0mi = 3
p
D 0ab D
0
bc D
0
ca ) distaˆncia me´dia geome´trica entre condutor e
imagem
Dm =
3
p
Dab Dbc Dca ) distaˆncia me´dia geome´trica entre condutores
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transposta (cont.)
A matriz de indutaˆncias e´ (valores me´dios):
Isto e´ equivalente a:
Labc = (f1 L123 + f2 L231 + f3 L312)
fn e´ a frac¸a˜o do comprimento total que o trecho de transposic¸a˜o
corresponde
Ljik e´ a matriz de indutaˆncias do trecho correspondente
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transp. (cont.)
Indutaˆncia pro´pria
me´dia:
LS0 =
1
3
(Laa + Lbb + Lcc)
Indutaˆncia mu´tua
me´dia:
LM0 =
1
3
(Lab + Lbc + Lca)
Matriz de indutaˆncias me´dias da LT:
L =
24 LS0 LM0 LM0LM0 LS0 LM0
LM0 LM0 LS0
35
Indutaˆncias de uma Linha Trifa´sica Transp. (cont.)
Indutaˆncia pro´pria
me´dia:
LS0 =
1
3
(Laa + Lbb + Lcc)
Indutaˆncia mu´tua
me´dia:
LM0 =
1
3
(Lab + Lbc + Lca)
Matriz de indutaˆncias me´dias da LT:
L =
24 LS0 LM0 LM0LM0 LS0 LM0
LM0 LM0 LS0
35
Indutaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
Considerando:
Uabc = | ! L Iabc
aplicando a transfomac¸a˜o de similaridade:
U012 = | !A
�1 LA I012
U012 = | ! L012 I012
Lembrando que:
A =
24 1 1 11 a2 a
1 a a2
35
onde a = exp(| 2⇡3 )
Indutaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
L012 = A
�1 LA =
24 L00 L01 L02L10 L11 L12
L20 L21 L22
35
Se a LT for idealmente transposta, de forma que:
L ' L =
24 LS0 LM0 LM0LM0 LS0 LM0
LM0 LM0 LS0
35
Enta˜o:
L012 =
24 LS0 + 2 LM0 0 00 LS0 � LM0 0
0 0 LS0 � LM0
35
Indutaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
L012 = A
�1 LA =
24 L00 L01 L02L10 L11 L12
L20 L21 L22
35
Se a LT for idealmente transposta, de forma que:
L ' L =
24 LS0 LM0 LM0LM0 LS0 LM0
LM0 LM0 LS0
35
Enta˜o:
L012 =
24 LS0 + 2 LM0 0 00 LS0 � LM0 0
0 0 LS0 � LM0
35
Indutaˆncias de Sequ¨eˆncias de LT
L012 = A
�1 LA =
24 L00 L01 L02L10 L11 L12
L20 L21 L22
35
Se a LT for idealmente transposta, de forma que:
L ' L =
24 LS0 LM0 LM0LM0 LS0 LM0
LM0 LM0 LS0
35
Enta˜o:
L012 =
24 LS0 + 2 LM0 0 00 LS0 � LM0 0
0 0 LS0 � LM0
35
Paraˆmetros de Linha de Transmissa˜o
Impedaˆncias de Sequ¨eˆncia
Robson Dias
dias@coe.ufrj.br
COPPE/UFRJ
Suma´rio
1 Indutaˆncias de Feixes de Cond. (sem o Solo)
Indutaˆncias de Feixes
de Condutores
Hipo´tese:
A corrente se distribui
igualmente pelos subcondutores
do feixe
o fluxo que enlac¸a o subcondutor 1:
�1 = 2⇥ 10�7 In
✓
log
1
r 01
+ log
1
D12
+ log
1
D13
+ . . . + log
1
D1n
◆
�
2⇥ 10�7 I
m
✓
log
1
D110
+ log
1
D120
+ log
1
D130
+ . . . + log
1
D1n0
◆
Indutaˆncias de Feixes de Condutores
Hipo´tese:
A corrente se distribui
igualmente pelos subcondutores
do feixe
o fluxo que enlac¸a o subcondutor 1:
�1 = 2⇥ 10�7 In
✓
log
1
r 01
+ log
1
D12
+ log
1
D13
+ . . . + log
1
D1n
◆
�
2⇥ 10�7 I
m
✓
log
1
D110
+ log
1
D120
+ log
1
D130
+ . . . + log
1
D1n0
◆
Indutaˆncias de Feixes de Condutores
Hipo´tese:
A corrente se distribui
igualmente pelos subcondutores
do feixe
o fluxo que enlac¸a o subcondutor 1:
�1 = 2⇥ 10�7 In
✓
log
1
r 01
+ log
1
D12
+ log
1
D13
+ . . . + log
1
D1n
◆
�
2⇥ 10�7 I
m
✓
log
1
D110
+ log
1
D120
+ log
1
D130
+ . . . + log
1
D1n0
◆
Indutaˆncias de Feixes de Condutores
enta˜o
�1 = 2⇥ 10�7I
 
log
m
p
D110 D120 D130 . . .D1m0
n
p
r 01D12D13 . . .D1n
!
Indutaˆncia apenas do subcondutor 1:
L1 =
�1
I/n
= 2 n ⇥ 10�7
 
log
m
p
D110 D120 D130 . . .D1m0
n
p
r 01D12D13 . . .D1n
!
fazendo o mesmo para o condutor 2, tem-se:
L2 =
�2
I/n
= 2 n ⇥ 10�7
 
log
m
p
D210 D220 D230 . . .D2m0
n
p
r 02D12D23 . . .D2n
!
A indutaˆncia me´dia dos subcondutores do feixe A e´ igual a:
Lm =
L1 + L2 + L3 + . . .+ Ln
n
Indutaˆncias de Feixes de Condutores
para fins de ca´lculos aproximados, pode-se considerar que a
indutaˆncia de todos os subcondutores e´ igual a indutaˆncia me´dia.
Assim, a indutaˆncia equivalente do feixe A e´ igual a:
LA =
Lm
n
=
L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
n2
logo:
LA = 2⇥ 10�7 log
m·np(D110 D120 D130 . . .D1m0) (D210 D220 D230 . . .D2m0) . . .
n·np(r 01D12D13 . . .D1n) (r 02D12D23 . . .D2n) . . .
A indutaˆncia do condutor LB e´ deterniada da mesma forma.
Indutaˆncia de Feixe de Condutores
O termo m·n
p
(D110 D120 D130 . . .D1m0) (D210 D220 D230 . . .D2m0) . . . e´
chamado de distaˆncia me´dia geome´trica mu´tua (Dm)
O termo n·n
p
(r 01D12D13 . . .D1n) (r 02D12D23 . . .D2n) . . . e´ chamado
de distaˆncia me´dia geome´trica pro´pria (Ds). Ou, enta˜o, de raio
me´dio geome´trico (RMG)
Assim:
LA = 2⇥ 10�7 log DmDs
minerva02
Eliminac¸a˜o de Cabos Pa´rarraios
Antonio C. S. Lima1,2 Robson F. S. Dias1
1Escola Polite´cnica, Departamento de Engenharia Ele´trica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
2COPPE, Programa de Engenharia Ele´trica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
2008
Lima elimPR
minerva02
A=

P Q
R S
�
(1)
A�1 =

P˜ Q˜
R˜ S˜
�
(2)
P˜=
�
P�Q ·S�1 ·R��1 (3)
Lima elimPR
	Parâmetros por Unidade de Comprimento de uma LT
	Campo Elétrico de um Condutor Isolado
	Tensão entre Dois Condutores Carregados
	Capacitância entre Dois Condutores Idênticos
	Tensão entre um Condutor e o Solo
	Tensão entre Dois Condutores sobre o Solo
	Tensão de Múltiplos Condutores sobre o Solo
	Capacitâncias de um Sistema de Múltiplos Condutores
	Capacitâncias das Linhas de Transmissão
	Capacitâncias de uma Linha Monofásica
	Capacitâncias de uma Linha Trifásica
	Capacitâncias de Seqüências de LT