1 5 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO

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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
NIT – CCE0159 – 3008 – Eletromagnetismo I
Unidade 1 - Campo Elétrico Estacionário
1.5 Densidade de Fluxo Elétrico
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
2019
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• Como vimos, suponha que apliquemos um quantidade de carga +Q à uma esfera metálica de raio a. Vamos envolver esta esfera
usando um par te hemisférios de raio b, que se conectam, sem deixar que a esfera A toque na esfera B. Em seguida, aterramos a
esfera externa B. Removemos, então, a conexão com a terra e verificamos que uma carga –Q se acumulou na esfera externa.
Podemos admitir que, de algum modo, a carga +Q da esfera interior induziu a carga –Q na esfera exterior.
• Torna-se conveniente definir um fluxo elétrico que se estende a partir da carga positiva, procurando por uma carga negativa (por
meio do contato breve com a terra) e puxando esa carga negativa para o mais perto possível dessa carga positiva.
• Então, dizemos que o fluxo elétrico começa na carga +Q e termina na –Q. Estas linhas são radialmente dirigidas das esfera
interior para a exterior e se espalharão até atingir uma separação máxima entre as cargas semelhantes em cada esfera.
• Considerando que o fluxo passa através de uma superfície esférica na região entre as esferas, podemos definir a densidade de
fluxo elétrico (C/m²), como:
• Percebam que esta expressão é muito semelhante à expressão da intensidade do campo elétrico para uma carga pontual.
• De fato, esta expressão é também válida para a região entre as esferas. Assimm desde que a quantidade de fluxo elétrico que
emana da esfera seja igual à carga Q da esfera, temos:
ra
r
D
24

=
ra
r
Q
E
2
04
=
ED = 0
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• Certamente esta é a relação entre D e E no vácuo. Para um meio genérico, precisaremos da constante desse meio.
• A vantagem de se utilizar a densidade de fluxo em vez da intensidade de campo está no fato de a primeira se relacionar com o
número de linhas que o fluxo que emanda de um conjunto de carga e termina em outro, independente do meio.
• A quantidade de fluxo elétrico que passa através de uma superfície é dada pelo produto de D e o vetor superfície S.
• ɵ é o ângulo entre o vetor densidade e a superfície.
• Percebam que na figura abaixo, o fluxo elétrico será maior em (b), pois o ângulo é 0º e o coseno é o maior possível, 1. Isso
significa que o fluxo através de uma superfície que forma um ângulo com a direção do fluxo como em (a) é menor do que o fluxo
através de uma superfície equivalente normal à direção do fluxo, como em (b).
• Conforme vimos em revisão, a expressão do fluxo elétrico é o produto escalar de D e S:
 cosSD=
cosSDSD =
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• Em geral é difícil determinar o ângulo entre os vetores, mas felizmente há um jeito mais fácil. Lembrem-se do slide 5 do
Powerpoint 1.1:
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• O produto escalar entre os vetores representa a quantidade de A que está na direção de B, ou seja, a projeção de A em B. Uma
vez que a propriedade é comutativa, também poderíamos dizer que é a quantidade de B que está na direção de A.
• Como apresentado no slide anterior, as componentes que trabalhamos, sejam cartesianas, cilíndricas ou esféricas, possuem
relação ortogonal entre seus eixos, logo, o cosseno será sempre 1 ou 0. 1 para os paralelos e 0 para o restante. Logo, podemos
escrever a equação do fluxo elétrico:
• Entretanto, se a densidade de fluxo elétrico variar ao longo de uma superfície, precisaremos integrar todas as densidades para
encontrar o fluxo.
• Exemplo: suponha que D=3xyax + 4xaz C/m² e queremos encontrar a quantidade de fluxo elétrico através da superfície em z = 0,
com 0 ≤ x ≤ 5m e 0 ≤ y ≤ 3m. O vetor diferencial de superfície é dS=dxdyaz.
• Notem que 3xyax não afeta o cálculo do fluxo, pois o produto por az zera o termo. Já o produto de az por az, que são paralelos,
gera um cosseno 1, como o valor deles é unitário, logo o vetor some. Faz sentido, pois o resultado é um escalar.
 cosSD= SD =
( ) += zzx dxdyaxaxya 43
 =
5
0
3
0
4 dyxdx
( ) += zzzx dxdyaxadxdyaxya 43 ( ) += zzdxdyaxa40
C150=
 = SD
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• Exemplo: suponha que tenhamos uma densidade de fluxo elétrico dada por D = 3rar – 9raɵ + 6aφ C/m² e que desejamos
calcular o fluxo elétrico através da superfície esférica em r=2m. O vetor diferencial de superfície nesse caso é dS=r²sen(ɵ)dɵdφar.
Calcular o fluxo elétrico através da superfície esférica.
• Exemplo: suponha que A = 6ax – 4ay + 2az e B = -3ax – 24ay + 6az. Encontre o ângulo entre os dois vetores.
( ) +−= rr addsenrarara   )(693
2
SD =
 =
 

0
2
0
3 )(3 ddsenr ( )( ) 2113
3 += r ( )( ) C 9621123 3 =+=
48,72)4()6( 222 =+−+=A
92,246)24()3( 222 =+−+−=B
90129618)62())24()4(())3(6( =++−=+−−+−=BA
( )ABcos92,2448,790 = ( )ABcos483,0 = AB=067,1 º61AB
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• Exemplo: Dado D = 10ap + 5 aφ C/m², encontre o fluxo elétrico através da superfície definida por: p = 6m, 0 ≤ φ ≤ 90º e -2 ≤ z ≤
2m.
( ) ( )( )   adzdaa  += 510SD = ( ) ( )( )   adzdaa  += 6510
( ) ( ) ( )   adzdaa  −+=
2
2
º90
0
6510 ( ) 4
2
610 =

 C 120=