Problemas de Estatística Descritiva

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Universidade da Beira Interior
2011/2011
CADERNO DE PROBLEMAS
Bioestat́ıstica
Ind́ıce
Estat́ıstica Descritiva 1
Teoria Elementar da Probabilidade 5
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade 13
Inferência Estat́ıstica 23
Formulário e Tabelas 35
Bibliografia 43
Estat́ıstica Descritiva
1. Num inquérito realizado a 45 pessoas, foram obtidas as seguintes observações relativas ao número
de vezes que cada uma delas foi ao médico, num determinado ano:
0 2 0 0 2 2 0 0 1
1 3 0 0 1 0 0 1 0
1 4 0 0 1 1 4 2 0
0 1 0 0 2 2 1 1 0
6 0 5 1 3 0 1 0 1
a) Calcule as seguintes caracteŕısticas amostrais: média, desvio padrão, mediana, moda, segundo
e terceiro quartis.
b) Represente os dados num diagrama de caixa de bigodes e interprete o gráfico que obteve.
c) Determine a distribuição de frequências da amostra e represente-a graficamente.
d) Determine a função de distribuição emṕırica.
2. No artigo “Penicillin in the treatment of Menigitis” (J. Amer. Med. Assoc. (1984): 1870-1874)
encontramos um estudo relativo à idade em que são diagnosticadas meningites que conduziu aos
seguintes registos:
18 18 25 19 23 20 69 18 21 18
18 20 18 18 20 18 19 28 17 18
Calcule a média e os quartis da amostra. Observa-se alguma concentração especial dos valores?
3. O tempo que cada doente deve esperar para ser atendido num serviço de urgências é um parâmetro
importante na concepção deste tipo de serviços. O tempo de espera (em minutos) registado para 50
pacientes num hospital pediátrico foi
35 22 63 60 49 19 15 83 46 19 16 31 24 29 36 68 42
57 64 8 23 47 21 51 7 40 19 46 16 32 108 33 55 32
22 36 25 27 37 58 39 10 42 28 72 13 51 45 77 16
a) Calcule a média, a variância, a mediana e os quartis da amostra.
1
Estat́ıstica Descritiva
b) A caixa com bigodes indica alguma assimetria na distribuição dos dados?
c) Construa um histograma de frequências relativas.
d) Represente graficamente a função cumulativa (dos dados agrupados).
e) Determine aproximações para a média, para a mediana, para os quartis e para a variância da
amostra usando os dados agrupados. Compare com os resultados da aĺınea a).
4. Considere os seguintes dados relativos à variação dos valores registados do ı́ndice card́ıaco antes e
após a ingestão de um medicamento, numa amostra de 112 doentes.
Valor do ı́ndice card́ıaco No de doentes
[−0, 4;−0, 2[ 2
[−0, 2; 0[ 8
[0; 0, 2[ 25
[0, 2; 0, 4[ 28
[0, 4; 0, 6[ 30
[0, 6; 0, 8[ 16
[0, 8; 1, 0] 3
a) Construa o histograma.
b) Determine o 1 o quartil e a mediana da distribuição.
c) Construa o diagrama de extremos-e-quartis da amostra observada.
d) Identifique a classe modal e calcule a média e a variância da amostra.
5. As representações gráficas que se seguem referem-se a valores (em mg) de glicina por miligrama de
creatinina de 37 chimpanzés.
a) Considere o gráfico A. O que pode dizer quanto à distribuição da variável em estudo?
b) Considere o gráfico B. Determine o valor aproximado da média e do desvio padrão.
2
Estat́ıstica Descritiva
c) Com base nas aĺıneas anteriores diga que medidas de tendência central escolheria para descrever
a distribuição da variável em estudo.
6. A densidade óptica (d) de uma solução de um dado produto qúımico, medida para oito ńıveis
diferentes de concentração (c), considerando unidades de medição adequadas, está registada na
seguinte tabela:
ci 1 2 4 5 8 10 12 15
di 4 9 18 20 35 41 42 60
8
∑
i=1
ci = 57
8
∑
i=1
di = 229
8
∑
i=1
cidi = 2288
8
∑
i=1
c2i = 579
8
∑
i=1
d2i = 9091
a) Pretende-se ajustar uma recta de regressão aos dados obtidos. Parece-lhe admisśıvel tal ajus-
tamento? Justifique convenientemente.
b) Independentemente da sua resposta à aĺınea anterior, escreva a equação da recta de regressão
dos mı́nimos quadrados que relaciona as variáveis envolvidas na experiência.
7. Num estudo comparativo da distância (cm) biparietal na trigésima segunda semana de gestação e o
peŕımetro cefálico à nascença (cm) obtiveram-se os seguintes valores referentes a 7 crianças:
Distância biparietal (X) 8.8 9.2 9.1 9.1 8.7 9.3 9.2
Peŕımetro cefálico (Y ) 32.3 34.8 32.9 33.6 31.8 35.0 35.1
Supondo que existe uma relação linear entre Y e X, escreva a equação da recta de regressão dos
mı́nimos quadrados de Y sobre X.
8. No quadro seguinte estão representadas as idades e os valores máximos de tensão arterial de oito
mulheres saudáveis escolhidas aleatoriamente entre as residentes numa determinada região do páıs.
Idade (X) 56 42 72 36 63 47 55 60
Tensão arterial (Y ) 14.7 12.5 16.0 11.8 14.9 12.8 15.0 15.5
a) Calcule o coeficiente de correlação da amostra observada.
b) Determine, a partir da amostra observada, a recta de regressão de Y sobre X.
c) Usando a relação linear estimada entre X e Y , preveja a tensão arterial máxima de uma mulher
de 70 anos da referida região.
d) Deduza a recta de regressão de X sobre Y e preveja a partir dela o intervalo em que se situa a
idade de uma mulher de tal região cuja tensão arterial máxima oscila entre 14.0 e 15.0.
3
Teoria Elementar da Probabilidade
1. Assuma que, no Hospital da Cova da Beira, entre os doentes internados metade são do sexo feminino,
1
3
apresenta insuficiência card́ıaca e 1
4
é do sexo feminino e apresenta insuficiência card́ıaca. Determine
a probabilidade de um doente escolhido ao acaso:
a) ser do género feminino ou ter insuficiência card́ıaca;
b) não ser do género feminino e ter insuficiência card́ıaca;
c) ser do género masculino e não ter insuficiência card́ıaca;
d) ser do género masculino ou não ter insuficiência card́ıaca;
e) ter insuficiência card́ıaca, sabendo que é mulher.
2. Sejam A e B dois acontecimentos tais que P (A) +P (B) = x e P (A∩B) = y. Determine em função
de x e de y a probabilidade de:
a) não se realizar nenhum dos acontecimentos.
b) que se realize um e um só dos acontecimentos.
c) que se realize pelo menos um dos acontecimentos.
d) que se realize quanto muito um dos acontecimentos.
3. Na tabela seguinte apresenta-se a composição por género e tipo de sangue de uma determinada
população.
T ipo de Sangue Masculino Feminino Total
O 2100 2100 4200
A 2150 2150 4300
B 550 550 1100
AB 200 200 400
Total 5000 5000 10000
3.1 Determine a probabilidade de:
a) uma pessoa, seleccionada ao acaso na população, ter sangue do tipo B.
b) uma pessoa, seleccionada ao acaso na população, não ter sangue do tipo O.
5
Teoria Elementar da Probabilidade
c) uma pessoa, seleccionada ao acaso na população, não ter sangue do tipo B ou ser mulher;
d) uma mulher, seleccionada ao acaso na população, ter sangue do tipo A.
e) uma pessoa com sangue do tipo A, seleccionada ao caso na população, ser do género
feminino.
3.2 Classifique, quanto à sua veracidade, as afirmações seguintes sobre acontecimentos relativos à
escolha de uma pessoa ao acaso na população.
a) Os acontecimentos “pessoa tem sangue do tipo A” e “pessoa é do género masculino” são
independentes.
b) Os acontecimentos “pessoa é mulher com sangue do tipo AB” e “pessoa é mulher com
sangue do tipo B” são independentes.
c) A realização do acontecimento “pessoa é mulher” implica a realização do acontecimento
“pessoa é mulher com sangue do tipo AB”.
d) A realização do acontecimento “pessoa tem sangue do tipo B” implica a não realização do
acontecimento “pessoa tem sangue do tipo O”.
4. Suponha que numa amostra aleatória de 100 compostos qúımicos de um certo catálogo, 40 são
suscept́ıveis de serem analisados pela técnica A, 30 pela técnica B e 30 pela técnica C. Além disso,
sabe-se que 10 podem ser analisados pela técnica B mas não pela A, 15 podem ser usados nas técnicas
A e B mas não na C, 20 podem ser analisados pelas técnicas A e C e 25 podem ser analisados pelas
técnicas B e C.
a) Dos compostos que podem ser analisados pela técnica A, determinea percentagem daqueles
que podem ser utilizados em qualquer uma das outras técnicas.
b) Determine a percentagem de compostos que podem ser analisados por pelo menos uma das três
técnicas.
5. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que:
P (A ∩ (B ∪ C)) = 0.3, P (A) = 0.6 e P (A ∪B ∪ C) = 0.9
Determine P (B ∪ C) e P (A ∩B ∩ C).
6. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Seja P (A) = 0.4, P (B) = p
e P (A ∪B) = 0.7.
a) Para que valores de p poderão A e B ser mutuamente exclusivos?
b) Para que valores de p poderão A e B ser independentes?
6
Teoria Elementar da Probabilidade
7. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Mostre que:
a) se A e B têm probabilidade não nula e P (A ∩B) = 0, então não são independentes.
b) se A e B são independentes, também o são A e B, A e B, A e B.
8. A probabilidade de um indiv́ıduo ter excesso de colesterol (hipercolesterolémia familiar heterozigota)
é de 1
500
e a probabilidade de ser obeso é de 1
20
. Sabendo que as duas doenças são independentes,
determine a probabilidade de um indiv́ıduo ter no mı́nimo uma das doenças.
9. Dados dois acontecimentos A e B tais que P (A) = 1/4, P (B) = 1/3 e P (A ∪ B) = 1/2, calcule
P (A | B) e P (A | B).
10. As teorias genéticas definem como 0.5 a probabilidade de um nascimento dar origem a um indiv́ıduo
de sexo masculino.
a) Determine a probabilidade de um casal ter três filhos do mesmo sexo após três nascimentos.
b) Suponha que com base em registos de uma dada comunidade, se constatou que na realidade a
probabilidade de um nascimento dar origem a um indiv́ıduo de sexo masculino é de 0.4. Nestas
condições, determine a probabilidade do acontecimento referido na aĺınea anterior.
11. Com base num inquérito efectuado no páıs X obtiveram-se os seguintes dados:
• 13.95% dos seus habitantes tinham excesso de peso;
• 70% dos indiv́ıduos com excesso de peso tinham excesso de colesterol;
• 10% dos indiv́ıduos sem excesso de peso tinham excesso de colesterol;
• 5% dos indiv́ıduos com excesso de peso e colesterol, tinham ainda diabetes.
Determine a probabilidade de um indiv́ıduo escolhido ao acaso nesse páıs apresentar:
a) diabetes, excesso de peso e excesso de colesterol;
b) excesso de peso ou excesso de colesterol.
12. Um cientista observa a ocorrência de um acontecimento A como resultado de uma experiência. Há
3 hipóteses, H1, H2, H3, que o experimentador considera serem as únicas explicações posśıveis para
a ocorrência de A. Sob H1, a experiência deveria originar A 10% das vezes, sob H2, a experiência
deveria originar A 1% das vezes e sob H3, a experiência deveria originar A 39% das vezes. Tendo
observado A, o experimentador decidiu que a hipótese mais plauśıvel era H3, e que a probabilidade
de H3 ser verdadeira é
0.39
0.1 + 0.01 + 0.39
.
a) Que condição está o cientista a pressupor?
7
Teoria Elementar da Probabilidade
b) Suponha que a experiência é um teste laboratorial sobre o sangue de um indiv́ıduo escolhido
ao acaso de uma determinada população. A hipótese Hi é que o tipo de sangue do indiv́ıduo é
i, i = 1, 2, 3. Nessa população sabe-se que a percentagem de indiv́ıduos com sangue de tipo 1 é
50%, a proporção de indiv́ıduos com sangue de tipo 2 é 45% e a proporção de indiv́ıduos com
sangue de tipo 3 é 5%. Refaça os cálculos de P (H3 | A).
13. Considera-se que, em determinada população, 60% dos indiv́ıduos são do sexo feminino, 40% dos
indiv́ıduos do sexo feminino são portadores do gene A, sendo a correspondente percentagem dos
indiv́ıduos do sexo masculino igual a 20%. Ao escolhermos ao acaso um indiv́ıduo nesta população,
determine a probabilidade de encontrarmos:
a) uma mulher portadora do gene A;
b) um portador do gene A;
c) um indiv́ıduo do sexo masculino ou portador do gene A.
14. Numa determinada população, 41% das pessoas têm sangue de tipo A, 9% sangue do tipo B, 4%
sangue do tipo AB e 46% sangue do tipo O. Sabe-se ainda que uma análise cĺınica muito usada
para determinar o tipo de sangue não é 100% eficaz, levando a que sejam considerados, como tendo
sangue do tipo A, 4% dos que têm sangue do tipo O, 88% dos que têm sangue de tipo A, 10% dos
que têm sangue do tipo AB e 4% dos que têm sangue de tipo B. Um doente dessa população vai
ser operado e efectuou a referida análise cĺınica tendo-lhe sido dito que tinha sangue do tipo A.
Determine a probabilidade do seu sangue não ser realmente do tipo A.
15. Numa cultura encontram-se apenas dois tipos de células A e B misturadas. Estas células só se
distinguem depois de adicionado um produto que, infelizmente não é 100% eficaz. Assim, se a célula
for do tipo A fica “vermelha” de certeza, mas se for do tipo B também pode ficar vermelha com
probabilidade 0.05. Após a adição do produto observou-se 35% de células “vermelhas”. Determine
a percentagem de células do tipo A nessa cultura.
16. Numa experiência laboratorial pretende-se ensinar um rato a virar à direita num labirinto. Para tal,
coloca-se o rato num compartimento com duas sáıdas à escolha: uma à direita e outra à esquerda.
Em cada tentativa, se o rato sai pela direita é recompensado com um cubo de queijo e se sai pela
esquerda é castigado com um leve choque eléctrico. Admita que o rato se move de acordo com o
seguinte:
• na primeira tentativa escolhe aleatoriamente a sáıda;
• se em determinada tentativa foi recompensado, sai pela direita na tentativa seguinte com pro-
babilidade 0.6;
• se em determinada tentativa foi castigado, sai pela direita na tentativa seguinte com probabi-
lidade 0.8;
8
Teoria Elementar da Probabilidade
a) Qual a probabilidade de o rato sair pela direita na segunda tentativa?
b) Sabendo que na segunda tentativa o rato saiu pela direita, qual a probabilidade de ter sáıdo
pela esquerda na primeira tentativa?
17. A classificação das soluções aquosas, existentes num laboratório, de acordo com o seu pH e o res-
pectivo comprimento de onda de absorção conduziu aos seguintes resultados:
• 40% das soluções são ácidas (pH< 7), 20% são alcalinas (pH> 7) e as restantes são neutras
(pH= 7);
• 25% das soluções ácidas absorvem na zona de comprimentos de onda do vermelho;
• 35% das soluções são neutras e não absorvem na zona de comprimentos de onda do vermelho;
• A probabilidade de uma solução alcalina absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho
é 0.25.
Seleccionando, ao acaso, uma solução das existentes no laboratório, determine a probabilidade dos
seguintes acontecimentos:
a) a solução ser neutra e absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho;
b) a solução absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho;
c) a solução não ser neutra e não absorver na zona de comprimentos de onda do vermelho.
18. A porf́ıria é uma doença transmitida geneticamente, com um quadro cĺınico enganador, felizmente
muito rara. Um médico suspeita que um dos seus pacientes sofre de porf́ıria, devido ao quadro
cĺınico que observa. Estudos anteriores levam-no a admitir que 30% dos indiv́ıduos que apresentam
o quadro cĺınico observado têm porf́ıria. A análise cĺınica a essa doença dá resultado positivo com
probabilidade 0.82 se uma pessoa tem a doença e com probabilidade 0.037 se a pessoa não tem
a doença. Sabendo que o resultado da análise cĺınica efectuada ao paciente foi positivo, qual a
probabilidade do paciente sofrer efectivamente de porf́ıria?
19. A tabela seguinte foi obtida a partir de um estudo efectuado em 344 doentes com a finalidade de
saber se a ecografia efectuada ao f́ıgado permitia ou não diagnosticar uma determinada doença no
f́ıgado.
Doença
Resultado do teste Presente Ausente
Positivo 231 32
Negativo 27 54
9
Teoria Elementar da Probabilidade
Determine:
a) a sensibilidade e a especificidade do teste;
b) os valores preditivos positivo e negativo;
c) a proporção defalsos positivos e a proporção de falsos negativos;
d) a probabilidade da ecografia produzir um diagnóstico correcto.
20. Em 1971, foram efectuados trabalhos de investigação na Índia para estudar um novo teste destinado
a diagnosticar a tuberculose pulmonar. A prevalência da doença rondava os 3% e os valores obti-
dos para a sensibilidade e a especificidade foram 0.46 e 0.99, respectivamente. Calcule os valores
preditivos do teste que está a ser avaliado.
21. Num dado páıs 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de
forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado um teste que dá resultado positivo:
• com probabilidade 1 para um indiv́ıduo com doença na forma grave;
• com probabilidade 0.75 para um indiv́ıduo com doença na forma moderada;
• com probabilidade 0.05 para um indiv́ıduo que não seja portador dessa doença.
a) Efectuando o teste, num indiv́ıduo seleccionado ao acaso, determine a probabilidade do resul-
tado ser positivo.
b) Se, para um dado indiv́ıduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele não
ser portador da doença?
c) Determine a probabilidade de um indiv́ıduo ser portador da doença e o resultado do teste
diagnóstico ser positivo.
22. Vacinou-se 25% de uma população contra a febre amarela. Durante uma epidemia verificou-se que
entre as pessoas contaminadas havia uma vacinada contra quatro não vacinadas e que uma em cada
doze das pessoas que foram vacinadas contraiu a doença. O que pensa da eficácia desta vacina?
23. Num laboratório um investigador fez uma preparação com 3 classes de bactérias: A, B e C, na
percentagem de 10%, 30%, e 60% de cada classe, respectivamente. As bactérias da classe A reagem
com sulfato em 80% dos casos, as da classe B em 60% e as da classe C em 40%.
a) Qual a probabilidade de que uma bactéria, escolhida ao acaso da preparação, reaja com sulfato?
b) O investigador colheu uma bactéria da preparação e ela reagiu com sulfato. Concluiu, então,
que ela pertencia à classe C. Concorda com o investigador?
10
Teoria Elementar da Probabilidade
24. Na terapêutica de determinada doença um médico receita aos seus doentes pelo menos um de dois
medicamentos A e B. Em 70% dos casos o médico receita o medicamento A, sendo de 40% a per-
centagem correspondente para o medicamento B. É introduzido no mercado um novo medicamento
C para complementar o efeito dos dois já existentes. No entanto, C só poderá ser aplicado com um
e um só dos outros dois medicamentos (sendo portanto incompat́ıvel com a utilização simultânea
de A e B). Para analisar o efeito do medicamento C, o médico receita-o a 30% dos doentes que só
tomam A e a 60% dos que apenas tomam B.
a) Determine a probabilidade de um doente só utilizar o medicamento A.
b) Sabendo que o médico não receitou o medicamento C a um determinado doente, qual a proba-
bilidade deste utilizar o medicamento A?
11
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de
probabilidade
1. Numa experiência laboratorial injectaram-se ratos albinos com uma determinada droga que inibe
a śıntese de protéınas. A probabilidade de cada rato morrer, devido à droga, antes do fim da
experiência é de 0.2. Suponha que são utilizados 3 ratos em cada experiência e represente por X o
número de ratos que morrem antes do fim da experiência.
a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Determine a função de distribuição de X .
c) Represente graficamente a função de probabilidade e a função de distribuição de X .
d) Determine o número de ratos que se espera que morram antes do fim da experiência.
2. Um novo instrumento para efectuar um certo tipo de análises cĺınicas ao sangue funciona de forma
muito eficiente, moderadamente eficiente ou pouco eficiente com probabilidades 0.3, 0.6 e 0.1 res-
pectivamente, dependendo a eficiência de boa afinação, do funcionamento normal ou do seu mau
estado. Em cada uma destas situações, respectivamente, o instrumento efectua 5, 3 ou 1 análises
num dia. Considere que X representa o número de análises efectuadas diariamente.
a) Determine a lei de probabilidade de X, E(X) e V ar(X).
b) Se o estado de funcionamento não depender dos dias anteriores, indique o suporte das seguintes
variáveis:
i) Y representa o número de análises efectuadas ao longo de dois dias;
ii) U representa o número máximo de análises diárias efectuadas ao longo de 10 dias.
3. Considere a variável aleatória X com função de probabilidade
P (X = x) =
{
ax , x = 1, 2, 3
0 , caso contrário
sendo a uma constante real.
a) Determine a.
13
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
b) Determine a função de distribuição de X .
c) Calcule a moda, a mediana e o valor esperado de X .
4. Considere a variável aleatória X, com a seguinte função de distribuição
FX(x) = P (X ≤ x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0 , x < 0
1/6 , 0 ≤ x < 2
1/4 , 2 ≤ x < 4
1/2 , 4 ≤ x < 6
1 , x ≥ 6.
a) Determine a função de probabilidade de X.
b) Determine a média, a mediana, a moda, o 2o momento ordinário, a variância e o desvio padrão.
c) Calcule P (X ≤ 1), P (X > 5), P (0 < X ≤ 2) e P (2 ≤ X < 6).
5. Seja X uma v.a.r. com a seguinte função de distribuição
FX(x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0 , x < 1;
1/4 , 1 ≤ x < 2
3/4 , 2 ≤ x < 3
k/8 , 3 ≤ x < 4
1 , x ≥ 4
a) Determine k ∈ IN.
b) Determine a lei de probabilidade de X.
c) Calcule P (2 < X ≤ 4).
d) Calcule E(X) e V ar(X).
e) Determine a mediana da distribuição.
6. Seja X a variável aleatória que representa o tempo de sobrevivência, em anos, depois de um diag-
nóstico de leucemia aguda. A função densidade de probabilidade de X define-se do seguinte modo:
f(x) =
{
−x
2
+ 1 , 0 < x < 2;
0 , x ≤ 0 ∨ x ≥ 2.
a) Mostre que é f(x) é efectivamente uma função densidade de probabilidade.
b) Calcule P (X > 1), P (X = 1) e P (X ≤ 1).
c) Determine a média e a variância de X .
14
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
7. O tempo de funcionamento (em anos) de um certo equipamento utilizado na fisioterapia é uma
variável aleatória X com a seguinte função densidade
fX(x) =
{
ke−
x
2 , x ≥ 0
0 , x < 0
a) Mostre que k = 1/2.
b) Determine a função de distribuição da variável aleatória real X.
c) Calcule a probabilidade de que a 1a avaria ocorra pelo menos um ano depois do ińıcio do
funcionamento do equipamento.
d) Calcule a probabilidade de que a 1a avaria não ocorra depois dos primeiros 4 anos de funciona-
mento.
e) Mostre que a probabilidade de que o equipamento dure mais de 10 anos sabendo que já está a
funcionar há 3 anos é igual à probabilidade de que o equipamento dure pelo menos 7 anos.
8. Seja X uma v.a.r. absolutamente cont́ınua com função de distribuição
FX(x) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
0 , x < 0
x2 , 0 ≤ x ≤ 1
1 , x > 1
Determine E(eX).
9. Seja X a variável aleatória real que representa a proporção de álcool num certo composto, com
função densidade de probabilidade definida do seguinte modo:
fX(x) =
{
20x3(1− x) , 0 ≤ x < 1
0 , caso contrário.
a) Determine a função de distribuição de X.
b) Calcule a probabilidade de X ser inferior a 2
3
.
c) Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo em álcool: se 1
3
< X < 2
3
o
preço é C1 Euros por litro; caso contrário o preço é de C2 Euros por litro. Supondo que o custo
de produção é igual a C3 Euros por litro, determine o valor esperado do lucro ĺıquido por litro.
10. No processo de destilação do petróleo, a temperatura de destilação, X , (medida em graus) é decisiva
para a determinação da qualidade do produto final. Admita que X é uma variável aleatória com
distribuição uniforme no intervalo [150, 300] , isto é, a sua função densidade de probabilidade é dada
por:
fX(x) =
{
1
150
, 150 ≤ x ≤ 300
0 , x < 150 ∨ x > 300
15Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
Se o petróleo for destilado a uma temperatura inferior a 200o, o produto resultante é nafta que se
vende a 40 unidades monetárias (u.m.) por litro. Se a temperatura for igual ou superior a 200o,
obtém-se petróleo refinado que se vende a 50 u.m. por litro. O custo de destilação de um litro de
petróleo (incluindo a matéria-prima) é de 24 u.m. por litro.
a) Calcule a probabilidade de um dado lote de destilação resultar em nafta.
b) Determine o lucro ĺıquido esperado, por lote de destilação, sendo cada lote de 10000 litros.
11. Considere uma variável aleatória absolutamente cont́ınua cuja função densidade de probabilidade é
simétrica em relação ao seu valor esperado. Sabendo que E(X) = 10 e V ar(X) = 25 e que a variável
aleatória Y se define por Y = βX − α, com α, β > 0, determine:
a) α e β de modo que o valor esperado de Y seja nulo e a variância de Y seja unitária.
b) P (Y ≤ 0), sob as condições estabelecidas na aĺınea anterior.
12. O número de lentes produzidas num laboratório, por dia, é uma variável aleatória de valor esperado
50.
a) O que pode dizer sobre a probabilidade da produção diária nesse laboratório ser superior ou
igual a 75 unidades?
b) Se a variância da produção diária for igual a 24, o que pode dizer sobre a probabilidade de que
a produção diária oscile entre 40 (exclusive) e 60 (exclusive)?
13. O peso (em gramas) de certo componente para aparelhos de precisão é aleatório. Se o peso médio
for de 500gr e a variância de 25gr2 e se exigirmos que pelo menos 90% do total dos componentes
tenha o peso entre 490gr e 510gr, acha que as normas de fabrico respondem a esta exigência?
14. De um grupo de 1000 habitantes de uma certa região há 2% que são portadores do v́ırus HIV. Selec-
cionando, ao acaso, uma amostra de 100 indiv́ıduos, com e sem reposição, determine a probabilidade
de obter x indiv́ıduos portadores do v́ırus HIV.
15. Desenvolveu-se um medicamento que permite aliviar enxaquecas. O fabricante afirma que é eficaz
em 90% dos casos. O medicamento foi administrado a 4 pacientes. Seja X a variável aleatória que
representa o número de casos em que a administração do medicamento foi eficaz.
a) Determine a função de probabilidade deX , supondo que a afirmação do fabricante está correcta.
b) Calcule P (X ≤ 1).
c) Se o medicamento não aliviar qualquer dos pacientes, é uma razão para por em causa a eficácia
afirmada pelo fabricante? Justifique.
d) Determine o valor esperado e a variância de X .
16
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
16. Se apenas um dos elementos de um casal for portador de determinada doença então cada filho tem
probabilidade 0.6 de desenvolver essa doença. Admite-se que o estado de saúde, relativamente a esta
doença, em cada filho não afecta o estado dos restantes. Determine a probabilidade de, em 10 filhos:
a) algum desenvolver a doença;
b) apenas 1 desenvolver a doença.
17. Suponha que numa situação de emergência um serviço de saúde contacta 30 dadores de sangue do
tipo O dos quais 18 são Rh+ e 12 são Rh−. Qual é a probabilidade de entre os 6 primeiros que se
apresentam 2 serem Rh−?
18. Suponha uma sequência de provas de Bernoulli. Considere a variável aleatória, X, número de provas
que têm de se efectuar até se obter o primeiro sucesso. Determine a função de probabilidade da
variável aleatória X.
19. Num estudo sobre o v́ırus da SIDA são analisadas amostras de sangue de indiv́ıduos infectados.
Suponha que cada amostra contém pelo menos 1 v́ırus com probabilidade 0.8. Se X representar o
número de amostras que é necessário analisar até surgir a primeira amostra contaminada, determine:
a) a função de distribuição de X ;
b) P (X > 5);
20. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a experiência, uma cobaia
diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia. Sabendo que a experiência é bem sucedida
em 40% dos casos, calcule:
a) a probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver 10 cobaias;
b) o número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessos seja 24;
c) o número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência
com sucesso seja inferior a 0.95.
21. Um laboratório exporta um certo produto qúımico para o mercado europeu. Este mercado exige
que o produto tenha, entre outras caracteŕısticas, uma determinada coloração. Da produção do
laboratório, 60% tem a coloração adequada, mas apenas metade desta quantidade satisfaz também
as outras condições exigidas pelo referido mercado.
a) Qual a percentagem da produção do laboratório que satisfaz as condições exigidas pelo referido
mercado?
b) De um lote de 100 produtos em que 30 estão em condições de exportação, retirou-se uma
amostra de 10, sem reposição. Calcule a probabilidade de aparecer pelo menos um produto que
não seja exportável.
17
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
22. O número de animais de uma certa espécie habitando um dado território é N. Para obter uma
informação sobre a evolução do peso destes animais, os biólogos procedem do seguinte modo: captu-
ram r animais que após pesagem são marcados e deixados novamente no seu habitat. Algum tempo
depois efectuam n capturas e avaliam o peso dos animais marcados que surjam. Designemos por X
o número de animais marcados que surgem nas n capturas e admitamos que a população em estudo
não se alterou (em número) entre as datas das duas séries de capturas.
a) Determine a lei de probabilidade da variável aleatória X.
b) Qual a probabilidade da experiência não ter fornecido nenhuma informação aos biólogos?
c) Mostre que lim
N→+∞
P (X = k) =
(
n
k
)
( r
N
)k (
1−
r
N
)n−k
.
Que conclusões pode tirar?
23. Assuma que 160 em cada 200 doentes, de uma determinada população com cancro, ainda estão vivos
ao fim de sete anos após o diagnóstico inicial.
a) Determine a probabilidade de que exactamente 3 entre 5 destes doentes, escolhidos ao acaso,
apresente sobrevivência de 7 anos.
b) Determine a probabilidade de que pelo menos 4 entre 5 destes doentes, escolhidos ao acaso,
apresente sobrevivência de 7 anos.
24. A informação obtida em experiências anteriores diz-nos que a probabilidade de uma máquina fornecer
uma lente com defeito é de 6%. Suponha que em determinado peŕıodo de tempo a máquina produz
um lote de 30 lentes. Calcule:
a) a probabilidade de nesse lote haver exactamente quatro lentes com defeito;
b) a probabilidade de nesse lote haver pelo menos uma lente com defeito;
c) o valor esperado de lentes com defeito nesse lote.
25. Um teste de rastreio da contaminação bacteriana no leite dá um resultado certo em 99% dos casos.
Determine a probabilidade de, em 20 realizações do teste, pelo menos um resultado estar errado.
26. Seja X a variável aleatória que representa o número de bactérias Escherichia Coli num cm3 de água.
Suponha que X tem distribuição de Poisson e que a probabilidade de não haver bactérias num cm3
de água é igual a 0.05.
a) Determine o parâmetro desta distribuição.
b) Calcule a probabilidade de existirem pelo menos duas bactérias num cm3 de água.
c) Qual a probabilidade de que, numa amostra de dois cm3 de água, existam quando muito 3
bactérias?
18
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
27. Foram recolhidas muitas amostras de água, todas com a mesma quantidade, num rio onde se suspeita
que tenha sido polúıdo por operadores irresponsáveis de uma estação de tratamento. Observou-se o
número de organismos coliformes em cada amostra; a média do número de organismos por amostra
foi de 15. Assumindo que o número de organismos segue uma distribuição de Poisson, calcule a
probabilidade de uma amostraque venha a ser recolhida contenha:
a) no mı́nimo 20 organismos;
b) não mais de 5 organismos.
28. O número de part́ıculas emitidas por uma fonte radioactiva, num determinado peŕıodo de tempo, se-
gue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não ser emitida qualquer part́ıcula
nesse peŕıodo de tempo é 1
3
, calcule a probabilidade de que nesse peŕıodo de tempo a fonte emita
pelo menos duas part́ıculas.
29. A capacidade respiratória de indiv́ıduos normais, do sexo masculino, com idades entre 20 e 30 anos
é suposto obedecer a uma distribuição Gaussiana de média 3.5 litros e variância 1 litro2. Calcule
a probabilidade de um indiv́ıduo, seleccionado ao acaso, ter uma capacidade respiratória superior a
4.64 litros.
30. O funcionamento de um sistema depende de um mecanismo delicado que, por vezes, necessita de
ajustamento adequado. Quando o mecanismo falha, procede-se a um ajustamento que pode, ou
não, ser adequado. Supõe-se que a probabilidade deste ser adequado é igual a 0.75. No caso
do ajustamento ser adequado o tempo (em anos) de funcionamento do mecanismo é uma variável
aleatória X1 de lei N(10, 0.5) e caso contrário é uma variável aleatória X2 de lei N(1, 0.5).
a) Determine a probabilidade do tempo de funcionamento do sistema ser de pelo menos 2 anos.
b) Supondo que o sistema funcionou pelo menos 2 anos, determine a probabilidade de que o ajus-
tamento não tenha sido adequado.
31. A pressão arterial sistólica média dos trabalhadores de certa indústria é normalmente distribúıda
com média 13.7. Sabe-se ainda que 15% dos trabalhadores apresentam valores para a tensão arterial
superiores a 16.2.
a) Determine o desvio padrão da pressão arterial sistólica média dos trabalhadores dessa indústria.
b) Ao escolher, ao acaso, um trabalhador nessa indústria, qual é a pressão arterial sistólica média
mı́nima que pode apresentar com probabilidade igual a 0.985?
32. O número de glóbulos brancos observados por mm3 de sangue de um indiv́ıduo segue uma lei de
Poisson com um valor médio de a, variável com o indiv́ıduo. Para alguém com a = 6000 fez-se uma
recolha e observou-se 1 mm3.
19
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
a) Determine um valor aproximado para a probabilidade de se observarem menos de 5800 glóbulos
brancos.
b) Suponha agora que 1 ml (= 1 cm3) de sangue é dilúıdo 1000 vezes num volume de 1 l (= 1 dm3)
e admita que o número de glóbulos observados por mm3 continua a obedecer a uma distribuição
de Poisson com um valor médio de a/1000. Determine a probabilidade de numa amostra de 1
mm3 se observar pelo menos 2 glóbulos brancos.
33. O tempo que um laboratório de análises cĺınicas demora a divulgar os resultados encontra-se expo-
nencialmente distribúıdo com média 0.5 dias. Supondo que uma pessoa já esperou dois dias pelos
resultados da sua análise, determine a probabilidade de os receber nos próximos dois dias.
34. Na cidade de Castelo Branco, o número de casos novos de certa doença que ocorrem diariamente,
X , segue distribuição de Poisson de parâmetro λ = 2. Admite-se que as ocorrências da doença são
independentes de dia para dia. Determine a probabilidade de que num ano (365 dias) ocorram pelo
menos 700 casos novos.
35. Num laboratório, o tempo de execução de lentes de um determinado tipo A é uma variável aleatória
com distribuição exponencial de média 20 minutos.
a) Determine a probabilidade do tempo de execução de uma lente ser no máximo 18 minutos.
b) Mostre que a probabilidade do tempo de execução de uma lente ser acrescida de s minutos
sabendo que teve ińıcio há mais de t minutos é igual à probabilidade do tempo de execução ser
pelo menos de s minutos (propriedade da distribuição exponencial conhecida por “ausência de
memória”).
c) Seleccionadas, ao acaso e com reposição, 5 lentes de tipo A, calcule a probabilidade de duas
delas terem tido um tempo de execução máximo de 18 minutos.
d) Admitindo que não há lentes de tipo A em stock, acha razoável que, em dado momento, o
laboratório se tenha comprometido a fornecer 36 lentes de tipo A, dentro de 8 horas?
36. A energia (em Joules (J)) de determinado tipo de part́ıcula associada à radiação cósmica é uma
variável aleatória X com função densidade de probabilidade definida do seguinte modo
fX(x) =
{
1
4
x , 1 ≤ x ≤ 3
0 , x < 1 ∨ x > 3
a) Determine a probabilidade de que a energia de uma part́ıcula seja inferior a 2 Joules.
b) Mostre que E(X) = 13
6
J e V ar(X) = 11
36
J2.
c) Determine a probabilidade da energia total de 3600 destas part́ıculas ser superior a 7850 J,
supondo que as energias das várias part́ıculas são independentes.
20
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
37. Uma injecção de antibiótico deve conter 5 mg de produto activo dissolvido num excipiente apro-
priado. Se a máquina estiver convenientemente regulada, a quantidade de produto activo tem
distribuição Gaussiana com valor médio 5.1 mg e desvio padrão 0.08 mg.
a) Determine um intervalo ]5.1−k, 5.1+k[ que contenha, com probabilidade 0.9, a quantidade de
produto activo de uma injecção escolhida ao acaso.
b) Seleccionadas ao acaso e com reposição 100 injecções, determine a probabilidade de que pelo
menos 10 contenham menos do que 5 mg de produto activo.
c) Determine a probabilidade de que a quantidade total do produto activo contido em 10 injecções
seja superior a 51.5 mg.
38. Pretende-se saber se um tipo de polimorfismo genético do factor VII (um dos factores da coagulação
sangúınea) está relacionado com a doença cardiovascular. Para tal, foram estudados 531 homens,
dos quais 415 tinham o genótipo RR, 110 o RQ e 6 o QQ. Calcule a probabilidade de, num grupo
de 10 homens, apenas um ter o genótipo RR.
39. Numa determinada unidade hospitalar o consumo semanal de desinfectante, X , expresso em cm3,
distribui-se uniformemente no intervalo ]0, 100[.
a) Determine o valor do consumo semanal de desinfectante que é excedido em 95% das semanas.
b) Determine a probabilidade de que o consumo total de desinfectante durante 40 semanas seja
inferior a 2200 cm3. Assuma a independência dos consumos semanais.
c) Determine a probabilidade de, em 100 semanas seleccionadas aleatoriamente, haver pelo menos
50 com um consumo de desinfectante superior a 60 cm3.
40. Numa dada população sabe-se que a percentagem de pessoas com factor sangúıneo Rh+ é de 85%.
Num grupo de 100 pessoas, qual é a probabilidade de haver entre 75 e 95 com factor Rh+?
41. Uma empresa qúımica vende embalagens de um dado composto cujo peso se sabe ter distribuição
normal com média 500g e desvio padrão 20g.
a) Determine a probabilidade de uma embalagem escolhida ao acaso pesar entre 460g e 540g.
b) Seleccionando ao acaso 10 embalagens, uma a uma e com reposição, determine a probabilidade
de que pelo menos nove tenham peso entre 460g e 540g.
c) Determine a probabilidade do peso total de 10 embalagens ser superior a 5100g. Assuma que
os peso das embalagens são independentes.
42. Considere a variável aleatória T que representa o erro administrativo (erro humano) na determinação
diária do ńıvel de água de um certo curso de água (emmm). Estudos estat́ısticos permitiram concluir
que a variável T segue distribuição Gaussiana de média 6.546 e variância 2.435.
21
Variáveis aleatórias reais. Distribuições de probabilidade
a) Determine a probabilidade da soma dos erros administrativos cometidos durante um mês exce-
der 210 mm (considere a independência entre as 30 leituras efectuadas).
b) O que alteraria na questão anterior se a variável não seguisse distribuição Gaussiana?
43. As variáveis aleatórias X e Y especificam os desvios (erros elementares) introduzidos por duas
componentes, que funcionam de forma independente, de um aparelho eléctrico e têm distribuições
Gaussianas de médias 2 e4 e variâncias 4 e 5, respectivamente. Sabe-se que o erro à sáıda do
aparelho está associado aos erros destas duas componentes pela relação U = 3Y −X.
a) Mostre que o valor esperado e a variância de U são iguais a 10 e 49, respectivamente.
b) Determine a probabilidade do erro final ser superior a 15.
44. O custo anual (em euros) na revisão de um determinado equipamento no k-ésimo ano de utilização,
Xk (k = 1, 2, 3, . . .) segue distribuição Gaussiana de média 100k e desvio padrão 20k.
a) Determine a probabilidade de que o gasto na revisão de um equipamento no terceiro ano de
utilização exceda 400 euros.
b) Admitindo a independência entre as variáveis Xk, k = 1, 2, 3, . . . , determine a probabilidade de
que o custo total com as revisões de um aparelho nos 3 primeiros anos de utilização seja inferior
a 700 euros.
45. O funcionamento de um aparelho utilizado em fisioterapia depende apenas de uma componente cujo
tempo de vida (dezenas de horas) é uma variável aleatória X com distribuição exponencial de valor
esperado igual a 0.5 dezenas de horas. Existem 99 componentes de reserva no interior do aparelho,
ligadas de tal forma que quando uma componente falha há outra que entra em funcionamento.
Sabe-se que o tempo de duração de qualquer uma das componentes segue a distribuição da variável
aleatória X e que a duração de uma componente não afecta a duração das restantes.
a) Determine a probabilidade do tempo de vida de uma componente ser superior a 1 dezena de
horas.
b) Determine um valor aproximado para a probabilidade do tempo de vida do aparelho ser superior
a 55 dezenas de horas.
22
Inferência Estat́ıstica
1. Num estudo de reacção de doentes com febre alta a um novo analgésico, recolheram-se os seguintes
valores de temperatura corporal (em oC), 60 minutos após a administração do fármaco:
36.8 38.1 37.3 37.0 36.6 37.4 37.4 37.9 37.4
Pretende-se caracterizar a temperatura destes doentes após a administração do novo medicamento.
a) Indique um estimador e uma estimativa para a média da temperatura após a administração do
novo medicamento.
b) Indique um estimador e uma estimativa para a variância da temperatura após a administração
do novo medicamento.
c) Indique um estimador e uma estimativa para a proporção de doentes com temperatura inferior
ou igual a 37.5oC após a administração do novo medicamento.
2. Num estudo sobre o efeito do monóxido de carbono produzido pelos cigarros no crescimento dos fetos
de mães fumadoras, mediu-se a percentagem de hemoglobina acoplada a monóxido de carbono como
carboxi-hemoglobina (COHb) em 40 fumadoras grávidas antes e depois de fumarem um cigarro.
Denote por X a variável aleatória que representa o incremento na percentagem de COHb numa
grávida. O registo dos incrementos de COHb das 40 grávidas conduziu aos seguintes resultados:
40
∑
i=1
xi = 140.3868 e
40
∑
i=1
x2i = 573.2144.
Sabendo que X segue distribuição Gaussiana, determine um intervalo com um grau de confiança de
95%, para o valor esperado de X.
3. Um laboratório farmacêutico produz um anti-histamı́nico em comprimidos para os quais é razoável
considerar que o peso é normalmente distribúıdo com um desvio padrão igual a 5 miligramas. O
departamento de investigação propôs um novo processo de fabrico dos mesmos comprimidos. Devido
ao custo associado a este novo processo de fabrico o laboratório decide que este novo processo não
será adoptado se o peso dos comprimidos apresentar um desvio padrão superior a 4 miligramas. O
registo dos pesos, em gramas, de 10 comprimidos forneceu os seguintes valores:
23
Inferência Estat́ıstica
5.718 5.722 5.717 5.712 5.713 5.716 5.719 5.714 5.719 5.717
Através da construção de um intervalo de confiança a 95%, averigúe se o laboratório deve adoptar o
novo processo de fabrico.
4. No caso de excesso de colesterol no sangue (hipercolesterolémia), o primeiro tratamento a propor é
um regime alimentar adequado. Num inquérito efectuado a 1750 indiv́ıduos com excesso de colesterol,
644 inquiridos indicaram que seguiam um regime. Averigúe, através da construção de um intervalo
de confiança a 95%, se a maioria dos pacientes seguem o regime preconizado.
5. Um estudo acerca da visão em profundidade de pessoas consistia em pedir aos pacientes que ava-
liassem a distância entre dois objectos estáticos registando-se de seguida a diferença entre o valor
indicado e a verdadeira distância. Ao observar 42 pacientes obtivemos uma amostra para a qual
x = 6.5 e s′ = 2.6. Construa um intervalo de confiança a 98% para o valor médio da diferença
estudada.
6. Para substituir as agulhas na administração de vacinas desenvolveu-se um aparelho que parece uma
pistola. Este aparelho pode ser ajustado para injectar diferentes quantidades de soro. No entanto,
devido a variações de carácter aleatório, a quantidade realmente injectada é normalmente distribúıda
com média igual ao valor regulado e uma certa variância σ2. Os preceitos médicos indicam que a
utilização do aparelho não é perigosa se o desvio padrão for menor do que 0.2. Uma experimentação
com 30 injecções permitiu calcular uma variância amostral corrigida igual a 0.0064. Através da
construção de um intervalo de confiança a 95%, averigúe se a utilização deste novo aparelho não é
perigosa.
7. Em certa actividade económica, 840 dos 2000 trabalhadores inquiridos numa sondagem, declararam
ter contráıdo pneumatoses, no último ano.
a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de trabalhadores dessa actividade
económica atingidos por pneumatoses naquele peŕıodo.
b) Se tivessem sido inquiridos 4000 trabalhadores e 1680 tivessem contráıdo pneumatoses no
peŕıodo referido, qual seria agora o intervalo de confiança a 95%? Comente os resultados.
c) Determine o tamanho mı́nimo da amostra que garanta, com um grau de confiança de 95%, que
o erro máximo cometido, ao estimar a proporção de trabalhadores atingidos por pneumatoses
por p̂, seja inferior a 1%.
8. Para estimar a diferença de tempos esperados de vida entre fumadores e não fumadores, numa grande
cidade dos E.U.A., foram recolhidas duas amostras aleatórias independentes de, respectivamente, 36
não fumadores e 44 fumadores tendo-se obtido os seguintes resultados:
24
Inferência Estat́ıstica
Dimensão Média Desvio padrão corrigido
Não fumadores 36 72 9
Fumadores 44 62 11
Determine um intervalo de confiança a 95% para a diferença dos valores esperados dos tempos de
vida.
9. Numa experiência para comparar dois analgésicos, 65 doentes voluntários, depois de submetidos ao
mesmo tipo de cirurgia, foram divididos em dois grupos de n1 = 32 e n2 = 30 pessoas, a quem
foi ministrada uma dose equivalente dos analgésicos 1 e 2, respectivamente. No primeiro grupo, a
ausência de dor durou, em média x1 = 6.3 horas, com um desvio padrão de s′1 = 1.2 horas, enquanto
que no segundo grupo, x2 = 5.4 horas e s′2 = 1.4 horas. Supondo que as populações são Gaussianas
e têm a mesma variância, determine um intervalo de confiança a 99% para a diferença da duração
média do efeito dos analgésicos.
10. Um indiv́ıduo, preocupado com a muita cola que cheirou na adolescência, foi perguntar a um neu-
rologista conhecido se é verdade que o abuso de substâncias contendo tolueno produz alterações
importantes no sistema nervoso. O neurologista mostrou-lhe os resultados de um estudo com ratos,
em que um grupo experimental tinha sido exposto durante uma hora a uma atmosfera com ńıveis
altos de tolueno, e um grupo de controlo tinha sido mantido em condições normais. Procedeu-se
depois à determinação da quantidade de norepinefrina na medula adjacente ao cérebro. Os resul-
tados obtidos relativamente aos valores da concentração de tolueno na medula (mg/cm) foram os
seguintes:
Grupo experimental Grupo de controlo
50
∑
i=1
x1i = 31095
50∑
i=1
x21i = 20308009
45
∑
i=1
x2i = 23562
45
∑
i=1
x22i = 14303421
Averigúe, através da construção de um intervalo de confiança a 95%, se o ńıvel médio de norepinefrina
na medula dos ratos expostos a tolueno é mais elevado do que o ńıvel médio em ratos sujeitos a uma
atmosfera normal.
11. Na tabela seguinte estão registadas as pressões sistólicas de dois grupos de crianças. O grupo I
é formado por crianças filhas de pais hipertensos e o grupo II é constitúıdo por crianças filhas
de pais com a pressão sangúınea normal. Admitindo que os dois grupos constituem duas amostras
independentes e extráıdas de populações Gaussianas, averigúe, através da construção de um intervalo
de confiança a 95%, se podemos considerar que estas duas populações têm a mesma variância.
Grupo I 98 100 94 104 108 118 110 110 107 109 103 105 108
Grupo II 95 95 102 98 92 106 96 100 90
25
Inferência Estat́ıstica
12. Foi efectuado um estudo sobre a existência de potenciais tardios (late potentials) num grupo de 583
homens que sofreram um enfarte do miocárdio e num outro grupo de 489 homens sem enfarte (grupo
de controlo). No grupo de controlo, existiam 108 pessoas com potenciais tardios, enquanto que no
grupo com enfarte do miocárdio existiam 159 pessoas com potenciais tardios.
Através da construção de um intervalo de confiança a 95%, averigúe se a proporção de potenciais
tardios é maior entre os homens que sofreram enfarte de miocárdio do que entre aqueles que nunca
sofreram enfarte de miocárdio.
13. A baixa densidade de componentes minerais nos ossos de indiv́ıduos com osteoporose (como acontece
frequentemente nas senhoras após a menopausa) tem forte associação positiva com a ocorrência de
fracturas do fémur. A fim de avaliar o efeito da administração regular da terapia de reposição
hormonal, pretende-se comparar a mineralização de ossos de doentes de um grupo experimental
que durante 36 meses tomaram um medicamento cujo prinćıpio activo é estrogénio de cavalo com a
mineralização dos ossos de doentes de um grupo de controlo a quem foi administrado um placebo.
Supõe-se que modelos Gaussianos, com desvios padrões σX = 0.124 g/cm2 e σY = 0.236 g/cm2 são
adequados para representar as populações. Os resultados obtidos estão registados na tabela seguinte:
Mineralização (g/cm2) do fémur Mineralização (g/cm2) do fémur
em indiv́ıduos tratados (X) em indiv́ıduos não tratados (Y )
15
∑
i=1
xi = 14.84
20
∑
i=1
yi = 16.44
Averigúe, através da construção de um intervalo de confiança a 95%, se podemos considerar que vale
a pena tomar hormonas de estrogénio de cavalo.
14. Numa unidade de queimados tratam-se 8 doentes com queimaduras solares de gravidade semelhante
em ambos os membros com dois tipos de medicamentos, o tradicional e um novo medicamento que
está a ser testado e que se julga que produz cicatrização mais rápida. A fim de obviar subjectividade
quer dos doentes quer dos experimentadores, a experiência é “duplamente cega”. Após cicatrização
completa de cada um dos doentes é que se sabe qual o ombro tratado com o novo medicamento e
qual o número de dias necessários para completar a cicatrização com esse medicamento. Admite-se
que os tempos de cicatrização podem ser bem modelados por variáveis gaussianas. Os dados obtidos
foram os seguintes:
No de dias necessários à cicatrização
Medicamento tradicional 19.3 24.6 28.2 17.3 15.6 17.5 24.9 21.7
Medicamento novo 14.5 21.8 29.2 17.5 13.1 10.7 21.4 20.7
Através da construção de um intervalo de confiança a 95%, averigúe se os dois tratamentos, em
termos médios, não têm efeitos semelhantes.
26
Inferência Estat́ıstica
15. Dez indiv́ıduos obesos foram submetidos a um regime dietético durante um peŕıodo de 35 dias,
tendo-se registado os pesos no ińıcio e no fim do peŕıodo:
Ińıcio 95 110 98 104 80 86 92 91 92 84
Fim 92 109 94 100 81 80 84 88 90 79
Construa um intervalo de confiança a 95% para a diferença de médias, considerando a normalidade
dos dados.
16. Mediu-se a pressão arterial a uma amostra de 23 homens, tendo-se observado os seguintes valores,
para a mı́nima (pressão diastólica):
65 67 71 72 73 75 76 78 79 80 81 82
83 84 85 86 88 89 90 90 92 93 96
Supondo que a pressão diastólica segue distribuição Gaussiana, teste, ao ńıvel de significância de 5%
a hipótese de a pressão diastólica média ser superior a 80.
17. O anúncio de uma certa dieta de emagrecimento dizia: “Perca 18 Kg em 4 meses!”. Numa amostra
de 100 seguidores desta dieta o número médio de quilos perdidos foi 14.2 e o desvio padrão corrigido
do número de quilos perdidos foi 5.4. O número de kilos perdidos pode ser considerado normalmente
distribúıdo.
Teste, ao ńıvel de significância de 5%, se o slogan apresentado no anúncio não é aceitável.
18. De acordo com a lei, o composto qúımico δ pode admitir, no máximo, uma concentração de impure-
zas, por litro, de 0.07 e uma variabilidade máxima na concentração de impurezas, por litro, de 0.2.
Um laboratório abastecido por uma companhia de produtos qúımicos, determinou a concentração
de impurezas, por litro, em 8 porções do composto, tendo obtido o seguinte resultado
8
∑
i=1
(xi − x̄)2 = 3.
Admitindo que a concentração média não está a violar as leis averigúe, para um ńıvel de significância
de 5%, se a legislação está a ser cumprida pela companhia qúımica que abastece o referido laboratório
no que diz respeito à variabilidade da concentração de impurezas, por litro, do composto δ. Suponha
que a variável em estudo se comporta de forma aproximadamente normal.
19. De acordo com a lei de Mendel, a proporção dos heterozigotas (RQ) de um tipo de polimorfismo
genético do factor VII (um dos factores de coagulação sangúınea) deve ser 0.5. Sabendo que em 531
homens, 415 tinham o genótipo RR, 110 o RQ e 6 o QQ, averigúe, para um ńıvel de significância de
1%, se a proporção do genótipo RQ se encontra de acordo com a lei de Mendel.
27
Inferência Estat́ıstica
20. Um laboratório lançou no mercado um novo medicamento para o tratamento de uma alergia, afir-
mando a sua eficácia, num peŕıodo de 8 horas, em mais de 85% dos casos. A sua aplicação a uma
amostra de 200 indiv́ıduos sofrendo de tal alergia, revelou-se eficaz em 180 casos. A que ńıveis de
significância a afirmação é consistente com os dados?
21. Num estudo destinado a averiguar se os ńıveis de fibrinogénio diferem com o sexo, foram efectuadas
medições do fibrinogénio em 474 homens e 442 mulheres. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Ńıvel de fibrinogénio
Homens x1 = 2, 76 s′1 = 0, 55
Mulheres x2 = 2, 96 s′2 = 0, 83
Supondo que o ńıvel de fibrinogénio em ambos os sexos segue distribuição Gaussiana, averigúe:
a) para um ńıvel de significância de 5%, se existe diferença entre os sexos no que diz respeito ao
ńıvel médio de fibrinogénio;
b) para um ńıvel de significância de 5%, se a variabilidade do ńıvel de fibrinogénio é maior entre
as mulheres do que entre os homens.
22. Para diagnosticar a porf́ıria procede-se à medição do ńıvel de diaminase de porfibilogénio. Num
estudo sobre o ńıvel sérico de diaminase de porfibilogénio em indiv́ıduos normais e em indiv́ıduos
com porf́ıria obtiveram-se os seguintes dados:
Nı́vel sérico de diaminase de porfibilogénio Nı́vel sérico de diaminase de porfibilogénio
em indiv́ıduos normais (X) em indiv́ıduos com porf́ıria (Y )
No de indiv́ıduos x s′X N
o de indiv́ıduos y s′Y
21 113.2833 4.91 11 93.1667 3.6937
Supondo que as variáveis X e Y seguem distribuições aproximadamente normais, averigúe, para um
ńıvel de significância de 5%, se a variância do ńıvel sérico de diaminase de porfibilogénio é maior
para os indiv́ıduos normais do que para os indiv́ıduos com porf́ıria.
23. De acordo com o INFARMED o benif́ıcio decorrente do uso de medicamentos genéricosé, para o
utente, o de “adquirir um medicamento tão eficaz e tão seguro como a especialidade farmacêutica
similar a um custo mais reduzido”. Relativamente a determinado grupo fármaco-terapêutico de
medicamentos dispomos de uma amostra com 35 caixas de comprimidos, a qual apresenta média de
preços x = 8.25 e desvio padrão s′1 = 3.8. Dispomos igualmente de outra amostra com 32 caixas do
genérico correspondente cujos preços apresentam média y = 6.25 e desvio padrão s′2 = 1.6. Realize
um teste de comparação de médias para averiguar se a informação do INFARMED se aplica a este
grupo de medicamentos, tendo em conta que os dados provêm de populações normais.
28
Inferência Estat́ıstica
24. Numa experiência para comparar dois analgésicos, 65 doentes voluntários, depois de submetidos ao
mesmo tipo de cirurgia, foram divididos em dois grupos de n1 = 35 e n2 = 30 pessoas, a quem foi
ministrada uma dose equivalente dos analgésicos 1 e 2, respectivamente. No 1o grupo a ausência de
dor durou em média x1 = 6, 3 horas, com um desvio padrão de s′1 = 1, 2 horas, enquanto que no
segundo grupo, x2 = 4, 4 horas e s′2 = 1, 4 horas. Supondo que as populações são aproximadamente
normais e têm a mesma variância, averigúe, para um ńıvel de significância de 1%, se a duração média
do efeito do analgésico 1 é superior à do analgésico 2.
25. A procura de uma solução significativamente eficaz para a insónia é um dos problemas reais do nosso
tempo. A uma amostra de 32 pacientes que padecem de insónia foi prescrita uma certa droga A.
Uma outra amostra com 36 pacientes, independente da primeira, recebeu a droga B. Duas noites
após a administração das drogas, o registo do número de horas de sono deu origem à seguinte tabela:
∑
xi
∑
x2i
Droga A 196.34 1405.2
Droga B 209.025 1380.645
Em ambas as situações o número de horas de sono é bem modelado pela distribuição normal.
a) Para um ńıvel de significância de 5%, averigúe se o número médio de horas de sono é maior
com a droga A do que com a droga B.
b) Calcule o valor de prova associado à amostra observada para o teste formulado na aĺınea anterior.
26. Sete indiv́ıduos saudáveis ofereceram-se para realizar uma experiência envolvendo uma nova droga
para combater a insónia. Estes sete indiv́ıduos submeteram-se, antes e depois de ingerir a tal droga,
a um exame em que foi medido (em centésimos de segundo) o tempo de resposta a um sinal sonoro.
Em ambas as situações, o tempo de resposta é bem modelado pela distribuição Gaussiana. Os
resultados desse exame apresentam-se na tabela seguinte:
Indiv́ıduos I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Tempo de reacção com droga 17 27 39 27 30 21 36
Tempo de reacção sem droga 19 22 34 21 27 23 27
Teste se a nova droga provoca, como efeito secundário, o aumento do tempo de resposta a est́ımulos
auditivos. Use um ńıvel de significância de 5%.
27. Seleccionaram-se aleatoriamente 10 pessoas do sexo masculino com idades compreendidas entre os
35 e os 50 anos para participar num estudo sobre o efeito de um programa de exerćıcio f́ısico e de
dieta alimentar ao ńıvel de colesterol. Registaram-se os ńıveis de colesterol no ińıcio do programa e
no final do mesmo:
No ińıcio 264 238 257 296 251 244 287 313 260 280
No fim 230 240 228 240 237 247 234 256 247 239
29
Inferência Estat́ıstica
Para um ńıvel de significância de 5%, teste a eficácia do programa, assumindo a gaussianidade dos
dados.
28. Com o objectivo de verificar se um determinado grupo de antidepressivos tem como efeito secundário
o aumento efectivo da pressão arterial, foi realizado um estudo, no qual se registaram apenas as
pressões sistólicas de 50 indiv́ıduos, antes e depois de tomarem um comprimido do referido grupo
de antidepressivos. As médias amostrais sofreram um aumento de 0.25 e a variância amostral da
variável diferença é igual a 0.42. Face a estes dados, poderemos considerar que, de facto, a pressão
sistólica aumenta com aquela dose do medicamento? Assuma a gaussianidade dos dados.
29. Num estudo sobre prevalência da doença HIV, pediu-se a 949 homens que fizessem uma análise de
sangue para detectar a presença de anticorpos HIV. Destes, 782 concordaram e 167 recusaram. Oito
dos que concordaram estavam infectados. Havia colheitas anteriores dos 167 que recusaram, que
foram analisadas anonimamente, tendo sido encontrados 9 contaminados. Averigúe, para um ńıvel
de significância de 5% se a proporção de contaminados é maior entre os que recusaram submeter-se
ao teste do que entre os que aceitaram integrar o estudo.
30. Um estudo sobre a prevalência dos factores de risco cardio-vascular conduziu aos seguintes resultados:
em 752 mulheres, 246 tinham um colesterol LDL acima dos 160mg/dl, enquanto que em 655 homens,
242 tinham um colesterol LDL acima dos 160 mg/dl.
a) Para um ńıvel de significância de 5%, averigúe se a proporção de indiv́ıduos com colesterol LDL
acima dos 160 mg/dl é maior entre os homens do que entre as mulheres.
b) Calcule o valor de prova associado à amostra observada para o teste formulado na aĺınea anterior.
31. No tratamento de doentes de porf́ıria usa-se um fármaco destinado a subir o ńıvel sérico de diaminase
de porfibilogénio. Os dados obtidos antes e depois da administração do fármaco a 8 doentes, foram
os seguintes:
Nı́vel sérico de diaminase
de porfibilogénio antes de 89.4 97.9 100.0 102.4 103.1 104.0 104.5 104.8
tomar o fármaco (X)
Nı́vel sérico de diaminase
de porfibilogénio depois de 105.8 109.6 112.7 98.6 103.1 106.7 108.9 103.0
tomar o fármaco (Y )
Ao ńıvel de significância de 10%, teste a eficácia do fármaco, supondo populações gaussianas.
32. Um biólogo efectua medições num certo tipo de células. Admite-se que os erros aleatórios de medição
estão sujeitos a uma lei N(µ, 1). Uma amostra aleatória de dimensão 25 forneceu ao biólogo um
intervalo de confiança para µ a 95%, estimado por ]− 0.442, 0.342[.
30
Inferência Estat́ıstica
a) Determine uma estimativa para µ.
b) Teste
H0 : µ = 0 vs H1 : µ < 0,
ao ńıvel de significância de 2.5%.
33. Num estudo sobre disseminação de sementes nos dejectos de aves (a acção dos ácidos do trato
digestivo sobre a casca de muitos tipos de sementes é importante para a sua germinação) dividiu-se
um terreno em 50 celas e contou-se o número de sementes em cada uma delas.
No de observações por cela 0 1 2 3 ≥ 4
No de celas 11 13 14 7 5
Averigúe, para um ńıvel de significância de 5%, se o número de observações por cela segue distribuição
de Poisson.
34. Num estudo envolvendo o cruzamento prévio de duas estirpes de ratos diferindo em dois alelos do
locus do principal grupo sangúıneo (designados por B1 e B4), procedeu-se ao cruzamento entre si
de ratos da 1a geração (F1). As configurações genot́ıpicas dos ratos da geração resultante (F2) são
assim B1B1, B1B4 e B4B4. Seleccionando-se aleatoriamente 300 ratos da geração F2, obtiveram-se os
seguintes resultados:
Genotipo B1B1 B1B4 B4B4
No Ratos 87 194 19
Segundo a Teoria Mendeliana, as proporções teóricas genot́ıpicas estão na relação 1 : 2 : 1 segundo
a ordem indicada anteriormente. Um geneticista experimental afirmou que os dados observados
desmentem as leis de Mendel. Averigúe, para um ńıvel de significância de 1%, se os dados estão em
discordância com a Teoria Mendeliana.
35. Um laboratório farmacêutico produz uma droga que durante um certo peŕıodo de tempo necessita
de permanecer num local cuja temperatura, X , (em graus cent́ıgrados) seja relativamente baixa e
não sofra alterações significativas. De uma amostra de 50 valores da referida temperatura sabe-se
que:
50
∑
i=1
xi = 65.38 e
50
∑
i=1
x2i = 113.417.
a) Determine estimativas para a média e para a variância da variável aleatória real X.
b) A referida amostra permitiu ainda construir o seguinte histograma:
31
Inferência Estat́ısticaParece-lhe razoável ajustar à variável X uma distribuição Uniforme sobre um intervalo da forma
[0, θ]?
c) Supondo que de facto é aceitável considerar que X segue uma distribuição uniforme sobre [0, θ] ,
estime o parâmetro θ.
d) Com o objectivo de validar a referida distribuição realize um teste de ajustamento do Qui-
Quadrado, com um ńıvel de significância de 5%.
36. Numa determinada empresa é conhecido que a média da pressão sistólica dos trabalhadores é 117.5
e o desvio padrão 16. Feita a medição a 120 trabalhadores, escolhidos aleatoriamente, registou-se a
distribuição de frequências que se encontra na tabela seguinte:
Pressão ni Pressão ni
≤ 94.5 6 ]119.5, 124.5] 20
]94.5, 99.5] 4 ]124.5, 129.5] 13
]99.5, 104.5] 9 ]129.5, 134.5] 10
]104.5, 109.5] 12 ]134.5, 139.5] 7
]109.5, 114.5] 16 ]139.5, 144.5] 1
]114.5, 119.5] 19 ]144.5, +∞[ 3
Teste a hipótese de a pressão sistólica dos trabalhadores da referida empresa ser normalmente dis-
tribúıda.
37. Um alergologista pretende saber se a distribuição binomial pode ser usada para determinar probabi-
lidades referentes ao número de indiv́ıduos, em 4, que têm determinada alergia. Com este objectivo,
obteve, de forma aleatória, 50 amostras de 4 indiv́ıduos cada, onde observou os seguintes dados
No de indiv́ıduos Frequência
0 13
1 22
2 10
3 3
4 2
32
Inferência Estat́ıstica
Para um ńıvel de significância de 1%, averigúe qual a conclusão que o alergologista obteve a partir
dos dados anteriores.
38. Considera-se que o número de avarias reportadas por dia em certo equipamento é uma variável
aleatória com a seguinte distribuição:
x 0 1 ≥ 2
f(x) 0.7 0.2 0.1
Em 200 dias de laboração não se verificaram avarias em 125 dias, verificou-se uma avaria em 45 dias
e duas avarias nos restantes dias. Tendo em conta a amostra recolhida, analise a adequabilidade do
modelo considerado.
39. Numa amostra de casos de sarampo em crianças em idade pré-escolar encontramos a seguinte dis-
tribuição de frequências:
Idade (Anos) Número de casos
<1 6
1 20
2 35
3 41
4 48
Total 150
a) Teste, ao ńıvel de significância de 5%, a hipótese de que os casos de sarampo ocorrem com igual
frequência nas cinco categorias etárias.
b) Determine o valor de prova associado a este teste.
40. Medições do ńıvel de colesterol em 47 pacientes com diabetes conduziram aos seguintes resultados:
Ńıvel de colesterol (mg/dl) Número de pacientes
[100.0 - 125.0] 1
]125.0 - 150.0] 3
]150.0 - 175.0] 8
]175.0 - 200.0] 18
]200.0 - 225.0] 6
]225.0 - 250.0] 4
]250.0 - 275.0] 4
]275.0 - 300.0] 3
Ao ńıvel de significância de 5%, poderemos afirmar que estes dados fornecem evidências suficientes
para rejeitar a hipótese do ńıvel de colesterol em diabéticos ser bem modelado por uma distribuição
normal?
33
Inferência Estat́ıstica
41. Com o objectivo de determinar a receptividade a um novo fármaco para o aĺıvio das dores, 100
médicos seleccionaram, cada um, uma amostra de 25 pacientes, que tomavam outros fármacos para
o aĺıvio das dores, para participar neste estudo. Cada paciente, após a toma do novo fármaco durante
um certo peŕıodo de tempo, foi questionado sobre a sua preferência.
Número de pacientes em 25
que preferem o novo
fármaco
Número de médicos que
registaram este número
Número total de pacientes
que preferem o novo
fármaco
0 5 0
1 6 6
2 8 16
3 10 30
4 10 40
5 15 75
6 17 102
7 10 70
8 10 80
9 9 81
≥10 0 0
Total 100 500
A distribuição binomial poderá ser usada para determinar probabilidades referentes so número de
pacientes, em 25, que preferem o novo fármaco? Considere α = 0.01.
42. O director de um hospital deseja saber se o número de entradas por dia nas urgências segue uma
distribuição de Poisson de média 3. Por conseguinte, registou as entradas nas urgências durante um
peŕıodo de 90 dias.
Número de entradas
na urgência por dia
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≥10
Número de dias 5 14 15 23 16 9 3 3 1 1 0
Com estes dados a que conclusões chegará o director do hospital, considerando um ńıvel de signi-
ficância de 5%?
34
Formulário e Tabelas
Distribuição f(x) E(X) V ar(X)
Uniforme Discreta
1
n
—– —–
x = x1, x2, . . . , xn
Bernoulli px(1− p)1−x p p(1− p)
x = 0, 1, p ∈ (0, 1)
Binomial Cnxp
x(1− p)n−x np np(1− p)
x = 0, 1, . . . , n, , p ∈ (0, 1), n ∈ IN
Geométrica (1− p)x−1p
1
p
1− p
p2
x = 1, 2, . . . , p ∈ (0, 1)
Hipergeométrica
CMx C
N−M
n−x
CNn
n
M
N
nM(N −M)(N − n)
N2(N − 1)
x = max{0, n− (N −M)}, . . . ,min{n,M},
M = 0, . . . , N, n = 1, . . . , N, N ∈ IN
Poisson e
−λλx
x!
λ λ
x = 0, 1, 2, . . . , λ > 0
Uniforme
1
b− a
a+ b
2
(b− a)2
12
a < x < b
Exponencial λe−λx
1
λ
1
λ2
x > 0, λ > 0
Tabela 1: Algumas distribuições discretas e cont́ınuas
S ′2 =
1
n− 1
n
∑
i=1
(Xi −X)2 =
1
n− 1
(
n
∑
i=1
X2i − nX
2
)
35
PAR. CONDIÇÕES V.A. FULCRAIS/DIST. OBSERVAÇÕES
µ
População normal com
variância conhecida
Z =
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
Quando se desconhece a dis-
tribuição da população, mas n
é grande (n ≥ 30), a distri-
buição é aprox. normal.
População normal de vari-
ância desconhecida
X − µ
S′√
n
∼ tn−1
Com n grande, população nor-
mal ou não, a distribuição é
aprox. normal.
p
População de Bernoulli e n
grande
Z =
p̂− p
√
p(1− p)
n
o∼ N(0, 1)
σ2 População normal (n− 1)S
′2
σ2
∼ χ2n−1
Duas populações normais com
variâncias conhecidas
Z =
X1 −X2 − (µ1 − µ2)
√
σ21
n1
+
σ22
n2
∼ N(0, 1)
Quando se desconhece a dis-
tribuição das populações, mas
n1 e n2 são grandes, a distri-
buição é aprox. normal.
µ1−µ2
Duas populações normais com
variâncias desconhecidas mas
iguais
X1 −X2 − (µ1 − µ2)
√
(n1 − 1)S
′2
1 + (n2 − 1)S
′2
2
n1 + n2 − 2
√
1
n1
+
1
n2
∼ tn1+n2−2
Duas populações quaisquer
com variâncias desconhecidas
e n1 e n2 grandes
Z =
X1 −X2 − (µ1 − µ2)
√
S
′2
1
n1
+
S
′2
2
n2
o∼ N(0, 1)
p1−p2
Duas populações de Bernoulli
e n1 e n2 grandes
Z =
p̂1 − p̂2 − (p1 − p2)
√
p1(1− p1)
n1
+
p2(1− p2)
n2
o∼ N(0, 1)
σ21
σ22
Duas populações normais
S
′2
1
S
′2
2
σ22
σ21
∼ Fn1−1,n2−1
Distribuição Normal
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0.00000 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.02790 0.03188 0.03586
0,1 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.07535
0,2 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409
0,3 0.11791 0.12172 0.12552 0.12930 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173
0,4 0.15542 0.15910 0.16276 0.16640 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793
0,5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.20540 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.22240
0,6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.25490
0,7 0.25804 0.26115 0.26424 0.26730 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524
0,8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29673 0.29955 0.30234 0.30511 0.30785 0.31057 0.31327
0,9 0.31594 0.31859 0.32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891
1,0 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214
1,1 0.36433 0.36650 0.36864 0.37076 0.37286 0.37493 0.37698 0.37900 0.38100 0.38298
1,2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.40147
1,3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41309 0.41466 0.41621 0.41774
1,4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189
1,5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408
1,6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449
1,7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.46327
1,8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46638 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062
1,9 0.47128 0.47193 0.47257 0.47320 0.47381 0.47441 0.47500 0.47558 0.47615 0.47670
2,0 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.48030 0.48077 0.48124 0.48169
2,1 0.48214 0.48257 0.48300 0.483410.48382 0.48422 0.48461 0.48500 0.48537 0.48574
2,2 0.48610 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.48840 0.48870 0.48899
2,3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49010 0.49036 0.49061 0.49086 0.49111 0.49134 0.49158
2,4 0.49180 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361
2,5 0.49379 0.49396 0.49413 0.49430 0.49446 0.49461 0.49477 0.49492 0.49506 0.49520
2,6 0.49534 0.49547 0.49560 0.49573 0.49585 0.49598 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643
2,7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.49720 0.49728 0.49736
2,8 0.49744 0.49752 0.49760 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807
2,9 0.49813 0.49819 0.49825 0.49831 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.49861
3,0 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49896 0.49900
3,1 0.49903 0.49906 0.49910 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929
3,2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.49940 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.49950
3,3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.49960 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965
3,4 0.49966 0.49968 0.49969 0.49970 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976
3,5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.49980 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983
3,6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989
3,7 0.49989 0.49990 0.49990 0.49990 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992
3,8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995
3,9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997
Tabela 2: Probabilidades p = P [0 ≤ Z ≤ z] da Distribuição Normal padrão com valores de z dados nas
margens da tabela.
Distribuição
t-“Student”
n!
α 0.4 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2 0.289 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.327
3 0.277 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.215
4 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173
5 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893
6 0.265 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208
7 0.263 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785
8 0.262 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501
9 0.261 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297
10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144
11 0.260 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025
12 0.259 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930
13 0.259 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852
14 0.258 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787
15 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733
16 0.258 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686
17 0.257 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646
18 0.257 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610
19 0.257 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579
20 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552
21 0.257 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527
22 0.256 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505
23 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485
24 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467
25 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450
26 0.256 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435
27 0.256 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421
28 0.256 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408
29 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396
30 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385
35 0.255 0.682 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340
40 0.255 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307
50 0.255 0.679 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.261
60 0.254 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232
120 0.254 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160
Tabela 3: Quantis de ordem 1− α da distribuição tn. t1−α,n : P (X ≤ t1−α,n) = 1− α
Distribuição Qui-Quadrado
n!
α 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
1 0.39 · 10−4 0.16 · 10−3 0.98 · 10−3 0.0039 0.0158 0.1015 0.4549 1.3233 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 10.8276
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 0.5754 1.3863 2.7726 4.6052 5.9915 7.3778 9.2103 10.5966 13.8155
3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 1.2125 2.3660 4.1083 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8382 16.2662
4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 1.9226 3.3567 5.3853 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8603 18.4668
5 0.4117 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 2.6746 4.3515 6.6257 9.2364 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 20.5150
6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 3.4546 5.3481 7.8408 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5476 22.4577
7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1674 2.8331 4.2549 6.3458 9.03715 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2778 24.3219
8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 5.0706 7.3441 10.2189 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9551 26.1247
9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.8988 8.3428 11.3888 14.6837 16.9190 19.0228 21.6661 23.5894 27.8772
10 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.7372 9.3418 12.5489 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1882 29.5908
11 2.6032 3.0535 3.8158 4.5748 5.5778 7.5841 10.3410 13.7007 17.2750 19.6752 21.9201 24.7250 26.7568 31.2621
12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 8.4384 11.3403 14.8454 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2995 32.9094
13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415 9.2991 12.3398 15.9839 19.8119 22.3620 24.7357 27.6883 29.8196 34.5282
14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 10.1653 13.3393 17.1169 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3193 36.1222
15 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 8.5468 11.0365 14.3389 18.2451 22.3072 24.9958 27.4884 30.5779 32.8013 37.6971
16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.9122 15.3385 19.3689 23.5418 26.2962 28.8454 31.9999 34.2669 39.2520
17 5.6872 6.4078 7.5642 8.6718 10.0852 12.7919 16.3382 20.4887 24.7691 27.5871 30.1909 33.4087 35.7184 40.7970
18 6.2648 7.0149 8.2308 9.3905 10.8649 13.6753 17.3379 21.6049 25.9894 28.8693 31.5264 34.8051 37.1561 42.3108
19 6.8440 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 14.5620 18.3377 22.7178 27.2036 30.1435 32.8522 36.1909 38.5822 43.8201
20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 15.4518 19.3374 23.8277 28.4120 31.4104 34.1696 37.5662 39.9968 45.3144
21 8.0337 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 16.3444 20.3372 24.9348 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4008 46.7961
22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 17.2396 21.3372 26.0393 30.8133 33.9244 36.7806 40.2894 42.7952 48.2662
23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480 18.1373 22.3369 27.1413 32.0069 35.1724 38.0755 41.6384 44.1806 49.7259
24 9.8862 10.8564 12.4011 13.8484 15.6587 19.0373 23.3367 28.2411 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5578 51.1763
25 10.5197 11.5239 13.1197 14.6114 16.4734 19.9393 24.3366 29.3389 34.3816 37.6525 40.6464 44.3137 46.9275 52.6182
26 11.1602 12.1981 13.8439 15.3792 17.2919 20.8434 25.3365 30.4346 35.5632 38.8851 41.9232 45.6416 48.2898 54.0514
27 11.8076 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 21.7494 26.3364 31.5284 36.7412 40.1133 43.1945 46.9629 49.6449 55.4760
28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 22.6572 27.3362 32.6205 37.9159 41.3371 44.4608 48.2782 50.9933 56.8918
29 13.1211 14.2565 16.0471 17.7084 19.7677 23.5666 28.3361 33.7109 39.0875 42.5570 45.7223 49.5881 52.3356 58.3006
30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 24.4776 29.3360 34.7997 40.2560 43.7730 46.9792 50.8925 53.6718 59.7030
40 20.7065 22.1643 24.4330 26.5093 29.0505 33.6603 39.3353 45.6160 51.8051 55.7585 59.3417 63.6907 66.7660 73.4023
50 27.9907 29.7067 32.3574 34.7643 37.6886 42.9421 49.3349 56.3336 63.1671 67.5048 71.4202 76.1539 79.4900 86.6608
60 35.5345 37.4849 40.4817 43.1880 46.4589 52.2938 59.3347 66.9815 74.3970 79.0819 83.2977 88.3794 91.9519 99.6076
70 43.2752 45.4417 48.7576 51.7393 55.3289 61.6983 69.3345 77.5767 85.5270 90.5313 95.0232 100.425 104.215 112.317
80 51.1719 53.5401 57.1532 60.3914 64.2778 71.1445 79.3343 88.1303 96.5782 101.879 106.629 112.329 116.321 124.839
90 59.1963 61.7539 65.6466 69.1260 73.2911 80.6247 89.3342 98.6499 107.565 113.145 118.136 124.116 128.300 137.208
100 67.3276 70.0647 74.2219 77.9295 82.3581 90.1332 99.3341 109.141 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169 149.451
Tabela 4: Quantis de ordem 1− α da distribuição χ2n. χ21−α,n : P (X ≤ χ21−α,n) = 1− α
Distribuição F de Fisher-Snedecor a 5%
α = 0.05
n!
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 40 60 120
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33