apostila

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ESCOLA EDUCACIONAL TÉCNICA SATC – EDUTEC SATC
Disciplina na modalidade à distância
APOSTILA DE CÁLCULO TÉCNICO I
Professora Tutora: Msc. Morgana Nuernberg Sartor Faraco
CRICIÚMA – SC
	ESCOLA EDUCACIONAL TÉCNICA SATC – EDUTEC SATC
Diretor
João Luiz Novelli
Coordenadora Geral
Maria da Graça Cabral
Coordenadora EaD
Izes Ester Machado Beloli
Orientadora Pedagógica
Ana Alíria da Silva Peres
Coordenador do Curso
Gilberto Fernandes da Silva
Professora Conteudista
Msc. Morgana Nuernberg Sartor Faraco
Designer Instrucional
Patrícia Medeiros Paz
Diagramadores
Walace Apolo
Revisora Ortográfica
Patrícia Medeiros Paz
	
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO	05
UNIDADE 1: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TÉCNICO	07
TÓPICO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS	08
TÓPICO 2: AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
(NÚMEROS DECIMAIS)	10
TÓPICO 3: SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALGÉBRICA E EXPRESSÕES NUMÉRICAS 	13
TÓPICO 4: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: MMC 	18
EXERCÍCIOS	20
CHECK LIST	23
UNIDADE 2: FRAÇÕES E POTÊNCIAS	24
TÓPICO 1: FRAÇÕES, SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES	25
TÓPICO 2: POTÊNCIAS	35
TÓPICO 3: POTÊNCIAS DE DEZ	38
EXERCÍCIOS	40
CHECK LIST	43
UNIDADE 3: RADICIAS, REGRAS DE TRÊS E PORCENTAGEM	44
TÓPICO 1: RADICAIS	45
TÓPICO 2: RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES	47
TÓPICO 3: REGRA DE TRÊS SIMPLES	48
TÓPICO 4: PORCENTAGEM	51
EXERCÍCIOS	53
CHECK LIST	57
UNIDADE 4: OPERAÇÕES ALGÉBRICAS	58
TÓPICO 1: OPERAÇÕES ALGÉBRICAS	59
TÓPICO 2: EQUAÇÕES	62
TÓPICO 3: SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (COM DUAS INCÓGNITAS)	66
TÓPICO 4: EQUAÇÕES DO 2º GRAU	73
EXERCÍCIOS	77
CHECK LIST	82
UNIDADE 5: INEQUAÇÕES, JUROS E LOG	.............83
TÓPICO 1: INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO 1º GRAU...........................................84
TÓPICO 2: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS	85
TÓPICO 3: LOGARITMO	89
EXERCÍCIOS	93
CHECK LIST	98
GABARITO COMENTADO	99
19
REFERÊNCIAS	138
APRESENTAÇAO
Bem-vindo(a) ao componente curricular Cálculo Técnico I do curso Técnico de Eletrotécnica, na modalidade à distância, da SATC, escola localizada em Criciúma, Sul do estado de Santa Catarina.
Este conteúdo foi desenvolvido de maneira clara para o entendimento e a aplicação dos conceitos e cálculos da Matemática Básica, permitindo ao aluno uma base para a aplicação prática desses conceitos na sua vida profissional.
Na Unidade 1, relembraremos os conjuntos numéricos, as quatro operações fundamentais da matemática, bem como, realizaremos cálculos com soma, subtração, divisão e multiplicação algébricas, apreenderemos também a calcular o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números; na Unidade 2, veremos frações e as operações utilizando frações, aplicaremos cálculos utilizando potências e potências de base; na Unidade 3, trabalharemos com radicais, racionalização de denominadores e aplicaremos em vários cálculos a regra de três simples e porcentagens; na Unidade 4 teremos um grande enfoque nas operações algébricas e equações do 1º e 2º grau e para isso a fórmula de Bháskara será bem trabalhada; já na Unidade 5 finalizaremos o componente trabalhando com as inequações algébricas e faremos cálculos utilizando juros simples e juros compostos assim apreenderemos a aplicar em nosso dia a dia, por último, realizar cálculos utilizando logaritmos que serão importantes em alguns problemas de eletricidade
A carga horária desta disciplina é de 35 horas/aula. Os horários de estudo poderão ser organizados de acordo com a conveniência de cada aluno, lembrando que há prazos para a conclusão das atividades propostas. Fiquem atentos para as datas das avaliações presenciais e on-line, que são publicadas pelos professores no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e para trabalhos adicionais solicitados pelo educador.
Para o estudo dessa apostila você terá o auxílio de alguns recursos pedagógicos que facilitarão o seu processo de aprendizagem. Perceba que a margem externa das páginas dos conteúdos são maiores. Elas servem tanto para você fazer anotações durante os seus estudos, quanto para o professor incluir informações adicionais importantes. Esse material também dispõe de vários ícones de aprendizagem, os quais destacarão informações relevantes sobre os assuntos que você está estudando. Vejamos quais são eles e os seus respectivos significados:
	ÍCONES DE APRENDIZAGEM
	
	Indica a proposta de aprendizagem para cada unidade da apostila.
	
	Mostra quais conteúdos serão estudados em cada unidade da apostila.
	
	Apresenta exercícios sobre cada unidade.
	
	Apresenta os conteúdos mais relevantes que você deve ter aprendido em cada unidade. Se houver alguma dúvida sobre algum deles, você deve estudar mais antes de entrar nas outras unidades.
	
	Apresenta a fonte de pesquisa das figuras e as citações presentes na apostila.
	
	Traz perguntas que auxiliam você na reflexão sobre os conteúdos e no sequenciamento dos mesmos.
	
	Apresenta curiosidades e informações complementares sobre um conteúdo.
	
	Traz endereços da internet ou indicações de livros que possam complementar o seu estudo sobre os conteúdos.
Lembre-se também de diariamente verificar se há publicações de aulas no Portal. Pois é por meio delas que os professores passarão a você todas as orientações sobre a disciplina.
Ainda é bom lembrar que além do auxílio do professor, você também poderá contar com o acompanhamento de nosso sistema de Tutoria. Você poderá entrar em contato sempre que sentir necessidade, seja pelo e-mail tutoria.eadedutec@satc.edu.br ou pelo telefone (48) 3431 – 7590/ 3431 – 7596.
Desejamos um bom desempenho nesse seu novo desafio. E não esqueça: estudar a distância exige bastante organização, empenho e disciplina.
Bom estudo!
7
18
UNIDADE 1 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TÉCNICO
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá:
· identificar os subconjuntos do conjunto dos números reais;
· efetuar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) nos conjuntos numéricos;
· efetuar a soma, subtração, multiplicação e divisão algébrica bem como, resolver as expressões numéricas com essas operações;
· determinar o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números.
 Plano de Estudos
Esta unidade está dividida em quatro tópicos, organizada de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos.
TÓPICO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
TÓPICO 2: AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)
TÓPICO 3: SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO ALGÉBRICA E EXPRESSÕES NUMÉRICAS
TÓPICO 4: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM:MMC
TÓPICO 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
 
Esta figura representa a classe dos números.
N → Naturais 
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma contagem inteira. Não há números naturais negativos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Z → Inteiros
São os números naturais e seus opostos (–) negativos. Não há números inteiros em fração ou decimal:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q → Racionais
São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração:
Q = , , 
Números decimais na forma exata:
Números decimais na forma periódica:
I → Irracionais
São todas as decimais não exatas e não periódicas:
I = 
R →Reais
É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par, não são reais:
 Exemplo: → solução não existente nos números reais.
TÓPICO 2
AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)
 adição
 2 + 2 = 4
Parcelas Soma
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049 Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.
	 4,32 
	+ 2,3
	 1,429
 8,049 Soma
 
Neste caso de soma de frações com denominadores diferentes, devemos achar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 4, 3 e 5 que é 60. Posteriormente dividimos o 60 por cada denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador. Achando assim o resultado dessa soma de frações com denominadores diferentes.
Adição:Representação ( + ) 
Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma.
Subtração: Representação ( - )
As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operação. 
3.950 → minuendo
- 700 → subtraendo 
3.250 → diferença
Numa subtração do tipo “4 – 7” temos que o minuendo é menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e igual a -3.
– 12 + 3 = – 9 
 – 25 + 24 = – 1
Multiplicação: Representação (x, ∙ ou *)
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto.
Na Multiplicação começa-se operar da esquerda para direita. Quando a multiplicação envolver números decimais (como no exemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas após a vírgula. 
7,32 * 12,5 = 91,500 
	 7,32 fatores
	 x 12,5 fatores
	 3600
	1464 +
	732 +
	91,500 Produto
Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo).
Divisão: Representação ( ÷, /, ∟) 
Na divisão, os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
No quadro abaixo você observa a resolução da divisão pelo (método) das chaves. A diferença entre o método curto e o longo é que no método longo você consegue ver a subtração:
 existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata, irá sempre sobrar uma determinado valor, veja a seguir:
843 ∟5
34 168
43
3 	 Resto ( r) “ se o resto for igual a zero a divisão é chamada de Exata”
TÓPICO 3
SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ALGÉBRICA E EXPRESSÕES NUMÉRICAS
· Sinais iguais: somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum;
· Sinais diferentes: subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
a. 2 + 4 = 6
b. – 2 – 4 = – 6
c. 5 – 3 = 2
d. – 5 + 3 = – 2
e. 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
f. – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
Multiplicação e Divisão Algébrica
· Sinais iguais → resposta positiva;
· Sinais diferentes → resposta negativa.
a. 12 * 3 = 36
b. (-12) * (-3) = 36
c. 2 * (-2) = -4
d. (-2) * 3 = -6
e. = 2
f. 
g. 
h. 
Expressões Numéricas
São as expressões matemáticas que envolvem as operações matemáticas básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão), podendo envolver simultaneamente essas quatro operações numa única expressão numérica.
Como maneira de separar e também organizar as expressões numéricas, é comum utilizar símbolos matemáticos para separar partes da equação ou mesmo para evidenciar que uma determinada operação matemática deve ser realizada antes que outra. Os símbolos utilizados para esse fim são: parênteses - ( ), colchetes -[ ] e chaves - { }.
Para resolver essas expressões, deve-se obedecer a uma ordem de resolução, tanto das operações matemáticas básicas como dos símbolos matemáticos. Essa ordem é indicada abaixo.
Símbolos
Deve ser obedecida a seguinte ordem de resolução: 
1º → parêntese → 
2º → Colchetes →
3º → Chaves →
Operações Matemáticas 
Devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem:
1º →multiplicação e divisão
2º → Soma e subtração
 resolva as expressões numéricas abaixo:
a) 13 +
Primeiramente, devemos resolver a operação que está dentro dos parênteses: 
Assim temos: 
13 + 
13 +
Já resolvemos os parênteses. Agora, vamos resolver os colchetes. Assim temos:
 13 + 
Finalizando, temos:
 13 + 22 = 35
Atenção: a resolução apesentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa expressão é apresentada a seguir: 
13 +
13 +
13 + 22 = 35 → 35 é a resposta da expressão numérica apresentada.
b) 4 + 
Primeiramente, devemos resolver a operação que está dentro dos parênteses: 
Assim temos: 
4 + = 
Já resolvemos os parênteses. Agora, vamos resolver os colchetes. Assim temos:
4 + = 
Agora vamos resolver as chaves e finalizando, temos:
4 + = 
4 + 35 = 39 
Atenção: a resolução apesentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa expressão é apresentada a seguir: 
4 + =
4 + = 
4 + = 
4 + = 
4 + 35 = 39 → 39 é a resposta da expressão numérica apresentada.
c) 
Primeiramente, devemos resolver as operações que estão dentro dos parênteses. Além disso, devemos resolver primeiro a multiplicação e depois a soma:
 Assim temos: 
(18 + 3 x 2) = (18 + 6) = 24
Agora temos:
Já resolvemos os parênteses. Agora, vamos resolver os colchetes. Além disso, devemos resolver primeiro a multiplicação e depois a divisão. Assim temos:
 = 3
Atenção: a resolução apesentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa expressão é apresentada a seguir: 
 = 3 →
 3 é a resposta da expressão numérica apresentada.
TÓPICO 4
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: MMC
Obter o Mínimo Múltiplo Comum entre dois ou mais números quaisquer (A e B, por exemplo) significa que vamos procurar outro número, que terá o menor valor possível e será múltiplo simultaneamente do número A e do número B.
O M.M.C. entre dois ou mais números é obtido através da utilização do método apresentado abaixo.
 determinar o mínimo múltiplo comum entre os números:
a) 6, 8 e 12
Para obtermos o mmc. entre dois ou mais números, vamos escrevê-los em ordem crescente e separá-los por vírgulas. Vamos começar dividindo todos os números por dois, depois por três e assim sucessivamente. Se algum dos números não for divisível pelo número considerado, ele deverá apenas ser repetido.
 ÷
	6, 8, 12
	2
	3, 4, 6
	2
	3, 2, 3
	2
	3, 1, 3
	3
	1, 1, 1
	2.2.2.3 = 23 . 3 = 24 
 
Neste caso o 3 não é divisível por 2. Então vamos repetir.
Assim, 24 é o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 6, 8 e 12.
b) 18, 20, 45 e 60
 ÷
	18, 20, 45, 60
	2
	9, 10, 45, 30
	2
	9, 5, 45, 15
	2
	3, 5, 15, 5
	3
	1, 5, 5, 5
	5
	1, 1, 1, 1
	2.2.3.3. 5= 22 . 32. 5 = 180 
 
Neste caso o 45 não é divisível por 2. Então vamos repetir.
Assim, 180 é o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 18, 20, 45, 60.
c) 18, 35, 45 e 12
 ÷
	18, 35, 45, 120
	2
	9, 35, 45, 60
	2
	9, 35, 45, 30
	2
	9, 35, 45, 15
	3
	3, 35, 15, 5
	3
	1, 35, 5, 5
	5
	1, 7, 1, 1
	7
	1, 1, 1, 1
	2.2.2. 3.3. 5. 7= 22 . 32. 5. 7= 2520
 
Neste caso o 45 não é divisível por 2. Então vamos repetir. Neste caso o 35 não é divisível por 2, nem por 3. Então vamos repetir.
Assim, 2520 é o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 18, 35, 45, 120.
EXERCÍCIOS 
1. Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:
a. ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional.
b. ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional.
c. ( ) 0,494949... é um número racional.
d. ( ) - 5 é um número natural.
2. Adicione as seguintes parcelas:
a. 2+3 =
b. 33,1 + 103 =
c. 2,2 + 3 + 0,4 =
d. 1,667 + 0,0095 + 56,7 = 
3. Diminua as seguintes parcelas:
a. 71 – 5 =
b. 5 – 0,1 =
c. 7,09 – 1,115 =
d. 23,995 – 3,041 – 17,91 =
4. Efetue as seguintes multiplicações:
a. 4x7 =
b.(1,2) x 3 =
c. 4. (7,5) =
d. 3.6.5 =
e. (3,01) x 4 x(5,2) =
5. Determine o quociente:
a. 18:3 =
b. 20:8 =
c. 2:8 =
d. 8:2 =
e. 10: 5: 2 =
f. (1,5): 2: 5 =
6. Resolva as operações:
a. 4,03 + 200 + 51,2 =
b. 32,4 – 21,3 = 
c. 2,1 x 3,2 = 
d. 8,4708 /3,62 =
e. 0,2 . 0,3 =
f. 3,2 – 2,0
7. Resolva as expressões numéricas abaixo:
a. 80 + { 5 + [ ( 8 + 12 ) + ( 13 + 12 )] + 10 } =
b. 58 + [ 48 – ( 31 – 10 ) + 15 ] =
c. 38 – { ( 51 – 15 ) + [ 5 + (3 – 1 ) ] – 10 } =
d. [9 + (585 – 15 x 6)] ÷ 56 =
e. [30 – (17 – 8) x 3 + 25] ÷ 7 =
f. {[(8 x 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) x 3] x 2 – (19 – 7) ÷ 6} x 2 + 12 =
g. {[(6 x 4 x 7) ÷ 3 + 9] ÷ 5} x 13 =
8. Resolva:
a. 2 + 3 – 1 =
b.– 2 – 5 + 8 =
c. – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d. 2 * (-3) =
e. (-2) * (-5) =
f. (-10) * (-1) =
g. (-1)x(-1)x(-2) =
h. =
i. =
j. =
k. =
l. =
m. = 
n. 2
o. 
p. 0,5 x 0,4 :0,2 =
q. 0,6 : 0,03 x 0,05 =
r. 5 :10 =
s. 3 : 81 x 0,5 = 
9. Determine o mínimo múltiplo comum entre os números:
a. 10, 12 e 45
b. 5, 15 e 18
c. 16 e 70
d. 30, 40 e 180
e. 30, 150 e 200
 CHECK LIST
Nessa unidade conhecemos os números e como foram se formando gradativamente os conjuntos numéricos. Em muitas áreas do conhecimento o cálculo matemático baseia-se na utilização das operações que acontecem nesses conjuntos numéricos. Assim, para compreender e efetuar os cálculos nas próximas unidades você deverá:
· aplicar as quatro operações em cada conjunto numérico;
· efetuar as operações fundamentais;
· calcular as expressões numéricas;
· determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.
UNIDADE 2
FRAÇÕES E POTÊNCIAS
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá:
· identificar frações e efetuar soma, subtração, multiplicação e divisão de frações;
· realizar operações com frações;
· identificar potências e suas resoluções;
· trabalhar com potências de dez.
Plano de Estudos
Esta unidade está dividida em três tópicos, organizada de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos.
TÓPICO 1: FRAÇÕES, SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES
TÓPICO 2: POTÊNCIAS
TÓPICO 3: POTÊNCIAS DE DEZ
TÓPICO 1
FRAÇÕES, SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES
Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
As frações apresentadas a seguir partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações.
Soma (ou Adição) e Subtração (ou Diferença) de Frações
 efetue a soma das frações indicadas abaixo:
a)
Para efetuarmos a soma de frações, primeiramente devemos tirar o Mínimo Múltiplo Comum (mmc) entre os denominadores de cada uma das frações. No caso, vamos tirar o mmc entre 2 e 3.
	2, 3
	2
	1, 3
	3
	1, 1
	2.3 = 6 
 O mmc entre 2 e 3 é 6.
Agora vamos escrever o mmc no denominador da fração. Esse denominador será comum às duas frações. Assim, temos:
Agora vamos dividir, separadamente, o mmc (que neste caso é 6) pelo denominador de cada uma das frações e o resultado da divisão vamos multiplicar pelo numerador da fração. O resultado dessa operação será escrito no numerador da nova fração, repetindo os sinais. Assim, temos:
x
÷
Agora basta efetuarmos as operações indicadas e, se for possível, simplificar os resultados. Feito isso já obtivemos o resultado da soma das duas frações:
Assim, o resultado das soma das frações indicadas é: 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução.
Matematicamente, a resolução formal dessa soma de frações é apresentada a seguir:
 = 
b)
	4, 3, 6
	2
	2, 3, 3
	2
	1, 3, 3
	3
	1, 1, 1
	2.2.3 = 12 
 O mmc entre 4, 3 e 6 é 12.
Agora vamos escrever o mmc no denominador da fração. Esse denominador será comum às duas frações. Assim, temos:
Agora vamos dividir, separadamente, o m.m.c (que neste caso é 12) pelo denominador de cada uma das frações e o resultado da divisão vamos multiplicar pelo numerador da fração. O resultado dessa operação será escrito no numerador da nova fração, repetindo os sinais. Assim, temos:
 x 
 ÷
Agora basta efetuarmos as operações indicadas e, se for possível, simplificar os resultados. Feito isso já obtivemos o resultado da soma das duas frações.
 = 
Assim, o resultado das soma das frações indicadas é: 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa soma de frações é apresentada a seguir:
c)
Para efetuarmos a soma de frações, primeiramente devemos tirar o Mínimo Múltiplo Comum (mmc) entre os denominadores de cada uma das frações. No caso, como todos os denominadores são iguais entre si (8), não há necessidade de se calcular o m.m.c., uma vez que ele será igual ao denominador. Assim, basta somarmos os numeradores da fração e repetirmos o denominador.
Assim, temos: 
 “Neste caso simplificamos o dividindo o numerador e o denominador por 4, resultando 
d) 
	2, 5
	2
	1, 5
	5
	1, 1
	2 . 5 = 10
 
Para efetuarmos a soma de frações, primeiramente devemos tirar o Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) entre os denominadores de cada uma das frações. Neste caso, um dos números envolvidos na soma aparentemente não apresenta denominador. Porém, apesar de não estar escrito, o número 3 possui denominador igual a 1. Nesse caso, não há necessidade do número 1 participar do m.m.c. e, portanto, vamos apenas considerar o m.m.c. entre os números 2 e 5.
 
O mmc entre 2 e 5 é 10.
Agora vamos escrever o mmc no denominador da fração. Esse denominador será comum às três frações. Assim, temos:
Agora vamos dividir, separadamente, o m.m.c (que neste caso é 10) pelo denominador de cada uma das frações e o resultado da divisão vamos multiplicar pelo numerador da fração. O resultado dessa operação será escrito no numerador da nova fração, repetindo os sinais. Assim, temos:
 x 
 ÷
Agora basta efetuarmos as operações indicadas e, se for possível, simplificar os resultados. Feito isso já obtivemos o resultado da soma e subtração das três frações:
 = 
Assim, o resultado das soma das frações indicadas é: 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa soma de frações é apresentada a seguir:
Multiplicação de Frações
Para multiplicarmos duas ou mais frações numéricas, os numeradores devem ser multiplicados entre si e os denominadores também devem ser multiplicados entre si. Os resultados do numerador e do denominador devem ser simplificados sempre que for possível. 
Exemplos:
a) 
Para efetuarmos a multiplicação de frações, multiplicam-se os numeradores entre si. Esse resultado será o numerador da fração. O denominador da fração também é obtido através da multiplicação dos denominadores entre si.
→ Esse é o resultado do produto entre as frações.
 
→ Esse é 
o resultado do produto entre as frações.
Divisão de Frações
Para dividirmos duas frações numéricas, devemos manter a ordem da fração que representa o numerador entre as duas frações e devemos multiplicá-la pelo inverso da fração que se encontra no denominador entre as duas frações.
Na sequência, devemos realizar normalmente o produto entre as duas frações, lembrando sempre de fazer as simplificações possíveis.
 Efetue:
a) 
Primeiramente, vamos juntar as duas frações apresentadas e escrevê-las na forma de fração. No exemplo, 2/3 será o numerador e 5/7 será o denominador da fração.
 → Agora, vamos manter o numerador da fração (2/3) e vamos multiplicar essa fração pelo inverso da fração que está no denominador (5/7). Inverso de uma fração significa que vamos inverter o seu numerador com o seu denominador. → 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa soma de frações é apresentada a seguir:
 → Resposta
 
Primeiramente, vamos juntar as duas frações apresentadas e escrevê-las na forma de fração. No exemplo, 1/2 será o numerador e 3/5 será o denominador da fração.
 → Agora, vamos manter o numerador da fração (1/2) e vamos multiplicar essa fração pelo inverso da fração que está no denominador (3/5). Inverso de uma fração significa que vamos inverter o seu numerador com o seu denominador. → 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa soma de fraçõesé apresentada a seguir:
 = 
 → Resposta
c 
Primeiramente, vamos juntar as duas frações apresentadas e escrevê-las na forma de fração. No exemplo, 4 (que pode ser escrito na forma de fração como 4/1) será o numerador e 17/5 será o denominador da fração.
 → Agora, vamos manter o numerador da fração (4/1) e vamos multiplicar essa fração pelo inverso da fração que está no denominador (17/5). Inverso de uma fração significa que vamos inverter o seu numerador com o seu denominador. → 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa soma de frações é apresentada a seguir:
 = 
 → Resposta
 
Operações com Frações
É bastante comum precisarmos, somar, subtrair, multiplicar ou dividir duas ou mais frações entre si.
Estudamos separadamente cada uma dessas operações básicas que envolvem frações e agora vamos resolver expressões numéricas que envolvem, simultaneamente, mais de uma operação matemática básica com frações.
 
Primeiramente, vamos resolver a soma de frações que se encontra dentro dos parênteses. Assim temos:
= 
Vamos agora substituir os parênteses pelo valor que já calculamos. Assim temos:
 
Agora vamos resolver a divisão de frações. Assim, temos:
 = = 
Atenção: a resolução apresentada acima foi feita em partes para o aluno entender cada uma das etapas da resolução. Matematicamente, a resolução formal dessa expressão com frações é apresentada a seguir:
 = = → Resposta
TÓPICO 2
POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
An=A∗A∗.. .∗A 
 
A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau.
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 \ 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 \ (- 1)4 = 1
Casos Particulares
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1 = A; 21 = 2
 b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
 c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
 d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Multiplicação de Potências de Mesma Base
Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes. Realmente:
23x 22 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2) = 2 3 + 2 = 25
52 x 57 = 59 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5= 1.953.125 
Divisão de Potências de Mesmo Grau (Semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Realmente: 56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56 – 4 = 52
 54 = 5 x 5 x 5 x 5
 37 x 33 = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Multiplicação de Potências de Mesmo Grau (Semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375
Divisão de Potências de Mesmo Grau (Semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Realmente: 
83 : 23 =43 = 64
Potenciação de Potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes. Realmente: (23)2 = 23x2 = 26
 (35)2 = 310 = 59 049
Expoente Nulo 
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual à unidade. Realmente:
 a4 : a4 = a4 -4 = a0
 a4 : a4 = 1
 a0 = 1
 
 (- 5)0 = 1
Expoente Negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado à expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
 a –n = 
 Realmente: 
23 = 23 = 1 = 2-4 
 27 23x 24 24
 23 = 23-7 = 2-4 
 27 
 
5-2 = 1 = 1 = 1 
 52 5x5 25
TÓPICO 3
POTÊNCIAS DE DEZ
Em física, matemática e química utilizamos as Potências de Dez para facilitar a escrita de números muito grandes (ou muito pequenos). Em alguns casos também existe a necessidade de realizarmos operações com números representados na forma de Potências de Dez.
Existem várias maneiras de se proceder para obter a escrita de um número qualquer em potência de dez. Vamos apresentar, logo abaixo, uma dessas maneiras:
· se deslocarmos a vírgula do número decimal x casas para a direita, devemos diminuir as mesmas x casas no expoente da potência de dez;
· se deslocarmos a vírgula do número decimal x casas para a esquerda, devemos aumentar as mesmas x casas no expoente da potência de dez.
 represente os números decimais apresentados abaixo na forma de potência de dez:
a) 0,02 = Lembrando que qualquer número elevado a zero é igual a 1, podemos escrever 0,02 como 0,02 x 100, sem alterar o número original, pois o estamos multiplicando por 1.
Queremos representar esse número em potência de dez. Para isso, devemos utilizar os algarismos apresentados no número de tal forma a fazer aparecer, na frente da potência de dez, um número que seja maior que 1 e menor do que 10. Neste caso, com os algarismos apresentados, o “melhor” número que conseguimos escrever, nessas condições, é 2.
Escolhido o número, agora vamos deslocar a vírgula do número original de tal forma a chegarmos ao número escolhido. Para tanto, devemos deslocar a vírgula duas casas para a direita e, como consequência, vamos diminuir também duas casas no expoente da potência dez. Assim temos:
 0,002 x 100 = 2x10 0-2 = 2x 10-2→ esse é o número apresentado originalmente, escrito em potência de dez.
b) 1300 = Lembrando que qualquer número elevado a zero é igual a 1, podemos escrever 1300 como 1300 x 100, sem alterar o número original, pois o estamos multiplicando por 1.
Queremos representar esse número em Potência de Dez. Para isso, devemos utilizar os algarismos apresentados no número de tal forma a fazer aparecer, na frente da potência de dez, um número que seja maior que 1 e menor do que 10. Neste caso, com os algarismos apresentados, o “melhor” número que conseguimos escrever, nessas condições, é 1,300.
Escolhido o número, agora vamos deslocar a vírgula do número original de tal forma a chegarmos ao número escolhido. Para tanto, devemos deslocar a vírgula três casas para a esquerda e, como consequência, vamos aumentar (somar) também três casas no expoente da potência dez. 
Assim temos:
1300 x 100 = 1,300 0+3 = 1,3x 103→ esse é o número apresentado originalmente, escrito em Potência de Dez.
EXERCÍCIOS
1. Resolva as expressões numéricas abaixo:
a. =
b. =
c. ÷ =
d. = 
e. = 
f. =
g. = 
h. =
i. = 
j. = 
k. =
l. =
m. =
2. Resolva as operações envolvendo potências:
a. 1³ =
b. 04 =
c. (- 2)³ =
d. (- 4)³ =
e. (- 2)4 =
f. (- 4)4 = 
g. 2³ * 25 =
h. 3² * 3 * 35 =
i. 35 : 34 =
j. 34 : 3² * 35 =
k. 24 * 54 =
l. (- 3)5 * (- 5)5 =
m. 153 : 33 =
n. (- 4)6 : 26 =
o. (3³)2 =
p. (2³)5 =
q. (33)2 =
r. [ (3³)² ]² =
s. (2 * 3)³ =
t. (3² * 5 * 2)4 =
u. = 
v. =
w. =
x. (2 * 3²)0 =
y. 4-2 =
z. 2 * 3-1 =
3. Represente os números decimais apresentados abaixo na forma de potências de dez:
a. 13578000 =
b. 0,0135 =
c. 602000000000000000000000 =
d. 1000 =
e. 0,001 =
f. 55789089 =
g. 0,0000006758 =
h. 0,000000067 =
i. 123400000000000 =
j. 659 =
k. 0,00000000000000000000000000000000000000000000000056789 =
l. 21 =
m. 99900000 =
 CHECK LIST
Nessa unidade trabalhamos com as frações e as operações matemáticas envolvendo as frações. Verificamos que quando somamos ou subtraímos frações devemos determinar o mínimo múltiplo comum entre seus denominadores para depois, então, podermos efetuar essas operações. Conhecemos também as potências e suas resoluções, bem como aprendemos a determinar a potência de dez e seus valores. Assim, para compreender e efetuar os cálculos nas próximas unidades você deverá:
· aplicaras operações com frações em radicais;
· efetuar as operações com potências e potências de dez.
UNIDADE 3
RADICAIS, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
 Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá:
· realizar operações com radicais;
· realizar a racionalização de denominadores;
· resolver problemas por meio da regra de três simples;
· efetuar cálculos com porcentagens.
Plano de Estudos
Esta unidade está dividida em quatro tópicos, organizada de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos.
TÓPICO 1: RADICAIS 
TÓPICO 2: RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
TÓPICO 3: REGRA DE TRÊS SIMPLES
TÓPICO 4: PORCENTAGEM
TÓPICO 1
RADICAIS
Definição: denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
Onde: 
n - índice da raiz;
A – radicando;
 - radical.
Assim:
porque 42 = 16
 porque 23 = 8
 porque 34 = 81
Adição e Subtração de Radicais Semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
a) 3 + 5 - 10 = 8 - 10 = -2
b) + - 5 - = 9 - = 
Multiplicação e Divisão de Radicais de Mesmo Índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicando e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
a) . = = 
b) = = 
c) = = 
d) = =
Potenciação de Radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
a) 3 = =
b) 2 = = 
Radiciação de Radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
a) 
b) = 
Expoente Fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
a) = 
b) = 
c) = = 
d) = 
TÓPICO 2
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
1º Caso: o denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
a) = = = 
b) 
c) = . = = 
d) = = = = 
2º Caso: o denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.
Observação: a expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
a) = . = = = 
b) = = = = = 
TÓPICO 3
REGRA DE TRÊS SIMPLES
É um artifício matemático largamente utilizado em nosso cotidiano para efetuar cálculos de maneira rápida e simples, quando se tem três variáveis e apenas uma incógnita que apresentam uma relação direta entre si (ou seja, onde as variáveis e a incógnita são diretamente proporcionais entre si).
Basicamente, para montar uma Regra de Três Simples, deve-se montar as variáveis e a incógnita respeitando-se as suas proporções. A partir daí, a resolução matemática se torna o que popularmente chamamos de “multiplicação em cruz” ou ainda “multiplicação em x”.
Para entender e treinar a resolução de problemas matemáticos utilizando a Regra de Três Simples analise os exemplos abaixo:
1. Numa viagem, um Opala gasta 16 litros de gasolina para percorrer 140 km. Se o carro se movimentar com a mesma velocidade, quantos litros de gasolina o carro gastará para percorrer 1500 km?
Resolução: a relação entre as grandezas apresentadas é diretamente proporcional, ou seja, quanto maior for a distância percorrida, mais gasolina o carro irá gastar.
Assim, podemos resolver o problema utilizando Regra de Três Simples.
Vamos montar o problema escrevendo as grandezas iguais uma em cima da outra. A incógnita será aqui representada pela letra x. Assim temos:
	distância (Km)
	quantidade de gasolina (litros)
	140
	16
	1500
	x
A relação entre as grandezas pode ser escrita como segue: 
Para resolver, vamos “multiplicar em x” e, depois vamos isolar x. assim temos:
140 . x = 1500 . 16
X = 
X = 171, 428 litros
Resposta: o carro irá gastar 171,428 litros de gasolina para percorrer 1500 Km.
2. Considerando o exemplo anterior, se cada litro de gasolina custa R$ 2,599, qual será o valor gasto em gasolina nessa viagem?
Resolução: a relação entre as grandezas apresentadas é diretamente proporcional, ou seja, quanto mais gasolina é gasta, maior será o valor gasto na viagem.
Assim, podemos resolver o problema utilizando Regra de Três Simples.
Vamos montar o problema escrevendo as grandezas iguais uma em cima da outra. A incógnita será aqui representada pela letra x. Assim temos:
	valor gasto (R$)
	quantidade de gasolina (litros)
	2,599
	1
	x
	171,428
A relação entre as grandezas pode ser escrita como segue: 
Para resolver, vamos “multiplicar em x” e, depois vamos isolar x. assim temos:
1 . x = 2,599 . 171,428
X = 
X = 445,54 litros
Resposta: o valor gasto em gasolina na viagem será de R$ 445,54.
TÓPICO 4
PORCENTAGEM
Ao pensarmos em porcentagem, podemos entender este termo, de maneira simplificada, como sendo um termo que relaciona “uma quantidade de partes de um todo”. Isso quer dizer que, se fizermos uma compra e recebermos um desconto de 25% para pagamento à vista, significa que iremos pagar apenas 75 das cem partes possíveis.
Em geral, podemos resolver facilmente problemas simples de porcentagem utilizando a Regra de Três Simples, que já estudamos anteriormente. Para entender melhor, analise os exemplos abaixo:
 
1. Calcular 12% de R$ 1500,00.
2. Calcular 1,5% de R$ 6000,00.
3. Uma máquina de lavar roupa custa R$ 1249,90. Para pagamento à vista, a loja fornece um desconto de 6%. Qual será a economia do comprador se ele pagar à vista?
 
 
 EXERCÍCIOS 
1. Efetuar:
 =
6 =
2 =
2. Racionalizar o denominador das frações seguintes:
3. Uma Caravan gasta 19 litros de combustível para percorrer 133 Km. Quantos litros de combustível esse carro irá gastar para percorrer 882 Km na mesma velocidade?	
4. Uma torneira aberta despeja numa pia 2700 litros de água durante 90 minutos. Quantos litros de água serão despejados pela mesma torneira durante 14 minutos?
5. Num livro existem 270 páginas, cada uma delas com 40 linhas de texto. Se fossem escritas apenas 30 linhas em cada página, qual seria o número de páginas desse livro?
6. Com certa quantidade de fio, uma máquina fabrica uma peça de tecido que possui 20m de comprimento e 0,6m de largura. Utilizando a mesma quantidade de fio, qual seria o comprimento da peça de tecido se a sua largura fosse de 0,8m?
7. Numa indústria, três máquinas idênticas produzem 1350 peças metálicas em 1 hora. Se a indústria comprar mais duas máquinas iguais e colocar todas as máquinas em funcionamento, quantas peças metálicas seriam produzidas no mesmo tempo?
8. Um Opala que se movimenta com velocidade de 60 Km/h leva 7,5 horas para percorrer uma determinada distância. Para percorrer a mesma distância em 6h, qual deve ser a velocidade do carro?
9. Calcule:
a. 1,25% de R$ 600,00 =
b. 22,33% de R$ 553,12 =
c. 20,076% de R$ 3321,87 =
d. 135% de R$ 87,00 =
e. 167% de R$ 342,11 =
f. 25% de R$ 200,00 =
10. Numa compra, foram dados R$ 30 de desconto. Se o desconto fornecido era de 12%, calcule o valor que seria pago na mesma compra, sem desconto.
11. Numa compra, foram dados R$ 2200,00 de desconto. Se o desconto foi de 5%, calcule o valor que seria pago na mesma compra, sem desconto.
 CHECK LIST
Nessa unidade trabalhamos com radicais e operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação entre radicais. Verificamos também que não podemos deixar raiz no denominador de uma fração e que para resolver essa questão precisamos aplicar a racionalização de denominadores. E nos últimos dois tópicos dessa unidade, relembramos conteúdos que aplicamos muito em nosso dia a dia e que se complementam: regra de três simples e porcentagens. Assim, para compreender e efetuar os cálculos nas próximas unidades você deverá:
· resolver as operações com radicais;
· quando necessário,racionalizar denominadores;
· determinar soluções de problemas por meio da regra de três simples;
· determinar porcentagens em problemas;
· aplicar os conceitos vistos até aqui na resolução de equações.
UNIDADE 4
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá:
· realizar as operações algébricas;
· resolver equações do 1º e 2º grau.
 Plano de Estudos
Esta unidade está dividida em quatro tópicos organizados de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos.
TÓPICO 1: OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
TÓPICO 2: EQUAÇÕES
TÓPICO 3: SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (COM DUAS INCÓGNITAS)
TÓPICO 4: EQUAÇÕES DO 2º GRAU
TÓPICO 1
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
Expressões Algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
 
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
No exemplo da letra c, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
Operações com Expressões Algébricas
Soma Algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes.
 (3a²y) * (2ay) = 6a³y²
Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
 (42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
Produtos Notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles na sequência.
I. Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
 (2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
II. Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
 (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da Soma de Dois Termos por sua Diferença
O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
 (1 - * (1 + = 12 – ()2 = 1 – 3 = -2
Fatoração
Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
4ax2 + 8a2x3 + 2a3x = 2ax
) 
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
TÓPICO 2
EQUAÇÕES
Podemos chamar de Equação Matemática (ou simplesmente de Equação) a todo conjunto de números e/ou símbolos matemáticos que se encontram separados por um sinal de igual (=). Assim, toda vez que existirem elementos à esquerda e também à direita de um sinal de igual, teremos uma Equação, do ponto de vista da Matemática.
São vários os tipos de Equações que existem e cada um dos tipos de Equação pode possuir uma técnica de resolução bastante diferenciada de outra equação. Vamos abordar aqui, basicamente, dois tipos de Equação fundamentais e de grande utilização na Matemática, na Física e também na Química, que são as Equações do Primeiro Grau e as Equações do Segundo Grau.
O Grau de uma Equação matemática está diretamente associado ao maior valor do expoente que aparece nas incógnitas da equação. Assim, se o maior expoente apresentado for igual a um, ela será uma Equação do 1º Grau, se o maior expoente apresentado na incógnita for igual a dois, a Equação será do Segundo Grau e assim sucessivamente.
Equações do Primeiro Grau
As Equações do Primeiro Grau são as equações matemáticas que apresentam a resolução mais simples e rápida. Em geral, basta apenas isolarmos a incógnita da equação e descobrir o seu valor numérico.
Isolar uma incógnita significa que vamos deixar somente ela de um dos lados do sinal de igual (=) e todo o resto dos termos (números, símbolos, letras, etc.) deverão ser “deslocados” matematicamente para o outro lado do sinal de igual.
Para mudar um termo qualquer de uma equação de um lado do sinal de igual para o outro lado é necessário sempre que o termo sofra uma inversão na operação matemática, ou seja: 
· se ele está somando, passará para o outro lado da igualdade diminuindo;
· se ele está diminuindo, passará para o outro lado da igualdade somando;
· se ele está multiplicando, passará para o outro lado da igualdade dividindo;
· se ele está dividindo, passará para o outro lado da igualdade multiplicando.
Resolver uma equação significa que vamos encontrar o valor da incógnita existente na equação. A incógnita pode ser representada por qualquer letra do alfabeto, por exemplo. Os símbolos mais utilizados como incógnitas na Matemática são x, y, z, a, b, c. Mas, enfatizamos, a incógnita pode ser representada por qualquer letra do alfabeto ou por qualquer símbolo matemático que se queira.
Vamos aos EXEMPLOS para entender a técnica de resolução das Equações do Primeiro Grau.
 1) Resolva as Equações indicadas abaixo:
a) x + 3 = 2 
Esta é uma equação do 1º Grau, pois o maior expoente de x é 1.
Para resolver esta equação, devemos isolar matematicamente o valor da incógnita, que neste caso é x.
Assim o número 3 que está somando deverá passar para o outro lado, diminuindo:
X + 3 = 2 x= 2 – 3 x= - 1 RESPOSTA
A resposta obtida acima nos indica que o valor de x é igual a -1, ou seja, o valor da incógnita é igual a menos 1. Esse é o valor que satisfaz a equação acima.
Para verificarmos isso, basta substituir o valor obtido para x na equação fornecida. Assim temos:
x + 3 = 2
-1 + 3 = 2
 2 = 2 → Portanto x = -1 satisfaz a Equação.
b) x -1 = 5
Esta é uma equação do 1º grau, pois o maior expoente de x é 1.
 Para resolver esta equação, devemos isolar matematicamente o valor da incógnita, que neste caso é x.
Assim, o número 1 que está diminuindo deverá passar para o outro lado somando:
X – 1 = 5 x = 5 + 1 x = 6 Resposta
A resposta obtida acima nos indica que o valor de x é igual a 6, ou seja, o valor da incógnita é igual a 6. Esse é o valor que satisfaz a equação acima.
Para verificarmos isso, basta substituir o valor obtido para x na equação fornecida. Assim temos:
x -1 = 5
6 – 1 = 5
 5 = 5 → Portanto x = 6 satisfaz a Equação
A resposta obtida acima nos indica que o valor de x é igual a 2/7, ou seja, o valor da incógnita é igual a dois sétimos. Esse é o valor que satisfaz a equação acima.
Para verificarmos isso, basta substituir o valor obtido para x na equação fornecida. Assim temos:
10x + 6 – 3x = 8
10. + 6 -3. = 8
 + 6 - = 8
 = 8
 = 8
 = 8
8 = 8 → Portanto x = satisfaz equação. 
c) 10x + 6 – 3x = 8
Esta é uma equação do 1º grau, pois o maior expoente de x é 1.
Para resolver esta equação, devemos isolar matematicamente o valor da incógnita, que neste caso é x.
Assim, o número 6 que está somando deverá passar para o outro lado, diminuindo:
10x + 6 – 3x = 8 10x – 3x = 8 – 6 7x = 2
Agora, o número 7 que está multiplicando x deverá passar pra o outro lado dividindo.
7x = 2 
TÓPICO 3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (COM DUAS INCÓGNITAS)
Em Matemática e Física é comum possuirmos mais de umaincógnita numa equação. Nesse caso, se temos duas incógnitas, devemos ter duas equações que as envolvam simultaneamente. Se tivermos três incógnitas, devemos ter três equações que as envolvam simultaneamente e assim por diante.
Quando possuirmos duas incógnitas e duas equações que as envolvam, podemos resolver o sistema formado pelas duas equações para descobrir o valor de cada uma das incógnitas.
Em geral, podemos resolver sistemas que envolvem mais de duas equações (e, portanto, mais de duas incógnitas), porém a dificuldade cresce junto com o número de equações utilizadas.
Vamos apresentar abaixo um dos métodos que podem ser utilizados para resolver sistemas de equações com apenas duas incógnitas.
 Resolva os sistemas abaixo e encontre o valor de x e y em cada caso:
a) 
Analisando as equações separadamente, podemos perceber que a equação de cima apresenta duas incógnitas: x e y.
Analisando a equação de baixo, podemos perceber que a equação apresenta duas incógnitas também: x e y.
Como temos duas incógnitas envolvidas, devemos ter duas equações que envolvam as incógnitas x e y.
Como temos duas equações e duas incógnitas, podemos resolver um sistema que envolverá essas duas equações. Assim, poderemos calcular os valores de x e y separadamente.
Em geral, para começarmos a resolver o sistema, devemos analisar as equações para verificar se, ao somarmos as duas equações, uma das incógnitas não será anulada, desaparecendo e permitindo que se calcule o valor numérico da outra incógnita.
No exemplo dado, fica fácil perceber que se somarmos as duas equações a incógnita y será cancelada, restando apenas o valor de x para calcularmos com facilidade.
Vamos então efetuar a soma das equações que fazem parte do sistema:
Analisando as equações apresentadas, pode-se perceber que se multiplicarmos apenas a equação de cima por 6, quando somarmos as duas equações a incógnita y será cancelada. Assim, temos:
Agora que já sabemos o valor numérico de x, podemos calcular facilmente o valor de y. Para calcular y, basta escolhermos qualquer uma das equações apresentadas no exemplo e substituir o valor de x por seis. Assim, temos:
Se escolhemos a equação de cima: x + y = 10 → x = 6
 6 + y = 10 
 y = 10 – 6
Esse é o valor da incógnita y → y = 4	
Se escolhemos a equação de baixo: 2x - y = 8 → x = 6
 2.6 - y = 8 
 12 - y = 8
 -y = 8 -12
 -y = -4 → Multiplicando por (-1)
Esse é o valor da incógnita y → y = 4
Atenção: não existe a necessidade de calcular y utilizando as duas equações. Você pode utilizar a equação de cima OU a equação de baixo, pois, como vimos, as duas fornecem o mesmo resultado.
 
b) 
Analisando as equações separadamente, podemos perceber que a equação de cima apresenta duas incógnitas: x e y.
Analisando a equação de baixo, podemos perceber que a equação apresenta duas incógnitas também: x e y.
Como temos duas incógnitas envolvidas, devemos ter duas equações que envolvam as incógnitas x e y.
Como temos duas equações e duas incógnitas, podemos resolver um sistema que envolverá essas duas equações. Assim, poderemos calcular os valores de x e y separadamente.
Em geral, para começarmos a resolver o sistema, devemos analisar as equações para verificar se, ao somarmos as duas equações, uma das incógnitas não será anulada, desaparecendo e permitindo que se calcule o valor numérico da outra incógnita.
No exemplo dado, fica fácil perceber que se somarmos as duas equações a incógnita y não será cancelada. Devemos, então, utilizar um artifício matemático para forçar o cancelamento da incógnita y (ou x, tanto faz). Tal artifício constitui-se em multiplicar, separadamente, a(s) equação(ões) apresentada(as) inicialmente por um número tal que permita o cancelamento de uma das incógnitas (y, por exemplo).
Agora que já sabemos o valor numérico de x, podemos calcular facilmente o valor de y. Para calcular y, basta escolhermos qualquer uma das equações apresentadas no exemplo e substituir o valor de x por seis. Assim, temos:
Se escolhemos a equação de cima: x + y = 8 → x = 6
 6 + y = 8 
 y = 8 – 6
Esse é o valor da incógnita y → y = 2	
Se escolhemos a equação de baixo: 4x - 6y = 12 → x = 6
 4.6 - 6y = 12 
 24 - 6y = 12
 -6y = 12 -24
 -6y = -12
 y = 
Esse é o valor da incógnita y → y = 2
Atenção: não existe a necessidade de calcular y utilizando as duas equações. Você pode utilizar a equação de cima OU a equação de baixo, pois, como vimos, as duas fornecem o mesmo resultado.
 
c) 
Analisando as equações separadamente, podemos perceber que a equação de cima apresenta duas incógnitas: x e y.
Analisando a equação de baixo, podemos perceber que a equação apresenta duas incógnitas também: x e y.
Como temos duas incógnitas envolvidas, devemos ter duas equações que envolvam as incógnitas x e y.
Como temos duas equações e duas incógnitas, podemos resolver um sistema que envolverá essas duas equações. Assim, poderemos calcular os valores de x e y separadamente.
Em geral, para começarmos a resolver o sistema, devemos analisar as equações para verificar se, ao somarmos as duas equações, uma das incógnitas não será anulada, desaparecendo e permitindo que se calcule o valor numérico da outra incógnita.
No exemplo dado, fica fácil perceber que se somarmos as duas equações a incógnita y não será cancelada. Devemos, então, utilizar um artifício matemático para forçar o cancelamento da incógnita y (ou x, tanto faz). Tal artifício constitui-se em multiplicar, separadamente, a(s) equação(ões) apresentada(as) inicialmente por um número tal que permita o cancelamento de uma das incógnitas (y, por exemplo).
Analisando as equações apresentadas, pode-se perceber que se multiplicarmos a equação de cima por 2 (que é o coeficiente de y na equação de baixo) e q equação de baixo por 5 (que é o coeficiente de y na equação de cima), quando somarmos as duas equações a incógnita y será cancelada. Assim, temos:
Agora que já sabemos o valor numérico de x, podemos calcular facilmente o valor de y. Para calcular y, basta escolhermos qualquer uma das equações apresentadas no exemplo e substituir o valor de x por dois. Assim, temos:
Se escolhemos a equação de cima: 3x - 5y = 6 → x = 2
 3.2 - 5y = 6 
 6 - 5y = 6
 - 5y = 6 – 6
 y = 
Esse é o valor da incógnita y → y = 0	
Se escolhemos a equação de baixo: 2x + 2y = 4 → x = 2
 2.2 + 2y = 4 
 4 + 2y = 4
 2y = 4 - 4
 2y = 0
 y = 
Esse é o valor da incógnita y → y = 0
TÓPICO 4
 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
Onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠0).
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
Setivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
Resolvendo Equações de 2º Grau
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja:
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
 3 x² = 0 → x² = 0 → x = 0 → S = {0}
2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então:
 3 x² - 12 x = 0 → x . (3 x – 12) = 0 → x = 0 ou 3 x – 12 = 0 → 3 x = 12 → x = 4 → S = {0; 4}
3º caso: b = 0 e c ≠0; temos então:
x2 - 4 = 0 → x2 = 4 →x = ± → x’ = 2 e x” = -2
S = 
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1114, por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a igualdade:
 
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fórmulas; veja:
 tem-se duas raízes reais e diferentes;
 tem-se duas raízes reais e iguais;
 tem-se duas raízes imaginárias
 Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de segundo grau visto que o x² seria anulado.
 Resolva as Equações apresentadas abaixo, encontrando o(s) valor(es) da(s) incógnita(s):
a) 2x2 – 2x – 12 = 0
Primeiramente, vamos identificar qual é o grau desta equação. Para fazer isso, devemos verificar qual é o maior expoente das incógnitas apresentadas.
Olhando para a equação, fica fácil visualizar que o maior expoente da incógnita x é dois. Portanto, esta é uma equação do segundo grau e para resolvê-la vamos utilizar a fórmula de Bháskara.
Como já sabemos que se trata de uma equação do segundo grau, devemos agora identificar o valor dos coeficientes a, b e c que devem ser substituídos na fórmula de Bháskara.
Para fazer isso, vamos comparar a equação apresentada com a equação da forma geral, apresentada na introdução, lembrando-se de escrever o x² em baixo de x², x e o termo independente embaixo de termo independente. Assim, temos:
2x2 – 2x – 12 = 0
ax2 + bx + c = 0
Fazendo a comparação entre as equações, tomando o devido cuidado com os sinais, obtendo os seguintes valores:
a = 2;	b = -2; 	c = -12 esses são os valores que serão substituídos na fórmula de Bháskara.
Agora vamos substituir os valores de a, b e c encontrados acima da fórmula de Bháskara. Inicialmente, vamos calcular o valor de ∆, utilizando: a = 2; b = -2; c= -12. Assim, temos:
Vamos agora substituir os valores de a, b, c e ∆ na fórmula de Bháskara. Assim, temos:
 ATENÇÃO: conforme já dito, como se trata de uma Equação do Segundo Grau, podemos obter duas soluções que satisfaçam a Equação original.
Satisfazer uma Equação significa que se substituirmos a(s) resposta(s) pela incógnita na Equação, a igualdade é verificada, como mostraremos abaixo:
2x2 – 2x – 12 = 0 para x =3, temos: 2.32 -2.3 -12 = 0 
 2.9 – 2.3 -12 = 0 18 – 18 = 0 0=0
2x2 – 2x – 12 = 0 para x = -2 temos: 2.(-2)2 -2.(-2) -12 = 0 
 2.4 – 2.2 -12 = 0 12 – 12 = 0 0=0
EXERCÍCIOS
1. Efetuar:
a. 3a2 – 7ab + 4b2 – 5a2 + 3ab -4b2=
b. (3x2 – 7x2y + 3y3) – (2y3 – 8x2y + 3xy2)=
c. (7xy2) * (-8x2y) * (xy) =
d. (a+b+c) * (a-b) =
e. (x³ - 3x²y + x) * (x² - y) =
f. (6x² - 4x5 + 2x4 – 2x²) : 2x =
g. (2a²bc + 3a³b³c² - abc) : abc =
h. (x + 2)² + (3x – 3)² =
i. (3xy + 8a²)² =
j. (5ab + 3c) * (5ab – 3c) =
2. Resolva as Equações abaixo:
a. 4x – 7 = 1
b. x + 2 = 5
c. 2y – 4 = 2 
d. 2 a + 4 = - 6
e. - 2 + 5y = 13
f. x + 1 = 3
g. 2x - 3 = 8
h. 4 – 9x = 2
i. 3z - 7 = 12
j. 10 – 5x = - 6x + 8
k. 2x + 6 = - 3x + 1
l. 2y – 5 = 1 – 4y
m. 15y – 2 + 3y = 7
n. - 2 + 3x + 2 = 3
o. 6y – 1 + 2y = 7y
3. Encontrar os valores numéricos de x e de y:
4. Determine:
a. x2 – 7x + 6 = 0
b. x2 + 3x - 28 = 0
c. 3x2 – 5x + 2 = 0
d. 16x2 + 16x + 3 = 0
e. 4x2 – 16 = 0
f. 2x2 – 18 = 0
g. 3x2 = 5x 
h. 2x2 + 8x = 0
i. (2x -3)2 = (4x – 3)2
5. Determine as raízes das equações:
a. 2x2 - 3x + 1 = 0
b. x2 + x + 3 = 0
c. 2x2 - 4x + 2 = 0
 CHECK LIST
Nessa unidade estudamos as operações algébricas, bem como equações no 1º e 2º grau. Aprendemos que essas equações são muito utilizadas na Matemática, na Física e na Química. As equações de segundo grau podem também serem chamadas de quadráticas e apresentam a incógnita x com o maior expoente igual a 2 e são completas quando apresentam a seguinte representação ax 2 + bx + c = 0. Estudamos que para a resolução das equações de 2º grau completas devemos usar a fórmula de Bháskara, já para as equações incompletas podemos usar Bháskara ou aplicar outros cálculos matemáticos. 
Assim, para compreender e efetuar os cálculos nas próximas unidades você deverá:
· resolver as operações algébricas de 1º e 2º grau;
· aplicar a fórmula de Bháskara.
UNIDADE 5
INEQUAÇÕES, JUROS E LOG
Objetivos de Aprendizagem
Ao final desta unidade você deverá:
· realizar as inequações algébricas do 1º grau;
· calcular juros simples e juros compostos;
· aplicar logaritmos.
 Plano de Estudos
Esta unidade está dividida em três tópicos, organizada de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos.
TÓPICO 1: INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO 1º GRAU
TÓPICO 2: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
TÓPICO 3: LOGARITMO
TÓPICO 1
INEQUAÇÕES ALGÉBRICAS DO 1º GRAU
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau.
Símbolos de desigualdades
São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas.
Exemplos
a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6).
c) x ≤ 1 (x é menor ou igual a 1).
d) y ≥ 4 (y é maior ou igual a 4).
e) 1 < x ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a 4).
Exemplos
2x > 4
A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x.
Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:
x > 2
x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade.
Exemplos:
a. 4 – x ≤ 2
- x ≤ 2 – 4
-x ≤ -2 multiplica-se por (-1) e o sinal muda de menor igual (≤) para maior igual (≥)
x ≥ 2
b. 2x + 1 ≥ 1
2x ≥ 1 – 1
2x ≥ 0
x ≥ 
x ≥ 0
TÓPICO 2
JUROS SIMPLES 
O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos.
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:
J = C . i . n
Onde: 
J = juros
C = Capital
i = taxa
n = tempo que durou a aplicação
Exemplo
1. Um comerciante pediu a um amigo um empréstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, á taxa de juros simples de 5% ao mês (a.m). Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:
1º) em um mês, os juros são de:
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00
2º) como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar:
J = 3 x 30,00 = 90,00
Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar:
600,00 + 90,00 = 690,00
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante.
M = C + J
M = C + i. n
M = C (1 + i n)
Observação importante: a taxa deve ser sempre compatível com a unidade de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para um prazo de 60 dias adotaremos n = 2 (2 meses).
Exemplos
1. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. (ao ano), durante 125 dias.
Temos: J = C.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000 x 0,001 x 125 = R$5000,00
2. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = C.i.n 
ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = C. 0,012 . 2,5 = C. 0,030; 
Daí, vem:
C=3500 / 0,030 = R$116.666,67
3. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.C
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = C (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2C= C (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Juros Compostos
O regime de juros compostos é conhecido como “juro sobre juro”, pois o juro incide sempre no capital anterior contrário dos juros simples. As financeiras, bancos, optam pela aplicação dos juros compostos, pois há uma possibilidade maior de lucro.
Imagine a seguinte aplicação: Vamos supor que aplicamos um capital qualquer em um banco. Esse capital irá render uma taxa qualquer, assim, de período em período renderá um montante.
Veja agora como ficaria essa aplicação de período em período:
Ao término do 1º período:
Iremos resgatar o primeiro montante M1 = C + i . C
Ao término do 2º período:
Como se trata de regime de juros compostos o capital aplicado nesse segundo período da aplicação será o montante do período anterior e não o capital inicial como é feito no regime de juros simples. Portanto, o segundo montante será: M2 = M1 + i . M1.
Ao término do 3º período:
Seguindo a mesma regra do segundo período teremos: M3 = M2 + i . M2.
Com a aplicação nesses três períodos obtivemos três fórmulas:
M1 = C + i . C M2 = M1 + i . M1
M3 = M2 + i . M2
Colocando os termos em evidência teremos:
M1 = C (1 + i) M2 = M1 (1 + i) M3 = M2 (1 + i)
Substituindo o montante 1 no segundo montante os termos:
M2 = C (1 + i) (1 + i)
M2 = C (1 + i)2
Substituindo o montante 2 no terceiro montante os termos:
M3 = C (1 + i)2 (1 + i)
M3 = C (1 + i)3
Se seguirmos essa sequência veja as aplicações seguintes:
Ao término do 4º período:
M4 = C (1 + i)4
Ao término do n-ésimo período:
Mn = C (1 + i)n
Então, para fazermos o cálculo do montante do juro compostos, utilizamos a seguinte fórmula:
► Ao final do n-ésimo período:
Mn = C ( 1 + i )n
Exemplo 1
Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a. m a juros compostos.
· O montante, ao final de 3 meses, é dado por:
M3= 400 (1 + 0,02)3 = 400 . 1,061 = 424,48 
· Ao final de 6 meses:
M6 = 400 ( 1 + 0,02)6 = 400 . 1,126 = 450,46
· Ao final de 1 ano ( 12 meses):
M12 = 400 ( 1 + 0,02) 12 = 400 . 1,26 = 507,29
TÓPICO 3
LOGARTIMO
Sejam a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b, o expoente real x ao qual se eleva b para obter a. 
 Portanto, se logb a = x então bx = a, em que a > 0, b > 0 e b ≠ 1. 
Exemplos
1) log5 25 = 2, pois 52 = 25
2) log2 64 = 6, pois 26 = 64 
 Obs.: por convenção, omite-se a base quando a mesma é igual a 10. Ou seja, log10 x = log x. 
Para que logb a = x faça sentido, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1 e a > 0. A essas restrições chamamos condições de existência dos logaritmos: 
 1 ≠ b > 0 ⇒ bx > 0 ⇒ a > 0 
Por exemplo: 
• log (–100), pois não existe x tal que 10x = –100 
• log1 36, pois não existe x tal que 1x = 36 
Consequências da Definição
Dados x, b, a > 0 e a ≠ 1.
· Loga 1 = 0, pois a0 = 1
· Loga a = 1, pois a1 = a
· Loga am = m, pois am = am
· alogab = b
· loga x = loga b → x = b
 
EXEMPLOS
1. log 625 (lê –se log de na base 625)
Fatorar:
	625
	5
	125
	5
	 25
	5
	 5
	5
	 1
	
 54
625 x = 
 (54)x = 51/2 → 4x = 1
 2
 X = 1
 8
2. A soma de log28 + log216 =
log28 = x log216 = x
2x = 8 2x = 16
2x =23 2x =24
x = 3 x = 4
3 + 4 = 7
3. Qual o valor da expressão log525 + log381 =
Log525 = x log381 = x
5x = 25 3x = 81
5x =52 3x =34
x = 2 x = 4
2 + 4 = 6
EXERCÍCIOS
1. Resolver as seguintes inequações:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
2. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
3. Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
 
4. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
5. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado por meio de capitalização simples?
6. Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado. 
7. Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento?
8. Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente? 
9. Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação.
10. Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado a taxa de juros de 5% ao mês. Após um semestre, qual foi o montante?
11. O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado a taxa de juros simples de 36% a.a. Após quatro meses, qual é o valor do montante? 
 
12. Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado?
13. Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? 
14. Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
15. Se certo capital for aplicado por um único período a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento?
16. Um aparelho DVD Player custa à vista R$ 250,00. Se pago sem entrada em 6 prestações mensais a uma taxa de juros de 3% a.m., qual será o valor de cada prestação mensal?
17. A expressão log 2 16 – log4 2 é igual a: 
a. ½ 
b. 3/2 
c. 1 
d. 2 
e. 2/3 
18. O valor da expressão log2 64 – log3 27 é igual a:
a) 3                        d) 31
b) 13                      e) 37
c) 17
19. O valor da expressão log216 – log432 é igual a:
a) 3/2                        d) 31
b) 13                      e) 37
c) 17
20. Calcule:
a. 
b. 
c. 
d. 
21. Calcule o valor de x:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 CHECK LIST
Nessa unidade estudamos as inequações algébricas do 1º grau e verificamos a importância do cálculo de juros simples e juros compostos. Aprendemos também a definição e o cálculo de logaritmos, bem como suas propriedades. Assim, para compreender e efetuar os cálculos nas próximas disciplinas que irão precisar destes conceitos você deverá:
· resolver as inequações algébricas;
· fazer os cálculos utilizando juros simples e juros compostos e aplicar no seu dia a dia em compras e aplicações que utilizem esse tipo de juros;
· e, por último, realizar cálculos utilizando logaritmos que serão importantes em alguns problemas de eletricidade.
GABARITO COMENTADO
UNIDADE 1 
Questão 1
	a.
	V - Todo número inteiro é racional.
	b.
	V - É um número com vírgula, por isso decimal; então é um número racional.
	c.
	V - É uma dízima periódica, por isso é um número racional.
	d.
	F - É um número inteiro e negativo, por isso é classificado como natural.
Questão 2
a. 2 + 3 = 5
Lembrando que para realizar as somas e as subtrações precisamos colocar vírgula embaixo de vírgula.
b. 103,0
 +33,1
 136,1
c. 2,2
+ 3
 0,4
 5,6
d. 1,667
+ 0,0095
 56,7 ____
 58,3765
Questão 3
Na subtração sempre o número maior deve ficar na parte superior daconta.
a. 71
- 5
 66
b. 5
- 0,1
 4,9
c. 7,09
- 1,115
5,975
d. 23,995
- 3,041
 17,91_
 3,044
Questão 4
Observação: os pontos (.) representam sinais de multiplicação.
	a.
	28
	b.
	3,6
	c.
	30
	d.
	90
	e.
	62,608
Questão 5
	a.
	6
	b.
	2,5
	c.
	0,5
	d.
	4
	e.
	1
	f.
	1,05
Questão 6
	a.
	255,23
	b.
	11,1
	c.
	6,72
	d.
	2,34
	e.
	0,06/1,2 = 0,05
Questão 7
De acordo com a regra: primeiro resolvemos o que está dentro dos (parênteses), segundo dentro dos [colchetes] e por último dentro das {chaves}.
E quanto às operações: primeiro multiplicação e divisão, depois soma e subtração, respeitando a ordem que aparece na expressão. Exemplo: se dentro do colchetes aparecer uma divisão e uma multiplicação, inicialmente vou resolver o que vem primeiro, neste caso a divisão.
a. 80 + { 5 + [ ( 8 + 12 ) + ( 13 + 12 )] + 10 } =
80 + { 5 + [ ( 20 ) + ( 25 )] + 10 } =
80 + { 5 + [45] + 10 } =
80 + { 60 } = 140
b. 58 + [ 48 – ( 31 – 10 ) + 15 ] =
58 + [ 48 – ( 21) + 15 ] =
58 [ 42 ] = 100
c. 38 – { ( 51 – 15 ) + [ 5 + (3 – 1 ) ] – 10 } =
38 – { 36 + [ 5 + 2 ] – 10 } =
38 – { 36 + [ 7 ] – 10 } =
38 – { 33 } = 5
d. [9 + (585 – 15 x 6)] ÷ 56 =
Vamos resolver primeiro os parênteses, dentro dele temos: subtração e multiplicação; dentre eles resolvemos primeiro a multiplicação e depois a subtração:
[9 + (585 – 90)] ÷ 56 =
[9 + (495)] ÷ 56 = resolver o colchetes
 504÷ 56 = 9
e. [30 – (17 – 8) x 3 + 25] ÷ 7 =
 [30 – 9 x 3 + 25] ÷ 7 =
[30 – 27 + 25] ÷ 7 =
28 ÷ 7 = 4
f. {[(8 x 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) x 3] x 2 – (19 – 7) ÷ 6} x 2 + 12 =
{[(32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) x 3] x 2 – 12 ÷ 6} x 2 + 12 =
{[ 35÷ 7 + 6 x 3] x 2 – 12 ÷ 6} x 2 + 12 =
{[ 5 + 18] x 2 – 12 ÷ 6} x 2 + 12 =
 {23 x 2 – 12 ÷ 6} x 2 + 12 =
 {46 – 2} x 2 + 12 =
 {44} x 2 + 12 =
88 12 = 100
g. {[(6 x 4 x 7) ÷ 3 + 9] ÷ 5} x 13 =
{[168 ÷ 3 + 9] ÷ 5} x 13 =
{[56 + 9] ÷ 5} x 13 =
{65 ÷ 5} x 13 =
13 x 13 = 169	
Questão 8	
	a.
	2 + 3 – 1 = 5 -1 =4 Dica: some os números positivos e diminuia do número negativo. 
	b.
	-2 – 5 + 8 = -7 + 8 =1 Dica: some os números negativos e diminua do número positivo.
	c.
	-1 – 3 – 8 + 2 – 5 = -17 + 2 = - 15 Dica: some os números negativos e diminua do número positivo.
	d.
	2 * - 3 = - 6 Dica: multiplicação de sinais diferentes (+ * - = -) resulta em sinal negativo. 
	e.
	(-2)* (-5) =10 Dica: multiplicação de sinais iguais (- * - = +) resulta em sinal positivo.
	f.
	(-10) * (-1) = 10 Dica: multiplicação de sinais iguais (- * - = +) resulta em sinal positivo.
	g.
	(-1) * (-1) *(-2) = (+ 1) * (-2) = -2 Dica: inicialmente faça a primeira multiplicação e posteriormente a segunda, aplicando as regras de sinais.
	h.
	-2 Dica: divisão de sinais diferentes (+ /- = -) resulta em sinal negativo.
	i.
	-4 Dica: divisão de sinais diferentes (- /+ = -) resulta em sinal negativo.
	j.
	4 Dica: divisão de sinais iguais (- * - = +) resulta em sinal positivo.
	k.
	 = -2 Dica: primeiro realize a multiplicação no numerador e depois realize a divisão, obedecendo a regra dos sinais.
	l.
	 = -15 Dica: primeiro resolva as operações dentro dos parênteses, depois resolva a multiplicação do numerador e por último a divisão, obedecendo a regra dos sinais.
	m.
	 = -1 Dica: resolva as operações dentro dos parênteses, respeitando a regra. Primeiro resolva a multiplicação e depois a soma e a subtração do numerador e por último a divisão, obedecendo a regra dos sinais.
	n.
	Dicas: conforme exercício 7.
2 { 2 – 2 [ 2 – 4 ( 3 * 2 : 3) + 2] }+ 1 = quando não houver sinal da operação entre o número e os símbolos é porque está multiplicando.
2{ 2 – 2 [ 2 – 4 ( 6 : 3) + 2 ] } + 1 = 
2{ 2 – 2 [ 2 – 4 ( 2) + 2 ] }+ 1 = 
2{ 2 – 2 [ 2 – 8 + 2 ] } + 1 = 
2{ 2 – 2 [ – 8 + 4 ] } + 1 = 
2{ 2 – 2 [ –4 ] } + 1 = 
2{ 2 + 8 } + 1 = 
2{ 2 + 8 } + 1 = 
210 + 1 =
20 + 1 = 21
	o.
	8 - { -20[(-3 + 3) : ( - 58)] + 2 (-5)} = 
8 - { -20[(0) : ( - 58)] + 2 (-5)} = 
8 - { -20 [0] + 2 (-5)} = 
8 - { 0 + 2 (-5)} = 
8 - { 0 + -10} = 
8 - { -10} = 8 + 10 = 18
	p.
	0,5 * 0,4 : 0,2 = 1 
Dica: quanto a operação possuir multiplicação e divisão, resolva a operação que aparece primeiro, neste caso se resolve primeiro a multiplicação e depois divisão.
	q.
	0,6 : 0,03 * 0,05 = 1
Dica: quando a operação possuir multiplicação e divisão, resolva a operação que aparece primeiro, neste caso se resolve primeiro a divisão e depois multiplicação.
	r.
	5 : 10 = 0,5
	s.
	3 : 81 * 0,5 = 0,01851852 Dica: quando a operação possuir multiplicação e divisão, resolva a operação que aparece primeiro, neste caso se resolve primeiro a divisão e depois multiplicação.
Questão 9
a. mmc entre
	45,12,10
	2
	45, 6, 5
	2
	45, 3, 5 
	3
	15, 1, 5
	3
	 5, 1, 1
	5
	 1, 1, 1
	2.2.3.3.5 =180
b. mmc entre
	5, 15, 18
	2
	5, 15, 9
	3
	5, 5, 3 
	3
	5, 5, 1
	5
	1, 1, 1
	2.3.3.5 =90
c. mmc entre
	16, 70
	2
	 8, 35
	2
	 4, 35
	2
	 2, 35
	2
	 1, 35
	5
	 1, 7
	7
	 1, 1
	2.2.2.2.5.7 = 560
d. mmc entre
	30, 40, 180
	2
	15, 20, 90
	2
	15, 10, 45 
	2
	15, 5, 45
	3
	 5, 5, 15
	3
	 5, 5, 5
	5
	 1, 1, 1
	2.2.2.3.3.5 = 360
e. mmc entre
	30, 150, 200
	2
	15, 75, 100
	2
	15, 75, 50 
	2
	15, 75, 25
	3
	 5, 25, 25
	5
	 1, 5, 5
	5
	 1, 1, 1
	2.2.2.3.5.5 = 600
UNIDADE 2
Questão 1
Neste exercício vamos resolver as expressões com frações, neste caso para fazer a soma e a subtração dessas frações, o denominador deve ser igual, quando não for achamos o mínimo múltiplo comum. 
Para as multiplicações de frações é mais fácil apenas multiplicarmos numerador com numerador e denominador com denominador. Já para a divisão de frações temos que transformar essa divisão em multiplicação, para isso devemos inverter a segunda fração e proceder a multiplicação.
a. = = = = = simplifica (dividi) o numerador e o denominador por 24 =
b. = = . = = 
c. ÷ = ÷ = = = = simplificamos por 12 = 
d. = 
e. = = simplifica por 3 = 
f. = = simplificando por 2 = 
g. = = 
h. = =
i. = . . =
j. = = = 4
k. = = = = simplifica por 4 = 
l. = = = = 
m. = = = = = = = = = simplifica por 2 = 
Questão 2
	a. 1³ =
	1
	b. 04 =
	0
	c. (- 2)³ =
	-8
	d. (- 4)³ =
	-64
	e. (- 2)4 =
	16 
	f. (- 4)4 = 
	256
	g. 2³ * 25 =28
	256
	h. 3² * 3 * 35 = 38
	6561
	i. 35 : 34 = 31
	3
	j. 34 : 3² * 35 = 3² * 35 = 37 =
	2187
	k. 24 * 54 = 104 =
	10000
	l. (- 3)5 * (- 5)5 = 155 =
	759375
	m. 153 : 33 = 53 =
	125
	n. (- 4)6 : 26 = - 26 =
	64
	o. (3³)2 = 36 =
	729
	p. (2³)5 = 215 =
	32768
	q. (33)2 = 36
	729
	r. [ (3³)² ]² = 312=
	531441
	s. (2 * 3)³ = 63
	216
	t. (3² * 5 * 2)4 =38 * 54 * 24 =
	65610000
	u. = =
	12,86...
	v. = = =
	0,00001505...
	w. = = = =
	0,74
	x. (2 * 3²)0= . =
	1
	y. 4-2 = = =
	0,0625
	z. 2 * 3-1 =2. = =
	0,6666
Questão 3
Dica: para transformar os números decimais em potência de base 10, vamos seguir a regra, apenas desta disciplina, para que todos os resultados fiquem iguais: 
· quando o número for muito grande, como na letra “a” 13578000 = vamos colocar a vírgula no primeiro número inteiro: 1,3578 x 10, o expoente é definido contando as casas entre as vírgulas 1,3578000, então, 1,3578 x 107;
· quando o número for muito pequeno, como na letra “b” 0,0135 = vamos novamente seguir a regra da disciplina, colocando a vírgula no primeiro número inteiro 1,35 x 10; contamos as casas entre as vírgulas para definir o expoente 0,01,35, então ficamos assim: 1,35 x 10-2 e como o número é muito pequeno o expoente é negativo.
	a.
	1,3578 x107
	b.
	1,35 x10-2
	c.
	6,02 x 1023
	d.
	1 x 103
	e.
	1 x 10-3
	f.
	5,5789089 x 107
	g.
	6,758 x 10 -7
	h.
	6,7 x 10-8
	i.
	1,234 x1014
	j.
	6,59 x 102
	k.
	5,6789 x 10-49
	l.
	2,1 x 101
	m.
	9,99 x 107
UNIDADE 3
Questão 1
	a.
	9√5 Quando as raízes forem iguais, faz-se as operações com os coeficientes e se mantem a raiz.
	b.
	 n
 
 + - = Corta-se a raiz quadrado com expoente ao quadrado