Apostila matematica aplicada

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA APLICADA
Jerônimo Becker Flores
2MATEMÁTICA APLICADA
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Jaqueline Boeira
Revisora
Luana dos Reis
NÚMEROS REAIS 3
Conjuntos numéricos 4
Representação dos números reais 7
Ordem na reta e a notação de intervalo 8
Operações com números reais 9
Operações com frações 10
Potenciação 11
Síntese do Capítulo 18
Exercícios - Capítulo 01 19
TÓPICOS EM ÁLGEBRA 20
Sistemas de equações 27
Fatoração 30
Síntese do Capítulo 34
Exercícios - Capítulo 02 35
FUNÇÕES E SUAS APLICAÇÕES 36
Aspectos gerais sobre funções 37
Funções do Primeiro grau 41
Funções do segundo grau ou quadrática 46
Síntese do Capítulo 49
Exercícios - Capítulo 03 50
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 52
DIFERENCIAL 52
Derivadas 53
Regras de derivação 54
Outras regras de derivação 58
Derivadas de ordem superior 60
A interpretação geométrica da derivada 61
Síntese do Capítulo 66
Exercícios - Capítulo 04 67
GABARITO 68
REFERÊNCIAS 69
3MATEMÁTICA APLICADA
NÚMEROS 
REAIS 
Os números são organizados em conjuntos, 
chamados conjuntos numéricos, e as 
operações em cada um deles ocorrem de 
maneiras distintas. 
Neste capítulo estudaremos alguns aspectos pertencentes à 
Matemática Básica. Possivelmente você já os estudou em outras 
oportunidades. No entanto, iremos retomá-los, procurando dar 
um contorno de aplicações, para que você consiga visualizá-los 
na prática e também constituir uma base conceitual para os 
próximos capítulos. 
Podemos entender o número como uma construção do homem, que partiu da 
sua necessidade de contar, medir ou ordenar. Seja na ciência, seja no nosso 
cotidiano, estamos constantemente utilizando números, sendo essencial 
compreendermos as suas operações e propriedades. 
4MATEMÁTICA APLICADA
Pensar nos números reais nos remete à Babilônia, ao Egito 
Antigo, à Grécia e a Itália renascentista, só para nos atermos 
a alguns exemplos. Ao longo do tempo, as necessidades do 
homem foram gradativamente se modificando, e os números 
acompanharam tais modificações, passando por sucessivos 
processos de redimensionamentos. Um exemplo nesse sentido 
foi a inclusão do conjunto dos números irracionais. Dewdney 
(2000) esclarece que os seguidos de Pitágoras acreditavam que 
as medidas podiam ser representadas exclusivamente por nú-
meros inteiros, por razões. O cálculo da diagonal um quadrado 
de lado 1, por exemplo, demonstra o equívoco dessa ideia, uma 
vez que resulta em √2 , um número que não é inteiro e também 
não pode ser representado com uma razão.
Conjuntos numéricos
Distintas coisas podem ser agrupadas em conjuntos, como 
por exemplo, pessoas, animais, livros, etc. De um modo geral, 
os elementos da composição guardam uma semelhança entre si. 
Na matemática, eles são representados por uma letra maiúscula 
e são escritos entre chaves (BIANCHINI; PACCOLA, 1998).
Conjunto vazio e unitário
BIANCHINI e PACCOLA (1998) argumentam que o 
próprio nome sugere a ideia de conjunto unitário e vazio, sendo 
o unitário aquele que possui um único elemento e vazio aquele 
que não tem elementos.
Exemplos:
I. Conjunto dos números primos pares é um conjunto 
unitátio: {2}
II. Conjunto dos números primos entre 8 e10 é um conjunto 
vazio que pode ser representado por { } ou 0. 
Podemos entender um conjunto como uma coleção ou
classe de elementos.
5MATEMÁTICA APLICADA
Conjunto universo 
“Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais 
se deseja trabalhar chama-se conjunto universo, e é geralmen-
te representado pela letra U.” (BIANCHINI e PACCOLA, 
1998, p. 3) . 
Subconjuntos
Podemos dizer que um conjunto A é subconjunto de um 
conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de 
B. Dizemos então que A B ( lemos A está contido em B).
Figura 1: conjuntos. Fonte: do autor.
Operações com conjuntos 
Diferença entre conjuntos
 Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} e B= {2,5,7,10}. Para 
fazer A-B consideramos os elementos de A e retiramos aqueles 
que são comuns ao conjunto B. Logo A-B={4,6,8} e chamamos 
de diferença entre A e B. 
Intersecção de conjuntos 
Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} e B= {2,5,7,10}. A 
intersecção entre os conjuntos consiste nos elementos que per-
tencem a ambos conjuntos. Logo A B = {2,10}.
Reunião de conjuntos (União de conjuntos) 
Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} e B= {2,5,7,10}. A união 
entre os conjuntos consiste na totalidade dos elementos per-
A
B
a ⊂ b
A
B
a ⊄ b
6MATEMÁTICA APLICADA
tencentes aos dois conjuntos. Não devemos escrever elementos 
repetidos. Logo A B = {2,4,5,6,7,8,10}. 
Calculando o número de elementos de um conjunto 
Em muitas situações, especialmente quando recebemos 
uma grande quantia de dados, se faz necessário separar-mos 
os elementos de cada grupo. Para isso, utilizamos a fórmula:
n(AUB)= n(A)+n(B) - n(A B)
Em que:
n (AUB) é o número de elementos de A união com B.
n(A) é o número de elementos de A.
n (B) é o número de elementos de B.
n(A B) é o número da interesecção de A com B.
Exemplos:
1. Observe o diagrama abaixo. Identique o número de 
elementos de cada conjunto.
n(AUB)= n(A)+n(B) - n(A B)
n(AUB)= 5 + 4 – 2 = 7
Ou seja A={ 1,2,3,4,5}
B = { 3,5,6,8}
AUB= { 1,2,3,4,5,6,8}
2. Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um 
trabalho sobre ecologia. O professor havia indicado dois 
livros sobre o assunto A e B. O livro A foi consultado 
por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. Se cada aluno 
consultou pelo menos um livro, pergunta-se: quantos 
consultaram os dois livros? Quantos consultaram apenas 
o livro A? 
7MATEMÁTICA APLICADA
n(AUB)= n(A)+n(B) - n(A B)
48 = 26 + 28 - n(A B)
48 = 54 - n(A B)
n(A B) = 6 
Conclusão:
• Os livros A e B foram consultados por 6 alunos.
• Se 26 alunos consultaram o livro A e 6 consultaram 
também o B, o número de alunos que consultou apenas 
o livro A é 26 – 6= 20.
Representação dos números reais
Número real é todo aquele que pode ser escrito na forma 
decimal. Assim como os objetos com alguma similaridade 
entre si podem ser reunidos numa coleção, os números com 
características semelhantes também são agrupados em conjun-
tos (DEMANA et al., 2013). O conjunto dos números reais 
apresenta vários subconjuntos como veremos a seguir:
Assim podemos concluir que o conjunto dos números reais 
é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos 
racionais. Destacamos que raízes de índice não pertencem ao 
conjunto dos números reais. 
Conjunto dos números naturais: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
Conjunto dos números inteiros: Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 
, 2, ... }
Conjunto dos números racionais: são aqueles que podem 
ser expressos na forma a/b, em que a e b são inteiros quaisquer, 
com b diferente de 0.
Conjunto dos números irracionais: são aqueles que não 
podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b dife-
rente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas. 
8MATEMÁTICA APLICADA
Ordem na reta e a notação de intervalo
Demana et al. (2013) justificam que o conjunto dos nú-
meros reais é ordenado, o que significa dizer que existe a pos-
sibilidade de comparação entre os números reais utilizando-se 
desigualdades.
Alguns termos comunentes utilizados: 
Denominador: a parte “de baixo” de uma fração. 
Equação: é uma sentença aberta matemática em que existe 
uma igualdade entre duas expressões algébricas. 
Fração: parcela, parte de um todo. 
Função: relação entre dois conjuntos numéricos. 
Numerador: a parte de “cima” de uma fração.
Número primo: todo número que apresenta apenas dois 
divisores sendo um e ele mesmo.
Racionalização de denominadores: processo que consisteem tornar um denominador irracional em racional sem alterar 
o valor numérico de uma fração.
Símbolo Definição Leitura
a > b a- b é positivo a é maior que b
a < b a-b é negativo a é menor que b
a ≥ b a-b é positivo ou zero a é maior ou igual a b
a ≤ b a-b é negativo ou zero a é menor ou igual a b
Quadro 1: desigualdades. Fonte: Demana et al. (2013).
9MATEMÁTICA APLICADA
Operações com números reais
Generalidades sobre frações
Fração é uma forma de representação de uma quantidade, 
a partir de um valor que foi dividido em partes. Sodré (2010) 
pondera que cerca de 3.000 anos antes de Cristo os antigos 
egípcios já realizavam a marcação e a divisão de suas terras às 
margens do Rio Nilo com o uso de frações. Graças ao fato das 
porções de terras raramente serem exatas, aquela civilização 
sentiu a necessidade de utilizar recursos para a divisão em partes.
Exemplos:
1. Um funcionário deve trabalhar 30 horas semanais. Em 
função do acúmulo e tarefas ele precisou fazer 12 horas 
extras nesta semana. Qual é a fração que representa o 
que ele trabalhou a mais do previsto? 
 é a fração, sendo que o total deve ser representado na 
parte de baixo (denominador) e a parcela na parte de cima 
(numerador). Entretanto, podemos simplificar a fração 
conforme segue:
Logo, podemos concluir que o funcionário trabalhou 2/5 
além do previsto.
2. A empresa “Teste 123 implementos” realizou um proces-
so seletivo com 180 candidatos para a vaga de vendedor, 
sendo relevante o fato do candidato falar outro idioma. 
O setor de RH observou que como segunda língua, 2/5 
falam inglês, 2/9 falam francês, falam 1/3 espanhol e 
o restante alemão. Qual é o número de candidatos que 
fala alemão?
Inglês = 
Francês = 
Espanhol = 
Alemão = 
10MATEMÁTICA APLICADA
3. José recebe um salário de R$ 1.500,00. Ele tem direito 
a receber 1/3 do valor do seu salário como bonificação 
de férias. Encontre o valor da bonificação:
O contexto dos números racionais nos apresenta uma série 
de operações, com as suas regras e propriedades específicas. É 
muito importante que tenhamos conhecimento de como elas 
funcionam, pois diversas situações do cotidiano se apresentam 
como frações.
Operações com frações
Soma e subtração
Exemplo:
O primeiro passo consiste em converter todas as frações 
ao mesmo denominador. Para isso devemos efetuar o mínimo 
múltiplo comum dos denominadores, que no nosso exemplo 
será m.m.c. (3, 5, 13): 195. Portanto todas as frações terão o 
denominador comum 195.
Na sequência devemos calcular o “novo” numerador de cada 
fração. Para isso dividimos 195 pelo seu denominador atual 
e após multiplicamos o resultado encontrado pelo numerador 
original:
Para 1/3 temos que: 195: 3. 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195
Para 2/5 temos que: 195: 5. 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195
Para 3/13 temos que: 195: 13. 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195
Deste modo encontramos três frações equivalentes às fra-
ções originais sendo que todas com o mesmo denominador. 
Agora basta efetuar o cálculo do numerador e simplificar o 
resultado, caso seja possível:
11MATEMÁTICA APLICADA
Multiplicação
Para realizarmos a multiplicação ou produto de frações, 
devemos multiplicar os numeradores entre si, fazendo-se o 
mesmo em relação aos seus denominadores e simplificar o 
resultado quando for possível.
Exemplo:
Perceba que independentemente de os denominadores 
serem todos iguais ou não, iremos simplesmente realizar a 
multiplicação: 
Divisão 
Devemos efetuar a inversão das frações divisoras, trocan-
do-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se 
então a multiplicação das novas frações.
Exemplo:
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação, 
em que temos an=a.a.a.a…a em que a é a base e n o número de 
vezes que a base deve ser considerada. Cálculos de área, volumes 
e juros compostos são algumas das aplicações da potenciação.
Potenciação
Exemplos:
1. 
2. 
3. 
12MATEMÁTICA APLICADA
Propriedades das potenciações
A seguir veremos algumas propriedades da potenciação. 
Base 1: quando a potência tiver base 1, o resultado será 
igual a 1. 
Exemplos:
16=1
110=1
Potência 1: potências de expoente 1 tem resultado igual 
à base. 
Exemplos: 
61=6
81=8
x1=x
Potência de bases iguais: 
Multiplicação de base igual: conservamos a base e so-
mamos o expoente. 
Exemplos: 
32.35= 37
53.59=512 
Divisão de base igual: conservamos a base e diminuímos 
o expoente. 
Exemplos:
23:21=2²
613:6-2=615
Potência de expoentes iguais: multiplicamos as bases e 
conservamos o expoente comum.
Exemplo: 
33.23=(3.2)3=63=216
Potência da potência: basta multiplicarmos os expoentes. 
(33 )2= 36
Expoente de base zero: Quando a base de nosso expoente 
é zero o resultado será sempre zero para qualquer valor que 
seja colocado no expoente com exceção do zero. 
Exemplos:
08=0
045=0
0-1=indefinido
00= indeterminado
13MATEMÁTICA APLICADA
Base negativa: devemos observar o expoente. O expoen-
te par produz um resultado positivo, um expoente ímpar um 
resultado negativo.
Exemplos:
1. (-12)2=+144
2. (-3)3=-27
Expoente negativo: devemos trocar o numerador pelo 
denominador da fração e resolver o cálculo. 
Exemplos: 
1. 
2. 
Aplicações
Volume de um cubo 
Como exigência para prevenção de incêndios a empresa 
“JBF plásticos” construiu um reservatório de água no forma-
to de um cubo, com 4 metros de aresta. Qual é o volume do 
reservatório? 
Figura 2: cubo. Fonte: do autor.
Volume: 43=4.4.4=64 m³
 Vale a pena lembrar que 1 m³ corresponde a 1.000 litros 
de água, ou seja no reservatório cabem 64.000 litros de água. 
Obs. Esta relação só é válida para a água, outros líquidos se 
comportam de outra maneira em função de suas propriedades, 
especialmente a densidade.
Juros compostos 
Segundo Gimenes (2009, p.25), no regime de juros com-
postos, os juros incidem sobre o capital, sendo o valor inicial 
14MATEMÁTICA APLICADA
corrigido a cada período. É o que as pessoas chamam de “ juros 
sobre juros”, ou seja, a nova correção ocorre sobre o valor já 
corrigido. 
Fórmula 
FV=PV.(1+i)n
Em que: 
FV= Futuro valor. Também chamado de montante, 
é o total que será recebido. 
PV= Presente Valor. É o capital inicial.
i= taxa.
n= número de períodos financeiros.
Exemplos 
1. Você faz um empréstimo de R$ 1.000,00 em uma insti-
tuição financeira que lhe cobra 10% ao mês de taxa. O 
regime é o de juros compostos, e o prazo são 8 meses. 
Encontre o total que você irá pagar:
FV:1000.(1+0,1)8
FV:1000.(1,1)8=R$ 2.143,59
Conhecer as propriedades das potenciações é indispensável 
para que possamos realizar cálculos e percebermos com maior 
clareza as aplicações. Em muitos momentos, as propriedades 
também servem para a otimização dos cálculos, promovendo 
simplificações e ajustes.
Notação científica 
Quando queremos representar quantidades muito grandes 
ou muito pequenas, podemos utilizar a potenciação para es-
crevê-lo de outra maneira. 
Exemplos: 
1. A distância entre dois planetas é de 180 milhões de 
quilômetros (180.000.000). Esse número pode ser 
expresso como 1,8x108.
2. A dimensão de uma partícula é de 0, 000.000.0008 
cm. Esse número pode ser expresso por 8x10-10. 
Radiciação 
Na perspectiva de Demana et al. (2013), se b²=a, então b 
é a raiz quadrada de a. Assim, -3 e 3 são raízes quadradas de 
FV: ? PV: R$1.000,00 i: 10% n: 8 meses
15MATEMÁTICA APLICADA
9, uma vez que (-3) ²=(3) ²=9. Do mesmo modo, se b³=a, então 
b é a raiz cúbica de a. Assim, 3 é a raiz cúbica de 27 pois 3³=27. 
O autor ainda enfatiza que seja , se n for ímpar qualquer 
número apresenta uma única raiz enésima. Se n for par os nú-
meros reais positivos apresentam duas raízes enésimas.
Operações com radicais 
Expoente fracionário 
Temos a possibilidade de converter o radical em um ex-
poente fracionário e vice-versa. 
Exemplos: 
1. 
2. 
Raiz de um produto 
A raiz de um produto é dada pelo produto das raízes. Para 
fazer o produto de radicais é preciso que eles tenham o mesmo 
índice no radical ou o mesmo radicando. 
Exemplo: 
1. 
 
Raiz doquociente 
A raiz de um quociente é dada pelo quociente das raízes. 
Para fazer o quociente de radicais é preciso que eles tenham o 
mesmo índice no radical ou o mesmo radicando.
Exemplo:
1. 
Adição e subtração
A adição e subtração de radicais só é possível quando são 
semelhantes. Devemos colocar os radicais em evidência e somar 
apenas a parte racional. 
Exemplos: 
1. 
2. 
16MATEMÁTICA APLICADA
Racionalização de denominadores 
É um recurso matemático com o intuito de transformar 
o número irracional do denominador de uma fração em um 
número racional sem alterar o seu valor numérico. 
Exemplos: 
1. 
Perceba que o processo matemático consistiu em multiplicar 
o numerador e o denominador da fração por √5.
2. 
Perceba que multiplicamos numerador e denominador por 
, com a intenção que o próximo passo produzisse, 
possibilitando assim a extração do radical do denominador.
3. 
Perceba que multiplicamos numerador e denominador pelo 
mesmo termo, porém com o sinal do meio trocado. Isso possi-
bilita uma simplificação que extrai o radical do denominador.
Aplicações
Geometria 
O famoso Teorema de Pitágoras nos diz que soma dos 
quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao 
quadrado da sua hipotenusa. Isto pode ser resumido em uma 
fórmula simples:
 a2=b2+c²
Exemplo:
Na empresa em que você trabalha foi construída uma rampa 
de carga que produz uma elevação vertical de 60cm. Observe 
o esquema abaixo: 
17MATEMÁTICA APLICADA
Podemos concluir que o tamanho da rampa será a hipote-
nusa, 60cm e 25cm os dois catetos. Desse modo:
a2=b2+c²
a2=252+60²
a2=625+3600
a2=4225
a= √4225
a=65 cm
Iremos ver mais aplicações de radicais quando estudarmos 
equações do segundo grau. 
18MATEMÁTICA APLICADA
Síntese do Capítulo 
Neste capítulo estudamos algumas ideias iniciais em re-
lação aos números, operações e aplicações. Mesmo que sejam 
ideias simples, elas são constituintes de toda a Matemática. 
Compreendermos as operações fundamentais da Matemática 
é algo indispensável para que possamos utilizar dessa ciência 
para a tomada de decisões certas, otimizando processos e re-
duzindo custos. 
Exercícios - Capítulo 01
1) Em uma pesquisa formam entrevistados um certo de número de 
telespectadores, questionando-se em relação à preferência por dois canais 
A e B. Informou-se que 300 pessoas assistem ao canal A, enquanto 270 ao 
canal B. Se 150 assistem a ambos os canais, o número de entrevistados 
foi de:
a)800 b) 500 c) 570 d) 420 e) n.d.a. 
2) Para cumprir as normas de segurança na empresa em que você 
trabalha, foi instalada uma caixa d'água cúbica com 3 m de aresta. O volume 
de água que a caixa d'água comporta é de?
3) Você foi até a sua agência bancária, e o seu gerente lhe informou que 
as aplicações com o prazo de 18 meses são remuneradas com uma taxa 
de 1,25% ao mês. Você dispõe de R$ 1000,00 para investir. O seu resgate 
será de?
4) Você deseja aplicar R$ 8.000,00 em um investimento que rende 2% 
ao mês. Você deixa o valor por 14 meses. Assim, você irá resgatar: 
5) Você comprou uma propriedade que tem o formato de um triângulo 
retângulo. Os dois menores lados medem 60m e 80 m respectivamente. 
Você irá cercá-lo com quatro fios de arame. Assim, a quantia de arame 
utilizada é:
a)100m b) 140m c) 240m d) 960m e) n.d.a.
6) Com a evolução tecnológica, cálculos de potenciação estão praticamente 
reservados ao uso de calculadoras científicas. Não se deixe levar por essa 
tendência que só irá limitar seus conhecimentos matemáticos. Vamos supor 
que você esqueceu da calculadora e precisa analisar a questão abaixo.
Sendo assim, assinale a alternativa correta:
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a III é falsa;
e) todas são falsas.
7) Se , podemos concluir que:
a) x é igual a y 
b) x é o inverso de y
c) x é o dobro de y
d) x é a metade de y
e) n.d.a. 
20MATEMÁTICA APLICADA
TÓPICOS EM 
ÁLGEBRA 
Diversas áreas do conhecimento como Física, 
Biologia, Economia e Administração, por 
exemplo, recorrem à álgebra para modelar os 
fenômenos que lhes são próprios. 
Neste capítulo estudaremos um ramo essencial da Mate-
mática: a Álgebra. Muitas pessoas têm dificuldades ou não 
compreendem a álgebra, mas isto pode estar relacionado as 
experiências mal sucedidas no Ensino Fundamental e Médio. 
Não se preocupe com isto, vamos aproveitar ao máximo as 
técnicas que serão vistas a partir de agora.
A álgebra é o ramo da Matemática que utiliza letras para 
representar-se números. Uma das propostas é fazer generaliza-
ções, testando, provando e teoremas. Incluem-se nesse contexto 
as equações, funções e expressões polinomiais, por exemplo. 
A linguagem simbólica e formal é um aspecto essencial 
21MATEMÁTICA APLICADA
para o estudo de álgebra. Assim, é indispensável que você 
se acostume a perceber a Matemática como uma linguagem 
que precisa ser compreendida e interpretada. Destacamos que 
alguns dos símbolos não são universais, distinguindo-se de 
acordo com o local geográfico e os entendimentos culturais. 
Por exemplo, nos Estados Unidos escreve-se 3.14 como o valor 
aproximado de Pi. Já na Europa, escreve-se 3,14. No Brasil, 
seguimos o modelo europeu, em que a vírgula é utilizada na 
composição de um número decimal, sendo o ponto usado como 
multiplicação ou para marcar as casas de milhares.
Equações
Segundo Demana (2013), uma equação é uma “sentença 
matemática expressa por uma igualdade entre duas expressões 
algébricas.”. Muitas pessoas confundem expressões, equações 
e funções. Vamos ver alguns exemplos para que fiquem claras 
as distinções:
Equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau é composta por dois termos: 
o primeiro e o segundo termo. O sinal de igual é responsável 
por fazer a separação entre eles. Para Demana et al (2013) 
resolver uma equação em x se relaciona a encontrar os valores 
para os quais a sentença é verdadeira.
Expressão 2x +6 Um conjunto de termos.
Equação 2x+6=10 Uma igualdade entre duas expressões.
Função f(x)=2x+6 Uma relação entre duas grandezas
22MATEMÁTICA APLICADA
Exemplos: 
1. 2x+7=-3x+12
2x+3x=12-7
5x=5
x=5/5=1
Para conferir basta substituir o 1 na equação original. 
Assim, observamos que ambos os lados ficam o mesmo valor.
2. Utilização da propriedade distributiva 
Quando temos algo que multiplica um parêntese devemos 
distribuir essa multiplicação para todos os elementos. 
3. Com soma ou subtração de frações
Devemos seguir as mesmas regras da soma e da subtração de frações. 
Na sequência podemos cancelar o denominador e resolver a equação.
4. 
23MATEMÁTICA APLICADA
Equações do segundo grau 
Uma equação do segundo grau é aquela que está descrita 
na forma: ax2+bx+c=0, em que a, b e c são números reais e a 
≠0. Quando b ou c forem iguais a zero dizemos que a equação 
do segundo grau é incompleta. 
O grau de uma equação é dado pelo grau do polinômio 
que a compõe. 
Resolução de equações do segundo grau incompletas
Uma equação do segundo grau é incompleta quando não 
possui o termo b ou c, ou seja, quando eles forem iguais a zero. 
Situação 1: Quando b=0 
Neste caso basta isolar a constante e tirar a raiz quadrada. 
Exemplo: 
x2-9=0
x2=9
x=±√9
x=±3
S={-3,+3}
Situação 2: Quando c = 0 
Neste caso precisamos fatorar o polinômio, utilizando o 
método do termo comum e evidência. 
Exemplo:
x2-6x=0
x(x-6)=0
x1=0
x-6=0
x2=6
S={0,6}
Resolução de equações do segundo grau completas
Uma equação do segundo grau completa é aquela que possui 
os termos a, b e c diferentes de zero. 
Utilizamos a fórmula de Bhásckara: 
Lembre-se que a equação do segundo grau obedece o forma-
ta ax²+bx+c=0. Desse modo, o termo a é aquele que acompanha 
24MATEMÁTICA APLICADA
o x², o b acompanha o x e o c não está acompanhado de letras.
1. 3x2-7x+2=0
a=3 b= -7 c= 2
2. 
Aplicações
Aplicações de equações do primeiro grau 
Regra de três simples
Uma das aplicações mais utilizadas das equações de pri-
meiro grau está na regrade três simples. Basicamente é um 
problema que segue uma proporção em que conhecemos três 
elementos e nos falta o último. 
Exemplos
Um funcionário trabalhou 22 horas e recebeu por isto R$ 
165,00. Mantidas as mesmas condições, se ele trabalhar 30 
25MATEMÁTICA APLICADA
horas, quanto vai receber?
Perceba que fizemos um comparativo entre as horas e o 
valor recebido. A resolução dessa equação do primeiro grau é 
a famosa “multiplicação em cruz”.
1. Em uma determinada linha de produção, um funcionário 
levou 18 horas para montar 126 peças. Se ele trabalhar 
24 horas, quantas peças serão montadas?
Observação. Os dois exemplos relativos anteriores, refe-
rem-se à regra de três direta, que acontece quando as grandezas 
são diretamente proporcionais. Ainda existe a regra de três 
inversa, em que as grandezas são inversamente proporcionais, 
mas que não será estudada nesta apostila. 
Juros simples 
Os cálculos de juros simples nada mais são do que a re-
solução de uma equação do primeiro grau. Segundo Gimenes 
(2009), nos juros simples o cálculo do montante é sempre linear, 
ou seja, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. 
Fórmula
J=C.i.t 
Em que 
J= Juros 
C= Capital 
i= taxa 
t= tempo 
Exemplos 
1. Para comprar um computador, um jovem estudante 
precisou fazer um empréstimo de R$ 2500,00. Ele 
conseguiu esse financiamento com o regime de juros 
26MATEMÁTICA APLICADA
simples, com uma taxa de 3% ao mês, com um prazo 
de 8 meses. Encontre o valor dos juros pagos:
J=C.i.t 
J=2500.0,03.8=R$ 600,00
2. Para comprar um equipamento de R$ 2490,00, você fez 
um empréstimo no regime de juros simples. O gerente 
do seu banco lhe deu um prazo de 8 meses e uma taxa 
de 30% ao ano.
Perceba que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes. 
Esse problema pode ser contornado com uma regra de três. 
Considere que 30% ao ano é algo que ocorre em 12 meses. 
Assim, podemos achar uma taxa proporcional em 1 mês:
Agora o problema dos juros
3. Você almeja receber R$ 3200,00 de juros. Para isso, 
aplica R$ 4000,00 com uma taxa de 10% ao ano, no 
regime de juros simples. Encontre o tempo necessário 
para que o seu objetivo seja alcançado:
Aplicações de equações do segundo grau 
1. Um senhor tem um terreno retangular que mede 26 m de 
comprimento por 16 m de largura. Ele deseja aumentar 
a área de seu terreno para 816m² acrescentando duas 
faixas de terra com a mesma largura em um dos lados 
e nos fundos. Qual deve ser a largura dessas faixas?
Lembre-se que a porcentagem deve ser dividida por 100, ou 
seja 3%=0,03. Também destacamos que a taxa e o tempo 
devem estar na mesma unidade.
27MATEMÁTICA APLICADA
Como estamos falando de medidas vamos considerar ape-
nas o valor positivo, logo as faixas devem ter 8 m de largura.
2. Uma tela retangular tem uma área de 9.600 cm². Sabe-
mos que o comprimento corresponde a uma vez e meia 
a sua altura. Quais são as medidas do comprimento e 
largura da tela?
Seja x a medida das dimensões da tela. Então 1,5x será 
o comprimento e x a altura. Vamos lembrar que área de um 
retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo:
Como estamos falando de medidas, vamos considerar 
apenas o valor positivo. Assim, o comprimento vale 80 cm 
e a largura 120 cm.
Sistemas de equações
Distintos problemas da área de Administração são escritos 
não como uma equação, mas como um sistema de equações. 
De um modo geral, quanto mais complexo for o problema, 
maior será o número de equações e de incógnitas que irão lhe 
compor. Assim, é indispensável que saibamos como encontrar 
os valores necessários para interpretar o fenômeno.
Resolução de um sistema
Exemplos:
1. 
Existem outras aplicações que serão vistas com maior 
profundidade quando estudarmos funções do primeiro e 
segundo grau.
28MATEMÁTICA APLICADA
Resolução pelo método da substituição. 
Primeiro passo: isolamos x na 1ª equação.
 x = 4 - y
Segundo passo: substituímos esse valor na 2ª equação.
2. (4 - y) -3y = 3 
Terceiro Passo: resolvemos a equação formada.
Quarto passo: encontra o valor e x. Para isso, substituímos 
o valor encontrado de y em qualquer das equações, determi-
nando x.
x + 1 = 4
x = 4 - 1
x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
 V = {(3, 1)}
Resolução pelo método da adição 
Consiste em anular uma das variáveis. Para que isto seja 
possível, normalmente, é preciso ajustar uma das equações. 
Exemplo:
Uma das alternativas para a resolução por esse método é 
multiplicar toda a primeira equação por 3.
3.(x+y)=3.4
3x+3y=12
Desse modo, o sistema pode ser reescrito como:
Somando as equações, temos:
Para encontrar o valor de y, substituímos o valor de x em 
qualquer uma das equações originais:
29MATEMÁTICA APLICADA
x+y=4
3+y=4
y=4-3 
y=1
Aplicações:
1. Em um estacionamento existem motos e carros, to-
talizando 95 veículos. Existe um total de 226 pneus, 
considerando que os carros têm 4 pneus e as motos 
apenas 2. Assim, o número de carros e de motos no 
estacionamento é respectivamente igual a: Assim, podemos concluir que existem 18 carros e 77 motos.
2. Um terreno tem o formato de um retângulo. Sabemos 
que a sua área é de 360m², e o seu perímetro é de 84m. 
Encontre as dimensões do terreno:
Inicialmente vamos pensar no terreno de forma algébrica: 
chamaremos de x uma das dimensões desconhecidas e de y a ou-
tra.
30MATEMÁTICA APLICADA
Vamos lembrar que o perímetro é a soma dos lados assim: 
P=x+x+y+y. Como sabemos que o perímetro vale 84m podemos 
escrever 84=2x+2y ou seja, 2x+2y=84.
Já a área de um retângulo é dada pela base vezes a altura, 
ou seja, A=x.y. Como sabemos que a área vale 360 m², podemos 
escrever 360=x.y ou seja x.y=360.
Vamos usar o método da substituição, isolando o x na 
primeira equação. Assim,
Agora iremos substituir na segunda equação:
x.y=360 
(42-y).y=360
-y2+42y-360=0
Para encontrar o valor de y precisamos resolver a equação 
pela fórmula de Bhaskara. Fazendo a resolução, encontramos:
y1=30 y2=12
Agora vamos encontrar o valor de x.
x=42-y
x=42-30 
x1=12
x=42-y
x=42-12
x2=30
S={(30,12)ou (12,30)}
Essa resposta indica que o terreno mede 12 por 30. No 
entanto, não sabemos a posição de cada uma das medidas.
Fatoração
Demana et al. (2013) esclarecem que fatorar um polinô-
mio consiste em escrevê-lo na forma de dois ou mais fatores 
polinomiais. Os autores ainda comentam que um polinômio 
Existem outras aplicações, como por exemplo, oferta e 
demanda, que serão vistas quando estudarmos funções.
31MATEMÁTICA APLICADA
que não pode ser fatorado com o uso de coeficientes inteiros 
é chamado de irredutível. A fatoração está completa quando 
o polinômio estiver escrito com um produto de seus fatores 
irredutíveis.
Fator comum e evidência 
Consiste em colocar em evidência os fatores que são comuns 
a cada um dos termos. 
Exemplos
1. 2x3+2x2-6x=2x(x2+x-3)
2. u3 v+uv3=uv(u2+v2)
Diferença de dois quadrados 
É utilizada quando temos uma diferença entre dois termos 
que conhecemos suas raízes quadradas. 
Exemplos
1. 25x2-36=(5x-6).(5x+6)
2. 4x2-81=(2x-9).(2x+9)
Trinômio do quadrado perfeito 
É um trinômio cujo produto das raízes dos termos dos 
extremos corresponde à metade do módulo do termo do meio.
Exemplo: 
1. x2-10x+25=
Perceba que 
Logo (x-5)2 é a fatoração do polinômio.
2. x2-14x+49=
Perceba que 
Logo (x-7)2 é a fatoração do polinômio.
Fatorar polinômios 
adequadamente será 
indispensável para o seu sucesso 
no conteúdo de limites, que será 
visto no Capítulo 4.
32MATEMÁTICA APLICADA
Agrupamento 
Para Demana et al. (2013, p. 28) quando um polinômio 
de quatro termos é o produto de dois binômios, temos a possi-
bilidade de agrupar os termos para fatorar, colocando o termo 
comum em evidência duas vezes. 
Exemplos: 
1. 3x3+x2-6x-2=
(3x3+x2)-(6x+2)=
x2 (3x+1)-2(3x+1)=
(3x+1)(x2-2)= 
2. 6x+6y+ax+ay
(6x+6y)(ax+ay)
6(x+y)+a(x+y)
(6+a)(x+y)
Fatoração de trinômios como produto de binômios
Quando o termo a do trinômio for igual a 1, uma alternativa 
para estemodelo de fatoração é resolver a equação e aplicar a 
fórmula (x-r).(x-r), em que r são as raízes da equação. 
Exemplos:
1. x2-7x+10=
Resolvendo a equação encontramos 5 e 2 como raízes. 
Logo
(x-5).(x-2)=
2. x2+3x-10=
Resolvendo a equação encontramos x1= 2 e x2= - 5 
como raízes. 
(x-2).(x+5)=
Observação: se realizarmos a propriedade distributiva, 
voltaremos para a equação original.
Simplificação de polinômios fracionários 
Demana et al. (2013, p.34) argumenta que “para simplifi-
car uma expressão racional (ou número racional), eliminamos 
todos os fatores comuns do numerador e denominador até que 
a expressão fique na forma mais simples.”. Assim, as fatora-
33MATEMÁTICA APLICADA
ções vistas anteriormente podem ser úteis para o processo de 
simplificação de polinômios.
Exemplos:
1. 
Perceba que no numerador utilizamos a fatoração por ter-
mo comum e evidência, e no denominador diferença de dois 
quadrados. Os termos que ficaram idênticos foram eliminados.
2. 
Perceba que no numerador utilizamos a fatoração por di-
ferença de dois quadrados e no denominador trinômio do 
quadrado perfeito. Os termos que ficaram idênticos foram 
eliminados. 
34MATEMÁTICA APLICADA
Síntese do Capítulo 
Neste capítulo estudamos alguns tópicos em Álgebra, uma 
ferramenta poderosa que permite a dedução e a generalização. 
Aparentemente, é algo abstrato e de pouca aplicabilidade, o que 
não é verdade. Uma pessoa que tenha o pensamento algébrico 
é capaz de enxergar um problema por outro ângulo, tendo a 
capacidade de representá-lo simbolicamente. Esperamos que 
você tenha se apropriado de uma parcela desse incrível ramo 
da Matemática, para poder utilizá-lo nos seus problemas do 
cotidiano, bem como nas suas tomadas de decisões. 
Exercícios - Capítulo 02
1) Fiz um empréstimo de R$ 3500,00 no regime de juros simples. A 
instituição financeira que ofereceu o empréstimo, ofertou um prazo de 14 
meses e uma taxa de 3% ao mês. Encontre os juros:
2) Para comprar um certo produto, fiz um empréstimo de R$ 5000,00 
no regime de juros simples. O prazo foi de 9 meses e a taxa de 60% ao 
ano. Encontre os juros: 
3) Uma empresa monta 480 peças em 6 horas. Mantidas as mesmas 
condições, encontre quanto a empresa vai montar em 10 horas: 
4) Com 42 kg de matéria prima é possível manufaturar-se 86 produtos. 
Encontre a quantia que será manufaturada com 56 kg: 
5) Escreva na forma reduzida: 
a)
 
b)
c)
d) 
e) 
f)
6) Uma propriedade retangular tem 875m2 de área. Sabemos que o 
comprimento excede em 10 metros a largura. Encontre as dimensões do 
terreno: 
7) O quadrado da idade de Adriano subtraído da metade de sua idade 
vale 14 anos. A idade de Adriano é: 
36MATEMÁTICA APLICADA
FUNÇÕES E SUAS 
APLICAÇÕES
Economia, Física, Biologia, Engenharia são 
algumas das áreas que mais utilizam funções. 
Nesta apostila procuraremos focar mais no 
contexto da Administração. 
Muitos fenômenos da natureza ocorrem a partir das rela-
ções estabelecidas entre duas grandezas. Lucro, custo, receita 
e deslocamento são alguns exemplos. Essa relação pode ser 
modelada matematicamente, e a partir disso, traçaremos uma 
série de perspectivas em relação ao comportamento de ambas as 
grandezas. É isto que estudaremos neste capítulo, uma relação 
que podemos chamar de função.
Não existe consenso da parte dos historiadores em relação à 
origem das funções. Alguns dados apontam para que as ideias 
iniciais, especialmente no que se refere à dependência, data mais 
de 6.000 anos. No entanto, apenas com o advento do Cálculo 
Diversas áreas do conhecimento fazem uso de funções para 
modelar os fenômenos que lhes são próprios. Assim, o cientista 
pode analisar e prever o comportamento das variáveis envolvidas.
37MATEMÁTICA APLICADA
Diferencial e Integral e da Análise Matemática que ocorreu 
um desenvolvimento mais formal conceitual desse conteúdo. 
Atualmente, são inúmeras as aplicações para funções, que vão 
desde fazer a projeção de um movimento, até encontrar o ponto 
crítico de uma produção, sendo uma ferramenta importante 
para o processo de tomada de decisão.
Aspectos gerais sobre funções
 Demana et al. (2013) definem funções como uma regra 
de formação que associa todo elemento de um conjunto A a 
um único elemento de B. Já Thomás et al. (2012) argumentam 
que diversos fenômenos cotidianos podem ser modelados por 
funções como, por exemplo, a temperatura de algum material, 
os juros recebidos em algum investimento, o custo na produção 
de algo, etc. 
Uma função pode ser representada de quatro modos: escrito, 
algébrico, geométrico e diagrama sagital. 
Escrito
Ocorre quando a relação está em um problema ou história 
matemática. Ex. A produção de um bem envolve um custo fixo 
de R$ 4.500,00 mais R$ 45,00 para cada unidade produzida. 
Perceba que existe uma relação entre unidades produzidas 
e o custo. 
Algébrico 
Ocorre quando temos uma lei matemática que modela a 
situação. Ex. f(x)=3x+20.
Geométrico 
Ocorre quando temos um gráfico para representar a situ-
ação. Ex. Diagrama sagital.
38MATEMÁTICA APLICADA
Diagrama sagital 
É uma relação de correspondência entre dois conjuntos, em 
que um elemento é associado a outro por meio de setas. Ex.
É possível trocar-se de uma representação para a outra, 
de acordo com a necessidade e as próprias características do 
fenômeno envolvido.
Domínio e imagem de uma função 
Considera-se o domínio como os valores de entrada em 
uma função e a imagem como os valores de saída (THOMÁS 
et al., 2012, p. 1). Também podemos entender o domínio como 
os valores que a variável x pode assumir, enquanto a imagem 
como aqueles que podem ser assumidos pela variável y. 
Determinando o domínio de uma função na abordagem 
geométrica 
Basta observar o gráfico e identificar como a função está 
se comportando. Exemplos: 
Observe que no gráfico acima, a variável x pode assumir 
qualquer valor. Considera que o gráfico cresce indefinidamente, 
e não existe qualquer restrição em relação a x. Assim, podemos 
afirmar que o Domínio é o conjunto dos reais ou 
Dom=(-∞,+∞)
39MATEMÁTICA APLICADA
1. 
Perceba que no gráfico acima o x somente assumira valo-
res positivos. A função não irá Dom={x ∈ R| x ≥0} Lemos x 
pertence ao conjunto dos números reais tal que x é maior ou 
igual a zero. Também podemos representar da seguinte forma: 
Dom=[0,+∞)
2. 
Perceba que no gráfico acima, a função pode assumir todos 
os valores de x, com exceção do 1. Assim, podemos dizer que 
Dom:{ x∈R| x≠1}. Lemos x pertence ao conjunto dos reais 
tal que x é diferente de 1.
Determinando o domínio de uma função na abordagem 
algébrica 
Precisamos conhecer as propriedades algébricas de cada 
função, para que, desse modo, possamos verificar o seu com-
portamento. 
Exemplos:
1. Seja 
A variável x não pode assumir valores que anulem o de-
nominador. Então devemos ter: 
x-3 ≠0 
x≠3 
Logo, D= {x∈R/ x≠3}
40MATEMÁTICA APLICADA
2. 
A variável x não pode assumir valores que tornem o radi-
cando 2x -8 um número negativo. Então devemos ter: 
2x+8≥0
2x≥-8
x≥-4
Logo, D={ x∈R /x≥-4}
3. f(x)=7x
A variável x pode assumir qualquer valor real, pois 7x é 
um número real qualquer que seja x. Logo: D= R
Os zeros de uma função
Nas funções de primeiro e segundo graus, os zeros da fun-
ção representam os pontos de intersecção com o eixo x. Eles 
podem ser encontrados igualando-se a função a zero.
Exemplo:
1. Determine o zero da função:
f(x)=2x-4. 
2x-4=0 
2x=4
x= 
x=2 
Observe o que isto representa no gráfico:
2. Encontre os zeros da função:
41MATEMÁTICA APLICADA
Observe o que isto representa no gráfico
Funções do Primeiro grau
Diversos fenômenos se comportam em acordo com uma 
função do primeiro. O custo é um exemplo de fenômeno, que 
normalmente se comporta como uma função do primeiro grau. 
Podemos dizer que ela segue o formato f(x)=ax+b com a≠0.
Observações 
1. O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta.
2. O conjunto imagem da funçãodo primeiro grau é o 
conjunto dos reais.
3. A função do primeiro grau com b=0 é chamada linear.
Coeficientes a e b de uma função do primeiro grau
Na função polinomial do primeiro grau, o número real a é 
chamado de coeficiente angular e está relacionado à inclinação 
da reta em relação ao eixo Ox. 
Se a > 0 então a função é crescente.
Se a< 0 então a função é decrescente.
Já o termo b é chamado de coeficiente linear e indica o 
ponto em que a reta corta o eixo Oy.
42MATEMÁTICA APLICADA
Fazendo o gráfico de uma função do primeiro grau
Fazer o gráfico de uma função do primeiro grau significa 
transitar da abordagem algébrica para a geométrica. Exemplo: 
Faça o gráfico de f(x)=x+5:
Um dos métodos para fazer o gráfico é estabelecer alguns 
valores para x, encontrando assim o y. Como o domínio é o 
conjunto dos números reais, podemos usar quaisquer valores. 
No entanto, recomendamos utilizar um valor negativo, o zero 
e um valor positivo, para desse modo, termos uma ideia geral 
do comportamento do gráfico.
Perceba que temos três pares ordenados A (-1,4), B (0, 5) 
e C (1, 6). Basta localizá-los em um plano cartesiano e traçar 
uma reta.
 
Como o coeficiente angular era positivo, a função é cres-
cente.
Encontrando a função a partir do gráfico 
Encontrar a função a partir do gráfico significa transitar 
da abordagem geométrica para a algébrica.
Exemplo: 
A construção de uma estrada, envolve um custo fixo, mais 
uma taxa que varia de acordo com o número de quilômetros 
construídos. O gráfico a seguir representa essa situação:
x x+5 y
-1 -1+5 4
0 0+5 5
1 1+5 6
43MATEMÁTICA APLICADA
Encontre a lei da função do gráfico. 
Resolução:
Considere que temos dois pontos: A (0, 4) e B (10, 5). O 
gráfico é uma reta, então obrigatoriamente é uma função do 
primeiro grau, ou seja f(x)=ax+b. Lembre-se que f(x) também 
pode ser chamado de y, e que um ponto qualquer tem a primeira 
coordenada como x e a segunda como y. Assim, basta substituir: 
A( 0,4)
y=ax+b 
4=a.0+b
4=b
b=4
A( 10,5)
y=ax+b 
5=a.10+b
5=10a+b
10a+b=5
10a+4=5
a=
Logo y=ax+b é a função do gráfico.
Aplicações de funções do primeiro grau
Aplicações gerais 
 Um taxista cobra R$ 2,50 por uma corrida de táxi mais 
R$ 5,00 para cada quilômetro rodado. 
 Perceba que existe uma relação matemática entre dois con-
juntos (A e B), ou seja entre os quilômetros rodados e o preço a 
ser cobrado. Esta relação pode ser expressa matematicamente, 
em que P é o preço a ser pago e x os quilômetros rodados: 
44MATEMÁTICA APLICADA
P(x)=2,50+5x
Agora pense no seguinte:
A. Quanto vou gastar para rodar 2km?
P(2)=2,50+5.2
P(2)=2,50+10=12,50
B. Disponho de apenas R$ 10,00, quanto posso rodar no 
máximo?
2. Uma pessoa vai escolher entre dois planos de saúde: Boa 
Saúde e Vida Plena. O plano Boa Saúde cobra um valor 
fixo de R$ 140,00, mais R$ 20,00 para cada consulta. Já 
o plano Vida Plena cobra um valor fixo de R$ 110,00, 
mais R$ 25,00 para cada consulta. Encontre o número 
de consultas para que os planos sejam equivalentes: 
Boa Saúde: f(x)=140+20x
Vida Plena: g(x)=110+25 x
Como x são as consultas, para sabermos quando os planos 
serão equivalentes, basta igualarmos as duas funções, ou seja:
Com 6 consultas ambos os planos são equivalentes.
Aplicações em economia 
Função custo: o custo pode ser entendido como a saída 
ou gasto que envolve a produção de um determinado bem. O 
custo tem duas partes: o fixo e o variável. O fixo não é altera-
do independente da produção. Já o custo variável aumenta de 
acordo com o aumento da produtividade.
C(x)=Cf+cv
Função receita: a receita pode ser entendida como a entrada 
ou a arrecadação que a comercialização de um bem produz. É 
composta pela multiplicação do preço pelo número de unidades 
45MATEMÁTICA APLICADA
comercializadas. 
R(x)=px
Função lucro: o lucro pode ser entendido como aquilo que 
sobra, ou seja, a diferença entre a receita e o custo. 
L(x)=R(x)-C(x)
Ponto de equilíbrio: o ponto de equilíbrio ou nivelamen-
to é uma situação em que a receita é igual ao custo, ou seja o 
lucro é nulo.
Exemplo: 
Uma empresa produz um determinado tipo de peça metá-
lica. Sabemos que essa produção envolve um custo fixo de R$ 
950,00, mas um que varia de acordo com a produção, sendo de 
R$ 41,00 a unidade. Essa peça essa comercializada no mercado 
por R$ 120,00 a unidade. Monte as funções custo, receita e 
lucro. Calcule o lucro da venda de 1000 peças. Encontre o 
ponto de equilíbrio.
Função Custo:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita:
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
L(x)=120x-950-41x
L(x)=79x-950
Lucro na produção de 1000 pistões
L(1000)=79.1000-950
L(1000)=79000-950
L(1000)=78050
Ponto de nivelamento 
R(x) = C(x)
120x = 950 + 41x
120x – 41x = 950
79x = 950
x >=950 / 79
x =12,02 
É possível concluir-se que a partir da décima terceira peça 
a empresa terá lucro.
46MATEMÁTICA APLICADA
Funções do segundo grau ou quadrática
Uma função do segundo grau é qualquer função especifi-
cada por uma regra da forma f(x) = ax² + bx +c, em que a, b e 
c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠0. Fenômenos 
que se comportam como uma parábola são modelados com 
funções do segundo grau.
Observações:
1. O gráfico de uma função do segundo grau é uma pa-
rábola.
2. Se a>0 então a função é crescente e a concavidade é 
voltada para cima. Se a< 0 a função é decrescente e a 
concavidade é voltada para baixo. 
3. As raízes da função são os pontos onde a parábola in-
tercepta o eixo Ox.
4. O termo c é o ponto onde a parábola intercepta o eixo 
Oy.
5. O vértice é o ponto em que marca o ponto crítico da 
função. É dado pelas fórmulas:
Fazendo o gráfico da função do segundo grau 
Para fazer um gráfico da função do segundo grau pode-
mos construir uma tabela similar à que construímos na função 
do primeiro grau, atribuindo valores para x. No entanto não 
é a melhor opção, pois podemos fazer o gráfico a partir das 
propriedades. 
Exemplos: 
I. Faça o gráfico da função 
1. Encontre os zeros das funções. Para fazer isso é só igua-
lar a função a zero e resolver a equação do segundo grau.
Resolvendo a equação encontramos x1= 1 e x2= 3. Esses 
são os pontos de corte em x. 
2. Considere que a parábola corta o eixo y em “c”, ou seja 
em y=3.
3. O vértice dará a base da concavidade, ou seja,
47MATEMÁTICA APLICADA
 Vértice está no ponto V (2, -1).
Observe que a função é crescente. Neste caso, afirmamos 
que ela apresenta um ponto de mínimo.
II. Faça o gráfico da função f(x)=-x2+10x-25
Inicialmente, já sabemos que a concavidade será voltada 
para baixo, e a parábola cortará o eixo y em -25. Fazendo o 
zero da função descobrimos que ela cortará o eixo x em um 
único ponto: x=5. O vértice será V (5,0). Levando em conta 
tais elementos, chegamos no gráfico a seguir.
Observe que a função é decrescente. Neste caso, afirmamos 
que ela apresenta um ponto de máximo.
Aplicações de funções do segundo grau
Muitas das aplicações das funções do segundo grau estão 
48MATEMÁTICA APLICADA
relacionadas ao ponto de vértice, pois ele retorna o ponto de 
máximo ou de mínimo da função. 
Exemplos:
1. Uma empresa tem a produção de um certo bem, cuja 
função receita é modelada por R(x)= -30x^2+6000x 
e o seu custo por C(x)=1200x+8000, em que x são as 
unidades do bem. Encontre o número de unidades que 
maximiza o lucro:
Primeiro passo: montar a função lucro.
L(x)=R(x)-C(x)
L(x)= -30x2+6000x-(1200x+8000)
L(x)= -30x2+6000x-1200x-8000
L(x)= -30x2+4800x-8000
Segundo passo: Como queremos saber o número de uni-
dades, deve ser usado o vértice de x.
Assim, podemos concluir que a produção e comercialização 
de 80 unidades produz o maior lucro.
2. O custo envolvido na produção de um bem por uma 
empresa é modelado pela função C(x)=x2-40x+1600, em 
que C é o custo em reais e x são as unidades produzidas. 
Calcule o valor do custo mínimo:
Perceba que considerando uma equação do formato 
y=ax2+bx+c, podemos entender o custo com y. Assim, como 
queremos saber o custo mínimo devemos usar o vérticede y.
Assim, podemos entender que o menor custo que a empresa 
terá é de R$ 1200,00. Sabemos que o custo é mínimo, pois a 
é positivo, indicando que a concavidade é voltada para cima.
49MATEMÁTICA APLICADA
3. A eficiência energética de uma máquina é modelada 
pela função E(t)= -t2+7t-10, sendo t as horas após ela ser 
colocada em funcionamento às 6h da manhã. Encontre 
o horário em que a eficiência será máxima.
Resolução: como o problema refere-se ao tempo, devemos 
trabalhar com o vértice de x.
Ou seja, a máquina leva 3,5 horas para atingir sua eficiência 
máxima. Se ela é posta em funcionamento às 6h, a eficiência 
máxima é atingida às 9h e 30 min.
Síntese do Capítulo 
Neste capítulo estudamos funções e suas aplicações. Es-
tudamos algumas generalidades como o domínio, imagem e 
os zeros da função. Entendemos que funções do primeiro grau 
tem o gráfico como uma reta, enquanto do segundo grau são 
parábolas. As aplicações, sobretudo em economia, nos mos-
traram a importância de compreendermos as particularidades 
desse conteúdo. 
Exercícios - Capítulo 03
1) Para um certo produto comercializado, a receita e o custo são dados 
respectivamente por: R(x)= -2q2-1000q e C(x) = 200q + 35000 onde q é a 
quantidade comercializada. Encontre as quantidades comercializadas para 
as quais a receita auferida é igual ao custo gerado:
2) O lucro de uma loja pela venda diária de x peças é dado por L(x)=100(10-x)
(x-4). O lucro máximo por dia é obtido com a venda de:
A) 7 peças
B) 10 peças
C) 14 peças 
D) 50 peças
E) 100 peças 
3) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x – 10, 
intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a:
A) 3
B) 5 
C) 7
D) 8
E) 9
4) Uma empresa estimou a sua receita mensal com a sua receita com a 
função R(x)= -30x2+6000x. Encontre o número de unidades que maximiza 
a receita:
5) O lucro operacional na venda de certo produto foi estimado por meio 
de uma curva que onde l é o lucro e x é 
a quantidade produzida. 
Qual a quantidade que, se produzida, deve trazer o maior lucro 
operacional?
6) Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = 
x2 − 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?
7) Um móvel desloca-se com velocidade constante, e sua trajetória é 
modelada por uma função do primeiro grau, conforme o gráfico a seguir.
A função é:
8) A Ponte da Arrábida completou 50 anos no dia 22 de Junho de 2013, 
ano em que se completou o centenário do nascimento na cidade do Porto [...] 
O arco que sustenta essa ponte pode ser representado matematicamente 
pela função y = - x2 + 20x, na qual y representa a distância entre o nível 
do mar e o arco, e x representa a distância em linha reta a partir de uma 
das extremidades do arco no nível do mar, ambos em metros. 
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ponte_da_
Arrabida_-_Porto.JPG>. Acesso em: 01 set. 2015.
Segundo essas informações, qual a maior altura que uma pessoa pode 
atingir em relação ao nível do mar ao escalar a ponte Arrábida em Portugal?
A) 10m 
B) 20m 
C) 50m 
D) 100m 
E) 200m
9) Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido 
pela seguinte função C(x) = x2 – 80x + 3000. Considerando o custo C em 
reais e x a quantidade de unidades produzidas, o custo mínimo é de:
A) 40 
B) 1.400 
C) 3.000
D) 120 
E) N.d.a. 
10) Ao final da disciplina de Matemática Aplicada, um estudante fez as 
seguintes afirmações em relação ao conteúdo estudado:
I. Os zeros da função são os pontos de intersecção em x.
II. A função quadrática tem o gráfico em parábola.
III O vértice é o zero da função.
É correto o que se afirma em:
A) Em I, II e III
B) Em I e II
C) Em II e III
D) Apenas em II
E) Apenas em III 
52MATEMÁTICA APLICADA
INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
O Cálculo diferencial é uma poderosa 
ferramenta com vasta aplicabilidade utilizada 
em distintas áreas do conhecimento. 
Neste capítulo iremos estudar uma área muito importante 
da Matemática: o Cálculo Diferencial e Integral. Como sugere 
o nome, ele se divide em duas partes: o Cálculo diferencial que 
estuda as derivadas e o Cálculo integral, que estuda as integrais. 
Nesta apostila iremos estudar apenas a primeira parte, com um 
enfoque especial nas taxas de variações. Para o seu sucesso será 
indispensável termos clareza de funções e fatoração, aspectos 
já estudados anteriormente. 
Pensar na história do Cálculo nos remete a uma suposta 
rivalidade histórica entre Newton e Leibniz, em que ambos 
A Matemática é uma construção gradual. Desse modo, mesmo que 
este Capítulo se refira a aspectos mais avançados dessa ciência, 
os seus conhecimentos do ensino fundamental e médio serão 
indispensáveis. 
53MATEMÁTICA APLICADA
os cientistas trabalharam separadamente, mas partilhando 
de uma base conceitual comum, solidificaram as bases que 
utilizamos até hoje. Administração, Economia, Engenharias, 
Física e Química são algumas das áreas do conhecimento que 
fazem uso do Cálculo como uma ferramenta poderosa para, 
por exemplo, calcular taxas de variações, realizar processos de 
otimizações e encontrar os pontos de máximos e mínimos de 
funções. Tente apropriar-se de todos os recursos e conceitos 
que permeiam esse ramo da Matemática, pois poderá ser muito 
útil na sua vida profissional.
Derivadas
O conceito de derivada pode ser entendido a partir de 
duas perspectivas: a física e a geométrica. A física está inti-
mamente relacionada à taxa de variação instantânea de uma 
função e está presente em nossas vidas, como, por exemplo, 
no crescimento de bactérias, na mudança no nível de oxigênio 
de um manancial, no crescimento de um osso, na variação de 
temperaturas dentre várias outras situações que representam 
uma função variando. Já a interpretação geométrica pode ser 
entendida com a inclinação da reta tangente a uma curva em 
determinado ponto, e também com diversas aplicações na 
matemática, dentre as quais, o estabelecimento dos pontos de 
máximo e de mínimo de uma função.
Se y = f(x), então a sua derivada é denotada por y’.
Outras notações comuns são:
Assim, quando encontrarmos a expressão y’ lemos “deri-
vada da função y”. Quando encontrarmos a expressão lemos 
derivada de y em relação a x.
54MATEMÁTICA APLICADA
Regras de derivação 
Derivar uma função está relacionado a calcular a taxa de 
variação ou estabelecer a inclinação da reta tangente em um 
ponto específico. Devemos aplicar a regra adequada, que varia 
de acordo com as características de cada função. Por isso, é 
muito importante revisarmos o conteúdo funções, já abordado 
nesta apostila.
Derivada de uma função constante
A derivada de uma função constante é zero. Sendo c, um 
número real qualquer, então:
Se y= c então y’ = 0
A derivada de uma função constante sempre será zero, 
pois não existem variações independente do ponto. Observe o 
gráfico da função f(x) = 4:
Assim:
f (x)=4 f ’(x)=0
f (x)=7 f ’(x)=0
f (x)=√3 f ’(x)=0
Derivada de função com potência 
Regra da Potência: Se n for um número inteiro positivo, 
então:
Se f(x)=xp f ’(x)= pxp-1
Esta regra será utilizada quando temos uma variável elevada 
a uma dada potência. É uma técnica muito importante e serve 
de base para outras regras que veremos na sequência.
55MATEMÁTICA APLICADA
Exemplos:
f(x)= x³ f '̂ (x)=3x^(3-1) f '̂ (x)=3x²
f(x)= x-3 f ’(x)= - 3x-3-1 f ’(x)= -3x-4 
Exemplos 
1. Variável no denominador: devemos “trazer” a variável 
para o numerador. Isto é possível a partir da troca do 
sinal do expoente. 
Derive a função 
Primeiramente ajustamos a função
f(x)= x- 2
f ' (x)=-2x-2-1 
assim f ' (x)= -2x-3 
É importante devolvermos a resposta de acordo com a 
pergunta. Assim, se na pergunta a variável estava no denomi-
nador, na resposta deve estar do mesmo modo.
 É a derivada da função.
2. Radicais: devemos transformar o radical em um expo-
ente fracionário.
Primeiramente ajustamos a função. Lembre-se que a variável 
x está elevada à potência 1, e na raiz tem uma potênciadois. 
Por isso, a função acima pode ser escrita da seguinte forma:
Agora aplicamos a regra da função potência.
Se em nossa pergunta havia um radical, a nossa resposta 
final deve ser dada na forma de um radical. Assim:
Agora retornando para o formato de radical. 
Fique atento! Existem duas situações em que você precisa 
ajustar a função antes de aplicar a técnica. São as funções 
que apresentem radicais e também as que tem a variável no 
denominador.
56MATEMÁTICA APLICADA
Este resultado ainda pode ser racionalizado.
Derivada de funções com múltiplo constante
É similar à regra da potência, porém existe uma constante 
antes da variável, que não sofre alterações durante o processo 
de derivação. Assim:
Se f(x)=cxp f ’(x)= pcxp-1
Exemplos: 
1. f(x)=3x4 f ’(x)= 3.4x³ f ’(x)= 12x³
2. f(x)=7x² f ’(x)=2.7x2-1 f ’(x)=14x
3. 
Derivada de funções envolvendo somas
Regra da Soma: quando duas funções ou mais estão sendo 
somadas, aplicamos uma regra em cada função, de acordo com 
as suas características. Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
Se y=f(x) + g(x) então y’= f ’(x) + g’(x)
Derivada de funções envolvendo subtração 
Regra da Diferença: é similar a regra da soma, porém com 
a subtração. Assim, se f e g forem ambas diferenciáveis, então:
Se y=f(x) - g(x) então y’= f ’(x) - g’(x)
É muito comum as regras da soma e da diferença apare-
cerem na mesma situação. 
Exemplos: 
1. f(x)= 3x5+2x +10 f ’(x)=3.5x4+2 f ’(x)=15x4+2
2. 
3. 
Taxa de variação em um ponto específico 
Como sabemos, a derivada nos fornece a taxa de variação 
instantânea de uma função. Para sabermos a taxa de variação 
em um ponto específico, basta calcularmos a deriva de substi-
tuirmos os valores da variável pelo ponto. O cálculo de taxa de 
variação em um ponto específico consiste em uma das aplicações 
mais evidentes do Cálculo Diferencial, como veremos a seguir:
57MATEMÁTICA APLICADA
Exemplos:
1. Seja h(t)= -4,9t²+29t+34, calcule a taxa de variação no 
ponto t=7:
 h’(t)= -4,9.2t+29
 h’(t)=-9,8t+29
 h’(7)=-9,8.7+29
 h’(7)=-39,6
2. Seja f (x)=5x2+16, calcule f ' (5):
f ' (x)=10x
f ' (5)=10.5
f ' (5)=50
Algumas aplicações 
A aplicação de derivadas se refere à taxa de variação de 
um fenômeno e se estende às diversas áreas do conhecimento. 
A resolução de problemas envolvendo derivadas depende da 
interpretação, troca para linguagem simbólica matemática e 
resolução do cálculo. 
Aplicações na Física 
Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha a 
função horária definida por s(t)= 12t -2t², e no instante t(0) 
ele inicia o movimento. Considerando-se o espaço em metros 
e o tempo em segundos, encontre a velocidade média do corpo 
no intervalo no instante t=1: 
Passo 1: derivar a função: s(t)= 12t -2t² 
s’(t)= 12- 4t
Passo 2: substituir pelo instante considerado, no caso t=1.
V(1)= 12-4.1
V(1)= 8 m/s
Aplicações na Biologia 
Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela 
que daqui a t anos a concentração de monóxido de carbono no 
Observe que temos uma função que nos fornece o 
deslocamento (s). A derivada do deslocamento fornece a 
velocidade.
58MATEMÁTICA APLICADA
ar será Q(t)= 0,05t²+0,1t+3,4 partes por milhão. Calcule taxa 
de variação de concentração de monóxido de carbono com o 
tempo de dois anos: 
Q(t)= 0,05t²+0,1t+3,4
Q' (t)=0,1t+0,1
Q' (2)=0,1.2+0,1=0,3
Aplicações na Economia
1. Seja o custo de produção de um determinado bem mo-
delado por C(x)= 0,01x³ - 0,5x² +300x +100. Qual é o 
custo marginal para a produção de 10 unidades? 
Passo 1: fazer a derivada da função com a regra apropriada. 
C(x)= 0,01x³ - 0,5x² +300x +100.
C'(x)=0,03x2-1x+300
Passo 2: substituir pelo valor de x desejado, no caso x=10
C' (10)=0,03.102-1.10+300=293
2. A empresa “Vende Bem” produz um determinado pro-
duto, com um custo mensal dado pela função
 sendo x a quantidade produzi-
da. Cada unidade desse produto é vendida por R$31,00. 
Encontre o lucro marginal para a venda de 10 unidades:
Primeiro passo: montar a função lucro. Lembre-se que 
L(x)= R(x) – C(x). Assim:
R(x)= 31 x 
Outras regras de derivação 
Existem várias regras de derivação, sempre relacionadas 
às características da função. Não estudaremos todas elas nesta 
apostila, apenas as mais usuais. 
A expressão “marginal” é um termo específico da área de 
Economia e se refere à taxa de variação. Ou seja, queremos 
a taxa de variação do custo, que é dada pela derivada da 
função.
59MATEMÁTICA APLICADA
Regra do produto
É utilizada quando temos uma função multiplicada por 
outra. Assim, se f e g forem diferenciáveis, então:
h(x)=f(x).g(x) h’(x)=f ’(x).g(x)+f(x)g’(x)
Exemplo: Derive a função a seguir: 
h(x)=(x-1)(3x-2)
f(x)= x-1 f ’(x)=1
g(x)= 3x+2 g’(x)=3
h’(x)=f ’(x).g(x)+f(x)g’(x)
h’(x)= 1.( 3x-2) + (x-1).3
h’(x)=3x-2+3x-3
h’(x)=6x-5
Regra do quociente 
É utilizada quando temos uma divisão de uma função por 
outra. Assim, se f e g forem diferenciáveis, então:
Exemplos:
1. Derive a função 
Quando duas funções são divididas, a primeira será 
chamada de f(x) e a segunda de g(x).
Quando duas funções são multiplicadas, a primeira será 
chamada de f(x) e a segunda de g(x).
60MATEMÁTICA APLICADA
2. Derive a função 
Atenção! Muito cuidado com o sinal de menos no meio 
da fórmula!
Derivada da função expoente natural: 
É utilizada quando a base é a constante e. 
y= ex então y’= ex
Exemplos: 
Derive as funções a seguir:
1. f(x)= 3ex
f ’(x)= 3ex
2. f(x)=3x³-9ex
f ’(x)=9x²-9ex
Derivadas de ordem superior
Você deve ter percebido que a derivada f ’ de uma função 
f é também uma função, sendo assim pode ter a sua própria 
derivada. Se f ’ for derivável, então sua derivada é denotada 
por f ” e é chamada derivada segunda de f. Enquanto tivermos 
possibilidades de derivação podemos continuar o processo, as 
derivadas sucessivas.
Se y = f(x), então as derivadas sucessivas são denotadas por 
y’, y”, y’”, y(4), y(5), etc.
Outras notações comuns são:
 Derivada ou derivada primeira
61MATEMÁTICA APLICADA
 Derivada segunda
 Derivada terceira
Chamamos essas derivadas de derivada primeira, derivada 
segunda, derivada terceira e assim por diante. O número de 
vezes que f for diferenciável é chamado ordem da derivada.
Exemplos:
1. Se f(x)= 3x4 – 2x³ + x² - 4x + 2, então 
f '(x)= 12x³- 6x² + 2x - 4 
f ’’(x)= 36x² - 12x + 2
f ’’’(x)= 72x -12 
f(4)(x)= 72
f(5) (x)= 0 
2. Se a posição de um corpo que está se movendo em linha 
reta é dada por s(t)=t³-3t²+4t no instante t, encontre as 
funções que determinam a velocidade e a aceleração 
do corpo: 
s(t)=t³-3t²+4t é a função que determina a posição.
s'(t)= 3t²- 6t+4 é a função que determina a velocidade.
s’’(t)=6t – 6 é a função que determina a aceleração.
3. Calcule a derivada quinta da função f(x)= 4x³ + 5x² + 
6x -1: 
f '(x) = 12x² + 10x + 6
f ’’(x)= 24x+10
f’’’(x) = 24
f(4) (x) = 0
f(5) (x) = 0 
A interpretação geométrica da derivada 
A derivada de uma função pode ser entendida como a 
inclinação da reta tangente. Desse modo, os pontos em que a 
Importante! Lembre-se que a velocidade e a derivada da 
função deslocamento (s). A aceleração é a derivada da 
velocidade. Assim, a aceleração é a derivada segunda do 
deslocamento. 
62MATEMÁTICA APLICADA
inclinação da reta tangente é zero, nos trará os pontos críticos 
da função. Observe o gráfico: 
Assim, os pontos críticos podem 
ser de máximo, mínimo ou ordinários. 
O estudo de pontos de máximo e de 
mínimos de funções tem uma ampla 
aplicabilidade na Matemática. Para ob-
ter pontos de máximo ou de mínimo de 
uma função, basta construir o gráfico 
da função e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade 
em construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, 
utilizamos as derivadas das funções.
Ponto crítico de uma função 
O ponto crítico de uma função pode ser entendido como 
o ponto em que a função muda o seu comportamento. Basta 
fazer a derivada e igualar a função a zero. 
Exemplos: 
 Seja f(x)=x2, encontre o seu ponto crítico. 
f ' (x)=2x
Logo, o ponto críticoestá no ponto de coordenada x=0. 
Para sabermos se este ponto é de máximo ou de mínimo pre-
cisamos plotar o gráfico ou fazer o estudo do sinal da função 
por intermédio dos intervalos de crescimento e decrescimento.
O gráfico nos indica que é um ponto de mínimo, pois ela 
não ira “baixar” jamais deste ponto. Agora, vamos supor que 
Máximo e mínimos de funções e relaciona aos pontos em 
que a reta tangente é horizontal. Caso não lembre deste 
conteúdo, faça uma retomada!
63MATEMÁTICA APLICADA
não seja possível fazer o gráfico. Ainda é possível encontrar os 
pontos críticos com uma abordagem mais analítica.
Intervalos de crescimento e decrescimento
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo I.
A. Se f ’(x)>0 para todo x pertencente a I, então f será es-
tritamente crescente em I.
B. Se f ’(x)<0 para todo x pertencente a I, então f será es-
tritamente decrescente em I.
Exemplos 
1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento 
da função f(x)=x2-4x+3: 
Passo 1: determinar o ponto crítico da função.
Passo 2: considere um valor aleatório antes do ponto crítico 
e outro depois. Considere valores que facilitem seus cálculos. 
Neste exemplo utilizamos os valores 1 e 3. Substituir tais va-
lores em f ’(x).
f ' (1)=2.1-4
f ' (1)=2-4
f ' (1)=-2
Como f ' (1) é < 0, pelo teorema, podemos considerar que 
antes do ponto crítico a função é decrescente.
f ' (3)=2.3-4
f ' (3)=6-4
f ' (3)=2
Como f ' (3) > 0, pelo teorema, podemos considerar que 
após o ponto crítico a função é crescente. 
Passo 3: Esboçar as considerações acima em uma reta.
64MATEMÁTICA APLICADA
Pelo esboço podemos perceber que:
No primeiro intervalo a função é decrescente.
No segundo intervalo a função é crescente.
O ponto x=2 é um ponto de mínimo. 
2. Determine os intervalos de crescimento e decrescimen-
to da função f(x)=x3. Verifique sua resposta através do 
gráfico abaixo:
Passo 1: encontrar os pontos críticos.
f ' (x)=3x2
3x2=0
x=0 ponto crítico 
Passo 2: testar um ponto antes e outro após o ponto crítico. 
Utilizaremos -1 e 1. 
Seja x1= -1 e x2= 1
f ' (-1)=3(-1)²
f ' (-1)=3
Intervalo crescente.
f ' (1)=3(1)²
f ' (1)=3
Intervalo crescente.
Passo 3: traçar o esboço. 
Lembre-se que o que temos acima não é o gráfico da 
função. Trata-se de um esboço para compreender o 
comportamento da função. 
65MATEMÁTICA APLICADA
Perceba que em ambos intervalos a função é crescente, o 
que nos leva a concluir que a função não tem ponto nem de 
mínimo nem de máximo. Chamamos isso de ponto ordinário.
3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento 
da função f(x)=x3-3x2-9x+7:
Passo 1: encontrar os pontos críticos.
f '(x)=3x2-6x-9
3x2-6x-9=0
x1=3; x2=-1
Perceba que temos dois pontos críticos.
Passo 2: testar um ponto antes e outro após cada ponto 
crítico. Neste exemplo utilizaremos -2, 0 e 4.
f '(-2)=3(-2)2-6(-2)-9
f '(-2)=12+12-9=15
Intervalo crescente
f '(0)=3(0)2-6.0-9= -9
Intervalo decrescente 
f '(4)=3(4)2-6.4-9=15
Intervalo crescente 
Passo 3: traçar o esboço.
Perceba que o ponto x=-1 é um ponto de máximo, enquanto 
x=3 é um ponto de mínimo.
Aplicações de Máximos e Mínimos de funções 
Os problemas de aplicações que fazem referência a maxi-
mização ou minimização, independente do contexto podem 
ser resolvidos com os recursos vistos anteriormente.
Exemplos:
1. Com o fim de estudar a quantia de ônibus que devem 
operar em uma cidade, a empresa pública de transportes 
modelou a função
66MATEMÁTICA APLICADA
sendo x a quantia de linhas de ônibus e S o índice de sa-
tisfação das pessoas. Quantas linhas produzem a maior 
satisfação? 
Obs. Como o problema fala em maior satisfação, entende-
mos que é um problema de máximo e mínimo da função. 
Passo 1: encontrar os pontos críticos.
Resolvendo a equação encontramos x1= -5 e x2= 15. 
Obs. Caso você não se lembre como resolver a equação 
,retome o seu material de Cálculo Zero. 
Neste exemplo não é preciso analisar qual ponto é de máxi-
mo e qual é de mínimo, pois tratando-se de linhas de ônibus só 
são admitidas respostas positivas. Assim, 15 linhas maximizam 
a satisfação das pessoas. 
Síntese do Capítulo 
Neste capítulo iniciamos os estudos em relação a uma 
poderosa ferramenta da Matemática: o Cálculo. Vamos nos 
lembrar de que sempre que quisermos saber a taxa de variação 
de um determinado fenômeno é calculado com a derivada da 
função, substituindo-se o valor do ponto na derivada. Também 
podemos encontrar os pontos críticos de uma função, igualando 
sua derivada a zero. 
Exercícios - Capítulo 04
1) Certa empresa estima que o custo de produção de uma peça é dado 
por C(x) = 3x2 +5x + 10. Se o preço de venda é R$ 45,00, qual é o lucro 
marginal para a produção de 10 peças? 
2) Seja o custo de produção de um determinado bem modelado por 
C(x)= 0,01x3 - 0,5x2 +300x +100. Qual é o custo marginal para a produção 
de 10 unidades?
3) A função receita de uma determinada empresa é dada por R(x)= 
2x2 + 1000x. Qual é a receita marginal para a produção de 50 unidades?
4) Um hospital estimou que a sua receita mensal seja dada por R(x)= 
-30x2 + 6.000x, sendo o custo dado por C(x)= 1.200x +8.000, sendo x a 
quantidade de pacientes atendidos. Qual é o lucro marginal no atendimento 
de 20 pacientes?
5) Uma indústria estima que, para certo produto a receita é modelada 
por R(x)= -50x2 +2.000x e que o custo é C(x)= 300x + 6.000, sendo x a 
quantia vendida. Qual é o lucro marginal na venda de 8 unidades?
6) A temperatura de um objeto (em graus Fahrenheit), 
como função do tempo, (em minutos) é dada pela função para 
. 
A que taxa o objeto esfria depois de 10 minutos?
7) Uma projeção revela que daqui a t anos a população de uma certa 
cidade será P mil habitantes, segundo a função P(t)= -t3+9t2+48t+200. A 
que taxa a população estará aumentando daqui a 3 anos?
68MATEMÁTICA APLICADA
GABARITO
Capítulo 01
1) d 
2) 27 m³
3) R$ 1.250,58 
4) R$ 10.555,83
5) d 
6) d 
7) a
Capítulo 02
1) R$ 1470,00 
2) R$ 2250,00
3) 800 peças 
4) Aproximadamente 114,66 produtos
5) a) b) x-7 c) d) e) f) a+b
6) 25por 35
7) 4 anos
Capítulo 03
1) 50 e 350 
2) A 
3) C 
4) 100
5) 625 
6) 2 e 3 
7) Y= 5x+4 
8) D
9) B
10) B
Capítulo 04
1) -20 
2) 293
3) 1200
4) 3.600
5) 900
6) -15oF/min.
7) 75 mil 
REFERÊNCIAS
BIANCHINI, E; PACCOLA, E. Curso de Matemática: volume único. 2 ed. São Paulo: Moderna, 1998.
DEMANA, F. D. (org.). Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
DEWDNEY, A.K., 20.000 léguas matemáticas: Um passeio pelo misterioso mundo dos números. Tradução de Vera Ribeiro. Rio de Janeiro: 
Zahar, 2000.
GIMENES, C.M. Matemática financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
THOMÁS, G. B. Cálculo volume 1. Tradução de Kléber Pedroso e Regina Smille de Macedo. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
	números reais 
	Conjuntos numéricos
	Representação dos números reais
	Ordem na reta e a notação de intervalo
	Operações com números reais
	Operações com frações
	Potenciação
	Síntese do Capítulo 
	Exercícios - Capítulo 01
	tópicos em álgebra 
	Sistemas de equações
	Fatoração
	Síntese do Capítulo 
	Exercícios - Capítulo 02
	Funções e suas aplicações
	Aspectos gerais sobre funções
	Funções do Primeiro grau
	Funções do segundo grau ou quadrática
	Síntese do Capítulo 
	Exercícios - Capítulo 03
	Introdução ao Cálculo 
	Diferencial 
	Derivadas
	Regras de derivação 
	Outras regras de derivação 
	Derivadas de ordem superior
	A interpretação geométrica da derivada 
	Síntese do Capítulo 
	Exercícios - Capítulo 04
	GABARITO
	REFERÊNCIAS