Apostila de Calculo Tecnico II

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COLÉGIO SATC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina na modalidade a distância 
 
APOSTILA DE CÁLCULO TÉCNICO II 
 
Professora Tutora: Morgana Nuernberg Sartor Faraco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRICIÚMA – SC 
 
 
 
COLÉGIO SATC 
 
Diretor 
Carlos Antônio Ferreira 
 
 
Coordenadora Colégio SATC 
Izes Ester Machado Beloli 
 
 
Coordenadora Gera 
Maria da Graça Cabral 
 
 
Orientadora Pedagógica 
Ana Alíria da Silva Peres 
 
 
Coordenador do Curso 
Gilberto Fernandes da Silva 
 
 
Professora Conteudista 
Morgana Nuernberg Sartor Faraco 
 
 
Designer Instrucional 
Patrícia Medeiros Paz 
 
Diagramadoras 
Flavia Giassi Patel 
Patricia Medeiros Paz 
 
 
Revisoras de Ortográfia 
Flavia Giassi Patel 
Patricia Medeiros Paz 
 
 
 
 
 Este material é de responsabilidade do autor. O conteúdo está licenciado para o Colégio SATC 
e a sua reprodução e distribuição autorizada no âmbito dos cursos técnicos/EaD. 
O conteúdo poderá ser citado em trabalhos acadêmicos e/ou profissionais, desde que 
identifique a fonte. 
A cópia total ou parcial sem autorização expressa da Coordenação dos Cursos Técnicos em 
EaD, constitui crime contra a propriedade intelectual, conforme estipulado na Lei de Direitos 
Autorais vigente, com sanções previstas no Código Penal. 
 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO .................................................................................................... 05 
 
UNIDADE 1: TRIGONOMETRIA ............................................................................... 07 
TÓPICO 1: TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................................. 08 
TÓPICO 2: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, CO-SENO E TANGENTE ... 15 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 29 
CHECK LIST ............................................................................................................. 32 
 
UNIDADE 2: ESTATÍSTICA BÁSICA ....................................................................... 33 
TÓPICO 1: LEITURA E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA ............................................ 34 
TÓPICO 2: FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATIVA ............................................. 39 
TÓPICO 3: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA ................................ 41 
EXERCÍCIO ............................................................................................................... 43 
CHECK LIST ............................................................................................................. 49 
 
UNIDADE 3: MATRIZES E DETERMINANTES ........................................................ 50 
TÓPICO 1: MATRIZES ............................................................................................. 51 
TÓPICO 2: DETERMINANTES ................................................................................. 61 
TÓPICO 3: NÚMEROS COMPLEXOS ...................................................................... 65 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 81 
CHECK LIST ............................................................................................................. 86 
 
GABARITO COMENTADO ....................................................................................... 87 
 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
APRESENTAÇÃO 
 
Bem-vindo(a) ao componente curricular Cálculo Técnico II do curso técnico de 
Eletrotécnica, na modalidade a distância, da SATC. 
Na estudaremos na Unidade 1 o teorema de Pitágoras, mais precisamente o 
triângulo retângulo. Já na Unidade 2 trabalharemos estatística básica. Por fim, na 
Unidade 3, trabalharemos com as matrizes, as determinantes e os números complexos. 
A carga horária desta disciplina é de 35 horas/aula. Os horários de estudo 
poderão ser organizados de acordo com a conveniência de cada aluno, lembrando que 
há prazos para a conclusão das atividades propostas. Fiquem atentos para as datas das 
avaliações presenciais e on-line, que são publicadas pelos professores no Ambiente 
Virtual de Aprendizagem (AVA) e para trabalhos adicionais solicitados pelo professor. 
Para o estudo dessa apostila você terá o auxílio de alguns recursos 
pedagógicos que facilitarão o seu processo de aprendizagem. Perceba que a margem 
externa das páginas dos conteúdos são maiores. Elas servem tanto para você fazer 
anotações durante os seus estudos, quanto para o professor incluir informações 
adicionais importantes. Esse material também dispõe de vários ícones de aprendizagem, 
os quais destacarão informações relevantes sobre os assuntos que você está estudando. 
Vejamos quais são eles e os seus respectivos significados: 
 
6 
 
ÍCONES DE APRENDIZAGEM 
 
Indica a proposta de 
aprendizagem para cada 
unidade da apostila. 
 
Mostra quais conteúdos serão 
estudados em cada unidade da 
apostila. 
 
Apresenta exercícios sobre 
cada unidade. 
 
Apresenta os conteúdos mais 
relevantes que você deve ter 
aprendido em cada unidade. Se 
houver alguma dúvida sobre 
algum deles, você deve estudar 
mais antes de entrar nas outras 
unidades. 
 
Apresenta a fonte de 
pesquisa das figuras e as 
citações presentes na 
apostila. 
 
Traz perguntas que auxiliam 
você na reflexão sobre os 
conteúdos e no sequenciamento 
dos mesmos. 
 
Apresenta curiosidades e 
informações 
complementares sobre um 
conteúdo. 
 
Traz endereços da internet ou 
indicações de livros que possam 
complementar o seu estudo 
sobre os conteúdos. 
 
Lembre-se também de diariamente verificar se há publicações de aulas no 
Portal, pois é por meio delas que os professores passarão a você todas as orientações 
sobre esse componente. 
Ainda é bom lembrar que além do auxílio do professor, você também poderá 
contar com o acompanhamento de nosso sistema de Tutoria. Você poderá entrar em 
contato sempre que sentir necessidade, seja pelo e-mail 
tutoria.eadedutec@satc.edu.br ou pelo telefone (48) 3431 – 7590/ 3431 – 7596. 
Desejamos um bom desempenho nesse seu novo desafio. E não esqueça: 
estudar a distância exige bastante organização, empenho e disciplina. 
mailto:tutoria.eadedutec@satc.edu.br
 7 
UNIDADE 1 
TRIGONOMETRIA 
 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá ser capaz de: 
 
 identificar os elementos de um triângulo retângulo; 
 aplicar o Teorema de Pitágoras; 
 aplicar as razões trigonométricas (seno, cosseno e 
tangente) num triângulo retângulo. 
 
 
 Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em dois tópicos, organizada 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: TEOREMA DE PITÁGORAS 
TÓPICO 2: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, CO-SENO 
E TANGENTE 
 
8 
 
TÓPICO 1 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Definimos como triângulo, de forma simplificada, toda 
figura geométrica fechada que possui três lados. O Teorema de 
Pitágoras é válido para um triângulo retângulo. 
 
 
 
 Definimos por triângulo retângulo todo triângulo que 
possui um ângulo interno de 90º, também chamado de ângulo reto 
(90º). Este ângulo é representado pelo símbolo: 
 
 
 
O Teorema de Pitágoras estabelece uma relação de 
cálculo entre os lados de um triângulo retângulo. 
 
 
 
Portanto, todo triângulo retângulo terá uma hipotenusa e 
dois catetos. 
O Teorema de Pitágoras estabelece uma relação de 
cálculo entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo. 
Tal teorema tem grande aplicação prática em desenho, em 
Chamamos de hipotenusa o lado oposto ao ângulo de 
90º que sempre é o maior dos lados de um triângulo 
retângulo. Aos outros lados, chamamos de catetos. 
 
Mas o que é um triângulo retângulo? 
 
Esta definição 
foi baseada no site 
http://www.infoescola.com/administracao_/fluxograma/ 
 
Esta definição 
foi baseada no site 
http://www.infoescola.com/
administracao_/fluxograma/ 
 Esta Unidade 
utilizou como base a 
Apostila de Matemática 
Básica para EJA. do Colégio 
Estadual Yvone Pimentel, de 
Ronald Wykrota, Curitiba – 
Paraná. 2012. Disponível no 
site: wykrota@uol.com.br 
 
 
 
mailto:wykrota@uol.com.br
mailto:wykrota@uol.com.br
 9 
construção civil, em serralherias, em marmorarias, entre outros. 
Podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte maneira: 
 
 
 
Veja o triângulo retângulo: 
 
 
 
O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o 
teorema também pode ser enunciado como uma relação entre 
áreas: 
 
Para um triângulo retângulo, o quadrado do valor da 
sua hipotenusa será igual à soma dos quadrados dos 
seus catetos. 
. 
 A figura ao 
lado foi retirada do site: 
http://naveiadamatematic
a.blogspot.com.br/2010/0
8/trigonometria-no-
triangulo-retangulo.html 
 
 
10 
 
 
 
Para ambos enunciados, pode-se equacionar: 
 
 (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² 
 
Onde a representa o comprimento da hipotenusa, b e c 
representam os comprimentos dos outros dois lados (catetos). 
Então, temos como fórmula do teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 veja a figura abaixo: 
 
 
 
Observe nessa figura que o lado desconhecido está 
representado pela letra c, que no exemplo é um dos catetos. A 
a2 = b2 + c2 
 A figura ao 
lado foi retirada do site: 
http://blog-da-
uniao.blogspot.com.br/20
11_07_03_archive.html 
 
 
 
Assista a um 
vídeo bastante interessante 
que mostra um exemplo de 
aplicabilidade do Teorema 
de Pitágoras meio milênio 
antes de Cristo. Acesse: 
http://www.youtube.com/w
atch?v=4l4Z8qkvSUc 
 
 11 
hipotenusa vale 5 m (pois é este lado que está oposto ao ângulo 
de 90º). 
Como a figura representa um triângulo retângulo, 
precisamos calcular um dos catetos (c), pois temos o outro cateto 
(que vale 4 m) e a hipotenusa. Sendo assim, podemos aplicar o 
Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Agora vamos ao cálculo da figura acima: 
 
a2 = b2 +c2 
 52 = 42 + c2 
 25 = 16 + c2 
 c2 = 9 
 
Para retirar o quadrado do “c2” é só passar para depois 
do sinal de igual “ = “ a raiz quadrada √ , então: 
 
 c = √9 
 
 
 
 
Para facilitar o entendimento, vamos a alguns exemplos. 
 
c = 3 m O valor do cateto c = 3 m 
Importante: usa-se PITÁGORAS sempre que 
tivermos dois lados do triângulo retângulo e 
quisermos achar o terceiro lado. 
12 
 
 determine os lados desconhecidos nos triângulos 
apresentados abaixo: 
 
 
 
Veja que o valor desconhecido está representado pela 
letra a, que no exemplo é o maior dos lados e está oposto ao ângulo 
de 90º (hipotenusa). 
Como a figura representa um triângulo retângulo e 
precisamos calcular a sua hipotenusa, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras. Assim, temos: 
 
a2 = b2 +c2 
 a2 = 40 + 302 
 a2 = 1600 + 900 
 a2 = 2500 
 
Para retirar o quadrado do “a2” é só passar para depois 
do sinal de igual “ = “ a raiz quadrada √ , então: 
 a = √2500 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO 
 
Com relação aos catetos, tanto faz se considerarmos 
b=30 cm e c=40 cm ou c=30 cm e b=40cm. Isso 
acontece, pois a operação a ser realizada é uma 
soma e a ordem dos fatores a serem somados não 
a = 50 cm 
O valor da hipotenusa a = 50 cm 
 13 
 
 
 
 
 
 
Veja a figura abaixo: 
 
 
Note que o lado desconhecido está representado pela 
letra b. A hipotenusa vale 10 m. 
Como a figura representa um triângulo retângulo, no 
qual precisamos calcular um dos catetos e temos o outro cateto (8 
m) e a hipotenusa (10 m), podemos aplicar o Teorema de 
Pitágoras. Assim, temos: 
 
 a2 = b2 +c2 
 102 = b2+ 82 
 100= b2 + 64 
 100 - 64 = b2 
 b2 = 36 
 
Para retirar o quadrado do “b2” é só passar para depois 
do sinal de igual “ = “ a raiz quadrada √ , então: 
 
14 
 
 b = √36 
 b = 6 m 
 
 
 
 
Observe outro triângulo retângulo: 
 
 
 
Veja que o lado desconhecido está representado pela 
letra a, que no exemplo é a hipotenusa. Um dos catetos vale 12 cm 
e o outro vale 15 cm. 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
 
a2 = b2 +c2 
 a2 = 122 + 152 
 a2 = 144 + 225 
 a2 = 369 
 
Para retirar o quadrado do “a2” é só passar para depois 
do sinal de igual “ = “ à raiz quadrada √ , então: 
 a = √369 ou 3√41 
 
 
 
 
b = 6 m O valor do cateto b = 6 m 
a = 19,209 cm 
 “use a calculadora” 
O valor da hipotenusa a = 
19,209 cm 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 2 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, COSSENO E 
TANGENTE 
 
De maneira simplificada, são funções trigonométricas 
básicas que podem ser aplicadas num triângulo retângulo. 
Relacionam os ângulos formados entre dois dos lados de um 
triângulo retângulo com um de seus ângulos internos. 
Possuem grande aplicação na Matemática e nas 
ciências exatas, como a Física e a Química. 
Essas funções trigonométricas são sempre aplicadas 
em relação a um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. 
Assim, sabendo o valor de um dos ângulos internos do triângulo 
retângulo podemos calcular o valor de um dos catetos desse 
triângulo ou até mesmo o valor da sua hipotenusa. 
Para entender as definições de seno, co-seno e 
tangente, se faz necessário conhecer uma nomenclatura bastante 
comum aos triângulos. Para tanto, considere o triângulo retângulo 
abaixo, onde b e c são os catetos: 
 
ATENÇÃO 
Com relação aos catetos, tanto faz se 
considerarmos b=12 cm e c=15 cm ou c=12 cm e 
b=15 cm. Isso acontece, pois a operação a ser 
realizada é uma soma, e a ordem dos fatores a 
serem somados não altera o resultado final, 
mesmo que estes fatores estejam sendo 
elevados ao quadrado. 
. 
16 
 
 
 
Considerando o ângulo α: 
 
 o cateto b encontra-se do lado do triângulo, ficando 
oposto ao ângulo α. Assim, o cateto b será chamado 
de cateto oposto ao ângulo α; 
 o cateto c encontra-se encostado no ângulo α, ficando 
adjacente a ele. Assim, o cateto c será chamado de 
cateto adjacente ao ângulo α. 
 
Considerando o ângulo β: 
 
 o cateto c encontra-se do outro lado do triângulo, 
ficando oposto ao ângulo β. Assim, o cateto c será 
chamado de cateto oposto ao ângulo β; 
 o cateto b encontra-se encostado no ângulo β, 
ficando adjacente a ele. Assim, o cateto b será 
chamado de cateto adjacente ao ângulo β. 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
 
 
Função Seno de um Ângulo α: sen α 
 
Para um triângulo retângulo, o seno de um ângulo 
interno α é igual à razão entre o valor do cateto oposto ao ângulo e 
o valor da hipotenusa desse triângulo. 
 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Função Cosseno de um Ângulo α: cos α 
 
Para um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo α 
é igual à razão entre o valor do cateto adjacente ao ângulo e o valor 
da hipotenusa desse triângulo. 
 
ATENÇÃO 
 Em ambos os casos, a hipotenusa é a 
mesma e está ali representada pela letra a. 
Lembrando que a hipotenusa está sempre 
oposta ao ângulo de 90º. 
 
Sem α = cateto opostohipotenusa 
18 
 
 
 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Função Tangente de um Ângulo α: tg α 
 
Para um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo α 
é igual à razão entre o valor do cateto oposto ao ângulo e o valor 
do cateto adjacente desse triângulo. 
 
 
 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
cos α = cateto adjacente 
 hipotenusa 
 19 
 
 
 
 
Para cada ângulo α do círculo trigonométrico existe um 
valor para sen α, cos α e tg α. Como não faz sentido decorarmos 
cada um desses valores, vamos apresentar duas tabelas com 
valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos que são mais 
utilizados em problemas e exercícios. O conhecimento de uma 
dessas tabelas pode tornar a resolução de um exercício mais 
rápida. 
Na primeira tabela abaixo apresentaremos os valores 
em forma de fração ou raiz, sem fazer as contas. Na segunda 
tabela, apresentaremos o resultado das contas indicadas na 
primeira tabela. É bom lembrar que as duas Tabelas apresentam 
valores absolutamente iguais, porém, escritos de maneira 
diferente. Observe: 
 
 
 
 dado o triângulo retângulo ABC abaixo, calcule: 
tg α = cateto oposto 
cateto adjacente 
Que tal vermos alguns exemplos para 
facilitar nosso entendimento? 
O círculo unitário, círculo 
trigonométrico ou círculo 
goniométrico é um círculo cujo 
centro está localizado na origem do 
plano cartesiano e seu raio mede 1. 
É usado no estudo de funções 
trigonométricas como seno, 
cosseno e tangente. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesiano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
20 
 
 
 
 
Antes de resolver o exercício, vamos identificar quem é 
a hipotenusa e quem são os catetos, em relação a cada um dos 
ângulos: 
 
 hipotenusa: 5 m; 
 em relação ao ângulo α, temos: 
 cateto oposto ao ângulo α: 4m; 
 cateto adjacente ao ângulo α: 3m. 
 em relação ao ângulo β, temos: 
 cateto oposto ao ângulo β: 3m; 
 cateto adjacente ao ângulo β: 4m. 
 
a. sen α 
 
 
 
 21 
 
 
b. cos 
 
 
 
 
c. sen β 
 
 
Para saber qual é o valor do ângulo α, basta consultar na 
tabela de senos e cossenos qual é o ângulo que possui 
0,8 como valor de seno. 
. 
Para saber qual é o valor do ângulo α, basta consultar 
numa tabela de senos e cossenos qual é o ângulo que 
possui 0,6 como valor de cosseno. 
. 
22 
 
 
 
d. cos β 
 
 
 
 
 
e. tg β 
 
 
 
Para saber qual é o valor do ângulo β, basta consultar 
numa tabela de senos e cossenos qual é o ângulo que 
possui 0,6 como valor de seno. 
. 
Para saber qual é o valor do ângulo β, basta consultar 
numa tabela de senos e cossenos qual é o ângulo que 
possui 0,8 como valor de cosseno. 
. 
 23 
 
 
f. tg α 
 
 
 
 
 
 considerando o triângulo retângulo abaixo, 
calcule os lados desconhecidos b e c. 
 
 
 
Para saber qual é o valor do ângulo β, basta consultar 
numa tabela de senos, cossenos e tangentes qual é o 
ângulo que possui 0,75 como valor de tangente. 
. 
Para saber qual é o valor do ângulo β, basta consultar 
numa tabela de senos, cossenos e tangentes qual é o 
ângulo que possui 0,75 como valor de tangente. 
. 
24 
 
Antes de resolver o exercício, vamos identificar quem é 
a hipotenusa e quem são os catetos, em relação a cada um dos 
ângulos: 
 
 hipotenusa: 10 m; 
 em relação ao ângulo de 60º, temos: 
 cateto oposto ao ângulo de 60º: c; 
 cateto adjacente ao ângulo de 60º: b. 
 em relação ao ângulo de 30º, temos: 
 cateto oposto ao ângulo de 30º: b; 
 cateto adjacente ao ângulo de 30º: c. 
 
Primeiramente, calcularemos o valor de b. Como b é o 
cateto oposto ao ângulo de 30º, podemos aplicar a definição de 
seno. Assim, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑠𝑒𝑛 30° = 
𝑏
10
 
 
Para isolar o b, passa-se o 10 que está dividindo para o 
outro lado do sinal de igual multiplicando, assim: 
 
𝑠𝑒𝑛 30° . 10 = 𝑏 
 
Sabendo que sen 30º = 0,5 (esse valor pode ser visto na 
tabela ou você pode usar a calculadora): 
 
0,5 . 10 = 𝑏 
 
𝒃 = 𝟓 𝒎 
 
 25 
 
 
Outra maneira de se calcular b seria notar que b é o 
cateto adjacente do ângulo de 60º. Assim, podemos aplicar a 
definição de cosseno: 
 
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
cos 60° = 
𝑏
10
 
 
Aqui novamente vamos isolar o b, então, passa-se o “10” 
multiplicando o cos 60º: 
 
cos 60°. 10 = 𝑏 
 
Sabendo que cos 60º = 0,5 (esse valor pode ser visto na 
tabela ou você pode usar a calculadora): 
 
0,5 . 10 = 𝑏 
 
𝒃 = 𝟓 𝒎 
 
 
Agora vamos calcular o valor de c. Como c é o cateto 
oposto ao ângulo de 60º, podemos aplicar a definição de seno. 
Assim, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑠𝑒𝑛 60° = 
𝑐
10
 
Há outra maneira de calcularmos o valor de b? 
26 
 
Para isolar o c, passa-se o 10 que está dividindo para o 
outro lado do sinal de igual multiplicando, assim: 
 
𝑠𝑒𝑛 60° . 10 = 𝑐 
 
Sabendo que sen 60º = 0,866 (esse valor pode ser visto 
na tabela ou você pode usar a calculadora): 
 
0,866 . 10 = 𝑐 
 
𝒄 = 𝟖, 𝟔𝟔 𝒎 
 
 
Outra maneira de calcularmos o c seria perceber que c 
é o cateto adjacente do ângulo de 30º. Assim, podemos aplicar a 
definição de cosseno: 
 
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
cos 30° = 
𝑐
10
 
 
Aqui novamente vamos isolar o c, então, passa-se o “10” 
multiplicando o cos 30º: 
 
cos 30°. 10 = 𝑐 
 
Sabendo que cos 30º = 0,866 (esse valor pode ser visto 
na tabela ou você pode usar a calculadora): 
 
0,866 . 10 = 𝑏 
 
𝒃 = 𝟖, 𝟔𝟔 𝒎 
 27 
 um mastro horizontal possui uma altura de 30 m 
e, em determinado momento do dia, ele projeta uma sombra que 
possui comprimento de 17,321 m. Calcule o ângulo de elevação do 
sol em relação ao mastro, neste momento. 
 
 
 
Primeiramente, precisamos saber qual é o ângulo que a 
projeção dos raios luminosos do sol fazem em relação à vertical, 
portanto queremos saber o ângulo que foi chamado aqui de α. 
Sabemos o valor da altura do mastro (30 m), que no triângulo 
apresentado é o cateto oposto ao ângulo α e o comprimento da 
sombra (17,321 m), que nesse caso é o cateto adjacente ao 
ângulo α. 
Precisamos, protanto, utilizar uma relação existente 
entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Analisando as 
definições apresentadas, devemos utilizar a definição de tangente: 
 
𝑡𝑔 𝛼 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 → 𝑡𝑔 𝛼 =
30
17,321
 → 𝑡𝑔 𝛼 = 1,732 
 
Como nosso objetivo é descobrir o ângulo α (e não a sua 
tangente), precisamos consultar a tabela de valores de seno, 
cosseno e tangente para descobrir qual é o ângulo que tem por 
tangente o valor de 1,732. Analisando a tabela 2 (página 18) 
podemos perceber que o ângulo procurado é de 60º. Assim: 
28 
 
 
 
 
Também podemos usar a calculadora sempre que 
quisermos calcular o ângulo. Usaremos a função inversa da 
calculadora. Para isso usa-se a tecla da calculadora que representa 
a 2ª função (2nd ou shift) e depois sen-1, cos-1, tg -1. 
 
 29 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine os lados desconhecidos nos triângulos retângulos 
apresentados abaixo: 
 
 
 
2. Dado o triângulo retângulo ABC abaixo, calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
a. Sen α. 
30 
 
b. Cos α. 
c. Tag α. 
d. sen β. 
e. Cos β. 
f. Tag β. 
 
3. Considerando o triângulo retângulo abaixo, calcule os lados 
desconhecidos b e c. 
 
 
 
4. Um mastro horizontal possui uma altura de 60 m e, em 
determinado momento do dia, ele projeta uma sombra que possui 
comprimento de 34,64203 m. Calculeo ângulo de elevação do sol 
em relação ao mastro, nesse momento. 
 
 
 
 31 
5. Para o triângulo abaixo, determine o valor de y. 
 
 
 
32 
 
 CHECK LIST 
 
O triângulo retângulo é muito utilizado nos cálculos 
matemáticos e podemos reconhecê-lo pela presença do ângulo 
reto ou ângulo de 90°. Para os cálculos que envolvem esse 
triângulo, verificamos que o Teorema de Pitágoras é utilizado para 
calcular um dos lados do triângulo quando a situação-problema nos 
dá os outros dois lados. 
Aprendemos também que, quando a situação-problema 
nos fornece um ângulo e um lado e pede para encontrar outro lado, 
aplicamos as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. 
Também podemos usar essas funções trigonométricas para achar 
um determinado ângulo do triângulo quando conhecemos dois 
lados deste triângulo. 
 Desse modo, nessa unidade você pode apreender: 
 
 a reconhecer um triângulo retângulo; 
 aplicar o Teorema de Pitágoras para resolução de 
situações matemáticas; 
 usar corretamente as relações trigonométricas num 
triângulo retângulo. 
 
 
 
 33 
UNIDADE 2 
 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 ler gráficos; 
 diferenciar frequência absoluta de frequência relativa; 
 diferenciar média aritmética de média ponderada. 
 calcular média aritmética e média ponderada. 
 
 
 Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em três tópicos organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: LEITURA E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA 
TÓPICO 2: FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATIVA 
TÓPICO 3: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA 
 
 
34 
 
TÓPICO 1 
LEITURA E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA 
 
Gráficos Estatísticos 
 
 
 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos 
dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou 
no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do 
fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à 
compreensão que as séries. 
 
Requisitos Básicos de um Gráfico Estatístico 
 
 Simplicidade: trazer apenas o essencial; evitar 
desenhos, etc., que desviem a atenção; 
 Clareza: possibilitar a leitura correta dos valores do 
fenômeno; 
 Veracidade: expressar a verdade sobre o fenômeno 
representado. 
 
Na hora da execução de um gráfico estatístico devemos 
seguir algumas regras: 
 
 colocar o título na parte superior, o subtítulo a seguir, 
de preferência na horizontal, da esquerda para a 
direita; 
 cuidado com a escala utilizada; 
 representação das unidades do fenômeno em estudo; 
 fontes dos dados; 
O que são gráficos estatísticos? 
 
 35 
 legendas claras e nítidas; 
 cores utilizadas. 
 
Gráfico em Linhas 
 
Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para 
representar a série estatística. O gráfico em linha constitui uma 
aplicação do processo de representação das funções num sistema 
de coordenadas cartesianas. 
No gráfico abaixo temos a representação da evolução 
da produção (em toneladas – eixo y) de óleo de dendê no Brasil 
com o passar dos anos (eixo x). 
 
. 
 
 
Você deve usar um gráfico de linhas se seus rótulos de 
categorias são textos e estão representando valores 
uniformemente espaçados como meses, trimestres ou anos fiscais 
 
 
 As 
figuras do Tópico 1 
foram retiradas da 
apostila de 
Matemática Básica, 
Prof. Cícero José – 
UNIBAN. 
 
 
Quando devo utilizar esse tipo de gráfico? 
36 
 
Gráfico em Colunas (Vertical) 
 
É a representação de uma série por meio de 
retângulos, dispostos verticalmente (em colunas). 
Os retângulos têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados. Veja: 
 
 
 
Gráfico em Barras (Horizontal) 
 
É a representação de uma série por meio de 
retângulos, dispostos horizontalmente (em barras). 
Os retângulos têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados. 
 
 37 
 
 
 
Quando os dados estão organizados em colunas ou 
linhas em uma planilha 
 
Gráfico em Setores (Popular Gráfico de Pizza) 
 
O gráfico de composição em setores destina-se a 
representar a composição, usualmente em porcentagem, de partes 
de um todo. Consiste num círculo de raio arbitrário, representando 
o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de 
maneira proporcional. 
Seu emprego é adequado sempre que desejamos 
comparar parte dos dados com o total deles. No gráfico abaixo se 
divide em percentuais os tipos de bibliotecas brasileiras no ano de 
1974 – onde aparece em maior percentual às bibliotecas 
municipais (46%). 
 
Quando devo utilizar esse tipo de gráfico? 
38 
 
 
 
 Histograma 
 
Quando se trata da representação gráfica de distribuição 
de frequências com dados agrupados utilizamos um gráfico 
denominado histograma de frequências absolutas. 
 
 
 
Histograma é um gráfico de barras contíguas, isto é, 
formado por um conjunto de retângulos justapostos. No eixo das 
abscissas (eixo horizontal) marcamos as classes, cujas 
amplitudes correspondem às bases dos retângulos. No eixo das 
ordenadas (eixo vertical) marcamos as frequências absolutas, que 
correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios das 
bases dos retângulos coincidem com os pontos médios dos 
intervalos das classes. 
 
O que é um histograma? 
 39 
 
 
Pictograma 
 
O pictograma constitui um dos processos gráficos que 
melhor fala ao público por sua forma ser atraente e, ao mesmo 
tempo, sugestiva. 
 
 veja um pictograma: 
 
 
 
TÓPICO 2 
FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATIVA 
 
 
Você sabe a diferença de frequência absoluta e 
frequência relativa? 
40 
 
Frequência absoluta é o número de vezes que a 
informação é observada na população. Já a frequência relativa é 
obtida dividindo-se a frequência absoluta pela quantidade de 
elementos da população. 
 
 considere a seguinte situação: o número do efetivo 
empregado na mineração de carvão dos três estados do Sul está 
registrado no quadro abaixo: 
 
Estado Paraná Rio Grande Do Sul Santa Catarina Total 
Nº de empregados 337 669 4140 5146 
 
Com essas informações, escreveremos uma tabela que 
registre a frequência absoluta e relativa. 
 
Estado 
Frequência 
Absoluta 
Frequência Relativa 
Paraná 337 
337/5146 = 0,065x100 = 6,5% 
5146 
Rio Grande do Sul 669 
669 = 0,13x100 = 13% 
5146 
fazendo arredondamento 
Santa Catarina 4140 
4140 = 0,805x100 = 80,5% 
5146 
fazendo arredondamento 
Total 5146 100% 
 
 
População é o conjunto dos 
elementos aos quais 
desejamos pesquisar 
alguma característica. 
 
 41 
TÓPICO 3 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA 
 
A média aritmética simples é a medida de posição mais 
utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso 
dia a dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza 
com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é 
calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o 
resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao 
número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números 
é sua soma dividida por n. 
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, 
todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o 
mesmo peso. Dizemos, então, que elas têm o mesmo peso 
relativo. No entanto, existem casos em que as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média 
deve levar em conta essa importância relativa ou peso relativo. 
Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. 
Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média 
ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", 
isto é, sua importância relativa. 
Podemos utilizar a média aritmética simples para definir 
qual é a média de empregados na mineração nos três estados do 
Sul. Veja o cálculo: 
Dados: 
 
Santa Catarina = 4140 empregados 
Paraná = 337 empregadosRio Grande do Sul = 669 empregados 
 
média = (337 + 669 + 4140) ÷ 3 
média = (5146) ÷ 3 
média = 1715 empregados. 
 
42 
 
Assim podemos fazer algumas conclusões. Uma delas 
é que o estado de Santa Catarina tem um número bem superior à 
média dos três estados, enquanto Paraná tem aproximadamente a 
quinta parte da média. 
Vamos agora exemplificar o cálculo da média aritmética 
ponderada. 
Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de 
Ciências Aplicadas: 10,0; 8,0; 3,0. Mas soube que a primeira prova 
teria peso 3, a segunda teve peso 2 e a terceira teria peso 5. Para 
calcular sua média do bimestre teve que calcular a média 
ponderada de suas notas. 
Vamos aos cálculos: 
 
10 . 3 + 8 . 2 + 3 . 5
3 + 2 + 5
= 
30 + 16 + 15
10
= 
61
10 
= 6,1 
 
Observe que a média foi 6,1 e que não atingiu o valor 
mínimo de 7. 
Observe que foi cometido um erro! Os pesos não estão 
na ordem correta! A primeira prova teria peso 3, a segunda peso 5 
e a terceira teria peso 2. Vejamos se houve alguma mudança: 
 
10 . 3 + 8 . 5 + 3 . 2
3 + 5 + 2
= 
30 + 40 + 6
10
= 
76
10 
= 7,6 
 
Note que agora o aluno foi aprovado, afinal de contas a 
média final até melhorou! 
 
 43 
EXERCÍCIOS 
 
1. (ENEM – MEC) Uma pesquisa de opinião foi realizada para 
avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 
20 e 21 horas, durante uma determinada noite. Os resultados 
obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir: 
 
 
 
Agora, responda as questões abaixo: 
 
a. Qual foi aproximadamente o número de residências atingidas 
nessa pesquisa? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
b. Qual é aproximadamente a porcentagem de entrevistados que 
declararam estar assistindo à TvB? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
44 
 
2. O histograma seguinte mostra os gastos dos n clientes de um 
supermercado registrados em um caixa expresso durante uma 
manhã. 
 
 
 
a. Determine o valor de n. 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
b. Que porcentagem do total de clientes gastou pelo menos 20 
reais? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
c. Que porcentagem do total de clientes gastou menos de 15 reais? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
3. O gráfico a seguir indica a quantidade de bolos vendidos por um 
supermercado numa certa semana. Observe: 
 45 
 
 
 
a. Em que dia da semana a venda foi maior? Em que dia foi menor? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
b. Quantos bolos foram vendidos na quinta-feira? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
c. Em quais dias da semana foram vendidas as mesmas 
quantidades? Quais foram as quantidades? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
 
d. Quantos bolos foram vendidos nessa semana? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
46 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
e. Que porcentagem do total da semana representará as vendas 
do domingo? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
4. Abaixo está o histograma dos resultados da avaliação de 
matemática dos alunos do curso de eletrotécnica presencial. No 
eixo horizontal constam as notas obtidas pelos alunos, enquanto 
no eixo vertical estão especificadas as quantidades de alunos. 
Sabendo-se que a nota mediana, obtida por essa turma, foi igual a 
6,0 (seis). Sobre a média das notas dessa turma é correto afirmar 
que: 
 
 
a. É inferior a 6,0. 
b. É igual a 6,0. 
c. É superior a 6,0. 
d. É impossível fazer uma estimativa precisa da média. 
5. Qual é a média aritmética simples dos números11, 7,13 e 9? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
 47 
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 
30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 
5? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
7. As alturas em cm dos alunos de uma turma de 10º ano são as 
seguintes: 
 
 
 
Agora complete a tabela a seguir: 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx#anchor_ex2
48 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade trabalhamos com diferentes gráficos e 
aprendemos a interpretá-los. Diferenciamos também a frequência 
absoluta da relativa bem como apreendemos a calcular a média 
aritmética e a média ponderada. Assim, para compreender e 
efetuar os cálculos nas próximas unidades você deverá: 
 
 interpretar gráficos observando-os; 
 trabalhar com cálculos de média aritmética e 
ponderada para poder aplicar no dia a dia de um 
técnico em eletrotécnica. 
 
 49 
UNIDADE 3 
MATRIZES E DETERMINANTES 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 realizar operações matemáticas com matrizes de 
qualquer ordem; 
 calcular determinantes; 
 utilizar os números complexos identificando a parte 
real e o imaginário; 
 resolver as operações básicas de adição, subtração, 
multiplicação e divisão envolvendo os números 
complexos. 
 
 Plano de Estudos 
Esta unidade está dividida em três tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: MATRIZES 
TÓPICO 2: DETERMINANTES 
TÓPICO 3: NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
50 
 
TÓPICO 1 
MATRIZES 
 
Em quase todos os jornais e revistas é possível 
encontrar tabelas informativas. Na matemática chamaremos estas 
tabelas de matrizes. 
Matriz é um conjunto de elementos dispostos, 
ordenadamente, em linhas e colunas. 
Quando trabalhamos com matrizes, em geral utilizamos 
apenas os números das tabelas, organizando-os em linhas e 
colunas, entre parênteses, colchetes ou entre duas barras (os dois 
primeiros são mais comuns). Veremos que essas representações 
utilizadas facilitarão nosso trabalho,quando estudarmos as 
operações com matrizes. 
Observação: utilizamos uma letra maiúscula para 
identificar matrizes. 
 
 observe o exemplo: 
 
Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ª Divisão 
Inglaterra 34363 18221 7849 
Alemanha 39109 17950 3964 
Espanha 31126 8341 ** 
Itália 22697 5838 2869 
Brasil 12401 7958 3274 
 
Sobre o exemplo acima, podemos dizer que esta matriz 
é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas. O primeiro número 
indica o número de linhas e o segundo o número de colunas. 
 Esta Unidade 
foi baseada na Apostila de 
Matriz e Determinantes de 
Cassio Kiechaloski Mello. 
E também em Matemática 
Aplicada na Educação 
Profissional/ Luiz Fernando 
Lopes , Luiz Roberto Calliari 
– Curitiba, PR: Base 
Editorial, 2010. 
 
 
 51 
Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i 
é a linha e j a coluna onde se encontra este elemento. 
Genericamente, uma matriz será representada da 
seguinte forma: 
 
 
 
Na figura acima temos A= (aij)mxn, tal que: 
 
 i e j são os índices de a; 
 m e n são os índices de aij; 
 
 construir a matriz M = (mij) 2x3, onde mij = 2i + j. 
 
Vamos montar uma matriz 2 x 3 ( 2 por 3), ou seja, com 
2 linhas e 3 colunas ( pois: i = 2 e j = 3): 
 
M = [
𝑚11 𝑚12 𝑚13
𝑚21 𝑚22 𝑚23
] 
 
 Todos os valores foram representados por “m” e com 
sua respectiva linha e coluna (exemplo: m11 está na 1ª linha e na 
1ª coluna). 
Agora vamos calcular o valor para cada elemento da 
matriz, usando a fórmula que rege a matriz do exemplo (mij = 2i + 
j): 
 
m11 = 2i + j = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 
52 
 
m12 = 2i + j = 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4 
m13 = 2i + j = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
m21 =2i + j = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5 
m22 =2i + j = 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6 
m23 =2i + j = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
 
Com os valores calculados podemos montar a matriz: 
 
M = [
3 4 5
5 6 7
] 
 
Tipos Especiais de Matrizes 
 
Existem alguns tipos de matrizes que são especiais e 
por isso serão apresentadas e identificadas abaixo. 
 
 
Matriz Linha 
 
Matriz formada por apenas uma linha. Quando m = 1 
(matriz com 1 linha ). 
 
 A = [3 5 -2] 
 
Matriz Coluna 
 
Matriz formada por apenas uma coluna. Quando n = 1 
(matriz com 1 coluna ). 
 
 A =[
𝟑
𝟓
−𝟐
] 
 
 53 
Matriz Quadrada 
 
Quando m = n (a matriz possui o mesmo número de 
linhas e colunas). 
 
 A = [
𝟑 𝟏 𝟕
𝟐 𝟎 −𝟑
𝟏𝟎 𝟒 𝟓
] 
 
O exemplo acima possui 3 linhas e 3 colunas (3x3). 
 
Matriz Diagonal 
 
Quando aij = 0 se i ≠ j. Somente acontece em matriz 
quadrada (na qual o número de linhas é igual ao número de 
colunas). Como pode ser observado no exemplo abaixo, a 
diagonal da matriz quadrada 3x3 possui valores ≠ de 0 e valores = 
0 para os demais elementos. Observe: 
 
 A = [
𝟑 𝟎 𝟎
𝟎 𝟖 𝟎
𝟎 𝟎 𝟓
] 
 
A = [
𝟑 𝟎 𝟎
𝟎 𝟖 𝟎
𝟎 𝟎 𝟓
] = [
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑
] 
 
 Para aij onde i=j o valor é ≠ 0 →(a11, a22, a33); 
 Para aij onde i≠j o valor é = 0 →(a12, a13,a21, a23, a31, 
a32). 
 
A matriz possui valores diferentes de zero em uma das 
diagonais, contudo é uma matriz diagonal. 
 
 
54 
 
Matriz Identidade 
 
 É uma matriz diagonal na qual aij = 1 se i = j. Então, a 
diagonal é composta por 1 e o restante por 0. 
 
 A = [
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
] 
 
A matriz possui valores iguais a 1 (um) em uma das 
diagonais. 
 
Matriz Transposta 
 
Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma 
matriz. 
No exemplo abaixo, está representada a matriz M e sua 
transposta MT (que é assim representada). Como pode ser 
observado as linhas viraram colunas: 
 
 M = [
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
𝟕 𝟖 𝟗
] MT = [
𝟏 𝟒 𝟕
𝟐 𝟓 𝟖
𝟑 𝟔 𝟗
] 
 
 
A matriz MT foi obtida transformando as linhas da matriz 
M em colunas. 
 
Igualdade entre Matrizes 
 
Duas matrizes são iguais se todos os seus elementos 
correspondentes forem iguais. 
 
 observe abaixo: 
 55 
 
[
𝒂 𝟑
𝟓 𝒅
] = [
𝟐 𝒅
𝒄 𝟕
] Então, a = 2, 
 b = 3, 
 c = 5 e 
 d = 7. 
 
Operações com Matrizes 
 
Adição 
Na adição de matrizes somamos os elementos iguais 
de cada matriz, ou seja, os elementos pertencentes à mesma 
linha e a mesma coluna. 
 
 
 
 veja um exemplo: A + B: 
 
A = [
3 5 −1
2 1 3
] B= [
4 5 −1
2 1 3
] 
 
 
A + B= [
3 + 4 5 + 5 −1 + (−1)
2 + 2 1 + 1 3 + 3
] = [
7 10 −2
4 2 6
] 
 
 
Subtração 
 
Subtraímos os elementos iguais de cada matriz, ou seja, 
os elementos pertencentes à mesma linha e a mesma coluna. 
 
 
 
 
 veja um exemplo: A – B: 
 
A = [
3 5 −1
2 1 3
] B= [
4 5 −1
2 1 3
] 
 
 
A + B = (aij + bij)mxn 
 
A – B = (aij – bij)mxn 
 
56 
 
A + B= [
3 − 4 5 − 5 −1 − (−1)
2 − 2 1 − 1 3 − 3
] = [
−1 0 0
0 0 0
] 
 
 
 as matrizes abaixo são as que serão utilizadas 
para a realização da seguinte operação: 
 
A = [
1 0
3 2
] B = [
2 3
5 −2
] C = [
−1 2
5 1
] 
 
𝐷 = 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 
 
Primeiro, subtrai-se os elementos A11-B11 e 
posteriormente soma-se o resultado da subtração com o elemento 
C11 e assim sucessivamente com os demais elementos das 
matrizes, como é mostrado a seguir: 
 
A-B+C = [
1 0
3 2
] - [
2 3
5 −2
]+ [
−1 2
5 1
] = [
1 − 2 + (−1) 0 − 3 + 2
3 − 5 + 5 2 − (−2) + 1
] = 
[
−2 −1
3 5
] 
 
Multiplicação por Escalar 
 
Se multiplicarmos uma matriz por um número real 
qualquer, todos os elementos dessa matriz serão multiplicados por 
este número. 
 
 observe o exemplo a seguir: 
 
3 x [
2 3
5 1
] = [
6 9
15 3
] 
 
 
 
 57 
Multiplicação de Matrizes 
 
A multiplicação de matrizes consiste em multiplicar os 
membros da linha da 1° matriz pelos membros da coluna da 2° 
matriz, na qual os elementos devem ser somados, constituindo um 
único item posicional da matriz. Observe: 
 
[𝐴32] × [𝐵22]= 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
] x [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
] = 
[
𝑎11 × 𝑏11 + 𝑎12 × 𝑏21 𝑎11 × 𝑏12 + 𝑎12 × 𝑏22
𝑎21 × 𝑏11 + 𝑎22 × 𝑏21 𝑎21 × 𝑏12 + 𝑎22 × 𝑏22
𝑎31 × 𝑏11 + 𝑎32 × 𝑏21 𝑎31 × 𝑏12 + 𝑎32 × 𝑏22
] 
 
 
 
 
 observe as matrizes a seguir e calcule AxB. 
Lembre-se: verifique se o número de colunas de A é igual ao 
número de linhas de B (nA = 3 e mB = 3). Após multiplique a linha 
de A pela coluna de B. 
 
𝐀 = [
𝟐 𝟓 𝟗
𝟑 𝟔 𝟖
] 
𝐁 = [
𝟐 𝟕
𝟒 𝟑
𝟓 𝟐
] 
[A] × [B] = [
2 5 9
3 6 8
] × [
2 7
4 3
5 2
] = 
 
Só podemos multiplicar A por B se o número 
de colunas de A for igual ao número de linhas 
de B. 
58 
 
[
(2x2) + (5x4) + (9x5) (2x7) + 5x3) + (9x2)
(3x2) + (6x4) + (8x5) (3x7) + (6x3) + (8x2)
]= 
 
[
4 + 20 + 45 14 + 15 + 18
6 + 24 + 40 21 + 18 + 16
] = [
69 47
70 55
] 
 
Matriz Inversa 
 
Agora vamos aprender a calcular a matriz Inversa. 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa 
de A se AxB = BxA = In. Neste caso, chamaremos B de A-1. Uma 
matriz só é inversível se seu determinante for diferente de 0. 
 
 observe a matriz a seguir e ache a A-1: 
 
 
A = [
1 2
3 4
] 
 
Primeiramente, vamos multiplicar a matriz A por uma 
matriz qualquer: 
 
[𝐴] × [𝑋] = [
1 2
3 4
] × [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
 
Aplicando o que nós já aprendemos, encontramos o 
seguinte resultado: 
 
[𝐴] × [𝑋] = [
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑
] 
 
O próximo passo é igualarmos a matriz encontrada a 
uma matriz identidade: 
 
[
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑
] = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
 
 59 
Assim podemos montar um sistema com quatro 
variáveis e quatro equações: 
 
{
a + 2c = 1
3𝑎 + 4𝑐 = 0
𝑏 + 2𝑑 = 0
3𝑏 + 4𝑑 = 1
 
 
Agora é só resolver o sistema, obter o valor de ‘a’, ‘b’, 
‘c’, ‘d’ e substituir na matriz: 
 
a + 2c = 1 
a = 1 – 2c 
 
3a + 4c = 0 ( substituindo a) 
3(1 – 2c) + 4c = 0 
3 – 6c + 4c =0 
3 – 2c = 0 
-2c = -3 
c = 3/2 
 
a = 1 – 2c ( substituindo c) 
a = 1 – 2(3/2) 
a = 1 – 6/2 
a = 1 – 3 
a = -2 
b + 2d = 0 
b = -2d 
 
3b + 4d = 1 ( substituindo b) 
3(-2d) + 4d = 1 
-6d + 4d = 1 
-2d = 1 
60 
 
d = -1/2 
 
b = -2d (substituindo d) 
b = -2(-1/2) 
b = 2/2 
b = 1 
A matriz inversa de [A]= 
 
[𝐴]−1 = [
−2 1
3
2
−
1
2
] 
 
TÓPICO 2 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante de uma matriz o número 
real associado a ela, ou seja, determinante é uma função matricial 
que associa a cada matriz quadrada (no qual o número de linhas é 
igual ao número de colunas) um valor escalar; ela transforma essa 
matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz 
tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas 
cujo determinante é igual a 0. 
Somente definimos o determinante de uma matriz 
quadrada, então precisamos relembrar o que é uma matriz 
quadrada, certo? Uma matriz quadrada nada mais é que uma 
matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas. 
Para se indicar o determinante de uma matriz utiliza-se 
a seguinte representação: 
𝐴 = [
2 5
1 3
] → det A = |
2 5
1 3
| 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_matricial
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)#Matriz_quadrada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Escalar
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversa
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero
 61 
Determinante de 1ª Ordem 
 
O determinante da matriz [A] de ordem n=1 é o próprio 
número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª 
ordem A = [a11] temos que o determinante é o número real a11: 
 
A=[a 11] →det A = a11 
 
 calcule o determinante de [A]: 
 
[A] = [3] 
 
Det [A] = 3 
 
Determinante de 2ª Ordem 
 
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a 
diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o 
produto dos termos da diagonal secundária. 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] 
 Diagonal secundária Diagonal principal 
 
det [A] = 𝑎11 × 𝑎22 − 𝑎12 × 𝑎21 
 
 calcule o determinante de [A]: 
 
𝐴 = [
2 1
4 3
] 
 
det [A] = 2 × 3 − 1 × 4 
det [A] = 6 − 4 
det [A] = 2 
Determinante de 3ª Ordem 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_quadrada
62 
 
 
Aplica-se a regra de Sarrus. 
A Regra de Sarrus é um método para o cálculo do 
determinante de matrizes quadradas de ordem 3, consiste em em 
começar por escrever à direita da matriz as duas primeiras colunas 
da mesma ou escrever à baixo da matriz as duas primeiras linhas 
da mesma como segue abaixo: 
 
 
 
Somam-se, então, os produtos dos elementos das 
diagonais que partem de cima e da esquerda e subtraem-se os 
produtos dos elementos das diagonais que partem de cima e da 
direita: 
 
 
Utilizando o exemplo que duplicamos as duas primeiras 
colunas, vamos fazer a multiplicação conforme a indicação das 
setas: 
 
Det A = (a11 . a22 . a33 + a12. a23. a31 + a13 . a21. a32) - ( a13 . a22 . 
a31 + a11 . a23 . a32 + a12. a21. a33) 
 
 
 calcule o determinante de [A]: 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sarrus
http://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_quadrada
 63 
A = [
1 3 10
−1 1 10
0 2 10
] → vamos duplicar as duas primeiras colunas 
 |
1 3 10
−1 1 10
0 2 10
| |
1 3
−1 1
0 2
| 
 
Det (A) = ( (1.1.10) + (3.10.0) + (10.(-1).2)) – ((0.1.10) + (2.10.1) + 
(10.(-1).3) = 
= (10 + 0 + (-20)) – (0 +20 + (-30)) = 
 -10 – (-10) = 
 -10 + 10 = 0 
 
Propriedades dos Determinantes 
 
 Toda matriz quadrada que possui uma linha ou 
coluna nula tem determinante nulo; 
 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao 
determinante de sua matriz transposta; 
 Toda matriz que possui duas linhas ou colunas iguais 
tem determinante nulo; 
 O determinante muda de sinal quando se troca a 
posição de duas linhas ou colunas; 
 Uma matriz quadrada que possui duas linhas ou 
colunas proporcionais tem seu determinante nulo; 
 O determinante do produto de duas matrizes é igual 
ao produto dos determinantes; 
 Multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz por 
um número real K, seu determinante fica 
respectivamente multiplicado por K; 
 Uma matriz quadrada que possui todos os elementos 
de um mesmo lado da diagonal principal iguais a zero 
tem determinante igual ao produto dos elementos da 
diagonal principal. 
 
 
64 
 
TÓPICO 3 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
 
A união dos conjuntos dos números naturais, inteiros, 
racionais e irracionais formam o conjunto dos números reais. 
A criação do conjunto dos números reais se deu ao longo de todo 
o processo de evolução da matemática, atendendo às 
necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os 
matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de 
uma equação do 2º grau. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 
0, aplicando o Teorema de Bháskara, como já estudamos em 
Cálculo Técnico I: 
 
𝑥 = 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 = 
−2 ± √22 − 4.1.5
2.1
 
𝑥 =
−2 ± √4 − 20
2
 
𝑥 =
−2 ± √−16
2
 
 
Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com 
a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a 
resolução dentro do conjunto dos números reais, pois não existe 
número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado 
número negativo. A resolução dessas raízes só foi possível com a 
criação e a adequação dos números complexos, por Leonhard 
Importante: os números complexos serão de 
extrema importância para análise de circuitos 
em correntes alternadas – por isso, prestem 
bastante atenção a este conteúdo! 
 
 Este 
Tópico foi baseado no 
site: 
http://www.brasilescol
a.com/matematica/co
njunto-dos-numeros-
complexos.htm 
 
 
 
 65 
Euler. Os números complexos são representados pela letra C e são 
mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse 
conjunto a seguinte fundamentação: 
 
i² = -1 
 
Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das 
raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -
1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a 
raiz quadrada de números negativos. Observe o processo para 
equação do 2º grau acima: 
 
√−16 = √−1 .16 =√−1. 42 = √−1. √42 
 
Teremos então: 
 
√−1 = i 
√42 = 4 
 
Portanto: 
 
√−16 = 4 i 
 
A necessidade de se obter a solução de tal equação 
motivou o estudo de raízes com índice par de números negativos. 
Então, Euler foi um dos pioneiros neste estudo ao designar a raiz 
quadrada de -1 como sendo a unidade imaginária, ou seja: 
 
𝒊 = √−𝟏 
 
Relembrando: quando temos a raiz quadrado de um 
lado do sinal de igual (=) e queremos passá-la para o outro lado, 
devemos inverter a operação. Ou seja, levar essa raiz para o outro 
66 
 
lado do sinal de igual, permanecendo o expoente com o mesmo 
índice da raiz. 
Portanto, 𝒊 = √−𝟏 
 i 2 = -1 
 
Em outro exemplo de equação do 2º grau, ao resolver a 
equação x² + 4 = 0, obtemos como solução x² = - 4 ou: 
𝑥 = ±√−4 → 𝑥 = ±√4(−1) → 𝑥 = ±2√−1 → 𝑥1 = +2√−1 𝑒 𝑥2 =
 −2√−1, 
 
Portanto, se 𝒊 = √−𝟏 teremos: 
𝑥1 = +2√−1 𝑒 𝑥2 = −2√−1, 
 
𝒙𝟏 = 𝟐𝒊 𝒐𝒖 𝒙𝟐 = −𝟐𝒊 
 
Ao se chamar a unidade imaginária 𝒊 = √−𝟏 fica criado 
o Conjunto dos Números Complexos, que é uma aplicação do 
conjunto dos números reais. 
 
 
 
Os números complexos constituem o maior conjunto 
numérico existente. Observe a representação abaixo: 
 
Número Complexo = Parte Real + Parte 
Imaginária 
 
 67 
 
 
 
 
 
Nela destacamos: 
 
 N: conjunto dos números naturais; 
 Z: conjunto dos números inteiros; 
 Q: conjunto dos números racionais; 
 I: conjunto dos números irracionais; 
 R: conjunto dos números reais; 
 C: conjunto dos números complexos. 
 
Forma AlgébricaUm número complexo na forma algébrica provém de um 
par ordenado que pode ser representado no sistema cartesiano 
ortogonal, também chamado de plano de Argand-Gauss ou, ainda, 
plano imaginário. Observe: 
 
 
 
Então, todo número complexo z = (a,b) pode ser 
expresso na forma algébrica por: 
 
z = a + bi 
Esta figura foi 
retirada do site: 
http://www.profezequias.n
et/complexos.html 
 
 
68 
 
 
Onde: a = parte real e bi = parte imaginária, sendo: 
a = coeficiente da parte real e b = coeficiente da parte imaginária. 
O conjunto dos números complexos “C”, na forma 
algébrica pode ser assim definido: 
C ={𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 𝑒 𝑖 = √−1} 
 
O conjunto dos números complexos “C” é igual a soma 
do coeficiente da parte real “a” com o coeficiente da parte 
imaginária “bi”, sendo a, b pertencente ( 𝜖) ao conjunto dos 
números reais (𝑅) e i igual à raiz quadrada de menos um (𝑖 = √-1). 
 
 observe os casos abaixo: 
 
1. 𝑧1 = 3 + 2𝑖 
Onde: a = 3 
 b = 2 
 
2. 𝑧2 = 5 − 2𝑖 
Onde: a = 5 
 b = - 2 
 
3. 𝑧3 = 2 + 0𝑖 
Onde: a = 2 
 b = 0 
 
Neste caso z3 é chamado de número real, pois a parte 
imaginária é igual à zero. 
 
4. 𝑧4 = 0 − 4𝑖 
Onde: a = 0 
 b = -4 
 69 
 
Neste caso z4 é chamado de número imaginário puro, 
pois a parte real é igual à zero. 
 
5. 𝑧5 =
4+6𝑖
3
 
Onde: a = 
4
3
 
 b = 
6
3
 = 2 
 
Potências de i 
 
Como já visto 𝑖 = √−1 . Considerando as potências 
deste número, sendo n um número inteiro, podemos estabelecer: 
 
𝑖0 = 1 
𝑖1 = 𝑖 
𝑖2 = 𝑖 . 𝑖 = √−1 . √−1 = −1 
𝑖3 = 𝑖2 . 𝑖 = (−1) . 𝑖 = −𝑖 
𝑖4 = 𝑖2 . 𝑖2 = (−1) . (−1) = 1 
𝑖5 = 𝑖3 . 𝑖2 = (−𝑖) . (−1) = + 𝑖 
𝑖6 = 𝑖3 . 𝑖3 = (−𝑖) . (−𝑖) = 𝑖2 = −1 
𝑖7 = 𝑖 . 𝑖6 = 𝑖 . (−1) = −𝑖 
......... 
Notamos que as potências de 𝑖 são periódicas de 
período igual a 4 . E sendo isto verdade, notamos que essa 
periodicidade sempre será: 1, i, -1,-i, 1, i, -1, -i.....de período em 
período. 
Vamos explicar como chegar nesses valores 1, i, -1, -i 
que irão se repetir sempre. 
 
𝒊𝟎 = 𝟏 
 Todo número elevado a zero é 1; 
𝒊𝟏 = 𝒊 
1 , i , -1, -i 
1 , i , -1, -i 
70 
 
 Todo número elevado a 1 é ele próprio; 
 
𝒊𝟐 = 𝒊 . 𝒊 = √−𝟏 . √−𝟏 = −𝟏 
 Sabemos que o número imaginário 
i = √−𝟏, portanto 𝒊𝟐 = ( √−𝟏)
𝟐
neste caso, 
vamos cortar a raiz quadrada com o 
expoente 2 (𝒊𝟐 = ( √−𝟏)
𝟐
) e irá resultar 
apenas -1. 
𝒊𝟑 = 𝒊𝟐 . 𝒊 = (−𝟏) . 𝒊 = −𝒊 
 Nesse caso, podemos dizer que 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐 . 𝒊 
(pois, segundo a regra dos expoentes: 
multiplicação de bases iguais (no caso i) 
conserva-se a base e soma os expoentes (o 
contrário também é verdadeiro). 
Substituímos 𝒊𝟐 = −𝟏 ficamos com: 𝒊𝟐 . 𝒊 =
(−𝟏) . 𝒊 = −𝒊 
 
E assim finalizamos a periodicidade de período igual a 
4: 
 
1, i , -1, -1 
 
Para resolver os expoentes maiores que quatro, 
dividimos o expoente por 4 e o resto desta divisão será o novo 
expoente do número imaginário, o qual estará dentro da 
periodicidade. 
 
 Podemos, então, generalizar as potências de i como 
sendo: 𝑖𝑛, n ∈ N, n ≥ 4, dividindo o expoente n por 4 e igualando o 
𝒊𝒏 = 𝒊𝒓, onde r é o resto da divisão. 
 
“⎿ " 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 
 71 
𝑛 ⎿4
𝑟 𝑞
, 𝑛 = 4. 𝑞 + 𝑟 
 
 
 
1. 𝑖13 ; 13⎿4; r = 1; 𝑖13 = 𝑖1 → 𝑖13 = 𝑖 
 1 3 
2. 𝑖27; 27⎿4; r = 3; 𝑖27 = 𝑖3 = -i 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖3 = 𝑖2. i = -1. 𝑖 = -𝑖 
 3 6 
3. (3 − 2𝑖)2 = 32 – 12𝑖 + 4𝑖2 = 9 – 12𝑖 + 4.(-1) = 5 – 12𝑖. 
 
Igualdade de Números Complexos 
 
 Dois números complexos são iguais se as partes reais, 
entre si, e os coeficientes das partes imaginárias, entre si, forem 
iguais. 
 Se: 
 z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i , então: 
 z1 = 𝑧2 ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 e 𝑏1= 𝑏2 
 
 
 𝑧1 = 𝑥 − 7𝑖 e 𝑧2 = 4 + 𝑦𝑖 
 Se 𝑧1 = 𝑧2 ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 e 𝑏1= 𝑏2 então; 
a1 = x a2 = 4 então x = 4 
b1 = -7 b2 = y então y = -7 
 
Conjugado dos Números Complexos 
 
Para se obter o conjugado de um número complexo, 
basta inverter o sinal de coeficiente da parte imaginária, ou seja, 
basta mudar o sinal do número que acompanha o número 
72 
 
imaginário “i”. Se for positivo (+) fica negativo (–) e se for negativo, 
fica positivo. 
 Se z = a + bi, o conjugado de z é denotado por: 
 𝑧̅ = a – bi. 
 
 
 
 quais os conjugados dos números complexos 
abaixo: 
 
1. 𝑧1 = 2 + 3𝑖 → 𝑧1̅= 2 - 3𝑖 
2. 𝑧2 = √3 + 𝑖 → 𝑧2̅ = √3 − 𝑖 
3. 𝑧3 = −𝜋𝑖 → 𝑧3̅ = +𝜋𝑖 
 
 
Adição 
 
Na operação de adição entre os números complexos, 
somam-se as partes reais e os coeficientes das partes imaginárias, 
respectivamente. 
 z1 = 3 − 4i e z2 = −2 + 3i 
 
Neste caso vamos somar as partes reais a1 = 3 e a2 = -2 
e os coeficientes das partes imaginárias b1 = -4 e b2 = 3 
z1+ z2 = [3 + ( −2)] + [( −4) + 3]i = 
1 − 1i = 
1 − i 
 
 (2 + 5i) + (3 + 4i) = 
 
Pessoal!!! Note que um traço 
sobre o número complexo z, 
representa o seu conjugado 𝑧̅. 
 73 
Neste caso, aparece uma operação de adição entre dois 
números complexos, novamente vamos somar as partes reais e as 
partes imaginárias. 
Partes reais a1 = 2 e a2 = 3, esta soma vai resultar em 
2 + 3 = 5. Agora, os coeficientes das partes imaginárias são b1 = 5 
e b2 = 4, esta soma irá resultar em 5 + 4 = 9. 
Portanto: 
(2 + 5i) + (3 + 4i) = 5 + 9i 
 
Subtração 
 
Na operação de subtração subtraem-se as partes reais 
e os coeficientes das partes imaginárias, respectivamente. 
Então, aqui faremos como as operações de adição só 
que neste caso iremos subtrair. 
 
 z1 = 5 + 4i e z2 = 7 + 3𝑖 
 
Neste caso vamos subtrair as partes reais a1 = 5 e a2 = 
7, esta subtração irá resultar em 5 - 7 = -2. Subtrair também os 
coeficientes das partes imaginárias b1 = 4 e b2 = 3, esta subtração irá 
resultar em 4 - 3 = 1. 
 
z1 − z2 = (5 − 7) + (4 − 3)i = −2 + 1i = −2 + i 
 
 
(2+ 5i) - (3 + 4i) 
 
Neste caso vamos subtrair as partes reais a1 = 2 e a2 = 
3, essa subtração irá resultar em 2 - 3 = -1. Subtrair também os 
coeficientes das partes imaginárias b1 = 5 e b2 = 4, essa subtração 
irá resultar em 5 - 4 = -1. 
z1 − z2 = (2 − 3) + (5 − 4)i = 
74 
 
−1 − 1i = 
−1 − i 
 (1 + i) - (1 - i) = 
 
Neste caso vamos fazer de forma direta sem apresentar 
o passo a passo da subtração, ok? É fácil e simples! 
 
(1 + i) - (1 - i) = 
0 +1i = 
i 
 
Neste caso, a parte real se anulou e deixou de existir, 
resultando em apenas 1i, que pode ser representando por apenas 
“i”. Como a parte real não existe, chamamos esse número 
complexo de imaginário puro. 
 
Multiplicação 
 
Na multiplicação de números complexos aplica-se a 
propriedade distributiva. Podemos chamar também essa 
multiplicação de “chuveirinho”, na qual o primeiro número a1 
multiplica a2 e b2 e o segundo número b1 multiplica novamente a2 e 
b2. 
 
 
 
 
z1 = 2 − 5i e z2 = 3 + 2i 
 
 
 75 
z1. z2 = 2 . 3 + 2 . 2i + 3. (-5i) + 2i. (-5i) = 6+ 4i - 15i -10i
2 
=z1 . z2 = 6 − 11i − 10𝑖
2 
 
Quando aparecer o i2 podemos utilizar a regra das 
potências dos números imaginário e substituir o i2 por -1. 
Então, como i2 = −1 : z1 . z2 = 6 − 11i − 10. (−1) = 6 −
11i + 10 = 16 − 11i 
 
(2 + 3i) . (3 - 2i), vamos aplicar o chuveirinho! 
 
 
(2 + 3i) . (3 - 2i) 
 
 
z1. z2 = 2 . 3 + 2 . −2i + 3. (3i) + (-2i). (3i) = 6 - 4i + 9i - 6i
2 
 
Vamos realizar as operações com os termos 
semelhantes =z1 . z2 = 6 + 5i − 6𝑖
2. Quando aparece o i2 podemos 
utilizar a regra das potências dos números imaginários e substituir 
o i2 por -1. 
Então, como i2 = −1, : z1 . z2 = 6 + 5i − 6. (−1) = 
6 + 5i + 6 = 12 + 5i 
 
 (1 + 3i) (1 + i), vamos aplicar o chuveirinho! 
 
 
 
 (1 + 3i) (1 + i) 
 
 
z1. z2 = 1 . 1 + 1 .i + 1. (3i) + i. (3i) = 1 + i + 3i + 3i
2 
 
76 
 
Vamos realizar as operações com os termos 
semelhantes =z1 . z2 = 1 + 4i + 3𝑖
2 
Quando aparece o i2 podemos utilizar a regra das 
potências dos números imaginários e substituir o i2 por -1. 
Então, como i2 = −1, : z1 . z2 = 1 + 4i + 3. (−1) = 
1 + 4i − 3 = 
−2 + 4i 
 
Divisão 
 
O quociente entre dois números complexos é obtido 
multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do 
denominador: 
 
Z1
Z2
=
Z1 . 𝑧2̅
Z2. 𝑧2̅
 
 
 
 
Pessoal, vamos relembrar que para encontrar o 
conjugado (𝑧̅ ) de um número complexo basta inverter o sinal do 
coeficiente da parte imaginária, ou seja, basta mudar o sinal do 
número que acompanha o número imaginário “i”. 
Para compreender melhor vamos acompanhar a 
resolução dos exemplos: 
 
 
i
i


2
1510
 = 
Como é uma divisão de números complexos, 
precisamos multiplicar o numerador e denominador dessa fração 
pelo conjugado z̅ do denominador. 
O primeiro passo, então é definir o conjugado do 
denominador: 
NUMERADOR 
DENOMINADOR 
 77 
 
Conjugado do denominado: 
basta mudar o sinal da parte imaginária z̅ = 2 + i 
Já no segundo passo é fazer a multiplicação do 
numerador e denominador pelo conjugado do denominador 
encontrado acima. 
 
 .
2+i
2+i
 
 
Como vimos na multiplicação dos números complexos 
vamos aplicar a regra do chuveirinho – propriedade distributiva. 
 
 
 
.
2+i
2+i
 = 
(−10 .2)+(−10 .i)+(15i .2)+(15i .i)
(2.2)+(2.i)+(−i.2)+(−i.i)
 = 
 
−20−10i+30i+15i2
4+2i−2i−i2
 
 
Vamos resolver as operações com os termos 
semelhantes. 
 
−20+20i+15i2 
4−i2
 
 
Agora vamos aplicar as propriedades de potência dos 
números complexos. Onde tem i2 podemos substituir por: i2 = -1 
 
−20+20i+15.(−1) 
4−(−1)
 =
−20+20i−15 
4+1
 = 
−35+20i 
5
 
 
i
i


2
1510
i
i


2
1510
i
i


2
1510
DENOMINADOR 
78 
 
Agora podemos dividir os coeficientes do número 
complexo pelo denominador 5. 
−35+20i 
5
=-7 + 4i 
 
i
i


1
31
 
 
Como é uma divisão de números complexos, 
precisamos multiplicar o numerador e denominador dessa fração 
pelo conjugado z̅ do denominador. 
 
O primeiro passo, então é definir o conjugado do 
denominador: 
 = 
 
Conjugado do denominado: basta mudar o sinal da parte 
imaginária z̅ = 1 − i 
O segundo passo é fazer a multiplicação do numerador 
e denominador pelo conjugado do denominador encontrado acima. 
 .
1−i
1−i
 
 
Como vimos na multiplicação dos números complexos 
vamos aplicar a regra do chuveirinho – propriedade distributiva. 
 
 
.
1−i
1−i
 = 
(1 .1)+(1 .−i)+(3i .1)+(3i .−i)
(1.1)+(1.−i)+(i.1)+(i.−i)
 
 
 
1−i+3i−3i2
1−i+i−i2
 
i
i


1
31
i
i


1
31
i
i


1
31
DENOMINADOR 
 
 79 
 
Vamos resolver as operações com os termos 
semelhantes. 
 
1+2i−3i2
1−i2
 
 
Agora vamos aplicar as propriedades de potência dos 
números complexos. Onde tem i2 podemos substituir por: i2 = -1 
 
1+2i−3(−1)
1−(−1)
 = 
1+2i+3
1+1
 = 
4+2i
2
 = 
 
Agora podemos dividir os coeficientes do número 
complexo pelo denominador 2. 
 
4+2i
2
 = 2 + 1i = 2 + i 
 
80 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Dada a Matriz 𝐴 = [
3 2
8 5
] encontre [𝐴]𝑇e [𝐴]−1 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
2. Faça as operações solicitadas abaixo: 
 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
3. Dada as matrizes abaixo: 
 
 81 
 
 
Obtenha: 
 
 
4. Determine a matriz inversa das seguintes matrizes: 
 
 
 
 
82 
 
5. Para a matriz [A] dada abaixo, qual matriz representa [A]²: 
 
 
 
 
6. Dado as matrizes abaixo, o valor de 2A-3B-C é: 
 
 
 
 83 
 
 
7. Calcule o valor de cada um dos determinantes: 
 
 
 
 
84 
 
8. Determine o coeficiente da parte real e o coeficiente da parte 
imaginária de cada um dos números complexos. 
 
a. 𝑍 = 2𝑖 − 3 
b. 𝑍 = − 7𝑖 
c. 𝑍 = 9 
d. 𝑍 = 
8+3𝑖
7
 
e. 𝑍 = 12 − √3𝑖 
 
9. Representem, no plano imaginário, os complexos: 
 
𝑎) 𝑍1 = 2 + 𝑖 
𝑏) 𝑍2 = −3𝑖 
 
10. Efetue as operações: 
 
a. (1 + i) . ( 3 – 2i) = 
b. (3 + i ) . (-i) = 
c. 
4−𝑖
3+𝑖
 = 
d. (2 + 3i ) . (1 - 𝑖5) + 2i -3 = 
e. 
(2+i) 
(7−3i)
= 
 
 85 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 a realizar operações matemáticas simples entre 
matrizes; 
 identificar e calcular diversos tipos de matrizes; 
 calcular determinantes de qualquer ordem. 
 
 
 
 
86 
 
GABARITO COMENTADO 
 
UNIDADE 1 
 
Questão 1 
Para resolver este exercício precisamos usar a regra: 
 
HIPOTENUSA2 = CATETO2 + CATETO2 
 
a. HIPOTENUSA2 = CATETO2 + CATETO2 
 
Que podemos representar da seguinte maneira: 
 
a2 =b2 + c2 
a2 = 120 2 + 1602 
a2 = 14.400 + 25.600 
a2 = 40.000 
a = √40.000 
a = 200 cm 
 
b. HIPOTENUSA2 = CATETO2 + CATETO2 
 
a2 =b2 + c2 
352 = 202 + c2 
1.225 = 400 + c2 
c2 = 1.225 – 400 
c2 = 825 
c = √825 
c = 28,72 m (aproximadamente) 
 
c. HIPOTENUSA2 = CATETO2 + CATETO2 
 
a2 =b2 + c2 
 87 
212 = b2 + 192 
441 = b2 + 361 
b2 = 441 – 361 
b2 = 80 
b= √80 
b = 8,94 m (aproximadamente) 
 
Questão 2 
Para determinarmos os senos e cossenos dos ângulos α e β, usaremos as funções 
trigonométricas: 
 
Sen α = cateto oposto Cos α = cateto adjacente Tg α = cateto oposto 
 hipotenusa hipotenusa cateto adjacente 
 
a. senα = 8/13 = 0,615 
b. cosα = 6/13 = 0,461 
c. tgα = 8/6 = 1,3333... 
d. senβ = 6/13 = 0,461 
e. cosβ = 8/13 = 0,615 
f. tg β =6/8 = 0,75 
 
Questão 3 
Neste caso vamos utilizar novamente as funções: 
 
Sen α = cateto oposto Cos α = cateto adjacente 
 hipotenusa hipotenusa 
 
Para calcular o lado b podemos usar: 
 
Sen 30º = b/110 
0,5 = b/110 
b = 0,5 x 110 
b = 55 cm 
88 
 
Ou ainda por: cos 60º = b/110 →verifique se você encontra o mesmo resultado. 
 
Para calcular o lado c: 
 
Sen 60º = c/110 
0,86 = c/110 
C = 94,6 cm 
 
Ou ainda por: cos 30º = c/110 →verifique se você encontra o mesmo resultado. 
 
Questão 4 
Para o cálculo do ângulo β retiramos os dados do problema que são: Cateto Oposto (CO) 
ao ângulo β = 60 m e Cateto Adjacente (CA) ao ângulo β= 34,64203 m. A relação 
trigonométrica que utiliza cateto oposto e adjacente é a tangente do ângulo. Portanto: 
 
Tg β= CO 
 CA 
Tg β= 60/34,64203 
Tg β=1,732 m 
 
Agora para determinar o ângulo cujo tangente é 1,732 m → usa-se a calculadora 
científica na segunda função tan-1(1,732) = 59,99927222. 
 
Resposta: β= 60º “aproximadamente”. 
 
Questão 5 
Para determinar o valor de y com os dados da questão podemos resolver por: 
 
Sen 30º = 115/y 
0,5 = 115/y 
Y = 115/0,5 
Y = 230 cm 
 
Ou podemos resolver por: 
 89 
Cos 60º= 115/y → Resolva para ver se você consegue chegar ao mesmo resultado! 
 
UNIDADE 2 
 
Questão 1 
a. Esta questão você responde com uma simples contagem: 
 
TvA = 30; TvB = 30; TvC = 20; TvD = 100 e nenhum canal = 20. 
Portanto: 30+30+20+100+20 = 200 
 
b. Vamos estabelecer uma regra de três simples. 
 Número de residências 
 200 (TOTAL) 100%30 (TvB) x 
 
200x = 3000 
x = 3000:200 
X = 15 % 
 
Questão 2 
a. n = números de clientes? Para achar n basta somente somar os valores do eixo y 
 (vertical) do gráfico: 
 
n = 15 + 31+ 20 + 25 + 10 +19 = 120 clientes 
 
b. ao menos gataram R$ 20: resolve-se por regra de três: 
 
120 clientes --------100% 
(20 + 31 + 15) ------x? 
120 x = 6600 
X = 6600/120 x = 55% 
 
c. Gastaram menos de 15 reais – regra de três: 
90 
 
120 clientes --------100% 
( 31 + 15) ------x? 
120 x = 4600 
X = 4600/120 x = 38,333..% 
 
Questão 3 
a. A venda foi menor na segunda e quarta–feira com 50 bolos vendidos em cada dia. 
A venda foi maior no domingo, 175 bolos. 
 
b. 125 bolos vendidos na quinta-feira: 5 x 25 = 125. 
 
c. Quantidades iguais de bolos vendidos: 
segunda e quarta-feira foram vendidos 50 bolos cada dia; 
terça e sexta-feira foram vendidos 75 bolos. 
 
d. 28 kits de 25 bolos cada, portanto: 28 x 25 = 700 bolos na semana. 
 
e. Regra de três: 700 bolos -------100% 
 175---------------- x 
 X = 17500 / 700 x = 25% 
 
Questão 4 
Vamos calcular a média aritmética das turmas usando a nota média de cada coluna: 
 
( 2x2,5 + 3x3,5 + 5x4,5 + 8x5,5 + 4x6,5 + 5x7,5 + 5x8,5 + 4x9,5 ) = 
 36 
 5 + 10,5 + 22,5 + 44 + 26 + 37,5 + 42,5 + 38 = 226 ≈ 6,28 
 36 36 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra c. É superior a 6,0. 
 
 91 
Questão 5 
Somam-se os valores e divide-se pelo número de ocorrências: 
 
11+ 7+ 13 +9 = 40 = 10 
 4 4 
 
Questão 6 
 
10x1 + 14x2 + 18x3 + 30x5 = 242 = 22 
 1 + 2 + 3 + 5 11 
 
Questão 7 
 
Frequência absoluta é o número de vezes que a informação é observada na população. 
 Já a frequência relativa é obtida dividindo-se a frequência absoluta pela quantidade de 
elementos da população. 
 
Classe Frequência absoluta Frequência relativa 
[165,170[ 6 
( existem 7 números entre 165 e 170 o 
 170 não entra: 167, 169, 168, 165, 165, 
 166) 
6 ÷25 = 0,24 x 100= 24% 
[170,175[ 7 
(174, 173, 170, 171, 173, 171,171) 
7 ÷25 = 0,28 x 100= 28% 
[175,180[ 6 
(177, 178, 175, 179, 178, 176) 
6 ÷25 = 0,24 x 100= 24% 
[180,185[ 4 
(184, 183, 182,180) 
4 ÷25 = 0,16 x 100= 16% 
[185,190[ 2 
(185, 187) 
2 ÷25 = 0,08 x 100= 8% 
Total 25 alunos 100% 
 
 
92 
 
UNIDADE 3 
 
Questão 1 
 𝐴 = [
3 2
8 5
] encontre [𝐴]𝑇e [𝐴]−1. 
Trasposta da matriz A =AT . 
Na matriz transposta o que é linha vira coluna, portanto AT= 𝐴 = [
3 8
2 5
] 
 
Agora para achar a matriz inversa da matriz A =A-1. 
Primeiramente, vamos multiplicar a matriz A por uma matriz qualquer: 
 
𝐴 = [
3 2
8 5
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = 
 
Aplicando o que nós já aprendemos (linha x coluna), encontramos o seguinte resultado: 
 
𝐴 = [
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 8𝑑
8𝑎 + 5𝑐 8𝑏 + 5 𝑑
] 
 
O próximo passo é igualarmos a matriz encontrada a uma matriz identidade: 
 
𝐴 = [
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 8𝑑
8𝑎 + 5𝑐 8𝑏 + 5 𝑑
] = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
 
Assim podemos montar um sistema com quatro variáveis e quatro equações: 
{
3a + 2c = 1
8𝑎 + 5𝑐 = 0
3𝑏 + 8𝑑 = 0
8𝑏 + 5𝑑 = 1
 
 
Agora é só resolver o sistema, obter o valor de ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’ e substituir na matriz: 
 
8a + 5c = 0 
a= -5c 
 8 
 
3a + 2c = 1 ( substituído a) 
3(– 5c/8) + 2c = 1 
(– 15c/8) + 2c = 1 
 93 
-1,875c + 2c = 1 
0,125c = 1 
c = 8 
 
a= -5c ( substituindo c) 
 8 
a = -5.(8)/8 
a = -5 
 3b = -2b 
b = -2b/3 
8b + 5d = 1 ( substituindo b) 
8(-2d/3) + 5d = 1 
-5,33333333d + 5d = 1 
-0,3333333d = 1 
 
d = -1/0,33333 
d= - 3,000003 aproximadamente -3 
3b = -2d (substituindo d) 
b = -2 (-3) 
 3 
b = 6/3 
 
b = 2 
 
A matriz inversa de [A]= [
−5 2
8 −3
] 
 
Questão 2) 
 
 a. (
3 5
7 3
8 6
) + (
2 6
−3 8
7 −2
) = (
3 + 2 5 + 6
7 + (−3) 3 + 8
8 + 7 6 + (−2)
) = (
5 11
4 11
15 4
) 
 
Só podemos somar ou subtrair os elementos pertencentes à mesma linha (i) e coluna 
(j). 
 
b. (
3 −7 0
15 1 −6
) + (
−10 0 3
−5 1 −7
) = (
3 + (−10) −7 + 0 0 + 3
15 + (−5) 1 + 1 −6 + (−7)
) =
 (
−7 −7 3
10 2 −13
) 
 
 
94 
 
Questão 3 
A= (
2 3 7
5 6 0
) B= (
0 4
1 −1
3 2
) 
 
a. 
1
3
 . A 
 
1
3
 . (
2 3 7
5 6 0
) Devemos multiplicar todos os elementos dessa matriz por 
1
3
. 
 
1
3
 . A = (
2
3
1
7
3
5
3
2 0
) 
 
b. 2. B ⇒ 2. (
0 4
1 −1
3 2
) = (
0 8
2 −2
6 4
) 
 
c. 3A + 2𝐵𝑇 
 
3.a = 3 (
2 3 7
5 6 0
) = (
6 9 21
15 18 0
) 
 
O que é linha vira coluna = matriz transposta. 
 
2.𝐵𝑇= 2. (
0 1 3
4 −1 2
) = (
0 2 6
8 −2 4
) 
 3A + 2𝐵𝑇 
 (
6 9 21
15 18 0
) + (
0 2 6
8 −2 4
) = (
6 11 27
23 16 4
) 
 
d. A*B 
 ↓ ↓ 
(
2 3 7
5 6 0
)
2𝑋3
 * (
0 4
1 −1
3 2
)
3𝑋2
 
 
 95 
Lembrando que na multiplicação de matrizes multiplica-se linha por coluna. E para poder 
ocorrer a multiplicação, o número de colunas do 1º deve ser igual ao número de linhas 
do 2º. 
 
 
 
(
2𝑋0 + 3𝑋1 + 7𝑋3 2𝑋4 + 3𝑋(−1) + 7𝑋2
5𝑋0 + 6𝑋1 + 0𝑋3 5𝑋4 + 6𝑋(−1) + 0𝑋2
) 
 
 
 
 
(
26 19
6 14
)
2𝑋2
 
 
A resposta vai ser dada por uma matriz com o mesmo número de linhas da 1º (2) e o 
mesmo número de colunas da 2º (2). Só podemos somar ou subtrair os elementos 
pertencentes à mesma linha (i) e coluna (j). 
 
Questão 4 
a. Matriz Inversa A-1 →deve-se multiplicar a matriz por outra matriz qualquer 
(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) e igualar por uma matriz identidade (
1 0
0 1
) portanto: 
(
4 −1
3 2
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 (
4𝑎 − 𝑐 4𝑏 − 𝑑
−3𝑎 + 2𝑐 −3𝑏 + 2𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 {
4𝑎 − 𝑐 = 1
−3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
4𝑏 − 𝑑 = 0
−3𝑏 + 2𝑑 = 1
 
2c =3a 4b = d substituindo em : −3𝑏 + 2𝑑 = 1 
 c = 
3𝑎
2
 -3b + 2.(4b)= 1 
 4a – c = 1 -3b +8b = 1→ 5b = 1→b = 
𝟏
𝟓
 
4a -
𝟑𝒂
𝟐
= 𝟏 substituindo b, temos: 4b=d → 4. 
𝟏
𝟓
 = d →d =
𝟒
𝟓
 
8𝑎−3𝑎
2
 = 1 
5a =2 
8 
21 3 2 -3 14 
0 6 0 20 -6 0 
96 
 
a= 
𝟐
𝟓
 substituindo a em c, temos: c = 
3𝑎
2
 →c = 3.
2
5
 /2 →c = 
6
5
2
1
 →c = 
6
5
 .
1
2
 →c = 
𝟔
𝟏𝟎
=
𝟑
𝟓
 pois simplificamos por 2. 
 
Resposta: 
(
2
5
1
5
3
5
4
5
) 
 
b. (
5 0
1 2
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 (
5𝑎 5𝑏
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
5a = 1 5b = 0 a + 2c = 0 b + 2d = 1 
 a = 
𝟏
𝟓
 b = 0 
1
5
 + 2c = 0 0 + 2d = 1 
 2.c = 
−1
5
 d = 
𝟏
𝟐
 
 c = 
−𝟏
𝟏𝟎
 
 
c. (
8 9
7 8
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 (
8𝑎 + 9𝑐 8𝑏 + 9𝑎
7𝑎 + 8𝑐 7𝑏 + 8𝑎
) = (
1 0
0 1
) 
 {
8𝑎 + 9𝑐 = 1
7𝑎 + 8𝑐 = 0
 {
8𝑏 + 9𝑑 = 0
7𝑏 + 8𝑑 = 1
 
 7a = -8c 8b = -9d 
 a = 
−𝟖𝒄
𝟕
 b = 
−𝟗𝒅
𝟖
 
 
 8𝑎 + 9𝑐 = 1 7𝑏 + 8𝑑 = 1 
 8 (
−8𝑐
7
) + 9𝑐 = 1 7 (
−9𝑑
8
) + 8𝑑 = 1 
 
−64𝑐
7
+ 
9𝑐
1
= 1 
−63𝑑
8
+
8𝑑
1
= 1 
−64𝑐+63𝑐
7
= 1 
−63𝑑+64𝑑
8
= 1 
 97 
−𝑐 = 7 𝒅 = 𝟖 
𝒄 = −𝟕 
Substituindo: 
𝑎 =
−8𝑐