Prob Est III Parte 3

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Probabilidade e 
Estatística III
Parte 3
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Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória cujos valores são expressos em uma 
escala contínua é dita uma variável aleatória contínua.
Definição: uma variável aleatória é contínua quando o 
conjunto de valores possíveis (imagem) for não numerável.
Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar 
de valores específicos e portanto: P (X = k) = não existe.
Exemplos:
• volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;
• resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste 
padrão;
• tempo de resposta de um sistema computacional;
• grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.
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Função Densidade de Probabilidade
Definição: para uma variável aleatória contínua X, uma função 
densidade de probabilidade é uma função tal que:
i) f(x) ≥ 0
ii) ∫ f(x) dx = 1 se -∞ < x < +∞
iii) P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f(x) dx = área sob a curva de a
até b para qualquer a, b.
- ∞
b
lim sup
lim inf
b
a
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Variável Aleatória Contínua
• Probabilidade determinada a partir da área sob a curva: 
• P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f(x) dx 
b
a
P(a ≤ x ≤ b)
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Função Repartição de Probabilidades
Definição: Função Repartição de Probabilidades (Função de 
Probabilidade Acumulada) de uma variável aleatória contínua X
é:
F (k) = P(X ≤ k) = ∫ f(x) dx , - ∞ ≤ k ≤ + ∞
k
- ∞
- ∞ k +∞
k
lim inf
P(X ≤ k) = F(k) 
k- ∞ + ∞ 
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Esperança, Variância e Desvio-Padrão
Definição: suponha que X seja uma variável aleatória contínua
com uma função densidade de probabilidade f(x). 
• A média ou valor esperado de X é dado por:
E(x) = µ = ∫ x f(x)dx
• A variância de X, denotada por V(X) ou ơ2 :
VAR(X) = ∫ x 2 f(x)dx – [E(x)] 2
• O desvio padrão: Ơ(X) = √ [VAR(X)]
- ∞
lim sup
lim inf
lim sup
lim inf
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Exercícios
1. Seja X a variável aleatória contínua que representa a 
temperatura (em graus) de certa experiência, tal que sua 
função densidade de probabilidade é dada por:
2x para 0 ≤ x ≤ 1;
0 para x < 0 ou x >1.
Se medirmos a temperatura em um instante qualquer:
a) qual a probabilidade de a temperatura ser inferior a 0,75o?
b) qual o valor esperado (média) para a temperatura?
c) qual o desvio-padrão?
f (x) =
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Resposta
a)
b)
P(X < 0,75) = ∫ 2x dx = 2. (x2/2) = 0,56
0,75
0
1
0
1
0
0,75
0
P(X < 0,75) = ∫ 2x dx = 2. (x2/2) = 0,56
0,75
0
0,75
0
E(X) = ∫ x. 2x dx = 2 .(x3/3 ) = 0,67 
1
0
1
0
c) A Variância de X é dada por:
V(X) = ∫ x 2. f(x)dx – µ 2 = ∫ x 2. 2x dx – (0,67) 2 = 
= 2. (x4/4) - 0,45 = 0,05 → б(x) = [ V(x) ]½ = 0,22
1
0
1
0
a)
b)
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Exercícios
2. Suponha que o tempo de resposta de um microprocessador 
(em segundos) possa ser representado por uma variável 
aleatória contínua cuja função densidade é dada abaixo. 
a) Encontre a probabilidade de num certo comando esse 
tempo superar 3 segundos?
b) Qual o valor esperado e o desvio padrão do tempo de 
resposta desse microprocessador?
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Resposta
a) P(T>3)
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Resposta
b) valor esperado e o desvio padrão do tempo de resposta do 
microprocessador.
E(t) = ∫ t. f(t) dt = ∫ t. 2e-2t dt =
Var (t) = E (t2) - µ2 = 
onde E(t2) = ∫ t2.2e-2t dt = 
∞
0
∞
0
0
∞
0
∞
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Exercício proposto
3. Um posto de gasolina recebe o combustível uma vez por 
semana. As vendas do passado sugerem uma função 
densidade de probabilidade das vendas semanais X, medida 
em milhares de litros, dada por:
X - 1 se 1< X < 2
f(x)= 3 - X se 2 < X < 3
0 caso contrário. 
Calcule:
a) a probabilidade de que, em dada semana sejam vendidos 
1,5 a 1,8 milhares de litros. Resp: 0,1950
b) a média de vendas semanais. Resp: 2,0
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Distribuição Uniforme
Seja uma variável aleatória contínua X cuja função densidade 
de probabilidade é dada por:
f(x) = __1__ , a ≤ x ≤ b,
b – a
Logo, X terá uma distribuição de probabilidades Uniforme.
Notação: x ~ U (a, b).
Obs: A distribuição Uniforme atribui uma densidade igual ao 
longo de um intervalo (a,b).
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Graficamente
∫ f (x) dx = 1 (área do retângulo)
∫ __dx___ = 1b – a
b
a
∫ f (x) dx = 1 (área do retângulo)
∫ __dx___ = 1b – a
Função densidade = f(x) Função repartição = F(x)
a b
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Função Repartição, Esperança, Variância
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Esperança Matemática
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Variância
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Exercícios
1. Dada a variável aleatória contínua x que denota a corrente elétrica 
em um fio medida em mA. Considere que x varie uniformemente 
dentro do intervalo (0,20mA). Calcule:
a) a probabilidade da corrente elétrica medida estar entre 5 e 10 mA.
b) o valor médio e o desvio padrão da corrente elétrica.
Resposta: x ~ U (0, 20)
a) P (5 ≤ x ≤ 10) = (10 – 5) / 20 = 0,25
b) E (x) = (a + b)/2 = (20 + 0)/2 = 10 mA
Var (x) = (b – a)2 /12 = 400/12 = 33,33 mA2
σ (x) = √ 33,33 = 5,77 mA
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Exercícios
2. Seja X uma variável aleatória contínua que representa o 
tempo de usinagem de uma peça numa certa indústria. 
Suponha que o tempo de usinagem pode ser qualquer valor 
no intervalo de 120 até 150 minutos. Suponha ainda que os 
intervalos de um minuto são equiprováveis. Encontre:
a) Probabilidade de uma usinagem durar menos que 130 
minutos;
b) Probabilidade de uma usinagem durar entre que 123 e 143 
minutos;
c) Tempo esperado da usinagem;
d) Desvio padrão do tempo de usinagem.
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Resposta
a) P (X < 130) = (130 – 120) / (150 – 120) = 1/3
b) P (123 < X < 143) = (143 – 123) / (150 – 120) = 2/3
c) E(X) = (120 + 150) / 2 = 135 minutos;
d) Var (X) = (150 – 120)2 / 12 = 75 minutos2
ơ (X) = (75)1/2 = 8,66 minutos.
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Distribuição Normal
Seja X uma variável aleatória contínua cuja função
densidade de probabilidades f(x) é dada por:
Então dizemos que X tem Distribuição Normal (ou
Gaussiana) de Probabilidades.
Notação: x ~ N(μ, σ2) 
- ∞ < x < + ∞
f
-
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Distribuição Normal
• A distribuição Normal é uma distribuição simétrica
em torno da sua média e em forma de sino; 
• Sua forma dependerá dos valores dos parâmetros 
média (μ) e variância (σ2) da distribuição;
• Se x ~ N(μ, σ2) significa que x tem distribuição 
Normal com média μ e variância σ2;
• x = μ é o ponto de máximo da função f(x);
• Os pontos de inflexão são: μ + σ e μ – σ;
• f (x) → 0 quando x → ± ∞
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Graficamente
+∞-∞
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Função Densidade de Probabilidade
- ∞ < x < + ∞
- ∞< x <+∞
f
-
Logo: ∫ f(x) dx = 1
+∞
- ∞
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Distribuição Normal – função densidade
Se: 
e: 
Então se:
8 10 11
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Distribuição Normal Padrão
Se e então:
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Se x ~ N(μ, σ2) → z ~ N(0, 1) 
P(x1≤x≤x2)=P{(x1–μ)/σ ≤ z ≤(x2–μ )/σ}=P(z1≤ z ≤ z2)
Exemplo: Se x ~ N(100, 25) encontre:
a) P(100 ≤ x ≤ 110) ;
b) P(90 ≤ x ≤ 110) ;
c) P(95 ≤ x ≤ 100) ;
d) P(90 ≤ x ≤ 95) ;
e) P( x ≤ 104) ;
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Se x ~ N(100, 25);
a) P(100 ≤ x ≤ 110) =
b) P(90 ≤ x ≤ 110) =
c) P(95 ≤ x ≤ 100) =
d) P(90 ≤ x ≤ 95) =
e) P( x ≤ 104) =
P{ (100 -100)/5 ≤ z ≤ (110 -100)/5} =
= P(0 ≤ z ≤ 2)
P{ (100 -100)/5 ≤ z ≤ (110 -100)/5} =
= P(0 ≤ z ≤ 2)
P{ (90 -100)/5 ≤ z ≤ (110 -100)/5} =
= P(-2 ≤ z ≤ 2)
P{ (95 -100)/5 ≤ z ≤ (100 -100)/5} =
= P(-1 ≤ z ≤ 0)
P{ (90 -100)/5 ≤ z ≤ (95 -100)/5} =
= P(-2 ≤ z ≤ -1)
P{ z ≤ (104 -100)/5 = P (z ≤ 0,8)
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Tabela Normal Padrão 
0 z0 
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Tabela Normal Padrão
P (0 ≤ z ≤ z0)
0 z0 
Tabela Normal Padrão 
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P (0 ≤ z ≤ 1,71) = 0,4564
Ex 1: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
a)
P (0 ≤ z ≤ 1,71) = 0,4564
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Ex 2: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
b)
P (0 ≤ z ≤ 1,71) + 0,5 = 0,4564 + 0,5 = 0,9564
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Ex 3: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
c)
P (1,32 ≤ z ≤ 1,79) = P (0 ≤ z ≤ 1,79) - P (0 ≤ z ≤ 1,32) =
= 0,4633 – 0,4066 = 0,0567
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Ex 4: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
d)
P (z ≥ 1,5) = 0,5 - P (0 ≤ z ≤ 1,5) =
= 0,5 – 0,4332= 0,0668
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Ex 5: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
e)
P (-1,32 ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z ≤ 1,32) = 0,4066
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Ex 6: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
f)
P (z ≤ -1,3) = 0,5 - P (-1,3 ≤ z ≤ 0) = 0,5 - P (0 ≤ z ≤ 1,3) 
= 0,5 – 0,4032= 0,0968
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Ex 7: Seja z ~ N(0, 1), encontre:
g)
P (-2,3 ≤ z ≤ -1,49) = P (-2,3 ≤ z ≤ 0) - P (-1,49 ≤ z ≤ 0) =
= P (0 ≤ z ≤ 2,3) - P (0 ≤ z ≤ 1,49) = 0,4893 – 0,4319 = 0,0574
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Como encontrar o valor z na N(0, 1) tal que: 
a) P(0 ≤ Z ≤ z) = 0,4975
P (0 ≤ Z ≤ z) = 0,4975 → por busca inversa na tabela 
normal padrão encontramos que z = 2,81.
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Como encontrar o valor z na N(0, 1) tal que: 
b) P(Z ≤ z) = 0,975
P(Z ≤ z) = 0,975 = 0,5 + P (0 ≤ Z ≤ z) = 0,5 + 0,475 →
por busca inversa na tabela normal padrão encontramos 
que z = 1,96.
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Como encontrar o valor z na N(0, 1) tal que: 
c) P(Z ≥ z) = 0,3
P(Z ≥ z) = 0,3 = 0,5 - P (0 ≤ Z ≤ z) = 0,5 - 0,3 = 0,2 →
por busca inversa na tabela normal padrão encontramos 
que z = 0,52.
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Como encontrar o valor z na N(0, 1) tal que: 
d) P(Z ≥ z) = 0,975
P(Z ≥ z) = 0,975 = 0,5 + P (-z ≤ Z ≤ 0) = 0,5 - 0,475 →
por busca inversa na tabela normal padrão encontramos 
que z = - 1,96.
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Como encontrar o valor z na N(0, 1) tal que: 
e) P(Z ≤ z) = 0,10
P(Z ≤ z) = 0,10 = 0,5 - P (-z ≤ Z ≤ 0) = 0,5 - 0,4 →
por busca inversa na tabela normal padrão encontramos 
que z = - 1,28.
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Exercício 1: Seja x ~ N (10,64), encontre:
P (0 ≤ z ≤ 0,5) + P (0 ≤z ≤0,25) = 
= 0,1915 + 0,0987 = 0,2902
a) P(6 < X < 12) = P 6 – 10 ≤ z ≤ 12 – 10 = P(-0,5 ≤ z ≤0,25)
8 8
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Exercício 2: Seja x ~ N (10,64), encontre:
0,5 - P (0 ≤ z ≤ - 0,25) + 0,5 - P (0 ≤z ≤0,5) 
= 1 – (0,0987 + 0,1915 ) = 0,7098
b) P(X < 8) + P (X > 14) = P z ≤ 8 - 10 + P z ≥ 14 - 10 =
8 8
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Exercício 3: Seja x ~ N (10,64), encontre:
P (0 ≤ z ≤ zk) = 0,45 → zk = 1,64
Logo k = 10 + 1,64 x 8 = 23,12
c) P( X ≥ k) = 0,05 → P z ≥ k - 10 = 0,05
8
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Exercício 4: Seja x ~ N (10,64), encontre:
P (- zk ≤ z ≤0) = 0,475 → zk = -1,96
Logo k = 10 - 1,96 x 8 = -5,68
d) P( X ≤ k) = 0,025 → P z ≤ k - 10 = 0,025
8
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Exercícios propostos
1. O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade 
tem distribuição Normal, com µ = 120 min e б = 15 min.
a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele 
terminar o exame antes de 100 minutos?
b) Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir 
que95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
R: a. 0,0918; b. 144,6 min.
2. O diâmetro do eixo de um “drive” óptico de armazenagem é 
normalmente distribuído com média 0,2508 cm e desvio padrão 
0,0005 cm. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015 cm. 
Que proporção de eixos obedece às especificações?
R: 0,91924.
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Exercício da Lista
3. A máquina de empacotar um determinado produto o faz 
segundo uma distribuição normal, com média μ e desvio um 
padrão 10g. Em quanto deve ser regulado o peso médio para 
que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 500g?
R: 512,80
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