Calculo I artigo - Cálculo Malthusiano

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SITUAÇÕES - CÁLCULO I 
 
SITUATIONS OF CALCULATION I 
 
Eduardo Silva, Kézia Marinho, Jadiel Anjos, Mikael Amorim, Thalita Telka e Rodrigo Almeida 
FACAM- Faculdade do Maranhão 
engenhariacivil.n3@gmail.com 
 
Resumo: O desenvolvimento do ser humano sempre ocorreu observando estudos físicos e 
matemáticos, sempre acompanhando a necessidade do homem de conhecer melhor o universo 
e tudo que o cerca. A partir de uma série de estudos, o cálculo teve sua aplicação estendida 
como base de todas as ciências exatas, sendo aplicada diretamente em vários fenômenos 
científicos, como por exemplo, luz, som, eletricidade e calor. 
Tendo em vista esse pequeno conceito, falaremos um pouco a respeito de uma parte essencial 
do cálculo que se chamar derivada. 
A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse 
assunto. 
 
Palavras-chave: CÁLCULO, DERIVADA, CIÊNCIAS. 
 
Abstract: The human desenvolviment always occurs watching phisical and mathematicians 
estudies, always following the man necessity to know better the universe and everything if 
surround it. From a serie of studies, calculation had your application extended as base of all 
the exact sciences , being applied directly in various phenomenal scientific, like, light, sound, 
eletricity and heat. 
In view of this little concept, we will talk about a essencial part of calculation, called 
derivate. 
The derivate is the fundamental part of calculation. From now, we will be a study about this 
matter. 
 
Keywords: CALCULATION, DERIVATE, SCIENCES. 
 
1 Introdução 
 Este trabalho tem por finalidade apresentar a introdução de cálculo diferencial e 
integral de uma forma mais objetiva. Pois nos vemos sempre diante de questionamentos 
como: “Onde eu vou utilizar isso? No que isto me será útil?”. Se tivermos um melhor 
entendimento com relação às suas aplicações, poderemos responder tranquilamente a vários 
questionamento desta natureza. 
 Serão apresentadas nesse artigo, algumas questões que foram solucionadas por 
membros criadores desse artigo, como forma de apresentação da disciplina ao decorrer do 
período de graduação. 
 
 
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Cálculo I 
 
 
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2 Cálculo no dia dia 
 O cálculo hoje em dia, é muito usado em projeções populacionais para o total do País, 
dados por sexo e idade e pelo Método das Componentes Demográficas que teve início em 
1973. A partir de 1975, o IBGE passou a divulgar também, cálculos de projeções para os 
totais populacionais das Unidades da Federação e dos municípios, nos períodos 
intercensitários, por meio da aplicação de métodos matemáticos. Em 2013, passou-se a 
utilizar o Método das Componentes Demográficas para projetar também a população, por 
sexo e idade, para as Unidades da Federação, incorporando os resultados do Censo 
Demográfico 2010 e informações mais recentes sobre as componentes do crescimento 
demográfico (mortalidade, fecundidade e migração). 
Dadas as transformações ocorridas na dinâmica populacional, as projeções são monitoradas 
continuamente e passam por revisões periódicas, tanto para a incorporação de novas 
informações, quando são detectadas alterações nas hipóteses previstas para as componentes, 
quanto para a atualização de sua metodologia de cálculo, estando esses aprimoramentos 
devidamente explicitados nos respectivos relatórios metodológicos. 
 
3 Modelo Malthusiano 
 A idéia de Malthus é a de que a taxa na qual uma população cresce é 
proporcional ao seu tamanho, e isso na linguagem das equações diferencias quer dizer: 
 
 
 
 
 
onde k é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade. 
Logo T representa o tempo decorrido desde o início do experimento, e P representa o tamanho 
da população no tempo T, isto é, P é variável dependente e T é a independente. 
Se k>0, a população apresenta-se crescente, se k<0 a população decai de acordo com o tempo, 
porém se k=0, ou seja, se a taxa de natalidade for exatamente igual a taxa de mortalidade a 
população permanecerá constante no tempo. 
Este modelo é suficientemente simples e válido, se o crescimento de nossa população está 
sujeito apenas às taxas de natalidade e de mortalidade, se não ocorre migração, e se podemos 
considerar a diferença entre as taxas de natalidade e de mortalidade constante, teremos que o 
valor de k é uma constante e assim podemos modelar a população de acordo com o tempo 
pela fórmula: 
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Para chegarmos a esta solução específica, usamos uma condição inicial, como um valor 
conhecido do início do experimento. Então, quando T=0 a população é 0 P. Assim, nossa 
condição inicial é: P(0) = P0. Colocando isso junto com a equação diferencial original, 
obtemos um problema de valor inicial para o modelo de Malthus. A equação diferencial é 
resolvida por uma separação de variáveis: 
 
 
 
A condição inicial é substituída neste resultado na integração da equação diferencial: 
 
 
 
 
 
Obtendo assim: , o que implica em . 
 
Temos uma constante “k” que só pode ser solucionada se puder obter algum dado da 
população por algum tempo posterior, conforme vimos, consideramos que “k” representa uma 
diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade da população em estudo, sendo k 
considerada um valor constante com o tempo na resolução deste problema. 
 
Devemos notar que a função P(T) que obtemos é uma aproximação contínua da população, a 
qual aumenta por números inteiros. O modelo Malthusiano, devido à curva exponencial de 
P(T) pode ser denominado como modelo de crescimento exponencial ou de forma “J”, onde a 
letra “J” representa justamente o formato da curva exponencial. 
Conforme vimos o crescimento de forma “J” é expresso basicamente por: 
P(T)=P0.e
kt 
 
 
Onde “k” representa uma constante de crescimento da população, a qual assumiu inicialmente 
ser dependente apenas de taxas constantes de natalidade e mortalidade. 
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4 Aplicação do Modelo Malthusiano aos dados do IBGE 
 
Vamos usar como exemplo censos demográficos do Brasil de 1940 a 2000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 
 
 
 
O que permite afirmar que a população brasileira cresceu a uma taxa media de, 
aproximadamente, 2,5% ao ano nestes 51 anos. 
 
 
 
 
 
 
Períodos População Taxas de 
Crescimento 
(% a.a) 
1940 41.236.315 2,39 
1950 51.944.397 2,99 
1960 70.070.457 2,89 
1970 93.139.037 2,48 
1980 119.002.706 1,93 
1991 146.825.475 1,64 
1996 157.079.573 1,64 
2000 169.799.170 1,64 
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A tabela abaixo fornece os censos demográficos do IBGE e as taxas de crescimento 
calculadas de período em período, segundo a equação do modelo Malthusiano. 
 
Períodos População Taxas de 
Crescimento 
(% a.a) 
1940 41.236.315 1,50 
1950 51.944.397 2,30 
1960 70.070.457 3,20 
1970 93.139.037 2,80 
1980 119.002.706 2,50 
1991 146.825.475 1,90 
1996 157.079.573 1,36 
2000 169.799.170 1,97 
 
Tabela 2 
 
 
 
A tabela abaixo fornece a estimativa do IBGE para a população projetada com a taxa de 
crescimento calculadas de período em período segundo Modelo Malthusiano 
 
 
Períodos População Taxas de 
Crescimento 
(% a.a) 
2004 181.581.024 1,70 
2010 191.007.625 0,85 
2015 201.387.136 1,06 
2020 210.764.732 0,91 
2050 259.800.000 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 Gráficos de população 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1 – >.Censo Demográfico (2000) e Projeções Populacionais Brasil e Grandes Regiões, 1991-2020 
(*) 
Dados não padronizados por idade e sexo. 
Fonte: IBGE. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 27 set. 2018 
 
 
 
Gráficos deduzidos após aplicaçãodas fórmulas obtidas a partir do modelo Malthusiano.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 2 – >.Censo Demográfico (2000) e Projeções Populacionais Brasil e Grandes Regiões, 1991-2020 
(*)
Dados não padronizados por idade e sexo. 
Fonte: IBGE. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 27 set. 2018 
 
 
ano populaçao
2000 855442
2001 889129
2002 906567
2003 923526
2004 959124
2005 978824
2006 998385
2007
2008 986826
2009 997098
2010 1014837
2011 1027430
2012 1039610
2013 1053922
2014 1064197
2015 1073893
2016 1082935
2017 1091868
2018 1094667
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
populaçao
População
População
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6 Conclusão 
 Ao realizarmos esta análise de taxa populacional, notamos um alto crescimento que se 
extende com o passar dos anos, podemos concluir com bases de estudo nessa síntese há um 
grande levantamento em relação ao número de nascidos que vem aumentando 
exponencialmente em São Luís e de posse destes dados foram criados gráficos para vermos a 
diferença anual e também obter dados com base em anos futuros comparando com estes dados 
do IBGE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Engenharia Civil 2º Período - Vespertino 2018 
Referências 
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo Demográfico, 
2001. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 05 out. 2018. 
ECONOMIA DO BRASIL. MODELOS ECONÔMICOS: Disponível em: 
<http://economiabr.net/biografia/malthus.html>. Acesso em: 29 de set. 2018 
BASSANEZI, Ridney Carlos. Modelagem Matemática uma nova estratégia. SP: 
Contexto, 2001. 
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Normas de apresentação 
tabular. 3. ed. Rio de Janeiro, 1993. 
 
http://economiabr.net/biografia/malthus.html