3 Distribuições Amostral

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Distribuições Amostral
Material disponível em: http://bit.ly/2OWBTkn
Turmas: T4 e T8
Ricardo Lopes de Andrade
ricardo.lopesa@ufpe.br
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Contexto: A Teoria de Probabilidade e a Inferência Estatística são
processos "complementares“.
Teoria da probabilidade: parte-se de um modelo totalmente
especificado, que se assume como correto e se calcula. Ex.: as
probabilidades de certos acontecimentos.
Inferência estatística: Observam-se certos acontecimentos, e procura
inferir-se sobre o modelo probabilístico pelo qual se regirá o
experimento aleatório.
Exemplo: Considere-se um grupo numeroso de pessoas entre as quais
há uma proporção 𝜃 de fumadores. Se 𝜃 conhecido e estivermos
interessados em conhecer a probabilidade de encontrar x fumadores
num grupo de 10 pessoas escolhidas ao acaso - Teoria da
Probabilidade
Na prática, sucede quase sempre que 𝜃 é desconhecido. A partir da
observação do número de fumadores na amostra de 10 pessoas,
pretende-se tirar conclusões sobre a proporção de fumadores na
população, 𝜃 - Inferência Estatística
Inferência Estatística
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Inferência estatística: produzir informações, tirar
conclusões, sobre dada caracteristica da população, na
qual estamos interessados, a partir de informações obtidas
de uma parte dessa população, uma amostra.
Pode ser dividida em:
 testes de hipóteses. Ex.: Os dados x são compatíveis com o
modelo teórico?
 estimação de parâmetros (pontual e intervalar). Ex.:
Admitindo a validade do modelo, como escolher um ou mais
elementos do modelo que representem adequadamente os
parâmetros desconhecidos à custa da informação contida nos
dados?
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Estimação de 
Parâmetros
Estimação de Parâmetros
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 Um engenheiro analisa a resistência à tração de um
componente de um automóvel.
 A resistência pode variar por motivos como: diferença na
matéria prima, variação no processo de fabricação e no
processo de medida.
 O engenheiro precisa estimar a resistência dos
componentes.
 Usa dados amostrais ⇒ encontrar um valor razoável para
a média verdadeira.
 Esse número é chamado estimativa pontual.
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Testes de Hipótese
Testes de Hipótese
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 Duas temperaturas, t1 e t2, podem ser usadas em um
processo químico.
 O engenheiro suspeita que a temperatura t1 resulta em
rendimentos maiores.
 O teste estatístico resolve problemas desse tipo. A
hipótese é de que: o rendimento médio usando t1 é maior
que usando t2.
 Não estamos interessados na estimação dos
rendimentos. Queremos tirar conclusões acerca das
hipóteses estabelecidas
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Suponha que queremos estimar o parâmetro de uma
população.
Antes da coleta, os dados são variáveis aleatórias
X1, X2, . . . , Xn .
Qualquer função desses dados é também uma variável
aleatória.
Essa função é chamada de uma estatística.
Estatística
Estatística: é uma característica da amostra, ou seja,
qualquer função dos dados. Exemplo: média amostral.
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A estatística é uma variável aleatória ⇒ possui distribuição
de probabilidade.
Chamamos a distribuição de uma estatística de
distribuição amostral.
A noção de distribuição amostral é muito importante na
inferência estatística.
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Um parâmetro é uma medida usada para descrever
uma característica da população.
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Estimador Pontual
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 Temos várias possibilidades de escolha de estimador 
de um parâmetro.
 Exemplo: a média da população pode ser estimada por:
média, mediana, ponto médio.
 Precisamos de critérios para decidir qual estimador é 
melhor.
 Isso vai depender das propriedades estatísticas do 
estimador.
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Ligação entre os modelos de probabilidade e os
dados:
O valor numérico dos dados é o valor observado de uma
variável aleatória.
As variáveis são consideradas: independentes e
identicamente distribuídas.
Essas variáveis são conhecidas com uma amostra
aleatória.
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Amostragem Aleatória 
Simples (AAS)
Aleatoriamente sorteia-se um elemento da população,
sendo que todos os elementos têm a mesma chance de
ser escolhidos. Repete-se o procedimento até que sejam
sorteadas as 𝑛 unidades da amostra.
AAS com/sem reposição: com reposição implica a
propriedade de independência entre unidades
selecionadas. Isso facilita o tratamento matemático de
propriedades de estimadores que vamos construir em cima
da amostra.
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Amostragem Aleatória 
Simples (AAS)
Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho 𝑛 de
uma variável aleatória 𝑋 , com dada distribuição, é o
conjunto de 𝑛 variáveis aleatórias independentes X1, X2, ...,
Xn, cada uma com a mesma distribuição de 𝑋.
(X1, ..., Xn): Amostra aleatória simples
(x1, ..., xn): Amostra observada
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Distribuição Amostral
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Exemplo:
Consideremos uma população em que a variável X pode 
assumir um dos valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A 
distribuição de probabilidade de X é
Esperança e Variância
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 4,2
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2 = 4,16
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Exemplo:
Vamos selecionar todas as amostras aleatórias simples
de tamanho 2, 𝑛 = 2, selecionadas ao acaso e com
reposição da população X, e encontrar a distribuição
do estimador pontual ത𝑋 = µ𝑋, ou seja, vamos encontrar
a distribuição da média amostral.
ത𝑋 =
𝑋1 + 𝑋2
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em que
X1 é o valor selecionado na primeira extração.
X2 é o valor selecionado na segunda extração.
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Exemplo:
A distribuição de ത𝑋 para 𝑛 = 2.
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Exemplo:
Esperança e Variância
𝐸( ത𝑋) = µ𝑋 = 4,2
𝑉𝑎𝑟 ത𝑋 = 2,08 = 𝜎2 = 4,16/2
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Análise dos Histogramas
Conforme o tamanho da amostra aumenta, 𝑛 → ∞, os
valores de ത𝑋 tendem a concentrar-se cada vez mais em
torno de E( ത𝑋) = 𝜇 = 4,2.
A variância diminui na medida que o tamanho da
amostra aumenta.
Para n suficientemente grande, a forma do histograma
aproxima-se de uma distribuição normal.
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Histogramas correspondentes às distribuições de X para 
amostras de tamanho 1 e 50 de algumas populações.
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Exemplo: 
-1 -1/3 1/3 1
1/8 3/8 3/8 1/8
S2 0 4/3
1/4 3/4
Na maioria das vezes não é viável enumerar todos
resultados possíveis. Precisamos de ferramentas para
encontrar as distribuições.
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A distribuição da população está longe da normal.
Porém as médias são aproximadas razoavelmente por
uma normal.
Geralmente é necessário um tamanho de amostra grande.
Valores como 𝑛 = 4 ou 𝑛 = 5 não costumam ser
suficientes.
Uma regra prática é usar a aproximação se 𝑛 ≥ 30.
Se 𝑛 < 30 o teorema funcionará se a distribuição da
população não for muito diferente da normal.
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Exemplo:
Seja X o consumo mensal em minutos por conta de
celular de uma região. X tem média 40 e desvio padrão 12
minutos. Toma-se uma amostra de 24 usuários.
Encontre: a probabilidade do tempo médio de uso na
amostra exceder 45 minutos? A probabilidade do tempo
médio de uso na amostra ser menor que 50 minutos?
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Exemplo:
As notas num certo exame padronizado têm média 450 e
desvio padrão 50. Uma nota acima de 480 é considerada
muito boa. Uma pessoa entra em uma Universidade se ela
obtém acima de 480 neste exame.
Numa certa sala onde o exame foi aplicado, 25 pessoas
fizeram o teste. A nota média destas pessoas foi 490. Isso
é estranho? Você acha que houve fraude? Dica: use o
Teorema Central do Limite.
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Distribuição Amostral de uma Proporção
Considere-se uma população em que a distribuição de elementos
portadores de determinada caraterística é p e defina-se a v.a.
𝑋 = ቊ
1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
0, 𝑠𝑒 𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎.
Logo, 𝐸 𝑋 = 𝑝 = 𝜇 e 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝 1 − 𝑝 = 𝜎2, isto é, 𝑋~𝐵𝑒𝑟 𝑝 .
Retirada uma AAS de dimensão n dessa população, define-se por:
 𝑌𝑛- o total de indivíduos portadores dessa característica.
 Ƹ𝑝 =
𝑌𝑛
𝑛
- a proporção amostral de indivíduos portadores dessa
característica, com 𝑌𝑛~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝).
Nas condições do TLC, para n grande, podemos considerar a distribuiçãoamostral de p como aproximadamente normal,
Ƹ𝑝~𝑁 𝑝,
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
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Exemplo: Suponha que 30% dos estudantes de uma
escola sejam mulheres. Colhemos uma AAS de n = 100
estudantes e calculamos Ƹ𝑝 = proporção de mulheres na
amostra. Qual probabilidade de que Ƹ𝑝 difira de p em menos
de 0,01?
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Exemplo:
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 Os estimadores devem ser escolhidos de forma
adequada.
 Devem apresentar determinadas características: não
tendencioso; com baixa variância.
Conceitos Gerais de 
Estimação pontual
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Estimador de 𝜃: Um estimador T do parâmetro 𝜃 é qualquer
função das observações da amostra, ou seja, T = g(X1, ...,
Xn).
Estimativa de 𝜃 : Estimativa é o valor assumido pelo
estimador em uma particular amostra.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Entre os diversos possíveis estimadores, o EMQ é uma
maneira de escolher o melhor estimador. Logo o EMQ é
um critério de escolha de estimadores.
Algumas vezes não é óbvio determinar um estimador não
tendencioso. Em casos mais complexos, estimadores não
tendenciosos podem possuir alta variabilidade, nesses
casos, é possível encontrar estimadores tendenciosos no
qual o EMQ seja reduzido. Portanto o EMQ é um critério
que leva em conta tendência e variabilidade.
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