Gabarito Exercicios

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GEOMETRIA
2018
Prof.º Juliano Bona
Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
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GEOMETRIA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
QUESTÃO 1 - Para saber se você entendeu o assunto estudado 
neste tópico, faça uma relação com cinco objetos do seu cotidiano 
que deem ideia de pontos, retas e planos.
Resolução: 
A resposta desta atividade é pessoal, porém citam-se alguns objetos 
como sugestão: 
● Ideia de ponto – a bolinha do dado indicando o número um, as 
bolinhas nas peças de um dominó, a luz do timer da TV, o ponto final 
de uma frase etc. 
● Ideia de reta – o fio elétrico de um poste a outro, um fio de cabelo, 
a faixa branca do asfalto, as linhas da folha do caderno, um fio de 
arame da cerca etc. 
● Ideia de plano – o piso da casa, a parede da sala, a tela da TV, uma 
folha A4, o vidro da janela etc.
QUESTÃO 2 - Os axiomas ou postulados de Euclides estabelecem 
relações primitivas entre os entes geométricos. Acerca dessas 
relações, analise as sentenças e classifique V para verdadeiras e F 
para falsas. 
( ) Por um ponto passam infinitas retas. 
( ) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta. 
( ) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. 
( ) Por três pontos alinhados passa uma única reta. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) ( ) V – V – V – V. 
b) ( ) V – V – F – V. 
c) ( ) V – V – F – F. 
d) ( ) V – F – V – F. 
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GEOMETRIA
Resolução: 
Todas as sentenças são verdadeiras. Portanto, a alternativa (a) V – V 
– V – V é a correta.
QUESTÃO 3 - Para as sentenças do exercício 2 justifique a condição 
de serem falsas.
Resolução: 
Você ganhou um descanso, vá para a próxima questão. Não há 
sentenças falsas no exercício 2.
QUESTÃO 4 - Complete as lacunas das sentenças a seguir:
• Quatro pontos distintos podem determinar um ________.
• Dados três pontos __________ sempre são possíveis traçar uma 
reta que contenha os três pontos.
• Uma reta está totalmente contida em um plano quando tem ______ 
pontos _________ deste plano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) ponto – alinhados – dois – distintos.
( ) plano – quaisquer – três – alinhados.
( ) plano – alinhados – dois – distintos.
( ) ponto – alinhados – três – alinhados.
Resolução: 
A alternativa (c) plano – alinhados – dois – distintos é a correta.
QUESTÃO 5 - Sobre os axiomas de Euclides, analise as sentenças a 
seguir:
I- Por dois pontos distintos passa uma reta. 
II- Três pontos distintos são sempre colineares. 
III- Três pontos distintos são sempre coplanares. 
IV- Quatro pontos distintos podem determinar duas retas. 
V- Três pontos coplanares são sempre colineares. 
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GEOMETRIA
TÓPICO 2
QUESTÃO 1 - Objetos com formato de prisma, como as embalagens 
de pizza, permitem verificar os conceitos de posições de retas estu-
dados neste tópico. Assim, vamos observar a imagem com o olhar 
de geômetra, traçando retas suportes aos segmentos que definem 
com os lados da embalagem, e responder aos questionamentos.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Somente afirmativa IV está correta.
( ) As afirmativas II e III estão corretas.
( ) As afirmativas I, III e IV estão corretas.
( ) Somente a afirmativa V está correta.
Resolução: 
A alternativa (c) As afirmativas I, III e IV estão corretas. Pois, 
II - Três pontos distintos são sempre colineares. Falsa, pois nem sem-
pre serão colineares. 
V - Três pontos coplanares são sempre colineares. Falsa, três pontos 
coplanares, são pontos no mesmo plano e pontos colineares são 
quando dois ou mais pontos pertencem a mesma linha. Pois, nem 
sempre os três pontos coplanares serão sempre colineares.
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GEOMETRIA
a) ( ) As retas AB e CD estão em que posição relativa? Explique.
b) ( ) As retas DE e AH são coplanares e paralelas? Por quê?
c) ( ) Identifique três exemplos de retas reversas.
d) ( ) Identifique três exemplos de retas perpendiculares.
e) ( ) Há exemplos de retas coincidentes? Justifique.
Resolução: 
Assumindo que o polígono é regular temos:
a) As retas AB e CD estão em que posição relativa? Explique.
Resolução: 
As duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes, são retas 
suportes de lados não paralelos de um mesmo polígono e perpendi-
culares conforme a figura.
As retas DE e AH são coplanares e paralelas? Por quê?
Resolução: 
Sim, pois são lados opostos de um polígono regular com número de 
lados par.
Identifique três exemplos de retas reversas.
Resolução: AH, LM e NE.
Identifique três exemplos de retas perpendiculares.
Resolução: AH e HJ; HG e GL; AB e CD.
Há exemplos de retas coincidentes? Justifique.
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Resolução: Não. Como podemos observar em nossa imagem, o objeto 
é uma figura tridimensional, na qual não existem retas coincidentes, 
pois uma reta que, supostamente, está embaixo de outra, pode ser 
vista como pertencente a outro plano.
QUESTÃO 2 - Segmentos de reta é a reunião de todos os pontos 
compreendidos entre dois pontos distintos. Partindo da definição 
de segmento de reta, analise as afirmações a seguir, e classifique V 
para verdadeiras ou F para falsas:
( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares. 
( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos. 
( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares. 
( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes. 
( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos. 
( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) ( ) V – F – V – V – F – F. 
b) ( ) F – F – V – F – V – F. 
c) ( ) V – F – V – F – V – V. 
d) ( ) V – F – V – V – V – F.
Resolução: 
A alternativa correta é a letra (b) F – F – V – F - V – F. 
A alternativa (a) é FALSA, pois dois segmentos consecutivos podem 
não ser colineares.
A alternativa (b) é FALSA, pois dois segmentos colineares podem não 
ser consecutivos.
A alternativa (c) é VERDADEIRA, pois dois segmentos adjacentes são 
colineares.
A alternativa (d) é FALSA, pois dois segmentos colineares podem não 
ser adjacentes.
A alternativa (e) é VERDADEIRA, pois se dois segmentos são adja-
centes, eles são consecutivos.
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GEOMETRIA
A alternativa (f) é FALSA, pois dois segmentos consecutivos podem 
não ser adjacentes.
QUESTÃO 3 - Explique por que toda reta perpendicular é 
concorrente, mas, nem toda reta concorrente é perpendicular.
Resolução: Ambas possuem um ponto comum, porém as 
perpendiculares devem ter o ângulo formado reto.
QUESTÃO 4 - Nossa viagem pela geometria já vai continuar. Agora 
vamos refletir um pouco sobre os conceitos aprendidos até aqui. 
Para fazer esta síntese o convidamos a escrever um pequeno texto 
exemplificando as diferentes maneiras que podemos visualizar 
estas estruturas geométricas no cotidiano. Vamos começar e você 
continua. Segmento de reta: parte de uma corda compreendida 
entre duas pessoas que estão disputando um cabo de guerra...
Resolução: 
Essa é uma resposta pessoal. Caro(a) tutor(a) externo(a), aproveite 
para explorar as diferentes respostas possíveis.
TÓPICO 3
QUESTÃO 1 - Classifique cada afirmação a seguir em V para 
verdadeira ou F para falsa, de acordo com os estudos realizados 
neste tópico:
( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice. 
( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos. 
( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes. 
( ) Dois ângulos adjacentes são complementares.
Agora assinale a alternativa correta: 
a) ( ) V - V - F - F. 
b) ( ) F - F - V - F. 
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c) ( ) F - V - F - V. 
d) ( ) F - V - V - F.
Resolução: 
A alternativa correta é a letra (b) F – F – V – F.
A primeira sentença é FALSA, pois dois ângulos são adjacentes quan-
do são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
A segunda sentença é FALSA, pois dois ângulos são opostos pelo vér-
tice quando os lados de um deles são semirretas opostasaos lados do 
outro.
A quarta sentença é FALSA, pois dois ângulos são adjacentes quando 
são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
QUESTÃO 2 - Se um ângulo mede 35°, então seu complemento 
mede:
a) ( ) 65°.
b) ( ) 145°.
c) ( ) 45°.
d) ( ) 55°.
Resolução: 
O complementar de um ângulo é quando a soma resulta 90°. Assim, 
90° = 35° + x → x = 55°. Portanto, a alternativa correta é a letra (d) 55°.
QUESTÃO 3 - Escreva uma equação em cada situação para determi-
nar as medidas dos ângulos:
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. 
b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento 
vale 36º.
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento 
dá 210º.
Resolução:
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. O 
ângulo chamamos de x. O dobro é multiplicar por 2. E o comple-
mento é 90° – x. Segue que,
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Portanto, o ângulo desta situação é 60°.
a) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento. Temos 
que,
Portanto, o ângulo desta situação é 67,5°.
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento 
vale 36º. Temos que,
Portanto, o ângulo desta situação é 36°.
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento 
dá 210º. Temos que,
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Portanto, o ângulo desta situação é 30°.
QUESTÃO 4 - Converta os seguintes ângulos em radianos:
a) 15°.
b) 120°.
c) 150°.
d) 300°.
Resolução:
a) 15° - Sabemos que π – 180°, segue que:
Portanto, 15° é equivalente a radiano.
b) 120° - Sabemos que π – 180°, segue que
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Portanto, 120° é equivalente a radiano.
c) 150° - Sabemos que π – 180°, segue que
Portanto, 150° é equivalente a radiano.
d) 300° - Sabemos que π – 180°, segue que
Portanto, 300° é equivalente a radiano.
QUESTÃO 5 - Agora faça o oposto, transforme os radianos para 
graus:
a)
b)
c)
d)
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Resolução:
a) rad – Sabemos que π rad = 180°, segue que:
Portanto, rad é equivalente a 60°.
b) rad – Sabemos que π rad – 180°, segue que
Portanto, rad é equivalente a 90°.
c) rad - Sabemos que π rad – 180°, segue que,
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Portanto, rad é equivalente a 36°.
d) rad - Sabemos que π rad – 180°, segue que,
Portanto, rad é equivalente a 108°.
QUESTÃO 6 - Calcule o complementar dos ângulos:
a) 75°.
b) 15°. 
c) 90°. 
d) 22°32'.
Resolução:
Ângulos complementares são aqueles cuja soma resulta em 90°. As-
sim, consideramos 90° – x, em que x é o ângulo dado no enunciado.
a) 75° - Segue que, 90 – 75° = 15°.
b) 15° - Segue que, 90 – 15° = 75°.
c) 90° - Segue que, 90° – 90° = 0°.
d) 22°32' – As parcelas do nossa subtração ficariam 90°00' – 22°32'. 
Mas não conseguimos subtrair 32' de 00'. Assim, “pediremos” 1° 
emprestado do 90° para 00'. Sabemos que 1° = 60'. Resultando em 
89°60' – 22°32' = 67°28'.
QUESTÃO 7 - Calcule o suplemento dos ângulos:
a) 155°45'
b) 120°
c) 175°32'
d) 22°32'
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Resolução:
Ângulos suplementares são aqueles cuja soma resulta em 180°. As-
sim, consideramos 180° – x, em que x é o ângulo dado no enunciado. 
Lembremos que 1° = 60' (um grau é igual a sessenta minutos) e que 1' 
= 60'' (um minuto é igual a sessenta segundos).
a)
b)
c)
d)
QUESTÃO 8 - Verifique se os ângulos são de fato opostos pelo vér-
tice.
Resolução:
Substituindo:
Sim, são ângulos OPV.
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TÓPICO 1
QUESTÃO 1 - O esquema a seguir representa quatro estradas para-
lelas que são cortadas por três avenidas transversais. Algumas das 
distâncias entre os cruzamentos dessas avenidas e estradas estão 
indicadas (em km). Complete o esquema calculando com as distân-
cias faltantes.
Resolução:
Fica claro nesta imagem que devemos usar o Teorema de Tales. As-
sim,
Portanto, x – 10 km, y – 3 km e z – 22,5 km.
QUESTÃO 2 - Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas 
razões, dizemos que formam uma proporção se o produto dos meios 
for igual ao produto dos extremos, assim: .
Verifique se as relações a seguir definem proporções.
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a)
b)
c)
d)
Resolução:
a)
Então, essas duas razões não são proporcionais.
b)
Ou ainda,
Isto é, calculando os produtos dos meios e dos extremos ou fazendo a 
simplificação das razões. Concluímos que essas duas razões são pro-
porcionais.
c)
Portanto, não são proporcionais.
d)
Portanto, são proporcionais.
QUESTÃO 3 - As linhas que pautam a folha do caderno são para-
lelas (conforme figura). Trace duas retas transversais e com o au-
xílio de uma régua meça a distância de uma linha a outra sobre a 
diagonal (estas medidas podem ser representadas por a, b, c e d). 
Agora, com o valor das medidas, calcule a proporcionalidade entre 
os segmentos.
Se você quiser, pode medir linhas alternadas, não é necessário que 
as linhas sejam consecutivas.
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Resolução: Essa resposta é pessoal.
 
QUESTÃO 4 - Calcule a constante de proporcionalidade entre as 
grandezas x e y indicadas nas tabelas.
a)
b)
Resolução:
a)
b)
QUESTÃO 5 - Multiplique os meios pelos extremos das propor-
ções, resolva a equação obtida e assinale a opção que contém o valor 
do e da constante de proporcionalidade, respectivamente.
a)
b)
d)
Resolução:
a) 
 
x 2 4 6 8
y 6 12 18 24
x 10 20 30 40
y 2 4 6 8
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A proporção já está pronta = 0,6.
b) 
 
 
 
 
 
 
E a proporção pode ser encontrada em qualquer lado da igualdade:
c)
 
A proporção já está pronta = – 0,7. 
QUESTÃO 6 - O número de Ouro é um número irracional represen-
tado pela letra grega φ (fi) e vale, aproximadamente, 1,618. Segundo 
vários estudiosos da Beleza Áurea, o corpo humano tem padrões de 
beleza onde podemos verificar a secção áurea, que se trata de uma 
proporcionalidade áurea.
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Utilize uma fita métrica e verifique esta relação de proporcionalida-
de entre seus colegas.
Resolução: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Apro-
veite a oportunidade para socializar as diferentes respostas
TÓPICO 5
QUESTÃO 1 - Aplique o padrão das unidades de medidas estuda-
das para responder aos questionamentos: 
a) Quantos metros quadrados tem um quilômetro quadrado?
b) Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 
100 m de medida lado?
c) Um litro tem quantos cm³?
d) Quantos cm³ tem um mililitro?
e) Quantos litros tem um m³?
f) Quantos km têm em 864m?
g) Quantos cm têm em 864m? 
Resolução:
a) Temos que 1 000 . 1 000 = 1 000 000 m².
b) Temos que 100 . 100 = 10 000 m².
c) Temos que 10 . 10 . 10 = 1 000 m³. 
d) Temos que 1 . 1 . 1 = 1 cm³. 
e) Tem 1 000 litros. 
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GEOMETRIA
f) Temos que 864 . 1 000 = 0,864 km.
g) Temos que 864 . 100 = 86400 km.
 
QUESTÃO 2 - Desde o ano de 1911 ocorre, na cidade de Indianá-
polis (Estados Unidos), a famosa corrida 500 Milhas de Indianápo-
lis, também chamada de Indianápolis 500 ou só Indy 500. Partici-
pam da prova 33 carros (grid) que percorrem 500 ____________ ou 
____________ km.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) ( ) Milhas - 800. 
b) ( ) Pés – 805,5. 
c) ( ) Quilômetros – 803. 
d) ( ) Milhas – 804,5.
Resolução:
Sabemos que 1 milha = 1,6093 km. Assim, 500 . 1,609 = 804,5 km. 
Portanto, letra (d) é a alternativa correta.
QUESTÃO 3 - Complete, adequadamente, utilizando os símbolos 
(dm, km, hm, mm, cm, dam):
0,1 m = 1 ______________ 
0,01 m = 1 _____________ 
0,001 m = 1 ____________ 
10 m = 1 ______________ 
100 m = 1 _____________ 
1000 m = 1____________
Resolução:
Resolvendo nas ordens das sentenças enunciadas, temos
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QUESTÃO 4 - Quantos centímetros cabem em: 
a) 1 m: _____________ 
b) 1 dm: ____________ 
c) 1 km: ____________
Resolução:
a) 1 m = 100 cm. 
b) 1 dm = 10 cm.
c) 1 km = 100 000 cm.
QUESTÃO 5 - O romance “Vinte Mil Léguas Submarinas”, escrito 
por Júlio Verne, no século XIX, descreve uma fantástica viagem com 
um submarino chamado Nautilus movido apenas à eletricidade. Se 
mudássemos a unidade de medida utilizada por Júlio Verne parakm, como seria o nome do filme?
Resolução:
Sabemos que 1 légua = 4,828 km. Assim, 20 000 . 4,828 = 96 560 km.
Portanto, o nome do filme seria “Noventa e seis mil quinhentos e ses-
senta quilômetros submarinos”.
QUESTÃO 6 - Que unidade de comprimento você usaria para me-
dir:
a) A largura do seu Caderno de Estudos?
b) A distância entre duas cidades? 
c) A altura de um prédio de 20 andares?
Resolução:
Pensaremos nas unidades de medida usuais do nosso país.
a) Centímetro.
b) Quilômetros.
c) Metros.
QUESTÃO 7 - Baseando-se na questão anterior, escreva um texto 
abordando outras situações práticas onde utilizamos as unidades 
de medida linear, quadrática e cúbica.
Resolução: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Apro-
veite a oportunidade para socializar as diferentes respostas.
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GEOMETRIA
UNIDADE 2
TÓPICO
QUESTÃO 1 - Sobre a soma e a medida dos ângulos de um polígo-
no, efetue os cálculos solicitados. Considere que todos os polígonos 
são regulares. 
a) A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo.
Resolução:
 
 
b) A medida do ângulo interno e externo de um triângulo que pos-
sui os três lados iguais.
Resolução:
Portanto, e .
c) A soma dos ângulos internos de um decágono.
Resolução:
d) O número de diagonais que partem de cada vértice de um unde-
cágono.
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GEOMETRIA
Resolução:
Fórmula geral: cada ponto tem n – 3 diagonais. 
Undecágono, polígono com 11 lados. 
Então, 11 – 3 = 7 diagonais.
e) A medida do ângulo interno do pentágono.
Resolução:
f) O número de diagonais de um octógono.
g) A medida do ângulo externo do pentágono.
Resolução:
QUESTÃO 2 - Encontre o valor de x e determine a medida dos ân-
gulos de cada polígono a seguir:
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Resolução:
a)
Ângulos medem: 60°, 90°, 70° e 140°.
c)
Ângulos medem: 150°, 120°, 130°, 90°, 120° e 110°.
d)
Ângulos medem: 90°, 120º, 90°, 120°, 120°. E os dois ângulos externos 
cada um medem 60°.
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GEOMETRIA
QUESTÃO 3 - Se o número de diagonais de um octógono é o quín-
tuplo do número de lados de um polígono. Qual é o polígono?
Resolução:
Então, 5x = 20 → x = 4 lados. Portanto, temos um quadrilátero. 
QUESTÃO 4 - Sobre as propriedades dos polígonos, analise as sen-
tenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida. 
( ) Um polígono côncavo é também não convexo. 
( ) Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida. 
( ) A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos 
lados mais o triplo do lado por dois.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
( ) V – F – V – V. 
( ) V – V – F – V.
( ) F – V – V – F. 
( ) V – F – V – F.
Resolução:
A sequência correta é F – V – V – F. 
“Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida” é 
FALSA, pois um retângulo de lados 3cm e 5cm é um polígono e não 
possui todos os lados com mesma medida.
“A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados 
mais o triplo do lado por dois” é FALSA, pois a diagonal do polígono 
quadrado de lado 1 é d = 1√2. E não, como diz a sentença. 
 
QUESTÃO 5 - Para determinar o número de lados de um polígono 
podemos utilizar a relação d = n – 3. Baseado nesta relação, calcule: 
a) O número de lados de um polígono que possui 25 diagonais 
partindo de cada vértice.
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GEOMETRIA
Resolução:
Portanto, 28 é o número de lados.
b) O número de diagonais que parte de cada vértice de um polígo-
no que possui 20 lados.
Resolução:
Portanto, 17 é o número de diagonais.
QUESTÃO 6 - Qual é o polígono?
Cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800°.
Resolução:
Então é um dodecágono.
b) Cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
Resolução:
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Então é um eneágono.
Questão 7: (DOLCE, POMPEO, 2005) Podem os ângulos internos e 
externos de um polígono regular apresentarem medidas iguais? Jus-
tifique a sua resposta.
Resolução: Sim. Assumindo a hipótese de que ai = ae. Sabemos que e 
ai = e . Logo, .
Sabemos também que Si = (n – 2) . 180°, assim podemos fazer a seguin-
te substituição: (n – 2) . 180° = 360°
Segue que:
 .
Encontrar o valor de n = 4 torna nossa hipótese inicial. Assim, nos 
quadriláteros e somente neles, há a existência dessa igualdade.
TÓPICO 2
QUESTÃO 1: Analise as sentenças e classifique V para as verdadei-
ras e F para as falsas. 
( ) Todo polígono tem mais de três lados.
( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
( ) Todo triângulo equilátero é isósceles.
( ) Um triângulo equilátero pode ser retângulo.
( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) F – V –V – V – F.
b) ( ) V – V- F – V – V. 
c) ( ) F – F – V - F – V.
d) ( ) V – V – V – F – F .
Resolução: 
A sequência correta é F – V – V – F – F. 
“Todo polígono tem mais de três lados” é FALSA, pois o triângulo é 
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um polígono e tem 3 lados.
“Um triângulo equilátero pode ser retângulo” é FALSA, pois o triân-
gulo equilátero possui todos os lados iguais, portanto, todos os ân-
gulos medem 60°, o que torna impossível um triângulo equilátero ser 
retângulo.
“Um triângulo escaleno pode ser isósceles” é FALSA, pois para ser 
escaleno, o triângulo deve ter três lados e três ângulos diferentes. Já o 
isósceles, deve ter dois lados de mesma medida e consequentemente, 
dois ângulos congruentes.
QUESTÃO 2: Complete as lacunas das sentenças:
• Os triângulos com 3 lados iguais são ........................ .
• Os triângulos com 2 lados iguais são .......................... .
• Os triângulos com 3 lados diferentes são ..................... .
• Os triângulos com 3 ângulos iguais são .......................... .
• Os triângulos com 2 ângulos iguais são ....................... .
• Os triângulos com 3 ângulos diferentes são ....................... . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) equiláteros - acutângulo - escalenos - obtusângulo - isósceles - 
retângulo.
( ) equiláteros – isósceles – escalenos – acutângulo – obtusângulo 
– retângulo.
( ) escalenos – equiláteros – isósceles – acutângulo – obtusângulo 
– retângulo.
( ) equiláteros – isósceles – escalenos – equiláteros – isósceles – es-
calenos.
Resolução: 
A sequência correta é equiláteros – isósceles – escalenos – equiláteros 
– isósceles – escalenos.
QUESTÃO 3: Os triângulos têm pontos notáveis chamados de cir-
cuncentro, incentro, ortocentro e baricentro. Sobre estes pontos, 
analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as 
falsas.
( ) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
( ) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no tri-
ângulo.
29
GEOMETRIA
( ) O baricentro é interno ao triângulo.
( ) O ortocentro é interno ao triângulo.
( ) O circuncentro é interno ao triângulo.
( ) O incentro é interno ao triângulo.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V- F- V- V- F- F.
b) ( ) V- V- F- V- V- V.
c) ( ) V- V- V- F- F- V.
d) ( ) V- F- V- F- V- F.
Resolução: 
A sequência correta é V- V- V- F- F- V.
“O ortocentro é interno ao triângulo” é FALSA, pois o ortocentro é a 
intersecção das três alturas relativas de um triângulo, isto é, é externo 
ao triângulo. Observe a figura:
As linhas em vermelho são as alturas relativas. 
“O circuncentro é interno ao triângulo” é FALSA, pois o circuncentro 
é a intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo, isto é, é 
externo ao triângulo. Observe a figura:
30
GEOMETRIA
QUESTÃO 4: Determine x em cada um dos triângulos.
Resolução: 
Devemos usar que a soma dos ângulos internos do triângulo é de 
180°.
QUESTÃO 5: Vamos utilizar materiais de desenho? Você precisará 
de uma régua e um transferidor.
a) Desenhe três triângulos, um obtusângulo, outro retângulo e o 
último acutângulo. Meça os ângulos com o transferidor e calcu-
le a soma deles. O que você pode concluir?b) Desenhe um triângulo com medidas de lados 3, 4 e 5 centíme-
tros, respectivamente. Qual é a medida dos ângulos? Qual é o 
tipo de triângulo quanto aos lados e aos ângulos?
c) Desenhe três triângulos: um escaleno retângulo, um isósceles 
retângulo e escaleno obtusângulo. É possível construir um tri-
ângulo equilátero e obtusângulo?
d) Desenhe dois triângulos: um escaleno acutângulo e um isósce-
les acutângulo. É possível construir um triângulo equilátero e 
acutângulo?
a)
b)
c)
d)
31
GEOMETRIA
Resolução:
a) Concluímos que independente do triângulo, a soma dos ângulos 
internos sempre será 180°.
b) Um triângulo medirá 90° e os outros dois, aproximadamente, 53° e 
37°. O tipo deste triângulo é retângulo.
c) Não é possível a construção. Pois para ser equilátero, deve possuir 
somente ângulos de 60°.
d) Sim é possível a construção. Pois todo triângulo equilátero é acu-
tângulo. Seguem alguns links de vídeos que podem ajudar na com-
preensão do assunto:
<https://www.youtube.com/watch?v=JQPVJapETzE>
<https://www.youtube.com/watch?v=Mg0DvpDQ4gQ>
QUESTÃO 6: Verifique a condição de existência de cada triângulo, 
conforme medidas indicadas nas sentenças. Após a análise de pos-
sibilidade de existência ou não, classifique em V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas.
( ) 3cm, 5cm e 7cm.
( ) 15cm, 8cm e 8cm.
( ) 3cm, 2cm, e 7cm.
( ) 7cm, 3.9cm e 3.7cm.
( ) 3.7cm, 9.1cm e 8.4cm.
( ) 6cm, 17,5cm e 10cm.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V- F- V- V- F – F.
b) (X) V- V- F- V- V- F.
c) ( ) V- V- V- F- F- V.
d) ( ) V- F- V- F- V- F.
Resolução: 
Usando a condição de existência de um triângulo, podemos verificar 
cada sentença acima.
Para o triângulo 3cm, 5cm e 7cm devemos prosseguir com os seguin-
tes cálculos:
3 + 5 > 7 → 8 > 7 ; 5 + 7 > 3 → 12 > 3 ; 7 + 3 > 5 → 10 > 5.
32
GEOMETRIA
TÓPICO 3
QUESTÃO 1: Os triângulos a seguir são semelhantes, mas estão em 
posições diferentes. Sabemos que os triângulos semelhantes têm 
medidas proporcionais. Com base nisso, calcule as medidas x e y.
Resolução: 
Da semelhança de triângulos, temos as seguintes razões:
Para encontrar o valor de x podemos usar a seguinte igualdade
Como já temos o valor de x podemos usar a seguinte igualdade para 
encontrar o valor de y:
Portanto,
Logo, a condição de existência é satisfeita e podemos formar um tri-
ângulo com estas medidas.
Para os outros triângulos, a maneira de verificação é análoga.
Portanto, a sentença correta é (b) V- V- F- V- V- F.
33
GEOMETRIA
QUESTÃO 2: Num triângulo retângulo, como são chamados:
a) Os lados que formam o ângulo reto?
b) O lado oposto do ângulo reto?
Resolução:
a) São chamados de catetos.
b) É a hipotenusa.
QUESTÃO 3: Se o perímetro de um triângulo equilátero mede 
75cm, quanto mede cada um de seus lados?
Resolução: 
Sabemos que o triângulo equilátero tem 3 lados com mesma medida. 
E o perímetro é a soma da medida dos lados. Então, . Portanto, 
cada lado desse triângulo mede 25cm.
QUESTÃO 4: Se o perímetro de um triângulo isósceles mede 100m 
e a base mede 40m, quanto mede cada um dos outros lados?
Resolução: 
Sabemos que o triângulo isósceles tem 2 lados com mesma medida. 
Assim, 
 . Logo, os outros lados medem 30m cada um.
QUESTÃO 5: Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um 
dos seguintes casos:
a) Um triângulo equilátero de base ABC, com AB = x + 2y, AB = x + 
2y, AB = x + 2y, AC = 2x – y e BC = x + y + 3.
b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3, AC = 
3x – 3 e BC = x + 3.
Resolução:
a) Como o triângulo é equilátero, todos os lados possuem a mesma 
medida. Então podemos escrever as seguintes igualdades:
AB = BC = AC.
Fazendo a primeira igualdade AB = BC segue que
 
34
GEOMETRIA
Seguindo com a igualdade AB = AC e substituindo o valor de y encon-
trado, temos
Agora temos os valores de x = 9 e y = 3, escolhendo um dos lados e 
substituindo os valores, AB = x + 2y → 9 + 2 . 3 = 9 + 6 = 15. Portanto, 
todos os lados do triângulo medem 15cm.
b) Sabemos que o triângulo é isósceles, então podemos montar a se-
guinte igualdade AB = AC. Assim, 2x + 3 = 3x – 3 → 3 + 3 = 3x – 2x 
→ 6 = x.
Agora, basta escolher um dos lados e substituir valor de x. Segue que 
AB = 2x + 3 = 2 . 6 + 3 = 12 + = 15. Logo, AB = AC = 15.
Para BC, temos BC = x + 3 = 6 + 3 = 9. 
Portanto, o perímetro do triângulo será AB + AC + BC = 15 + 15 + 9 = 
39cm.
QUESTÃO 6: No triângulo ABC, o ângulo A = 70°, AC = 3m e AB = 
5m; em outro triângulo XYZ, o ângulo Y = 70°, YZ = 5m e XY = 3m. 
Justifique a semelhança entre os dois triângulos e diga quais os ân-
gulos e lados congruentes.
Resolução:
Eles são semelhantes pelo caso Lado-Ângulo-Lado (LAL) de seme-
lhança de triângulos com .
QUESTÃO 7: Uma rampa de inclinação constante, como a que dá 
acesso ao Palácio do planalto em Brasília, tem 4m de altura na sua 
parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que 
após caminhar 12,3m sobre a rampa está a 1,5m de altura em relação 
ao solo.
Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. 
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir 
o ponto mais alto da rampa.
35
GEOMETRIA
Resolução:
a)
b) Podemos escrever as seguintes razões de semelhança,
Resolvendo, segue que,
Portanto, a pessoa ainda deve caminhar 20,5m.
TÓPICO 4
QUESTÃO 1: Pode um setor circular coincidir com um segmento 
circular? Explique isso.
Resolução: 
Sim, é possível. Quando a corda que determina o segmento for um 
diâmetro do círculo. Assim, teremos um segmento que é um semicír-
culo e poderíamos ter um setor com essa área.
QUESTÃO 2: Em que caso um setor circular é um semicírculo?
Resolução: 
Quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do cír-
culo.
36
GEOMETRIA
QUESTÃO 3: Numa mesa circular, uma pessoa fica bem acomoda 
ocupando cerca de 70cm da borda deste móvel. Quanto maior o nú-
mero de pessoas, maior deverá ser o diâmetro da mesa. Para acomo-
dar confortavelmente 4 pessoas, qual deverá ser a circunferência da 
mesa? Você é capaz de resolver este problema?
Resolução: 
Para acomodar 4 pessoas, a circunferência da mesa deverá ter 280cm. 
Pois, C = 4 . 70 = 280.
Assim, C = 2πr. Segue que,
 .
Para descobrir o diâmetro, devemos usar d = 2r. Substituindo, 
Portanto, o diâmetro da circunferência será de 89,17cm, aproximada-
mente.
QUESTÃO 4: Justifique por que o diâmetro é a maior corda da cir-
cunferência.
Resolução: 
Porque é a corda que passa pelo centro da circunferência, onde a dis-
tância entre os dois extremos é maior.
Questão 5: Escreva um pequeno texto, pode ser em tópicos, especi-
ficando de que forma se podem explorar os conceitos vistos neste 
tópico com situações do dia a dia. Faça uma pesquisa, seja criativo. 
Lembre-se: “Não basta saber, é preciso saber fazer”.
Resolução: Resposta pessoal.
TÓPICO 5
QUESTÃO 1: Pense num paralelogramo com as medidas da base 
e da altura, respectivamente indicados por b e h. Se construirmos 
outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do 
37
GEOMETRIA
primeiro paralelogramo, qual será a relação entre as áreas dos dois 
paralelogramos?
Resolução: 
Para entendermos melhor o problema, é necessária uma construção.
Na primeira figura, temos A = b . h = bh. Na segunda figura, temos A 
= 2b . 2h = 4bh.
Portanto, a área do segundo paralelogramo é o quádruplo do primei-
ro paralelogramo.
QUESTÃO 2: Calcule a área de um losango que possui as suas dia-
gonais medindo 10cm e 16cm (em centímetros quadrados). 
Resolução: 
Sabemos que a área do losango é dada por , substituindo os 
dados, .
Portanto, a área do losango mede 80cm².
QUESTÃO 3: Um dos lados de um retângulo mede 10cm. Qual deve 
ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja 
equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9cm e 12cm (em 
centímetros quadrados)?
Resolução: 
Sabemos que a área do retângulo é dada por A = b . h. Substituindo os 
dados,
Portanto, a base o retânguloé de 10,8cm².
QUESTÃO 4: Calcule a área de um triângulo retângulo que possui 
como medida de sua hipotenusa e de um de seus catetos, respecti-
vamente, 10cm e 8cm (em centímetros quadrados). 
38
GEOMETRIA
Resolução: 
Do Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² + c². Substituindo os da-
dos,
Agora conhecemos os dois catetos e podemos calcular a área, dada 
por .
Substituindo os dados, .
Portanto, a área do triângulo retângulo mede 24cm².
QUESTÃO 5: A figura a seguir representa as dimensões de uma sala 
que vai ser assoalhada com tábuas de 20cm de largura por 3,5m de 
comprimento. Quantas tábuas são necessárias?
Resolução: 
Vamos calcular primeiro a área da sala e área da tábua. A área da sala 
é dada por A = (8 . 5) + (3 . 3) = 40 + 9 = 49m². E a área de cada tábua é 
dada por A = 0,2 . 3,5 = 0,7 m². Fazendo , temos que serão necessárias 
70 tábuas.
QUESTÃO 6: Para refazer o jardim de sua residência, Sr. Júlio resol-
veu comprar blocos de grama para colocar entre as árvores e as flo-
res. A grama é vendida em blocos que medem 50cm x 30cm. Quantos 
blocos, no mínimo, o Sr. Júlio deve comprar para cobrir uma área 
de 165m²?
Resolução: 
A área que cada bloco de grama ocupa é dada por A = 0,5 . 0,3 = 0,15 m². 
Então, blocos de grama para cobrir esta medida de área.
QUESTÃO 7: Observe a figura abaixo. Cada quadradinho da malha 
tem um centímetro de lado e portanto, 1cm² de área. Com base nes-
tes dados, calcule a região limitada pela linha escura.
39
GEOMETRIA
Resolução: 
Se cada quadradinho tem 1cm² de área, temos 14 quadradinhos intei-
ros. Agora, considerando duas semicircunferências com 1cm de raio, 
temos uma área de 1,57cm2. Assim, 2 – 1,57 – 0,43cm². Então, somando 
14cm² + 1,57cm² + 0,43cm² = 16cm². Portanto, a região delimitada pela 
linha escura mede 16cm² de área.
QUESTÃO 8: A frente de uma casa tem a forma de um quadrado 
com um triângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo 
mede 7m, qual é a área frontal desta casa?
Resolução: 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que a² = b² + c². Assim, a hipotenusa 
do triângulo isósceles é a base dele. Como um dos catetos mede 7cm 
e ele é isósceles, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos a seguinte 
relação:
Agora precisamos calcular a área frontal de cada figura: triângulo e 
quadrado.
Para a área do quadrado, fazemos: l². Como l = 7√2, temos:
Logo, a área do quadrado é de 95m2.
Para a área do triângulo, fazemos: . Como não temos o valor 
da altura do triângulo, usaremos o Teorema de Pitágoras novamente.
A altura do triângulo, chamaremos de , o segmento será dividi-
40
GEOMETRIA
do pela metade, então fica . Como o segmento BC=7, basta 
aplicar o teorema:
Substituindo, encontramos a área do triângulo:
.
Portanto, para saber a área da parte frontal da figura, somamos Aq e At.
QUESTÃO 9: ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. 
Se m(AB) = 15cm e m(BC) = 9cm. Qual é a área do quadrado de lado 
AC?
Resolução: 
Primeiramente, devemos descobrir a medida que falta. Para isso, apli-
caremos o Teorema de Pitágoras que é dado por a² = b² + c². Substituin-
do os dados, segue que
Como a área do quadrado é dada por Aq = l², temos que Aq = 12² = 144.
Portanto, o quadrado de lado AC mede 144cm² de área.
TÓPICO 6
QUESTÃO 1: Em uma cidade, há um terreno abandonado. Esse ter-
reno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases medem 18m 
e 12m e cuja altura mede 30m. João amarrou seu cavalo, ponto P, a 
corda de 12m de comprimento para pastar. De acordo com a figura 
ao abaixo, calcule a área (em metros quadrados) de pasto que o ca-
valo não pode comer.
41
GEOMETRIA
Resolução: 
Primeiramente, calculamos a área do trapézio, dado por
Assim,
Logo, a área do terreno que corresponde a área do trapézio mede 450m².
Mas a área que a corda do cavalo percorre o terreno é equivalente à da 
área de uma circunferência. Sendo assim, usaremos a seguinte expressão
 .
Substituindo, .
Finalmente, fazemos a diferenças entre a área do trapézio e a área 
de de circunferência. Portanto, . Assim, 
aproximadamente 366,96m² é a medida de pasto que o cavalo não 
pode comer.
QUESTÃO 2: No semicírculo abaixo, temos BC = 10cm e AB = 8cm. 
Qual o valor aproximado, em centímetros quadrados, da área som-
breada, sabendo-se que o triângulo ABC é um triângulo retângulo?
Resolução: 
Para descobrir a medida de AC, usaremos Teorema de Pitágoras. As-
sim,10² = 8² + x²  100 – 64 x²  x = √36  x = 6.. Então, AC = 6cm e 
representa a altura do nosso triângulo e AB = 8cm representa a base. 
Para calcular a área do triângulo devemos usar , segue 
que, . Logo, a área do triângulo é de 24cm².
42
GEOMETRIA
A área da semicircunferência é dada pela expressão: . Substi-
tuindo, . Logo, área da semicircunferência 
vale 39,25cm².
Agora sim, fazemos a diferença entre Ac – At = 39,25 – 25 = 15,25. Por-
tanto, a superfície sombreada vale 15,25cm² de área.
QUESTÃO 3: Calcule a área da sacada de um apartamento apresen-
tada na figura abaixo.
Resolução: 
Observamos que temos a medida de área equivalente à da área de 
uma circunferência com 1,5m de raio. Assim,
 . Logo, temos 3,53m² de área. 
Essa sacada é composta por um retângulo e sua área é dada por Ar = 
base . altura. Assim, Ar = 3 . 1,5 = 4,5. Logo, o retângulo mede 4,5m² de 
área.
Agora bastam somar as duas áreas calculadas, Ac + Ar = 3,5325 + 4,5 = 
8,0325.
Portanto, a área da sacada é de aproximadamente 8m².
QUESTÃO 4: O comprimento da linha do Equador da Terra tem 
aproximadamente 40000km. Qual é o raio da Terra?
Resolução: 
O comprimento de uma circunferência é dada por C = 2πr. Assim, 
 .
Logo, o raio da Terra tem aproximadamente 6369km.
QUESTÃO 5: Uma pizza tem raio igual a 15cm e está dividida em 6 
fatias. Calcule a área de cada fatia.
Resolução: 
A área da pizza é dada por Ap = πr² . Assim, 
Ap = 3,14 . 15² = 3,14 . 255 = 706,5.
43
GEOMETRIA
Agora basta dividir pelo número de fatias em que a pizza foi cortada, 
706,5 : 6 = 117,75. Então, cada fatia de pizza tem 117,75cm² de área.
QUESTÃO 6: Num círculo de raio r = 10cm, calcule:
a) o comprimento de um arco com a = 45°.
b) a área de um setor circular com a = 45°.
c) a área de um setor circular com a = 45°.
Resolução:
a) Primeiro, devemos encontrar o valor da circunferência que é dada 
por C = 2πr, substituindo:
C = 2 . 3,14 . 10 = 62,80.
Agora, multiplicamos o valor do comprimento pelo ângulo corres-
pondente e dividimos por 360°. Assim, . Logo, o arco 
mede 7,85cm.
b) Procederemos da mesma forma que o item anterior, só que de 
forma direta.
Logo, o arco mede aproximadamente 52,33 cm².
c) Temos que,
Logo, o arco mede aproximadamente 104,66 cm².
QUESTÃO 7: Observe a figura abaixo. Cada quadrinho tem uma 
unidade quadrada de área. Encontre a área da superfície contornada 
pela linha escura.
44
GEOMETRIA
UNIDADE 3
TÓPICO 1
QUESTÃO 1: Sobre a mesa da figura há dois livros apoiados em 
diferentes posições. Vamos analisar duas situações:
a) Qual é a posição dos planos da capa e contracapa do livro B em 
relação à mesa?
Resolução:
Relação entre plano da capa e o plano da mesa, são planos paralelos. 
Já a relação entre o plano da contracapa e o plano da mesa, pode ser 
planos paralelos, se pensarmos na espessura da contracapa sendo um 
plano e o plano da mesa outro plano. Mas também, pela representa-
ção o plano da contracapa está encostado no plano da mesa, então 
são: planos paralelos coincidentes, pois pertencem ao mesmo plano. 
Resolução: 
Se cada quadrinho tem uma unidade quadrada de área. Consideran-
do quatro semicircunferências com 1cm de raio, temos uma área de 
1,57cm². Assim, 2 – 1,57 = 0,43cm². 
Então, somando 12cm² + 1,57cm² + 1,57cm² + 0,43cm² + 0,43cm² = 16cm². 
Portanto, a região delimitada pela linha escura mede 16cm² de área.
45
GEOMETRIA
b) Qualé a posição dos planos da capa, da contracapa e de uma das 
folhas de dentro, tomados dois a dois, em relação ao plano da 
mesa?
Resolução: 
Planos secantes perpendiculares, pois a capa, a contracapa e uma das 
folhas, todos estão na mesma posição em relação ao tampo da mesa 
(plano). Portanto, os planos da capa, contracapa e de uma folha de 
dentro corta/atravessa o plano da mesa.
QUESTÃO 2: Uma bola de futebol é um poliedro que possui 12 
faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Com base 
nestas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas.
( ) O número de arestas deste poliedro equivale a 180.
( ) Este poliedro apresenta 60 vértices.
( ) A bola apresenta 32 faces.
( ) Este poliedro classifica-se como um sólido de Platão.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F.
b) ( ) F – F – V – V.
c) ( ) F – V – V – F.
d) (X) F – V – V – F.
e) ( ) V – F – F – V.
Resolução:
O número de arestas deste poliedro equivale a 180. Falsa, porque:
Este poliedro apresenta 60 vértices. Verdadeira, porque:
46
GEOMETRIA
A bola apresenta 32 faces. Verdadeira, porque:
F = 20 + 12 = 32
Este poliedro classifica-se como um sólido de Platão. Falsa, porque:
Poliedros de Platão são: Tetraedro, Octaedro, Hexaedro, Dodecaedro 
e Icosaedro.
Portanto, a resposta correta é a letra (d) F – V – V – F. 
QUESTÃO 3: Joana ganhou um par de brincos no formato de uma 
pirâmide de base quadrada, que sabemos ser um poliedro o núme-
ro de vértices e de faces é cinco. Aplique a relação de Euler e calcule 
o número de arestas do par de brincos.
Resolução: 
V = 5
F = 5
A = ?
Portanto,
F + V = A + 2
5 + 5 = A + 2
10 = A + 2
A = 8
O brinco possui 8 arestas.
QUESTÃO 4: Classifique as afirmações a seguir em V para as verda-
deiras ou F para as falsas:
a) ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) ( ) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
d) ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) ( ) Duas retas não coplanares são reversas.
47
GEOMETRIA
Resolução: 
a) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. Verdadeira, por-
que ou são retas coincidentes ou são distintas. 
b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas. Verdadeira, porque 
as retas reversas pertencem a planos distintos, já as retas coplana-
res ao mesmo plano. 
c) Duas retas distintas determinam um plano. Falsa, pois nem sem-
pre duas retas distintas determinam um plano. Para duas retas 
determinar um plano elas devem ser paralelas. Já duas retas dis-
tintas reversas, não forma um plano.
d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. Verdadeira, essa 
é a característica das retas concorrentes.
e) Duas retas não coplanares são reversas. Verdadeira, se não per-
tence ao mesmo plano são reversas. 
A ordem correta é V – V – F – V – V.
QUESTÃO 5: Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de fa-
ces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
Resolução:
Aplicasse a equação: F + V = A + 2 , como F = V e A = 10, temos:
Portanto, esse poliedro tem 6 faces.
QUESTÃO 6: Em nossos estudos vimos que entre dois planos são 
possíveis quatro posições relativas no espaço. Sobre estas posições, 
classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F 
para as falsas:
48
GEOMETRIA
a) ( ) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam.
b) ( ) Dois planos se interceptam num único ponto.
c) ( ) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção 
é uma reta.
d) ( ) Dois planos concorrentes formam um triedro.
e) ( ) Planos paralelos no espaço são planos que não têm interseção.
Resolução:
A sequência correta é V – F – V – F – V.
“Dois planos se interceptam num único ponto” é FALSA, pois eles se 
interceptam em infinitos pontos.
“Dois planos concorrentes formam um triedro” é FALSA, pois não 
formam um triedro.
QUESTÃO 7: Um plano é determinado por:
a) (X) Uma reta e um ponto não pertencente a ela.
b) ( ) Uma reta e um ponto a ela pertencente.
c) ( ) Três pontos.
d) ( ) Duas retas quaisquer.
e) ( ) Uma reta apenas.
Resolução:
Um plano pode ser determinado por:
• Uma reta e um ponto não pertencente a essa reta.
• Duas retas distintas concorrentes.
• Duas retas paralelas distintas.
Portanto, alternativa (a) é a correta.
QUESTÃO 8: Classifique os poliedros em convexos (C) e não con-
vexos (NC):
49
GEOMETRIA
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) NC, NC, C, C, NC.
b) ( ) C, NC, NC, C, C.
c) (X) C, NC, C, C, NC.
d) ( ) C, NC, C, NC, NC.
e) ( ) NC, NC, C, C, NC.
Resolução:
Um poliedro é convexo se dados quaisquer dois pontos pertencentes 
a superfície desse poliedro, o segmento que tem esses pontos como 
extremidades está inteiramente contido no poliedro. Caso exista al-
gum segmento que não satisfaça essa condição, trata-se de um polie-
dro côncavo (não convexo).
Poliedro A – convexo.
Poliedro B – não convexo.
Poliedro C – convexo.
Poliedro D – convexo.
Poliedro E – não convexo.
Portanto, alternativa (c) é a correta. 
QUESTÃO 9: Em matemática precisamos tomar cuidado com o in-
verso das afirmações, por exemplo: todo poliedro é um sólido geo-
métrico, mas nem todo sólido geométrico é um poliedro. 
Neste sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as verda-
deiras ou F para as falsas:
( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico.
( ) Todo sólido geométrico é de Platão.
( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico.
( ) Todo poliedro convexo é euleriano.
( ) Todo poliedro euleriano é de Platão. 
( ) Todo poliedro de Platão é euleriano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F – V – V.
b) ( ) F – F – V – V – V – F.
c) ( ) F – V – V – F – V – F.
d) ( ) F – V – V – F – F – V.
e) (X) V – F – V – V – F – V.
50
GEOMETRIA
Resolução:
Todo poliedro convexo é um sólido geométrico. Verdadeira.
Todo sólido geométrico é de Platão. Falsa, porque nem todo sólido 
geométrico é de Platão.
Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico. Verdadeira.
Todo poliedro convexo é euleriano. Verdadeiro.
Todo poliedro euleriano é de Platão. Falsa.
Todo poliedro de Platão é euleriano. Verdadeira.
Portanto, alternativa (e) é a correta.
QUESTÃO 10: Com a intenção de formar um ângulo poliédrico to-
maram-se algumas faces poligonais cujas medidas que formarão o 
ângulo poliédrico são conhecidas conforme a seguir. Todas as cons-
truções são possíveis? Justifique suas respostas.
a) 70°, 80°, e 130°.
b) 90°, 120° e 150°.
c) 70°, 80°, 90° e 100°.
Resolução: 
a) 70°, 80°, e 130° - Temos que 70° + 80° + 130° = 280° < 360°. A cons-
trução é possível, pois a soma dos ângulos é menor que 360° .
b) 90°, 120° e 150° - Temos que 90° + 120° + 150° = 360°. A construção 
NÃO é possível, pois a soma dos ângulos é 360°.
c) 70°, 80°, 90° e 100° - Temos que 70° + 80° + 90° + 100° = 340° < 360°. 
A construção é possível, pois a soma dos ângulos é menor que 
360°.
QUESTÃO 11: Quantas faces, no máximo, de um polígono que tem 
os ângulos internos de 50°, podem ser utilizadas para formar um 
ângulo poliédrico?
Resolução: 
A soma dos ângulos deve ser menor que 360°.
Portanto, 360/50 = 7,2. Portanto, 50 x 7 = 350, temos que o maior nú-
mero de faces é igual a 7.
Logo, a resposta correta são 7 faces.
51
GEOMETRIA
QUESTÃO 12: Sobre poliedro é correto afirmar:
a) ( ) O número de faces é o dobro do número de arestas.
b) ( ) O menor número possível de faces de um poliedro é três.
c) ( ) Todo poliedro tem 8 vértices.
d) ( ) Um octaedro tem 12 faces.
e) (X) Uma aresta é a intersecção de duas faces.
Resolução:
O número de faces é o dobro do número de arestas. Falsa, o número 
de faces é o dobro do número de vértices.
O menor número possível de faces de um poliedro é três. Falsa, o 
menor número possível de faces de um poliedro é quatro. É o caso do 
tetraedro. 
Todo poliedro tem 8 vértices. Falsa!
Um octaedro tem 12 faces.Falsa, um octaedro tem 8 fases, 6 vértices 
e 12 arestas. 
Portanto, a resposta correta é a letra (e) uma aresta é a intersecção de 
duas faces.
QUESTÃO 13: Determine:
a) O poliedro convexo que tem 6 vértices e 12 arestas.
b) O número de vértices de dodecaedro que tem 20 arestas.
c) O número de faces de um poliedro convexo que tem 15 arestas 
e 8 vértices.
d) Determine o número de arestas e o número de vértices de um 
icosaedro regular.
Resolução:
a) O poliedro convexo que tem 6 vértices e 12 arestas.
F + V = A + 2
F + 6 = 12 + 2
F = 8
Portanto, 8 Faces, ou seja, Octaedro
b) O número de vértices de dodecaedro que tem 20 arestas.
F + V = A + 2
12 + V = 20 + 2
V = 10
Portanto, 10 vértices.
52
GEOMETRIA
c) O número de faces de um poliedro convexo que tem 15 arestas e 
8 vértices.
F + V = A + 2
F + 10 = 15 + 2
F = 9
Portanto, 9 faces.
Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosa-
edro regular.
Icosaedro = 20 faces
F + V = A + 2
20 + V = 30 + 2
V = 12
Portanto, são 12 vértices e 30 arestas.
QUESTÃO 1: Uma pequena indústria de artesanatos pretende fa-
bricar caixas (papelão) decorativas de dois modelos. Uma em forma 
de um paralelepípedo retangular e outra, em forma de cubo, ambas 
com a mesma capacidade. As dimensões do paralelepípedo equiva-
lem a base de 15cm e 20cm, altura de 5cm.
Com relação a estas caixas, analise as seguintes sentenças:
I- Na caixa cúbica serão gastos 132 cm² de papelão.
II- A capacidade da caixa em forma de paralelepípedo equivale a 1 
500 cm³. 
III- As dimensões da caixa cúbica são de aproximadamente 11,5 cm.
IV- Na caixa em forma de paralelepípedo serão gastos aproximada-
mente 163,4 cm² a mais de papelão do que na caixa cúbica.
53
GEOMETRIA
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) (X) Somente as afirmativas II e III está correta.
b) ( ) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas.
d) ( ) Somente a afirmativa I está correta.
Resolução:
Dimensões do paralelepípedo:
Área do paralelepípedo: 2(300 + 100 + 75) = 2.475 = 950 cm².
Volume do paralelepípedo: V = a.b.c  V = 20.15.5 = 1550 cm³.
Papelão gasto na caixa retangular: 300 + 300 + 75 + 75 + 100 + 100 = 
950cm².
Assim, 950 – 793,50 = 156,5 cm².
I- Na caixa cúbica serão gastos 132 cm² de papelão. Falsa. Será de 
793,50 cm²
II- A capacidade da caixa em forma de paralelepípedo equivale a 1 
500 cm³. Verdadeira.
III- As dimensões da caixa cúbica são de aproximadamente 11,5 cm. 
Verdadeira.
IV- Na caixa em forma de paralelepípedo serão gastos aproximada-
mente 163,4 cm² a mais de papelão do que na caixa cúbica. Falsa, 
será de 156,5 cm². 
Portanto, a resposta correta é a letra (a) Somente as afirmativas II e III 
está correta.
54
GEOMETRIA
QUESTÃO 1: Um grupo de casais foram acampar e levaram uma 
barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma pi-
râmide regular hexagonal, cuja aresta da base media 1m. Depois de 
montada, o ar em seu interior ocupava um volume de . Associe 
os itens, utilizando o código a seguir:
I-
II-
III-
( ) O apótema da base da barraca. 
( ) A área da base da barraca. 
( ) A altura da pirâmide da barraca.
Resolução:
(I) O apótema da base da barraca. 
(III) A área da base da barraca. 
(II) A altura da pirâmide da barraca.
O apótema da base é dado por
A área da base é dada por
Para descobrir a altura, devemos utilizar a equação do volume, dado 
por . Substituindo, temos
Portanto, a altura é 5m; área da base e o apótema da base 
55
GEOMETRIA
TÓPICO 4
QUESTÃO 1: O que é um cilindro equilátero?
Resolução: 
Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um qua-
drado e, portanto, apresenta g = h = 2r, ou seja, o diâmetro da base é 
igual à altura.
QUESTÃO 2: Um restaurante costuma usar grandes panelas em 
dias de muito movimento. Para encher de água uma dessas panelas, 
o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses 
galões são necessários para encher completamente uma panela ci-
líndrica, de 60cm de diâmetro e 50cm de altura? (Use π = 3,14).
Resolução:
Sabemos que, 1cm³ = 1ml, então V = 141300 : 1000 = 141,3l
Como cada galão tem 18 litros, segue que 141,3 : 18 = 7,85. Então se-
riam necessários, aproximadamente 8 galões de água.
QUESTÃO 3: Qual é o volume do grafite de um lápis de 17 cm de 
comprimento, se a grafite tem 2mm de diâmetro? (Use π = 3,14).
Resolução:
O volume do grafite é, aproximadamente, 053cm³. Lembrando que 
precisamos trabalhar com medidas equivalentes, ou seja, cm em cm , 
mm em mm, m em m.
QUESTÃO 4: Para fazer 1m³ de concreto, gastam-se 9 sacos de ci-
mento. Um prédio está apoiado sobre 12 colunas cilíndricas de 
concreto, cada uma com 5m de altura e 40cm de diâmetro da base. 
Quantos sacos de cimento foram gastos na construção destas colu-
nas? (Use π = 3,14).
Resolução:
V = π . r² . h  V = 3,14 . 0,2² . 5 = 0,628 m³, como são 12 colunas  V = 
0,628 . 12 = 7,536 m³.
56
GEOMETRIA
Assim, se para 1 m³ foram utilizados 9 sacos de cimento, para 7,54 m³ 
serão usados 67,86 sacos de cimento, aproximadamente 68 sacos para 
construir as colunas.
QUESTÃO 5: Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 
70 dm de profundidade. Quantos litros de água o vaso pode conter, 
aproximadamente? (Use π = 3,14).
Resolução:
Diâmetro = 30dm (1dm = 10 cm), portanto, 30 x 10 = 300 cm = 3 metros. 
Dessa maneira, raio = 1,5 metros.
Profundidade = altura, temos: 70 dm = 70 x 10 = 700 cm = 7 metros.
Sabemos que:
1m³ = 1000l
49,455 m³ x 1000l = 49455 litros de água. 
Portanto, o vaso pode conter, 49455 litros de água.
QUESTÃO 6: Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas 
cilíndricas: uma de raio r, cheia até a altura h. Outra de raio e 
cheia até altura 2h. A primeira é vendida por R$ 3,00 e a segunda 
é vendida por R$ 1,60. Qual é a embalagem mais vantajosa para o 
consumidor?
Resolução:
Primeira lata
V = π . r² . h
Segunda lata
57
GEOMETRIA
Podemos concluir que o volume da segunda lata é a metade do volu-
me da primeira lata. 
Sabemos que a primeira lata custa R$ 3,00 e a segunda lata R$ 1,60. 
Dessa forma, é mais vantajoso consumir a primeira lata, pois tem o 
dobro do volume e custa R$ 3,00. Pois, para consumir a mesma quan-
tidade será necessário comprar duas latas da segunda opção, cada 
uma custa R$ 1,60 x 2 = R$ 3,20. 
QUESTÃO 7: Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um 
cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio 
com 30m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do 
tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
Resolução:
Volume da água = 30 m³
Volume do petróleo = 42 m³
Portanto, o volume total = 72 m³
h = 12 m
Volume total:
Volume do petróleo: 
Logo, a altura da camada de petróleo é de 7 metros.
QUESTÃO 8: A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor 
solar com capacidade de 1.570 litros.
58
GEOMETRIA
Sabendo que 1.000 litros de água ocupam um volume de 1m³ e adota-
do π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.
Resolução:
Volume do tambor: 1570l
Sabemos que 1 m³ = 1000l, assim 1570l : 1000l = 1,57m³.
Logo, o raio tem aproximadamente 0,5 metros.
TÓPICO 5
QUESTÃO 1: Dois reservatórios, um cilíndrico e outro cônico, de 
mesma altura e mesmo raio, estão totalmente vazios e cada um será 
alimentado por uma torneira, ambas com mesma vazão. O reser-
vatório cilíndrico levou 5 horas e meia para ficar completamente 
cheio. Qual é o tempo necessário para que isto ocorra com o reser-
vatório cônico?
a) (X) 1 hora e 50 minutos. 
b) ( ) 2 horas. 
c) ( ) 1 hora.
d) ( ) 2 horas e 15 minutos.
59
GEOMETRIA
TÓPICO 6
QUESTÃO 1: Qual a quantidade de chumbo necessária para a con-
fecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro cada 
uma?
Resolução:
Substituindo os dados do problema, temos
Resolução:
Volume do cilindro: 
Volume do cone: 
Portanto, o volume do cone é volume do cilindro dividido por 3. Ou 
ainda, o volume do cilindro é 3 vezes o volumedo cone. Dessa forma, 
dentro do cilindro cabe 3 cones. 
Para encher o cilindro leva 5 horas e meia, 5h30min, ou ainda, 330 
minutos.
Para encher o cone, temos:
Portanto, 110 minutos é igual a 1 hora e 50 minutos. Letra “a”.
60
GEOMETRIA
Cada esfera tem um volume de , como são 100 bolinhas, 
 .
Caso, o problema nos informasse para trabalhar com π = 3,14, pode-
ríamos substituir:
Cada esfera tem um volume de 0,523 cm³ e para 100 bolinhas, temos 
52,33 cm³ de chumbo.
QUESTÃO 2: O diâmetro da Lua é, aproximadamente, do diâme-
tro da Terra. Determine o volume da Lua. (Use π = 3,14).
Resolução:
Lembre-se de que a Circunferência da Terra é de 40.000 km.
QUESTÃO 3: Numa indústria química, deseja-se instalar um reser-
vatório esférico para armazenar determinado gás. A capacidade do 
reservatório deve ser de 33,5 m³. Qual deve ser aproximadamente, o 
raio desse reservatório? (Use π = 3,14).
Resolução:
Substituindo os dados do problema na equação do volume, temos
Assim, o volume da lua é
61
GEOMETRIA
Então, o raio deve ter aproximadamente, 2 metros de comprimento.
QUESTÃO 4: Uma fábrica de suco confeccionou suas embalagens 
em dois formatos: uma esférica de 8cm de diâmetro e outra cilíndri-
ca. Sabendo que as duas embalagens têm a mesma altura e a mesma 
largura, calcule seus volumes. (Use π = 3,14).
Resolução:
Volume do cilindro
 
Volume da esfera
Logo, o volume da esfera é de 267,95 cm³ e o volume do cilindro é de 
401,92 cm³.
QUESTÃO 5: Num recipiente de forma cilíndrica, com 4 cm de raio 
da base, há água até certa altura. Calcule a elevação do nível da água 
quando mergulhamos ali uma esfera de aço com 2 cm de diâmetro. 
(Use π = 3,14).
Resolução:
Volume da esfera
62
GEOMETRIA
Volume do cilindro
QUESTÃO 6: Considere uma laranja como uma esfera com 6 cm de 
raio. Se a dividirmos em doze gomos (cunhas esféricas) praticamen-
te iguais, qual será o volume de cada gomo? (Use π = 3,14).
Resolução:
Volume da esfera
Assim, como são doze gomos 904,32 : 12 = 75,36 cm³ cada gomo.
QUESTÃO 7: Qual é o comprimento aproximado de um meridiano 
terrestre?
Resolução:
Considerando a Terra uma esfera perfeita, um meridiano é um círcu-
lo máximo que passa pelos polos, portanto, seu comprimento tem a 
mesma medida do equador, aproximadamente, 40.000 km.
QUESTÃO 8: Qual é o volume da esfera, cujo raio mede 3cm? (Use 
π = 3,14).
Resolução:
Volume da esfera
 
O volume da esfera é de 113,04cm³.
QUESTÃO 9: Qual é a área da superfície esférica, cujo raio mede 
3m? (Use π = 3,14).
Resolução: 
Área da superfície da esfera
 
A área da superfície esférica é de 113,04m².