Atividade Extra de FVV

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Universidade Federal do Maranhão
Curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Atividade.
18 · 12 · 2020
Disciplina : Funções de Várias Variáveis. Professor: José Antonio
Aluno(a): Matŕıcula: −
Parte I.
1. Sejam f e g funções cujas derivadas parciais de segunda ordem são cont́ınuas na região R delimitada pela
curva fechada simples, parcialmente suave, C. Utilize o Teorema de Green, na forma vetorial, para mostrar
que ˛
C
f∇g.~n.ds =
¨
R
[(f)(∇.∇g) +∇f.∇g]dA.
2. Aplique o Teorema da Divergência a F = f∇g e mostre que
¨
S
f
∂g
∂~n
dS =
˚
T
[f∇2g +∇f.∇g]dV,
em que
∂g
∂~n
é a derivada direcional da função escalar f na direção do vetor unitário n exterior à superf́ıcie
S que delimita a região T.
3. Utilize os dados da questão anterior para mostrar que
¨
S
∂f
∂~n
dS =
˚
T
∇2fdV.
4. Suponha que S seja uma superf́ıcie fechada. Mostre que
¨
S
(rotF).~ndS = 0.
Parte II.
5. Seja S a superf́ıcie de um corpo T submerso em um fluido de densidade constante ρ. Estabeleça coordenadas
de modo que z = 0 corresponda à superf́ıcie do fluido e que os valores positivos de z sejam fixados para
baixo a partir da superf́ıcie. A força de flutuação exercida pelo fluido sobre o corpo é
B = −
¨
S
ρndS.
Sendo assim, mostre que B = −Wk em que W é o peso do fluido descolado pelo corpo.
6. Um fluido cuja densidade é ρ(x, y, z, t) se desloca com uma velocidade ~v(x, y, z, t) sem fontes ou poços.
Mostre que
∇.~J + ∂ρ
∂t
= 0,
em que ~J = ρ~v.
7. Seja U(x, y, z, t) a temperatura de um ponto qualquer (x, y, z) de um sólido e as constantes κ, ρ e c a
condutividade térmica, a densidade e o calor espećıfico do sólido, respectivamente. Mostre que
∂U
∂t
= k∇2U.
em que k = κρc .